Đề đáp án Toán vào lớp 10 Trần Đại Nghĩa http://violet.vn/thayNSTHcoL

BÀI GIẢI TÓM TẮT MÔN TOÁN (môn thi chung)
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 Năm học 2004–2005
TRƯỜNG PTTH TRẦN ĐẠI NGHĨA

Câu 1: (4 điểm)
Cho phương trình: x4–(3m+14)x2+(4m+12)(2–m) = 0 (có ẩn số là x)
a)Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
b) Định m sao cho tích số của 4 nghiệm trên đặt giá trị lớn nhất.
GiảI:
x4–(3m+14)x2+(4m+12)(2–m) = 0 (*)
a) Định m để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt.
Đặt t=x2
⇔ t2–(3m+14)+(4m+12)(2–m)=0 (**)
(*)
 t = 4m + 12
⇔
t = 2 − m
 4m + 12 > 0

2 − m > 0
 4m + 12 ≠ 2 − m
(*) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ 
−3 < m < 2

⇔ m ≠ −2
b) Định m sao cho tích số của 4 nghiệm trên đặt giá trị lớn nhất.
± t1 ± t 2
Ta có 4 nghiệm của (*) là
,
, với t1,t2 là nghiệm của (**)
x1x2x3x4

= t1t2=(4m+12)(2–m)
= –4m2 – 4m+24= –(2m+1)2+25 ≤ 25∀m
⇒ Giá trị lớn nhất của x1x2x3x4 là 25
1
khi m=– 2 thỏa điều kiện ở câu a
Câu 2 : Giải phương trình
x 2 + 2x + 1 − 1 = 2 − x 2
a)
12x − 8
2x + 4 − 2 2 − x =
9x 2 + 16
b)


Giải :
x 2 + 2x + 1 − 1 = 2 − x 2
2 − x 2 ≥ 0

⇔   x 2 + 2x + 1 − 1 = 2 − x 2
 2
2
 x + 2x + 1 − 1 = x − 2


a)
  2x + 1 = 3 − 2x 2
 2
 x ≤ 2
⇔
 2x + 1 = −1

(VN)
 2
x
≤
2




2
3 − 2x ≥ 0

⇔ x2 ≤ 2

2
  2x + 1 = 3 − 2x
  2x + 1 = 2x 2 − 3

 2 3
x ≤ 2

⇔
 2
 2x + 2x − 2 = 0
 2x 2 − 2x − 4 = 0
 2 3
x ≤ 2

−1 ± 5


⇔ x =
2

 x = −1

x = 2
 x = −1

 x = −1 + 5

2

2x + 4 − 2 2 − x =
b)

⇔

6x − 4
2x + 4 + 2 2 − x

=

12x − 8
9x 2 + 16
12x − 8
9x 2 + 16

(-2 ≤ x ≤ 2)

2

x = (1)

3
⇔
 2( 2x + 4 + 2 2 − x ) = 9x 2 + 16 (2)
(2) ⇒ 4(2x + 4) + 16(2 − x) + 16 8 − 2x 2 = 9x 2 + 16

⇒ 16 8 − 2x 2 − 8x = 9x 2 − 32
⇒ 8(2 8 − 2x 2 − x) = 9x 2 − 32
⇒

8(32 − 9x 2 )

= 9x 2 − 32

2 8 − 2x + x
9x 2 − 32 = 0
⇒
2 8 − 2x 2 + x = −8

4 2
x = ±
⇒
3
2 8 − 2x 2 = −8 − x(v« nghiÖm v× -2 ≤ x ≤ 2)

2

⇒x=±

4 2
4 2
x=
3 .Thử lại ta được
3

2
4 2
x = ;x =
3
3
Vậy phương trình có các nghiệm

Câu 3: (3 điểm)
Cho x,y là hai số thực khác 0. Chứng minh:
 x y
x2 y2
+ 2 + 4 ≥ 3 + 
2
y
x
 y x  (1)
Giải
x y
x
y
x y
t = + = +

+
y x
y
x
Đặt t= y x ⇒
x
y
+ ≥2
x
mà y
(do bất đẳng thức CôSi)
⇒ t ≥ 2 ⇒ t ≤ −2 hay 2 ≤ t
x2 y 2
2
t = 2+ 2
y x +2
Khi đó
Bất đẳng thức (1)

⇔ t 2 + 2 ≥ 3t
⇔ t 2 − 3t + 2 ≥ 0


⇔ ( t − 1) ( t − 2 ) ≥ 0
(2) là hiển nhiên đúng do t ≤ −2 hay 2 ≤ t

(2)

Câu 4 : (3 điểm)
Tìm các số nguyên x,y thỏa phương trình x2 + xy + y2 = x2y2

Giải :
x2 + xy + y2 = x2y2 ⇒ (2x +2y)2 = (2xy + 1)2 – 1
⇒ (2xy + 1 + 2x + 2y)(2xy + 1 – 2x – 2y) = 1
⇒ 2xy + 1 + 2x + 2y = 2xy + 1 –2x – 2y
⇒x+y=0
Thay vào phương trình ban đầu ta có :
x = 0,y = 0 hoặc x = 1,y = –1 hoặc x = –1,y = 1
Câu 5 (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tạI A nộI tiếp trong đường tròn (o;R). Vẽ tam giác
đều ACD (D và B ở hai nửa mặt phẳng khác nhau có chung bờ AC. GọI E là
giao điểm của BD vớI đường tròn (O), gọI M là giao điểm của BD vớI đường
cao AH của tam giác ABC.
a) a) Chứng minh MADB là một tứ giác nộI tiếp
b) b) Tính ED theo R
Giải

a) a) Dễ dàng chứng minh được
góc ABM = góc ACM
mà góc ABM = góc ADM (tam gíác ABD cân tạI A)
⇒ góc ACM = góc ADM
⇒ MADC là tứ giác nộI tiếp
b) b) Ta có góc EDC = gócOAC = gócOAB


góc DCE = 60o – gócECA = 60o – gócABE = góc BMH –góc ABM = gócOAB =
góc OBA
suy ra tam giác OAB bằng tam giác EDC
⇒ ED = OA = R
Câu 6 (2 điểm) :
Cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp trong đường tròn tâm O.Trên cung AC

không chứa điểm B lấy 2 điểm M và K theo thứ tự A,K,M,C . Các đoạn
thẳng AM và BK cắt nhau tại E ,còn các đoạn thẳng KC và BM cắt nhau tại
D. Chứng minh ED song song với AC.
Giải :

Ta có góc BKC= góc BAC = góc BCA= góc BMA nên EDMK là tứ giác nội tiếp
được.
⇒ góc EDK = góc EMK
mà góc EMK = góc ACK
⇒ góc EDK = góc ACK
⇒ ED//AC
Tổ toán trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa