Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2) biến dạng tổng quát (LV00851)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ KHÁNH LY

BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU(2)
BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT
Chuyên ngành: VẬT LÝ LÍ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: PGS- TS. Lưu Thị Kim Thanh

HÀ NỘI, 2012
1


LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện tại Trường ĐHSP Hà Nội 2, dưới sự
hướng dẫn của Phó giáo sư, Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh. Người đã đặt nền
móng cho bản luận văn và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này.
Cho phép tôi được gửi tới cô lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2,
phòng sau Đại học và khoa Vật lý đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi
hoàn thành chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp này.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã
luôn động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này.

Tác giả

Nguyễn Thị Khánh Ly

2


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của Phó giáo sư, Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn này
không trùng lặp với bất cứ đề tài nghiên cứu nào khác.

Tác giả

Nguyễn Thị Khánh Ly

3


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................ . 1
1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................... ..1
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................... ..1
3. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................... ..2
4. Tên đề tài, kết cấu của luận văn............................................................... ..2
NỘI DUNG
Chương 1. ĐỐI XỨNG CỦA CÁC HẠT TƯƠNG TÁC MẠNH ............. ..3
1.1. ĐỐI XỨNG ĐỒNG VỊ SU(2) ................................................................ ..3
1.2. ĐỐI XỨNG SU(3) .................................................................................. 12
1.3. CÁC ĐA TUYẾN HADRON................................................................. 16

1.3.1. Đa tuyến tám baryon

1+
2 ....................................................................... 16

1.3.2. Đa tuyến tám meson 0 ....................................................................... 19

1.3.3. Đa tuyến tám meson 1- ......................................................................... 20
1.3.4. Đa tuyến mười baryon

3+
2 .................................................................... 21

1.4. CÔNG THỨC KHỐI LƯỢNG GELL-MANN-OKUBO ................... 22
1.5. ĐA TUYẾN QUARK ............................................................................. 25
1.6. CÁC ĐỐI XỨNG CAO HƠN .............................................................. 29
Kết luận chương 1 ......................................................................................... 33
Chương 2. BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU(2) ................ 34
2.1. HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA ........................... 34
2.2. BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU(2) ............................ 36
2.2.1.Hệ dao động tử boson đa mode ............................................................ 36
2.2.2.Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2)............................................... 37
Kết luận chương 2 ......................................................................................... 42
4


CHƯƠNG 3. BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU(2)
BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT ......................................................................... 43
3.1. CƠ SỞ TOÁN HỌC ............................................................................... 43
3.2. DAO ĐỘNG TỬ BOSON BIẾN DẠNG q .......................................... 44

3.2.1. Dao động tử Boson biến dạng q .......................................................... 44
3.2.2. Phân bố thống kê Bose-Einstein biến dạng q ..................................... 47
3.3. BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SUq(2) .......................... 49
3.4. BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU(2) BIẾN DẠNG
TỔNG QUÁT................................................................................................. 52
3.4.1. Dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát ......................................... 52
3.4.2. Biểu diễn dao động của đại số SU(2) biến dạng tổng quát ................ 56
Kết luận chương 3 ......................................................................................... 58
KẾT LUẬN .................................................................................................... 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 61

5


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Đối xứng và phản đối xứng đóng vai trò quan trọng trong tự nhiên nói
chung và vật lý hạt cơ bản nói riêng. Việc tìm kiếm những đối xứng, cũng
như việc tìm kiếm những đại lượng bất biến trong vật lí là phương pháp chỉ
đường phổ biến trong công cuộc khám phá các định luật vật lí. Ngôn ngữ toán
học của lý thuyết đối xứng là lý thuyết nhóm. Lý thuyết đối xứng lượng tử lấy
nhóm lượng tử làm cơ sở là một hướng nghiên cứu thu hút sự quan tâm của
nhiều nhà vật lý trong thời gian gần đây. Nhóm lượng tử là các kiểu biến dạng
của đại số Lie thông thường mà sẽ thu lại được khi tham số biến dạng có giá
trị bằng đơn vị [1,2]. Ứng dụng của nhóm lượng tử trong vật lý trở nên phổ
biến với việc đưa vào hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng [3,4],
chẳng hạn như đã tìm được biểu diễn boson của đại số lượng tử SUq(2) và
ứng dụng để giải phương trình Yang – Baxter [5]. Đại số lượng tử còn có
nhiều ứng dụng trong các ngành vật lý khác, như nghiên cứu về chuỗi spin,
các anyoins, quang lượng tử, sự quay và dao động của hạt nhân nguyên tử…;

và ứng dụng trong lý thuyết trường conformal. Từ đó chúng ta nhận thấy rằng,
đại số lượng tử có lớp đối xứng rộng hơn lớp đối xứng Lie và bao gồm đối
xứng Lie như trường hợp đặc biệt.
Nghiên cứu đại số lượng tử SU(2) nằm trong hướng nghiên cứu trên, và
đã đạt được nhiều kết quả có ý nghĩa trong vật lý hạt nhân nguyên tử, trong
vật lý hạt cơ bản…đã thu hút được vậy đề tài sự quan tâm của nhiều nhà
khoa học. Vì vậy đề tài có ý nghĩa khoa học; đó là lý do tôi chọn đề tài Biểu
diễn dao động tử của đại số SU(2) biến dạng tổng quát làm luận văn thạc
sĩ của mình dưới sự hướng dẫn của cô giáo, PGS. TS Lưu Thị Kim Thanh.
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng
6


- Xây dựng các phân bố thống kê biến dạng
-

Nghiên cứu đại số SU(2)

-

Nghiên cứu đại số SU(2) biến dạng tổng quát

3. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp Lý thuyết trường lượng tử
- Phương pháp vật lý thống kê
- Phương pháp lý thuyết nhóm
4. Tên đề tài, kết cấu của luận văn.
- Tên đề tài: Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2) biến dạng tổng
quát

- Kết cấu của luận văn: Gồm phần mở đầu và kết luận; Nội dung chính
của luận văn được trình bày trong ba chương :
Chương 1: Đối xứng của các hạt tương tác mạnh
Chương 2: Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2)
Chương 3: Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2) biến dạng tổng quát

7


NỘI DUNG
Chương 1. ĐỐI XỨNG CỦA CÁC HẠT TƯƠNG TÁC MẠNH
1.1. ĐỐI XỨNG ĐỒNG VỊ SU(2)
Vào năm 1930, kết quả nghiên cứu thực nghiệm về lực hạt nhân của
proton và neutron đã dẫn đến suy nghĩ rằng: nếu như tách được điện tích của
proton ra thì không có cách nào phân biệt được proton với neutron vì chúng
có khối lượng và cường độ tương tác với các hạt khác xấp xỉ nhau. Trên quan
điểm đó có thể xem proton với neutron như hai trạng thái khác nhau của cùng
một hạt – nucleon N. Để mô tả điều này, Heisenberg đưa vào khái niệm spin
đồng vị. Cũng tương tự như với spin thông thường, hạt có spin đồng vị I có
thể ở (2I+1) trạng thái khác nhau với các giá trị [1]: I 3 = I , I - 1,..., - I . Như
vậy nucleon có spin đồng vị I =
neutron ứng với giá trị I 3 = -

1
1
, proton ứng với giá trị I3 = + , còn
2
2

1

Về sau khái niệm spin đồng vị được mở rộng
2

cho mọi hạt tương tác mạnh khác. Ví dụ meson p + , p 0 , p - được xem như ba
+
trạng thái khác nhau của cùng một hạt p , có spin đồng vị I = 1, p có

I3 = +1, p 0 có I3 = 0, p - có I 3 = -1, tương tự với meson k, các baryon S, X,...
Đối xứng đồng vị được mô tả bằng ngôn ngữ toán học bởi nhóm các
phép biến đổi SU(2), đó là nhóm các phép biến đổi thực hiện bởi các toán tử
U có dạng:
3

U (w ) = e

i

å wa I a

(1.1)

a =1

trong đó wa là các thông số nhận các giá trị thực, các vi tử I a được đồng nhất
với toán tử spin đồng vị, hermitic I a + = I a và tuân theo các hệ thức giao hoán:
8


[ I a , I b ] = ie abc I c

(1.2)

Dưới tác dụng của phép biến đổi đồng vị các toán tử trường biến đổi
theo qui tắc tổng quát:

j ( x) ® j '( x) = e

i

å wa I a
a

j ( x)e

-i

å wa I a
a

(1.3)

Nếu có r hạt với các trường tương ứng ji ( x ) , i = 1, 2,..., r , biến đổi
theo qui luật:
j

æ - i åwaTa ö
÷ j j ( x)
ji ( x ) = ç e a
ç
÷

è
ø£i

(1.4)

trong đó Ta là các ma trận r ´ r , tuân theo hệ thức giao hoán như I a ,

[Ta , Tb ] = ie abcTc

(1.5)

ta nói rằng r hạt này thực hiện biển diễn r chiều của nhóm SU(2), hoặc nói
rằng chúng tạo thành một đa tuyến đồng vị r. Rõ ràng rằng r = 2 I + 1 , trong
đó I là spin đồng vị của các hạt trong đa tuyến.
Ví dụ:
1. r = 1, Ta = 0
Lúc này j ( x ) ® j ' ( x ) và ta có vô hướng đồng vị ( bất biến) ứng với giá
trị I=0.
2. r = 2, Ta =

ta
2
æ0 1ö

æ 0 -i ö
æ1 0 ö
,
t
=
÷ 3 ç

÷.
0ø
è 0 -1ø

t a là các ma trận Pauli, t1 = ç
÷ ,t 2 = ç
è1 0ø
èi
Lúc này,

9


ổ -i ồ
ji ' = ỗ e a
ỗ
ố

t
wa a
2

(1.6)

j

ử
ữ jj
ữ
ứ Êi

ổ j1 ử
1
trong ú: i, j=1,2 v ta cú spinor ng v ỗ ữ ng vi giỏ tr: I = .
2
ố j2 ứ
3. r = 3, (Ta )b = -ie abc
c

Ta cú:

ổ0 0 0 ử
ổ 0 0 iử
ổ 0 -i 0 ử
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
T1 = ỗ 0 0 -i ữ , T2 = ỗ 0 0 0 ữ , T3 = ỗ i 0 0 ữ
ỗ0 i 0 ữ
ỗ -i 0 0 ữ
ỗ0 0 0ữ
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ

Lỳc ny
c

ổ -i ồwaTa ử
ữ jc ,
ja ' = ỗ e a
ỗ
ữ
ố
ứb

(1.7)

v ta cú vector ng v ng vi giỏ tr I=1
T (1.3) v (1.4), suy ra:

[ I a , ji ] = - (Ta )i j j
j

(1.8)

Qu vy, ta cú:

i

e

ồ wa I a
a

ji e

-i

ồ wa I a
a

i2
= ji + i ồ wa [ I a , ji ] +
2
a

Mt khỏc,
10

ồw w
a

a ,b

b

ộở I b , [ I a , jả ]ựỷ + ...

(1.9)


j

æ - i åwaTa ö

çe a
÷ j j = ji - i å wa (Ta ) j j j + ...
i
ç
÷
a
è
øi

(1.10)

So sánh (1.9) với (1.10) ta suy ra (1.8). Công thức (1.8) rất thuận tiện
để sắp sếp các hạt theo thành phần của đa tuyến đồng vị.
Ví dụ:
1. Với vô hướng đồng vị Ta = 0 nên [Ta , j ] = 0 . Đó là các trường hợp
đơn tuyến đồng vị (I=0) như baryon Ù , meson h ,v..v…

æy 1 ö
2. Với spinor đồng vị ç ÷ ta có
èy 2 ø
1
2

[ I a ,y i ] = (t a )i y j
j

(1.11)

Hệ thức này cho:

[ I3 ,y ] = Như vậy y 1

1
1
y 1 , [ I 3 ,y 2 ] = y 2
2
2

1
1
I
=
ứng với hạt có 3
, y 2 ứng với hạt có I 3 = - và ta có thể
2
2

æy 1 ö
æ pö
æK+ ö
æ X0 ö
đồng nhất ç ÷ với N = ç ÷ , hoặc K = ç 0 ÷ hoặc X = ç - ÷ ,...
èy 2 ø
ènø
èK ø
èX ø
3.Với vector đồng vị F a , a=1,2,3, ta có:

[ I a , F b ] = - (Ta )b F c = ie abc F c
c

Hệ thức này cho ta các biểu thức sau:

11

(1.12)


[ I 3 , F1 ] = iF 2 , [ I 3 , F 2 ] = - iF1 , [ I 3 , F 3 ] = 0
v t ú:

[ I3 , F1 - iF 2 ] = - ( F1 - iF 2 )
[ I3 , F1 + iF 2 ] = ( F1 + iF 2 )
Nh vy:
F (1) =

1
( F1 - iF 2 ) ng vi ht cú
2

I 3 = +1

1
( F1 + iF 2 ) ng vi ht cú
2

F ( -1) =

I 3 = -1

F ( 0 ) = F 3 ng vi ht cú I 3 = 0

V ta cú th ng nht

(S

+

( F (1) , F ( 0 ) , F ( -1) )

vi

(p

+

,p 0 ,p -

)

hoc

)

, S0 , S-
3ử
ổ
4. a tuyn ng v 4 ỗ r = 4, I = ữ c mụ t bi spinor ng v hng
2ứ
ố

3 hon ton i xng y ijk vi 4 thnh phn c lp y 111,y 112,y 122,y 222
Quy lut bin i ca spinor ng v hng ba ging nh quy lut bin i ca
tớch ba spinor ng v hng mt, c th l:

y

- i ồ wa I a
ồ wa I a
a
=e
y ijk e a
i

'
ijk

l

m

ổ i ồwa ra ử ổ - i ồwa ra ử
2
ữ ỗe 2 a
ữ
= ỗe a
ỗ
ữ ỗ
ữ
ố

ứi ố
ứl

n

ổ - i ồwa ra ử
ỗe 2 a
ữ y lmn
ỗ
ữ
ố
ứk

V t ú:

(

1
l
l
l
ộở I a ,y ijk ựỷ = - (t a )i y ljk + (t a ) j y ilk + (t a )k y ijl
2
H thc ny cho:

12

)

(1.13)

3
y 111 ,
2
1
[ I3 ,y 112 ] = - y 112 ,
2
1
[ I3 ,y 122 ] = y 122 ,
2
3
[ I3 ,y 222 ] = y 222
2

[ I3 ,y 111 ] = -

(1.14)

Như vậy:

3
æ3ö
y ç ÷ = y 111 ứng với hạt có I3 =
2
è2ø

1
æ1ö
y ç ÷ = 3y 112 ứng với hạt có I3 =

2
è2ø
1
æ 1ö
y ç - ÷ = 3y 122 ứng với hạt có I 3 = 2
è 2ø
3
æ 3ö
y ç - ÷ = y 222 ứng với hạt có I 3 = 2
è 2ø
Hệ số chuẩn hóa 3 đưa vào để tiện lợi, cụ thể là để có:
2

åy

i , j , k =1

æ3ö æ3ö
æ1ö æ1ö
æ 1ö æ 1ö
æ 3ö æ 3ö
y ijk = y + ç ÷y ç ÷ + y + ç ÷y ç ÷ +y + ç - ÷y ç - ÷ + y + ç - ÷y ç - ÷
è2ø è2ø
è2ø è2ø
è 2ø è 2ø
è 2ø è 2ø

+
ijk

Đây chính là trường hợp tuyến 4 đồng vị các hạt baryon cộng hưởng

æ
3+
D ç spin
2
è

ö
÷.
ø

Trong trường hợp này ta cũng có thể tìm dạng tường minh của các ma
trận 4 ´ 4Ta trong công thức tổng quát (1.4) như sau:
Đặt:

13


æ 3ö
æ1ö
æ 1ö
æ 3 ö (1.15)
c1 º y ç ÷ , c 2 º y ç ÷ , c3 º y ç - ÷ , c 4 º y ç - ÷
è 2ø
è2ø
è 2ø
è 2ø
Hệ thức (1.13) cho ta:

[ I1 , c1 ] = -

3
3
i c2
c 2 , [ I 2 , c1 ] =
2
2

[ I1 , c 2 ] = -

3
3
i c1 + i c3 ,
i c1 , [ I 2 , c 2 ] = 2
2
(1.16)

3
[ I1 , c3 ] = - c 4 - c 2 ,
2
3
[ I 2 , c3 ] = i c 4 - i c 2 ,
2

[ I1 , c 4 ] = -

3
3
c3 , [ I 2 , c 4 ] = i c3 ,

2
2

Các hệ thức (1.14) và (1.16) viết gộp lại thành:

[ I a , ci ] = - (Ta( x ) )i

j

c j,

( x)

Với:

T1

æ
ç
ç
ç
ç
=ç
ç
ç
ç
ç
ç
è

0

3
2

0

3
2

0

1

0

1

0

0

0

3
2

14

ö

0 ÷
÷
÷
0 ÷
÷
3÷
÷
2 ÷
÷
0 ÷
ø


T2( x )

ổ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
=ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ố

T3( x )

-

0
3
i
2

0

0

i

0

0

ổ3
ỗ2
ỗ
ỗ0
ỗ
=ỗ
ỗ0
ỗ
ỗ
ỗ0
ố

ử

ữ
ữ
ữ
-i
0 ữ
ữ
3 ữ
0
iữ
2 ữ
ữ
3
i
0 ữ
2
ứ

3
i
2

0

0

0

1
2

0

0

-

0

1
2

0

0

ử
0 ữ
ữ
0 ữ
ữ
ữ
0 ữ
ữ
3ữ
- ữ
2ứ

(x)
Cú th th trc tip thy rng cỏc ma trn Ta tha món h thc giao

hoỏn:

ộTa( x ) , Tb( x ) ự = ie abcTc( x )
ở
ỷ
Cỏc ht tng tỏc mnh cũn c c trng bi siờu tớch Y, nh nhau
i vi cỏc ht trong cựng mt a tuyn ng v. in tớch, spin ng v v
siờu tớch tha món h thc Gell-Nishijima.

Q = I3 +

Y
2

(1.17)

+
trong ú in tớch Q tớnh theo n v in tớch ca positron e ( proton), Y

liờn h vi s baryon B v s l S bi h thc:
Y=B+S

15

(1.18)


ì1
ï
B = í-1

ï0
î

Baryon
Phản
baryon
Meson

Theo đó nucleon và K-meson có Y=1, S, p - meson, Ù,h - meson có
:

Y = 0, X, K - meson có Y=-1.

Một hệ vật lí có tính đối xứng đồng vị có nghĩa là Lagrangian mô tả hệ,
toán tử tán xạ S,…phải bất biến đối với các phép biến đổi SU ( 2 ) I , tức là:

L ' ( x ) = U (w ) L ( x ) U -1 (w ) = L ( x ) ,
S ' = U (w ) SU -1 (w ) = S ,

(1.19)

hay:
éë I a , L ( x ) ùû = 0
[ Ia , S ] = 0

(1.20)

Hãy xét một ví dụ cụ thể. Giả sử ta cần lập Lagrangian bất biến đồng vị mô tả
tương tác giữa nucleon và meson p . Dạng đơn giản nhất của Lint ( x ) thỏa mãn
(1.19), (1.20) là Lagrangian tương tác dạng Yukawa như sau:

_

Lint ( x ) = g åy ( x ) g 5t ay ( x ) F a ( x )

(1.21)

a

Biển thức (1.21) ta cần hiểu là viết dưới dạng ma trận đối với cả các chỉ số
spinor Dirac a , b ,... và các chỉ số spinor đồng vị i, j ,... của trường nucleon

y . Viết tường minh sẽ là:
Lint ( x ) = g å Y

ai

( x )(g 5 )a (t a )i
b

j

a

16

Yb j ( x) Fa ( x)

(1.22)

Khai triển (1.22) và thay vào đó:
F1 =

(

)

(

1
i
Fp + + Fp - , F 2 =
F + - Fp 2
2 p

)

Ta có:

Lint ( x ) = g

{

2 Y pg 5Y n Fp + + 2 Y ng 5Y p Fp - + Y pg 5 Y n Fp 0 - Y ng 5 Y n Fp 0

}

(1.23)
Từ đây suy ra hệ thức giữa các hằng số liên kết Yukawa NN p như sau:

G pnp + : Gnpp - : G ppp 0 : Gnnp 0 = 1:1:

1
1
:2
2

(1.24)

1.2. ĐỐI XỨNG SU(3)
Vào năm 1960 số hạt cơ bản phát hiện được đã tăng rất nhiều so với 30
năm trước đó, khi Heisenberg đề xuất ý tưởng về spin đồng vị. Mặt khác ,
những kết quả đẹp đẽ thu được từ lí thuyết đối xứng đồng vị SU(2) đã gợi ra ý
tưởng mở rộng nhóm đối xứng này, tức là tìm một nhóm đối xứng rộng hơn
có chứa SU(2) như một nhóm con. Lúc đó ta có thể kết hợp nhiều đa tuyến
đồng vị lại với nhau thành một đa tuyến lớn hơn thực hiện biểu diễn của nhóm
đối xứng mở rộng này. Sự tồn tại 8 hạt baryon spin

1+
quen thuộc lúc đó:
2

p, n, S + , S0 , S- , L, X0 , X Cũng như 8 hạt meson spin 0 - :

&& 0 , K
&& K + , K - ,p + ,p - ,p 0 , K
với khối lượng khác nhau không nhiều lắm gợi mở ý tưởng rằng tám baryon
này, cũng như 8 meson này tạo thành các tuyến tám của nhóm đối xứng mới.

17

Gell-Mann là người đầu tiên đề xướng ý tưởng mở rộng trên cở sở đối xứng
SU(3).
Nhóm các phép biến đổi SU(3) là nhóm các phép biến đổi Unita được
thực hiện bởi các toán tử U phụ thuộc 8 thông số và có dạng
8

i

å wa M a

U (w ) = e a=1
trong đó

wa

(1.25)

là các thông số thực, M a là các vi tử hermitic M a + = M a , tuân

theo các hệ thức giao hoán:

[ M a , M b ] = if abc M c

(1.26)

f abc là các hằng số cấu trúc của nhóm SU(3) hoàn toàn phản xứng theo các
chỉ số:

f abc = - fbca = - f cba = - f acb
và nhận các giá trị như sau:

1
1
f123 = 1, f 246 = , f 367 = - ,
2
2
1
1
3
f147 = , f 257 = , f 458 =
,
2
2
2
1
1
3
f156 = - , f345 = , f 678 =
,
2
2
2

(1.27)

Dưới tác dụng của phép biến đổi SU(3) các toán tử trường biến đổi theo
qui tắc tổng quát:
8

i

åwa M a

j ( x ) ® j ' ( x ) = e a=1

18

j ( x) e

-i

8

å wa M a
a =1

(1.28)


Cũng hoàn toàn tương tự như trường hợp SU(2), nếu có r hạt tương ứng với
các trường ji ( x ) , i = 1, 2,3,..., r biến đổi theo qui luật:
j

æ -i åwaTa ö
j ' ( x ) = ç e a=1 ÷ j j ( x )
ç
÷
è

øi
8

(1.29)

trong đó: Ta là các ma trận r ´ r tuân theo các hệ thức giao hoán:

[Ta , Tb ] = i f abcTc

(1.30)

thì ta nói rằng r hạt này thực hiện biểu diễn r chiều của nhóm biến đổi SU(3),
hoặc nói rằng chúng tạo thành một đa tuyến r.
Từ (1.28) và (1.29) suy ra:

[ M a , ji ] = - (Ta )i j j
j

(1.31)

Ví dụ đơn giản nhất là r = 1, Ta = 0 . Đó là trường hợp đơn tuyến SU(3), bất
biến

j ' = j , [ M a ,j ] = 0 .

Trường hợp r=3 được gọi là biểu diễn cơ sở. Lúc này Ta là các ma trận 3 ´ 3
có dạng:

Ta =

la
2

l a là các ma trận Gell-Mann:

19


æ0
l1 = çç 1
ç0
è
æ0
l4 = çç 0
ç1
è
æ0
l7 = çç 0
ç0
è

1 0ö
æ 0 -i
÷
ç
0 0 ÷ , l2 = ç i 0
ç0 0
0 0 ÷ø
è
0 1ö

æ0 0
÷
ç
0 0 ÷ , l5 = ç 0 0
çi 0
0 0 ÷ø
è
0 0ö
æ1
1 ç
÷
0 -i ÷ , l8 =
ç0
3
ç0
i 0 ÷ø
è

0ö
æ1
÷
ç
0 ÷ , l3 = ç 0
ç0
0 ÷ø
è
-i ö
æ0
÷
ç

0 ÷ , l6 = ç 0
ç0
0 ÷ø
è
0 0ö
÷
1 0 ÷,
0 -2 ÷ø

0
-1
0
0
0
1

0ö
÷
0÷,
0 ÷ø
0ö
÷
1÷,
0 ÷ø

(1.32)

Chú ý đến các tính chất sau đây của các ma trận la :

lb + = la ,

Tr la = 0,
Tr la lb = 2d ab ,

[ la , lb ] = 2i f abc lc ,
{la , lb } = 2d abc lc +

(1.33)

4
d ab
3

trong đó Tr (Trace ) là ký hiệu lấy vết mà trận, d abc là các hằng số hoàn toàn
đối xứng theo các chỉ số và nhận các giá trị khác 0 như sau:
1
1
1
1
, d 247 = - , d355 = , d 558 = ,
2
2
3
2 3
1
1
1
1
d146 = , d 256 = , d 366 = - , d 668 = ,
2
2

2
2 3
1
1
1
1
d157 = , d 338 =
, d177 = - , d 778 = ,
2
2
3
2 3
1
1
1
1
d 228 =
, d 344 = , d 448 = , d888 = ,
2
3
2 3
3
d118 =

Từ các công thức (1.9) ta suy ra rằng:

20

(1.34)

1
f abc = - Tr ( la lb lc - lb la lc )
4
1
d abc = Tr ( la lb lc + lb la lc )
4
Từ (1.26) và bảng giá trị

f abc

(1.35)

(1.27) ta thấy rằng ba vị tử M1 , M 2 , M 3 tạo

nên đại số con SU(2) và do đó được đồng nhất với các toán tử spin đồng vị
trước đây:

M a = I a , a = 1, 2,3.

(1.36)

Ngoài ra, ta thấy rằng M 8 giao hoán với tất cả M1 , M 2 , M 3 . Do đó có thể
đồng nhất ( tỷ lệ) với toán tử siêu tích Y. Để phù hợp với các giá trị Y đã có
trước đây của các hạt ta cần đặt:

M8 =

3
Y

2

(1.37)

Như vậy, hệ thức Gell-Mann-Nishijima (1.17) tương ứng với sự đồng nhất
toán tử điện tích:

Q = M3 +

1
M8
3

(1.38)

1.3. CÁC ĐA TUYẾN HADRON
Trong bài này chúng ta sẽ nói về cách sắp xếp các hadron, cụ thể là các
1+
3+
- baryon spin , các meson spin 0 ,1 và các baryon cộng hưởng spin
trong
2
2

các đa tuyến SU(3).
1.3.1. Đa tuyến tám baryon

1+
2

Đó là đa tuyến gồm các hạt:

p, n, S+ , S0 , S- , L, X 0 , X 21


Thực hiện biểu diễn tám tương ứng với các trường biến đổi theo qui luật
( 1.29) và (1.31) với:

(Ta )b = -i f abc
c

Tức là:

[ M a ,y b ] = i f abcy c

(1.39)

Để thống nhất các thành phần y a với các trường hợp trong đa tuyến, ta sử
dụng các công thức (1.27) và (1.28), chú ý rằng với trường y B mang điện
tích qB và siêu tích YB thì:

[Q,y B ] = -qBy B , [Y ,y B ] = -YBy B ,
Ngoài ra, để phân biệt các hạt S 0 và L ( có cùng điện tích và siêu tích bằng 0)
ta sử dụng thêm hệ thức:

[ M a ,y L ] = 0, a = 1, 2, 3
Đối với các đơn tuyến đồng vị L ( I = 0 ) . Kết quả là:

22

1
(y 4 - iy 5 ) ,
2
1
yn =
(y 6 - iy 7 ) ,
2
1
y S+ =
(y 1 - iy 2 ) ,
2
y S0 = y 3 ,

yp =

1
(y 1 - iy 2 ) ,
2
y L =y 8,

y S- =

(1.40)

1
(y 6 + iy 7 ) ,
2
1
=

(y 4 + iy 5 ) ,
2

y X0 =
y XChúng ta có hệ thức:
8

åy y
a =1

+
a

a

= y p+y n +y n+y n + ... +y X+-y X-

(1.41)

Nếu đưa vào ma trận 3 ´ 3 Y định nghĩa bởi:

1 8
Y=
å lay a
2 a =1

(1.42)

Thì các biểu thức (1.40) tương tứng với Y có dạng:
1

æ 1
y S0 + y L
ç
6
ç 2
ç
Y =ç
y Sç
ç
-y Sç
è

y S+
-

1
1
y S0 + y L
2
6

y S0

Chú ý rằng:

23

ö
÷
÷

÷
yn ÷
÷
2
÷
yL ÷
6
ø

yp

(1.43)


8

Tr Y = 0; Tr Y Y = åy a+y a
+

a =1

(1.44)

Từ (1.42) suy ra:

ya =

1
Tr ( la Y )
2

(1.45)

1
i
lb [ M a , Y b ] =
å
å f abc lb Y c
2 b
2 b ,c
1
1
=
[ lc , la ]y c = - [ la , Y ]
å
2
2 2 c

[M a , Y] =

(1.46)

Từ (1.46) suy ra công thức biến đổi của Y :

Y ® Y'= e
=e

i

å wa M a

Ye

a

-i

-i

l

åwa 2a

Ye

a

å wa M a
a

i

å wa
a

la
2

(1.47)
+

+

Y ®Y '=e
=e

-i

i

å wa M a
a

å wa
a

la
2

+

Y e

Y +e

i

-i

å wa M a

a

å wa
a

la
2

Và từ đó suy ra:

Tr Y + ' Y ' = Tr Y + Y

(1.48)

1.3.2. Đa tuyến tám meson 0 .

Đó là các đa tuyến gồm các hạt:

K + , K - , p + , p - , p 0 , K&& 0 , K&& Thực hiện biểu diễn tám tương ứng với các trường biến đổi giống như tuyến
tám baryon

1+
. Tương tự như (1.40) ta có:
2

24


1
( F 4 - iF 5 ) ,

2
1
Fn =
( F 6 - iF 7 ) ,
2
1
F S+ =
( F1 - iF 2 ) ,
2
F S0 = F 3 ,
Fp =

1
( F1 - iF 2 ) ,
2
F L = F8 ,
F S- =

(1.49)

1
( F 6 + iF 7 ) ,
2
1
=
( F 4 + iF5 ) ,
2

F X0 =
F X-

1 8
F=
å la Fa
2 a =1

1
æ 1
F
+
FL
0
ç
S
2
6
ç
ç
F =ç
F Sç
ç
-F Sç
è

F S+
-

ö
÷
÷

÷
Fn ÷
÷
2
÷
FL ÷
6
ø
Fp

1
1
F S0 +
FL
2
6
F S0

1
2

[ M a , F ] = - [la , F ]
1.3.3. Đa tuyến tám meson 1- .
Đó là đa tuyến gồm các hạt:
:
*+

:
*-

K , K , r , r , r , F, K , K
*+

*0

+

0

-

Hoàn toàn tương tự như đa tuyến tám meson 0 - .

25