Bài giảng bài nguyên hàm giải tích 12 (11)

CHƢƠNG III
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ
ỨNG DỤNG

Bài 1: NGUYÊN HÀM

10/27/2013

1


Bài 1: NGUYÊN HÀM
1./ Khái niệm nguyên hàm
2./ Nguyên hàm của một số hàm thƣờng gặp

3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm

10/27/2013

2


1./ Khái niệm nguyên hàm
VD: Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu
a) f(x) = 2x
b) f(x) = cosx
Giải :
2 '
a)Ta có
( x )  2x
nên F(x) = x 2

b) Ta thấy (sin x) '  cos x
nên F(x) = sinx
khi đó ta nói F(x) là nguyên hàm của f(x)
10/27/2013

3


1./ Khái niệm nguyên hàm
Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hay đoạn hay nửa
khoảng. Cho hàm số f(x) xác định trên K . Hàm số F(x)
được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F’(x) = f(x)
với mọi x thuộc K.
Câu hỏi :
1. Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số nào ?
2. Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số nào ?
Trả lời :
1
1. Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số y=
2

cos x

1
2. Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số y =
x ln 10
10/27/2013

4

1./ Khái niệm nguyên hàm

Chú ý:

• Trong trường hợp K = [a;b], các đẳng thức F’(a) =
f(a), F’(b) = f(b) được hiểu là

lim
x a



F ( x)  F ( a )
hay
 f (a)
xa

lim
x b 

F ( x)  F (b)
 f (b)
x b

• Cho hai hàm số f và F liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu
F là nguyên hàm của f trên (a;b) thì có thể chứng
minh được rằng
F’(a) = f(a) và F’(b) = f(b)
Do đó F cũng là nguyên hàm của f trên đoạn [a;b].

10/27/2013

5


1./ Khái niệm nguyên hàm
ĐỊNH LÝ 1
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số
f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số
G(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của
f(x) trên K.
Ngƣợc lại, với mỗi nguyên hàm G(x) của
hàm số f trên cũng tồn tại hằng số C sao
cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.

10/27/2013

6


1./ Khái niệm nguyên hàm
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
thì họ nguyên hàm của f(x) là F(x) + C và kí hiệu
là

 f ( x )dx  F( x )  C ,C 

.

trong đó f(x)dx là vi phân của F(x).

Ký hiệu trên còn dùng chỉ một nguyên hàm bất
kỳ của hàm số f
(  f ( x )dx )'  f ( x )

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên
hàm trên K.
10/27/2013

7


2./ Nguyên hàm của một số hàm thƣờng gặp

 0dx  C
 dx  1dx  x C

x



dx 

x

 1

 1

 C (  1)

1
 x dx  ln x  C
10/27/2013

8


2./ Nguyên hàm của một số hàm thƣờng gặp

cos( kx  b )
 C ,k  0.
 sin( kx  b )dx  
k
sin( kx  b )
C
 cos( kx  b )dx 
k
x
kx
a
e
x
kx
a dx 
 C( 0    1 )
e
dx


C



ln a
k
1
 cos 2 x dx  tan x  C
10/27/2013



1
dx   cot x  C
2
sin x
9


3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm

Định lý 2: Nếu f,g là hai hàm số liên tục trên K ,
với a là số thực khác 0 thì:

 [f ( x )  g( x )]dx   f ( x )dx   g( x )dx
 af ( x )dx  a  f ( x )dx
Chú ý:

10/27/2013

[  f ( x )dx ] '  f ( x )

 f ( t )dt  F ( t )  C
  f [u( x )]u'( x )dx  F [u( x )]  C
 f ( u )du  F ( u )  C
10


3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
Chú ý:
Nêu f ( x )dx  F ( x )  C thì





1
f ( ax  b )dx   f ( ax  b )d( ax  b )
a
1
 F ( ax  b )  C
a

u ' ( x)
 u( x) dx  ln u( x)  C



dx
 2 x C
x
10/27/2013

n n n1
 xdx  n  1 x  C
dx
n n n 1
 n x  n 1 x  C
n

dx
1
 x n  (n  1) x n1  C

11


Hỏi nhanh: mệnh đề nào sau đây sai:

A.

B.

e
dx

e

C

x

x

2
dx

2
x

C


C.  sin xdx  cos x  C
2
x
D.  xdx 
C
2
10/27/2013

12


Ví dụ 1: tìm nguyên hàm của hàm số:

f ( x )  x  3 3x  3 5 x
Giải

1
3

1
2

f ( x)  x  3 3x  3 5 x  x  (3x)  (5x)

 f ( x)dx   [ x
3
2

1
2

1
3

1
3

1
3

 (3x)  (5 x) ]dx
1
3

4
3

1
3

4
3

2x
3
3

3  x 5  x C
3
4
4
3

4

3

2 3
3 3 4
5 3 4

x 
 x  3
 x C
3
4
4
10/27/2013

13


Ví dụ 2: tìm nguyên hàm của hàm số:

f( x)(3 2 )
x

Giải

x

2

f ( x)  (3  2 )  (3 )  2.3 .2  (2 )
x
x
x
 9  2.6  4
x

Vậy



10/27/2013

x 2

x

x 2

x

x

x

x 2

x

9
6
4
f ( x)dx 
 2.

C
ln 9
ln 6 ln 4

14


Ví dụ 3: tìm nguyên hàm của hàm số:

sin x  2
f( x)

2
3 sin x
3

Giải

sin x  2 sin x 2  1 
f ( x) 

  2 
2
3 sin x
3
3  sin x 
3

Vậy

2 
1
2
 sin x
  3  3 sin 2 x dx   3 cos x  3 cot x  C
10/27/2013

15


Ví dụ 3: tìm nguyên hàm của hàm số:

x
x
f ( x )  8 sin
 6 sin
3
3
Giải
x
3 x
f ( x)  8 sin  6 sin
3
3
3

Vậy

x
3 x
 2(3 sin  4 sin )  2 sin x
3
3
f
(
x
)
dx

(

2

sin
x
)
dx



 2( cos x)  C
 2 cos x  C

10/27/2013

16


Bảng các nguyên hàm mở rộng
a  0
1
 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C

dx
1
 ax  b  a ln ax  b  C

1
 cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C
1
1
 cos 2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C

e

ax b

1 axb
dx  e
C
a

 1
1
(
ax

b
)

(
ax

b
)
dx  
 C (  1)

a
 1

1
1

 sin 2 (ax  b) dx   a cot(ax  b)  C
10/27/2013

17


Ví dụ 4: tìm nguyên hàm của hàm số:
Giải

1
f( x)
2 x2  x  3

1
1
1
f ( x)  2
 
2 x  x  3 2 ( x  1)( x  3 )
2
2
3
[( x  )  ( x  1)]
1 5
1 1
1
2
 
 (


)
3
3
2
5
x

1
( x  1)( x  )
x
2
2
1
1
1
dx  
dx]
Vậy  f ( x)dx  [ 
3
5 x 1
x
2
1
 [ln x  1  ln x  3 / 2  C ]
5
1
x 1
 ln
C
10/27/2013

5 x  3/ 2

18


Ví dụ 5: tìm nguyên hàm của hàm số:

f( x)
Giải

1
2  sin x  cos x

1
1
f ( x) 


2  sin x  cos x
2  2 cos( x  )
4
1
1




2 x
2[1  cos( x  )] 2 2 sin (  )
4

2 8
Vậy



10/27/2013

dx
1
x 
f ( x)dx 

cot(  )  C

2 8
2 2 sin 2 ( x   )
2
2 8
1

19


Ví dụ 6: tìm nguyên hàm của hàm số:

f( x) e e
x

Giải

x

x
2

 2dx
x
2 2

x
2

f ( x)  e x  e  x  2  (e  e ) | e  e
x
2

Xét e  e
x
2

x
2

x
2

|

x x
0 

 x0
2
2

x
2

x
2

x
2

x
2

x
2

f ( x)  e  e   f ( x)dx   (e  e )dx  2(e  e )  C
Xét

x
2

e e
x
2

x

2

x
2

0 x0
x
2

x
2

x
2

x
2

f ( x)  e  e   f ( x)dx   (e  e )dx  2(e  e )  C
10/27/2013

20


Ví dụ 7: tìm nguyên hàm của hàm số:
Giải

x3  3 x  2
f( x)
x( x 2 2 x  1 )

x  3x  2
2
4
f ( x) 
 1 
2
2
x( x 2 x  1)
x x( x  1)
3

Ta có

1
a
b
c
 

2
x( x  1)
x x  1 ( x  1) 2

 1  a( x  1) 2  bx( x  1)  cx
Cho x=0 thì a=1 , x=-1 thì c=-1 , x=1 thì b=-1
Do đó
x 3  3x  2
2 1
1

1 

 1   4 

2
2 
x( x 2 x  1)
x  x x  1 ( x  1) 

x
4
  f ( x)dx  x  2 ln | x | 4 ln

C
10/27/2013
x  1 x  1 21