TÍNH TÁCH được của nửa NHÓM BLAUMSLAG SOLITAR

21

BỌ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐAI HOC VINH

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SÓ VÀ LÝ THƯYÉT SỔ

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PSG. TS. LÊ QUÓC HÁN

Nghệ An 2013
Nghệ An 2013


3

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC

1

LỜI NÓI ĐẦU

2

Chương 1. Kiến thức chuan bị

1.1 Nửa nhóm tự do. Vị nhóm tự do
1.2 Biểu diễn nửa nhóm. Biểu diễn vị nhóm

4
4
14

Chương 2. Tính tách được của nửa nhóm Blaumslag-Solitar 19
2.1 Dạng chuấn đối

nửa nhóm Blaumslag-Solitar

với
19


4

LỜI NÓI ĐẦU

Giả sử k và 1 là các số nguyên không âm. Nhóm Blaumslag-Solitar Bki
với
biểu diễn nhóm
đã đuợc Blaumslag và Solitar đề xuất nghiên cứu từ 1962 và đã đạt đuợc
nhiều kết quả sâu sắc.

\a,b I ab^
và đã giải quyết được một số bài toán liên quan đến lớp nửa nhóm này,
trong
đó có bài toán xác định tính tách được của chúng.

Nửa nhóm s được gọi là nửa nhóm tách được hữu hạn nếu với mỗi nửa
nhóm con M của s và mỗi phần tử s e S \ M , tồn tại một nửa nhóm hữu hạn
T và một đồng cấu nửa nhóm < p : S — > T sao cho < P ( S ) I Ế < P ( M ) .

Chương 1. Kiến thức chuân bị
Trong chương này, chúng tôi hệ thông lại các kiên thức về nửa nhóm
tự

do

và vị nhóm tự do, biểu diễn nửa nhóm và biểu diễn vị nhóm bởi cấu trúc
tự

do


5

Chương 2. Tính tách được của nửa nhóm BlaumslagSolỉtar
Đây là nội dung chính của luận văn.
Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày dạng chuẩn của các từ
trên
nửa nhóm Blaumslag-Solitar. Trên cơ sở đó trình bày chi tiết kết quả
chính
của luận văn nói rằng: Nửa nhóm Bĩaumslag-Soỉitar tách được hữu hạn.
Phần
cuối luận văn trình bày những bước đầu tìm hiểu về một số lóp nửa nhóm
với
biểu diễn thỏa mãn điều kiện phú nhỏ C ( n ) hay T ( k ) .

Nghệ An, tháng 8 năm 2013


6

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẲN BỊ
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của Lý
thuyết nửa nhóm và vị nhóm có sử dụng trong luận văn.

1.1 Nửa nhóm tự do. Vị nhóm tự do
Tiết này trình bày nửa nhóm tự do và vị nhóm tự do.

1.1.1 Đinh nghĩa. Giả sử s là một nửa nhóm. Một tập con X của s được

sinh ra s một cách tự do nếu s

và mỗi ánh xạ a ữ : X —

>p
(trong đó p là nửa nhóm bất kỳ) có thể mở rộng thành đồng cấu a : S —
a\ỵ = aồ.
Khi đó ta nói rằng a là một mở rộng đong cấu của ánh xạ aữ. Nếu s
được
sinh ra tự do bởi một tập nào đó thì s được gợi là nửa nhóm tự do.


7

Chứng minh. Theo định nghĩa, mỗi a0 có một mở rộng. Giả sử ánh xạ
a . S ^ - P và p ' . s —^ p là các mở rộng đồng cấu của a 0 . Khi đó với mọi
x e S , x = xlx2...x với các phần tử V eXnào đó, vì X sinh ra s. Thế thì

đó a = / 3 .□
1.1.4 Đinh lý. Một nửa nhóm tự do nếu và chỉ nếu nỏ đãng cẩu với nửa

nhóm các từ A+ với một bảng chữ cái A+ nào đó.
cái vói 1111 Khi đó tồn tại song ánh ụ/0 : A — > X . X ì A sinh ra A + một
cách tự do nên tồn tại một mở rộng toàn cấu Iỵ : A + —» s .
Vì ụ /~1: X — > A cũng là song ánh và s được sinh tự do bởi X nên I Ị / ^
có
một mở rộng toàn câu J 3 : S — > A + . Cái hợp thành { h ỵ : A + ^ > A + là
một

toàn

cấu thỏa mãn điều kiện:
J3ụ/ ị A = plị/ữ = (p / X) ụ/0 = ụ / - X \ Ị /0 = ị A .
Vì i ^ : A — > A được mở rộng một cách duy nhất tới đăng cấu đồng nhất
ì Ạ : A + — > A + nên Ị3\Ị/ = ÌẠ .VÌ ĨẠ là song ánh nên lự đơn ánh và do đó
lự là
song ánh. Từ đó lự là một đẳng cấu.

ụ / 0 = i / / \ A và X = ụ / ( A ) .
Giả sử p là một nửa nhóm tùy ý và a0 : X - > p là một ánh xạ bất kỳ. Thế
thì ánh xạ ccQụ/ữ :A^P mở rộng một cách duy nhất thành đồng cấu


8

Xét ánh xạ Ị3 = ỵụrl :S — > p . Đó là một đồng cấu vì y/~l và y là những
đồng cấu. Hơn nữa, với mỗi IG 1,^(1) =

Z

"^ot1)

và do đó Ị3\ỵ = aữ, nghĩa là Ị3 là một mở rộng đồng cấu của a0. Theo định
nghĩa, s được sinh tự do bỏi X . U
s và R là các nửa nhóm được sinh tự do tương ứng bởi X và Y sao
thì s = R.
1.1.6

Đinh lý. Moi nửa nhóm tự do cỏ luật giản ước.

Chứng minh. Suy ra từ luật giản ước có trong A+ .□
Bây giờ ta chuyển sang chứng minh tiêu chuẩn Lévi — Dubreil - Jacotin
về
nửa nhóm tự do trên sự nhân tử hóa các phần tử của nó.

Giả sử Ic,s . Chúng ta nói rằng x = xlx2...x là một sự phân tích thành
1.1.7 Dịnhlý. Một nửa nhóm s dược sinh tự do bởi X nếu và chỉ nếu mỗi

phần tử X thuộc s có sự nhân tử hóa duy nhất trên X.
Chứng minh. Trước hết ta nhận xét rằng khắng định của Định lý 1.1.7
Giả sử A là một bảng chữ cái saođược
cho
ánh.

a0 :X —> A là một song


9

Giả thiết rằng X sinh ra s
Giả sử x = xìx1...xn = yìy1...y, là hai sự nhân tử hóa X trên X và a là mở
rộng đồng cấu của aữ thì a ( x ) = a ũ ( x ] ) a 0 ( x 2 ) . . . a ũ ( x r ì ) =
aũ(y])aũ(y2)...aữ(ym)
là hai sự nhân tử hóa của a ( x ) trên A . Vì A + thỏa mãn khắng định của
định
lý, nên phải có a ữ = (jtf) = a 0 ( y í ) với Vi = 1,2,...,«. (và m = n ) . Vì a 0
là

song

ánh nên X = y , với i = 1,2,...,«. Và như vậy s thỏa mãn khăng định của
Định
lý 1.1.7. Giả sử s thỏa mãn điều kiện duy nhất. Ký hiệu Ị3ữ =a~l và giả
sử
0 : A + - > S là

mở rộng đồng cấu của Ị 3 ữ. Khi đó Ị 3 là toàn ánh (vì X sinh ra s ) và là
đơn
ánh (vì nếu Ị 3 ( u ) = P ( v ) với u , v e A + , u * v nào đó thì 1 6 { ĩ i ) có hai
cách

nhân

tử hóa khác nhau trên X : trái giả thiết). Vậy Ị 3 là một song ánh và do đó

là
một đẳng cấu .□


10

s không có ước nào thuộc s , thế thì X & ộ và X sinh ra s. Thật vậy, giả
sử a - b c trong đó b , c e X hoặc a = xyz... hoặc quá trình đó sẽ kết thúc và ta
thu được biêu diễn của a dưới dạng tích các phần tử thuộc X hoặc với mọi
số n lớn tùy ý tồn tại các phần tử ^,«2,...,« eS sao cho a = a1a2...a . Nếu
a = axa2...a thì a x , a x a 2 , a x a 2 a , , . . . , a x a 2 . . . a là các ước bên trái của a ,
chúng đều

Giả sử xxx2...xn = y ì y 2 . . . y m trong đó x l , y J e X . Đặt x2...xn = x và
y2...ym

=y

thì Xxx = yxy nên hoặc X x , y x có ước. Khả năng thứ hai không xảy ra do
định
nghĩa của X . Bây giờ tương tự thu được X, =y,và tiếp tục quá trình đó
không quá max ị n , m } bước, ta đi tới 77 = 772 và X = y với 7=1,2,...,«. Như

vậy mỗi phần tử thuộc s biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng tích
các phần tử thuộc X . Do đó s được sinh tự do bởi X . n

1.1.10 Ví dụ. Giả sử A = Ịa,ỏ,cỊ là một bảng chữ cái. Các từ ab,bab,ba
sinh
ra một nửa nhóm con của nửa nhóm các từ A+. Nửa nhóm s

11

1.1.11 Định nghía. Vị nhóm M gọi là một vị nhỏm tự do được sinh tự do

bởi một tập con V với lế X nếu X u{l} là một tập sinh của M và mỗi ánh
xạ a ữ : X —» p (trong đó p là một vị nhóm) mở rộng được thành một
đồng
cấu vị nhóm duy nhất cr.M —> p, nghĩa là cc\ỵ = aữ và a ( ì M ) = ì p .
1.1.12

Định lý. Nếu s ỉà một nửa nhóm tự do thì S' là vị nhóm và ngược

lại.
1.1.13

A.

Hệ quả. Vị nhóm từ A' là một vị nhóm tự do vói mọi bảng chữ cải

1.1.14 Định lý. Một vị nhóm M là vị nhóm tự do nếu và chỉ nếu M \ {1} là

nửa nhỏm con tự do.
Chứng minh. Đối với điều kiện ngược lại, tập con A/\{1} là nửa nhóm con
của M . Điều đó được thỏa mãn, vì nếu không ìu sẽ có hai cách nhân tử
hóa

khác nhau. Phần còn lại của khắng định trong định lý được suy ra từ
Định
nghĩa 1.1.1l.ũ

Tương tự như nửa nhóm tự do, ta còn có một số kết quả khác sau đây
về vị
nhóm tự do.
1.1.15 Định lý. i) Một vị nhóm M được sinh tự do bởi X nếu và chỉ nếu


12

Cũng như vậy, vị nhóm tương ứng ký’ hiệu là X* = x+ u{l}. Chú ý rằng
nếu
ỉeX thì X* = x+. Nếu w e A* là một từ thì ta viết w* thay cho {w}*.

Giả sử U , V E L A + . Thế thì u được gọi là một nhăn tử của V nếu v =
w1uw2
với các từ w w\ nào đó thuộc Á*; u được gợi là tiền tổ (hậu tố) của V nếu
V = u.w (hay tương ứng V = wu) với w e A* nào đó.

Độ a t e A thì J\Ệ= w • Độ dài của từ rỗng được quy ước bằng kliông.

1.1.17 Bố đề. N ế u U X I L = v,v; trong A* thì hoặc ux là tiền to của Vj

hoặc

V,

là tiền to của ux, nghĩa là tồn tại một từ w € A* sao cho ux =v,w hoặc
V, = ux w.
Trước hết ta chứng minh một tiêu chuẩn khác đối với tính tự do của vị
nhóm con của vị nhóm các từ. Đối với một vị nhóm con M của A* chúng

13

w& B ( M ) nên tồn tại hai từ u , v e M + sao cho w=7iv. Vì u , v ngắn hưn
w nên từ cách xác định của w, có u,ve B ( M Ỵ . Nhưng khi đó u v e B ( M ) + ,
hay w G B ( M )+: mâu thuẫn.

Giả sử N là một tập con sinh ra M . Khi đó với mọi u e B ( M ) , u e N * = M
nhưng u không phải là tích của hai hay nhiều hơn hai từ thuộc M nên
ueN.
Do đó B ( M ) c N .□
Kết quả sau đây thuộc về M. p. Schutzenberger (1995).
1.1.19 Định lý.
Giả sử M là một vị nhỏm con của vị nhóm các từ A+. Thế thì M tự do
nếu và chỉ nếu : u,v,uw, wv GẢ/ => w eẢ/.
Chứng minh. Giả sử M tự do, w e A * là một từ nào đó có u , v e M sao
cho u w, w v e M . Giả sử u = u x . . . u k , u w = Vj...vf, M'V = u k + l . .
,uk+r

và

V

=

ví+1...vt+s,

trong đó mọi ul,vJ GX , với X = B ( M ) .

uwv = uwv = ux...ukuk+l...uk+r =v1...vtvt+l...vt+ . Vì M được sinh tự do
bởi X nên k + r = t + s,ut =V1 với i = 1,2, . . . , k + r. Từ đó w = uk+l...ut (vì
k < t ) nên wGM .


14

1.1.20 Dịnhlý. Giả sử \M1 I z e/Ị là một họ các vị nhóm con tự do của A*.

Khi đó M = ÍÌM cũng là vị nhóm con của A*.
iel
Chứng minh. Rõ ràng M là vị nhóm con của A*. Giả sử u, V, uw, vw e M,
thế thì u , v, u w, v w E M với mọi i e l . Do đó w e M , \ / i e I theo Định lý
1.1.19, suy ra Vv e ị ^ M ị = M . Lại theo Định lý 1.1.19, M là vị nhóm con tự
Giả sửlc/ là một tập con tùy ý, thế thì n { M \ M là vị nhóm con của A *,
X c: M } là một vị nhóm con tự do của A * . Rõ ràng nó là vị nhóm con tự
do
nhỏ nhất cúa A * chứa X . Cơ sở của giao này được gọi là b a o t ự d o của
X

và

được ký hiệu là F ( X ) . Nói riêng, L*cF(L) vì X * là một vị nhóm con và
1.1.21 Định lý khuyết. Giả sử X cz A* là một tập con hữu hạn các từ, và

F ( X ) là bao tự do của nó. Nếu X không phải là một mã (nghĩa là X không
phải là cơ sở của một vị nhỏm tự do nào đó) thì ( JCỆ<Ệ\Ệ- 1.
Chứng minh. Vì X cF(I) nên mỗi từ u e X * được viết một cách duy
nhất dưới dạng u = w1w2...wit, với w e F ( x ) . Giả sử a : X — > F ( X ) là
một

song ánh sao cho a ( u ) = Wị, nếu u e WJF(JC)* . Giả thiết rằng X * không
tự

do,

khi đó tồn tại một từ w G X* có hai cách nhân tử hóa trên X : w = lựg . u
= vìv2...vmịuí,vJ elỊ, trong đó ?/, ^ỵ (nếu ux =Vj thì có một phần tử ngắn


15

như vậy a kliông phải là đơn ánh (Nếu a { u x ) ^ a { v x ) thì từ w sẽ có hai
cách
nhân tử hóa khác nhau trên F(X), mâu thuẫn với F ( X ) là vị nhóm con tự
do).
Bây giờ ta chỉ ra rằng a là toàn ánh, giả sử ngược lại rằng tồn tại một
từ
weF(I) sao cho a ( u ) * w, với tất cả u e X . Giả sử Y = (/(*)\{w}).w*.
Khi đó X cĩ’ , thế thì Y * tự do, vì nếu uxuz..un = v1v,...vr(MI,v. e Y) trong
đó
và V = Z j W t j với y i i z J eF(I)\jw} và k ì J Ị >0 thì ylvỉlciy2vỉlc\..ymvỉkm
Ta có X c7* nhưng Y * cF(X)\ mâu thuẫn với tính cực tiểu của F(X)với
tư cách là cơ sở bé nhất của vị nhóm tự do chứa X . Điều đó kéo theo a là
toàn ánh. Vì a

1.1.22

không phải là đơn ánh nên

do đó

Định nghĩa, i) Một từ w e A+ được gợi là nguyên thỉty nếu nó

không
phải là lũy thừa của một từ khác, nghĩa là nếu w = uk thì k = \ và u = w .
ii) Hai từ u , v e A + được gọi là liên hợp với nhau, nếu tồn tại các từ

1.1.23

Hệ quả. Mỗi từ li G A+ là một lũy thừa của một từ nguyên thủy

duy
Chímg minh. Giả thiết rằng w = un =vm với các từ u , v e A + nào đó, và
với các số nguyên m , n > \ nào đó. Thế thỉ tập hợp X = { u , v ) không phải
là
mã, vì có hai sự nhân tử hóa khác nhau trên X . Theo Định lý khuyết có
r m và do đó F ( x ) = { z } với một từ z e A * nào đó, nhưng điều đó có


16

nghĩa là u , v e Z * và do đó v = z % u = z ' . Nếu u , v nguyên thủy thì r = s
=

\

và

u = v.

Chứng minh. Vì uv = vu nên X = { u , v } không phải là một mã và do đó
f ( X HI = 2 nên theo chứng minh hệ quả trên ta có u và V là lũy thừa của
một từ z chung nào đó.

1.2.1 Định nghía. Giả sử s là một nửa nhóm. Khi đó tồn tại một toàn cấu
ự / : A + ^ S với một nửa nhóm các từ A+ nào đó. Thế thì s = A+ / ker(i//).
Khi
đó lự đirợc gọi là một biêu diễn đồng cấu của s, và nếu (w,v)e k e r ( i ỵ ) thì
u = V được gọi là một hệ thức hay đãng thức trong s . Để tránh hiểu nhầm,
ta Như vậy, định nghĩa một biếu diễn của s gồm các kỉ hiệu sinh
A = {ava2,..)ị và các hệ thức = ịiị = V1 I i e l } , và viết
=^pữ2,... I U ị = V ị ( i e hay s =^4 í^ nếu k e r ( ụ / ) là tương đẳng nhỏ
nhất của A + chứa các hệ thức , V )| I e / Ị.
Nói riêng l ị / [ ĩ i ) = ụ r (v ) đối với tất cả các u = V trong ^
Tập hợp <2^ các hệ thức được giả thiết có tính đối xứng nghĩa là nếu u
=

v

trong c í k thì V = u cũng thỏa mãn.
Cần nhớ rằng các từ w € Ả+ không phải là các phần tử của s nhưng
được
ánh xạ vào s . Chúng ta nói rằng một từ w e A+ biếu diễn phần tử ự / ( w )


17

s . Cùng một phần tử của s có thể được biểu diễn bằng nhiều cách khác
nhau
(bởi các từ khác nhau). Nếu = y/(v) thì hai từ u , v biểu diễn cùng một

phần tử của s. Giả sử s =Ệíị‘f^ là một biểu diễn. Chúng ta chỉ ra rằng s
có một hệ thức u = v (nghĩa là ụ r ( u ^ = ụ r ( y } nếu và chỉ nếu tồn tại một
dãy
u = ux,u2,...,uk+l = V với các từ sao cho U l + Í nhận được từ U1 bằng cách
thay
thế nhân tử u bởi V đối với u = v nào đó trong ^). Chính xác hơn, chúng
Rõ ràng rằng nếu V được dẫn xuất từ u thì u được dẫn xuất từ V (vỉ <2^
đối
xứng) và \ Ị / ( u ) = I//(ỂU1)I//(V)I//(<£>2) = !//(<£>!)i//(v)i//(ứ)2) nên u = v
là một hệ

thức trong s. Từ V được gọi là dẫn xuất từ U nếu tồn tại một dãy hữu hạn
u = uvii2,...,uk = V sao cho với tất cả j = 1,2,...,Ả:-1, U J + 1 là dẫn xuất trực
tiếp
1.2.2 Định lý. Giả sử s

ỉà một biếu diễn, với ^ đổi xứng. Thế thì

= ị ị u , v) I u = V hay V đuợc dẫn xuất từ u }.
= V trong s nếu và chỉ nếu V được dẫn xuất từ u.
Chứng minh. Ký hiệu p là quan hệ xác định bởi upv nếu và chỉ nếu u=v
hoặc V được dẫn xuất từ u .


18

Rõ ràng i CỊ p nên p phản xạ. Vì CR^ đối xứng nên p đối xứng, tính bắc
cầu của p là hiển nhiên. Vậy p là quan hệ tương đương.
Nếu w e A+ và V được dẫn xuất từ u thì rõ ràng wv cũng được dẫn xuất
từ

w u và vw được dẫn xuất từ uw .Vậy p là quan hệ tương đẳng.
Giả sử 6 là một tương đẳng sao cho ^cớ. Giả thiết rằng V được dẫn
xuất
trực tiếp bởi u\u = WjW'w2,v = w1v'w2 trong Vì

nên

Vì ỡ là một tương đắng nên (w1i/'w2,w1v,w2)e6 hay (w,v)eớ. Do đó,
nhờ tính bắc cầu của p và 6, có /7CỚ và như vậy p là tương đẳng nhỏ nhất
chứa nghĩa là = p .u
1.2.3 Định lý Giả sử A là một bảng chữ cải và <2^ € A+ X A+ là một

qucm

hệ
s = ^4 ị u = v với mọi (u, V e ^ ^

Hon nữa, tất cả các nửa nhóm có củng biếu diễn đãng cẩu với
nhau.
1.2.4 Ví dụ.
Trong biểu diễn này có hai phần tử sinh và ba hệ thức xác định.
Chăng hạn, trong s có một đắng thức baabbaa = bbaaba, vì ux =baabbaa
= b.ba.baa = u2 vàw2 = bbabaa = bbaba.a = bba.aba.a = bbaaab. Cũng như
vậy, aaab = aabb = abbb = aaba = bab trong s, và do đó aaab = bab trong s
.
2) Một biếu diễn các nửa nhóm các từ không cần hệ thức xác định:


19

Tất cả các nửa nhóm (vì vị nhóm) đều có biểu diễn. Thực vậy,
s =^41 k e r ( ự / ^ là một biểu diễn như vậy, khi ụ/ : A+ —> s là toàn cấu
biểu
diễn. Tuy nhiên, nói chung biếu diễn này rất phức tạp. Chúng ta sẽ quan
tâm
nhiều hơn các nửa nhóm có biếu diễn hữu hạn, nghĩa là một biểu diễn
s =^41 trong đó A là một bảng chữ cái hữu hạn và là tập hữu hạn các
hệ thức (Tiếc rằng không phải nửa nhóm nào cũng có thể biểu diễn như
vậy).
Trở lên, ta nói rằng tất cả các vị nhóm đều có một biếu diễn (với tư cách
là
một nửa nhóm). Tuy nhiên sẽ tiện lợi hơn nếu sử dụng các biểu diễn vị
nhóm
mà đối với các biêu diễn ấy có ưu thế của phần tử đơn vị:
M =Ệpl,a2,...ịui =vI-,(i£/^ỉà một biểu diễn vị nhóm nếu U ị , V ị e A * , trong
đó A = {ara2,..)ị là một bảng chữ cái. Trong biêu diễn vị nhóm chúng ta có
thể giả thiết có các hệ thức dạng u = \, nghĩa là từ u có thể bị xóa từ một từ
khác hay bổ sung vào một vị trí nào đó giữa hai chữ cái.
Hơn nữa mỗi phần tử zeM có một dạng chuẩn: Giả sử z = z l . z 2 . . . z với
z =y/(a) (ữ = a hoặc a = b ) thì z = ụ / ( a l ) i / / ( a 2 ) . . . ự / ( a ) = ụ /
(ala2...a )
= ỉ Ị j [ a * b m ^ = i / / ( a ) k y / ị b Ỵ = x k b m nào đó (/72>0,&>0). Do đó vị
nhóm M là
một nhóm giao hoán tự do, và có thể chỉ ra được rằng mỗi vị nhóm giao


20

2) Biểu diễn vị nhóm M =W!,Z)| a b a = y xác định một nhóm. Thực ra,
nhóm này đẳng cấu với (□,+). Thật vậy, giả sử M là một vị nhóm với biểu

diễn trên thì M □ A * / trong đó A = { a , b } và (^ = ịaba = lỊ, và giả sử
là toàn cấu tương ứng. Thế thì M được sinh bởi các phần tử
x = i / / ( a ) và y = i Ị / ( b ^ , hơn nữa ab = ba.aba = aba.ba = ba và do đó xy
= yx.
Điều đó kéo theo M là một vị nhóm giao hoán. Do đó mỗi phần tử thuộc
z e A ẩ có dạng z =\Ị/[a",b"^ với /77 > 0, n> 0 nào đó. Hơn nữa, a.ab = 1 và

ba.a = 1 nên ba là nghịch đảo của a. Tương tự a2 là nghịch đảo của b,


21

CHƯƠNG2
TÍNH TÁCH ĐƯỢC CỦA NỬA NHÓM BLAUMSLAG-SOLITAR
2.1 Dạng chuẩn đối với nừa nhóm Blaumslag-Solitar
2.1.1 Đinh nghĩa. Nửa nhóm có biếu diễn nửa nhóm

^b
trong đó k và / là các số nguyên không âm cho trước được gọi là nửa
nhóm
Blaumsl ag-Soli tar.

Kỷ hiệu Sj
kj
2.1.2 Nhận xét. Giả sử u là phần tử của nửa nhóm S2^ được cho bởi

biêu
diễn I4'5# trong đó A= ị a , b } và K = f y ư = ư a } , với u = ư a ư a 2 ư a ư .

Nếu chúng ta sử dụng quan hệ ab2 = b3a để chuyển ư sang phải, chúng ta

22

Mệnh đề (Dạng chuấn bên phải đổi với S k l ) . G i ả s ử k 3 1. T h ế t h ì :

2.1.3

(1) Mỗi phần tử của s, ] cỏ thế viết dưới dạng gwỗH ^ trong đó n* 0 và

w
là một phần tử thuộc tập hợp
w. = ị a , b a , b 2 a , . . . , b l ỉ a }
(cỏ thế xảy ra trường họp n= 0 hoặc w là từ rỗng, nhimg không dồng thời
xảy ra hai trường họp đó).
: 723 0, w ĩ W;,wbn 1 1}

:=

Thế thì các phần tử phân biệt của

biếu diễn các phần tử phân biệt

của
Skl (chủng ta sẽ gọi một phần tử thuộc biếu diễn sỉ s là dạng chu ăn
Giả sử s là một phần tử của Sk l sao cho u là một dạng chuẩn bên phải
của s và V là một từ trên bảng chữ cái A= {|a,b} cũng biếu diễn s trong
V
Hi
Ệ|

nếu

k<

l

k=ỉ

HN Trước
nếu k>khi
ỉ. chứng minh ta giải thích một vài ký hiệu. Giả sử s
Chứng minh.
là
một
nhóm
biểu xác
diễn: nửa nhóm
Nhưcác
thường
lệ, A)
A+và
sẽ A*
được
kýnhóm
hiệu làtự
nửa nửa
nhóm
tự dovới
(chính

từ trên
là vị
do
trên A với đơn vị là từ rỗng mà ta sẽ ký hiệu là 1, Ư hay e. Thế thì


23

s @A+ / r, trong đó r là tương đẳng

trên

Ả+ sinh bởi ^ (nghĩa là r

là

tương đăng nhỏ nhất trên A+ chứa ).

Khi đó, các phần tử thuộc A+ / r
là

các lớp r -tương đương, với mỗi uĩ A+, r - lớp tương đương chứa u được
ký hiệu là [w J hay đơn giản hơn [w] (nếu không sợ nhầm lẫn). Do đó
A+ / r = {[»]»ĩ A+ }. Vì s @A+ nên ta cũng đồng nhất mỗi phần tử s của
s với [ĩ/], trong đó u là một từ trên A biểu diễn 5 ỉ s.
Giả sử m là số lần a xuất hiện trong biếu diễn của từ u ĩ A+ . Khi đó ta sẽ
ký
hiệu II = m.
Bây giờ ta sẽ chứng minh Mệnh đề 2.1.3.
(1) Trước hết ta sẽ chú ý rằng

ịibkqỊị trong s, J, với mọi số tự nhiên

q
(chứng minh quy nạp theo q với chú ý |/tfỊ*Ị= 1ĩbk^ theo giả thiết).
Giả sử từ u trên bảng chữ cái A= {«,&} biêu diễn s trong s, r Chúng ta


24

Chia nx cho / để viết 7?J dưới dạng n = qỉ + j\ với 0 £ j\< ỉ . Thế thì

|//| ^\'b'habn2Ị*Ị- ậv'bhbqiabn-^ ịw' .bJlaybqh+ft2ị.
(2) Chúng ta theo lập luận của Van der Waerden (1948) đẻ chứng tở

rằng
các phần tử phân biệt của biểu diễn các phần tử phân biệt của s,
ị.
Ký hiệu :

{l}

trong đó 1 là từ rỗng. Giả sử trên
5V^*. Ta hãy xác định các phép biến đổi a và p trên NĩC. Trước hết,
\a = a và 1 b = b . Nếu w bn là một từ không tầm thường thuộc thì hãy
viết n= qỉ+ j với 0£ j < ỉ và giả sử wbna = (wb J à y b q k . Xác định b lên
wb n bởi wb n b = wb n + 1 . Giả sử s là nửa nhóm con của < F » được sinh
bởi a
và b . Khi đó a b k = b 1 a là các phần tử của s , và do đó ta có đồng cấu

F ' S , J ® s xác định bởi F (J<3 j)= a và F <s>> b . Chứng minh hệ thức
1F(|v^° wbn bằng quy nạp theo 77. Từ đó F là một đẳng cấu nên mỗi
phần tử của s, Ị có một biểu diễn duy nhất trong Skl.
(3) Chứng minh bằng phưong pháp quy nạp theo n như chứng minh


25

= ^I,ab,ab2 ,...,abk'1}
(Có thế xảy ra n = 0 hay w tà /lỉr rarcg, nhimg không thế cả hai trường họp đó
củng xả ra)
(2)

Giả sử KL = |z>'!w I 0, w ĩ w\và bn 1 1 y Khi đó các phần tử khác

nhau thuộc %L biếu diễn các phần tử khác nhau của s l (Chúng ta sẽ gọi
các
phần tử thuộc %L biếu diễn phần tử s ĩ s , là dạng chuân bên trái của s)
(3) Giả sử s là phần tử thuộc s, ị cỏ dạng chuan bên trái là từ u và V là

một từ bất kỳ trên bảng chữ cái A = {a,b } cùng biểu diễn s trong s, Ị.
t h ì : IIN nếu k < ỉ
k=ỉ
IIN nếu k > ỉ
Chứng minh. Lập luận theo nguyên tắc đối ngẫu của phép chứng minh
Mệnh
đề 2.1.3.u
sao cho N itn nu
Nếu hai từ uvu2 cùng biếu diễn một phần tử của s, thì bằng cách quy
chúng về một dạng chuẩn phải chung, chúng ta tìm được từ gốc bằng nhau

của chúng vói độ dài tối đa|/|t |/£


26

2.2 Tính tách được hữu hạn đối với nửa nhóm Blaumslag-Solitar
2.2.1 Dịnh nghĩa, a) Nửa nhóm s được gọi là tách được hữu hạn nếu với

mỗi nửa nhóm con M của s và mỗi phần tử sỉ s - M, tồn tại một nửa
nhóm hữu hạn T và một đồng cấu nửa nhóm F : s ® T sao cho
F(s)ĩ F(M).
b) Nửa nhóm s được gọi là có tập con tách được hữu hạn nếu với mỗi tập
con M của s và một phần tử sỉ s- M, tồn tại một nửa nhóm hữu hạn T
và một đồng cấu nửa nhóm F : s ® T sao cho F (s)ĩ F (M).
Từ định nghĩa trực tiếp suy ra: Nửa nhóm s có tập con tách được hữu
hạn
là nửa nhóm tách được hữu hạn.
2.2.2 Chú ý. Kết quả chính của tiết này là chứng minh nửa nhóm S, J

có

tập

con tách được hữu hạn, từ đó suy ra S: I là nửa nhóm tách được hữu hạn.
Đẻ chứng minh kết quả đó, ta sẽ sử dụng kết quả của E. A. Golubov
(1970)
với nội dung chính như sau.
Giả sử s1 là vị nhóm thu được từ nửa nhóm s bằng cách ghép thêm đơn
vị.
Với mỗi cặp phần tử x , y ĩ s, định nghĩa

[v:v]= |(?/,v)í sl' sl :wcv= yỊ.
Trong công trình Finite separabiỉity of semigroups đăng trên tạp chí
Sibirsk.
Mat. z 11 (1970), E. A. Golubov đã chứng minh được rằng: Điều kiện cần
và