HOT Hình phẳng Oxy: Các bài toán về giải tam giác Nguyễn Bá Tuấn

Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Các bài toán về tam giác

2015 - 2016

H
ề

ệ

Facebook: />
- Trang | 1 -


Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Các bài toán về tam giác

Hình học phẳng Oxy là 1 trong những phần kiến thức khó của kỳ thi THPT quốc gia v ƣợc coi là
phần lấy iểm iểm 8 trong ề thi. Với xu hƣớng ra ề của Bộ hiện nay ó l sự kết hợp các tính chất
hình học ặc trƣng ở cấp 2 và các công cụ trong hệ tọa ộ Oxy v o 1 b i toán. Khi ó b i toán hình học
phẳng sẽ trở lên phức tạp (hay) hơn v ể giải quyết ƣợc bài toán thì nút thắt ó chính l nhìn nhận và
chứng minh tính chất ặc trƣng. Trong chƣơng trình THCS ta ã ƣợc học các tính chất của rất nhiều
loại hình quen thuộc nhƣ: tam giác, tứ giác... và trong kỳ thi các năm trƣớc các dạng toán xoay quanh
các tính chất về tam giác ã xuất hiện không ít. Bởi vậy các b i toán dƣới ây sẽ giúp các bạn nắm rõ
các tính chất cũng nhƣ các dạng toán liên quan tới tam giác.
ƯỜNG

A.

Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 12, ỉnh A thuộc trục
ho nh. Đƣờng cao kẻ từ ỉnh B v C có phƣơng trình lần lƣợt là d1 : x  y  1  0 ; d2 : 2 x  y  4  0 .
Tìm tọa ộ ba ỉnh tam giác ABC.
HD
A

+ Gọi A(a; 0)
=> viết ƣợc phƣơng trình AB (chứa tham số a) qua A

E

vuông góc với d2. x  2 y  a  0

D

 Tìm ƣợc B(theo tham số a) là giao giữa d1 và AB

H

 B  a  2; a  1
=> viết ƣợc phƣơng trình AC (chứa tham số a) qua A

B

C

vuông góc với d1. x  y  a  0
 Tìm ƣợc C(theo tham số a) là giao giữa d2 và AC
 C  4  a;2a  4 
+ Ta có toạ ộ trực tâm H là giao của d1 và d2: H(1; 2)

1
+ Có S ABC  d(C , AB ) . AB  12
2
Tính ƣợc ộ d i oạn AB và d C , AB  theo biến a AB | a  1| 5 

trình 1 ẩn a⇒a=2(loại vì khi ó A trùng C) hoặc a=

24
. Khi ó ta sẽ ƣợc phƣơng
| 4  6a |
5

7
3

 7   1 4   19 26 
 Tìm ƣợc toạ ộ các iểm A, B, C: A  ;0  ; B  ;  ; C  ; 
 3  3 3  3 3 
Facebook: />
- Trang | 2 -


Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Các bài toán về tam giác

Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có M(1;0), N(4;-3) lần lƣợt l trung iểm các
cạnh AB, AC v D(2;6) l chân ƣờng cao hạ từ ỉnh A xuống cạnh BC. Tìm tọa ộ các ỉnh A, B, C.
HD

+ Ta viết ƣợc pt ƣờng BC qua D và // với MN: x  y  8  0 =0

A

+ Tham số hoá toạ ộ iểm B (theo biến b) qua phƣơng trình ƣờng BC:
B(b;8 - b).

M
N

 Toạ ộ iểm A (theo biến b) do AM  MB A  2  b; b  8
+ Viết ƣợc phƣơng trình ƣờng thẳng AD qua D và vuông góc với BC
B

x y40

C

D

 Thế toạ ộ iểm A(theo biến b) v o phƣơng trình AD, ta sẽ
tìm ƣợc b=7
 Tìm ƣợc toạ ộ iểm: B(7;1);A(-5;-1);C(13;-5)
Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có M(2;-1), N(2;2), P(-2;2) tƣơng ứng là chân
ƣờng cao hạ từ ỉnh A, B, C của tam giác ABC. Xác ịnh tọa ộ các ỉnh tam giác ABC.
HD
Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh H l tâm tr nội tiếp tam giác
MNP.
Pt MN là x = 2

A
N

Pt NP là y = 2
P

Pt MP là 3x + 4y - 2 = 0
Viết pt t NB l phân giác góc MNP l x – y =0
Viết pt t AM l phân giác góc PMN là x + 2y = 0
Pt t BC vuông góc AM v

i qua M l : 2x – y – 5 =0

B

C

M

Pt t AC i qua N v vuông góc BN l x + y – 4 = 0
Tọa ộ B l giao iểm NB và BC là B(5;5)
Tọa ộ iểm C là giao của AC và BC là C(3;1)
Tọa ộ iểm A l giao iểm của AC và AM là A(8;-4)

Facebook: />
- Trang | 3 -


Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Các bài toán về tam giác

Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC nội ƣờng tròn (C): x 2  y 2  25 , ƣờng thẳng
AC i qua K(2;1). Hai ƣờng cao BM và CN. Tìm tọa ộ A, B, C biết A có ho nh ộ âm và MN có
phƣơng trình 4x-3y+10=0.
HD

A

+ Xác ịnh ƣợc tâm I(0;0) và bán kính R=5 (C)
+ Ta có tính chất IA vuông góc với MN => viết ƣờng pt ƣờng AI:
M

3x  4 y  0

+ Dựa v o IA =R=> tìm ƣợc toạ ộ iểm A(-4;3).

N
K

 Viết ƣợc phƣơng trình ƣờng AC qua A và C x  3 y  5  0
 Tham số hoá toạ ộ iểm C theo t C  5  3t; t 

C

B

 5
 Dựa vào IC=R => toạ ộ C  0; 
 3

M l giao iểm của MN và AC⇒M(-1;2)
Pt MB i qua M v vuông góc với AC là:
B l giao iểm của BM v

tr (I)⇒B(-3;-4) (B;C cùng phía so với MN)

Bài toán 5: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC biết A(2;-1) v phƣơng trình ƣờng phân giác
trong của góc B và C lần lƣợt là x-2y+1=0, x+y+3=0. Viết phƣơng trình cạnh BC.
HD
A

Lấy ối xứng iểm A qua phân giác góc B ta ƣợc iểm D thuộc BC.
Pt AD là 2 x  y  3  0 cắt phân giác góc B tại M.
M l giao iểm của AD v

t ó M(1;1)⇒D(0;3)

Lấy ối xứng iểm A qua phân giác góc C ta ƣợc iểm E thuộc BC.
Pt AE là x  y  3  0 .N l giao iểm của AE và phân giác góc C

B

E

D

⇒N(0;-3) => Viết ƣợc phƣơng trình ƣờng BC qua E và D: x = 0

Bài toán 6: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC ƣờng cao AH, trung tuyến CM v ƣờng

phân giác trong BD. Biết iểm H(-4;1), M(4;-2) v phƣơng trình ƣờng thẳng BD là x+y-5=0. Tìm tọa
ộ ỉnh A.
HD
Facebook: />
- Trang | 4 -

C


Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Các bài toán về tam giác
A

Lấy H’ ối xứng với H qua BD =>H’(4;9) thuộc AB
 Viết ƣợc pt ƣờng ƣờng AB qua H’ v M: x = 4

D

Lấy M’ ối xứng với M qua BD => M’(7;1) thuộc BC

(4;2)

 Viết ƣợc pt ƣờng ƣờng BC qua M’ v H: y=1
 B là giao AB và BC B(4;1)
 Toạ ộ A là giao giữa AB và AH. A(4;3).

M

B

H

C

(-4;1)

Bài toán 7: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có phƣơng trình ƣờng thẳng phân giác trong
góc A là x-y=0, phƣơng trình ƣờng cao hạ từ ỉnh C là 2x+y+1=0, cạnh AC i qua iểm M(0;-1) và
AB=2AM. Tìm tọa ộ các ỉnh tam giác ABC.
HD
+ Lấy M’ l

A

iểm ối xứng của M qua phân giác góc A

H

 M’(-1;0) thuộc AB
 Viết ƣợc pt ƣờng AB qua M’ có VTPT l (1; -2): x  2 y  1  0

M
M'

 Toạ ộ iểm A l giao iểm giữa AB và phân giác trong góc A
⇒A(1;1)

B

C

+ Dựa vào dữ kiện AB=2AM =2AM’=> M’ l trung iểm AB⇒ toạ ộ iểm B(-1;-3)
Pt AM là 2 x  y  1  0
+ Toạ ộ C là giao giữa AM và CH: C(0;-1)
Bài toán 8: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy cho tam giác ABC có chân ƣờng phân giác hạ từ ỉnh A l iểm
D(1;-1). Phƣơng trình tiếp tuyến tại A của ƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC là x+2y-7=0. Giả sử
13 1
M( ;  ) l trung iểm của BD. Tìm tọa ộ các iểm A và C biết A có tung ộ dƣơng.
5 5
HD
A

H

I
B
M

D
C

Facebook: />
- Trang | 5 -


Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Các bài toán về tam giác

+ Ta tính ƣợc toạ ộ B qua BM  MD
+ Ta viết ƣợc pt BD qua B, D
=>Toạ ộ H l giao iểm của tiếp tuyến tại A và BD
+ Ta có góc HAB= góc ACB, góc BAD=góc CAD =>góc HAD=góc HDA => tam giác HAD cân tại H
 AH=AD => tọa ộ iểm A (loại 1 tọa ộ A có tung ộ dƣơng)
=>Tọa ộ C
Bài toán 9: Trong mặt phẳng hệ trục tọa ộ Oxy, cho tam giác nhọn ABC có phƣơng trình ƣờng trung
tuyến kẻ từ A v ƣờng thẳng chứa cạnh BC lần lƣợt là 3x+5y-2=0 và x-y-2=0. Đƣờng thẳng qua A
vuông góc với BC cắt ƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại iểm thứ hai là D(2;-2). Tìm tọa ộ các
ỉnh của tam giác ABC, biết ỉnh B có tung ộ âm.
HD
A

 3 1 
+ Ta có toạ ộ trung iểm M  ;  của BC là giao giữa AM và BC
2 2 

+ Viết pt ƣờng thẳng AD qua A và vuông góc với BC x  y  0
I

 Toạ ộ A(-1;1) là giao giữa AM và AD

B

C

M

+ Viết pt ƣờng IM qua M và vuông góc với BC x  y  1  0
 I l giao iểm của IM v ƣờng trung trực của AD

 I(1;0)
 Viết ƣợc pt ƣờng tròn ngoại tiếp tâm I bán kính IA

 x  1

2

D

 y 2  5  x  1  y 2  5
2

 Toạ ộ BC là giao giữa pt ƣờng BC với (I; IA).
 B(3;1), C(0;-2) hoặc ngƣợc lại.
Bài toán 10: Trong mặt phẳng hệ trục tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(1;-1), phƣơng trình
ƣờng thẳng chứa cạnh BC là y+4=0. Biết ƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC i qua hai iểm M(6;2), N(3;-7). Tìm tọa ộ iểm A.
M

A

HD
-

Gọi I là tâm ngoại tiếp ABC
D l iểm ối xứng của H Qua BC
Dễ thấy D thuộc ƣờng tròn ngoài tiếp
(do có góc BDA= góc BHK=góc BCA)
=> xác ịnh ƣợc toạ ộ iểm D
=> xác ịnh ƣợc tâm I ƣờng tròn ngoại tiếp ABC

Facebook: />
N
H
I
B

K

C

D

- Trang | 6 -


Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Các bài toán về tam giác

cũng chính l ƣờng tròn ngoại tiếp DMN.
 Toạ ộ iểm A l iểm thuộc ƣờng thẳng AH và IA=ID
 A(1;1)
Bài toán 11: Trong mặt phẳng hệ trục tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp ƣờng tròn
(C1 ) : ( x  4)2  ( y  4)2  32 . Biết A(0;5) v

ƣờng tròn (C2 ) i qua trung iểm ba cạnh của tam giác

có phƣơng trình l : (x  2)2  ( y  2)2  8 . Tìm tọa ộ hai iểm B và C.
HD
Tạm thời các em làm cách trâu bò sau:

Gọi B(a, b), C(c, d)
Có B, C thuộc ƣờng tròn (C1) => ta ƣợc 2 phƣơng trình
2
2

 a  4    b  4   32

2
2

 c  4    d  4   32

A

Gọi M, N, P lần lƣợt l trung iểm AC, BC, AB

P

 Tìm ƣợc toạ ộ các iểm M, N, P theo a, b, c, d:
 c d 5  a b5  ac bd 
 M ;
;
; P  ;
; N 

2 
2 2  2 2   2

M
J

B

I
C

N

Mặt khác ta có M, N, P thuộc (C2)
2
2
 c
  d 5


2


2

 
 8
2
2





2

2
 a

 b5

 2  8
  2   
  2

 2
2
2
 ac
 bd


 2  
 2  8

  2

 2

 Giải hệ ta sẽ tìm ƣợc các ẩn a, b, c, d


3
8  103
8  103
b  d  ;c 

;d 
2
4
4

Bài toán 12 (KD-2011):Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy cho tam giác ABC có ỉnh B(-4;1) , trọng tâm G(1;1)
v ƣờng thẳng chứa ƣờng phân giác trong góc A có phƣơng trình x-y-1=0 . Tìm tọa ộ ỉnh A và C

Facebook: />
- Trang | 7 -


Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Các bài toán về tam giác

Hướng dẫn giải
Gọi M l trung iểm của AC v E l

iểm ối xứng

A

với B qua phân giác (AD).
Với G là trọng tâm  BG  2GM (1)

M

+/ Ta có : M(x;y)  GM   x  1; y  1 .BG   5;0  suy

G

E

I

ra (1)

B

C

D

7


5  2  x  1
x 
7 

ta có hệ :  
2  M  ;1
2 
0  2  y  1


y 1
 x  4 y 1 
+/ Gọi E(x;y)  I  

;
 ; BE   x  4; y  1 (
2 
 2

I l trung iểm của BE ). Với u  1;1 . Nếu E ối xứng với B qua (AD): x-y-1=0 thì :
 x  4 1  1 y  1  0

x  y  3  0
x  2
 BE.u  0


  x  4 y 1


 E   2; 5
x

y

7

0
y


5
I


d


1

0





 2
2

x  2  t
 3

+/ (AC) qua E(2;-5) có véc tơ chỉ phƣơng ME    ; 6  // u '  1; 4    AC  : 
t  R 
 2

 y  5  4t

x  2  t
x  2  t


+/ (AC) cắt d tại A :   y  5  4t   y  5  4t  A   4;3
x  y 1  0
t  2



7

 xC  2.  4  3
+/ C ối xứng với A qua M cho nên C : 
 C   3; 1
2

 yC  2.1  3  1

Bài toán 13 (KD-2010). Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có ỉnh A(3;-7) ; trực tâm H(3;-1) và tâm
ƣờng tròn ngoại tiếp là I(-2;0) . Xác ịnh tạo ộ ỉnh C, biết C có ho nh ộ dƣơng
Hướng dẫn giải

Facebook: />
- Trang | 8 -


Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Các bài toán về tam giác

* Cách 1.

A

Từ tọa ộ A(3;-7) và H(3;-1) suy ra A,H nằm trên ƣờng thẳng
x  3
: x=3 và  AH  : 

. Đƣờng thẳng (BC) vuông góc với
 y  1  t

H
I

B

(AH) nên (BC): y=3 , do ó nếu gọi M l trung iểm của BC
thì thì IM//AH suy ra M nằm trên ƣờng thẳng x=-2 . Vậy M(2;3) . Gọi C=( m;3 ) do C có ho nh ộ dƣơng cho nên : m>0 .

C

M

B ối xứng với C qua M cho nên B=( -4-m;3). Ta có :

BH   7  m; 4  , AC   m  3;10 
ƣờng cao  BH  AC  BH AC  0   m  7  m  3  40  0

(BH) l







C  2  65;3
 m  2  65  0

 m  4m  61  0  
 m  65  2  
 B  2  65;3
 m  2  65  0

2

* Cách 2.
+/ Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính IA :
Với IA 

 3  2   7  0
2

2

A

 74   C  :  x  2  y 2  74
2

H

+/ Phƣơng trình (AH) : x=3 v BC  AH suy ra (BC) có dạng y=a
( a  7 ) ví (BC) không qua A . Do ó B,C thỏa mãn phƣơng trình

I

:  x  2   a 2  74  x 2  4 x  a 2  74  0 (1).
2

B

C

M

Do vậu (1) có hai nghiệm khi a  70
Do C có ho nh ộ dƣơng cho nên (1) :







B  2  74  a 2 ; C  2  74  a 2

+/ Do AC  AH  AC AH  0 





74  a 2  5





74  a 2  5   a  7  1  a   0

 a  7   70
 a 2  4a  21  0  
. Do ó a=3 . Vậy C  2  65;3
 a  3  70



Facebook: />


- Trang | 9 -


Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Các bài toán về tam giác

Cách 3:
- Đƣờng tr n (C) ngoại tiếp ABC có tâm I(-2; 0),
bán kính R  IA  74
 (C) có phƣơng trình: ( x  2)2  y 2  74
- BC có VTPT: n  AH (0;6)
- Gọi D l giao iểm của AH với (C)=> D (3; 7)
- Gọi K l giao iểm của AD với BC
- Có DBC

DAC

HBC

DKB

HKB

=> H ối xứng với D qua BC=> K=(3; 3)
=> Phƣơng trình ƣờng thẳng BC: y=3
- Có B, C  BC  (C ) => tọa ộ B, C l nghiệm của hệ:

y  3

y  3
   x  65  2  C

2
2
( x  2)  y  74

  x   65  2





65  2;3 vì xC  0

Bài toán 14: Trong mặt phẳng với hệ toạ ộ Oxy, cho tam giác ABC có trung iểm cạnh BC là M(3,2),
2 2
trọng tâm v tâm ƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lƣợt là G( , ) và I(1,-2). Xác ịnh tọa ộ

3 3
ỉnh C.
Hướng dẫn giải
7 4
IM  (2;4), GM   ; 
3 3

Gọi A(xA; yA). Có AG  2 GM  A(-4; -2).
Đƣờng thẳng BC i qua M nhận vec tơ IM l m vec tơ pháp tuyến nên có PT:
2(x - 3) + 4(y - 2) = 0  x + 2y - 7 = 0.. Gọi C(x; y). Có C  BC  x + 2y - 7 = 0.
Mặt khác IC = IA 

( x  1)2  ( y  2)2  25  ( x  1)2  ( y  2)2  25 .

x  2y  7  0
Tọa ộ C là nghiệm của hệ phƣơng trình: 
2
2
( x  1)  ( y  2)  25

Facebook: />
- Trang | 10 -


Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Các bài toán về tam giác

x  5
x  1

Giải hệ phƣơng trình ta tìm ƣợc 
và 
.
y  3
y  1
Vậy có 2 iểm C thỏa mãn là C(5; 1) và C(1; 3).
Bài toán 15: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy cho tam giác ABC, với A(2;1) , B(1; 2) , trọng tâm G của tam
giác nằm trên ƣờng thẳng x  y  2  0 . Tìm tọa ộ ỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5
Hướng dẫn giải
3 1
- Ta có : M l trung iểm của AB  ;   . Gọi C(a;b) , theo tính chất trọng tam tam giác :
2 2

a3

 xG  3

y  b 3
 G
3
- Do G nằm trên d :

a 3 b3

 2  0  a  b  6 1
3
3

- Ta có : AB  1;3   AB  :
- Từ giả thiết : S ABC 

3a  b  5
x  2 y 1

 3x  y  5  0  h  C, AB  
1
3
10

2a  b  5 2a  b  5
1
1
AB.h  C , AB  
10.

 13,5
2
2
2
10

 2a  b  5  27
 2a  b  32
 2a  b  5  27  

 2a  b  5  27
 2a  b  22
- Kết hợp với (1) ta có 2 hệ :

20

b


 a  b  6
 a  b  6

3



38

2a  b  32
3a  38
 38 20 


  a 
 C1  ;   , C2  6;12 
 a  b  6
 a  b  6
3

3 
 3



 b  12
 2a  b  22

 3a  18
 a  6


Bài toán 16. Trong mặt phẳng với hệ toạ ộ Oxy, hãy viết phƣơng trình các cạnh của tam giác ABC biết
trực tâm H (1;0) , chân ƣờng cao hạ từ ỉnh B là K (0; 2) , trung iểm cạnh AB là M (3;1) .
Hướng dẫn giải

Facebook: />
- Trang | 11 -


Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Các bài toán về tam giác

- Theo tính chất ƣờng cao : HK vuông góc với AC cho nên (AC) qua K(0;2) có véc tơ pháp tuyến

KH  1; 2    AC  : x  2  y  2   0  x  2 y  4  0 .

A

- B nằm trên (BH) qua H(1;0) v có véc tơ chỉ phƣơng

KH  1; 2   B 1  t; 2t  .

K

- M(3;1) l trung iểm của AB cho nên A(5-t;2+2t).

M H

- Mặt khác A thuộc (AC) cho nên : 5-t-2(2+2t)+4=0 , suy ra t=1 .
Do ó A(4;4),B(2;-2)

C

B

- Vì C thuộc (AC) suy ra C(2t;2+t) ,

BC   2t  2; 4  t  , HA   3; 4  . Theo tính chất ƣờng cao kẻ từ A :
 HA.BC  0  3  2t  2   4  4  t   0  t  1 . Vậy : C(-2;1).
- (AB) qua A(4;4) có véc tơ chỉ phƣơng BA   2;6  // u  1;3   AB  :

x4 y4

1
3

 3x  y  8  0

- (BC) qua B(2;-2) có véc tơ pháp tuyến HA   3;4    BC  : 3  x  2   4  y  2   0
 3x  4 y  2  0 .

Bài toán 17. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A(3;0), ƣờng cao từ ỉnh B có phƣơng trình
x+y+1=0 trung tuyến từ ỉnh C có phƣơng trình : 2x-y-2=0 . Viết phƣờng trình ƣờng tròn ngoại tiếp
tam giác ABC
Hướng dẫn giải

B

K
C

H

A

- Đƣờng thẳng d qua A(3;0) và vuông góc với (BH) cho nên có véc tơ chỉ phƣơng u  1;1 do ó

Facebook: />
- Trang | 12 -


Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Các bài toán về tam giác

x  3  t
x  3  t

 t  4  C  1; 4 
d: 
. Đƣờng thẳng d cắt (CK) tại C :  y  t
y  t
2 x  y  2  0

- Vì K thuộc (CK) : K(t;2t-2) v K l trung iểm của AB cho nên B ối xứng với A qua K suy ra B(2t3;4t-4) . Mặt khác K lại thuộc (BH) cho nên: (2t-3)+(4t-4)+1=0 suy ra t=1 và tạo ộ B(-1;0) . Gọi (C) :
x2  y 2  2ax  2by  c  0  a 2  b2  c  R 2  0  l

ƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Cho (C) qua

1

a

9  6a  c  0
2


lần lƣợt A,B,C ta ƣợc hệ : 4  4a  c  0
 b  0
5  2a  8b  c  0 c  6



2

1
25

- Vậy (C) :  x    y 2 
2
4


Bài toán 18. Cho tam giác ABC có AD, BE l các ƣờng cao, CC’ l

ƣờng trung tuyến xuất phát từ ỉnh

1 3
C(D, E, F lần lƣợt thuộc các cạnh BC: CA:AB). Biết tọa ộ D(0;0); E(1;2) ; C '( ; ) và O(1;1) là
2 2
tâm ƣờng tròn ngọai tiếp tam giác ABC. Xác ịnh tọa ộ các ỉnh của tam giác.
Hướng dẫn giải
Đối vơi b i toán n y ta chƣa thể ngay lập tức nhận ra ƣợc mối lien hệ giữa tâm ngoại tiếp của tam
giác và chân các ƣờng cao
Cho tọa ộ 2 iểm l chân ƣờng cao. Nó khiến ta nghĩ tới trực tâm trong tam giác. Ta thiết nghĩ nếu có
ƣợc tọa ộ trực tâm H thì có thể nói l b i toán ã ƣợc giải quyết.
Và câu hỏi ặt ra bây giừ ó l mối liên hệ giữa trực tâm v tâm ƣờng tròn ngoại tiếp.
Chắc hẳn các bạn vẫn còn nhớ bài toán chứng minh HG 

2
HO (với H; G; O lần lƣợt l trƣc tâm,
3

trọng tâm v tâm ƣờng tròn ngoại tiếp )
Tuy nhiên iều này có vẻ chẳng giúp ta giải quyết ƣợc iều gì trong bài toán này
Lại nhìn vào thấy có trung iểm C’.
Ta bắt ầu nghĩ về 1 iểm giúp ta liên hệ H với G khác, iểm O giúp ta nghĩ về ngoại tiếp và có lẽ ó
chính là tâm ngoại của ƣờng tròn ngoại tiếp 3 ỉnh D, E, C’. Một trong rất ít dữ kiện ề bài cho ta.
Nó thật sự có ích, ta ã tìm ra ƣợc, ó chính l
iểm).

ƣờng tr n Euler (hay c n ƣợc gọi l

Facebook: />
ƣờng tròn 9

- Trang | 13 -

Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Các bài toán về tam giác

Gọi O’ l tâm ngoại của ƣờng tròn Euler trong tam giác D, E, C’. V mối liên hệ của nó chính l O’ l
trung iểm của OH
Ta sẽ đ

ứ

O’

r

đ ểm của OH

Kẻ OA’ vuông góc với BC => A’ l trung iểm BC
Ta có ΔGOA’∼ΔGHA(g.g)
OA ' GA ' 1


AH AG 2
 OA '  HM
 OA’HM l hình bình h nh


Vì MDA '  900 => MA’ l

ƣờng kính của ƣờng tr n Euler => O’ l trung iểm MA’

M O’ cũng l trung iểm của HO( tính chất hình bình hành)
Từ ây ta có iều phải chứng minh
Lời giải cho bài toán chính
Từ tọa ộ D, E, C’ suy ra tâm tọa ộ iểm O’ ngoại tiếp tam giác DEF
Facebook: />
- Trang | 14 -


Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Các bài toán về tam giác

Từ tọa ộ của O v O’ suy ra có tọa ộ H (0;1) => M (0;2) => tọa ộ A(0;3)
Từ ây ta viết phƣơng trình các ƣờng thẳng AB, BC, CA và tìm ra tọa ộ các ỉnh.
(TRONG BÀI TOÁN NÀY PHƢƠNG TRÌNH BC CHÍNH LÀ Ox)
Công việc bây giờ trở nên vô cùng ơn giản bạn tự tìm nốt các iểm còn lại
Mở rộng bài toán
Ta có thể thay tọa ộ 2 chân ƣờng cao v trung iểm bằng bất kì 3 cặp iểm n o trong 9 iểm thuộc
ƣờng tr n Euler. V nhƣ thế ta có thể tạo ra rất nhiều b i toán tƣơng tự. Trong bài tóan trên ta cũng có
thể thay tọa ộ ) bằng tọa ộ G, v cách l m cũng tƣơng tự nhƣ thế.
Cái hay trong bài toán trên chính là nhìn ra tính chất của ƣờng tròn Euler. Bạn ọc cũng có thể khai
thác những tính chất sau của ƣờng tròn này :
Cách1: dựa vào tính chất đường tròn Euler tiếp xúc với các đường tròn bàng tiếp của tam giác ABC.
Với tính chất này ta có thể ƣa b i toán trở nên vô cùng khó bằng cách cho 3 ƣờng tròn.
Sau ó dựa v o 3 ƣờng tr n ể tìm ra ƣờng tr n tâm O’. rồi lại sử dụng các tính chất tiếp tuyến ể
tìm ra tọa ộ các ỉnh còn lại của tam giác.( thật sự ây l 1 bài toán sẽ trở lên vô cùng khó khăn ể giải
quyết
Cách 2: sử dụng tính chất bán kính đường trong Euler của tam giác ABC bằng 1 nửa bán kính đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Hay nói cách khác ta tận dụng tính chất O’A’ song song với OA. Ta có thể chọn 1 trong 3 iểm và
dùng 3 iểm ó ể có thể tìm ra iểm còn lại. Việc sử dụng ẩn dữ kiện cùng với 1 số liệu khác sẽ có
tính gây nhiễu rất cao và nếu không biết về ƣờng tròn này ta sẽ không thể giải quyết ƣợc bài toán. Ta
có thể cho thêm 1 dữ kiện về 3 trong số 1 iểm trên cùng với tọa ộ B hoặc C thì ta sẽ tìm ƣợc các tọa
ộ các ỉnh khác nhƣ H, G của tam giác.
Cách3 : Cho iểm G thay cho iểm O

Bài toán 19: Cho ∆ABC nội tiếp ƣờng tròn ( I ) và có trực tâm là H. D l 1 iểm thuộc cung nhỏ BC. E,
G lần lƣợt là hình chiếu của D trên AB, AC. F l giao iểm của HD và EG. Cho tọa ộ H(0;-3),
 9 
F 1;  , G(5;-4) Tính tọa ộ I biết C thuộc t 5x – 2y – 1 = 0.
 2 

Hướng dẫn giải:

Facebook: />
- Trang | 15 -


Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Các bài toán về tam giác

K
A
N

H
I

G

M

C

B
F
E

D

Dự đ

F

M, N lần lƣợt l

r

đ ểm DH
iểm ối xứng của D qua AB, AC

∠AMB=∠ADB=∠C
∠AHB+∠C=180⇒∠AMB+∠AHB=180
⇒AHBM nội tiếp⇒∠ABD=∠AHM=∠ABM
Tƣơng tự ∠AHN=∠ACD
∠ACD+∠ABD=180⇒∠AHM+∠AHN=180
⇒M,H,N thẳng hang suy ra F l trung iểm HD⇒D(2;-6)
Phƣơng trình AC: 3x + 2y – 7 = 0⇒C(1,2) I

Gọi K l giao iểm của BH và ( I ).
Cm H v K ối xứng với nhau qua AC⇒K(6,1)
Xác ịnh tọa ộ I . l giao iểm trung trực của DC,CK
PT ƣờng trung trực DC là 2x – 16y – 35 = 0
 17 11 
PT ƣờng trung trực CK là 5x – y - 16 =0⇒ I  ;

 6 6 

Facebook: />
- Trang | 16 -


Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Các bài toán về tam giác

Bài toán 20:Trong mặt phẳng với hệ tọa ộ Oxy ,cho
của BC , N cạnh AC sao cho AN 

ABC có AC  2 AB . Điểm M 1;1 l trung iểm

1
AC , D  BC sao cho AD ối xứng AM qua phân giác
3

trong BAC . Đƣờng thẳng DN có phƣơng trình 3x  2 y  8  0 . Xác ịnh tọa ộ các ỉnh

ABC , biết

C d : x  y 7  0 .
Hướng dẫn giải
A

N

B

C
D

M

Ta có: AD ối xứng AM qua phân giác AE của ABC  AE là phân giác trong
của DAM và BAD  MAC .
 sin BAD BD


 sin ABD AD
Áp dụng ịnh lý sin trong BAD, MAC : 
. Mà BAD  MAC
 sin MAC MC
 sin ACM  AM



sin ACM
sin ABD



BD. AM
1
MC. AD

AE là phân giác trong của DAM 

Xét trong ABC :

sin ACM
sin ABD



AM EM

 2
AD ED

BD.EM 1
AB 1
 *
 . Kết hợp (1) và (2) 
ED.MC 2
AC 2

Đặt BD  x, BC  a  x, a  0 .

a


BE 

BE AB 1 
3

 
Vì AE là phân giác trong của ABC 
2a
EC AC 2 
EC 

3
Facebook: />
- Trang | 17 -


Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

 ED 

Các bài toán về tam giác

a
2a a a
 x, EM  EC  MC 
 
3
3 2 6
x.

Thay vào (*) ta có:

a
6

a
a
  x
3
2



1
x
3

  2 x  a  3x  a  5 x hay BC  5BD , mà
a
2
x 2
3

BC  2BM  DM  BM  BD 

3
3 5
3
8
BC  . DC  DC  DC  DM

10
10 4
8
3

3d  6 
 3d  8 

 8  8d

D  DN : 3x  2 y  8  0  D  d ;
; 4d  8 
  DM  1  d ;
  DC  
2 
2 


 3

 8  5d 5d  8 
;
 C

2 
 3
Có C  d : x  y  7  0  xC  yC  7  0 

8  5d 5d  8


 7  0  d  2  C  6;1
3
2

 x  2 xM  xC  4
Khi ó  B
 B  4;1
 yB  2 yM  yC  1

Có AN 

1
2
3
AC  CN  AC  CA  CN . Mà N  DN : 3x  2 y  8  0
3
3
2

3n  6 
 3n  8 

 3n  18 9n  18 
 3n  6 9n  22 
;
;
 N  n;
  CN   n  6;
  CA  
  A


2 
2 
4 
4 


 2
 2
Lại có

AC  2 AB  AC 2  4 AB2
2
2
 3n  2 2  9n  18  2 
 3n  18   9n  18 

 
  4 
 
 
 2   4 
 2   4  



9n2  108n  324 81n2  324n  324
81n2  324n  324

 9n2  12n  4 

4
16
4

 117n2 108n  1620  468n2  1488n  1360  351n2  1596n  260  0  n  ...  A
Bài toán 21: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy , cho

ABC có trung iểm cạnh BC là M  3; 1 ; ƣờng thẳng

chứa ƣờng cao kẻ từ ỉnh B i qua E  1; 3 v
ộ các ỉnh

ƣờng thẳng chứa cạnh AC i qua F 1;3 . Tìm tọa

ABC , biết iểm ối xứng của A qua tâm ƣờng tròn ngoại tiếp

Facebook: />
ABC là D  4; 2 

- Trang | 18 -


Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Các bài toán về tam giác

Hướng dẫn giải

A
F

C
E

H
B

C

M
D

Gọi H là trực tâm

N
H
B

 BH  AC
. Mà D ối xứng A qua tâm ƣờng tròn ngoại tiếp
ABC  
CH  AB

 AB  BD
nên
ABC  
 AC  CD

 BD / /CH
 BHCD là hình bình hành  DH và BC cắt nhau tại trung iểm


CD / / BH

 x  2 xM  xD  2
mỗi ƣờng  M l trung iểm DH   H
 H  2;0 
 y H  2 yM  y D  0

Có D  4; 2  và M  3; 1  H  2;0   HE   3; 3  BH có 1 VTPT là nBC  1; 1  phƣơng
trình BH : x  y  2  0
AC có 1 VTPT là nAC 

1
HE  1;1  phƣơng trình AC : x  y  4  0
3

C  AC  C  c; 4  c  . M  3; 1 l trung iểm BC  B  6  c; c  6 


C  5; 1
Mà B  BH : x  y  2  0  6  c  c  6  2  0  c  5  

 B 1; 1
Có phƣơng trình BC : y  1 , AH  BC , H  2;0   phƣơng trình AH : x  2
x  2
x  2
A  AH  AC   A
 A
 A  2; 2 
 xA  y A  4  0

 yA  2

Facebook: />
- Trang | 19 -


Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Các bài toán về tam giác

Bài toán 22: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có ƣờng phân giác trong góc A v ƣờng
5
cao kẻ từ B có phƣơng trình lần lƣợt là 12x+4y-5=0; x-y-2=0. Điểm M(1;- ) l trung iểm cạnh BC.
2
Tìm tọa ộ ba ỉnh tam giác.
A

HD
+ Gọi toạ ộ B(b, b-2) => C(2-b, -3-b)
=>PT ƣờng thẳng AC qua C và vuông góc với BH có dạng:
( x  2  b)  ( y  3  b)  0  x  y  1  2b  0

 Toạ ộ iểm A là giao giữa AF với AC

B

C

M

9  8b

x

 x  y  1  2b  0

 9  8b 17  24b 
8

 A 
,


8
 8

12 x  4 y  5  0
 y   17  24b

8
Mặt khác do AF là tia phân giác góc A nên ta có

cos(AB,AF)=cos(AF,AC)
AB.AF



AB AF



AF.AC
AF AC

 7 31 
Các bạn giải tiếp sẽ tìm ƣợc toạ ộ B(-2;-4), C(4;-1), A  ; 
 8 8

Bài toán 23: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp ƣờng tròn tâm I(6;6), ngoại tiếp
ƣờng tr n tâm J(4;5). Xác ịnh tọa ộ 2 ỉnh B, C biết A(2;3)
HD
+ gọi D l giao iểm của AJ với ƣờng tròn ngoại tiếp

A

Khi ó tam giác IAD cân tại I.
Phƣơng trình ƣờng tròn (I):  x  6    y  6   25
2

-

2

Có phƣơng trình ƣờng AJ: x  y  1  0

 Tìm ƣợc toạ ộ iểm D là giao iểm của AJ v

I
tr (I)

D(9;10)
+ có D l

iểm chính giữa cung BC nên ID l

ƣờng trung trực

J
C

B

của BC.

D
Facebook: />
- Trang | 20 -


Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

+ Gọi M l

Các bài toán về tam giác

iểm tiếp xúc của ƣờng tròn nội tiếp với BC

 JM  BC

Khi ó ta có:  2

 JM  2
AI 2  IJ2
2
IJ

AI

2
AI
.
JM

JM

heä thöù c Euler 


2 AI


Pt t JM l 4 x  3 y  1  0
 26 33 
Tìm ƣợc toạ ộ M nằm trên JM và JM=2=> M  ;  (lƣu ý M v D cùng 1 phía so với t IJ)
 5 5 

viết c PT: BC 3x  4 y  42  0 => toạ ộ BC là giao giữa BC với ƣờng tròn ngoại tiếp.

B  2;9  ; C 10;3 hoặc ngƣợc lại
Bài toán 24: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy cho tam giác nhọn ABC có A(3;-7). Gọi H, K, M lần lƣợt là
chân ƣờng cao kẻ từ B v C; trung iểm của cạnh BC. Giả sử M(-2;3) v phƣơng trình ƣờng tròn

ngoại tiếp tam giác AHK là (C): ( x  3)2  ( y  4)2  9 . Tìm tọa ộ các iểm B, C.
HD
+ Ta xác ịnh ƣợc tâm J(3;-4) ƣờng tròn ngoại tiếp AHK l trung iểm AE
với E là trực tâm ABC

.

A

 Toạ ộ trực tâm E(3;-1)
+ Viết ƣợc phƣơng trình BC l

ƣờng thẳng qua M và có VTPT là AE
J

: y 3

H

K

+ Tham số hoá B theo biến t => toạ ộ C theo t B  t;3  C  3  t;3

E

Dựa vào AC  BE  t AC   t;10  ; BE   3  t; 4  ⇒t=8 hoặc t= - 5
Từ ó tìm ƣợc toạ ộ B, C: B(8;3);C(-5;3) hoặc ngƣợc lại

B

I

C

M

Bài toán 25: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, viết phƣơng trình các cạnh của tam giác ABC biết ỉnh A(1;3)
và hai trung tuyến có phƣơng trình l x-2y+1=0 và y-1=0.
A

HD
+ Nhận thấy A không thuộc trung tuyến nào
=> G/s ƣờng x-2y+1=0 qua B và y-1=0 qua C

E

F

+ Ta xác ịnh ƣợc trọng tâm G l giao 2 ƣờng trung tuyến G(1;1)
 Trung iểm M của cạnh BC (qua tính chất trọng tâm AB=2GM)
B

Facebook: />
G
C

M

- Trang | 21 -

Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Các bài toán về tam giác

 M(1;0)
+ Tham số hoá B qua ƣờng x-2y+1=0 theo biến t=> toạ ộ C theo t
x  y  5  0 B  2t  1; t   C  3  2t; t 

Thay toạ ộ C theo t v o phƣơng trình ƣờng CE => tìm ƣợc t=-1
=> toạ ộ B(-3;-1), C(5;1)
Bài toán 26: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có ỉnh A(2;7) v

ƣờng thẳng AB cắt Oy
13
tại iểm E sao cho AE  2EB . Biết rẳng tam giác AEC cân tại A và có trọng tâm G(2; ). Viết
3
phƣơng trình cạnh BC.
HD
A

+ Ta xác ịnh ƣợc toạ ộ iểm M l trung iểm của EC⇒M(2;3)
Do AEC cân tại A nên AM vuông góc với EC

N

 Viết ƣợc pt t EC qua M có VTPT l AM: y = 3

F

E

+ Mặt khác có E thuộc Oy

G

=> xác ịnh toạ ộ iểm E là giao giữa Oy với EC ⇒ E(0;3)

M

=> tìm ƣợc toạ ộ C (AC=AE= 2 5 và C thuộc t CE) suy ra C(4;3) B

C

=> tìm ƣợc toạ ộ iểm B (do AE  2EB ) B(-1;1)
PT BC là: 2 x  5 y  7  0
Bài toán 27: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G nằm trên ƣờng thẳng
d: 3x-y-8=0 v hai iểm A(2,-3), B(3;-2). Tìm tọa ộ ỉnh C biết diện tích tam giác GAB bằng

1
.
2

HD
+ Tham số hoá G theo biến t G  t;3t  8
 5 5 
+ Xác ịnh ƣợc trung iểm M của AB => M  ;  ⇒ C  3t  5;9t  19 
2 2 

+ Ta có diện tích tam giác ABC: SGAB  3.SGAB 

3 1
3
3
 .d C, BA .AB  d C, BA 

2 2
BA
2

Pt t AB l x - y – 5 = 0

Facebook: />
- Trang | 22 -


Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Các bài toán về tam giác

 Sử dụng công thức tính khoảng cách từ iểm C

ến ƣờng thẳng AB

 Tìm ƣợc t=1 hoặc t=2=> tìm ƣợc toạ ộ iểm C(-2;-10) hoặc C(1;-1)
Bài toán 28: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có ỉnh C(-1;-1) v phƣơng trình cạnh AB
là x+2y-3=0, trọng tâm của tam giác ABC thuộc ƣờng thẳng d: x+y-2=0. Tìm tọa ộ hai ỉnh A, B
biết AB= 5 .
HD
+ Tham số toạ trọng tâm G theo biến t G(t; 2 – t)

 3t 1 7 3t 
 Xác ịnh ƣợc toạ ộ trung iểm M của AB theo biến t M(   ;  
2 2 2 2
 M thuộc AB => toạ ộ M thoả mãn phƣơng trình AB
 Tìm ƣợc biến t=3 => toạ ộ G(3;-1), M(5;-1).

+ Tham số hoá toạ ộ iểm A theo biến a A(3-2a;a)
Dựa vào dữ kiện AB= 5  AM 

5
1
3
=> tìm ƣợc a 
hoặc a 
=> xác ịnh ƣợc toạ ộ A, B
2
2
2

 1   3 
A  4;  ; B  6;  hoặc ngƣợc lại.
 2   2 

B. TAM GIÁC CÂN
Bài toán 1 (B – 2009). Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A có ỉnh A(–1;4) và các
ỉnh B,C thuộc ƣờng thẳng  : x  y  4  0 . Xác ịnh toạ ộ các iểm B và C, biết diện tích tam giác
ABC bằng 18.
Giải :

A(-1;4)

+ Gọi H là hình chiếu của A lên BC =>HB=HC
1  4  4
9
AH  d( A, ) 

2
2
2
1 1
2S
2.18
 BC  ABC 
 4 2  BH  CH  2 2
9
AH
2

 AB  AH 2  BH 2 

81
97
8 
2
2

Facebook: />
SΔABC=18

B

Δ:x-y-4=0

C

H

- Trang | 23 -


Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

=> AB  AC 

Các bài toán về tam giác

97
2

Vậy B, C thuộc ƣờng tròn tâm A(1; 4) và bán kính R 
( x  1)2  ( y  4) 2 

97
có phƣơng trình :
2

97
2

x  y  4  0

y  x  4


Khi ó tọa ộ B, C là nghiệm của hệ : 

97
2
2
2
4 x  28 x  33  0
( x  1)  ( y  4)  2
  3 5   11 3 
3

 11
B  2 ;  2  , C  2 ; 2 
 x  2
 x  2

 

hoặc 
.
 

  11 3   3 5 
y  3
y   5
B  ;  ,C  ;  



2
2
  2 2 2 2
Bài toán 2. Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A và M l trung iểm của AB .
 2 7
Đƣờng thẳng CM có phƣơng trình y  3  0 và K   ;  là trọng tâm của tam giác ACM . Tìm tọa
 3 3
ộ các ỉnh của tam giác ABC , biết ƣờng cao từ ỉnh A của tam giác ABC có phƣơng trình
x y2  0.

Giải :
+) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Do ABC cân tại A nên tọa ộ iểm G là nghiệm của hệ:
y 3  0
 x  1
A

 G(1;3)

x

y

2

0
y

3



 2 7
+) Gọi MK i qua K   ;  và vuông góc với AG : x  y  2  0
 3 3
nên có phƣơng trình: x  y  3  0 .

Khi ó tọa ộ iểm M là nghiệm của hệ:
x  y  3  0
x  0

 M (0;3)

y 3  0
y  3

K

M
G

x+y-2=0

B

C

H

+) Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

 xC  0  3(1  0)
 xC  3
MC  3MG  

 C (3;3)
 yC  3  3(3  3)
 yC  3

Facebook: />
- Trang | 24 -


Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn

Các bài toán về tam giác

 xA  3xK  ( xC  xM )  2  (3  0)  1
 A(1;1)
+) Do K là trọng tâm tam giác ACM nên: 
 y A  3 yK  ( yC  yM )  7  (3  3)  1
Vì M l trung iểm của AB nên suy ra B(1;5)
Vậy A(1;1), B( 1;5), C( 3;3) .
Bài toán 3. Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân tại ỉnh A , BM l

ƣờng trung

tuyến. Kẻ ƣờng thẳng qua A vuông góc với BM cắt BC tại E (2;1) , trọng tâm tam giác ABC là
G(2; 2) . Xác ịnh tọa ộ các ỉnh của tam giác ABC .

Giải :

+ Do ABC cân tại A nên AG  BC  G trực tâm trong tam giác
ABE  EG  AB
Gọi F l giao iểm cuả EG với AB, khi ó :
GE GF 2

  GE  GF  F (2;3)
MC MA 3
=>Pt ƣờng AB i qua F (2;3) và vuông góc với EG : y  3  0

C

E(2;1)
M
G(2;2)

+ Gọi B(b;3)  AB
Ta có EFB vuông cân tại F , khi ó:
b  4  B(4;3)
FB  FE  (b  2)2  4  

b  0  B(0;3)

A

B

F

+ Với B(4;3) .
Ta có G là trọng tâm tam giác ABC và EF // AC , nên

2  4  2( xC  2)
 xC  1
BE  2 EC  

 C (1;0)
1  3  2( yC  1)
 yC  0

 x  1  3(2  2)
x  1
CA  3EG   A
 A
 A(1;3)
 y A  0  3(2  1)
 yA  3
+ Với B(0;3) tƣơng tự ta ƣợc C (3;0), A(3;3) .
Vậy A(1;3), B(4;3), C(1;0) hoặc A(3;3), B(0;3), C(3;0)

Bài toán 4. Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy , Cho tam giác ABC cân tại C có phƣơng trình cạnh AB là
 9
x  2 y  0 . Điểm I (4; 2) l trung iểm của AB , iểm M  4;  thuộc cạnh BC , diện tích tam giác
 2
ABC bằng 10. Tìm tọa ộ các ỉnh của tam giác biết tung ộ của iểm B không nhỏ hơn 3.
Facebook: />
- Trang | 25 -