Song song hóa các thuật toán trên mạng đồ thị

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của việc nghiên cứu
Lý thuyết đồ thị là một lĩnh vực nghiên cứu đã có từ lâu và có nhiều ứng
dụng hiện đại. Những tư tưởng cơ bản của lý thuyết đồ thị được đề xuất vào những
năm đầu của thế kỷ 18 bởi nhà toán học lỗi lạc người Thụy Sỹ Leonhard Euler.
Chính ông là người đã sử dụng đồ thị để giải bài toán nổi tiếng bảy cây cầu ở thành
phố Konigsberg [35].
Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh hoặc cung nối các
đỉnh đó [35]. Đây là công cụ hữu hiệu để mô hình hoá và giải quyết các bài toán
trong nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, kinh tế, xã hội, ...
Mạng là một dạng đồ thị định hướng có trọng số dùng để mô tả các mạng
lưới giao thông vận tải, liên lạc, truyền tin, ... Trọng số các cung trong mạng được
hiểu là khả năng thông qua (thông lượng) của cung [56].
Các bài toán chính trên đồ thị và mạng là các bài toán tìm đường đi, bài toán
luồng cực đại (maxflow problem) và có rất nhiều ứng dụng trong thực tế. Việc tìm
các phương pháp giải các bài toán trên để nâng cao hiệu năng tính toán và giảm thời
gian tính toán là một vấn đề được nhiều người quan tâm.
Hơn nữa, để đáp ứng được nhu cầu thực tế trên các mạng lưới giao thông thì
đồ thị và mạng đồ thị phải được cải tiến, mở rộng cho phù hợp (ví dụ như mạng đồ
thị truyền thống chỉ xét đến trọng số của các cạnh, các đỉnh một cách độc lập, trong
đó độ dài đường đi chỉ đơn thuần là tổng trọng số các cạnh và các đỉnh trên đường
đi đó. Tuy nhiên, trong nhiều bài toán thực tế, trọng số tại một đỉnh không giống
nhau với mọi đường đi qua đỉnh đó mà còn phụ thuộc vào cạnh đi đến và cạnh đi
khỏi đỉnh đó). Vì vậy, việc xây dựng các mô hình về đồ thị và mạng đồ thị mở rộng
là rất cần thiết để đáp ứng được nhu cầu thực tế hiện nay.
Hiện nay, ở trong nước cũng như thế giới việc xử lý song song đang được
ứng dụng ở nhiều trung tâm tính toán lớn cũng như ở các trường đại học. Nhiều nhà
khoa học đã nghiên cứu lý thuyết về xử lý song song, các mô hình, các phương
pháp để xử lý song song và đưa ra một số thuật toán song song điển hình. Mặc dù

1

tốc độ xử lý của các bộ xử lý tăng nhiều trong những năm qua, nhưng do giới hạn
về vật lý nên khả năng tính toán của chúng không thể tăng mãi được. Điều này, dẫn
tới là muốn tăng được khả năng tính toán của các hệ thống tính toán thì đích cuối
cùng là phải khai thác được khả năng xử lý song song của chúng.
Khi xây dựng thuật toán tuần tự cho các bài toán trên mạng đồ thị, nếu dữ
liệu đầu vào là lớn thì thuật toán tuần tự xử lý rất lâu hoặc có những trường hợp
thuật toán tuần tự không thực hiện được. Điều này, đòi hỏi phải phân tích dữ liệu,
tìm sự phụ thuộc dữ liệu giữa các bước của thuật toán, phân tích câu lệnh, tìm hiểu
các mô hình xử lý song song, hệ thống máy tính và ngôn ngữ lập trình để song song
hóa các thuật toán tuần tự tương ứng.
Vì thế, việc nghiên cứu các thuật toán tìm đường đi và các thuật toán tìm
luồng cực đại trên mạng đồ thị truyền thống và đồ thị mở rộng là rất cần thiết. Các
ứng dụng thực tế cho các thuật toán này đòi hỏi phải xử lý với khối dữ liệu lớn, thời
gian giảm đi so với thuật toán tuần tự. Đặc biệt, với các mô hình thực tế thì dữ liệu
càng ngày càng lớn. Do đó, xây dựng các thuật toán này theo hướng song song hóa
từ các thuật toán tuần tự là đòi hỏi hết sức cần thiết. Xuất phát từ đó chúng tôi chọn
vấn đề “Song song hóa các thuật toán trên mạng đồ thị” làm đề tài nghiên cứu
của luận án với hy vọng rằng những nghiên cứu của luận án không chỉ đóng góp về
mặt lý luận và thực tiễn của các thuật toán song song đã được đề xuất mà còn góp
phần làm nền tảng để tiếp tục xây dựng các thuật toán song song khác trên mạng đồ
thị.
2. Tổng quan tình hình nghiên cứu
Trên thế giới, vấn đề xử lý song song cũng được quan tâm từ rất lâu. John
Weley và Sons [40] đã giới thiệu cách xử lý song song và đánh giá độ phức tạp trong
tính toán song song. Michael J. Quinn [41] đã nghiên cứu về lý thuyết tính toán
song song và thực nghiệm, ông đã xây dựng các mô hình tính toán song song và đưa
ra các thuật toán song song cơ bản. Tiếp theo đó, Seyed H. Roosta [37] đã xây dựng
các mô hình cấu trúc máy tính. Từ đó, ông đưa ra kiến trúc để xử lý song song, cách

thực hiện chương trình song song, cách thiết kế thuật toán song song và xây dựng

2


các thuật toán song song trên đồ thị như: thuật toán tô màu đồ thị, bài toán người du
lịch, thuật toán tìm chu trình và thuật toán tìm cây khung nhỏ nhất trên đồ thị.
Năm 2002, Behrooz Parhami [39] đã nghiên cứu rất kỹ tại sao phải xử lý
song song và đưa ra mô hình xử lý song song: PRAM, bộ nhớ phân tán, kiến trúc
song song SIMD, MIMD… Đồng thời khẳng định tính khả thi của việc sử lý song
song. Ông cũng đã nêu ra động cơ để thúc đẩy việc xử lý song song là rất cần thiết.
Năm 2000, các tác giả M. Sasikumar, Dinesh Shikhare, P. Ravi Prakash [42] đã giới
thiệu về xử lý song song, phân tích các kiến trúc xử lý song song và xây dựng các
hệ thống tính toán song song trên đa bộ xử lý. Từ những cơ sở lý thuyết trên, luận
án sẽ xác định được những vấn đề liên quan đến xử lý song song: cách xây dựng
thuật toán song song, song song hóa thuật toán đã có, chọn ngôn ngữ lập trình song
song, mô hình xử lý song song, hệ thống thực nghiệm thuật toán và đánh giá độ
phức tạp về mặt thời gian.
Các tác giả trong các công trình [45], [47], [48], [49], [50], [51], [52], [58],
[59], [60], [61], [62] đã xây dựng các thuật toán song song trên đồ thị và mạng đồ
thị. Đặc biệt, các thuật toán tìm đường đi ngắn nhất, tìm cây phủ nhỏ nhất và tìm
luồng cực đại. Đây là các thuật toán cơ bản trên đồ thị. Các tác giả đã phân tích
thuật toán tuần tự, chọn hệ thống máy tính để thực hiện song song, xây dựng thuật
toán song song, chứng minh tính đúng đắn và chỉ ra độ phức tạp của thuật toán song
song. Các tác giả hầu hết đều phân tích và so sánh mức độ tăng tốc (speedup) của
thuật toán song song so với thuật toán tuần tự thông qua biểu đồ hoặc bảng biểu.
Bài toán tìm luồng cực đại trên mạng đồ thị là một trong số những bài toán
tối ưu trên đồ thị được ứng dụng rộng rãi trong thực tế cũng như những ứng dụng
thú vị trong lý thuyết tổ hợp. Bài toán được đề xuất và giải quyết bởi hai nhà toán
học Mỹ Ford and Fulkerson [53], các tác giả đã dùng phương pháp đường đi tăng

luồng để tìm luồng cực đại. Bài toán này sau đó được các nhà khoa học quan tâm
nghiên cứu. Edmonds và Karp [54] đưa ra phương pháp khác. Tuy nhiên, A.
Goldberg và R.E. Tarjan [55] đã đề xuất phương pháp đẩ y luồ ng trước . Phương
pháp này đề xuất cách tiếp cận khác để giải bài toán tìm luồng cực đại. Khái niệm

3


mới ở đây là luồ ng trước. Luồng trước là tập hợp các luồng trên cung , trong đó có
thể chấ p nhâ ̣n tồ n ta ̣i đỉnh có luồ ng vào lớn hơn luồ ng ra . Trong phương pháp này ,
các tác giả duy trì các luồ ng trước cực đa ̣i và hiê ̣u chin
̉ h chúng thành luồ ng

. Mới

đây nhất, các phương pháp mới tìm luồng cực đại cũng đã được nghiên cứu [2] [3],
[4], [5], [6], [7], [8].
Các thuật toán song song tìm luồng cực đại cũng đã được nghiên cứu. Năm
1988, A. Goldberg và R.E. Tarjan [57] đưa ra ý tưởng để xây dựng thuật toán song
song. Năm 1992, Anderson R. J. and Jo A. C. S [58] đã xây dựng thuật toán song
song tìm luồng cực đại bằng phương pháp đẩy luồng trước. Tiếp theo đó, Bader D.
and Sachdeva V [59] đã phát triển thuật toán song song bằng phương pháp đẩy
luồng trước theo các hướng khác nhau nhằm làm giảm thời gian tính toán của thuật
toán cũng như tận dụng được cấu trúc đa bộ xử lý. Năm 2008, Hong B đã công bố
công trình [60], đây cũng là thuật toán song song cho bài toán tìm luồng cực đại
bằng phương pháp đẩy luồng trước. Năm 2010, Zhengyu He, Bo Hong đã xây dựng
thuật toán song song trong môi trường GPU dùng ngôn ngữ CUDA [61]. Từ các
công trình đã phân tích ở trên, luận án sẽ tối ưu thuật toán song song đẩy luồng
trước tìm luồng cực đại được kế thừa từ [61], đề xuất thuật toán song song hỗn hợp
đẩy kéo luồng tìm luồng cực đại sao cho giảm được thời gian tính toán so với các

thuật toán khác.
Hơn nữa, trong thực tế cần xây dựng mạng đồ thị mở rộng, từ đó xây dựng
thuật toán tìm luồng cực đại đồng thời chi phí giới hạn trên mạng giao thông mở
rộng để giải quyết bài toán phân luồng giao thông. Tuy nhiên, trên thực tế mạng
lưới giao thông rất phức tạp nên việc thực hiện tuần tự sẽ tốn rất nhiều thời gian với
dữ liệu đầu vào lớn. Do đó, chúng tôi sẽ đề xuất thuật toán song song tìm đường đi
ngắn nhất trên đồ thị mở rộng và thuật toán song song tìm luồng cực đại đồng thời
chi phí giới hạn trên mạng giao thông mở rộng.
Tóm lại, xuất phát từ nhu cầu thực tế và kế thừa nghiên cứu trước đó. Luận
án xác định rõ các nội dung cụ thể về lý thuyết như: Kiến trúc xử lý song song, mô
hình xử lý song song và phân tích sự phụ thuộc dữ liệu. Từ đó, đề xuất thuật toán

4


song song, tìm môi trường lập trình song song, hệ thống thực nghiệm, lập trình song
song và cách đánh giá độ phức tạp thời gian tính toán song song. Bên cạnh đó, luận
án sẽ đề xuất các thuật toán song song mới từ các thuật toán tuần tự tương ứng để
làm giảm thời gian tính toán khi dữ liệu đầu vào lớn. Đồng thời, luận án tối ưu thuật
toán song song đẩy luồng trước tìm luồng cực đại dựa vào sự tồn tại của các nghiên
cứu đã công bố như: vấn đề chia dữ liệu, môi trường thực nghiệm và đưa ra ví dụ
minh họa. Các thuật toán trong luận án là song song về dữ liệu, phân chia dữ liệu
cho các bộ xử lý để các bộ xử lý cùng đồng thời thực hiện các công việc được giao.
Hay nói cách khác, song song dữ liệu là song song mà trong đó tập trung vào phân
phối dữ liệu qua các bộ xử lý tính toán khác nhau để được xử lý song song.
3. Mục tiêu của luận án
- Phân tích đánh giá về mặt lý thuyết và thuật toán để tìm ra các hạn chế của
thuật toán song song trên mạng đồ thị. Từ đó, cải tiến những hạn chế của thuật toán
song song đã có.
- Đề xuất, phân tích các thuật toán tuần tự về mặt câu lệnh và dữ liệu để đề

xuất các thuật toán song song tương ứng.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
 Đối tượng nghiên cứu
- Luận án nghiên cứu lý thuyết xử lý song song, các mô hình tính toán song
song.
- Luận án nghiên cứu lý thuyết đồ thị, chủ yếu là bài toán tìm đường đi ngắn
nhất trên đồ thị mở rộng, các thuật toán tìm luồng cực đại trên trên mạng đồ thị
truyền thống và mạng đồ thị mở rộng.
 Phạm vi nghiên cứu
- Đề xuất thuật toán song song tìm đường đi ngắn nhất trên đồ thị mở rộng.
- Tối ưu thuật toán song song tìm luồng cực đại bằng phương pháp đẩy luồng
trước từ thuật toán song song đã có.
- Đề xuất thuật toán song song tìm luồng cực đại bằng phương pháp hỗn hợp
đẩy kéo luồng.

5


- Đề xuất thuật toán song song tìm luồng cực đại đồng thời chi phí giới hạn
trên mạng giao thông mở rộng.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Tổng hợp, phân tích các kết quả nghiên cứu trước đây từ đó rút ra, tìm ra
các vấn đề cần phải giải quyết và đút rút các phương pháp giải quyết vấn đề.
- Tìm các phương pháp mở rộng bài toán, cải tiến, xây dựng các thuật toán
mới để giải quyết các vấn đề đặt ra.
- Từ thực nghiệm đến chứng minh bằng phương pháp toán học để chỉ ra tính
vượt trội của cấu trúc mới, thuật toán mới.
6. Điểm mới của luận án
- Đề xuất thuật toán song song tìm đường đi ngắn nhất trên đồ thị mở rộng.
Chúng tôi đề xuất thuật toán này để ứng dụng cho mạng giao thông phù hợp với

thực tế. Từ đó, phân tích độ phức tạp thời gian và đưa ra ví dụ minh họa rõ ràng.
- Tối ưu thuật toán song song tìm luồng cực đại bằng phương pháp đẩy luồng
trước từ thuật toán song song đã có. Điểm mới ở đây là phân tích dữ liệu, chia dữ
liệu cụ thể cho các bộ xử lý. Phần thực nghiệm được thực hiện rõ ràng, chương trình
được xây dựng trên hệ thống cụm máy tính. Các kết quả được bình luận và so sánh
cụ thể.
- Đề xuất thuật toán song song tìm luồng cực đại bằng phương pháp hỗn hợp
đẩy kéo luồng. Chúng tôi kết hợp thuật toán đẩy luồng trước và thuật toán kéo
luồng sau để xây dựng thuật toán song song. Các định lý liên quan đến thuật toán
được chứng minh và các ví dụ minh họa được xây dựng cụ thể. Do tính độc lập của
thuật toán đẩy và kéo luồng nên thời gian thực hiện thuật toán song song giảm so
với thời gian thực hiện của các thuật toán song song khác.
- Đề xuất thuật toán song song tìm luồng cực đại đồng thời chi phí giới hạn
trên mạng giao thông mở rộng. Để giảm thời gian tính toán của thuật toán, chúng tôi
đã xây dựng thuật toán song song tìm luồng cực đại chi phí giới hạn. Các định lý
liên quan đến thuật toán được chứng minh. Thuật toán song song làm giảm nhiều
thời gian so với thuật toán tuần tự.

6


7. Kết quả nghiên cứu
- Luận án đã đề xuất được các thuật toán song song mới trên cơ sở các yêu
cầu thực tế đặt ra, chứng minh tính đúng đắn, phân tích độ phức tạp thời gian của
thuật toán. Đồng thời luận án cũng song song hóa thuật toán đã có, từ đó chỉ ra các
ưu điểm so với thuật toán đã có trước.
- Luận án cũng đã xây dựng được chương trình thực nghiệm trên các hệ
thống song song khác nhau. Từ đó, đưa ra các số liệu cụ thể để: đánh giá, so sánh
kết quả đạt được của thuật toán song song so với thuật toán tuần tự và so sánh với
các thuật toán song song đã có trước đó.

8. Bố cục của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận án được trình bày
thành ba chương cơ bản như sau:
Chương 1: Xử lý song song.
Nội dung trong chương này chủ yếu trình bày lý thuyết về xử lý song song:
kiến trúc song song, các mô hình về xử lý song song, cách xây dựng thuật toán song
song và cách đánh giá độ phức tạp thời gian của thuật toán song song.
Chương 2: Các thuật toán tuần tự và song song trên mạng đồ thị truyền
thống.
Nội dung thứ nhất trong chương này chủ yếu tối ưu thuật toán song song đẩy
luồng trước tìm luồng cực đại được kế thừa từ các công trình đã được nghiên cứu.
Nội dung thứ hai, đề xuất thuật toán tuần tự hỗn hợp đẩy kéo luồng. Từ đó, đề xuất
thuật toán song song mới cho thuật toán hỗn hợp này.
Chương 3: Một số thuật toán song song tìm đường đi ngắn nhất và tìm luồng
cực đại trên mạng đồ thị mở rộng.
Nội dung trong chương này chủ yếu kế thừa các thuật toán tuần tự để đề xuất
các thuật toán song song tìm đường đi ngắn nhất trên đồ thị mở rộng và thuật toán
song song tìm luồng cực đại chi phí giới hạn trên mạng giao thông mở rộng.

7


CHƢƠNG 1. XỬ LÝ SONG SONG
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày lý thuyết về xử lý song song: kiến
trúc song song, các mô hình về xử lý song song, cách xây dựng thuật toán song
song và cách đánh giá độ phức tạp thời gian của thuật toán song song. Trên cơ sở
đó, chúng tôi đề xuất các thuật toán song song trong các chương tiếp theo. Nội dung
của chương này chủ yếu được kế thừa từ các tài liệu [1], [37], [39], [41].

1.1. Giới thiệu về xử lý song song

Các ứng dụng của lý thuyết đồ thị là rất lớn và rất phong phú trong nhiều
lĩnh vực khác nhau như: kinh tế, giao thông, truyền thông, điện tử, y khoa… Vì vậy,
các bài toán trên đồ thị cần phải xử lý với dữ liệu đầu vào là rất lớn để đáp ứng nhu
cầu thực tế. Do vậy, cần xây dựng các bài toán này theo hướng song song để giảm
thời gian tính toán.
Những vấn đề về xử lý ngôn ngữ tự nhiên, nhận dạng, xử lý ảnh ba chiều, dự
báo thời tiết, mô hình và mô phỏng những hệ thống lớn trong thực tế đều đòi hỏi
phải xử lý dữ liệu với tốc độ rất cao và khối lượng dữ liệu rất lớn. Do đó, cần phải
có những hệ thống máy tính thật mạnh mới thực hiện được những yêu cầu trong
thực tế một cách nhanh chóng và hiệu quả. Điều này còn gặp nhiều khó khăn do khả
năng giới hạn về vật lý. Vì vậy, hướng xử lý song song là dùng các hệ thống máy
tính đa bộ xử lý hoặc bộ xử lý đa nhân được lựa chọn để giải quyết các bài toán đặt
ra.
Xử lý song song là quá trình xử lý gồm nhiều tiến trình được kích hoạt đồng
thời và cùng tham gia giải quyết một vấn đề, nói chung là thực hiện tính toán trên
những hệ thống đa bộ xử lý [1].
Tính toán song song là một hình thức tính toán trong đó nhiều phép tính
được thực hiện đồng thời, hoạt động trên nguyên tắc là những vấn đề lớn đều có thể
chia thành nhiều phần nhỏ hơn để giải quyết đồng thời trên các bộ xử lý. Các bộ xử
lý cùng kết hợp với nhau để giải quyết cùng một vấn đề cho nên giảm được thời gian xử
lý, vì mỗi thời điểm có thể có nhiều phép toán được thực hiện đồng thời.

8


Phần lớn các hệ điều hành ngày nay đều đã hỗ trợ đa xử lý, đa nhiệm và cho
phép nghiên cứu, khai thác các phương pháp lập trình song song. Bằng cách tăng số
lượng bộ xử lý, ta hy vọng sẽ thực hiện nhiều công việc hơn với thời gian ít hơn so
với hệ điều hành đơn bộ xử lý. Hệ đa xử lý cho phép chia các công việc thành các
phần nhỏ giao cho các bộ xử lý đảm nhận, cho phép tích hợp các hệ thống máy tính

đã có để tạo ra các hệ thống mới với sức mạnh tăng rất nhiều lần.
Một trong các mục đích chính của xử lý song song là thực hiện tính toán
nhanh trên cơ sở sử dụng nhiều bộ xử lý đồng thời. Cùng với tốc độ xử lý nhanh
hơn, việc xử lý song song cũng sẽ giải được những bài toán phức tạp và yêu cầu
khối lượng tính toán lớn.

1.2. Kiến trúc máy tính song song
Theo Michael Flynn [79] và Seyed H. Roosta [37], kiến trúc máy tính được
phân thành 4 loại:
- SISD (Single Instructions Stream, Single Data Stream): Máy tính một luồng
lệnh, một luồng dữ liệu. Các máy tính SISD tương ứng với các máy một bộ xử lý
mà chúng ta đã nghiên cứu. SISD chỉ có một CPU, ở mỗi thời điểm thực hiện một
chỉ lệnh và chỉ đọc, ghi một mục dữ liệu.
- SIMD (Single Instructions Stream, Multiple Data Stream): Máy tính một
luồng lệnh, nhiều luồng dữ liệu. Các máy SIMD có một số lớn các bộ xử lý giống
nhau, cùng thực hiện một lệnh giống nhau để xử lý nhiều luồng dữ liệu khác nhau.
Mỗi bộ xử lý có bộ nhớ dữ liệu riêng, nhưng chỉ có một bộ nhớ lệnh và một đơn vị
điều khiển.
- MISD (Multiple Instructions Stream, Single Data Stream): Máy tính nhiều
luồng lệnh, một luồng dữ liệu. Máy tính loại MISD là ngược lại với SIMD. Máy tính
MISD có thể thực hiện nhiều lệnh trên cùng một mục dữ liệu. Đây là lớp các máy
tính yêu cầu những đơn vị xử lý khác nhau có thể nhận được những chỉ lệnh khác
nhau để thực hiện trên cùng một mục dữ liệu.
- MIMD (Multiple Instruction Stream, Multiple Data Stream): Máy tính
nhiều luồng lệnh, nhiều luồng dữ liệu. Các máy MIMD nổi lên và được xem như

9


một kiến trúc đương nhiên phải chọn cho các máy nhiều bộ xử lý dùng trong các

ứng dụng thông thường, một tập hợp các bộ xử lý thực hiện một chuỗi các lệnh
khác nhau trên các tập hợp dữ liệu khác nhau. Máy tính loại MIMD còn gọi là đa bộ
xử lý. Trong đó, mỗi bộ xử lý có thể thực hiện những luồng lệnh khác nhau trên các
luồng dữ liệu riêng. Hầu hết các hệ thống MIMD đều có bộ nhớ riêng.

1.2.1. Kiến trúc song song SIMD
Phần tử
xử lý 1

Tín hiệu
điều khiển

Phần tử
xử lý 2
.
.
.
Phần tử
xử lý n

Luồng lệnh

Kết quả

Luồng
dữ liệu 1
Luồng
dữ liệu 2

Luồng

dữ liệu n

Bộ nhớ
Hình 1.1. Mô hình kiến trúc song song SIMD
Trong một máy SIMD, nhiều thành phần xử lý được giám sát bởi một đơn vị
điều khiển. Tất cả những thành phần xử lý đều nhận cùng mệnh lệnh từ đơn vị điều
khiển nhưng lại thực hiện trên những tập dữ liệu khác nhau và đến từ những luồng
dữ liệu khác nhau. Một máy SIMD có những đặc điểm sau: xử lý phân tán trên một
số lượng lớn phần cứng, thực hiện đồng thời trên nhiều thành phần dữ liệu khác
nhau và thực hiện cùng một câu lệnh trên các thành phần dữ liệu. Mô hình kiến trúc
song song SIMD được Seyed H. Roosta trình bày ở [37, tr. 6] như trong Hình 1.1.

1.2.2. Kiến trúc song song MIMD
Một máy tính MIMD là một hệ thống nhiều bộ xử lý và nhiều bộ nhớ, trong
đó mỗi bộ xử lý có một đơn vị xử lý riêng và thực hiện chương trình riêng. Các bộ
xử lý thực hiện nhiều câu lệnh khác nhau trên các tập dữ liệu khác nhau, chia sẻ tài
nguyên chứa trong hệ thống bộ nhớ chính. Các hệ thống MIMD thực hiện các phép
toán theo dạng song song không đồng bộ [34], [37].

10


Mô hình MIMD gồm hai loại: loại các bộ kết nối chặt và loại các bộ kết nối
rời tùy thuộc vào cách thức mà các bộ xử lý truy cập vào bộ nhớ.
Những bộ xử lý kết nối chặt được chia sẻ từ một hệ thống bộ nhớ chung
được hiểu là hệ thống chia sẻ bộ nhớ. Mô hình này được Seyed H. Roosta trình bày
ở [37, tr. 24] như trong Hình 1.2.
Bộ xử lý1

...

Bộ xử lý2

Bộ xử lýn

Mạng kết nối

Bộ nhớ1

....

Bộ nhớ2

...

Bộ nhớm

Bộ nhớ chung
Hình 1.2. Mô hình MIMD chia sẻ bộ nhớ
Đối với hệ thống MIMD kết nối rời chia sẻ từ bộ nhớ hệ thống nhưng mỗi bộ
xử lý có một bộ nhớ riêng được hiểu như hệ thống truyền thông điệp. Những máy
tính truyền thông điệp gửi đến nhiều máy tính trong đó mỗi bộ xử lý có bộ nhớ
riêng và chỉ truy cập đến bộ xử lý đó. Mô hình này được Seyed H. Roosta trình bày
ở [37, tr. 25] như trong Hình 1.3.
Mạng kết nối

Bộ nhớ1

Bộ nhớ2

Bộ xử lý1

Bộ xử lý 2

...
...

Bộ nhớm

Bộ xử
.... lým

Hình 1.3. Mô hình MIMD truyền thông điệp
11


1.2.3. Mô hình máy tính PRAM
PRAM (Parallel Random Access Machine) là mô hình máy truy cập ngẫu
nhiên song song được đưa ra bởi Fortune và Wyllie [80] vào năm 1978 và được đề
cập, phát triển nhiều trong [37], [39], [41]. Thông thường khi xây dựng các thuật
toán song song, chúng ta quy ước là phát triển thuật toán cho mô hình trừu tượng
này.
PRAM không phải là một môi trường thực thi cụ thể (mang tính vật lý), mà là
một mô hình máy tính song song trừu tượng với cấu trúc bao gồm: k bộ xử lý có bộ
nhớ cục bộ riêng, một bộ nhớ dùng chung với một mô hình truy xuất bộ nhớ phải
được quy định (ví dụ, CREW – Concurrent Read, Exclusive Write - Cho phép xung
đột đọc và không cho phép xung đột ghi [37, tr. 62]) và thời gian liên lạc là không
có. Xử lý được bắt đầu với đầu vào lưu trong bộ nhớ toàn cục và một bộ xử lý được
kích hoạt. Tại mỗi bước, một bộ xử lý đang hoạt động có thể thực hiện một trong các
thao tác: đọc dữ liệu từ bộ nhớ riêng cục bộ hay bộ nhớ toàn cục, ghi dữ liệu vào bộ

nhớ riêng cục bộ hay toàn cục hoặc kích hoạt bộ xử lý khác. Các mô hình PRAM khác
nhau ở chỗ làm thế nào để giải quyết được các xung đột từ thao tác ghi và đọc vào bộ
nhớ toàn cục.
Theo Seyed H. Roosta [37], Behrooz Parhami [39] và Michael J. Quinn [41],
mô hình PRAM chia thành 3 loại:
- EREW (Exclusive Read, Exclusive Write): Không cho phép xung đột đọc và
ghi [37, tr. 62-63].
- CREW (Concurrent Read, Exclusive Write): Cho phép xung đột đọc và
không cho phép xung đột ghi. Tại cùng một thời điểm, nhiều bộ xử lý có thể đọc
đến cùng một địa chỉ trong bộ nhớ toàn cục nhưng không có quá một bộ nhớ được
phép ghi [37].
- CRCW (Concurrent Read, Concurrent Write):Cho phép xung đột đọc và
cho phép xung đột ghi. Tại cùng một thời điểm, nhiều bộ xử lý có thể đọc hoặc ghi
cùng một địa chỉ trong bộ nhớ toàn cục [37]. Mô hình PRAM được Michael J.
Quinn biểu diễn trong [41] như trong Hình 1.4.

12


CU

...

P1. Bộ nhớ riêng 1

...

...

...

P2. Bộ nhớ riêng 2

Pk. Bộ nhớ riêng k

Mạng kết nối

Bộ nhớ chung
...

Hình 1.4. Mô hình PRAM
Với mô hình trừu tượng này thì độ phức tạp của một thuật toán song song
mới định nghĩa được. Chú ý, như đã nói ở trên, mô hình PRAM không có thời gian
liên lạc, nhưng độ phức tạp sẽ được quy ra số bước để gửi và nhận kết quả.
Độ phức tạp được quy ra số bước để gửi và nhận kết quả được đánh giá theo
hàm log. Ví dụ, trong [37, tr. 273-274] Seyed H. Roosta đã phân tích, chứng minh
được thời gian tính của thuật toán song song ký hiệu Tk trên k bộ xử lý tìm cây
khung (spanning tree) trên đồ thị n đỉnh là: Tk= O(n2/k)+O(n log k). Với O(n log k)
là độ phức tạp bởi số bước gửi và nhận kết quả, O(n2/k) là thời gian tính toán.
Tương tự như vậy, Hua Wang [51] đã đề xuất thuật toán song song tìm đường đi
ngắn nhất của mọi cặp đỉnh trên đồ thị. Ông cũng đã chỉ ra độ phức tạp bởi số bước
gửi và nhận kết quả là O(n2log k) và thời gian tính toán là O(n3/k).
Tuy nhiên, cần lưu ý rằng thời gian tính toán và thời gian truyền thông được
quy định bởi số bước gửi và nhận kết quả là để phân tích đánh giá thời gian thực
hiện song song, còn về mặt lý thuyết thì độ phức tạp của thuật toán tuần tự và song
song là như nhau.
Hơn nữa, thời gian thực hiện thuật toán song song trong môi trường thực tế
còn phụ thuộc vào rất nhiều tham số khác như: kích cỡ thông điệp, cấu hình kết nối

13

mạng đường truyền và cách thức truyền thông điệp.
Khi thực nghiệm thì không thể lặp lại mô hình PRAM trừu tượng, và do đó
phát sinh rất nhiều loại phí tổn khác nhau như đã đề cập ở trên. Do có nhiều loại phí
tổn nên rõ ràng là mức độ tăng tốc (speedup) không thể lên cao được khi tăng số
lượng bộ xử lý lên nhiều lần.
Như vậy, mục đích của mô hình PRAM là để xây dựng mô hình lý thuyết.
Dựa trên mô hình này, chúng ta có thể đánh giá độ phức tạp về mặt thời gian của
thuật toán. Đây là mô hình tổng quát cho máy tính song song kiểu MIMD.

1.3. Thuật toán song song
1.3.1. Quy trình thiết kế thuật toán song song
Song song hóa thuật toán là chuyển một thuật toán tuần tự đã có thành một
thuật toán song song. Quy trình thiết kế thuật toán song song thực hiện qua bốn
công đoạn: phân rã (Partition), truyền thông (Communication), tích tụ
(Agglomeration) và ánh xạ (Mapping) [37].
- Phân rã: Khi bài toán được xác định, công việc tính toán và dữ liệu của bài toán
được phân rã thành nhiều tác vụ. Ta cố gắng chú trọng vào việc xác định được
nhiều tác vụ càng nhiều càng tốt nếu có thể. Số lượng tác vụ có thể lớn hơn nhiều so
với số lượng bộ xử lý để linh hoạt hơn khi áp dụng vào mô hình thực tế. Trong giai
đoạn này ta chưa đề cập đến vấn đề truyền thông, cấu trúc máy tính song song mà
chỉ đề cập đến việc xác định được các khả năng thực hiện song song của bài toán.
Mục đích của công đoạn này là ta tìm ra tập các tác vụ độc lập với nhau của bài toán
và chú ý việc kết hợp dữ liệu, xác định kết hợp tính toán với dữ liệu như thế nào.
- Truyền thông: Công đoạn truyền thông được thể hiện thông qua luồng thông tin
sao cho các tác vụ được tạo ra trong công đoạn trên sẽ được thực hiện đồng thời.
Tính toán thực hiện trong một tác vụ thường sẽ yêu cầu dữ liệu kết hợp với các dữ
liệu khác. Sau đó, dữ liệu phải được truyền giữa các tác vụ để cho phép thực hiện
tính toán.

- Tích tụ: Công đoạn này sẽ gộp các tác vụ nhỏ đã tạo ra ở công đoạn phân rã thành
các tác vụ có kích thước lớn hơn. Khi tích tụ các tác vụ nhỏ thành các tác vụ lớn thì

14


chi phí truyền thông sẽ giảm đi nhưng sẽ làm giảm tiềm năng thực hiện đồng thời.
- Ánh xạ: Đây là công đoạn cuối cùng, mỗi tác vụ sẽ được ấn định vào một bộ xử lý
nào đó.
Bốn công đoạn trên được Seyed H. Roosta [ 37, tr. 223] biểu diễn như trong
Hình 1.5.
Bài toán

Phân rã

Truyền thông

Tích tụ

Ánh xạ

BXL1

BXL2

BXL3

Hình 1.5. Quy trình thiết kế thuật toán song song

15

1.3.2. Nguyên lý thiết kế thuật toán song song
Những thuật toán, trong đó có một số thao tác có thể thực hiện đồng thời
được gọi là thuật toán song song. Tổng quát hơn, thuật toán song song là một tập
các tiến trình hoặc các tác vụ có thể thực hiện đồng thời và có thể trao đổi dữ liệu
với nhau để kết hợp cùng giải một bài toán đặt ra.
Có năm nguyên lý chính trong thiết kế thuật toán song song [1]:
1. Các nguyên lý lập lịch: Tạo lịch trình để giảm tối thiểu các bộ xử lý sử dụng
trong thuật toán sao cho thời gian tính toán là không tăng (xét theo khía cạnh độ
phức tạp).
2. Nguyên lý hình ống: Nguyên lý này được áp dụng khi bài toán xuất hiện một
dãy các thao tác {T1, T2, . . ., Tn}, trong đó Ti+1 thực hiện sau khi Ti kết thúc.
3. Nguyên lý chia để trị: Chia bài toán thành những phần nhỏ hơn tương đối độc
lập với nhau và giải quyết chúng một cách song song.
4. Nguyên lý đồ thị phụ thuộc dữ liệu: Phân tích mối quan hệ dữ liệu trong tính
toán để xây dựng đồ thị phụ thuộc dữ liệu và dựa vào đó để xây dựng thuật toán
song song.
5. Nguyên lý điều kiện tương tranh : Nếu hai tiến trình cùng muốn truy cập vào
cùng một mục dữ liệu chia sẻ thì chúng phải tương tranh với nhau, nghĩa là
chúng có thể cản trở lẫn nhau.
Ngoài những nguyên lý nêu trên, khi thiết kế thuật toán song song còn một
số điểm cần quan tâm:
1. Hiệu quả thực hiện của thuật toán song song có thể rất khác nhau, mà yếu tố
quan trọng nhất ảnh hưởng tới độ phức tạp tính toán là cấu hình tô pô liên kết
mạng.
2. Thuật toán song song phải được thiết kế dựa trên những kiến thức về kiến
trúc máy tính, ngôn ngữ lập trình song song và các phương pháp tính toán.

1.3.3. Các cách tiếp cận trong thiết kế

Có ba cách tiếp cận để thiết kế thuật toán song song:
1. Thực hiện song song hoá những thuật toán tuần tự, biến đổi những cấu trúc

16


tuần tự để tận dụng được những khả năng song song tự nhiên của tất cả các
thành phần trong hệ thống xử lý.
2. Thiết kế những thuật toán song song mới phù hợp với kiến trúc song song.
3. Xây dựng những thuật toán song song từ những thuật toán song song đã được
xây dựng cho phù hợp với cấu hình tô pô mạng và môi trường song song
thực tế.

1.3.4. Phân tích, đánh giá thuật toán song song
Độ phức tạp tính toán về thời gian của thuật toán song song không chỉ phụ
thuộc vào kích cỡ của dữ liệu đầu vào mà còn phụ thuộc vào kiến trúc máy tính
song song và số lượng các bộ xử lý được phép sử dụng trong hệ thống.
Độ phức tạp thời gian là thước đo quan trọng nhất đánh giá mức độ hiệu quả
của thuật toán song song. Độ phức tạp thời gian của thuật toán song song được xác
định bởi số các phép toán cơ sở và số các bước truyền tải dữ liệu giữa các bộ xử lý
với nhau. Từ đó suy ra, độ phức tạp thời gian của thuật toán song song không chỉ
phụ thuộc vào mô hình tính toán song song mà còn phụ thuộc vào số bộ xử lý được
sử dụng.
Mức độ tăng tốc (Speedup) [37, tr. 228-231] của thuật toán song song sử
dụng p bộ xử lý được xác định như sau:
Sp = TS/Tp

(1)

Trong đó,

TS là thời gian thực hiện tính toán trên một bộ xử lý
Tp là thời gian thực hiện tính toán trên p bộ xử lý.
Để sử dụng hiệu quả các thuật toán song song, chúng ta cần phải biết cách đánh
giá nó.
Để đánh giá được độ phức tạp tính toán của các thuật toán song song, ngoài
số bước tính toán chúng ta còn cần đánh giá thời gian truyền thông của các tiến
trình. Thời gian thực hiện song song, ký hiệu là tp gồm hai phần tcomp và tcomm
tp = tcomp + tcomm

(2)

Trong đó, tcomp là thời gian tính toán và tcomm thời gian truyền thông dữ liệu.

17


1.4. Kết luận chƣơng
Để giải những bài toán đặt ra một cách hiệu quả trên những máy tính mà
chúng ta có, vấn đề chính là làm thế nào để xây dựng được những thuật toán song
song. Cách làm khá thông dụng là biến đổi các thuật toán tuần tự về song song, hay
chuyển từ một dạng song song về dạng song song phù hợp hơn nhưng vẫn bảo toàn
được tính tương đương trong tính toán.
Dựa vào bốn công đoạn và những nguyên lý thiết kế chính: nguyên lý lập lịch,
nguyên lý hình ống, nguyên lý chia để trị, nguyên lý đồ thị phụ thuộc dữ liệu, nguyên lý
điều kiện tranh đua để xây dựng một số thuật toán song song.
Để đánh giá được tính hiệu quả của thuật toán song song thường phải dựa
vào độ phức tạp thời gian của thuật toán. Độ phức tạp thời gian của thuật toán song
song không chỉ phụ thuộc vào kích cỡ của dữ liệu đầu vào mà còn phụ thuộc vào
kiến trúc máy tính song song và số lượng các bộ xử lý được phép sử dụng trong hệ
thống.

18


CHƢƠNG 2. CÁC THUẬT TOÁN TUẦN TỰ VÀ SONG
SONG TRÊN MẠNG ĐỒ THỊ TRUYỀN THỐNG
Nội dung chính trong chương này gồm hai phần: Phần thứ nhất là kế thừa
thuật toán tuần tự và song song đẩy luồng trước tìm luồng cực đại đã được nghiên
cứu trong [55], [56]. [61]. Từ đó, chúng tôi tối ưu thuật toán song song đẩy luồng
trước này. Phần thứ hai, đề xuất thuật toán tuần tự hỗn hợp đẩy kéo luồng. Dựa vào
đó, đề xuất thuật toán song song cho thuật toán hỗn hợp đẩy kéo luồng để tìm luồng
cực đại.

2.1. Mạng và luồng
 Mạng (network) là đồ thị có hướng, có thêm trọng số ở các cạnh G=(V, E, c) thoả
mãn:
(i) Có duy nhất một đỉnh mà nửa bậc vào của đỉnh đó bằng 0, được gọi là đỉnh
nguồn.
(ii) Có duy nhất một đỉnh mà nửa bậc ra của đỉnh đó bằng 0, được gọi là đỉnh đích.
(iii) Trọng số ci, j của cung (i, j) là các số không âm và gọi là khả năng thông qua
của cung.
Đồ thị ở Hình 2.1 là mạng với nguồn là đỉnh a và đích là đỉnh z, ta có khả
năng thông qua ca, b=3, cb, c=2, ca, d=5, cd, c=2, cd, e=2, cc, z=4, ce, z=4.
2
c
b
4

3
2

a

z

5

4
d

2

e

Hình 2.1. Mạng đồ thị với nguồn a đích z
 Luồng: Cho mạng G=(V, E, c). Tập các giá trị
f = {fi, j  (i, j)E}
gọi là luồng trên mạng G nếu thoả mãn:

19

(3)


(i) 0  fi, j  ci, j (i, j)E

(4)

(ii) Với mọi đỉnh k không phải nguồn hoặc đích

 fi, k   f k , j

(i , k )E

Với mọi đỉnh kV, tổng

 fk, j

( k , j)E

(5)

( k , j )E

 f i, k gọi là luồng vào của đỉnh k và tổng

(i , k )E

gọi là luồng ra của đỉnh k. Với đồ thị ở Hình 2.1, tập {fi, j} sau là luồng
fa, b = 2, fb, c = 2, fc, z = 3, fa, d = 3, fd, c = 1, fd, e = 2, fe, z = 2.

Tập các luồng này được biểu diễn bằng các số trong ngoặc đơn trên các cung
trong mạng như trong Hình 2.2.
b

2(2)

c
4(3)

3(2)
2(1)

a

z

5(3)

4(2)
d

2(2)

e

Hình 2.2. Mạng đồ thị biểu diễn luồng
 Định lý 2.1. [3] Cho f = {fi, j , (i, j)E}, là luồng trên mạng G với nguồn a và đích
z. Khi đó

 f a, i   f i, a   f i, z   f z , i

( a , i )E

(i , a )E

(i , z)E

( z , i)E

(6)

 Giá trị của luồng. Cho luồng f trên mạng G. Giá trị của luồng f, ký hiệu v(f) là đại
lượng.

v( f ) 

 f a, i   f i, a   f i, z   f z , i

( a , i )E

(i , a )E

(i , z )E

( z , i )E

(7)

2.2. Bài toán luồng cực đại
Trong thực tế ta thường gặp bài toán gọi là bài toán tìm luồng cực đại như
sau: Cho mạng G với nguồn a, đích z và khả năng thông qua ci, j, (i, j)E. Trong số

20


các luồng trên mạng G tìm luồng có giá trị lớn nhất.
Bài toán luồng cực đại có thể biểu diễn như bài toán quy hoạch tuyến tính [3]

 f a, i   fi, a  max

v( f ) 

( a , i )E

(i , a )E

(8)

với điều kiện
0  fi, j  ci, j (i, j)E

 fi, k



(i , k )E

 f k , j k V \ {a, z}

( k , j)E

Vì giá trị luồng v( f ) 

(9)
(10)

 ca, i và tồn tại luồng {fi, j = 0, (i, j)E} nên

( a , i )E

theo lý thuyết quy hoạch tuyến tính, tồn tại luồng cực đại.

2.3. Thuật toán đẩy luồng trƣớc tìm luồng cực đại
2.3.1. Thuật toán tuần tự
Trong mục này, chúng tôi chủ yếu trình bày các nội dung liên quan đến thuật
toán tuần tự đẩy luồng trước. Nội dung được kế thừa từ [55], [56] nhưng xây dựng
lại các bước của thuật toán cụ thể hơn. Chứng minh các định lý và mệnh đề liên
quan đến thuật toán một cách đầy đủ và rõ ràng.

2.3.1.1. Giới thiệu
Bài toán tìm luồng cực đại được đề xuất và giải quyết bởi hai nhà toán học
Mỹ Ford và Fulkerson [53] và ngày càng được các nhà khoa học quan tâm nghiên
cứu. Edmonds và Karp [54] đưa ra phương pháp với độ phức tạp O(V.E2). Tuy
nhiên, A. Goldberg và R.E. Tarjan [55] đã xây dựng phương pháp đẩ y luồ ng trước
với độ phức tạp O(V2.E). Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày chi tiết thuật
toán đẩy luồng trước tìm luồng cực đại được kế thừa từ [55], [56].

2.3.1.2. Các khái niệm cơ bản
 Mạng thặng dư (residual network) Gf
Cho luồng f trên mạng G=(V, E, c). Ta định nghĩa mạng thặng dư, ứng với
luồng f là Gf(V, Ef, cf) tập cung Ef và khả năng thông qua cf được xác định như sau:
-  (u, v)E, nếu f(u, v) > 0 thì (v, u)Ef với khả năng thông qua:

21


cf(v, u)=f(u, v).
-  (u, v)  E, nếu c(u, v)f(u, v)>0 thì (u, v)Ef với khả năng thông qua:
cf(u, v)=c(u, v) f(u, v).

 Luồ ng trước (pre-flow)
Cho ma ̣ng G = (V, E, c). Luồ ng trước là tập hợp các luồng trên cung
f = {fi, j | (i, j)  E} thỏa:
(i) 0  fi, j  ci, j (i, j)E
(ii) Với mo ̣i đin̉ h k không phải nguồ n hoă ̣c đić h, luồ ng vào không nhỏ hơn
luồ ng ra, tức là:

 fi, k   f k , j

(i , k )E

(11)

( k , j )E

Những đỉnh có luồ ng vào lớn hơn luồ ng ra go ̣i là

đỉnh lê ̣ch (unbalanced).

Hiê ̣u luồ ng vào và luồ ng ra ta ̣i các đin
̉ h lê ̣ch go ̣i là độ lê ̣ch luồ ng (excess).
Ý tưởng của phương pháp này là cân bằng hóa luồng vào và luồng ra tại các
đỉnh lê ̣ch bằ ng cách luồ ng dư đươ ̣c đẩ y xuôi theo các cung ra hoă ̣c đẩ y ngươ ̣c trên
các cung vào. Quá trình cân bằng hóa đỉnh lệch được lặp lại cho đến khi không còn
đỉnh lê ̣ch thì ta nhâ ̣n đươ ̣c luồ ng cực đa ̣i . Các đỉnh lệ ch đươ ̣c lưu trong hàng đơ ̣i .
Mô ̣t công cu ̣ go ̣i là hàm độ cao đươ ̣c sử du ̣ng để giúp cho ̣n cung trong ma ̣ng thă ̣ng
dư để loa ̣i đỉnh lê ̣ch

. Bây giờ ta giả thiế t tâ ̣p đỉnh của ma ̣ng đươ ̣c ký hiê ̣u

V={0, 1, ..., |V|-1}.
 Hàm độ cao (height function) của luồng trước trong mạng G=(V, E, c) là
tâ ̣p hơ ̣p các tro ̣ng số đin̉ h không âm h(0), ..., h(|V| 1) thỏa h(z) = 0 với đin
̉ h đić h z
và h(u) ≤ h(v) +1 với mo ̣i cung (u, v)Ef. Những cung (u, v) thỏa h(u) = h(v) + 1
gọi là các cung ưu tiên.
Ta xây dựng hàm đô ̣ cao như sau: h(v) là khoảng cách ngắn nhất tính theo số
cung từ v đến đỉnh đích z. Ta có thể xác đinh
̣ hàm đô ̣ cao này bằ ng phương pháp
duyê ̣t đồ thi ̣ngư ợc theo chiề u rô ̣ng xuấ t p hát từ z. Hàm này thực sự là hàm độ cao
vì h(z) = 0 và với mỗi cung (u, v) trong ma ̣ng thă ̣ng dư Gf, h(u) ≤ h(v) + 1, vì đường
đi từ u đến z bắ t đầ u bởi cung (u, v) và đi theo đường đi ngắn nhất từ v đến z

22


(h(v)+1 phải không ngắn hơn đường đi ngắn nhất từ u đến z là h(u)).
 Mê ̣nh đề 2.1. Cho luồ ng trước f trong ma ̣ng G và hàm độ cao h tương ứng. Khi
đó, đô ̣ cao h(v) của mỗi đỉnh v (v có đường đi đến z) không lớn hơn đô ̣ dài đường đi
ngắ n nhấ t tiń h theo số cung từ v đến đỉnh đích z trong ma ̣ng thă ̣ng dư.
Chứng minh:
Cho đỉnh v, giả sử d là độ dài đường đi ngắn nhất từ v đến đỉnh đích z. Khi
đó sẽ tồ n ta ̣i đường đi (v=v1, v2, ..., vd =z) từ v đến z.
Ta có:
h(v) = h(v1) ≤ h(v2) + 1
≤ h(v3) + 2
.
.
.

(12)

≤ h(vd) + d = h(z) + d = d (vì h(z)=0)
Vai trò của hàm đô ̣ cao như sau : nế u đô ̣ cao của đin
̉ h lê ̣ch nhỏ hơn đô ̣ cao
của đỉnh nguồn thì có thể đẩy luồng về hướng đỉnh đích ; ngươ ̣c la ̣i, nế u đô ̣ cao của
đỉnh lê ̣ch lớn hơn đô ̣ cao của đỉnh nguồ n thì cầ n phải đẩ y luồ ng

ngươ ̣c về đỉnh

nguồ n.
 Hê ̣ quả 2.1. Nế u đô ̣ cao của mô ̣t đin
̉ h v nào đó lớn hơn |V|, thì không có đường đi
từ đỉnh v đến đỉnh đích trong mạng thặng dư Gf.
Chứng minh: Giả sử nếu ta có một đường đi từ đỉnh v nào đó đến đích z mà
độ cao của v lớn hơn |V| thì theo mệnh đề 2.1 ta có độ cao của v không lớn hơn độ
dài đường đi nên suy ra độ dài đường đi từ v đến z lớn hơn |V|. Điều này không thể
đúng bởi vì mạng chỉ có |V| đỉnh.
Vậy theo hệ quả trên đối với các đỉnh v không có đường đi đến đỉnh z thì có
h(v)>|V| và do độ cao của đỉnh a không lớn hơn |V| nên ta không thể đẩy luồng từ
đỉnh v về đỉnh đích z mà chỉ đẩy ngược về a (nếu có). Suy ra không có luồng từ a
đến v.
2.3.1.3. Phương pháp đẩy luồng trước tổng quát
Bước 1. Khởi tạo: xây dựng luồ ng trước xuấ t phát với các cung đi từ đỉnh nguồ n có

23


luồ ng bằng khả năng thông qua, còn các cung khác có luồng là 0, chọn hàm
đô ̣ cao h nào đó trong ma ̣ng G.

Bước 2. Tiêu chuẩn dừng : nế u không có đin
̉ h lê ̣ch thì dừng , luồ ng trước f trở thành
luồ ng cực đa ̣i.
Bước 3. Xử lý đỉnh lê ̣ch: chọn đỉnh lệch u.
Nế u tồ n ta ̣i cung ưu tiên (u, v)Ef thì đẩy trên cung (u, v) mô ̣t luồ ng có giá tri ̣
min{delta, cf(u, v)}, trong đó delta là độ lệch luồng của đỉnh u.
Nế u không tồn tại cung ưu tiên đi từ u thì tăng độ cao của đỉnh u như sau:
h(u)= 1 + min{h(v) | (u, v)  Ef}.
Quay la ̣i bước 2.

 Mê ̣nh đề 2.2 Phương pháp đẩ y luồ ng trước luôn bảo toàn tiń h chấ t của hàm đô ̣
cao.
Chứng minh:
(i)

Trường hơ ̣p tồ n ta ̣i cung ưu tiên (u, v)Ef, ta có h(u) = h(v) + 1. Sau khi đẩ y
trên cung (u, v) mô ̣t luồ ng có giá tri ̣ min{delta, cf(u, v)}, tức:
f(u, v)=f(u, v) + min{delta, cf(u, v)} thì nếu (v, u)  Ef ta vẫn có:
h(v)=h(u)  1 ≤ h(u)+ 1.

(ii)

Trường hơ ̣p không tồ n ta ̣i cung ưu tiên đi từ u, ta có:
v: (u, v)Ef  h(u) < h(v) + 1.

Sau khi tăng h(u), h(u)=1+ min{h(v)| (u, v)Ef } thì h(u) vẫn thỏa mañ :
v, (u, v)Ef : h(u) ≤ h(v) + 1.

2.3.1.4. Thuật toán đẩy luồ ng trước
Đây là thuâ ̣t toán cu ̣ thể thuô ̣c phương pháp đẩ y luồ ng trước . Ở đây các đỉnh

lê ̣ch đươ ̣c đẩ y vào hàng đơ ̣i . Với mỗi đin
̉ h lê ̣ch lấ y từ hàng đơ ̣i , ta sẽ đẩ y luồ ng vào
các cung ưu tiên một cách tối đa cho tới khi đỉnh trở thành

không lê ̣ch hoă ̣c không

còn cung ưu tiên nữa . Nế u không còn cung ưu tiên nữa và đin
̉ h còn lê ̣ch thì ta tăng
đô ̣ cao và đẩ y nó vào hàng đơ ̣i.
Chú ý rằng hàng đợi không chứa đỉnh nguồn và đỉnh đích. Thuật toán được
mô tả như sau:

24


- Đầu vào: Mạng G = (V, E, c) với nguồn a, đích z, khả năng thông qua
c= {ci, j | (i, j)  E}

(13)

f = {fi, j | (i, j)  E}

(14)

- Đầu ra: Luồng cực đại

- Các bước:
Bước 1. Khởi tạo: xây dựng luồ ng trước xuấ t phát với các cung đi từ đin
̉ h nguồ n có
luồ ng bằ ng khả năng thông qua , còn các cung khác có luồng bằng 0. Chọn

hàm độ cao h(v) là độ dài đường đi ngắn nhất từ v đến đỉnh đích z.
Đẩy các đỉnh lệch vào hàng đơ ̣i Q.
Bước 2. Tiêu chuẩn dừng : nế u Q = ∅, luồ ng trước f trở thành luồ ng cực đa ̣i . Kế t
thúc. Nế u Q  ∅, sang bước 3.
Bước 3. Xử lý đỉnh lê ̣ch: lấ y đin
̉ h lê ̣ch u từ hàng đơ ̣i.
- Duyê ̣t các cung ưu tiên (u, v)Ef. Đẩy trên cung (u, v) mô ̣t luồ ng có giá tri ̣
min{delta, cf(u, v)}, trong đó delta là độ lệch luồng của đỉnh u.
- Nếu đỉnh v là đỉnh lệch mới, thì đẩy đỉnh v vào hàng đợi Q.
- Nế u u vẫn còn lê ̣ch, thì tăng độ cao của u: h(u)= 1 + min{h(v)|(u, v)Ef}.
Sau đó đẩ y u vào hàng đợi Q. Quay la ̣i bước 2.
 Mê ̣nh đề 2.3. Trong quá trin
̀ h thực hiê ̣n thuâ ̣t toán đẩ y luồ ng trước , luôn tồ n ta ̣i
đường đi từ mỗi đỉnh lê ̣ch đế n đỉ nh nguồ n trong ma ̣ng thă ̣ng dư và không tồn tại
đường đi từ đin̉ h nguồ n đế n đin
̉ h đić h trong ma ̣ng thă ̣ng dư.
Chứng minh: Chứng minh quy na ̣p theo các lầ n hiê ̣u chỉnh luồ ng trước .
Khởi tạo luồ ng trước xuấ t phát có các cung đi từ đỉnh nguồ n có luồ ng bằ ng
khả năng thông qua , còn các cung khác có luồng bằng 0. Khi đó các đin
̉ h cuố i của
các cung đi từ đỉnh nguồn là lệch . Với mo ̣i đin
̉ h lê ̣ch v ta có (v, a)Ef và (a, v)Ef
(vì f(a, v)=c(a, v) theo khái niệm của mạng thặng dư), suy ra tồ n ta ̣i đường đi từ v
đến a và không tồn tại đường đi từ đỉnh nguồn a đến đỉnh đích z trong ma ̣ng thă ̣ng
dư Gf. Như vâ ̣y mê ̣nh đề đúng với luồ ng xuấ t phát.
Tiế p theo, đỉnh lê ̣ch mới v chỉ xuất hiện khi một luồng được đẩy từ một đỉnh
lê ̣ch cũ u trên cung ưu tiên (u, v). Khi đó ma ̣ng thă ̣ng dư sẽ có thêm cung (v, u). Do

25