Các phân bô thông kê lượng tử biến dạng và ứng dụng

21
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CAM ĐOAN
NGUYỄN ĐÌNH TUÂN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn này không hề
trùng lặp với những đề tài nghiên cứu khác.

CÁC PHÂN
BỐtháng
THỐNG
Hà nội, nqày
năm 2010 KÊ LƯỢNG TỬ
Học viên
BIẾN DẠNG VÀ ỨNG DỤNG

Chuyan ng^h: VÊt IỶchÊí r 3 Án
M sè: 60 44 07

Nguyễn Đình Tuấn

LUẬN VĂN THẠC sĩ VẬT LÍ

A. MỞ ĐẨU
Ng-êi h-íng dẺn khoa hãc: PGS.TS

Lưu THỊ KIM THANH

1. Lý do chọn đề tài:

Cùng với sự phát triển của xã hội loài người, Vật lý học đã trải qua
HÀ NỘI,
2010thành tựu đáng kể : Thế kỷ XVIII
nhiều giai đoạn phát triển và đạt được
nhiều
cơ học cổ điển của Niutơn đã trở thành môn khoa học cơ bản , thế kỷ XIX lý
thuyết điện từ trường của Macxoen và Faraday ra đời có nhiều ứng dụng trong
đời sống và khoa học , thế kỷ XX là thế kỷ của Vật lý học hiện đại với khuynh
hướng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất . Khi đó người ta nhận
thấy không còn có sự thống nhất giữa các quy luật xảy ra trong thế giới vi mô
với các quy luật đã tìm thấy trong thống kê cổ điển.

Trong cơ học lượng tử cũng như lý thuyết trường lượng tử, khi có sự sai
khác giữa một lý thuyết chính tắc và kết quả thực nghiệm, người ta thường
dùng các phương pháp gần đúng để giải quyết. Tuy nhiên nhiều hiện tượng vật


3

lý

lại

không

dễ

dàng

thấy

được

trong

phương

pháp

nhiễu

loạn,

chẳng

hạn

như

sự phá vỡ đối xứng tự phát, sự chuyển pha các trạng thái...

Điều đó có đòi hỏi phải có những phương pháp mới không nhiễu loạn
mà vẫn bao gồm tất cả các bậc khai triển của lý thuyết nhiễu loạn mà lại giữ
được các yếu tố phi tuyến của lý thuyết như phương pháp tác dụng hiệu dụng,
phương pháp mô men, phương pháp nhóm lượng tử mà cấu trúc của nó là đại
số biến dạng...

Trong những năm gần đây việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số

lượng tử đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết vì các cấu
trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề của vật lý lý thuyết như thống
kê lượng tử, quang học phi tuyến, vật lý chất rắn... Nhóm lượng tử và đại số
lượng tử có thể biểu diễn nhiệt dung thuận lợi trong hình thức dao động tử
điều hòa biến dạng và ứng dụng các phân bố thống kê lượng tử biến dạng.
Xuất phát từ vấn đề nêu trên , tôi lựa chọn đề tài “ Các phân bô thông kê

lượng tử biến dạng và ứng dụng ” làm luận văn tốt nghiệp của mình.

2. Mục đích nghiên cứu:

- Xây dựng phân bố thống kê lượng tử bằng phương pháp lý thuyết
trường lượng tử.

- Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử biến dạng, tìm được hệ thức
nhiệt dung Cyphụ thuộc vào tham số biến dạng.


4

Chương 1: Xây dựng phân bố thống kê lượnọ, tử bằng phương pháp lý thuyết
trường lượng tử

1.1. Hệ lượng tử và các tính chất của chúng

1.1.1. Hệ lượng tử.

1.1.2. Tính chất

1.2. Các phân bố thống kê lượng tử

1.2.1. Phân bố chính tắc lượng tử

1.2.2. Phân bố chính tắc lớn lượng tử

1.2.2.1.

Phân bố chính tắc lớn lượng tử

1.2.2.2.

Áp dụng phân bố chính tắc lớn lượng tử

1.2.2.2.1.; Thống kê Bose- Einstein


5
Chương 3: Một sô ứng dụng của phân bô thông kê lượng tử

3.1. Nhiệt dung của mạng tinh thể khi áp dụng lý thuyết biến dạng q.

3.1.1.

Lý thuyết nhiệt dung mạng tinh thể của Einstein

3.1.2.

Lý thuyết nhiệt dung mạng tinh thể của Debye

3.1.3. Nhiệt dung chất rắn theo quan điểm của hình thức luận dao

động tử điều hòa biến dạng - q.

3.2. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp dụng lý thuyết biến
dạng - q.

3.2.1.

Cách tính gần đúng đơn giản.

3.2.2.

Cách tính đầy đủ và chính xác hơn.


6

B. NỘI DUNG
CHƯƠNG 1

XÂY DỰNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ LƯỢNG TỬBANG
PHƯƠNG PHÁP LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

1.1.

Hệ lượng tử và các tính chất của chúng

1.1.1. Hệ lượng tủ

Hệ lượng tử là một hệ cấu thành bởi các hạt lượng tử

- Hạt lượng tử là hạt tuân theo các định luật của cơ học lượng tử

- Cơ học lượng tử mô tả các tính chất và các đặc tính riêng biệt của các
hạt của thế giới vi mô mà thông thường chúng ta không giải thích được nếu
dựa vào quan điểm cổ điển.

1.1.2. Tính chất
- Các hạt vi mô mang cả tính chất sóng lẫn tính chất hạt

Do có đặc tính sóng và hạt nên một hạt vi mô bất kỳ không có toạ độ
xác định tuyệt đối chính xác, nó bị “nhoè đi” trong không gian. Khi có hai
hoặc nhiều hơn hai hạt đồng nhất tồn tại trong miền không gian nhất định thì
ta không thể phân biệt chúng đối với nhau, vì ta không theo dõi chuyển động
được của mỗi hạt. Đó chính là tính đồng nhất như nhau của các hạt trong cơ
học lượng tử.


7

lượng,

điện

tích....

ta phải đưa vào các thông số và các tính chất mới,
“lượng tử”. Đó là “spin” của hạt, “tương tác trao đổi”, “nguyên lý Pauli”.

1.2.

thuần

tuý

Xây dựng các phân bô thông kê lượng tử bằng phương pháp
Gibbs

Để tìm được các định luật phân bố thống kê lượng tử, người ta dùng ba
phương pháp:

- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử

- Phương pháp Gibbs

- Phương pháp các “ô” Boltzman

Trong đó phương pháp các “ô” Boltzman ra đời sớm nhất, nhưng
phương pháp Gibbs có nhiều ưu điểm hơn và được coi là phương pháp cơ bản.

(1.1)

Biểu thức (1) là phân bố chính tắc lượng tử.
0 là nhiệt độ thống kê, ỡ = kT


=

^|^"Z^-exp[8
d

ẳ^=>
Ả'=o

Đặt z = ỊT expị-—

I là tổng trạng thái, ta được \ự = -6inZ
z ÕO 0

Xét:

(1.2)

Hay:

Biểu thức (2) là phương trình Gipxơ - Hemhômxơ
da z õa

sr dE k

\o\

k

\ da

exp

IV - E k 1

ÔE k / dtì \ _ f a/7

Theo cơ học lượng tử ta có:

,

da da

Khi đó:
Nhận xét: Ta thấy

6 cỏ ý nghĩa nhiệt độ tuyệt đối
lị/ có ý nghĩa năng lượng tự do

-ĩ-jA = -- A (1.3)


9

W k = exp

E

A

W k = exp

* Xét trường hợp đặc biệt: Hệ lượng tử gồm N hạt không tương tác.
Tương tự như trong vật lý thống kê cổ điển, từ phân bố chính tắc lượng tử ta
cũng suy ra phân bố Maxwell- Boltzmann lượng tử:
exp

w , =■

Trong đó: £ là năng lượng một hạt của hệ

Wị là xác suất để một hạt bất kỳ của hệ nằm ở trên mức năng
lượng £

- Trường hợp mức năng lượng £ bị suy biến, với độ suy biến là ẹ(£ ).
w t = g(e t ).

Biểu thức (1.6) là thống kê Maxwell- Boltzmann lượng tử.

1.2.2.

Phân bô chính tắc lớn lượng tử

(1.6)


E

k = Ẻ nA
10

mô

cũng

như

tính

đối xứng của các hàm sóng. Do đó, các thống kê vừa tìm
được chỉ có thể áp dụng cho một số trường hợp đặc biệt. Nếu ta chú ý đến toàn
bộ đặc tính đó, ta tìm ra hai loại thống kê lượng tử quan trọng:

- Thống kê Bose- Einstein

w,

=—
exp

1.2.2.2.

áp dụ nạ phân hố chính tắc lớn lượng tử
i=0

Trong đó:

n là số chứa đầy (số hạt có cùng năng lượng £ )

i là các mức năng lượng của hạt có trị số từ 0 đến
£

là

năng

Trong đó:

lượng

của

n + pN
một
hạt

i=0

N = ị j n.
i =0

gjc_

riêng

lẻ

của

00

hệ


exp

Khi đó:

w

i

11

i=0

(1.8)

(n ữ , = exp<

* Nhận xét:

Từ công thức này ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức

- Để tính số hạt trung bình n trên một mức năng lượng s. bất kỳ ta
dùng thủ thuật toán học sau: Gắn cho đại lượng ụ. chỉ số 1, nghĩa là coi hệ ta
xét có cả một tập hợp các thế hoá học //,. Khi đến cuối phép tính toán, ta sẽ
đặt tất cả bằng nhau và bằng ỊU.
XI..Jk(/V/V..) = exp

Z=1

/=0

Với

>G(n ữ ,n r ..)

(1.10)
Q = -ớlnZ
ỔQ _

J_ ÔZ_


(

ex

dz ^

d

/-h ~

12

p

E"/(#•“*/)
/•=()______
00

00

E"/(#-*,)

/=() _______

= II-.exp
V ) n„ n.

0

X^- £ i)

= ZI-.exp

^+Ẽ«, (/',-£,)
ỔQ ^ ^

i =0

G(n 0 ,n r ..)

/I ex

a =-Z-X"” * P

(1.11)

_—
Với fl k =JLl

1.22.2.1. Thông kê Bose- Eỉnstein

ấ "/(#•-*/)
n0 =0 nx =0

/=0

00 00

=n.Zexp
/=0 /1=0 [
Khi đó Q = ớ l n Z = -ớ^ l + expj———Ị


13

n - -

ÔQ

1

Nếu năng lượng £ k suy biến với độ suy biến g k thì:

Biểu

thức

(1.12)

là

thống

kê

Bose-

<•=0

1.2.2.22. Thông kê Fermi-Dirac

Xét đối với hệ hạt Fecmi:
n i < 1 (n. =0,1)

G(n 0 ,n r ..) = ì

Einstein

(1.12)


ex

p

14
í

d

vk

8

Vị- ì'

8

■g(
Nếu năng lượng £ k suy biến với độ
suyk )biến g(e k ) thì:
expi —

1+1

Biểu thức (13) là thống kê Fermi-Dirac
Ỳni =

N

1.2.2.23. Thông kê Maxwell- Boltzmann

,n rhạt
..) không
=
Xét đốiG(n
với 0hệ
tương tác và không đồng nhất, ũị từ 0 đến co

(=0

Ta có:

nQ =0 /Ij =0

CO 00

n.I

exp

A ~ g/
ớ

i=0 n=()

=n exp^ exp
/=0 [
= -<9/«fỊexp exP ^ Q

e
— -ỔQ

n,. =

8

ì

8

k

%r
= exp M

Nếu mức năng lượng £ k suy biến, với độ suy biến g k thì:


15

L (^) = exp|~ Q k I g*

(1-14)

Biểu thức (14) là biểu thức thống kê Maxwell- Boltzmann
* Nhận xét: Số hạt trung bình trên một mức nào đó tỉ lệ với xác suất tìm
một hạt trên mức đó.

1.3. Xây dựng các phân bô thông kê lượng tử bằng phương pháp lý
thuyết trường lượng tử.
1.3.1. Biểu diễn sô hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính.

Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m,
chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f = - kx dọc theo một đường
thẳng nào đó.

H =

P^

+

mỌ LĨ
2m 2

là toán tử tọa độ.

p = p = ih— là toán tử xung lương.
= pq — qp = —ih—X — x(-ih) — x + itix
y/ = —ih—{xụ/) + ihx—lự = -ih
lự

Do đó ta có thể biểu diễn toán tử Hamiltonian theo p và q như sau:


L

---------

1------—Q

=

.1 . -------------------------- \a-a -ị -----------------— . —

16

mhù)

q=

2 mù)

a-a

h /~
a +a

2

p meo2 ~ 2
theo a và H
a=
như
sau:
^—
+
2m

1 .2 mhcoị ~
2 m

2

~+\ :

mù)2 h
2

\

a + a — I a-a

a + a \\a + a \-\a-a \\a-a

Ta biểu diễn các toán tử a và a ngược lạiaqua
- 1‘
ap) =và
> qa :- a P = 1

h (■

q=

2 meo

mhù)

meo

a —

2 ú)h

V

a =

2
p

\

.
m

J

= -ip
inh (ú

=q

a\=> a + a -

a+a

2 meo

2 mú)


17

Dễ dàng chứng minh được các toán tử a và a thỏa mãn hệ thức giao

(1.21)

= 1.

< 4-

cĨM

m

(

:P
Cớq - ỉ
m

+

(ờq -I :P
m

= Y^{ 2iCủpq ~

2ic

°ĩtp)

=

fi{ p y~ y p)=1

1

(1.22)

H - \ a a +

heo

N=aa

+

-A.
A A
A A+ \ A A

A+ A A yv.yv-|-yv
A

/

-A.

+

,A.

Hay v2 = 2Ịv-l).

+

/A. 4y\. 4- w -jyv + -A. \ yv-1-

/A. 4- A A+ -A. 4- yv. 4- A
yv-Ị

(1.25)

là véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng n.

Khi đó ta có phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử N như sau:

/ A A+


18

n-

(n\N\n) (n\a a\nj
(n I /z) (tĩ I /z)

Vì: (n I zz) = ị\(p t írìl dr
(n\a a\n) = ị\à(pn dr> 0

Kết luận 1:

Các trị riêng của toán tử N là các số không âm.

Xét các véc tơ trạng thái thu được a\n) bằng cách tác dụng toán tử a

lên

véc

tơ

trạng

thái

|zz).

Tác

dụng

lên

véc

tơ

trạng

thái

này

toán

tử

N

và

sử

dụng công thức (1.24) ta có:
Na\n) = aịN- \j\n) = aN\n) - a\n)

= â(zz-l)|zz) = {n-\}a\nỴ

(1.28)

= a (zz + l)|zz) = (zz + l)ứ |/z).

Hệ thức trên có ý nghĩa là: Véc tơ trạng thái a cũng là véc tơ trạng thái


19

Tương tự a \n); a In) cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử N

ứng với trị riêng (n + 2), (n + 3)...

Nếu |/i)là một véc tơ riêng của toán N ứng với trị riêng n thì a \n)

cũng là một véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng n - p [p = 1,2,3...)

Kết hợp kết luận 1 và kết luận 2 ta thấy n là một trị riêng của toán tử N
thì chuỗi các số không âm n - 1, n - 2, n
- 3, ...cũng là trịriêng của toán tử

Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại

một số không âm nhỏ thì:

a\n . ) = 0

(1.30)

Vì nếu a I n ) + 0 thì đó là véc tơ trạng thái ứng với trị riêng
n t . -1 < n trái với giả thuyết n là trị riêng nhỏ nhất.

Từ (1.30) ta có: a a\n . ) = N\n . ) =

0

(1.31)

Mặt khác theo định nghĩa: N\ n min ) =

n min I /?min) = 0

(1.32)

So sánh hai phương trình (1.31), (1.32) ta đi đến kết luận như sau:


20

Từ (*), (**) ta thấy:

|l) là véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng là 1.

a

I o) là véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng là 1.

Vì vậy a

|o)

phải tỉ lệ với véc tơ riêng |l) của toán tử N ứng với trị

riêng n = 1.
Từ biểu thức:

H = heoN
tf|0}
= ^|0}|0)= +£0—10)
|0). vì w|o) = 0|0) = 0

Nên: |o) là véc tơ riêng của H ứng với trị riêng E 0 =-hco

2,

H ứng với trị riêng E x =

2/
là véc tơ riêng của H ứng với trị riêng E n =

+

Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián
đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng
thái kề nhau luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng heo.

(n5


21

1 + — \heo = —
=> AE Ị2 = E 2 — E { = heo
Trạng thái

|o)

có năng lượng thấp nhất E 0 , trạng thái |l) có năng lượng

E 0 + heo có thể được xem như là kết quả của việc thêm một lượng tử năng
lượng

heo

vào

trạng

|o).

thái

Trạng

thái

|2)

ứng

với

năng

lượng

+hco= E 0 +2hũ) có thể được xem như là kết quả của việc thêm một lượng
tử năng lượng hù) vào trạng thái 11), cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng
lượng heo vào trạng thái |o). Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là £ 0thì có thể
coi trạng thái |o) là trạng thái không chứa lượng tử nào. Vì vậy |o) được gọi là
trạng thái chân không, |l) là trạng thái chứa một lượng tử, ... 1«) là trạng thái

chứa

n

lượng

tử.

Toán

tử

N

có

các

giá

trị

nguyên

không

âm,

cách

nhau

một

đơn vị được đoán nhận là toán tử số năng lượng. Toán tử a khi tác dụng lên
In) cho một trạng thái tỉ lệ với |/i-l) do đó được đoán nhận là toán tử hủy

lượng

tử

năng

lượng.

Toán

tử

a

khi

tác

dụng

lên

I

n)

cho

một

trạng

thái

tỉ

lệ

với \n +1) do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng. Nếu ta
tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì toán tử N sẽ là toán tử số
hạt, a sẽ là toán tử hủy hạt, a sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó trạng thái I n) với
) = ex u \n-\)
) = P n \n + \)


22

\«) = r.a »

Để cho các véc tơ là trực giao và chuẩn hóa
=1 thì:

1 khi m = n

mn

0 khi m n
n {n

n=

n)=(n

Mặt khác (ìi\a =a(n-\\

Vì: m = n nên _ = 1 => n = ln

â (li -11 a n I n -1) = ịal I(n -11 n - 1) = Ia]
Coi là thực nên a = Jn .
n)=(n
(n
[n\a = Pl(n + \\
Mặt

khác
n = { n N n) = { n
Do đó:

n)=(n

= /C(« + I|A|»+I>-1 = |Ã2|-I

là

số

thực

nên

p2

=

n

+1

=>

Pn

-

v«

+1

+ Tìm Y : Ta có I n ) = ỵ a I o) = ỵ ịa j fl I o)

<=>!«) = /.,(«') A|i) = r.Ap ) « |1) =

(« ) Al2)


23
24
<^> r =—J=.
V^!

N - a a.

Vậy ta thiết lập được các công thức sau:

Ta

sẽ

xem

xét

Để

trả

lời

câu

xem

với các hạt Boson là các
N\n^ = n\n}
tuân theo các hệ thức giao hoán hay không?
a \ĩì) = y/n + \ịn
+ 1)

hỏi

là

đối

này

ta

hạt

xây dựng véc tơ trạng thái của
I\
1 ~+" I \
thái1.3.2.
khác nhau VCác
và //:toán tử sinh, hủy Boson.

có Spin nguyênthì

hệ

hai

\vjLi) = ala + „\0)

hạt

ở hai

nó có

trạng

(1.39)

a,a
=

1

^ ^ +

UM
a ,a
Như vậy véc tơ trạng thái của hệ hai hạt đồng nhất có tính chất đối xứng
với phép hoán vị hai hạt. Ta biết rằng những hạt được mô tả bởi hàm sóng đối
= 0tức là các hạt Boson.
(1.36)
xứng là những hạt có Spin nguyên,
ịa .-,a.
a,a
av%a

=

1

yv +

=0

=s

Hệ thức giao hoán trên được thực hiện trong không gian Fock với véc tơ

cơ sở riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N .

Tác dụng toán tử a và a lên véc tơ trạng thái |/?)ta được:
a\nj

=

yỊn

a ịnj = yỊn + ì\ n + ì)

\

ỉĩ

- 1)


x

’

"'"+1 Ịo khin'*n + \

25
26

f

...A

0 Vĩ 0

0 0 V2 ...

Như vậy
trị riêng của các tích những toán tử aa và a a lần lượt
a - các
00
0 VL.
bằng n +1 và n. Do đó ma trận của các toán tử này trong biểu diễn riêng của
chúng là những ma trận chéo.
(aa ).....=(n + \)ổ„, và (aa = nổ',,
V

/ mn V

' mn

V

s mn

rnn

ứ=
Giả sử biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson a , hủy Boson a là:
ữ20

ữ22

«21

a=
00 01 02
+

■+■

ứ

1 0

ũ

ịị

+

ũ

1 2

1.3.3. Xây dựng thông
22 - Einstein bằng phương pháp lý thuyết
+20 21 kê
+ Bose
trường lượng tử.

Để xây dựng thống kê Bose - Einstein ta xuất phát từ biểu thức tính giá

trị trungDo
bình
vật
Ta
CÓ:
đócủa
\Ịn
( ĩ ĩđại
\+1
a lượng
1«)
(«' I=nịn'ịyjn
+1)lý= F:+1 \n + 1) = yjn + 1 («' I n +1)
Trịe^-^p
,

,

í 1 khi n' = n + ]
^fnT\ khi n' = n +1

Trong đó zTương
là tổng
thái,(ỉi\a\n)
xác định
tính chất =nhiệt
động của hệ và
tự tatrạng
cũng có:
= (n'\4n\n-ì)

4n(n'\n-\)
có dạng:
khi n' + n-\
Ta đi tìm biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson a , hủy Boson
V
yfn
khi
n'
=
n-\
Do đósốy[n(n'
a và toán
N :I n -l) = I
: Là tử
hằng hạt
số Boltzmann
0 khi n' + n-\
Vậy biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson a , hủy Boson ứ và
toán tử số
hạt có
dạng:
Bằng
cách
áp dụng liên tiếp (1.33), (1.34) ta có các đẳng thức sau:
Ớ trên ta đã chọn mốc tính năng lượng E 0 =


27

Khi đó N\n) = nhcử, H = sN.

(m I n) = S m
/7=0

=ỵ

-P(H-/JN)

e

e

v

-p(s-ụ)N
p{
(n\n) = Ỳ e*-* . Vì (n I n) = 1.

và số hạng dầu tiên ứng với n = 0 có giá trị bằng 1.

e

Thay toán tử F bằng toán tử số dao động N vào công thức (1.43).
Trịe^-^N
Ta có: ị^N^ = (a a^j =

Trong đó: Trịe /

<

A

e

/
^ n ^l = e~ p ^ e ~^ N N nj

= Ỳ ẽ^-^n = 0 +e*’-',) + 2e-/,(‘-")2 +...
/1=0

Đat -/?(e-yu)
A' =


28

'e x ịl + e x +e 2x +... + e (a -' )x )
ì-ex

)•-■11

Dodo/-,,"

1-e'

-

{\-e-)

e p(e-f‘)

-p[H-fiN \ , A

2 •

[1

e

- „

(\-e-)

~p(e~r)

thay (1.45) và (1.47) vào (1.46) ta có:

■p{e~ụ)
-1

/

e

P{°-v)
P( £ -f)

e

P( e ~r)

[e-M-q

Ể?*'r -1
=
Đây là biểu thức tính số hạt trung bình ở trên cùng một mức năng lượng
£ được gọi là phân bố thống kê Bose - Einstein cho hệ đồng nhất các hạt
Boson.

13.4. Phàn bô thông kê lượng tử Fermi - Dirac.
TẢe-^-^N)
W = H = -^-------------------------------------------

Vì các hạt fermion tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli nên n chỉ có thể
Z = T r ịe< H -^Y±ÍẠe-^-^