CÂY và một số ỨNG DỤNG

CHƯƠNG 11

CÂY VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

1


NỘI DUNG
 Khái niệm cây
 Cây bao trùm
 Cây bao trùm nhỏ nhất
 Cây bao trùm lớn nhất
 Cây phân cấp
 Cây nhị phân
 Cây biểu thức
 Cây mã tối ưu
2


11.1. KHÁI NIỆM CÂY
Khái niệm cây do Cayley đưa ra vào năm 1857.
Định nghĩa: Giả sử T = (V, E) là một đồ thị vô hướng.
T là một cây nếu nó thỏa mãn hai tính chất sau:
- liên thông,
- không có chu trình.

3


VÍ DỤ 11.1
Đồ thị dưới đây là một cây.

b

a

e

d
f

c

g
Hình 11.1. Cây 7 đỉnh
4


11.1. KHÁI NIỆM CÂY (tiếp)
Định lý 11.1: Cho T là đồ thị vô hướng có số đỉnh không
ít hơn 2. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
1. T là một cây.
2. T không có chu trình và có n - 1 cạnh.
3. T liên thông và có n - 1 cạnh.
4. T không có chu trình nhưng nếu thêm một cạnh
bất kỳ nối hai đỉnh không kề nhau thì có chu trình.
5. T liên thông nhưng nếu bớt đi một cạnh bất kỳ thì
sẽ mất tính liên thông.
6. Chỉ có duy nhất một đường đi nối hai đỉnh bất kỳ.
5

11.1. KHÁI NIỆM CÂY (tiếp)
Chứng minh: Chú ý rằng đồ thị T không có chu trình
khi và chỉ khi chu số của nó bằng 0, nghĩa là: m = n - p.
1) ⇒ 2) : Vì p = 1 và m = n - p suy ra: m = n - 1.
2) ⇒ 3) : m = n - p, m = n - 1 cho nên p = 1.
3) ⇒ 4) : p = 1, m = n - 1 suy ra: m = n - p. Vậy thì
c(T) = 0, đồ thị T không có chu trình. Thêm một cạnh
vào thì m tăng thêm 1 còn n, p không đổi. Khi đó chu
số c(T) = m - n + p = 1. Đồ thị có một chu trình.
6


11.1. KHÁI NIỆM CÂY (tiếp)
Chứng minh:
4) ⇒ 5) : c(T) = 0 nên m = n - p.
Phản chứng: đồ thị T không liên thông, có ít nhất hai
đỉnh a, b không liên thông. Thêm cạnh (a, b) vào đồ
thị vẫn không có chu trình. Mâu thuẫn với điều 4).
Vậy đồ thị phải liên thông, nghiã là p = 1. Suy ra: m =
n - 1. Khi bớt đi một cạnh bất kỳ, đồ thị vẫn không có
chu trình. Do đó m - 1 = n - p'. Suy ra p' = 2 và đồ thị
mất tính liên thông.
7


11.1. KHÁI NIỆM CÂY (tiếp)
Chứng minh:
5) ⇒ 6) : Đồ thị T liên thông nên có đường đi đơn nối
mỗi cặp đỉnh. Giả sử cặp đỉnh a, b được nối bằng hai
đường đi đơn khác nhau.

Khi đó có cạnh e thuộc đường đi này nhưng không
thuộc đường đi kia. Ta bỏ cạnh e này đi, đồ thị vẫn liên
thông. Trái với điều 5).
8


11.1. KHÁI NIỆM CÂY (tiếp)
Chứng minh:
6) ⇒ 1) : Suy ra đồ thị T liên thông.
Phản chứng: T có chu trình. Vậy thì giữa hai đỉnh của
chu trình có thể nối bằng hai đường đơn khác nhau.
Mâu thuẫn với điều 6).

9


11.2. CÂY BAO TRÙM
 Định nghĩa 11.2
Giả sử G là một đồ thị vô hướng.
Cây T được gọi là cây bao trùm của đồ thị G nếu T là
một đồ thị riêng của G.

10


VÍ DỤ 11.2
Đồ thị G:

a

b
c

d

e

Hình 11.2. Đồ thị có cây bao trùm

Một số cây bao trùm của G:
a

b

a

b

c
d

e

c
d

e

Hình 11.3. Hai cây bao trùm của đồ thị G

11


11.2. CÂY BAO TRÙM (tiếp)
 Định lý 11.2: Đồ thị vô hướng G có cây bao trùm ⇔
G liên thông.
Chứng minh:
⇒: Hiển nhiên, vì cây bao trùm liên thông suy ra G
liên thông.
⇐: Chọn a là một đỉnh bất kỳ trong đồ thị G.
Ký hiệu: d(x) là khoảng cách giữa a và đỉnh x.
Xây dựng các tập đỉnh:
D0 = {a}, Di = { x  d(x) = i } với i ≥ 1.
12


11.2. CÂY BAO TRÙM (tiếp)

a

D0

D1

D2

...

Hình 11.4. Cách xây dựng cây bao trùm
13

11.2. CÂY BAO TRÙM (tiếp)
Chú ý: Mỗi đỉnh x thuộc Di (i ≥ 1) đều có đỉnh y thuộc
Di-1 sao cho (x, y) là một cạnh, vì nếu < a, ... , y, x > là
đường đi ngắn nhất nối a với x thì < a, ... , y > là
đường đi ngắn nhất nối a với y và y ∈ Di-1.

14


11.2. CÂY BAO TRÙM (tiếp)
Chứng minh: Lập tập cạnh T như sau:
Với mỗi đỉnh x của đồ thị G, x ∈ Di với i ≥ 1, ta lấy
cạnh nào đó nối x với một đỉnh trong Di-1.
Tập cạnh này sẽ tạo nên một đồ thị riêng của G với n
đỉnh và n - 1 cạnh.
Đồ thị riêng này liên thông vì mỗi đỉnh đều được nối
với đỉnh a. Theo tính chất 3) của cây thì T là một cây.
Do vậy, T là cây bao trùm của đồ thị G.
15


11.2. CÂY BAO TRÙM (tiếp)
Định lý 11.3 (Borchardt): Số cây bao trùm của một đồ
thị vô hướng đầy đủ n đỉnh là nn – 2.
 Một số thuật toán tìm cây bao trùm:
- Thuật toán sử dụng phương pháp duyệt theo chiều
sâu.
- Thuật toán sử dụng phương pháp duyệt theo chiều

rộng.
16


11.3. THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM
 Thuật toán 11.1 (Tìm cây bao trùm bằng phương pháp
duyệt theo chiều sâu)
Dữ liệu: Biểu diễn mảng DK các danh sách kề của đồ
thị vô hướng G.
Kết quả: Cây bao trùm (V, T) của đồ thị G.

17


11.3. THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM
(tiếp)
Thuật toán
1 procedure CBT_S (v) ;
2 begin
3 Duyet [v] := true ;
4 for u ∈ DK[v] do
5
if ! Duyet [u] then
6
begin T := T ∪ {(v, u)} ; CBT_S (u) end
7 end ;
18


11.3. THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM

(tiếp)
8 BEGIN
9

{ Chương trình chính }

for u ∈ V do Duyet [u] := false ;

10 T := ∅ ;
11 CBT_S (z) ;

{ z là đỉnh tuỳ ý của đồ thị,
sẽ trở thành gốc của cây }

12 END.

19


11.3. THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM
(tiếp)
 Tính đúng đắn của thuật toán: :
1. Khi ta thêm cạnh (v, u) vào tập cạnh T thì trong đồ thị
(V, T) đã có đường đi từ z tới v. Vậy thuật toán xây
dựng lên đồ thị liên thông.
2. Mỗi cạnh mới (v, u) được thêm vào tập T có đỉnh v đã
được duyệt và đỉnh u đang duyệt. Vậy đồ thị đang
được xây dựng không có chu trình.
3. Theo tính chất của phép duyệt theo chiều sâu, thủ tục
CBT_S thăm tất cả các đỉnh của đồ thị liên thông G.

20


11.3. THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM
(tiếp)
 Do vậy, đồ thị do thuật toán xây dựng là một cây bao
trùm của đồ thị đã cho.
 Độ phức tạp của thật toán là: O(n+m).

21


VÍ DỤ 11.3
Áp dụng thuật toán trên cho đồ thị (nét mảnh) ta nhận
được cây bao trùm (nét đậm) như sau:
2

1

5
6

3
4

8

9
7

Hình 11.5. Cây bao trùm của đồ thị tìm theo
phương pháp duyệt theo chiều sâu

22


11.3. THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM
(tiếp)
 Thuật toán 11.2 (Tìm cây bao trùm bằng phương pháp
duyệt theo chiều rộng)
Dữ liệu: Biểu diễn mảng DK các danh sách kề của
đồ thị vô hướng G.
Kết quả: Cây bao trùm (V, T) của đồ thị G.

23


11.3. THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM
(tiếp)
Thuật toán
1 BEGIN
2 for u ∈ V do Duyet [u] := false ;
3 T := ∅ ;
4 Q := ∅ ;
5 enqueue z into Q ; { z là đỉnh tuỳ ý của
đồ thị và là gốc của cây }

6

Duyet [z] := true ;

24


11.3.THUẬT TOÁN TÌM CÂY BAO TRÙM
(tiếp)
7
8
9
10
11
12
13
14
15

while Q ≠ ∅ do
begin deqưeue v from Q ;
for u ∈ DK[v] do
if ! Duyet [u] then
begin enqueue u into Q ;
Duyet [u] := true ;
T := T ∪ {(v, u)} end
end
END.
25