Luyện tập tiếp tuyến của đường tròn

          

NhiÖt liÖt Chµo mõng c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o
VÒ dù giê th¨m líp

M«n : To¸n 9
Gi¸o viªn thùc hiªn: NguyÔn ThÞ
Nhu©n


Kiểm tra
A
E
D
•

Cho (O; r) nội tiếp ∆ABC.
D; E; F là các tiếp điểm (hình vẽ).
Chứng minh rằng:
a) 2.AD = AB + AC - BC
b) Cho A = 900.
Chứng minh rằng: AD = r

B

O

F

C

Kiểm tra

* Định nghĩa tiếp tuyến:
Một đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của
một đường tròn nếu nó chỉ có một điểm
chung với đường tròn đó
* Tính chất:
1. Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của
một đường tròn thì nó vuông góc vói bán
kính đi qua tiếp điểm.

2. Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt
nhau tại một điểm thì:
- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác
của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- Tia kẻ từ tâm qua điểm đó là tia phân giác của
góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

O•
a

•

C

O

a

•

C

M

)

a là tiếp tuyến cuả
(O), C là tiếp điểm
⇒ a ⊥ OC tại C

•

MA, MB là các tiếp tuyến của
B (O): A,B là các tiếp điểm
MA = MB
((
⇒ BMO = AMO
(( O

)

•

BOM = AOM
A

MO lµ ®êng trung trùc cña ®o¹n AB

* Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến:
1. Nếu đường thẳng và đường tròn chỉ có một
điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến
của đường tròn.
2. Nếu đường thẳng đi qua một điểm của
đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua
điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của
đường tròn.

a ∩ (O) ={C} thì a là
tiếp tuyến của (O), C là
tiếp điểm

O

•

•

C

a và (O) chỉ có một
điểm chung C
hoặc a ⊥ OC tại C;
a

C ∈ (O)
⇒ a là tiếp tuyến của
(O) tại C

Kiểm tra
A
E
D
•

Cho (O; r) nội tiếp ∆ABC.
D; E; F là các tiếp điểm (hình vẽ).
Chứng minh rằng:
a) 2.AD = AB + AC - BC
b) Cho A = 900.
Chứng minh rằng: AD = r

B

O

F

2.r = AB + AC - BC
Nhận xét: Đường kính đường tròn nội tiếp tam
giác vuông bằng tổng độ dài hai cạnh góc
vuông trừ đi độ dài cạnh huyền.

C


D

))

M

2

•

C

A

Bài toán: Cho nửa đường tròn (O;R) đường
kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax; By (Ax; By và

1

)2
1

)

⇒ MA = MB; AMO = BMO;BOM = AOM; MO ⊥ AB
* D/h: a và (O) chỉ có một điểm chung C
hoặc a ⊥ OC tại C; C ∈ (O)
⇒a là tiếp tuyến của (O) tại C
* Nhận xét: Đường kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông có độ
dài bằng tổng độ dài hai cạnh góc vuông trừ đi độ dài cạnh
huyền.

y

x
))

* Đ/n a ∩ (O) ={C} thì a là tiếp tuyến của (O), C là tiếp điểm
* T/c: 1) a là tiếp tuyến cuả (O), C là tiếp điểm ⇒ a ⊥ OC tại C
2) MA, MB là các tiếp tuyến của (O): A,B là các tiếp điểm

•

O

B

2) Chu vi hình thang ABDC bằng 14cm nên:
AC + CD + DB + BA = 14
nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mp bờ AB)
⇔ CD+ CD + 4 =14 (Vì CD =AC+BD và AB = 4cm)
Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn
⇔ 2. CD + 4 = 14 ⇔ CD = 5
Tiếp tuyến tại M cắt Ax ; By lần lượt ở C; D
Hay AC + BD = 5 ⇔ AC = 5 – BD (1)
0
1) CMR: a) COD = 90
Lại có: AC. BD = R2 (c/m câu c)
b) CD = AC + BD
⇔ AC. BD = 4 (R = AB/2)
(2)
2

Thế (1) vào (2) ta được: (5 – BD). BD = 4
c) AC. BD = R
⇔ 5. BD – BD2 - 4 = 0
2) Tìm vị trí của D để hình thang ABDC có chu
⇔ BD2 _ 5. BD + 4= 0
vi là 14cm, biết AB = 4cm
⇔ BD = 1cm hoặc BD = 4cm
Vậy, khi D ∈ tia By và cách B là 1cm hoặc 4 cm thì
chu vi hình thang ABDC bằng 14 cm


))

M

D
))

2

•

Cã CM = CA (t/c t )
OM = OA (=R)
Nªn CO lµ ®êng trung
trùc cña AM => AM ⊥OC
2

C

)2
1

2

A

)1

•

O

1

))

Bài toán: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính
AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax; By (Ax; By và nửa đường
tròn thuộc cùng một nửa mp bờ AB)
Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn
Tiếp tuyến tại M cắt Ax ; By lần lượt ở C; D

1

)

⇒ MA = MB; AMO = BMO;BOM = AOM; MO ⊥ AB
* D/h: a và (O) chỉ có một điểm chung C
hoặc a ⊥ OC tại C; C ∈ (O)

⇒a là tiếp tuyến của (O) tại C
* Nhận xét: Đường kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông có độ
dài bằng tổng độ dài hai cạnh góc vuông trừ đi độ dài cạnh
huyền.

y

x

* Đ/n a ∩ (O) ={C} thì a là tiếp tuyến của (O), C là tiếp điểm
* T/c: 1) a là tiếp tuyến cuả (O), C là tiếp điểm ⇒ a ⊥ OC tại C
2) MA, MB là các tiếp tuyến của (O): A,B là các tiếp điểm

2

B

Suy ra : A1 = C1 ( cùng phụ A2)
Mà C……….
( t/c tiếp tuyến )
1 = C2

S

⇒A1 = C2
C/m tương tự ⇒ D1 = B1
1) CMR: a) COD = 900
* Xét ∆COD và ∆AMB có:
2
b) CD = AC + BD

S
C
=
A
;
D
=
B
(cmt)
CD
CD
COD
2
1
1
1
c) AC. BD = R2
(1)
……..
AB
AB
⇒∆COD
∆AMB
(g.g)
⇒
=
S
2) Tìm vị trí của D để hình thang ABDC có chu vi là
* Lại có: AC. BD = R2 ( c/m c) AMB
14cm, biết AB = 4cm

R
R
SCOD
⇒ BD = R2 :
(do AC =
)
R
2
3) Tính tỉ số:
khi AC =
2
2
SAMB
⇒ BD = 2.R
(2)
5R
R
……….
⇒ CD = AC
+ BD =
+ 2R =
2
2
SCOD
5R : 2R )2 = 25(do AB=2R)
Thay (2) vào (1)⇒
=( ………….
2
SAMB
16

SCOD
25
Vậy :
=


•

)2

2

A

)1

a) COD = 900
b) CD = AC + BD
c) AC. BD = R2
2) Tìm vị trí của D để hình thang ABDC có chu vi là
14cm, biết AB = 4cm
SCOD
R
3) Tính tỉ số:
khi AC =
2
SAMB
4) CMR: AB là tiếp tuyến của đường tròn
đường kính CD

•

O

Bài toán: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính
AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax; By (Ax; By và nửa đường
tròn thuộc cùng một nửa mp bờ AB)
Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn
Tiếp tuyến tại M cắt Ax ; By lần lượt ở C; D
1) CMR:

2

1

1

))

C

I

•

D
))

M

1

)

⇒ MA = MB; AMO = BMO;BOM = AOM; MO ⊥ AB
* D/h: a và (O) chỉ có một điểm chung C
hoặc a ⊥ OC tại C; C ∈ (O)
⇒a là tiếp tuyến của (O) tại C
* Nhận xét: Đường kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông có độ
dài bằng tổng độ dài hai cạnh góc vuông trừ đi độ dài cạnh
huyền.

y

x
))

* Đ/n a ∩ (O) ={C} thì a là tiếp tuyến của (O), C là tiếp điểm
* T/c: 1) a là tiếp tuyến cuả (O), C là tiếp điểm ⇒ a ⊥ OC tại C
2) MA, MB là các tiếp tuyến của (O): A,B là các tiếp điểm

2

B

AB là tiếp tuyến của (I; CD)
2
⇑
AB ⊥ IO tại O
⇑ AB ⊥ AC

IO // AC
⇑
IO là đường tb của
hình thang ACDB

⇑

OA = OB (gt)
IC = ID (cách lấy I)

O ∈ (I; CD )
⇑ 2
IO = IC = ID
⇑
∆OCD vuông tại O
IC = ID


a) COD = 900
b) CD = AC + BD
c) AC. BD = R2
2) Tìm vị trí của D để hình thang ABDC có chu vi là
14cm, biết AB = 4cm
3) Tính tỉ số:

SCOD

khi AC =

R

2

SAMB
4) CMR: AB là tiếp tuyến của đường tròn
đường kính CD

5) Gọi r1; r2; r3 lần lượt là bán kính đường tròn
nội tiếp các tam giác: OCD; OCM; ODM.
Chứng minh: r1 + r2 + r3 không đổi.

C

2

)2

2

A

D

1

)1

•

O

1

))

1) CMR:

M•

))

Bài toán: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính
AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax; By (Ax; By và nửa đường
tròn thuộc cùng một nửa mp bờ AB)
Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn
Tiếp tuyến tại M cắt Ax ; By lần lượt ở C; D

1

)

⇒ MA = MB; AMO = BMO;BOM = AOM; MO ⊥ AB
* D/h: a và (O) chỉ có một điểm chung C
hoặc a ⊥ OC tại C; C ∈ (O)
⇒a là tiếp tuyến của (O) tại C
** Nhận
Nhận xét:
xét: Đường
Đường kính
kính đường
đường tròn

tròn nội
nội tiếp
tiếp tam
tam giác
giác vuông
vuông có
có độ
độ
dài
dài bằng
bằng tổng
tổng độ
độ dài
dài hai
hai cạnh
cạnh góc
góc vuông
vuông trừ
trừ đi
đi độ
độ dài
dài cạnh
cạnh
huyền.
huyền.

y

x
))

* Đ/n a ∩ (O) ={C} thì a là tiếp tuyến của (O), C là tiếp điểm
* T/c: 1) a là tiếp tuyến cuả (O), C là tiếp điểm ⇒ a ⊥ OC tại C
2) MA, MB là các tiếp tuyến của (O): A,B là các tiếp điểm

2

B

5) Vì các tam giác OCD; OCM; ODM là các
tam giác vuông. Theo nhận xét trên ta có:
2r1 = OC + OD – CD
2r2 = MC + MO – OC
2r3 = MD + MO – OD
⇒ 2.(r1 + r2 + r3 ) = 2. MO
⇒ (r1 + r2 + r3 ) = MO = R
Vậy r1 + r2 + r3 không đổi.


a) COD = 90
b) CD = AC + BD
c) AC. BD = R2
2) Tìm vị trí của D để hình thang ABDC có chu vi là
14cm, biết AB = 4cm
3) Tính tỉ số:

SCOD

khi AC =

R
2

SAMB
4) CMR: AB là tiếp tuyến của đường tròn
đường kính CD

5) Gọi r1; r2; r3 lần lượt là bán kính đường tròn
nội tiếp các tam giác: OCD; OCM; ODM.
Chứng minh: r1 + r2 + r3 không đổi.

C

2

A

2

)2
1

E•
)1

•

•

N

•

O

F
1

))

1) CMR:

0

M•

D
))

Bài toán: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính
AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax; By (Ax; By và nửa đường
tròn thuộc cùng một nửa mp bờ AB)
Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn
Tiếp tuyến tại M cắt Ax ; By lần lượt ở C; D

1

)

⇒ MA = MB; AMO = BMO;BOM = AOM; MO ⊥ AB
* D/h: a và (O) chỉ có một điểm chung C

hoặc a ⊥ OC tại C; C ∈ (O)
⇒a là tiếp tuyến của (O) tại C
* Nhận xét: Đường kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông có độ
dài bằng tổng độ dài hai cạnh góc vuông trừ đi độ dài cạnh
huyền.

y

x
))

* Đ/n a ∩ (O) ={C} thì a là tiếp tuyến của (O), C là tiếp điểm
* T/c: 1) a là tiếp tuyến cuả (O), C là tiếp điểm ⇒ a ⊥ OC tại C
2) MA, MB là các tiếp tuyến của (O): A,B là các tiếp điểm

2

B

6) Gọi N; E; F lần lượt là giao điểm của AD và
BC; AM và OC; BM và OD.
Chứng minh rằng:
a) MN ⊥ AB
b) E; N; F thẳng hàng


* /n a (O) ={C} thỡ a l tip tuyn ca (O), C l tip im
* T/c: 1) a l tip tuyn cu (O), C l tip im a OC ti C
2) MA, MB l cỏc tip tuyn ca (O): A,B l cỏc tip im
MA = MB; AMO = BMO;BOM = AOM; MO AB

* D/h: a v (O) ch cú mt im chung C
hoc a OC ti C; C (O)
a l tip tuyn ca (O) ti C
* Nhn xột: ng kớnh ng trũn ni tip tam giỏc vuụng cú
di bng tng di hai cnh gúc vuụng tr i di cnh
huyn.

Bi toỏn: Cho na ng trũn (O; R) ng kớnh
AB. V cỏc tip tuyn Ax; By (Ax; By v na ng
trũn thuc cựng mt na mp b AB)
Gi M l mt im bt kỡ thuc na ng trũn
Tip tuyn ti M ct Ax ; By ln lt C; D
1) CMR:

a) COD = 90
b) CD = AC + BD
c) AC. BD = R2
2) Tỡm v trớ ca D hỡnh thang ABDC cú chu vi l
14cm, bit AB = 4cm
3) Tớnh t s:

0

SCOD

khi AC =

R
2

SAMB
4) CMR: AB l tip tuyn ca ng trũn
ng kớnh CD

5) Gi r1; r2; r3 ln lt l bỏn kớnh ng trũn
ni tip cỏc tam giỏc: OCD; OCM; ODM.
Chng minh: r1 + r2 + r3 khụng i.

Hướngưưdẫnưvềưnhà:
Học hiểu định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết
tiếp tuyến.
Vận dụng kiến thức hoàn thiện các câu còn lại của
bài toán
Làm bài 56, 57, 58, 60/sbt.


Bài giảng kết thúc

Xin chân thành cảm ơn

các thầy giáo, cô giáo
đã về dự
******