Báo cáo nghiên cứu khoa học DAO ĐỘNG uốn của PHẦN tử dầm dưới tác DỤNG của tải TRỌNG DI ĐỘNG – mô HÌNH một KHỐI LƯỢNG

DAO ĐỘNG UỐN CỦA PHẦN TỬ DẦM
DƯỚI TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG –
MÔ HÌNH MỘT KHỐI LƯỢNG
BENDING VIBRATION OF THE BEAM ELEMENT UNDER
LIVE LOAD-MODEL OF ONE QUANTITY
NGUYỄN XUÂN TOẢN
Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT
Bài báo này tác giả đề cập tới việc xây dựng các ma trận độ cứng hỗn hợp, ma trận khối
lượng hỗn hợp, ma trận cản hỗn hợp, véctơ lực nút tương đương của phần tử dầm khi dao
động uốn dưới tác dụng của tải trọng di động - mô hình một khối lượng làm cơ sở để phân
tích dao động của cầu dây văng dưới tác dụng của tải trọng di động.
ABSTRACT
This article mentions the formation of mixed hardness matrixes, mixed quantity matrixes,
mixed resistance matrixes, and force vector of the beam elements when bending vibration
under live-load - model of one quantity is the basis for analysing the vibration of cable stayed
bridge under the influence of live load.

Mở đầu
Cầu dây văng thường được thiết kế và xây dựng vượt nhịp rất dài với kết cấu rất thanh
mảnh, độ cứng nhỏ nên rất nhạy cảm với tải trọng tác động có chu kỳ, vì vậy hiệu ứng động
lực học lên cầu dây văng thường rất lớn, trong nhiều trường hợp có tính quyết định đến việc
xác định kích thước kết cấu và sơ đồ cầu. [2,3,5,6,7,8,10,11,13,14]
Bài toán phân tích động về cầu nói chung dưới tác dụng của hoạt tải đã được nhiều nhà
khoa học trên thế giới và trong nước quan tâm giải quyết trên nhiều góc độ khác nhau. Các
công trình nghiên cứu của các tác giả chủ yếu tập trung nghiên cứu dao động uốn của hệ dầm,
một số tác giả nghiên cứu dao động uốn của cầu dây văng nhưng đã bỏ qua ảnh hưởng của
khối lượng tháp và dây vì vậy kết quả còn khá xa so với thực tế. [2,3,5,6,7,10,11,13]
Để có thể xem xét các yếu tố gần với thực tế hơn trong mô hình nghiên cứu dao động
của cầu dây văng dưới tác dụng của hoạt tải, bài báo này đề cập tới việc xây dựng các ma trận

độ cứng hỗn hợp, ma trận khối lượng hỗn hợp, ma trận cản hỗn hợp, véctơ lực nút tương
đương của phần tử dầm khi dao động uốn dưới tác dụng của tải trọng di động - mô hình một
khối lượng làm cơ sở để phân tích dao động của cầu dây văng dưới tác dụng của tải trọng di
động.
1. Mô hình tính toán
Xét phần tử dầm chịu tác dụng của N tải trọng di động, mô hình 1 khối lượng như trên
hình 1 với điều kiện các tải trọng không va đập vào nhau và không tách rời khỏi dầm:

Hình 1


Trong đó cấu trúc của tải trọng thứ i tương ứng với trục xe thứ i được mô tả như sau:
Gi . sin  i = Gi . sin(  i .t   i ) là lực kích thích điều hoà do khối lượng lệch tâm của động
cơ quay với vận tốc góc  i truyền xuống trục xe thứ i, với  i là góc pha ban đầu.
mi - Khối lượng của trục xe, thân xe kể cả hàng truyền xuống trục xe thứ i.
ki, di - Độ cứng và độ giảm chấn tính đổi của của nhíp và lốp xe.[2].
L - Chiều dài của phần tử dầm.
ai - Toạ độ của trục xe thứ i tại thời điểm đang xét với tốc độ di chuyển đều:
ai  vi .(t  t i ) ;
Trong đó :

với t  ti

(1)

vi - Vận tốc của tải trọng thứ i; t - Thời điểm đang xét.
ti - Thời điểm tải trọng thứ i bắt đầu vào phần tử dầm.

2. Phương trình dao động của tải trọng di động thứ i
Cấu trúc của tải trọng di động thứ i được tách ra như hình 2:

Hình 2
Qui ước chiều dương của tải trọng và w,y,z hướng lên trên.
yi - chuyển vị tương đối giữa khối lượng mi so với phần tử dầm tại thời điểm đang xét
theo phương thẳng đứng.
Gọi zi là toạ độ tuyệt đối của khối lượng mi theo phương thẳng đứng:
z i  y i  wi

wi  w( x, t )

x  ai

(2)

độ võng của phần tử dầm tại vị trí tải trọng thứ i ở thời điểm đang xét.

Áp dụng nguyên lý Đalămbe viết phương trình cần bằng cho khối lượng mi:
 mi .
z
 k i . y i  d i . yi  mi .g  Gi sin i  0
i

(3)

Kết hợp (2) với (3) và biến đổi ta được phương trình dao động của tải trọng thứ i:
mi .
z
 d i .zi  k i . z i  Gi . sin i  mi .g  d i wi  k i wi
i

(4)

Từ hình 2 : Fi  k i . y i  d i . yi kết hợp với (3) ta được:
Fi  Gi sin i  mi g  mi .
z
i

Viết lại dưới dạng phân bố và thêm hàm tín hiệu điều khiển logic:
L

t i  t  t i  Ti
; Ti 
1 khi
 i (t )  
vi
0 khi t  t va t  t  T ;

i
i
i

(5)

(6)


Ta được:

pi ( x, z , t )   i (t ).[Gi sin i  mi . g  mi .
z

]. ( x  ai ) ;
i

(7)

Trong đó  ( x  ai ) là hàm Đenta - Đirăc.

3. Phương trình dao động uốn của phần tử dầm chịu tải trọng di động
Theo [12] phương trình dao động uốn của phần tử dầm chịu tải trọng phân bố p(x,z,t) có
xét đến ảnh hưởng của ma sát trong và ma sát ngoài như sau:
  4W
 5W 
 2W
W
(8)
EJ d . 4   . 4   Fd . 2   .
 p( x, z , t ) ;
t
x .t 
t
 x
Trường hợp phần tử dầm chịu các tải trọng di động như hình 1, lưu ý tới (7) ta có:
N

N

p( x, z , t )   p i ( x, z , t )   i (t ).[Gi sin i  mi .g  mi .
z
]. ( x  ai )
i

i 1

(9)

i 1

Trong đó : EJd - độ cứng chống uốn của phần tử dầm.
Fd - trọng lượng của phần tử dầm trên 1 đơn vị chiều dài.
 và  - hệ số ma sát trong và hệ số ma sát ngoài của phần tử dầm.
4. Rời rạc hoá phương trình dao động uốn của phần tử dầm (8) theo không gian

1

.( L3  3.L.x 2  2.x 3 ); 
3
L

W1 
1
2
2
3 
N 2  2 .( L .x  2.L.x  .x );
 

 1
L
Xấp xỉ : W  N 1 N 2 N 3 N 4 .  ;
(10)


W
1
2
3
2

 
N 3  3 .(3.L.x  2.x );

 2 
L

1
3
2

N 4  2 .( x  L.x );
L

W1,  1 - Độ võng và góc xoay đầu trái của phần tử dầm.
W2,  2 - Độ võng và góc xoay đầu phải của phần tử dầm.
Đặt (10) vào (8) và áp dụng phương pháp Garlerkin, lấy tích phân từng số hạng ta được:
N1 

 N1 
N 
4
 2
.
EJ

.


0 N 3 d x 4 N1
 
 N 4 

N3

W1 
W1 
 
 
 1
 
N 4  .dx  K ww . 1 
W2 
W2 
 2 
 2 

(11)

N3

W1 
W1 
 
 
  1 

 1
N 4  .dx   .K ww .  
t W2 
W2 
 2 
 2 

(12)

L

 N1 
N 
5
 2
N

.
EJ
.


0 N 3
d
x 4 t 1
 
 N 4 

N2

L

N2


Trong đó:

K ww

6 L  12 6 L 
 12

EJ d 6 L 4 L2  6 L 2 L2 

 3 
L  12  6 L 12  6 L


2
 6 L 4 L2 
 6L 2 L

(13)

 N1 
W1 
W1 





 
L
2
 2  1 
N 2 
 1 
0  N 3 .Fd . t 2 N1 N 2 N 3 N 4 W2 .dx  M ww t 2 W2 
 
 
 
 N 4 
 2 
 2 
 N1 
W1 
W1 



 
L
M ww   1 
N 2  
 1 
.

.

N

N
N
N

.
dx


.
 
0  N 3  t 1 2 3 4 W2 
Fd t W2 
 
 
 N 4 
 2 
 2 
22 L
54
 13L 
 156

2
Fd L 22 L
M
4L
13L  3L2 

Trong đó: M ww 
; C ww   . ww   .K ww

13L
156  22 L 
Fd
420  54

2
2 
 13L  3L  22 L 4 L 
 N1 

L
N
N 2 
.
p
(
x
,
z
,
t
).
dx

[Gi sin i  mi .g  mi .
z
].Pi




0 N 3
i
i 1
 
 N 4 
( L  2a i )(L  ai ) 2 
 p1i 


p 
2
   (t )  L.ai ( L  ai )

Trong đó:
Pi   2 i   i 3 .

2
L  ai (3L  2ai ) 
 p 3i 
 p 4 i 
  L.a 2 ( L  a ) 
i
i


Kết hợp các kết quả (11)~(18) với (8),(4) và viết lại dưới dạng ma trận ta được:

M e .q
  C e .q  K e .q  f e 

(14)

(15)

;(16)

(17)

(18)

(19)

Trong đó :
Me, Ce, Ke - lần lượt là ma trận khối lượng, ma trận cản, ma trận độ cứng hỗn hợp:
M
M e   ww
 0

M wz 
C
; C e   ww

M zz 
 C zw

0 
K
; K e   ww

C zz 

 K zw

0 
;
K zz 

q, q, q,  f  lần lượt là véctơ gia tốc, vận tốc, chuyển vị, lực hỗn hợp:

W

W

Z 

Z 

W
;
Z 

q    ; q    ; q  

Fw 

 z

 f    F
e

Mww, Cww, Kww - lần lượt là ma trận khối lượng, ma trận cản, ma trận độ cứng của phần

tử dầm chịu uốn khi tính theo phương pháp phần tử hữu hạn của bài toán cơ bản có xét đến
ảnh hưởng của ma sát trong và ma sát ngoài xác định theo công thức (13) và (16).


Các ma trận còn lại có cấu trúc như sau:

M zz

m1



 .





m2
...
mi
0


 d1


0





; C zz  .





...


m N  ( NxN )


d2
...
di
0



0


;



...


d N  ( NxN )

M wz  P.M zz ; C zw  ( N a .C zz )T ; K zw  ( N a .K zz ) T  ( Na .C zz ) T

k1



k2
0
 P11 P12


P


...
 21 P22
K zz  .
;
P


 P31 P32
ki






0
...
 P41 P42


k N  ( NxN )

Cột thứ i của ma trận P xác định theo công thức (18);

...
...
...
...

P1i
P2i
P3i
P4i

...
...
...
...

P1N 
P2 N 
;
P3 N 

P4 N  ( 4 xN )

1

.( L3  3.L.ai2  2.ai3 ); 
3
L

 N 11 N 12 ... N 1i ... N 1N 
1
2
2
3 
N 2i  2 .( L .ai  2.L.ai  ai );
N
N 22 ... N 2i ... N 2 N 

L
N a   21
. Với

 N 31 N 32 ... N 3i ... N 3 N 
1
2
3

N 3i  3 .(3.L.ai  2.a i );



L

N
N
...
N
...
N
 ( 4 xN )
 41
42
4i
4N 

1

N 4i  2 .(ai3  L.ai2 );
L

 G1 sin 1  m1 .g 





N
Fw   [Gi sin i  mi .g ].Pi ; Fz   Gi sin i  mi .g ;
i 1






G N sin N  m N . g 
N 1i 

5. Áp dụng phân tích dao động cầu dây văng dưới tác dụng của tải trọng di động
Bằng cách rời rạc hoá hệ cầu dây văng thành các phần tử cơ bản, kết hợp kết quả nghiên
cứu ở trên với các kết quả nghiên cứu về phương pháp phần tử hữu hạn mô hình chuyển vị
[15,16] và sử dụng các thuật toán thường dùng trong phương pháp phần tử hữu hạn để xây
dựng phương trình vi phân dao động cho toàn hệ:

 


 C. Q  K .Q  F 
M. Q

(20)


Sau khi đưa các điều kiện biên và điều kiện ban đầu tương ứng vào (20) ta có thể giải hệ
phương trình (20) bằng phương pháp Newmark [1], hoặc biến đổi (20) để giải theo phương
pháp Runge - Kutta [9] với độ chính xác cao hơn trên máy tính.
6. Kết luận
Bài báo giới thiệu kết quả nghiên cứu cơ bản về dao động uốn của phần tử dầm chịu N
tải trọng di động - mô hình một khối lượng, một mô hình tính khá gần với thực tế. Đồng thời
cũng giới thiệu cách xây dựng các ma trận độ cứng hỗn hợp, ma trận khối lượng hỗn hợp, ma
trận cản hỗn hợp, véctơ lực nút tương đương của phần tử dầm chịu N tải trọng di động - mô
hình một khối lượng.
Kết quả nghiên cứu bổ sung thêm vào thư viện các cấu kiện mẫu của phương pháp phần
tử hữu hạn để giải các bài toán về dao động của các công trình cầu nói chung và cầu dây văng

nói riêng khi chịu tác dụng của tải trọng di động - mô hình một khối lượng có xét đến khối
lượng phân bố, hệ số ma sát trong, hệ số ma sát ngoài của phần tử dầm, lực đàn hồi và lực cản
của nhíp xe, của lốp xe.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]

[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]

Đỗ Anh Cường, Tạ Hữu Vinh, Tương tác giữa kết cấu hệ thanh và tải trọng xe di
động, Hội nghị Cơ học toàn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 7, Đồ sơn, 8/2004.
Hoàng Hà, Nghiên cứu dao động uốn của kết cấu nhịp cầu dây văng trên đường ô tô,
Luận án Tiến sỹ Kỹ thuật, Hà Nội, 1999.
Phạm Khắc Hùng, Đào Trọng Long, Lê Văn Quí, Lều Thọ Trình, Ổn định và động lực
học công trình, Nhà Xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1974.
Nguyễn Xuân Hùng, Tính toán chính xác kết cấu trên máy tính, Nhà Xuất bản Khoa
học Kỹ thuật, Hà Nội, 2002.

Lê Đình Tâm, Phạm Duy Hoà, Cầu Dây Văng, Nhà Xuất Bản Khoa học Kỹ thuật, Hà
Nội, 1998.
Nguyễn Xuân Toản, Nguyễn Duy Bảo, Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong
phân tích động cầu dây văng, Hội KHKT Cầu đường Việt Nam-Hội nghị khoa học
công nghệ xây dựng bền vững công trình đường bộ, Sầm Sơn, 2003.
Tiêu chuẩn kỹ thuật công trình giao thông - Tập 8 - Tiêu chuẩn thiết kế cầu 22 TCN272-01, Nhà Xuất Bản Giao Thông Vận Tải, Hà Nội, 2001.
Maunsell, Báo cáo cuối cùng về thiết kế cầu Mỹ Thuận, TP. Hồ Chí Minh, 1996.
L. Elsgolts, Differential equations and the calculus of variations, Moscow, 1980.
Manabu Ito, Yozo Fuzino, Toshio Miyata, Nobuyuki Narita, Cable-Srayed Bridge
Recent Developments and their Future, Amsterdam-London-New York- Tokyo, 1991.
Niels J. Gimsing, Cable Supported Bridges Concept & Design, Chichester-New YorkWeinheim-Brisbane-Toronto-Singapore, 1998.
Ray W. Clough and Joseph Penzien, Dynamics of structures, McGraw-Hill, Inc, 1993.
Rene Walther, Cable-Srayed Bridges, Thomas Telford, London, 1999.
Walter Podolny, Jr. Ph.D and John B. Scalzi, Sc.D., Construction and Design of Cable
- Srayed Bridges, New York-Chichester-Brisbane-Toronto-Singapore, 1986.
J.N. Reddy, An Introduction to the Finite Element Method, McGraw-Hill, Inc, 1991.
O.C. Zienkiewicz, CBE, FRS and R.L. Taylor, The Finite Element Method, McGrawHill, Inc, 1987.