Giải bài tập kinh tế môi trường Hoàng xuân cơ tham khảo

Bài tập và câu hỏi thảo luận
Bài tập 1: Hãy xây dựng đường cầu của chính mình và của cả nhóm/lớp về
lượng trang giấy cần photocopy trong năm.
Bài tập 2: Một mỏ khoáng sản có trữ lượng 200.000 tấn. Một công ty muốn
khai thác mỏ này trong vòng 3 năm. Người ta đã xác định được 3 hàm cầu
từng năm đối với loại khoáng sản này như sau:
- Năm thứ nhất: Qd = 161.000 - 100P
- Năm thứ hai: Qd = 180.000 - 100P
- Năm thứ ba: Qd = 190.000 - 100P
Cho biết chi phí khai thác biên là 200 USD/tấn, lãi suất vay vốn 10%/năm, chi
phí ban đầu là 40tr USD
1. Tính lượng khoáng sản khai thác mỗi năm?
2. Liệu dự án khai thác khoáng sản có đưa lại lợi nhuận không? Tại sao?
(chứng minh thông qua phân tích chi phí - lợi ích).
3. Bài toán trên có gì thay đổi nếu trữ lượng khoáng sản là 150.000 tấn?
Bài tập 3: Giả sử thị trường cạnh tranh hoàn hảo, giá bán sản phẩm P đối với
một mặt hàng là 5 tr đồng/đơn vị sản phẩm. Chất ô nhiễm thải ra môi trường
phụ thuộc vào lượng sản phẩm sản xuất theo phương trình: T = 0,1Q (Q _
lượng sản phẩm; T _ lượng chất thải tính bằng tấn). Với mức chi phí sản xuất
biên là 0,01Q và để đạt được mục tiêu khống chế lượng thải T ≤ 30 tấn thì
mức thu thuế tối thiểu đánh trên từng đơn vị sản phẩm phải là bao nhiêu? So
sánh lượng sản phẩm tương ứng với mức thải 30 tấn với lượng sản phẩm tối
ưu Q* nếu chi phí ngoại ứng biên là 3Q/700.
Bài tập 4:
a) Giả thiết đường cầu đối với than có dạng Qd = 480 - 2P, đường cung có
dạng Qs = 10P và ngành công nghiệp có tính cạnh tranh. Vẽ đồ thị các đường
cầu và cung, tìm giá thị trường và sản lượng.
b) Theo ước tính của các chuyên gia, với mỗi tấn than được sử dụng thì xã hội
sẽ phải mất một khoản chi phí ngoại ứng biên là 15$. Vì vậy Chính phủ đã
quy định mức thuế đối với than là 15$/tấn. Vẽ đường cung mới và tìm giá mà
người tiêu thụ than bây giờ phải trả, sản lượng than được sản xuất.

c) Bình luận ngắn gọn quan điểm ủng hộ hay phản đối việc sử dụng mỗi giải
pháp sau để giải quyết vấn đề ô nhiễm gây ra bởi việc sử dụng than:
i) Tính thuế dựa vào lượng than sản xuất được.
ii) Tính thuế dựa vào sự ô nhiễm gây ra bởi việc sử dụng than.


iii) Hạn chế mức ô nhiễm trực tiếp do sản xuất than gây ra.
Bài tập 5:
a) Giả thiết trồng một cây gỗ có tốc độ tăng trưởng 50% năm đầu, 49% năm
thứ hai và trong những năm tiếp theo, tốc độ tăng trưởng của cây năm sau
giảm 1% so với năm trước. Lãi suất hiện tại là 6%. Nên chặt cây khi nào?
Giải thích?
b) Giả thiết bạn muốn thu hoạch cây cối từ một khoảnh rừng có diện tích 15
km2. Trên khoảnh rừng này có hai loại cây có giá trị để khai thác: loài cây A
có thể bán với giá 100$/m3; loài cây B là 70$/m3. Có 2000 m3 loài A và 5000
m3 loài B có giá trị để thu hoạch. Phần còn lại của rừng xem như để nguyên
vẹn, vì thế mức thu hoạch này xem là bền vững. Chi phí ban đầu là 80.000$
(để xây đường đi khai thác, mua sắm thiết bị,…); Chi phí khai thác là 50$/m3.
i) Lượng tiền tối đa bạn có thể trả để được phép khai thác trên khoảnh rừng
này? (ví dụ, tiền thuê khoảnh rừng này).
ii) Tổng thu nhập thuế mà chính phủ có thể nhận được là bao nhiêu nếu ban
hành mức thuế 30% giá bán gỗ? Giải thích? (Giả thiết bạn không thể bán gỗ
với giá cao hơn 100$ và 70$ tương ứng).
iii) Tổng thu nhập thuế mà chính phủ có thể nhận được là bao nhiêu từ mức
thuế bằng 45% lợi nhuận của công ty? Mức thuế nào tốt hơn trong hai mức
thuế trên? Tại sao?
Bài tập 6: Một cách đơn giản diễn đạt quan hệ sẵn lòng trả giữa giá và lượng
hàng hoá (dịch vụ) là sử dụng hàm cầu tỷ lệ nghịch (giữa giá và sản lượng
hàng hoá). Trong một hàm cầu tỷ lệ nghịch, giá mà người tiêu dùng sẵn lòng
trả được thể hiện bằng một hàm của lượng hàng hoá sẵn có để bán. Giả thiết

hàm cầu tỷ lệ nghịch (theo đơn vị $) của một sản phẩm là P = 80 - q, và chi
phí biên (theo đơn vị $) của sự sản xuất là MC = 1q, trong đó P là giá sản
phẩm và q là lượng hàng hoá cầu và/hoặc được cung cấp. a) Tính toán lượng
hàng hoá cung cấp để có được sự phân phối hiệu quả ổn định? b) Tính toán
lợi nhuận thu được?
Bài tập 7: Giả thiết rằng chính phủ đang nỗ lực để đưa ra quyết định bảo tồn
một dòng sông có phong cảnh đẹp. Có khoảng 100 người trong cộng đồng
được hỏi và nhu cầu bảo tồn của mỗi người có thể được biểu diễn bằng hàm
cầu P = 10 - 1,0q, trong đó q là chiều dài của dòng sông được bảo tồn (tính
bằng dặm) và P là giá mà người đó sẵn lòng trả cho một dặm sông được bảo
tồn. a) Biết chi phí bảo tồn biên là 500$/dặm, hãy tính chiều dài sông được
bảo tồn? b) Tính lợi nhuận trong trường hợp này?
Bài tập 8: Giả định một sản phẩm có thể được sản xuất bằng việc sử dụng
quặng tinh ở một mức chi phí biên là MC1 = 0,5q1 và bằng các vật liệu tái chế
ở mức chi phí biên là MC2 = 5 + 0,1q2. Bao đơn vị sản phẩm cần được sản


xuất bằng quặng tinh và bao đơn vị sản phẩm cần được sản xuất bằng các vật
liệu tái chế trong các trường hợp:
a) Đường cầu có dạng: P = 10 - 0,5 (q1 + q2);
b) Đường cầu có dạng: P = 20 - 0,5 (q1 + q2);
Bài tập 9: Trong trường hợp chi phí xã hội cho việc loại bỏ rác thải tăng theo
thời gian thì giá tái chế có tăng theo một cách tự động không? Vì sao?
Bài tập 10: Giả thiết trong một vùng nào đó tiêu thụ nước biến đổi cực lớn
trong năm với mức sử dụng mùa hè vượt xa mùa đông. Điều này có ảnh
hưởng gì đến cơ cấu giá hiệu quả đối với cung cấp và sử dụng nước.
Bài tập 11: Hội đồng thuỷ sản của một địa phương ban hành côta đánh bắt
cho 100 tấn cá trên một vùng cá xác định trong một năm. Giả thiết rằng 100
tấn/năm là sản lượng bền vững hiệu quả. Một khi 100 tấn cá đã được đánh
bắt, ngành thuỷ sản cần dừng đánh bắt trong khoảng thời gian còn lại của

năm.
a) Liệu đây có là một giải pháp hiệu quả đối với vấn đề tài sản cộng đồng?
Tại sao?
b) Nếu mức côta 100 tấn được chia ra làm 100 côta có thể chuyển nhượng,
mỗi côta cho phép người chủ đánh bắt 1 tấn cá và được phân phối cho người
đánh cá theo tỷ lệ phù hợp với mức đánh bắt lịch sử của họ, câu trả lời có
khác với phần a) không? Tại sao?
Bài 12: Giả sử quan hệ giữa mức tăng trưởng và trữ lượng cá được xác định
là g=4P - 0,1P2, trong đó g là mức tăng trưởng (tính bằng tấn) cò P là trữ
lượng (tính bằng nghìn tấn). Cho biết giá bán cá là $100/tấn, lợi ích biên được
cho là 20P - 400.
a. Tính mức trữ lượng có năng suất cực đại ổn định MSY và mức
đánh bắt hàng năm để trữ lượng ổn định ở mức này.
b. Nếu chi phí biên của mức đánh bắt bổ sung (quá mức trữ lượng)
là MC=2(160 - P), hãy tính trữ lượng tương ứng với sản lượng
ổn định hiệu quả.
Bài 13: Hai công ty có thể kiểm soát mức phát thải của mình theo chi phí biên
sau: MC1=$200q1; MC2=$100q2, trong đó q1 và q2 là lượng phát thải được cắt
giảm bởi công ty 1 và công ty 2. Giả sử khi không có kiểm soát, mỗi nhà máy
phát thải 20 đơn vị chất ô nhiễm.
a. Tính phân bổ chi phí hiệu quả nếu mức giảm thải bắt buộc (cho cả 2
công ty) là 21 đơn vị ô nhiễm
b. Tính phân bổ chi phí hiệu quả của việc kiểm soát khi yêu cầu của tiêu
chuẩn xung quanh là 27ppm và hệ số chuyển đổi từ đơn vị phát thải


sang ppm tại nơi tiếp nhận lần lượt là a1=2,0 và a2=1,0. Biết rằng, trong
phân bổ chi phí hiệu quả đối với một nơi tiếp nhận thì
MC1 MC 2
=

a1
a2

Bài 14: Giả sử chính quyền muốn kiểm soát phát thải của các công ty có các
thông số cho trong bài 13 bằng hệ thống giấy phép phát thải.
a. Tính giá giấy phép được thải (mỗi giấy phép được phát thải 1 đơn vị ô
nhiễm)
b. Tính kinh phí chính quyền có thể thu được qua phát hành giấy phép
phát thải
c. Phân tích khả năng mua bán giấy phép nếu lúc đầu chính quyền phân
10 giấy phép cho công ty 1 và 9 giấy phép cho công ty 2
d. Giả sử có công ty mới tham gia phát thải với chi phí biên kiểm soát ô
nhiễm không đổi và bằng $1600 cho mỗi đơn vị ô nhiễm. Nếu không
có biện pháp kiểm soát thì công ty này phát thải thêm 10 đơn vị ô
nhiễm. Tính giá mới cho mỗi giấy phép và lượng giấy phép mỗi công
ty mua sau quá trình chuyển nhượng.
Bài 15: Cho biết đường cong chi phí kiểm soát biển đối với hai nguồn gây ô
nhiễm không khí tại 1 nơi tiếp nhận lần lượt là MC1=$0,3q1 và MC2=$0,5q2,
trong đó, q1 và q2 là lượng ô nhiễm được kiểm soát. Hệ số chuyển đổi lần lượt
a1=1,5; a2=1,0. Nếu không kiểm soát mức phát thải mỗi nguồn là 20 đơn vị,
tiêu chuẩn môi trường xung quanh là 12ppm.
a. Khi tiêu chuẩn xung quanh có hiệu lực, hãy tính lượng giấy phép phát
thải cần phát hành và giá mỗi giấy phép.
b. Tính lượng giấy phép phát thải mỗi nhà máy (nguồn) sẽ mua nếu có thể
chuyển nhượng



Hướng dẫn giải bài tập.
Bài 2:

1. Ta giải bài toán đơn giản khi giả thiết chi phí khai thác biên = 0. Vì UC =
P-MEC (MEC trong trường hợp này là chi phí khai thác biên) là chi phí người
sử dụng nên ta có UC = P. Có thể cho rằng UC tăng theo cùng tỷ lệ lãi suất,
nghĩa là:
P2 = P1(1+0,1) và P3 = P1(1+0,1)(1+0,1).
Hơn nữa Q1 + Q2 + Q3 = 200.000 tấn (P1, P2, P3 là giá tai các năm thữ nhất,
năm thứ 2 và năm thứ 3 còn Q1, Q2, Q3 là lượng khai thác tương ứng). Từ đó
161000 - 100P1 + 180000 - 100P1(1,1) + 190000 - 100P1(1,21) = 200000.
Giải ra ta được :
P1 = 1000; P2 = 1100; P3 = 1210; Q1 = 61000; Q2 = 70000; Q3 = 69000.
Xét với trường hợp MEC = 200 ta có:
(P2-200) = 1,1(P1-200); (P3-200) = 1,21(P1-200); rồi giải tương tự ta được:
P1 = 1018,73; P2 = 1100,6; P3 = 1190,66;
Q1 = 59127; Q2 = 69940; Q3 = 70934.
2. Tính dòng tiền tệ các năm (triệu USD) :
Năm 3

Năm 1

Dòng đến (do bán sản phẩm):

60,23

Dòng đi:

40,0

Đầu tư

Chi phí khai thác:

11,83

Năm 2
76,98
0
13,99

84,46
0
14,19

----------------------------------------------Lợi ích ròng (lợi nhuận)
8,4
62,99
70,27

---

Dự án có lãi ngay tại năm đầu.
4. Tính như mục 1.
Bài 3: Thị trường cạnh tranh hoàn hảo nên P không đổi theo Q.
Ta có

MNPB = P - MC = 5 - 0,01Q.

Khi T = 30 tấn thì Q = T/0,1 = 300 tấn.


Mức thuế đánh để buộc Nhà máy sản xuất ở mức Q=300 tấn sẽ là

5 - 0,01*300 = 2 (triệu trên đơn vị sản phẩm -tấn). Như vậy mức thuế tối
thiểu là 2 triệu/tấn.
Có thể tính được Q* khi cho MNPB = MEC
5 - 0,01Q = 3Q/700

suy ra (1/100+3/700)Q = 5

Hay Q* = 350 tấn.

Q* > 300 tấn chứng tỏ đánh thuế chưa đảm bảo cực đại hoá lợi nhuận toàn xã
hội.
Bài 4: Vẽ đồ thị xác định điểm cắt của đường cung và đường cầu, khi đó:
480 -2P = 10P suy ra P = 40 và Q = 400.
Do người tiêu dùng (xã hội) phải trả Pd = $15 nên người sản xuất nhận:
Pd-thuế = Pd – 15, đó chính là “giá cung” Ps. Khi đó Qs = 10Ps = 10(Pd15).
Vẽ lại đồ thị, cho Qs = Qd ta được: P = 52,5 và Q = 375. Như vậy, mặc dù
thuế là 15 nhưng người tiêu dùng chỉ trả thêm 12,5 còn lại 2,5 người sản xuất
phải trả.
- Đánh thuế vào lượng than sản xuất: Dễ thực hiện nhưng sẽ chất gánh
nặng lên cả than sạch và than bẩn (theo nghĩa có nhiều lưu huỳnh). Và
không khuyến khích các hoạt động lắp đặt hệ thống kiểm soát ô mhiễm.
- Thuế ô nhiễm: Các Nhà kinh tế thích sử dụng cách đánh thuế này; nó
khuyến khích sử dụng năng lượng sạch, sử dụng hệ thống kiểm soát khí
thải. Nhưng khó định ra mức thuế.
- Nước Mỹ dựa vào cách này. (ví dụ xăng không chì). Có thể có hiệu quả
nhưng chi phí cao. Không khuyến khích được việc tiếp tục cải thiện.
Bài 5: a) Nếu lãi suất hiện tại là 6% thì chỉ khi nào tốc độ tăng trưởng của cây
lớn hơn giá trị này mới nên giữ lại. Chính vì vậy nên chặt lúc cây có tăng
trưởng đúng = 6%, nghia là vào năm thứ 45.
c) Có thể lập bảng sau:

Loại Giá

Lượng khai thác

Thu nhập

Chi phí khai thác

Lợi nhuận

A

$100

2.000

$200.000

$100.000

$100.000

B

$70

5.000

$350.000

$250.000

$100.000

Chi phí ban đầu $80.000


Lợi nhuận:

$120.000

Nghĩa là có thể trả tối đa $120.000 để có giấy phép khai thác và đó cũng
chính là tiền thuê tài nguyên.
Vì thuế đánh 30% vào giá nên giá sau thuế đối với loài B sẽ là $49, giá
trị này nhỏ hơn chi phí khai thác ($50) nên loại này sẽ không được thu hoạch.
Đối với loài A: Lợi nhuận sau thuế là $100-$30-$50 = $20. Tổng lợi nhuận sẽ
là $40.000, nhỏ hơn chi phí ban đầu nên loài này cũng sẽ không được khai
thác. Vì vậy Nhà nước cũng không thu được thuế.
Khi thuế đánh vào lợi nhuận với mức thuễ 45% của $120.000 sẽ được
$54.000 và không ảnh hưởng đến việc chặt cây.
Bài 6: a) Lợi nhuận sẽ cực đại khi Cầu cắt chi phí biên khi: 80 - q = q nên q =
40 đơn vị.
b)

Lợi nhuận ròng sẽ là
80

(40 * 80)/2 = $1600

40

80

Bài 7: a) Đây là loại hàng hoá công cộng, có thể cộng cả 100 đường cầu se
được đường cầu chung (tổng): P = 1000 - 100q. Đường cầu cắt đường chi phí
biên tại: P = 500, q = 5 dặm.
Vẽ đồ thị và tính diện tích tam giác dưới đường cầu, trên đường chi phí biên
sẽ được lợi nhuận = (500*5)/2 = $1250
Bài 8: a) Giả sử chỉ quặng tinh được sử dụng, khi đó P=MC1 nên 10-0,5q\1 =
0,5q1 hay q1 = 10, MC1 = 5.Do chi phí biên của việc sử dụng nguyên liệu tái


chế luôn lớn hơn 5 nên loại nguyên liệu này sẽ không được sử dụng. Mọi sản
phẩm đều được làm từ quặng tinh.
b) Với những đường cầu cao hơn, giá cao đủ để khuyến khích người sản xuất
sử dụng nguiyên liệu tái chế. Khi đó người sản xuất sẽ xem xét trường hợp
khi chi phí biên của hai trường hợp như nhau, nghĩa là: MC1 = MC2 hay:
0,5q1 = 5 + 0,1q2 hoặc q1 = 10 + 0,2q2
Trong khi đó P = 20-0,5(10+0,2q2+q2) = 15 - 0,6q2.
Khi P = MC ta có: 15 - 0,6q2 = 5 + 0,1q2 hay q2 = 100/7
Q1 = 10 + 0,2*100/7 = 90/7;
P = MC1 = MC2 =45/7.
Bài 9: Tăng chi phí xã hội của việc đổ thải rác là một trong các nhân tố
khuyến khích việc tái sử dụng nhưng không có chỉ có riêng nhân tố này. Vì
vậy nó sẽ không làm tăng tái sử dụng một cách tự động. Trước hết, chi phí xã
hội tăng lên phải được phản ảnh trong việc tăng chi phí đổ thải biên hướng
các cá nhân đến việc khuyến khích tái sử dụng. Thứ hai, thị trường phải tồn
tại đối với tái sử dụng chất thải. Việc thu gom chúng sẽ không tốt nếu chúng
không được sử dụng tốt.
Bài 10: Vì công suất cần có phụ thuộc vào lưu lượng cực đại trong năm, chi

phí thêm do tăng công suất trong thời kỳ lưu lượng cao cần phải được phản
ánh qua định giá cao hơn đối với người sử dụng trong giai đoạn này.
Bài 11: a) Đây không phải là giải pháp hiệu quả vì mặc dầu đây có thể là cách
tiếp cận đảm bảo phát triển bền vững. Lợi nhuận sẽ không đạt cực đại do chi
phí có thể quá lớn. Mọi người đều cố gắng giành (đánh bắt) được phần nhiều
hơn của quota về mình càng nhanh càng tốt. Điều đó dễ dẫn đến khả năng có
quá nhiều thuyền đánh bắt một lúc và không có gì đảm bảo người đánh cá có
thể xem xét cách đánh bắt rẻ hơn. Điều đó dẫn tới tăng chi phí đánh bắt.
b) Việc chia nhỏ quota rất có hiệu quả. Nó tạo ra cơ chế giống như “quyền sở
hữu” lượng cá đánh bắt cho mỗi thành viên mua quota. Vì vậy họ có thể
nghiên cứu định rõ lượng phương tiện đánh bắt, thời gian đánh bắt hiệu quả.
Khi phương tiện đánh bắt lạc hậu, hoặc có sự cố họ dễ dàng chuyển ngượng
quota cho người khác, tạo thành thị trường quota và như vậy có thể tối thiểu
hoá chi phí.
Bài 12: a) Năng suất cực đại ổn định nhận được khi lợi ích biên của việc giảm
thêm một đơn vị trữ lượng bằng 0, hay 20P-400 = 0. Suy ra P = 20*1000tấn =
20.000 tấn. Khi đó g = 4*20 - 0,1*(20)2 = 40 tấn.


b) Năng suất ổn định hiệu quả đạt được khi chi phí biên bằng lợi ích biên hay:
20P-400 = 2(160-P) Suy ra P = 32,7*1000 = 32.700 tấn, lớn hơn trữ
lượng tương ứng với Năng suất cực đại ổn định
Bài 13: a) Phân bố chi phí hiệu quả đói với mức giảm phát thải đạt được khi
chi phí kiểm soát ô nhiễm biên của hai công ty như nhau, hay: $200q1 =
$100q2. Hơn nữa tổng mức ô nhiễm phải giảm là q1+q2 = 21. Giải hai
phương trình này thu được
q1 = 7; q2 = 14.
b) Theo công thức khi có phân phối chi phí hiêu quả:
MC1/a1 = MC2/a2. Suy ra $200q1/2 = $100q2/1 . Mức phát thải của mỗi
công ty là 20-q1 và 20-q2. Và để đảm bảo tiêu chuẩn thì:

A1(20-q1) + a2(20-q2) = 27. Giải ra ta được q1 = q2 = 11.
Bài 14: a) Giá quota cần chọn bằng chi phí biên của cả 2 công ty (khi chúng
bằng nhau) hay T = MC1 = MC2 $1400.
b) Nhà nước thu được: T(20-q1) + T(20-q2) = $26.000.
c) Theo kết quả câu trên, công ty 1 sẽ xử lý 7 đơn vị ô nhiễm và cần mua 13
giấy phép phát thải trong khi Công ty B xử lý 14 ĐVON và cần 6 quota. Có
sự chuyển nhượng quota.
d) Vì chi phí kiểm soát (xử lý) biên của công ty là hằng số và bằng $1600 nên
để có phân phối chi phí hiệu quả thì cả 3 chi phí KS biên phải bằng nhau và
băng $1600. Giá quota vì vậy cũng là $1600.
Công ty 1 sẽ kiểm soát số ĐVON tính theo công thức MC1 = $1600, hay
$200q1 = $1600; q1 = 8. Tương tự q2 = 16.
Nếu không kiểm soát thì Tổng số phát thải là 20+20+10 = 50. Hai Công ty
đầu xử lý 24 ĐV còn lại 26ĐV. Để đảm bảo chỉ có 19 quota, cần phải xử lý
thêm: 26 - 19 =7ĐV. Như vậy Công ty 3 cần mua lại 3 quota, 1 từ công ty đầu
và 2 từ Công ty 2.
Bài 15: Để đảm bảo tiêu chuẩn MT, cần phát hành 12 quota mỗi quota cho
1ppm.
Tính như bài 14, ta được q2 = 9, q1 = 20.
Giá môi quota sẽ là $4/1ppm.
Nên bán đấu giá giấy phép.


Ghi chú: Có thể chứng minh bằng toán học điều kiện để kiểm soát ô nhiễm
chi phí-hiệu quả như sau:
Giả sử có N nguồn thải, thải ra un ĐVị Ô/n khi không kiểm soát (xử lý).
Giả sử khi không kiểm soát thì nồng độ ô/n tại điểm tiếp nhận R nào đó là
KR . Ta có

N

K R = ∑ an u n + B
n =1

, trong đó B là nồng độ nền, an là hệ số chuyển đổi.

Ta giả thiết KR trong trường hợp này lớn hơn Φ (mức nồng độ cho phép). Vấn
đề là tìm mức kiểm soát (xử lý) chi phí-hiệu quả qn cho từng nguồn. Có thể
giải bài toán bằng toán tử cực tiểu Lagrange với Nqn biến, nghĩa là:

N
N

min ∑ C n (q n ) + λ ∑ a n (u n − q n ) − Φ 
n =1
 n =1
,

Cn(qn) là chi phí kiểm soát qn của

nguồn n còn λ là hệ số Lagrange.
Có thể giải bằng các sai phân (vi phân) biểu thức trên sẽ tìm được λ và qn theo
các phương trình:
δC n ( q n )
− λo a n ≥ 0
δq
, n = 1,2,…N

N

∑ a (u
n =1

n

n

− qn ) + B − Φ = 0

Khi N=2, có thể CM đơn giản như sau:
Gọi CC1(q) và CC2(q) là chi phí kiểm soát của nguồn 1 và nguồn 2. Hai
nguồn này phải xử lý lượng Q (do chính quyền yêu cầu hoặc để tuân thủ tiêu
chuẩn). Gọi mức kiểm soát nguồn 1 là q. Khi đó chi phí kiểm soát ở nguồn 2
sẽ là CC2(Q-q).
Ta sẽ tìm q1 để tổng chi phí kiểm soát đạt cực tiểu (đạt chi phí-hiệu quả)
Hay: CC1(q1) + CC2(Q-q1) = min.
Vì Q đã cho (coi là hằng số) nên để cực tiểu vế phải thì đạo hàm vế phải sẽ
bằng 0, hay:


∂ ( CC1(q1) ) ∂ ( CC 2(Q − q1) )
+
=0
∂q1
∂ (Q − q1)
hay

∂ ( CC1(q1) ) ∂ ( CC 2(Q − q1) )
−
=0

∂q1
∂ (q1)

Suy ra khi đạt chi phí hiệu quả thì
∂ ( CC1(q) ) ∂ ( CC 2(q ) )
=
∂q
∂( q)

đồng nghĩ với chi phí biên của hai nguồn phải bằng nhau