Xây dựng và phân loại một số lớp đồ thị có cấu trúc đặc biệt luận văn ths toán học 60 46 15 pdf

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

LÊ THỊ THU HƯỜNG

XÂY DỰNG VÀ PHÂN LOẠI MỘT SỐ
LỚP ĐỒ THỊ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

LÊ THỊ THU HƯỜNG

XÂY DỰNG VÀ PHÂN LOẠI MỘT SỐ
LỚP ĐỒ THỊ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số:

60460106

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ ANH VINH

Hà Nội – 2014


LỜI CẢM ƠN

Nhân dịp này, em xin chân thành cảm ơn thầy Lê Anh Vinh, người đã trực tiếp
hướng dẫn và tận tình chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Đồng thời, em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy giáo,
cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại học
Quốc Gia Hà Nội, đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Hà Nội, ngày 30 tháng 10 năm 2014
Học viên
Lê Thị Thu Hường

1


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. Đồ thị n-e.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1. Khái niệm về đồ thị n-e.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Một số tính chất cơ bản của đồ thị n-e.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Các đồ thị Paley và biến thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Chương 2. Xây dựng và phân loại một số đồ thị n-e.c . . . .

18

2.1. Đồ thị n-e.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2. Đồ thị 2-e.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.3. Đồ thị 3-e.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.4. Các đồ thị n-e.c với n ≥ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Chương 3. Xây dựng đồ thị ngẫu nhiên chính quy mạnh .

31

3.1. Xây dựng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.2. Xây dựng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

42


Mở đầu
Lý thuyết đồ thị là một ngành khoa học nghiên cứu về tính chất của
các đồ thị, chiếm vị trí quan trọng về cả lý thuyết lẫn ứng dụng. Một cách
không chính thức, đồ thị là một tập các đối tượng được gọi là các đỉnh
được nối với nhau bằng các cạnh. Cạnh có thể có hướng hoặc vô hướng.
Đồ thị thường được vẽ dưới dạng một tập các điểm và các điểm nối với
nhau bằng các đoạn thẳng(các cạnh). Luận văn này đề cập tới việc xây
dựng và phân loại một số lớp đồ thị có cấu trúc đặc biệt. Cụ thể ở đây
chính là các đồ thị có tính chất n-e.c. Tính chất này được phát hiện và
nghiên cứu bởi hai nhà khoa học Erd˝os và Re’nyi [16] và ngày càng nhận
được sự quan tâm chú ý của các nhà nghiên cứu ở các lĩnh vực khác nhau.
Nội dung chính của luận văn là tập trung làm rõ các tính chất của đồ

thị n-e.c, sau đó xây dựng và phân loại các đồ thị n-e.c, cuối cùng nêu
ra một số cách xây dựng cụ thể cho đồ thị n-e.c. Luận văn bao gồm ba
chương.
Chương 1 : Giới thiệu về đồ thị n-e.c, các tính chất của đồ thị n-e.c
và một vài dạng đồ thị n-e.c đã biết.

Chương 2 : Xây dựng các đồ thị n-e.c tổng quát với điều kiện nhất
định sau đó cụ thể hơn cho các lớp đồ thị 2-e.c, 3-e.c và các đồ thị

n-e.c với n ≥ 4.

Chương 3 : Nêu ra hai cách xây dựng đồ thị ngẫu nhiên chính quy
mạnh, sau đó chứng minh các đồ thị sinh ra thỏa mãn tính chất kề

n-e.c.
3


Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian thực hiện luận văn không nhiều
nên trong luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót khi trình
bày. Em rất mong nhận được sự góp ý và những ý kiến xây dựng của thầy
cô và các bạn đọc. Em xin chân thành cảm ơn!

4


Chương 1
Đồ thị n-e.c
1.1. Khái niệm về đồ thị n-e.c
Trước khi đi vào khái niệm đồ thị n − e.c, chúng ta sẽ nhắc lại một vài

kiến thức cơ bản của đồ thị. Với ký hiệu đồ thị G = (V, E), thì V (hay

V (G)) là tập đỉnh của đồ thị G và E (hay E(G)) là tập các cạnh của đồ
thị. Tập đỉnh phải khác rỗng, còn tập cạnh có thể là tập rỗng. Số đỉnh
của đồ thị gọi là cấp của đồ thị và ký hiệu là |V |. Số cạnh của đồ thị gọi
là cỡ của đồ thị và ký hiệu là |E|. Với x, y ∈ V , ta có {x, y} ∈ E hay xy
là cạnh nếu x được nối với y và ta nói rằng x kề với y . Đồ thị G là đồ
thị con của đồ thị G nếu: V (G ) ⊆ V (G) và {x, y} ∈ E(G ) khi và chỉ khi
{x, y} ∈ E(G).
Một đồ thị ngẫu nhiên được tạo bởi một tập n đỉnh cho trước và thêm
dần các cạnh một cách ngẫu nhiên. Trong khi nghiên cứu về đồ thị ngẫu
nhiên, Erd˝os và Re’nyi [16] đã phát hiện ra tính chất kề và nghiên cứu về
nó. Tính chất kề là tính chất tổng quát của một đồ thị và được phát biểu
cho mọi tập S các đỉnh của một loại đồ thị cố định nào đó, có một đỉnh
được nối vào một tập đỉnh S nào đó theo một cách nhất định. Tính chất
kề mà được gọi là n-e.c nhận được rất nhiều sự quan tâm chú ý của nhiều
nhà nghiên cứu ở các lĩnh vực khác nhau như lý thuyết đồ thị, logic học,
xác suất và hình học...
Định nghĩa 1.1.1. Một đồ thị là n-e.c nếu với mọi cặp tập con U, W của
tập đỉnh V sao cho U ∩ W = ∅ và |U | + |W | = n (một trong hai tập U
5


hoặc W có thể là tập rỗng), thì có một đỉnh v ∈ V − (U ∪ W ) sao cho v
kề với tất cả các đỉnh của U và không kề với đỉnh nào của W .
Ví dụ 1: Đồ thị 1-e.c là một đồ thị không có đỉnh cô lập (tức là đỉnh không
kề với bất cứ đỉnh nào) cũng không có đỉnh phổ quát (tức là đỉnh được
nối với tất cả các đỉnh còn lại) (xem Hình 1.1).
Ví dụ 2: Một đồ thị là 2-e.c nếu với mỗi cặp đỉnh riêng biệt u và w, có 4
đỉnh khác với u và w nối với chúng theo tất cả những cách có thể (xem

Hình 1.2).
Định nghĩa tính chất kề n-e.c khá rõ ràng nhưng từ định nghĩa lại không
dễ để chỉ ra đồ thị tồn tại tính chất này. Tuy nhiên, theo chứng minh đầu
tiên trong [16], hầu hết tất cả các đồ thị hữu hạn đều là n-e.c. Với một
số nguyên m, không gian xác suất G(m, 21 ) bao gồm một đồ thị với tập
đỉnh{0, ..., m − 1} sao cho hai đỉnh riêng biệt được nối với nhau một cách
độc lập với xác suất 12 .
Định lý 1.1.1. ([3]) Cố định số nguyên n > 1. Với xác suất 1 khi m → ∞,

G(m, 12 ) thỏa mãn tính chất n-e.c.
Chứng minh. Cố định một tập S chứa n phần tử trong tập đỉnh V , và cố
định hai tập con A và B rời nhau của S với A ∪ B = S . Cho z ∈
/ S , xác
suất để z chỉ kề với một trong hai tập A và B là ( 12 )n .
Như vậy xác suất để z không thỏa mãn tính chất chỉ kề với một trong hai
tập A và B là

1
1 − ( )n .
2
Do đó, xác suất để các đỉnh thuộc G − (A ∪ B) không thỏa mãn tính chất
chỉ kề với một trong hai tập A và B là
1
(1 − ( )n )m−n .
2
n
Do có m
n cách chọn S và 2 cách chọn của A và B trong S nên xác suất
để G(m, 12 ) không là n-e.c là
m

1
.2n .(1 − ( )n )m−n −−−→ 0.
m→∞
2
n
6


Định lý 1.1.1 cho thấy rằng có nhiều ví dụ về đồ thị n-e.c. Ta cũng có thể
dễ dàng tổng quát hóa bằng cách thay

1
2

bằng một số thực p ∈ (0, 1) cố

định nào đó. Điều đó cho thấy đồ thị n-e.c khá phổ biến. Nhưng thực tế
thì cho đến những năm gần đây chỉ có duy nhất một họ đồ thị n-e.c được
biết đến, đó là các đồ thị Paley.
Nếu một đồ thị là n-e.c với ∀n thì đồ thị đó được gọi là e.c (chú ý rằng
bất kỳ đồ thị e.c nào cũng là vô hạn). Bất cứ hai đồ thị e.c đếm được nào
đó cũng đẳng cấu với nhau, dạng đẳng cấu này có tên là đồ thị ngẫu nhiên
vô hạn hoặc đồ thị Rado và được viết là R. Đồ thị R trở thành tiêu điểm
của nhiều hoạt động nghiên cứu gần đây.
Một ví dụ đáng chú ý về R, nếu một đồ thị hữu hạn G là n-e.c có thể
được xem như phiên bản hữu hạn của R. Do đó, tính chất n-e.c là một độ
đo tất định của tính ngẫu nhiên trong đồ thị. Hai khái niệm khác của tính
ngẫu nhiên trong đồ thị được đưa ra và nghiên cứu một cách toàn diện là
tính ngẫu nhiên chuẩn [12] và tính tựa ngẫu nhiên [6] (nhưng chúng ta sẽ
không thảo luận ở đây). Nhiều đồ thị trong số các đồ thị ở luận văn này

thỏa mãn các tính chất này, ví dụ như đồ thị Paley. Tuy nhiên, các tính
chất ngẫu nhiên này không nhất thiết biểu thị tính n-e.c. Ví dụ được cho
trong [14] là ngẫu nhiên chuẩn nhưng không phải 4-e.c.

1.2. Một số tính chất cơ bản của đồ thị n-e.c
Đầu tiên ta nhắc lại một số khái niệm trong đồ thị như sau.

¯ . Đó là một đồ thị
Định nghĩa 1.2.1. Phần bù của đồ thị G ký hiệu là G
với tập đỉnh là tập đỉnh của đồ thị G đồng thời nếu 2 đỉnh kề trong G thì
¯ và ngược lại.
không kề trong G
Định nghĩa 1.2.2. Sắc số của một đồ thị G là số màu tối thiểu cần dùng
để tô màu các đỉnh của đồ thị sao cho hai đỉnh kề nhau phải có màu khác
nhau. Sắc số của đồ thị G kí hiệu là χ(G).
7


Với x ∈ V (G) ta ký hiệu G − x là đồ thị con của G thu được bằng cách
xóa đi điểm x. Đặt N (x) = {y ∈ V (G), y = x : {x, y} ∈ E(G)} và

N c (x) = {y ∈ V (G), y = x : {x, y} ∈
/ E(G)}. Với S ⊆ V (G) ta ký hiệu
G S là đồ thị cảm sinh của G trên S, tức là với x, y ∈ S thì {x, y} ∈ E(S)
khi và chỉ khi {x, y} ∈ E(G). Với N (S) = {y ∈ V (G), y = x : {x, y} ∈
E(G), x ∈ S}, thì N (S) = ∪x∈S N (x)
Định nghĩa 1.2.3. Chỉ số clique của đồ thị G là số đỉnh lớn nhất của tập

U ( U là tập con của tập đỉnh V ) thỏa mãn tính chất: Với mỗi cặp đỉnh
thuộc U luôn tồn tại một cạnh của G nối chúng. Chỉ số clique của đồ thị

G được ký hiệu là ω(G).
Nếu một đồ thị G có tính chất n-e.c, thì G chứa các tính chất cấu trúc
khác được tổng hợp trong hai định lý dưới đây.
Định lý 1.2.1. Cố định một số nguyên dương n, và cho G là một đồ thị

n-e.c.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

Đồ thị G là m-e.c, với ∀m, 1 ≤ m ≤ n − 1.
Đồ thị G có cấp ít nhất là n + 2n , và có ít nhất n.2n−1 cạnh.
¯ là n-e.c.
Đồ thị G

χ(G) ≥ n + 1, ω(G) ≥ n + 1.
Nếu S ⊆ V (G) thì |N (S)| ≥ |S|.

Chứng minh.
(1) Với ∀m, 1 ≤ m ≤ n − 1, xét cặp tập con U, W của tập đỉnh V của đồ
thị G sao cho U ∩ W = ∅ và |U | + |W | = m. Lấy tập A ⊃ U và B ⊃ W
sao cho A ∩ B = ∅ và |A| + |B| = n. Do G là n-e.c nên khi đó có một đỉnh

v ∈ V − (A ∪ B) sao cho v kề với tất cả các đỉnh của A và không kề với
đỉnh nào của B . Khi đó hiển nhiên v ∈ V − (U ∪ W ) và v kề với tất cả
các đỉnh của U nhưng không kề với đỉnh nào của W . Theo định nghĩa thì
G là m-e.c với ∀m, 1 ≤ m ≤ n − 1.
(2) Giả sử G có m cạnh (m ≥ n). Theo chứng minh của Định lý 1.1.1, ta

có xác suất để G không là n-e.c là
8


m
1
.2n .(1 − ( )n )m−n
2
n
m
n

.2n .(1 − ( 21 )n )m−n < 1.
Theo bất đẳng thức Becnuli ta có

Do G là n-e.c nên

Hơn nữa

m
n

1
1
(1 − ( )n )m−n ≥ 1 − (m − n)( )n .
2
2
≥ 1, nên ta có

1

2n .(1 − (m − n)( )n ) < 1
2
n
Điều đó tương đương với m > n + 2 − 1 hay nói cách khác m ≥ n + 2n .
Vậy G có cấp ít nhất là n + 2n .
Giả sử S là một tập con chứa n đỉnh. U, W là cặp tập con của S của đồ
n
2

≥ |W |. Do G là n-e.c nên
có một đỉnh v ∈ V − (U ∪ W ) sao cho v kề với tất cả các đỉnh của U và
không kề với đỉnh nào của W , và cũng tồn tại một đỉnh w ∈ V − (U ∪ W )
sao cho w kề với tất cả các đỉnh của W và không kề với đỉnh nào của U .
Khi đó ta có |U | cạnh nối v với các đỉnh trong U và |W | cạnh nối w với
các đỉnh trong W . Như vậy với mỗi cặp tập con ta chỉ ra được ít nhất là
|U | + |W | = n cạnh khác nhau. Giả sử U1 , W1 là một cặp tập con khác
cũng thỏa mãn U1 ∩ W1 = ∅ , U1 ∪ W1 = S và |U1 | ≥ n2 ≥ |W1 |. Khi đó
cũng tồn tại 2 đỉnh v1 , w1 ∈ V − (U1 ∪ W1 ) sao cho v1 kề với tất cả các
đỉnh của U1 và không kề với đỉnh nào của W1 còn w1 thì ngược lại. Do
U = U1 và |U |, |U1 | ≥ n2 nên tồn tại x ∈ U1 ∩ W mà v không kề với W
còn v1 kề với U1 nên v = v1 . Lập luận tương tự ta cũng có w = w1 và hiển
nhiên v = w1 , w = v1 . Như vậy với cặp tập con U1 , W1 ta cũng chỉ ra ít
nhất |U1 | + |W2 | = n cạnh khác nhau và khác n cạnh ứng với cặp tập con
U, W . Do có 2n−1 cặp tập con của S nên đồ thị G có ít nhất n.2n−1 cạnh.
thị sao cho U ∩ W = ∅ , U ∪ W = S và |U | ≥

(3) Do G là n-e.c nếu với mọi cặp tập con U, W của tập đỉnh V của đồ thị
sao cho U ∩ W = ∅ và |U | + |W | = n, khi đó có một đỉnh v ∈ V − (U ∪ W )
9

sao cho v kề với tất cả các đỉnh của U và không kề với đỉnh nào của W .
¯ thì v không kề với đỉnh nào của U và kề với tất cả các
Khi đó trong G
¯ cũng là n-e.c.
đỉnh của W . Do đó, G
(4) Chọn U gồm n điểm và W là tập rỗng. Do G là n-e.c nên tồn tại

v ∈ V − (U ∪ W ) sao cho v kề với tất cả các đỉnh của U và không kề với
đỉnh nào của W . Phải tô màu υ và các đỉnh trong U bởi các màu khác
nhau nên cần n + 1 màu. Vậy χ(G) ≥ n + 1.
Chọn U1 = {u1 } và W1 là tập gồm n − 1 đỉnh. Do G là n-e.c nên tồn
tại u2 ∈ V − (U1 ∪ W1 ) sao cho u2 kề với u1 . Chọn U2 = {u1 , u2 } và

W2 là tập gồm n − 2 đỉnh. Khi đó cũng tồn tại u3 ∈ V − (U2 ∪ W2 )
sao cho u3 kề với U2 = {u1 , u2 }. Chọn U3 = {u1 , u2 , u3 } khi đó U3 có
các đỉnh đôi một kề nhau. Tiếp tục quá trình trên ta sẽ thu được tập
Un+1 = {u1 , u2 , u3 , ..., un+1 } gồm n + 1 đỉnh đôi một kề nhau. Như vậy
ω(G) ≥ n + 1.
(5) Chọn x ∈ S . Do G là n − e.c nên tồn tại đỉnh zx kề với x và không
kề với các đỉnh khác của S . Ta có zx ∈ N (S). Hơn nữa, với x = x thì

zx = zx . Từ đó ta suy ra |N (S) ≥ |S|.

Định lý 1.2.2. Nếu n > 1, thì với mỗi đỉnh x của G ta có các đồ thị

G − x, G N (x) và G N c (x) là đồ thị (n − 1)-e.c.
Chứng minh. Với x ∈ V (G), xét cặp tập con U, W của tập đỉnh V (G

N c (x)) sao cho U ∩ W = ∅ và |U | + |W | = n − 1. Khi đó (U + x) ∩ W = ∅

và |U + x| + |W | = n. Do G là n-e.c nên tồn tại υ ∈ V (G) − (U + x ∪ W )
kề với tất cả các đỉnh trong U + x và không kề với đỉnh nào trong W . Khi
đó υ kề với tất cả các đỉnh trong U và không kề với đỉnh nào trong W .
Như vậy G N c (x) là (n − 1)-e.c (đồ thị G − x chứng minh hoàn toàn
tương tự).
Đối với đồ thị G N (x), ta cũng xét cặp tập con U, W của tập đỉnh V (G

N (x)) sao cho U ∩ W = ∅ và |U | + |W | = n − 1. Khi đó U ∩ (W + x) = ∅
10


và |U | + |W + x| = n. Do G là n-e.c nên tồn tại υ ∈ V (G) − (U ∪ (W + x))
kề với tất cả các đỉnh trong U và không kề với đỉnh nào trong W + x. Khi
đó, υ kề với tất cả các đỉnh trong U và không kề với đỉnh nào trong W .
Như vậy G N (x) là (n − 1)-e.c.

Hệ quả 1.2.1. Với mec (n) là cấp nhỏ nhất của một đồ thị n-e.c thì

mec (n) ≥ 2.mec (n − 1) + 1 với n > 1.
Chứng minh. Giả sử G là đồ thị n-e.c có cấp nhỏ nhất mec (n). Với ký hiệu

N (x) và N c (x) như ở định lý trên, ta xét hai trường hợp sau:
• Nếu |N (x)| ≤ mec (n)−1
. Theo Định lý 1.2.2, G N (x) là (n − 1)-e.c
2
. Từ đó ta có mec (n) ≥ 2.mec (n − 1) + 1.
nên mec (n − 1) ≤ mec (n)−1
2
• Nếu |N (x)| ≥ mec (n)−1
. Do |N (x)| + |N c (x)| + 1 = |G| = mec (n) nên

2
|N c (x)| ≤ mec (n)− mec (n)−1
−1 ( giá trị 1 ở đây là điểm x). Cũng theo
2
.
Định lý 1.2.2 thì G N c (x) là (n − 1)-e.c nên mec (n − 1) ≤ mec (n)−1
2
Từ đó ta có điều cần chứng minh.

Dễ dàng để chỉ ra rằng mec (1) = 4. Có chính xác ba đồ thị 1-e.c cấp 4
không đẳng cấu là: 2K2 , C4 và P4 ( xem Hình 1.1).

Hình 1.1: Đồ thị 1-e.c với cấp nhỏ nhất

Theo Hệ quả 1.2.1, mec (2) ≥ 2.mec (1) + 1 = 9. Với hai đồ thị G và H ,
tích Descartes của G và H (ký hiệu là G H ) có tập đỉnh V (G) × V (G)
và các cạnh {(a, b); (c, d)} ∈ E(G H) nếu và chỉ nếu {a, c} ∈ E(G) và

b = d hoặc a = c và {b, d} ∈ E(G).
11


Trong [5] ta có chú ý đầu tiên là mec (2) = 9 và K3 K3 là 2-e.c. Theo [2]
ta cũng thu được K3 K3 là dạng đẳng cấu duy nhất của đồ thị 2-e.c có
cấp 9. Đồ thị K3 K3 được cho trong Hình 1.2.

Hình 1.2: Đồ thị 2-e.c có cấp nhỏ nhất duy nhất

Cũng theo Hệ quả 1.2.1, mec (3) ≥ 2.mec (2) + 1 = 19. Tuy nhiên, một đồ
thị 3-e.c với 19 đỉnh là đồ thị 9- chính quy và vì thế mec (3) ≥ 20. Kết

quả trong [18] thu được bằng cách sử dụng máy tính khoa học chỉ ra rằng

mec (3) ≥ 24. Một tìm kiếm trong [2] đã tìm thấy hai đồ thị 3-e.c cấp 28
không đẳng cấu với nhau. Do đó ta có 24 ≤ mec (3) ≤ 28. Việc xác định
chính xác mec (3) là bài toán mở rất khó.
Ta có mec (n) ≥ 2.mec (n − 1) + 1 và mec (3) ≥ 24, bằng chứng minh quy
nạp đơn giản, chúng ta suy ra với n ≥ 3 thì
25
mec (n) ≥ ( ).2n − 1
8
Nói riêng, mec (n) = Ω(2n ). Mặt khác, chứng minh trong [14] đã chỉ ra
được mec (n) = Ω(n.2n ). Chứng minh của Định lý 1.1.1 cũng cho thấy

mec (n) = Ω(n2 .2n ). Do đó,
lim mec (n)1/2 = 2

n→∞

Có một giả định khác trong [14] là

mec (n)
n→∞ n.2n
lim

tồn tại.
12


1.3. Các đồ thị Paley và biến thể
Trong mục này sẽ trình bày một vài kết quả của trường hữu hạn. Chúng

ta bắt đầu với các ký hiệu và khái niệm cơ bản.
Ký hiệu Fq là trường hữu hạn q phần tử, trong đó q là lũy thừa của một
số nguyên tố. Ký hiệu Fq [x] là vành đa thức trên Fq và F∗q là nhóm nhân
các phần tử khác 0 của Fq .
Một đặc trưng χ của F∗q là một ánh xạ từ F∗q vào nhóm nhân các số phức
sao cho |χ(x) = 1| với ∀x ∈ F∗q và χ(xy) = χ(x).χ(y) với x, y ∈ F∗q . Trong
số các đặc trưng của F∗q chúng ta có đặc trưng tầm thường χ0 định nghĩa
bởi χ(x) = 1 với ∀x ∈ F∗q . Các đặc trưng khác của F∗q được gọi là đặc
trưng không tầm thường. Với mỗi đặc trưng của F∗q chúng ta kết hợp đặc
trưng liên hợp định nghĩa bởi χ(x) = χ(x) với ∀x ∈ F∗q . Đặc trưng χ có
cấp d nếu χd = χ0 và d là số nguyên dương nhỏ nhất có tính chất này.
Chúng ta mở rộng khái niệm đặc trưng không tầm thường cho trường Fq
bằng cách định nghĩa χ(0) = 0. Với χ0 ta định nghĩa χ(0) = 1. Chú ý
rằng χt (a) = χ(at ) với a ∈ Fq và t là một số nguyên dương. Nếu χ là đặc
trưng không tầm thường của Fq thì theo [18] chúng ta có

χ(x − a)χ(x − b) = −1
x∈Fq

với a, b ∈ Fq và a = b. Trước khi định nghĩa về đồ thị Paley chúng ta có
khái niệm về đồ thị chính quy như sau.
Định nghĩa 1.3.1. Đồ thị chính quy là một đồ thị trong đó mỗi đỉnh có số
đỉnh kề bằng nhau, nghĩa là các đỉnh có bậc bằng nhau. Một đồ thị chính
quy với các đỉnh có bậc bằng k được gọi là đồ thị chính quy bậc k hay đồ
thị k -chính quy.
Định nghĩa 1.3.2. Một đồ thị G là k - chính quy với v đỉnh, sao cho mỗi
cặp đỉnh nối với nhau có chính xác λ đỉnh kề chung, và mỗi cặp đỉnh không

13

nối với nhau có chính xác µ đỉnh kề chung thì được gọi là đồ thị chính quy
mạnh, và ký hiệu G là SRG(v, k, λ, µ)
Hầu hết các đồ thị n-e.c mà chúng ta biết là đồ thị chính quy mạnh. Họ
đồ thị đầu tiên được phát hiện ra chứa các đồ thị n-e.c với ∀n là các đồ thị
Paley. Các đồ thị Paley được định nghĩa trên trường hữu hạn, và chúng
thỏa mãn nhiều tính chất của đồ thị ngẫu nhiên (G, 21 ). Đồ thị Paley cấp

q với q ≡ 1( mod 4) là đồ thị mà các đỉnh của nó là các phần tử của Fq ,
và có một cạnh giữa hai đỉnh x và y nếu và chỉ nếu x − y là bình phương
trong Fq .
Các đồ thị Paley có nhiều tính chất được mô tả trong các định lý dưới đây
và chứng minh của chúng sử dụng các tính chất của các trường hữu hạn.
Định lý 1.3.1. ([3]) Cố định q là lũy thừa của một số nguyên tố với q ≡ 1(

mod 4).
q−5 q−1
(1) Đồ thị Pq là SRG(q, q−1
2 , 4 , 4 ).
(2) Đồ thị Pq là tự bù, nghĩa là Pp ∼
= P¯p .
(3) Đồ thị Pp là đối xứng, nó là bắc cầu đỉnh và cạnh.

Định lý 1.3.2. ([3]) Nếu q > n2 .22n−2 , thì Pq là n-e.c.
Định lý dưới đây được đưa ra bởi Schmidt [21] và rất hữu ích trong việc
chứng minh định lý về tính chất n -e.c.
Định lý 1.3.3. Cho χ là đặc trưng không tầm thường cấp d trên trường
Fq . Giả sử rằng f (x) ∈ Fq [x] với chính xác m nghiệm khác nhau và không
có dạng c(g(x))d , trong đó c ∈ Fq và g(x) là một đa thức trên Fq . Khi đó

χ(f (x))| ≤ (m − 1)q 1/2

|
x∈Fq

Một đồ thị Paley bậc 3 có cấp q ≡ 1( mod 3) có các đỉnh kề với các đỉnh
khác nếu hiệu của nó là lập phương của một phần tử trong Fq . Một đồ thị
14


Paley bậc 4 có cấp q ≡ 1( mod 8) có các đỉnh kề với các đỉnh khác nếu
hiệu của nó là lũy thừa bậc 4 của một phần tử trong Fq . Kết quả dưới đây
được chứng minh bằng cách sử dụng ước lượng tổng đặc trưng.
Định lý 1.3.4. ([20])

√
(3)
(1) Nếu q > (2n.22n−1 − 22n + 1)2n q + 3n.2−n .32n−1 thì Pq là n-e.c.
√
(4)
(2) Nếu q > (2n.22n−1 − 22n + 1)3n q + 4n.2−n .42n−1 thì Pq là n-e.c.
Cho q = pr là lũy thừa của một số nguyên tố sao cho q ≡ 1( mod 4) và

p ≡ 3( mod 4). Cho v là một phần tử sinh của nhóm nhân của Fq . Do
đó v là một căn nguyên thủy của q . Định nghĩa đồ thị P ∗ (q) có các đỉnh
là các phần tử của Fq , và với hai đỉnh a, b bất kỳ được nối với nhau nếu
|a − b| = v j , trong đó j ≡ 0( mod 4) hoặc j ≡ 1( mod 4). Tương tự các
đồ thị Paley, đồ thị P ∗ (q) cũng là đồ thị chính quy mạnh, tự bù, và đối
xứng. Sử dụng ước lượng tổng đặc trưng ta đưa ra được kết quả dưới đây.
Định lý 1.3.5. ([7]) Nếu q = pr là lũy thừa của một số nguyên tố sao cho

q ≡ 1( mod 4), p ≡ 3( mod 4) và q > 8n2 28n thì P ∗ (q) là n-e.c.
Chứng minh. Cho S = (u1 , u2 , ..., un1 , v1 , v2 , ..., vn2 ) là dãy bất kỳ các đỉnh
riêng biệt của P ∗ (q), với n1 + n2 = n. Ta định nghĩa {a, b} là cạnh của

P ∗ (q) ( a, b ∈ Fq ) nếu và chỉ nếu χ(a − b) = 1 hoặc χ(a − b) = i. Ta sử
dụng điều này để chứng minh tồn tại một đỉnh kề với các đỉnh u1 , u2 , ..., un1
nhưng không kề với các đỉnh v1 , v2 , ..., vn2 . Đặt
n1

f (S) =

n2

[χ(w−ui )+1][χ(w−ui )+i]
w∈Fq S i=1

[χ(w−vj )−1][i−χ(w−vj )].
j=1

Chúng ta cần chứng minh |f (S)| > 0.
Đặt
n1

g(S) =

n2

[χ(w−ui )+1][χ(w−ui )+i]
w∈GF (q) i=1

[χ(w−vj )−1][i−χ(w−vj )]
j=1

15


Chúng ta ước lượng giá trị của |f (S)| bằng cách ước lượng giá trị của

|g(S)| và |g(S) − f (S)|. Khai triển g(S) chúng ta có (chú ý rằng trong
phần còn lại của chứng minh thì và các i có modulo là 1)
q−1

g(S) =

n1 q−1

1+
w=0

n1 q−1

χ(w − ui ) +

1
i=1 w=0

i=1 w=0

n2 q−1

+

n2 q−1

χ(w − vj ) +

3

χ(w − ui )

2

χ(w − vj ) + T.

4

j=1 w=0

j=1 w=0

Trong đó, T là tổng của các phần tử có cấp ≥ 2 (cấp của phần tử là số
các χ(a − b) trong phân tích của nó).
Trong khai triển của g(G) thì phần tử đầu tiên

q−1
w=0 1

= q và bốn phần
tử tiếp theo đều bằng 0 do χ là đặc trưng. Do đó, g(S) − q = T .

Chúng ta sẽ ước lượng T . T chứa 22n − 5 phần tử dạng
q−1

χ(w − ui1 ).....χ(w − uia ).χ(w − vj1 ).....χ(w − ujb ).
w=0

Do χ là nhân, chúng ta có thể thay đổi mỗi phần tử thành dạng χ(f (w)),
trong đó f là một đa thức, mỗi nghiệm của f có bội nhiều nhất là 2. Do
đó f không là lũy thừa cấp 4. Theo định lý 1.3.3, giá trị tuyệt đối của mỗi
1

phần tử cấp s là nhỏ hơn hoặc bằng (s − 1)q 2 . Có

2n
s

phần tử cấp s. Do

đó

|T | = |g(S) − q| ≤

1
1
2n
(s − 1)q 2 ≤ 2n.22n .q 2 .
s

Từ đó, ta có
1

|g(S)| ≥ q − 2n.22n .q 2 .
Để chỉ ra |f (S)| > 0, ta đi ước lượng g(S)−f (S). Rõ ràng, |χ(w−ui )+ | ≤

2, nên chúng ta có thể ước lượng thô
|g(S) − f (S)| ≤ 2n.22n .
16


Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta có
1

|f (S)| ≥ |g(S)| − |g(S) − f (S)| ≥ q − 2n.22n .q 2 − 2n.22n .
Hơn nữa,
1 1
1
3
3
2n.22n .q 2 < (8n2 .28n ) 2 q 2 < q,
4
4

và

1
1
2n.22n < (8n2 .28n ) < q.
4
4
Do đó, |f (S)| > 0 và vì vậy tồn tại w ∈ Fq S kề với mọi đỉnh thuộc U =

{u1 , u2 , ..., un1 } và không kề với bất cứ đỉnh nào thuộc W = {v1 , v2 , ..., vn2 }
mà U ∩ W = ∅ và |U | + |W | = n1 + n2 = n. Vậy P ∗ (q) là n-e.c theo định
nghĩa.

17


Chương 2
Xây dựng và phân loại một số đồ
thị n-e.c
Như đã mô tả ở phần đầu của Chương 1, ta đã biết đồ thị 1-e.c là đồ
thị không có đỉnh cô lập cũng không có đỉnh phổ quát. Trong chương này
chúng ta sẽ tập trung xây dựng các đồ thị n -e.c sau đó sẽ phân loại và tìm
hiểu cụ thể hơn các lớp đồ thị: 2-e.c, 3-e.c và các đồ thị n-e.c với n ≥ 4.

2.1. Đồ thị n-e.c
Đầu tiên, ta đi xây dựng đồ thị n-e.c bằng cách sử dụng hình học hữu
hạn. Cố định hai số nguyên dương v, λ và cố định k sao cho 2 ≤ k < v .
Một cấu trúc khối cân bằng khuyết cấp v ký hiệu là BIBD(v, k, λ) là một
cặp thứ tự (V, B) trong đó V là tập chứa v điểm còn B là tập hợp các tập
con của tập V được gọi là các khối thỏa mãn:
(1) Mỗi khối có chính xác k phần tử.
(2) Mỗi tập con chứa 2 phần tử của V được chứa trong chính xác λ
khối.
Với A là tập khác rỗng các phần tử được gọi là đỉnh, và L là họ các tập
con của A được gọi là đường, một mặt phẳng affine là một cặp (A, L) thỏa
mãn các tính chất sau.
(1) Qua hai điểm bất kỳ xác định duy nhất một đường thẳng.
(2) Từ một đường thẳng l và một điểm x ∈
/ l, khi đó có duy nhất một

đường thẳng đi qua x và song song với l.
18


(3) Một mặt phẳng affine luôn có ít nhất 4 điểm trong đó không có bộ
ba điểm nào thẳng hàng.
Chúng ta ký hiệu pq là đường thẳng đi qua p và q . Ví dụ, cho X là một
không gian vectơ hai chiều trên trường F. Giả sử rằng các phần tử của X
có dạng (x, y) với x, y ∈ F. Với mọi m, b ∈ F, ta có tập

{(x, y); y = mx + b}
là đường thẳng với hệ số góc m. Với mọi a, ta sẽ gọi tập {(x, y : x = a)} là
đường thẳng với hệ số góc bằng ∞. Nếu L là tập tất cả các đường thẳng
thì (X, L) được định nghĩa tốt trong mặt phẳng affine. Cần chú ý rằng
hai đường thẳng song song có cùng hệ số góc. Và tính song song là một
quan hệ tương đương trên tập các đường thẳng. Tức là, chúng thỏa mãn
tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Các đường thẳng có cùng hệ số
góc tạo thành một lớp song song.
Với mọi mặt phẳng affine hữu hạn A, tồn tại một số nguyên dương q ≥ 2
sao cho mọi điểm trên mặt phẳng affine nằm trên q + 1 đường và mỗi
đường thẳng chứa chính xác q điểm. Ta có A chứa chính xác q 2 điểm,

q 2 + q đường, q + 1 lớp song song. Khi đó ta nói mặt phẳng affine A có
cấp q .
Xét một mặt phẳng affine A cấp q , trong đó A được tọa độ hóa trên Fq
với q là số nguyên tố. A là một BIBD(q 2 , q, 1) cấu trúc (với các khối được
gọi là đường thẳng). Chúng ta đi xét một cấu trúc của đồ thị chính quy
mạnh được đưa ra bởi Delsarte với Goethals và Turyn. Cho l∞ là đường
thẳng tại vô cực với q + 1- phần tử. Các phần tử của l∞ có thể xác định
thông qua hệ số góc của đường thẳng trong mặt phẳng affine. Cố định

S ⊆ l∞ . Định nghĩa G(q, S, A) là đồ thị có các đỉnh là các điểm trong A,
và hai đỉnh p, q là kề nhau nếu và chỉ nếu đường thẳng pq có hệ số góc
trong S . Khi đó, G(q, S, A) là một đồ thị SRG(q 2 , |S|(q −1), q −2+(|S|−
1)(|S| − 2), |S|(|S| − 1)). Ký hiệu G(q, A) là họ các đồ thị G(q, S, A) với
các tất cả các lựa chọn của S . Nếu 0 ≤ k ≤ q + 1 là cố định, thì ta viết
19


G(q, k, A) là họ con tất cả các đồ thị trong G(q, A) với |S| = k . Với k cố
định, G(q, k, A) có thể chứa các đồ thị không đẳng cấu.
Cố định A là mặt phẳng affine với cấp chẵn q ≥ 8 được tọa độ hóa bởi
q
2 hệ số
q(q−2) q(q−2)
SRG(q 2 , q(q−1)
2 ,
4 ,
4 ) (đó

F2k . Chọn S là một tập cố định nào đó có

góc trong l∞ . Khi

đó G(q, S, A) là một

là một đồ thị hình

vuông La tinh).
Chúng ta có thể xét G(q, 2q , A) như một không gian xác suất với

q+1
q/2

điểm: mỗi điểm của không gian xác suất tương ứng với một lựa chọn của

S với |S| = 2q . Với cách nhìn như vậy thì chúng ta có kết quả dưới đây.
Định lý 2.1.1. ([9]) Với q là một lũy thừa của 2 và cố định số nguyên
dương n. Với xác suất bằng 1 khi q → ∞, G(q, 2q , A) là n -e.c.
Tuy nhiên, không phải tất cả đồ thị G(q, 2q , A) là n -e.c, thậm chí khi q lớn
như mô tả trong kết quả sau đây.
Định lý 2.1.2. ([9]) Cho q ≥ 8 là một lũy thừa của 2.
(1) Tất cả đồ thị G ∈ G(q, 2q , A) là 3 -e.c.
(2) Với mọi n ≥ 4, tồn tại một đồ thị G ∈ G(q, 2q , A) không phải là đồ
thị n -e.c.
Tiếp theo, chúng ta sẽ đưa ra một xây dựng mới của đồ thị n-e.c hiển.
Phương pháp này sẽ sinh ra các đồ thị ngẫu nhiên chính quy mạnh. Cho

A là mặt phẳng affine với q 2 điểm. Cố định p ∈ (0, 1), chọn m ∈ l∞ trong
S một cách độc lập với xác suất p (hiển nhiên m thuộc phần bù của S
với xác suất 1 − p). Điều này dẫn đến G(q, A) được đưa vào một không
gian xác suất và ta ký hiệu là Gp (q, A). Khi |S| là biến ngẫu nhiên thì mỗi
lựa chọn của S đều cho chúng ta một đồ thị ngẫu nhiên chính quy mạnh.
Chúng ta chứng minh kết quả sau.
Định lý 2.1.3. ([3]) Cố định p ∈ (0, 1) và cho n là một số nguyên dương.
Với xác suất 1 khi q → ∞, Gp (q, A) là n-e.c.

20

Chứng minh. Cố định hai tập đỉnh rời nhau X và Y của G, |X ∪ Y | = n.
Đặt U = X ∪ Y . Chúng ta sẽ chứng minh rằng với q đủ lớn, với xác suất

1 thì có một đỉnh z chỉ kề với một trong hai tập X và Y . Để chỉ ra điều
này chúng ta sẽ xây dựng một tập PU các điểm z không thuộc U , sao cho
với xác suất 1 thì z ∈ PU . Đặt s = [q b ], với b < 1 cố định.
Cố định điểm v ∈ A. Phép chiếu từ v lên l∞ , là ánh xạ

πv : A {v} → l∞
biến điểm x thành giao của vx với l∞ . Do đó, πv (x) là hệ số góc của đường
thẳng vx. Nếu V là một tập điểm thì πv (V ) = ∪x∈V πv (x).
Với q đủ lớn, chúng ta xây dựng một tập điểm PU không giao với U và
thỏa mãn các tính chất dưới đây.
(1) Nếu p ∈ PU thì |πp (U )| = n.
(2) Với mọi cặp điểm phân biệt p, q ∈ PU , thì πp (U ) ∩ πq (U ) = ∅.
(3) |PU | = s.
Đầu tiên, chọn một điểm p1 ∈
/ U nào đó sao cho p1 không nằm trên bất
cứ đường nào chứa 2 điểm của U . Với q đủ lớn thì

n+

n
(q − 2) < q 2 ,
2

nên chúng ta có thể chọn được một điểm p1 như vậy. Đặt PU,1 = {p1 }.
Tiếp theo, với một số dương cố định i ≥ s − 1, giả sử rằng PU,i được xây
dựng với q lớn, với PU,i chứa PU,1 và |PU,i | = i. Chúng ta chọn pi+1 ∈
/ U là

điểm thỏa mãn hai điều kiện sau:
(i) không nằm trên đường nào chứa hai điểm của U ,
(ii) không nằm trên đường nào chứa một điểm của U với một điểm nằm
trong ∪ij=1 πpj (U ).
Có

n
2

đường chứa hai điểm của U và có ni + n(n − 1)i đường chứa một

điểm của U với một điểm nằm trong ∪ij=1 πpj (U ). Với q lớn thì

n+

n
(q − 2) + ni(q − 1) + n(n − 1)i(q − 2) < n2 q b+1 < q 2
2
21


nên chúng ta có thể tìm được điểm pi+1 thỏa mãn tính chất (1) và (2).
Thêm pi+1 vào PU,i ta được tập PU,i+1 . Đặt

PU = ∪si=1 PU,i .
Khi đó |PU | = s.
Cố định tập U = X ∪ Y , chúng ta ước lượng xác suất để không có đỉnh
nào của PU kề với một trong hai tập X và Y . Giả sử rằng |X| = m và

|Y | = n − m. Nếu x, y là hai điểm phân biệt của U thì với z ∈ PU luôn có

tính chất là zx và zy có hệ số góc phân biệt (do (1)). Hơn nữa zx là cạnh
của G nếu và chỉ nếu πz (x) ∈ S . Do đó, xác suất để một đỉnh z không kề
với một trong hai tập X và Y là một hằng số dương
pn = 1 − pm (1 − pn−m ).
Từ tính chất (2) trong định nghĩa tính chất của PU , cứ hai điểm phân biệt
bất kỳ của PU thì hai tập hệ số góc sẽ rời nhau trong l∞ . Đặc biệt, xác
suất pn độc lập với các lựa chọn z ∈ PU . Do đó, xác suất để không tồn tại
b

z ∈ PU kề với một trong hai tập X và Y là (pn )[q ] . Như vậy, xác suất để
Gp (q, A) không thỏa mãn tính chất n-e.c lớn nhất là
q2 n
b
2 (pn )[q ] = O(n log(2q 2 ) + q b log(pn )) → 0(q → ∞)
n

Cuối cùng, chúng ta sẽ tìm hiểu một xây dựng gần đây dựa trên lý
thuyết tổ hợp số và được đưa ra bởi Hausdorff([9]). Xét ma trận với r =

2n(n − 1) + 1 hàng và c cột, trong đó c được chọn thỏa mãn
2c ≥ 2r

2

rc
.
n−1

Chúng ta định nghĩa đồ thị G như sau. Các đỉnh của G là các ma trận

0 − 1 cỡ r × c, sao cho có ít nhất n(n − 1) + 1 hàng là đồng nhất và bằng
vectơ v . Các cạnh được mô tả như sau. Một ràng buộc được đưa ra bởi
22


cặp (A, F ), trong đó A là tập n − 1 phần tử trong một ma trận r × c, và F
là họ có nhiều nhất n hàm đi từ A vào tập {0, 1}. Một đỉnh V thỏa mãn
ràng buộc (A, F ) nếu với f ∈ F , với ∀(i, j) ∈ A thì Vij = f (i, j). Cố định
một toàn ánh C từ tập gồm c vectơ 0 − 1 vào các ràng buộc. Mỗi đỉnh V
xác định một ràng buộc V ∗ = C(v). Có một cạnh có hướng (V, W ) nếu W
thỏa mãn ràng buộc V ∗ . Ta nói V kề với W nếu hoặc (V, W ) hoặc (W, V )
là cạnh.
Đồ thị G có thông số r, c, v và toàn ánh C . Do đó, chúng ta sẽ sử dụng ký
hiệu G(r, c, v, C) cho ký hiệu đồ thị. Kết quả sau đây được chứng minh
bằng cách sử dụng phương pháp xác suất.
Định lý 2.1.4. ([1]) Với n cố định, cho r = 2n(n − 1) + 1, c thỏa mãn
2

2c ≥ 2r
là n-e.c.

rc
n−1

, và cho v, C được chọn như trên. Khi đó, đồ thị G(r, c, v, C)

2.2. Đồ thị 2-e.c
Một hệ bộ ba Steiner cấp v , kí hiệu là STS(v) là một BIBD(v, 3, 1).
Một STS(v) tồn tại nếu và chỉ nếu v ≡ 1 hoặc v ≡ 3( mod 6). Giá trị v
như vậy gọi là giá trị chấp nhận được. Một tập độc lập của BIBD(v, k, λ)

là tập một tập con của V mà không có bất cứ k phần tử nào cùng thuộc
một khối. Như vậy, một tập độc lập trong hệ bộ ba (V, B) là một tập con
của V mà không có bất cứ ba đỉnh nào thuộc cùng một khối.
Một đồ thị giao-khối của một hệ bộ ba Steiner là một đồ thị mà các đỉnh
của nó là các khối của STS(v), và hai khối được nối với nhau nếu giao của
2

v+3
chúng là tập khác rỗng. Một đồ thị như vậy là một SRG( v 6−v , 3v−9
2 , 2 , 9).

Định lý 2.2.1. ([5]) Một đồ thị giao-khối của một hệ bộ ba Steiner cấp v
là 2-e.c nếu và chỉ nếu v ≥ 13.
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh nếu v ≥ 13 thì một đồ thị giao-khối
của một hệ bộ ba Steiner cấp v là 2-e.c. Thật vậy, xét một STS(v) với

v ≥ 13. Theo định nghĩa thì mỗi khối trong STS(v) chứa 3 phần tử và
23