Biểu diễn dao động tử của toán tử năng lượng và phổ năng lượng của chúng (LV01151)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐÀO THỊ THANH DUNG

BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ
CỦA TOÁN TỬ NĂNG LƯỢNG VÀ PHỔ
NĂNG LƯỢNG CỦA CHÚNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

HÀ NỘI, 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐÀO THỊ THANH DUNG

BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ
CỦA TOÁN TỬ NĂNG LƯỢNG VÀ PHỔ
NĂNG LƯỢNG CỦA CHÚNG
Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết và Vật lí toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: GS- TSKH ĐÀO VỌNG ĐỨC

HÀ NỘI, 2013

Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới GS- TSKH Đào
Vọng Đức về sự quan tâm chỉ bảo, tận tình hướng dẫn của thầy trong suốt quá
trình học tập, chính sự quan tâm và tận tình chỉ bảo của thầy đã tạo động lực
và cho em có thêm niềm tin, sự cố gắng để thực hiện luận văn này.
Em xin trân trọng cảm ơn Phòng Sau đại học và Ban Chủ nhiệm khoa,
các thầy giáo, cô giáo khoa Vật Lí- Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã
quan tâm, tạo điều kiện và tận tình giảng dạy, chỉ bảo em trong suốt quá trình
học tập và hoàn thành luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp
đã luôn sát cánh bên tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn
thành luận văn./.
Hà Nội, tháng 9 năm 2013
TÁC GIẢ

Đào Thị Thanh Dung


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này
là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan
rằng các thông tin trích dẫn và sự giúp đỡ trong luận văn đã được chỉ rõ
nguồn gốc.

TÁC GIẢ

Đào Thị Thanh Dung

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mục lục
MỞ ĐẦU

1

NỘI DUNG

3

Chương 1. HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ

3

1.1. Dao động tử boson

3

1.2. Dao động tử boson biến dạng q

4

1.3. Dao động tử biến dạng (q- R)

6

1.4. Dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử cùng loại
)
1.5. Dao động tử biến dạng g

9
10

Chương 2. BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA TOÁN TỬ NĂNG LƯỢNG

17

2.1. Biểu diễn dao động tử của toán tử năng lượng của dao động tử
boson
2.2. Biểu diễn dao động tử của toán tử năng lượng của dao động tử
boson biến dạng q
2.3. Biểu diễn dao động tử của toán tử năng lượng của dao động biến
dạng (q- R)
2.4. Biểu diễn dao động tử của toán tử năng lượng của dao động mạng
tinh thể cho chuỗi nguyên tử cùng loại
2.5. Biểu diễn dao động tử của toán tử năng lượng của dao động mạng
tinh thể biến dạng (q- R) cho chuỗi nguyên tử cùng loại
2.6. Biểu diễn dao động tử của toán tử năng lượng của dao động biến
)
dạng g

17

18

20

21

31

33


Chương 3. PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ

35

3.1. Phổ năng lượng của dao động tử boson

35

3.2. Phổ năng lượng của dao động tử boson biến dạng q

36

3.3. Phổ năng lượng của dao động biến dạng (q- R)

37

3.4. Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử
cùng loại
3.5. Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng (q- R) cho
chuỗi nguyên tử cùng loại

39

42

)
3.6. Phổ năng lượng của dao động tử biến dạng g

45

KẾT LUẬN

46

TÀI LIỆU THAM KHẢO

47

PHỤ LỤC

48


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong lịch sử vật lí, chúng ta nhận thấy rằng các nhà vật lí đã nhiều lần
biến dạng các thuật toán để mô tả các quy luật vật lí; lý thuyết mới là tổng
quát hơn và chứa lý thuyết ban đầu, lý thuyết ban đầu là một trường hợp giới

hạn khi tham số biến dạng tiến đến một giá trị nhất định.
Trong thời gian gần đây, các nhà khoa học đã quan tâm nghiên cứu về
các dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát, các kết quả thu được có nhiều
điểm mới mẻ, với hy vọng gần thực nghiệm hơn so với các kết quả nghiên
cứu dao động tử điều hòa thông thường.
Sự biến dạng q của một hệ vật lí thông qua dao động tử điều hoà biến
dạng q là nhỏ ở vùng năng lượng bình thường nhưng trở nên đáng kể ở vùng
năng lượng Planck, do đó việc nghiên cứu biến dạng q trở thành quan trọng
đối với lý thuyết trường.
Trong nghiên cứu về dao động tử, việc biểu diễn qua dao động tử đưa
các bài toán từ các phép tích phân thành các phép tính đại số, đưa đến việc
giải các bài toán vi mô đơn giản hơn; việc đưa ra biểu diễn dao động tử lượng
tử của toán tử năng lượng giúp việc tìm được phổ năng lượng của các dao
động tử lượng tử dễ dàng và hy vọng sẽ đem đến kết quả gần thực tế hơn khi
chưa biến dạng.
Chính vì vậy, chúng tôi chọn đề tài "BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ
CỦA TOÁN TỬ NĂNG LƯỢNG VÀ PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA
CHÚNG".
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu toán tử năng lượng của hệ hạt vi mô và đưa ra biểu diễn
dao động tử của toán tử năng lượng rồi giải các phương trình hàm riêng, trị
riêng để tìm phổ năng lượng của các dao động tử lượng tử.


2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Biểu diễn dao động tử của toán tử năng lượng và tìm phổ năng lượng
của các dao động tử boson; boson biến dạng q; dao động biến dạng (q- R);
dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử cùng loại và dao động biến dạng

)
g.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu các dao động tử điều hòa biến dạng.
- Nghiên cứu toán tử năng lượng của các hệ hạt vi mô.
- Nghiên cứu biểu diễn dao động tử của toán tử năng lượng và tìm phổ
năng lượng.
5. Giả thuyết khoa học (những đóng góp mới của đề tài)
Đề tài biểu diễn dao động tử của toán tử năng lượng của một số dao
động tử biến dạng và tìm được phổ năng lượng của dao động tử tương ứng;
hy vọng rằng sẽ thu được các kết quả gần với thực nghiệm hơn với các kết
quả khi chưa biến dạng.
6. Phương pháp nghiên cứu
Dùng phương pháp nghiên cứu của lý thuyết trường lượng tử; phương
pháp nghiên cứu về nhóm lượng tử và các dao động tử lượng tử.


3

NỘI DUNG
CHƯƠNG I
HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả nghiên cứu cơ
bản về một số dao động tử lượng tử. Những kết quả nghiên cứu này được áp
dụng vào việc đưa ra biểu diễn dao động tử lượng tử của các toán tử năng
lượng và xác định phổ năng lượng của các dao động tử lượng tử.
1.1. Dao động tử boson
Với các toán tử hermitic liên hợp a, a + , dao động tử boson đơn mode
được đặc trưng bởi hệ thức giao hoán:
éë a, a + ùû = aa + - a + a = 1

(1.1)

Toán tử số dao động N được xác định bởi hệ thức:
N = a+a

(1.2)

Từ (1.1) và (1.2), chúng ta có hệ thức giao hoán:
éë N , a + ùû = éë a + a, a + ùû
= a + éë a, a + ùû + éë a + , a + ùû a

= a+

(1.3)

[ N , a ] = éëa a, a ùû
+

= a + [ a, a ] + éë a + , a ùû a
= - éë a, a + ùû a
= -a

(1.4)

Xét trong không gian Fock, trạng thái chân không 0 được định nghĩa
là trạng thái có số hạt bằng 0, thỏa mãn điều kiện:
a 0 =0

(1.5)

4

Gọi n là cơ sở các véctơ riêng của toán tử số dao động N, xác định
trạng thái số hạt n có thể thực hiện trong không gian Fock, được xác định:

(a )
=
+

n

n

n!

0 , n = 0,1, 2...

(1.6)

trong đó, toán tử số N thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng:
N n =n n

(1.7)

Các phương trình (1.3), (1.4) ngụ ý rằng các toán tử a + , a là các toán tử
sinh, hủy dao động:
a n = n n -1

(1.8)

a+ n = n + 1 n + 1

(1.9)

1.2. Dao động tử boson biến dạng q
Dao động tử boson biến dạng q được định nghĩa thông qua hệ thức
giao hoán:
aa + - qa + a = q - N

(1.10)

trong đó: q Î C là thông số biến dạng; a + , a, N là toán tử sinh, hủy và toán tử
số dao động thỏa mãn hệ thức (1.3) và (1.4).
Toán tử số dao động N thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng:
N n q =n n

q

(1.11)

Trong không gian Fock, véctơ trạng thái riêng của toán tử số N được
xác định theo công thức:

(a )
+

nq=

n

[ n ]q !

0 , n = 0,1,2...

với [ n ]q ! = [ n ]q [ n - 1]q [ n - 2]q ...[1]q ; [ 0]q = 1;[ n ]q = Fq ( n )
Ở đây chúng ta sử dụng kí hiệu:

(1.12)


5

[ n]q =

qn - q-n
q - q -1

(1.13)

và ký hiệu [ n ] là một hàm số của n.
Sau đây, chúng ta tác dụng a + a và aa + lên véctơ trạng thái riêng
n q như sau:

(a )
=a a
+

+

aan

+

q

n

[ n] !

0

q

Chúng ta có:
a ( a + ) 0 = ( qa + a + q - N )( a + )
n

{
= {q
= {q

n -1

0

}0

= q- N ( a+ )

n -1

+ qa + a ( a + )

-N

(a )

n -1

+ qa + ( qa + a + q - N )( a + )

-N

(a )

n -1

+ q - N +2 ( a + )

+

+

n -1

n -1

n-2

}0

+ q2 ( a+ ) a ( a+ )
2

n-2

}0

................................

{

= ( q - N + q - N + 2 + ... + q - N + 2 n -2 )( a + )

n -1

}

+ qn ( a+ ) a 0
n

Dẫn tới:

{

}

a + a ( a + ) 0 = ( q - N +1 + q - N +3 + ... + q - N + 2 n -1 )( a + ) + q n ( a + ) a 0

n

n

n +1

Suy ra:

a+ a n

q

(q
{
=

- N +1

}0

+ q - N +3 + ... + q - N + 2 n-1 )( a + ) + q n ( a + ) a
n

[ n] !

n +1

q

= ( q - n +1 + q - n +3 + ... + q n -1 ) n

=

q -q
n
q - q -1
n

= [ n ]q n

q

-n

q

q

(1.14)


6

Biến đổi tương tự, chúng ta được:

(a )
+

+

aa n

q

= aa

+

n

0

[n]

!
q

= ( qa + a + q - N )

(a )
= qa a

(a )
+

n

[ n ]q !

+ n

+

0

(a )

+ n

[ n] !

0 + q- N

q

[ n] !

0

q

= qa+a n q + q- N n q
qn - q-n
=q
n q + q-n n q
-1
q -q
qn+1 - q-n+1 + q-n+1 - q-n-1
=
nq
q - q-1

qn+1 - q-n-1
=
nq
q - q-1
= [ n + 1]q n

(1.15)

q

Tóm lại, tác dụng a + a và aa + lên trạng thái riêng n q chúng ta thu
được kết quả:
a + a n q = [ n ]q n

(1.16a)

q

aa + n q = [ n + 1]q n

q

(1.16b)

1.3- Dao động tử biến dạng (q- R)
Trong dao động tử biến dạng (q- R), đại số Heiseinberg được tổng quát
từ đại số biến dạng q và đại số biến dạng R. Đại số biến dạng (q- R) được
định nghĩa thông qua các hệ thức:
aa + - qa + a = q - N + n R

(1.17)

R2 = 1

(1.18)


7

Ra + + a + R = 0

(1.19)

Ra + aR = 0

trong đó: + a + , a là các toán tử sinh hủy;
+ R là toán tử phản xạ;
+ n , q là các thông số biến dạng thực.
Các toán tử phản xạ R và toán tử số hạt N thỏa mãn các hệ thức sau:
ìR = R+
ïï
í[ N , a ] = -a
ï
+
+
ïî éë N , a ùû = a

(1.20)

Véctơ trạng thái cơ sở trong không gian Fock n được xác định:

n = Cn ( a + ) 0
n

(1.21)

với Cn là hệ số chuẩn hóa và véctơ trạng thái chân không 0 thỏa mãn
các điều kiện sau:
a 0 =0
N 0 =0

(1.22)

R0 = 0
0 0 =1

Từ đó, chúng ta viết được:
a + a n = Cn a + a ( a + ) 0 = [ n ]qn n
n

[ n]qn

với:

q n - ( -1)
= [ n ]q +
n
q +1

(1.23)

n

(1.24)

và [ n ]q được xác định bởi (1.13).
Bằng việc sử dụng hệ thức phản giao hoán của dao động tử fermion,
chúng ta thu được hệ thức:


8

é a, ( a + ) n ù 0 = a ( a + ) n 0
êë
úû
n
é
ù
q n - (1)
+ n -1
+ n -1
= ê[ n ]q ( a ) +
n (a ) Rú 0
q +1
êë
úû

(1.25)

Với r = 1, v ® -1 không gian biểu diễn đại số biến dạng (q- R) là vô
hạn và được xây dựng từ các véctơ đã chuẩn hóa:

(a )

+ n

n =

[ n]qn !

(1.26)

0

n n¢ = d n ,n¢

(1.27)

Tác dụng toán tử số hạt N lên véctơ trạng thái n chúng ta được:

(a )

+ n

N n =N

=N
=

[ n]qn !

a + ( a+ )

0

n-1

[ n]qn !

1

[ n]qn !

(a

+

0
+ a+ N )( a+ )

n-1

0

=

é( a+ )n 0 + a+ ( a+ + a+ N )( a+ )n-2 0 ù
úû
[ n]qn ! ëê

=

é 2 ( a + ) n 0 + ( a + ) 2 N ( a + ) n -2 0 ù
úû
[ n]qn ! êë

1

1

= ...................
n
1
=
n ( a+ ) 0 = n n
[ n]qn !
Như vậy, chúng ta viết được:


9

N n =n n

(1.28)

Trong không gian Fock, với dao động tử biến dạng (q- R), chúng ta có:
R = ( -1)

N

(1.29)

a + a = [ N ]qn

(1.30)

aa + = [ N + 1]qn

(1.31)

Những kết quả thu được trên đây sẽ được áp dụng để biểu diễn
Hamiltonian trong chương tiếp theo.
1.4. Dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử cùng loại
Xét các nguyên tử có cùng khối lượng M, chuỗi các nguyên tử cùng
loại cách đều nhau, được xếp trên trục Ox và cách nhau một khoảng bằng a
(gọi là hằng số mạng tinh thể); các nguyên tử dao động quanh vị trí cân bằng
của nó.
Coi gốc tọa độ O trùng với vị trí cân bằng của một nguyên tử nhất định,
vị trí cân bằng của nguyên tử thứ nhất cách gốc tọa độ O một khoảng x1 = a .
Xét nguyên tử thứ n, vị trí cân bằng của

n-1

n

n+1

nguyên tử có tọa độ xn = na (hình 1.1).
Chúng ta dễ nhận thấy độ dịch

x

O

xn-1

chuyển của nguyên tử thứ n là một hàm

xn
a

un ( t ) của tọa độ theo thời gian và được

na

biểu diễn bởi phương trình:

(Hình 1.1)
un ( t ) = u ( xn , t )

xn+1
a

(1.32)

Tương tự, độ dịch chuyển của nguyên tử thứ ( n + 1) theo thời gian
được biểu diễn:
un+1 ( t ) = u ( xn+1 , t )

(1.33)

từ đó suy ra độ dời tương đối của nguyên tử thứ n và nguyên tử thứ ( n + 1)

10

được xác định:
un+1 ( t ) - un ( t )

(1.34)

Khi bỏ qua tương tác giữa các nút không kề nhau và giả thiết thế năng
giữa hai nguyên tử kề nhau tỷ lệ với bình phương độ dời tương đối thì chúng
ta có thể xác định thế năng toàn phần (U) của hệ như sau:
U=

2
a
éëun+1 ( t ) - un ( t ) ùû
å
2 n

(1.35)

trong đó a là hệ số tỷ lệ.
Động năng toàn phần (T) của hệ được xác định:
M
T=
2

é du ( t ) ù
ån ê dtn ú

ë
û

2

(1.36)

Xung lượng pn ( t ) của nguyên tử thứ n:
pn ( t ) = M

dun ( t )
dt

(1.37)

suy ra chúng ta có thể biểu diễn động năng toàn phần (T) của hệ qua xung
lượng như sau:
T=

1
2M

å p (t )
2

n

(1.38)

n

Từ đó, chúng ta có thể xác định được năng lượng toàn phần (E) của hệ
bằng tổng động năng (T) và thế năng (U):
E = T +U =

1
2M

å p 2n ( t ) +
n

2
a
u
t
u
t
é
ù
(
)
(
)
å n+1
n
û
2 n ë

(1.39)

Đây là biểu thức rất quan trọng để khi lượng tử hóa, chúng ta xác định
toán tử Hamiltonian và phổ năng lượng của hệ dao động mạng tinh thể biến
dạng.

)
1.5. Dao động lượng tử biến dạng g

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm về dao động tử điều hòa


11

)
)
biến dạng g , chỉ rõ ưu thế của lý thuyết biến dạng g (thông số là toán tử) so

với lý thuyết biến dạng q (thông số biến dạng là c- số); tính các hệ thức giao
)
hoán của lý thuyết biến dạng g .
Khi nghiên cứu về dao động tử biến dạng q của các hệ boson và
fermion đa mode, các nhà khoa học đã đưa ra và nghiên cứu một hệ thức biến
dạng khác, gọi là đại số quon, được định nghĩa bởi hệ thức giao hoán:
ai a +j - qa +j ai = d ij

(1.40)

Hệ thức này được xem như một phép nội suy giữa dao động boson và
fermion khi thông số biến dạng q chạy từ +1 đến -1 trên trục thực, cụ thể:
+ Khi q = 1 , thay vào (1.40), chúng ta được hệ thức giao hoán, trở về
dao động boson:

ai a +j - a +j ai = d ij

(1.41)

+ Khi q = -1 , thay vào (1.40), chúng ta được hệ thức phản giao hoán,
trở về dao động fermion:
ai a +j + a +j ai = d ij

(1.42)

Trong khi đó, với trường hợp đại số quon thì không có một quy luật
giao hoán nào có thể áp đặt với các toán tử ai , a j và ai+ , a +j của các mode khác
nhau. Cụ thể là:
ai a j - a j ai = 0
ai+ a +j - a +j ai+ = 0

hoặc

chỉ được thỏa mãn khi q 2 = 1 Û q = 1 hoặc q = -1 , nghĩa là trở về dạng dao
động boson hay fermion thông thường.
Giả sử chúng ta đưa ra một thông số biến dạng b thì hệ thức giao hoán
quon (1.40) trở thành:


12

ai a +j - b a +j ai = 0

(1.43)

khi đó véctơ trạng thái s như sau sẽ bằng 0:

với lưu ý rằng:

s = ( ai+ a +j - b a +j ai+ ) 0 = 0

(1.44)

ai 0 = 0, a j 0 = 0

(1.45)

Chúng ta tác dụng toán tử ai lên véctơ trạng thái s và lưu ý đến hệ
thức giao hoán (1.40), chúng ta được:
ai s = ( ai ai+ a +j - b ai a +j ai+ ) 0

= éë(1 + qai+ai ) a+j - b ( qa+j ai ) ai+ ùû 0
= ( a+j + qai+ai a+j - b qa+j ai ai+ ) 0

= éëa+j + qai+ ( qa+j ai ) - b qa+j (1 + qai+ai ) ùû 0
= (1 - b q ) ai+ 0

(1.46)

Sử dụng (1.43) và (1.44), từ (1.46) chúng ta suy ra:

(1 - b q ) = 0

(1.47)

Tương tự, đem toán tử a j lên véctơ trạng thái s :
a j s = ( a j ai+ a +j - b a j a +j ai+ ) 0

= ( qai+a j ) a+j - b (1 + qa+j a j ) ai+ 0

= qai+ (1 + qa+j a j ) - b ai+ - b qa+j ( qai+a j ) 0
= qai+ - b ai+ + q2ai+a+j a j - b q2a+j ai+a j 0
= qai+ - b ai+ + q2b a+j ai+a j - b q2a+j ai+a j 0
= ( q - b ) ai+ 0

(1.48)

Sử dụng (1.43) và (1.44), từ (1.48) chúng ta suy ra:

(q - b ) = 0

(1.49)


13

Hai phương trình (1.47) và (1.49) chỉ thỏa mãn khi:
q 2 = 1 Û q = ±1

(1.50)

tức là các hệ thức giao hoán giữa ai , a j (hoặc ai+ , a +j ) chỉ là giao hoán tử
thông thường (không thể là giao hoán tử "kiểu q").
Để vượt qua khó khăn này, các nhà khoa học đã đề xuất thay thông số
)

biến dạng q (dưới dạng c- số) bằng thông số biến dạng là toán tử g ; nghĩa là
)
b = g , đồng thời từ (1.43) chúng ta có:
)
g2 =1

)
song điều này không yêu cầu g = ±1 .

(1.51)

)
Như vậy, chúng ta đã bước đầu thấy được việc sử dụng biến dạng g

có tính ưu việt hơn biến dạng q, khi nghiên cứu và áp dụng cho lý thuyết
lượng tử.

)
Tiếp theo đây, chúng ta sẽ trình bày về thống kê g - biến dạng hạt guon

và tính một số hệ thức giao hoán, xuất phát từ các hệ thức giao hoán sau:

)
ai a +j - ga +j ai = d ij

(1.52)

)
ai a +j - a +j ai g + = d ij

(1.53)

)
Lấy liên hợp hermit của toán tử g trong (1.52), chúng ta được:

Do i, j là bất kỳ nên chúng ta có:

)
)
ai+ a j g + = gai+ a j

(1.54)

)
) )
Giả sử toán tử g là hermit: g = g + , thay vào (1.54) chúng ta được:

) )
ai+ a j g = gai+ a j
) )
Û ai+ a j g - gai+ a j = 0

)
Û éë g , ai+ a j ùû = 0

(1.55)


14

Do i, j là bất kỳ nên tương tự, chúng ta thu được hai khả năng, đó là hệ
thức giao hoán và phản giao hoán sau:

hoặc:

[ g) , ai ] = éë g) , ai+ ùû = 0

(1.56)

{ g) , ai } = { g) , ai+ } = 0

(1.57)

)
Ký hiệu g - giao hoán tử thông qua hệ thức giao hoán sau:
)
[ A, B ]g = AB - gBA

(1.58)

)
khi đó, g - thống kê được định nghĩa thông qua các hệ thức giao hoán:

éë ai , a +j ùû = d ij
g

(1.59)

éë ai+ , a +j ùû = 0
g

(1.60)

) )
)
g = g+, g2 =1

(1.61)

)
Trong đó, lưu ý rằng toán tử g là hermit và unitary:

)
và g giao hoán (hoặc phản giao hoán) với các toán tử ai , ai+ theo hệ thức

(1.56) (hoặc (1.57)).
Đặt: N i = ai+ ai , sau đây chúng ta tiến hành tính hệ thức giao hoán của
N i với các toán tử hủy, sinh dao động a j , a +j :

éë N i , a j ùû = éë ai+ ai , a j ùû

= ai+ ai a j - a j ai+ ai
)
)
= ai+ ga j ai - (dij + gai+ a j ) ai
)
)
= gai+ a j ai - dijai + gai+ a j ai
= -d ijai

(1.62)

Bằng phép tính tương tự, chúng ta dễ dàng có:
éë N i , a +j ùû = d ija +j

(1.63)


15

Trường hợp i = j , thay vào (1.62) và (1.63), chúng ta được:

[ N i ]g

[ Ni , ai ] = -ai

(1.64)

éë N i , ai+ ùû = ai+

(1.65)

Từ các phương trình (1.62), (1.63), (1.64) và (1.65) cho thấy toán tử
)
= ai+ ai chính là toán tử số dao động của dao động tử g - biến dạng mode

)
i (ghi chữ g để hiểu toán tử số của dao động tử g - biến dạng); khi i = j thì

toán tử N i , ai+ , ai trở về dạng của dao động tử boson đơn mode thông thường.

Gọi n là véctơ trạng thái riêng của toán tử số N ứng với trị riêng n, có
nghĩa là N n = n n thì:

(a )

+ n

n =

[ n ]g !

0

(1.66)

trong đó, 0 là trạng thái chân không thỏa mãn điều kiện:
a 0 =0

(1.67)

0 0 =1

Từ (1.53), (1.56), (1.61), (1.66) có thể tính được:
a+ n =

[ n + 1]

an =

[ n ]g n - 1

g

n +1

(1.68)

Tác dụng a + a và aa + lên trạng thái riêng n chúng ta thu được:
a + a n = [ n ]g n
aa + n = [ n + 1]g n

(1.69)

)
Do vậy, đối với dao động tử biến dạng g , các hệ thức giao hoán giữa
)
các toán tử a và a+, a và a, a+ và a+ thống nhất kiểu g , còn toán tử
N i = ai+ ai là toán tử số chân thực. Trong lý thuyết biến dạng c- số thì tính


16

)
nhân quả chỉ có khi q = ±1 , nhưng trong lý thuyết biến dạng g thì tính nhân

quả vi mô luôn được thỏa mãn do có sự thống nhất giữa lý thuyết trường
)
biến dạng g và lý thuyết không biến dạng. Sự tương thích này đưa đến một
hướng khả thi hơn để xây dựng lý thuyết trường lượng tử của các hạt với
thống kê trung gian.

Tóm lại, trong Chương I chúng ta đã trình bày về hình thức luận của
các dao động tử boson; dao động tử boson biến dạng q; dao động tử biến dạng
(q- R); dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử cùng loại và dao động
)
biến dạng g . Chúng ta đã xác định được các hệ thức giao hoán thông thường
và hệ thức giao hoán biến dạng của các dao động tử tương ứng; xác định được
biểu thức tính năng lượng toàn phần của dao động mạng tinh thể biến dạng...,
)
đồng thời giới thiệu tính ưu việt của dao động tử biến dạng g , tính nhân quả
vi mô luôn được thỏa mãn và hy vọng mang lại nhiều áp dụng cho xây dựng
lý thuyết trường lượng tử.
Những kết quả thu được là cơ sở để đưa ra biểu diễn dao động tử
lượng tử của toán tử năng lượng của các hệ dao động lượng tử trong chương
tiếp theo.


17

CHNG II
BIU DIN DAO NG T TON T NNG LNG
Trong chng ny, chỳng ta tin hnh biu din dao ng t toỏn t
nng lng ca cỏc loi dao ng c trỡnh by Chng I. Vic biu din
c toỏn t Hamiltonian l iu rt qua trng, qua ú thit lp c cỏc
phng trỡnh hm riờng, tr riờng xỏc nh ph nng lng ca cỏc dao
ng t tng ng s c tớnh toỏn v trỡnh by trong chng tip theo.
2.1. Biu din dao ng t toỏn t nng lng ca dao ng boson
i vi dao ng t boson, cỏc toỏn t ta q v toỏn t xung lng
p cú th biu din qua toỏn t sinh, hy a + , a nh sau:
ổ h ử
q=ỗ

ữ
ố 2mw ứ

1

ổ hmw ử
p = -i ỗ
ữ
ố 2 ứ

2

1

(a
2

+ a)

(2.1)

(a - a )

(2.2)

+

+

trong ú m, w ln lt l khi lng v tn s gúc ca cỏc dao ng t.

Tip theo, chỳng ta xỏc nh h thc giao hoỏn gia toỏn t ta q v
toỏn t xung lng p nh sau:
1
ộ ổ hmw ử 12
ự
ổ h ử 2 +
+
a
a
,
a
+
a
ỳ
[ p, q ] = ờ -i ỗ
(
)
(
)
ữ
ỗ
ữ
ố 2mw ứ
ờở ố 2 ứ
ỳỷ

ih
ộ( a - a + ) , ( a + + a ) ự
ỷ
2ở

ih
= - ộở( a + + a )( a + - a ) - ( a + - a )( a + + a ) ựỷ
2
=-

= -ih ộở aa + - a + a ựỷ
= -ih ộở a, a + ựỷ
= -ih


18

(do ộở a, a + ựỷ = ( aa + - a + a ) = 1)

[ p, q ] = -ih

Nh vy:

(2.3)

Biu din ca toỏn t nng lng qua toỏn t ta q v toỏn t xung
lng p nh sau:
p 2 mw 2 2
H=
+
q
2m
2

(2.4)

Thay (2.1) v (2.2) vo biu thc ca toỏn t Hamiltonian trờn õy,
chỳng ta c:
2
2
ổ hw ử +
ổ hw ử +
H = -ỗ
ữ( a - a) + ỗ
ữ(a + a)
ố 4 ứ
ố 4 ứ

2
2
hw ộ +
+
ự
a
+
a
a
a
(
)
(
)
ờ
ở
ỷỳ

4
2
hw
2
= ộ ( a+ ) + a+a + aa+ + a2 - ( +a) - a+a - aa+ + a2 ự
ỷỳ
4 ởờ
hw
= ộởa+a + aa+ ựỷ
2
hw
= ộở2a+a + ( aa+ - a+a) ựỷ
2

=

)(

(

=

hw
ộ 2a + a + ộ a, a + ự ự
ở
ỷỷ
2 ở

)

(2.5)

Thay (1.1) v (1.2) vo (2.5), chỳng ta c:
H=

hw
1
[ 2 N + 1] = hw ổỗ N + ửữ
2
2ứ
ố

(2.6)

Phng trỡnh (2.6) chớnh l biu din dao ng t ca toỏn t nng
lng ca dao ng t boson.
2.2. Biu din dao ng t toỏn t nng lng ca dao ng boson
bin dng q
Vic biu din toỏn t nng lng ca dao ng t boson bin dng q


19

cng c tin hnh tng t nh vi dao ng t boson, tuy nhiờn h thc
giao hoỏn ca h boson bin dng q l tng quỏt hn v ph thuc vo thụng
s bin dng q nờn kt qu s cú nhng thay i so vi dao ng t boson
thụng thng.
Trc ht, biu din toỏn t sinh, hy a + , a qua toỏn t ta q v
xung lng p qua cụng thc:

hay:

ỡ +
mw ổ
i ử
pữ
ùa =
ỗq +
2h ố
mw ứ
ù
ớ
ùa = mw ổ q - i p ử
ỗ
ữ
ùợ
2h ố
mw ứ

(2.7)

ỡ
h
a + a+ )
(
ùq =
ù
2mw
ớ
ù p = -i mwh a - a +

(
)
ùợ
2

(2.8)

Thay (2.7) vo biu thc Hamiltonian:
p 2 mw 2 2
H=
+
q
2m
2

Bin i tng t nh trong mc (2.1), chỳng ta d dng thu c biu
thc liờn h gia toỏn t Hamiltonian:
H=

hw
ộở aa + + a + a ựỷ
2

(2.9a)

Trong dao ng t boson bin dng q, khi tỏc dng aa + v a + a lờn cỏc
vộct trng thỏi riờng thỡ kt qu c xỏc nh theo (1.15):

a+a n q =[ n]q n q
aa + n q = [ n + 1]q n

q

Do vy, chỳng ta d nhn thy biu din Hamiltonian ca dao ng t