ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE xây DỰNG PHƯƠNG TRÌNH KHẢO sát DAO ĐỘNG của ô tô 2 cầu

Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV

ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH
KHẢO SÁT DAO ĐỘNG CỦA Ô TÔ 2 CẦU
APPLYING LAGRANGE EQUATION TO PRODUCE EQUATION STUDY
VIBRATION OF VEHICLE WITH TWO SOLID AXLE SUSPENSION
GS.TS. Vũ Đức Lập1a, ThS. Lê Thanh Tuấn2b, ThS. Vũ Khắc Trai3c
1
Học viện Kỹ thuật Quân sự, Hà Nội, Việt Nam
2
Trường Đại học Trần Đại Nghĩa, TP Hồ Chí Minh, Việt Nam
3
Xí nghiệp liên hợp Z751, TP Hồ Chí Minh, Việt Nam
a
; ;
TÓM TẮT
Bài viết trình bày xây dựng mô hình không gian khảo sát dao động của ô tô 2 cầu theo
quan điểm hệ nhiều vật. Mô hình không gian được xây dựng với nhiều vật và nhiều liên kết
phức tạp nên bài viết áp dụng phương trình Lagrange để thiết lập phương trình vi phân khảo
sát dao động của ô tô.
Từ khóa: phương trình Lagrange, ô tô 2 cầu, hệ nhiều vật, dao động
ABSTRACT
This paper presents the modeling space for studying viabration of vehicle with two solid
axle suspension according to theory mechanical multibody system. Because this model is
produce on many things and many complex links, this article apply Lagrange equations to
produce differential equations that study viabration of vehicle.
Keywords: lagrange equations, vehicle with two solid axle, multibody system, viabration
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Hiện nay có nhiều phương pháp để xây dựng mô hình vật lý để khảo sát dao động ô tô,
trong đó có mô hình vật lý theo quan điểm cơ học hệ nhiều vật. Với mô hình trên thì các khối
lượng treo, không treo và hệ thống treo được liên kết với nhau bằng các ràng buộc mà các các

ràng buộc này sẽ tạo ra gần đúng với mô hình thực của ô tô vì: mô tả được các bậc tự do của ô
tô trong không gian, mô tả được mối quan hệ động giữa phần treo, không treo của hệ thống
treo và khảo sát được ảnh hưởng quá trình phanh, quay vòng đến dao động của ô tô.
Với mô hình trên thì ta có nhiều cách để thiết lập phương trình vi phân mô tả khảo sát
dao động của ô tô như phương pháp Newton - Euler, phương pháp Lagrange, phương pháp sử
dụng nguyên lý Hamilton, phương pháp sử dụng nguyên lý Jourdians,… Do mô hình phức
tạp và tác dụng tương hỗ giữa các khối lượng riêng biệt không đủ rõ ràng nên ứng dụng
phương trình Lagrange loại hai trên cơ sở khảo sát các năng lượng của cơ hệ được sử dụng để
thiết lập hệ phương trình vi phân mô tả khảo sát dao động của ô tô.
2. MÔ HÌNH KHẢO SÁT DAO ĐỘNG CỦA Ô TÔ
Mô hình vật lý của ô tô được xây dựng theo quan điểm hệ nhiều vật bao gồm các vật:
vật ‘1’ là khối lượng được treo của ô tô có, vật ‘2’ là khối lượng không được treo ở cầu trước
và vật ‘3’ là khối lượng không được treo ở cầu sau. Các vật liên kết với nhau thông qua các
liên kết lò xo và giảm chấn như hình 1.

419


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV

Hình 1. Mô hình không gian khảo sát dao động của ô tô
Để nghiên cứu động học và động lực của hệ trên cần xác định các hệ trục tọa độ quy
chiếu và các tọa suy rộng. Hệ quy trục tọa độ chiếu của hệ trên xác định như hình 1 với: hệ
quy chiếu quá tính OXYZ; hệ quy chiếu chuyển động O 0 X 0 Y 0 Z 0 có gốc tọa độ nằm trên quỹ
đạo chuyển động; hệ quy chiếu O i X i Y i Z i gắn với vật thứ i (i=1, 2, 3) có gốc tọa độ trùng với
tọa trọng tâm của vật thứ i.
Tọa độ suy rộng của hệ gồm 13 tọa độ suy rộng là X 0 , Y 0 , ψ 0 X 1 , Y 1 , Z 1 , ϕ1 , θ1 ,ψ 1 ,Z 2 ,
ϕ2 ,Z 3 . Do quỹ đạo chuyển động của vật được xác định trước nên ta có thể xác định được các
tọa độ X 0 , Y 0 , ψ 0 vì vậy hệ trên có 10 tọa độ suy động độc lập.
3.

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MÔ TẢ DAO ĐỘNG

Phương trình Lagrange áp dụng để thiết lập phương trình vi phân khảo sát dao động cho
mô hình dao động trên theo tài liệu [3] có dạng sau:

d  ∂T  ∂T ∂U ∂F
+
+
=
Qi ; i = 1, 2,…10;

−
dt  ∂qi  ∂qi ∂qi ∂qi

(1)

Với q = [ X 1Y1 Z1 ϕ1 θ1 ψ 1 Z 2 ϕ2 Z 3 ϕ3 ] là tọa độ suy động độc lập.
Để áp dụng phương trình Lagrange xây dựng phương trình vi phân mô tả dao động của
xe, cần khảo sát năng lượng của hệ bao gồm động năng, thế năng và năng lượng tiêu tán của hệ.
Động năng của hệ theo mô hình đang khảo sát bao gồm động năng chuyển động tịnh
tiến và động năng chuyển động quay của khối lượng được treo và không được treo của ô tô.
Khi đó động năng của hệ là:

T = Ttt1 + Tω1 + Ttt 2 + Tω 2 + Ttt 3 + Tω 3
Với Ttt1 là động năng chuyển động tịnh tiến của vật 1.

Tω1 là động năng chuyển động quay của của vật 1.
420

(2)


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV

Ttt 2,3 là động năng chuyển động tịnh tiến của vật 2,3
Tω 2,3 là động năng chuyển động quay của của vật 2,3
Động năng của hệ được tính toán toán dựa trên vận tốc chuyển động tịnh tiến tuyệt đối
và vận tốc góc tuyệt đối của khối lượng treo và khối lượng không được treo. Vận tốc chuyển
động tịnh tiến tuyệt đối và vận tốc góc tuyệt đối của khối lượng được treo theo [1] được xác
định như sau:

V1 =
V0 + A0 ROO00O1 + A0 ROO00O1

(3)

ω1 = Aω ϕ1 θ1 ψ1 

(4)

cos(ψ ) − sin(ψ ) 0 
A0 =  sin(ψ ) cos(ψ ) 0 


 0
0
1 

(5)

− sin(θ1 ) 
0
1

Aω1 = 0 cos(ϕ1 ) sin(ϕ1 )cos(θ1 ) 


0 − sin(ϕ1 ) cos(ϕ1 )cos(θ1 ) 

(6)

1

Với

Tương tự như vận tốc chuyển động tịnh tiến tuyệt đối và vận tốc góc tuyệt đối của khối
lượng không được treo được xác định như sau:

V2,3 =
V0 + A0 ROO00O2,3 + A0 ROO00O2,3

(7)

ω2,3 = Aω ϕ2,3 0 ψ1 

(8)

1 0
0 



= 0 0 sin(ϕ2,3 ) 
0 0 cos(ϕ2,3 ) 

(9)

2,3

Với

Aω2,3

Động năng chuyển động tịnh tiến và động năng chuyển động quay của khối lượng được
treo và không được treo theo [2] được tính toán như sau:

Ttt1 = 0.5m1V1TV1

(10)

Tω1 = ω1T [ J1 ]ω1

(11)

T
Ttt 2,3 = 0.5m2,3V2,3
V2,3

(12)

T
 J 2,3  ω2,3
Tω 2,3 = ω2,3

(13)

Thế năng đàn hồi của năng lượng tiêu tán của hệ thống treo là thế năng đàn hồi của lò
xo và năng lượng tiêu tán của giảm chấn. Thế năng đàn hồi của năng lượng tiêu tán được xác
định theo [3] như sau:

U lx = ∆LTlx1T [C1 ] ∆Llx1T + ∆LTlx1P [C1 ] ∆Llx1P
+ ∆LTlx 2T [C2 ] ∆Llx 2T + ∆LTlx 2 P [C2 ] ∆Llx 2 P
421

(14)


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
Với

∆Llx1T = RO1T1T − RO2T2T − [ 0 0 l0 ] ;

∆Llx1T = RO1T1P − RO2T2 P − [ 0 0 l0 ] ;
∆Llx 2T = RO1S1T − RO3S3T − [ 0 0 l0 ] ;
∆Llx 2 P = RO1S1P − RO 3 S3 P − [ 0 0 l0 ] ;
Trong đó: RO1T1T , RO1T1P , RO1S1T , RO1S1P , RO2T2T , RO2T2 P , RO3S3T và RO3S3 P là véc tơ xác

định vị trí của điểm T 1T , T 1P , S 1T , S 2P , T 2T , T 2P , S 3T và S 3P trong hệ quy chiếu quán tính;
[C1 ] và [C2 ] là ma trận độ cứng của bộ phận đàn hồi cầu trước và cầu sau.

Flx = ∆VlxT1T [ K1 ] ∆Vlx1T + ∆VlxT1P [ K1 ] ∆Vlx1P
+ ∆VlxT2T [ K 2 ] ∆Vlx 2T + ∆VlxT2 P [ K 2 ] ∆Vlx 2 P
Với

(15)

∆Vlx1T = VO1T1T − VO2T2T ; ∆Vlx1T = VO1T1P − VO2T2 P
∆Vlx 2T = VO1S1T − VO3S3T ; ∆Vlx 2 P = VO1S1P − VO 3 S3 P

Trong đó: VO1T1T , VO1T1P , VO1S1T , VO1S1P , VO2T2T , VO2T2 P , VO3S3T và VO 3 S3 P là véc tơ xác định

vận tốc của điểm T 1T , T 1P , S 1T , S 2P , T 2T , T 2P , S 3T và S 3P trong hệ quy chiếu quán tính; [ K1 ]
và [ K 2 ] là ma trận hệ số cản của giảm chấn cầu trước và cầu sau.

Tương tự như trên ta tính được thế năng đàn hồi và năng lượng tiêu tán của bánh xe là
U bx và F bx . Khi đó thế năng và năng lượng tiêu tán của hệ là:

U U lx + U bx
=

(16)

=
F Flx + Fbx ;

(17)

Thay T, U và F vào (1) và lấy đạo hàm riêng theo các tọa độ suy rộng độc lập q i ta nhận
được hệ 10 phương trình vi phân bậc 2 được viết dưới dạng ma trận sau đây:
Mq + Cq + Kq =

Q ;

(18)

Trong đó: M - ma trận khối lượng; C - ma trận hệ số cản; K - ma trận hệ số cứng và Q là
ma trận lực suy rộng.
4. KẾT QUẢ KHẢO SÁT
Áp dụng kết quả tính toán trên để khảo sát với ô tô cụ thể có các thông số như sau: m t =
2100 (kg);J x = 8200 (Nms2);J y = 26480 (Nms2); J z = 16500 (Nms2);a = 1,4 (m); b = 1,0 (m);
L = 2,4 (m); B = 1,44 (m); h tx = 0,6 (m);K 1 = 5500 (N/m); K 2 = 5400 (N/m); C 1 = 4000
(Ns/m);C 2 = 4000 (Ns/m); m ct = 120 (kg); m cs = 135 (kg); J ctx = 17,4 (Nms2); J cty = 0,13
(Nms2); J ctz = 17,4 (Nms2); J csx = 19,4 (Nms2);J csy = 0,16 (Nms2); J csz = 17,4 (Nms2); h cx =
0,3 (m); K L1 = 260000 (N/m); K L2 = 300000 (N/m); C L1 = 260 (Ns/m); C L2 = 300 (Ns/m);
Thay các giá trị trên vào (18) và giải hệ phương trình trên ta có xác định được dịch
chuyển, vận tốc và gia tốc của khối lượng được treo và không được treo của ô tô.
Hình 2 thể hiện gia tốc dịch chuyển theo phương thẳng đứng ( Z1 ) và gia tốc góc xoay

( θ1 ) theo phương ngang của thân xe khi ô tô chuyển động thẳng và biên dạng dạng mấp mô
mặt đường là hình sin (V = 40 (km/m); qo = 0,05(m); S = 4 (m); ϕlechpha = pi/12 (rad)). Với
422


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
kết quả trên cho phép khảo sát được dao động của ô tô như độ êm dịu chuyển động và độ an
toàn chuyển động của ô tô.

Hình 2. Gia tốc dịch chuyển gia tốc dịch chuyển ( Z1 ) và gia tốc góc xoay ( θ1 ) của thân xe
Trên hình 3 đưa ra kết quả khảo sát ảnh hưởng của quá trình phanh đến dịch chuyển của
cầu trước (Z 2 ) và cầu sau (Z 2 ) theo phương thẳng đứng của thân xe khi phanh ô tô trên đường
bằng phẳng với gia tốc phanh J p = 6 m.s-2. Dựa vào dịch chuyển của cầu xe ta có thể khảo sát

được ảnh hưởng của quá trình dao động đến quá trính phanh của ô tô.

Hình 3. Dịch chuyển của cầu xe theo phương thẳng đứng (Z 1 , Z 2 )
Hình 4 đưa ra kết quả khảo sát ảnh hưởng của quá trình quay vòng đến góc xoay của
cầu trước ( ϕ1 ) và cầu sau ( ϕ2 ) của cầu xe khi ô tô quay vòng trên đường nằm ngang với
R = 4,2 (m). Dựa vào các thông số, ta có thể khảo sát được ảnh hưởng của quá trình dao động
đến ổn định của bánh xe dẫn hướng trong quá trình quay vòng.

Hình 4. Góc xoay của cầu trước ( ϕ1 ) và cầu sau ( ϕ2 ) theo phương ngang

423


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
Qua các kết quả khảo sát trên, ta thấy rằng tùy thuộc vào điều kiện chuyển động, có thể
khảo sát được dao động của ô tô hoặc ảnh hưởng của quá trình quay vòng, quá trình phanh
đến dao động của ô tô.
5. KẾT LUẬN
Bài viết đã ứng dụng phương trình Lagrange xây dựng hệ phương trình vi phân mô tả
dao động của ô tô theo mô hình hệ nhiều vật đảm bảo khảo sát dao động của ô tô gần sát với
thực tế dao động của ô tô 2 cầu. Mô hình sau khi khi xây dựng đã mô tả được các bậc tự do
của ô tô trong không gian, mô tả được mối quan hệ động giữa phần treo, không treo của hệ
thống treo vì vậy có thể khảo sát được ảnh hưởng quá trình phanh, quá trình quay vòng đến
dao động của ô tô và ổn định chuyển động của ô tô.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Văn Khang (2007) Động lực học hệ nhiều vật, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà
Nội.
[2] ReZa N. Jazar (2006) Vehicle Dynamics , Springer, New York.
[3] Dieter Schramm – Manfred Hiller – Roberto Bardini (2014) Vehicle Dynamic Modelling
and Simulation, Springer, New York.

THÔNG TIN TÁC GIẢ
1.

GS.TS Vũ Đức Lập, Học viện Kỹ thuật Quân sự, , 0903229168

2.

ThS. Lê Thanh Tuấn, Trường Đại học Trần Đại Nghĩa, ,
0988532582.

3.

ThS. Vũ Khắc Trai, Xí nghiệp liên hợp Z751, , 0983575597.

424