Chương 4 dầm trên nền đàn hồi

Chương IX

Dầm trên nền đàn hồi

Nội dung
9.1. Khái niệm và các giả thiết.
9.2. Phương trình vi phân đường đàn hồi của
dầm trên nền đàn hồi.
9.3. Tính dầm dài vô hạn
9.4. Dầm dài hữu hạn


Chương VI

Dầm trên nền đàn hồi

9.1. Khái niệm và các giả thiết.
9.2.1. Khái niệm
Dầm đàn hồi: dầm đặt trên một môi trường hoặc một vật thể đàn hồi
khác
Ví dụ: dầm móng đặt trên nền đất, phà chuyển tải nằm trên mặt nước,…
Mô hình của Winkler: quan niệm nền là một hệ vô số các lòxo (các lò xo
này không liên kết với nhau)
Ví dụ: xét một dầm thẳng đặt trên một nền đàn hồi nào đó có các ngoại
lực tác dụng lên dầm thì các lò xo sẽ xuất hiện những phản lực tỷ lệ với
độ võng của dầm.

Dầm đặt trên nền đàn hồi

Mô hình hóa

Chương VI

Dầm trên nền đàn hồi

9.1.2. Các giả thiết
GT 1: Nếu khoảng cách giữa các lò xo rất nhỏ, các phản lực là các
phản lực phân bố mà cường độ qk của nó tỷ lệ với độ võng y của dầm:
qk = -χ.y
Trong đó: χ là hệ số đàn hồi (nền), phụ thuộc vào độ cứng và mật
độ của lò xo. Dấu (-) thể hiện phản lực ngược chiều độ võng y
GT 2: Đối với dầm đặt trên mặt nước, dầm có mặt cắt ngang chữ nhật
thì phản lực của nước tác dụng lên mỗi mặt cắt của dầm tỷ lệ với độ
sâu của dầm chìm trong nước

Dầm có mặt cắt chữ nhật
đặt trên mặt nước

Mô hình hóa


Chương VI

Dầm trên nền đàn hồi

9.2. Phương trình vi phân đường đàn hồi của dầm trên nền đàn hồi.
y: độ võng, θ: góc xoay, M: mô men, Q: lực cắt, q:
lực phân bố tại mặt cắt có độ võng y, E: mô đun
đàn hồi của vật liệu dầm, Jx: mô men quán tính của
MCN lấy đối với trục x

Dầm trên nền đàn hồi giá trị lực phân bố là tổng đại số của ngoại
lực phân bố q và phản lực phân bố qk, ký hiệu là qA .
Ta có: qA = q – qk = -EJxyIV => q = qk – EJxyIV = -χy - EJxyIV

(Vì qk = -χ.y)

Đặt χ/EJx = 4k4

=> PTVP đường đàn hồi của dầm trên nền đàn hồi:
yIV + 4k4y = -q/EJx (*)
Nếu lực phân bố ngoại lực không có thì : y IV + 4k4y = 0 (**)
Nghiệm tổng quát pt (**)
Nghiệm của phương trình (*):
y* Nghiệm riêng nào đó pt (*)
=> y = ekz(C1sinkz + C2coskz) + e-kz(C3sinkz + C4coskz)
C1;C2;C3;C4 : Các hằng số được xác định theo điều kiện biên


Chương VI

Dầm trên nền đàn hồi

9.3. Tính dầm dài vô hạn
9.3.1. Dầm dài vô hạn (Dầm dài vô hạn đặt
trên nền đàn hồi chịu một lực tập trung P)
Dầm dài vô hạn xem P đặt giữa, xét nửa
dầm có z ≥ 0 (nửa kia lấy đối xứng qua P)
Ta có: y = ekz(C1coskz + C2sinkz) + e-kz(C3coskz + C4sinkz)
* Ở điểm xa lực P: z rất lớn thì có thể xem độ võng y =0=> C 1 = C2 = 0
=>y = e-kz(C3coskz + C4sinkz)

•Ta có:

y’(0) = φ(0) = 0 và Q(z=0) =P/2 =>C3 = C4 = P/8k3EJx = kP/2χ

Trong đó:

được tra theo bảng


Chương VI

Bảng giá trị
của hàm ηi

Dầm trên nền đàn hồi


Chương VI

Dầm trên nền đàn hồi

Biểu đồ
- Các biểu đồ có dạng tuần hoàn
và tắt dần theo chiều z, chu kì
của nó z = 2Π/k
- Nếu độ võng max tại điểm lực P
tác dụng là ymax = kP/2χ ,thì sau
chu kì z = 2Π/k độ võng là y =
(kP/2χ).η0(2Π) ≈ 0,02kP/2χ =>Ở
toạ độ z = 2Π/k độ võng chỉ còn

lại 2% độ võng ở nơi P tác dụng
- Dầm chịu lực tập chung P ở
điểm giữa coi là dài vô hạn khi
độ dài của dầm l = 2z = 4Π/k
Chú ý
Dầm có nhiều lực tập chung tác
dụng vẫn sử dụng kết quả trên
đối với mỗi lực tập chung sau đó
áp dụng nguyên lý công tác dụng


Chương VI

Dầm trên nền đàn hồi

9.3.2. Dầm dài vô hạn (Dầm dài vô hạn đặt trên nền đàn hồi chịu tải
trọng phân bố đều)
- Độ võng tại điểm A nào đó bằng
tổng độ võng do các tải trọng phân
bố qdz , ta có:

- Khi các khoảng cách a, b tương đối lớn => e-ka , e-kb ≈ 0 =>y = q/χ
=> Độ võng ở xa miền đặt lực sẽ không đổi


Chương VI

Dầm trên nền đàn hồi

9.3.2.1.Điểm nghiên cứu trong

phạm vi tác dụng của tải trọng.

Trong đó:
a, b lần lượt là khoảng cách từ
điểm nghiên cứu đến đầu phía phải
và đầu phía trái của tải trọng phân
bố.

9.3.2.2. Điểm nghiên cứu ở ngoài
phạm vi tác dụng của tải trọng.

Trong đó:
a,b lần lượt là khoảng cách từ
điểm nghiên cứu đến điểm đầu và
điểm cuối miền tải trọng phân bố
(aTrước biểu thức Q và θ lấy (+) nếu
điểm nghiên cứu nằm bên phải tải
trọng và (−) nếu điểm nghiên cứu
nằm ở bên trái của tải trọng .


Chương VI

Dầm trên nền đàn hồi

9.3.3. Dầm dài vô hạn (Dầm dài vô hạn đặt trên nền đàn hồi chịu
nhiều lực tập trung và tải trọng phân bố đều)
Thường hợp này vẫn sử dụng kết quả trên đối với mỗi lực tập chung
và mỗi tải trọng phân bố đều sau đó áp dụng nguyên lý công tác

dụng

Bài tập


Chương VI

Dầm trên nền đàn hồi

9.4. Dầm dài hữu hạn
Nghiệm của pt (*) có dạng:
y = C1sinkz.Shkz + C2sinkz.chkz + C3coskz.Shkz + C4coskz.chkz
Y1,Y2,Y3,Y4 là các hàm Krưlov có
trị số tra bảng và có tính chất:
Đặt

=>

Y1 (0) =1;Y2(0)=Y3(0)=Y4(0)=0

Các hằng số A, B, C, D được
xác định từ điều kiện biên của
dầm (tại z=0).


Dầm hữu hạn đoạn 1.
Tại điều kiện biên: y(0) = y0 ; θ(0) = θ0 ;
M(0) = M0 ;Q(0) = P0 ; q(0) = q0
=>
q0; q’0 đã biết, 2 trong 4 g.trị y0;θ0;M0;Q0 sẽ

biết do đầu bài và 2 gtrị còn lại xác định
theo điều kiện biên ở cuối dầm khi z = 1
Dầm hữu hạn đoạn i+1

a-Tọa độ ranh giới đoạn I và i+1
ΔYa; Δθa; Δqa; Δq’a;ΔMa; ΔQa: Bước nhảy của độ võng, góc xoay, cường độ
và đạo hàm của lực phân bố, mô men tập chung, lực tập chung tại z = a


Chú ý
Các đại lượng ΔYa; Δθa; Δqa; Δq’a;ΔMa; ΔQa có thể tồn tại cả và
cũng có thể có một số đại lượng nào đó vắng mặt, ta xem giá trị
các đại lượng đó bằng 0

Giá trị hệ số nền χ


Bảng giá trị các hàm KRULOV Yi