Giáo trình điều khiển số ứng dụng

Đại học bách khoa Hà Nội
Khoa Điện
Bộ môn Thiết bị điện-điện tử

Giáo trình:

Điều khiển số ứng dụng
(Dành cho sinh viên chuyên ngành Thiết bị điện-điện tử)
Ngời biên soạn: TS. Nguyễn Thanh Sơn

Hà Nội 2008


Lời mở đầu
Nhờ giá thành thấp và độ tin cậy cao, các máy tính số đã đợc sử dụng nhiều hệ thống
điều khiển trong mời năm qua. Hiện tại, trên thế giới có khoảng 100 triệu hệ thống điều
khiển sử dụng máy tính. Nếu chỉ tính riêng các hệ thống điều khiển phức tạp nh điều khiển
trong ngành hàng không, có khoảng 20 triệu hệ thống đang đợc điều khiển điều khiển bằng
máy tính. Khái niệm máy tính ở đây có thể là các hệ vi điều khiển hay là máy tính cá nhân
(PC).
Ngoài ra, chúng ta có thể gặp các hệ thống điều khiển số trong nhiều ứng dụng nh
điều khiển quá trình, điều khiển giao thông, điều khiển máy bay, điều khiển rada, máy công
cụ. Ưu điểm của các hệ thống điều khiển số là độ chính xác cao và tính mềm dẻo trong quá
trình lập trình. Các thuật toán điều khiển dễ dàng đợc xây dựng và thay đổi chỉ bằng cách
thay đổi các đoạn mã chơng trình viết cho máy tính.
Giáo trình này đợc biên soạn để phục vụ sinh viên Thiết bị điện-điện tử tiếp cận với lý
thuyết cơ bản của điều khiển số từ đó có thể xây dựng đợc các hệ thống điều khiển số cho
điều khiển động cơ, điều khiển quá trình nhiệt, điều chỉnh mức chất lỏng,...
Giáo trình bao gồm 7 chơng:
-Chơng 1: Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
-Chơng 2: ổn định của các hệ thống điều khiển số

-Chơng 3: Các bộ điều khiển số
-Chơng 4: Thực thi các bộ điều khiển số
-Chơng 5: Đại cơng về cấu trúc phần cứng và phần mềm cho điều khiển số động cơ
điện một chiều
-Chơng 6: Xây dựng hàm truyền của động cơ điện một chiều
-Chơng 7: Thực thi các hệ thống điều khiển số động cơ điện một chiều sử dụng vi điều
khiển và máy tính cá nhân
Mọi góp ý có thể gửi về bộ môn Thiết bị điện-điện tử, Khoa Điện, Đại học Bách khoa
Hà Nội. Điện thoại: 8692511.

i


Chơng 1

Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
1.1 Định nghĩa về các hệ thống điều khiển số
Các hệ thống điều khiển số hay còn gọi là các hệ thống điều khiển dữ liệu lấy mẫu làm
việc với các tín hiệu rời rạc theo thời gian. Các hệ thống điều khiển này khác với các hệ thống
điều khiển tơng tự trong đó các tín hiệu là liên tục theo thời gian. Một máy tính số sau khi
đợc lập trình có thể đợc sử dụng nh một bộ điều khiển số. Khái niệm máy tính số đợc
bao hàm các thiết bị tính toán đợc xây dựng từ các hệ vi điều khiển công nghiệp hay máy
tính các nhân (Personal Computer/PC).
Sơ đồ khối một hệ thống điều khiển số vòng kín hay còn gọi là hệ thống có phản hồi
đợc trình bày trên hình 1.1. Đối với sơ đồ 1.1a, giá trị đặt là giá trị tơng tự có thay đổi từ bên
ngoài qua một biến trở. Sơ đồ 1.1b là hệ thống điều khiển số mà trong đó giá trị đặt là giá trị
số có thể đợc đặt cứng trong máy tính số.
Máy tính số là trung tâm của hệ thống điều khiển chứa phần mềm điều khiển. Phần
mềm này còn gọi là chơng trình điều khiển. Đối với hệ thống hình 1.1a, bộ chuyển đổi tín
hiệu tơng tự sang số (Analog to Digital Converter/ADC) đợc dùng để chuyển tín hiệu sai

lệch tơng tự sang tín hiệu số thuận tiện cho việc xử lý bằng máy tính số. Thông thờng, bộ
chuyển đổi ADC sẽ đọc giá trị tơng tự tại các thời điểm rời rạc khác nhau. Các thời điểm này
cách đều nhau. Thời điểm đọc tín hiệu tơng tự vào máy tính số đợc gọi là thời điểm lấy
mẫu. Khoảng cách giữa hai thời điểm lấy mẫu đợc gọi là chu kỳ lấy mẫu.
Một bộ chuyển đổi từ số sang tơng tự (Digital to Analog Converter/DAC) đợc ghép
nối với đầu ra số của máy tính số để điều khiển thiết bị chấp hành vì đối với nhiều thiết bị
chấp hành tín hiều điều khiển đầu vào của các thiết bị này là tín hiệu tơng tự.
Giá trị
đặt

ADC

Máy tính số

DAC

Đối tợng
điều khiển

Đầu ra

Cảm biến

a) Hệ thống điều khiển số với giá trị đặt là tín hiệu tơng tự
Giá trị
đặt

Máy tính số

ADC

DAC

Đối tợng
điều khiển

Đầu ra

Cảm biến

b) Hệ thống điều khiển số với giá trị đặt là tín hiệu số
Hình 1.1. Các sơ đồ khối hệ thống điều khiển số
1.2 Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu
Trớc tiên ta định nghĩa bộ lấy mẫu. Một bộ lấy mẫu về cơ bản có thể xem nh là một
công tắc đợc đóng sau mỗi chu kỳ là T giây nh trình bày trên hình 1.2. Khi tín hiệu liên tục

1


ký hiệu là r ( t ) đợc lấy mẫu tại các khoảng thời gian T , tín hiệu rời rạc đầu ra đợc ký hiệu
là r * (t ) có dạng nh trên hình 1.3.

r (t )

r* ( t )

Tín hiệu liên tục

Tín hiệu lấy mẫu

Hình 1.2. Bộ lấy mẫu
Một quá trình lấy mẫu lý tởng có thể xem nh là tích của một chuỗi xung delta hay còn
gọi là xung đơn vị nhân với một tín hiệu tơng tự:

r* ( t ) = P ( t ) r ( t )

(1.1)

ở đây P ( t ) đợc gọi là xung delta hay là xung đơn vị có dạng nh hình 1.4.

r (t )

0

T

2 T 3T 4 T 5 T 6 T

t

0

T

2 T 3T 4 T 5 T 6 T

t

r* ( t )

Hình 1.3. Tín hiệu r ( t ) sau khi lấy mẫu

P (t )

0

T

2 T 3T 4 T 5 T 6 T

t

Hình 1.4. Chuỗi xung delta
Xung delta đợc biểu diễn nh sau:

P (t ) =



( t nT )

(1.2)

n =

Do đó ta có
2

( t nT )

r* ( t ) = r ( t )

(1.3)

n =

hoặc

r* ( t ) =



r ( nT ) ( t nT )

(1.4)

n =

Khi t < 0 ta có r ( t ) = 0 nên


r * ( t ) = r ( nT ) ( t nT )

(1.5)

n=0

Biến đổi Laplace phơng trình (1.5) ta có:


R * ( p ) = r ( nT ) e pnT

(1.6)

n=0

Phơng trình (1.6) đặc trng cho biến đổi Laplace của tín hiệu liên tục đợc lấy mẫu
r (t ) .
*

Một hệ thống lấy mẫu và giữ mẫu có thể xem nh là một sự kết hợp của bộ lấy mẫu và
một mạch giữ bậc không (zero-order hold/ZOH) nh trên hình 1.5. Mạch giữ bậc không này
có khả năng nhớ thông tin cuối cùng cho đến khi thu đợc một mẫu mới. Ví dụ ZOH lấy mẫu
giá trị r ( nT ) và giữ nó trong khoảng thời gian nT t ( n + 1) T .
Bộ lấy mẫu

r (t )
Tín hiệu
tơng tự

r* ( t )

Giữ bậc
không (ZOH)

y (t )

Tín hiệu lấy
mẫu

Hình 1.5. Một bộ lấy mẫu và giữ bậc không (ZOH)
Đáp ứng xung của một bộ giữ bậc không đợc trình bày trên hình 1.6. Hàm truyền của
giữ bậc không có dạng nh sau:

G (t ) = H (t ) H (t T )

(1.7)

ở đây H ( t ) là hàm bớc nhảy và nếu biến đổi Laplace phơng trình (1.7) ta có

G ( p) =

1 e Tp 1 e Tp

=
p
p
p

(1.8)

3


g (t )
1

0

t

T

Hình 1.6. Đáp ứng xung của giữ bậc không
Một bộ lấy mẫu và giữ bậc không có thể bám hay thể hiện gần trung thực tín hiệu tơng
tự đầu vào nếu thời lấy mẫu T đủ nhỏ so với sự biến thiên quá độ của tín hiệu. Đáp ứng của
một bộ lấy mẫu và giữ bậc không đối với một đầu vào tín hiệu dốc (ramp) đợc trình bày nh
trên hình 1.7.

r (t )
r (t ) y (t )

y (t )

t
0

T 2 T 3T 4 T 5 T 6 T

T

Hình 1.7. Đáp ứng của một bộ lấy mẫu và giữ bậc không đối với tín hiệu dốc (ramp)
1.3 Biến đổi z
Phơng trình (1.6) định nghĩa một chuỗi vô hạn của các lũy thừa e pnT với toán tử p .
Toán tử z đợc định nghĩa sau:

z = e pT

(1.9)

Biến đổi z của hàm r ( t ) ký hiệu là Z r ( t ) = R ( z ) do đó ta có


R ( z ) = r ( nT ) z n

(1.10)

n=0

Chú ý rằng biến đổi z của r ( t ) bao gồm một chuỗi vô hạn của các biến z có dạng nh
sau:

R ( z ) = r ( 0 ) + r ( T ) z 1 + r ( 2 T ) z 2 + r ( 3T ) z 3 + ...

(1.11)

ở đây r ( nT ) là các hệ số của chuỗi lũy thừa tại các thời điểm lấy mẫu khác nhau.
Chúng ta có thể xem biến đổi z trong các hệ thống dữ liệu lấy mẫu tơng tự nh là
biến đổi Laplace của các hệ thống thời gian liên tục. Đáp ứng của một hệ thống dữ liệu lấy
mẫu có thể xác định dễ dàng bằng cách tìm biến đổi z của đầu ra sau đó tìm biến đổi z
ngợc nh là kỹ thuật biến đổi Laplace trong hệ thống thời gian liên tục. Sau đây chúng ta sẽ
tìm hiểu biến đổi z của một số hàm thông dụng.
4


1.3.1 Hàm bớc đơn vị
Hàm bớc đơn vị đợc định nghĩa nh sau

0 n < 0
r ( nT ) =
1 n 0




n=0

n =0

R ( z ) = r ( nT ) z n = z n = 1 + z 1 + z 2 + z 3 + ...

R ( z) =

z
, đối với z > 1
z 1

1.3.2 Hàm ramp
Hàm ramp hay còn gọi là hàm dốc đợc định nghĩa nh sau

0 n<0
r ( nT ) =
nT n 0

n=0

n =0

R ( z ) = r ( nT ) z n = nTz n = Tz 1 + 2 Tz 2 + 3Tz 3 + ...

R ( z) =

Tz

( z 1)

2

, đối với z > 1

1.3.3 Hàm mũ
Chúng ta quan tâm đến hàm mũ đợc định nghĩa nh sau

0
r ( nT ) = anT
e




n=0

n=0

n<0
n0

R ( z ) = r ( nT ) z n = e anT z n = 1 + e aT z 1 + e 2 aT z 2 + e3 aT z 3 + ...

R ( z) =

1
1 e

aT 1

z

=

z
, đối với z > 1
z e aT

1.3.4 Hàm mũ tổng quát
Hàm mũ tổng quát đợc định nghĩa nh sau

0
r (n) = n
p

n=0

n=0

n<0
n0

R ( z ) = r ( nT ) z n = p n z n = 1 + pz 1 + p 2 z 2 + p 3 z 3 + ...

R ( z) =

z
, đối với z < p
z p

Tơng tự ta có:
5


R ( p −k ) =

z
z − p −1

1.3.5 Hµm sin
Hµm sin ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau

0
n<0


r ( nT ) = 
sin ( nω T ) n ≥ 0
Tr−íc tiªn ta cã

sin( x ) =

e jx − e− jx
2j

Cho nªn

r ( nT ) =

e jnω T − e − jnω T e jnω T e− jnω T
=
−
2j
2j
2j

Tuy nhiªn ta ®· biÕt ®−îc biÕn ®æi z cña mét hµm mò lµ

(

)

R e− anT = R ( z ) =

z
z − e− aT

Cho nªn


z e jω T − e − jω T
 1 


=

2
jω T
− jω T
+ 1 
 2 j  z − z e + e

(
(

1  1
1
R ( z) = 
−
jω T
2j  z−e
z − e − jω T

)
)

hay

R ( z) =

z sin (ω T )
z − 2 z cos (ω T ) + 1
2

1.3.6 Hµm cos
Hµm cos ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau

0
n<0

r ( nT ) = 
cos ( nω T ) n ≥ 0
Tr−íc tiªn ta cã

cos( x ) =

e jx + e − jx
2

Cho nªn

6


r ( nT ) =

e jn T + e jn T e jn T e jn T
=
+
2
2
2

Tuy nhiên ta đã biết đợc biến đổi z của hàm mũ có dạng nh sau:

(

)

R e anT = R ( z ) =

z
z e aT

Do đó áp dụng trong trờng hợp này ta có

1 1
1

R ( z) =
+
j T
j T
2 ze
ze

hay

R ( z) =

z ( z cos ( T ) )
z 2 z cos ( T ) + 1
2

1.3.7 Hàm xung rời rạc
Hàm xung rời rạc đợc định nghĩa nh sau

1 n = 0
0 n 0

(n) =




n=0

n=0

R ( z ) = r ( nT )z n = z n = 1
1.3.8 Hàm xung rời rạc có trễ
Hàm xung rời rạc có trễ đợc định nghĩa nh sau

1 n = k > 0
nk
0

(n k) =




n=0

n= 0

R ( z ) = r ( nT )z n = z n = z n
1.3.9 Bảng biến đổi z
Bảng biến đổi z của các hàm thông dụng đợc trình bày nh trên bảng 1.1. Khi biết
dạng biến đổi z , chúng ta quan tâm đến đáp ứng đầu ra y ( t ) của hệ thống và phải sử dụng
biến đổi z ngợc để thu đợc y ( t ) từ Y ( z ) .
1.3.10 Tìm biến đổi z qua biến biến đổi Laplace
Mặc dù chúng ta biểu thị biến đổi z tơng đơng của G ( p ) là G ( z ) , nhng điều đó
không có nghĩa là G ( z ) đợc xác định bằng cách thay thế toán tử p bằng toán tử z . Thay
vào đó chúng ta sử dụng một trong các phơng pháp sau đây để xác định biến đổi z của
một hàm qua biến đổi Laplace của hàm đó.

7


-Phơng pháp 1: Giả thiết chúng ta có biến đổi Laplace của một hàm là G ( p ) . Từ đây
chúng ta tính toán đáp ứng theo thời gian là g ( t ) bằng phép biến đổi z ngợc.
-Phơng pháp 2: Giả thiết chúng ta có biến đổi Laplace của một hàm là G ( p ) . Từ đây
ta tìm biến đổi z của hàm là G ( z ) bằng cách tra bảng với các biến đổi Laplace và biến
đổi z tơng đơng.
-Phơng pháp 3: Giả thiết chúng ta có biến đổi Laplace của một hàm là G ( p ) . Mặt

khác ta có thể biểu diễn G ( p ) = N ( p ) / D ( p ) và sử dụng công thức sau đây để xác
định biến đổi z:
q

N ( xn )

1
x n T 1
z
n =1 D ( x n ) 1 e

G ( z) =

(1.12)

'

ở đây D' = D / p và xn với n = 1, 2,..., q là gốc của phơng trình D ( p ) = 0 .
Bảng 1.1. Biến đổi Laplace và biến đổi z của một số hàm thông dụng
Tín hiệu tơng
Tín hiệu lấy
Biến đổi Laplace
Biến đổi z
tự
mẫu
1
1
(t )
( kT )

(t a)

( k a ) T

e pt

za

1

1 ( kT )

t

kT

1
p
1
p2

z
z 1
Tz

2

t2
2

( kT )

e at

e akT

te at

kTe akT

1
p3

2

1
p+a
1

( p + a)
1 e at

sin ( akT )

1 e akT

sin ( akT )

2

( z 1)
T 2 z ( z + 1)
3
2 ( z 1)
z
z e aT

zTe aT
2

a
p ( p + a)

cos ( akT )

aT

aT

aT

z sin ( aT )

a
p + a2

z 2 z cos ( aT ) + 1

p
p + a2

z 2 z cos ( aT ) + 1

2

cos ( akT )

2

(z e )
z (1 e )
( z 1) ( z e )

2

2

z ( z cos ( aT ) )
2

Ví dụ 1.1: Cho biến đổi Laplace của một hàm có dạng nh sau:

8


G ( p) =

1
p + 5p + 6
2

Xác định biến đổi z tơng đơng của hàm trên.
Lời giải:
-Phơng pháp 1: Sử dụng biến đổi Laplace ngợc
Chúng ta có thể biểu diễn G ( p ) là một tổng của các phân số nh sau:

G ( p) =

1

( p + 3)( p + 2 )

=

1
1
+
p+2 p+3

Biến đổi Laplace ngợc của G ( p ) là:

g ( t ) = L1 G ( p ) = e2 t e 3 t
Theo định nghĩa của biến đổi z , chúng ta có thể xác định G ( z ) từ g ( t ) nh sau:


G ( z ) = e 2 nT e3 nT z n = 1 + e2 T z 1 + e4 T z 2 + ... 1 + e3 T z 1 + e 6 T z 2 + ...

(

)

(

) (

)

n=0

(

)

z e 2 T e 3 T
z
z
G ( z) =

=
z e 2 T z e3 T
z e 2 T z e 3 T

(

)(

)

-Phơng pháp 2: Sử dụng bảng biến đổi z
Từ bảng biến đổi z của một số hàm thông dụng (bảng 1.1) ta có biến đổi z của

1 / ( p + a ) là z / ( z e aT ) . Do đó biến đổi z của hàm G ( p ) là

(

)

z e 2 T e 3 T
z
z
G ( z) =

=
z e 2 T z e3 T
z e 2 T z e 3 T

(

)(

)

1.3.11 Các tính chất của biến đổi z
Đa số các tính chất của biến đổi z tơng tự nh các tính chất của biến đổi Laplace.
Trong phần này chúng ta sẽ đề cập đến một số tính chất quan trọng của biến đổi z .
1. Tính chất tuyến tính
Giả sử biến đổi z của f ( nT ) là F ( z ) và biến đổi z của g ( nT ) là G ( z ) . Khi đó ta có:

Z f ( nT ) g ( nT ) = Z f ( nT ) Z g ( nT ) = F ( z ) G ( z )
Z af ( nT ) = aZ f ( nT ) = aF ( z )

(1.13)
(1.14)

ở đây a là một đại lợng vô hớng
2. Tính chất dịch trái

9


Giả sử biến đổi z của f ( nT ) là F ( z ) và y ( nT ) = f ( nT + mT ) . Khi đó
m 1

Y ( z ) = z m F ( z ) f ( iT )z m i

(1.15)

i =0

Nếu tất cả các điều kiện đầu là không ví dụ f ( iT ) = 0 , i = 0,1, 2,..., m 1 thì

Z f ( nT + mT ) = z m F ( z )

(1.16)

3. Tính chất dịch phải
Giả sử biến đổi z của f ( nT ) là F ( z ) và y ( nT ) = f ( nT mT ) . Khi đó
m 1

Y ( z ) = z m F ( z ) f ( iT mT )z i

(1.17)

i =0

Nếu f ( nT ) = 0 đối với k < 0 khi đó ta có

Z f ( nT mT ) = z m F ( z )

(1.18)

4. Tính chất suy giảm
Giả sử biến đổi z của f ( nT ) là F ( z ) . Khi đó

Z e anT f ( nT ) = F ze aT

(1.19)

Điều này có nghĩa là nếu một hàm đợc nhân với một lũy thừa e anT thì biến đổi z của
hàm z này đợc thay bằng zeaT .
5. Tính chất giá trị đầu
Giả sử biến đổi z của f ( nT ) là F ( z ) . Khi đó giá trị đầu của đáp ứng theo thời gian
đợc xác định nh sau:

lim f ( nT ) = lim F ( z )
n

(1.20)

z

6. Tính chất giá trị cuối
Giả sử biến đổi z của f ( nT ) là F ( z ) . Khi đó giá trị cuối của đáp ứng theo thời gian
đợc xác định nh sau:

lim f ( nT ) = lim (1 z 1 ) F ( z )
n

(1.21)

z 1

(

)

Chú ý tính chất này chỉ có hiệu lực nếu các cực của 1 z 1 F ( z ) nằm bên trong vòng
tròn đơn vị hay tại z = 1 .
Ví dụ 1.2:
Biến đổi z của hàm dốc (ramp) r ( nT ) có dạng nh sau:
10


R ( z) =

Tz

( z 1)

2

Tìm biến đổi z của hàm 5r ( nT ) .
Lời giải:
Sử dụng tính chất tuyến tính ta dễ dàng suy ra

Z 5r ( nT ) = 5 Z r ( nT ) =

5 Tz

( z 1)

2

Ví dụ 1.3:
Cho biểu thức của biến đổi z nh sau:

G ( z) =

0, 792 z
( z 1) z 0, 416 z + 0, 208

(

2

)

Xác định giá trị cuối cùng của g ( nT )
Lời giải:
Sử dụng tính chất giá trị cuối ta có:

(

lim g ( nT ) = lim 1 z 1
n

z 1

= lim
z 1

) ( z 1)

(

0, 792 z
z 0, 416 z + 0, 208
2

)

0, 792
0, 792
=
=1
z 0, 416 z + 0,208 1 0, 416 + 0, 208
2

1.3.12 Biến đối z ngợc
Biến đổi z ngợc tơng tự nh biến đổi Laplace ngợc. Nói một cách tổng quát, biến

đổi z là tỷ số của các đa thức đối với biến z với bậc của đa thức tử số không đợc lớn hơn
bậc của đa thức mẫu số. Bằng phép biến đổi z ngợc, chúng ta có thể tìm đợc chuỗi kết
hợp với các đa thức biến đổi z đã cho. Khi xác định đợc biến đổi z ngợc, chúng ta quan
tâm đến đáp ứng thời gian của hệ thống có nghĩa là chúng ta zác định đợc hàm thời gian
y ( t ) từ hàm Y ( z ) . Chúng ta có thể sử dụng một trong các phơng pháp sau đây để tìm biến
đổi z ngợc:
-Phơng pháp 1: Phơng pháp chuỗi lũy thừa (chia dài)
-Phơng pháp 2: Phơng pháp khai triển Y ( z ) thành các phân số từng phần và sử
dụng bảng để tìm biến đổi z ngợc.
-Phơng pháp 3: Phơng pháp tích phân đảo
Đối với một hàm biến đổi z cho trớc Y ( z ) , chúng ta có thể xác định đợc các hệ số
của chuỗi tổ hợp y ( nT ) tại các thời điểm lấy mẫu khác nhau bằng cách sử dụng biến đổi z
ngợc. Hàm thời gian y ( t ) khi đó đợc xác định nh sau:


y ( t ) = y ( nT ) ( t nT )
n=0

11


Trong chơng này chúng ta sẽ giới hạn chỉ tìm hiểu phơng pháp 1 và 2 thông qua các
ví dụ.
1. Phơng pháp 1: Chuỗi lũy thừa
Phơng pháp này đợc thực hiện bằng cách chia mẫu số của Y ( z ) cho tử số để thu
đợc một chuỗi lũy thừa có dạng nh sau:

Y ( z ) = y0 + y1 z 1 + y2 z 2 + y3 z 3 + ...
Ví dụ 1.4:
Tìm biến đổi z ngợc của đa thức sau:

Y ( z) =

z2 + z
z 2 3z + 4

Lời giải:
Chia mẫu số của hàm cho tử số ta có

1 + 4 z 1 + 8z 2 + 8z 3 + ...
z 2 3z + 4 z 2 + z
z 2 3z + 4
4z 4
4 z 12 + 16 z 1
8 16 z 1
8 24 z 1 + 32 z 2
8z 1 32 z 2
8z 1 24 z 2 + 32 z 3
...
Ta có hệ số của chuỗi lũy thừa nh sau:

y (0) = 1
y (T) = 4
y ( 2T ) = 8
y ( 3T ) = 8
...
Hay hàm thời gian y ( t ) có dạng:

y ( t ) = ( t ) + 4 ( t T ) + 8 ( t 2 T ) + 8 ( t 3T ) + ...
Hình 1.8 là một số mẫu đầu của y ( t ) .

12


y (t )
8
4
1

0

2T 3T

T

t

Hình 1.8. Một số mẫu đầu của y ( t ) trong ví dụ 1.4
Ví dụ 1.5:
Tìm biến đổi z ngợc của đa thức sau:

Y ( z) =

z
z 3z + 2
2

Lời giải:
Chia mẫu số của hàm cho tử số ta có

1 + 4 z 1 + 8z 2 + 8z 3 + ...
z 2 3z + 2 z
z 3 + 2 z 1
3 2z 1
3 9 z 1 + 6 z 2
7 z 1 6 z 2
7 z 1 21z 2 + 14 z 3
15 z 2 14 z 3
15 z 2 45 z 3 + 30 z 4
...
Ta có hệ số của chuỗi lũy thừa nh sau:

y (0) = 0
y (T) = 1
y ( 2T ) = 3
y ( 3T ) = 7
y ( 4 T ) = 15
...
Hay hàm thời gian y ( t ) có dạng:

y ( t ) = ( t T ) + 3 ( t 2 T ) + 7 ( t 3T ) + 15 ( t 4 T ) ...
Nhợc điểm của phơng pháp chuỗi lũy thừa là phơng pháp này không đa đến dạng
chính xác của kết quả cần tìm. Khi cần tìm dạng chính xác của hàm thời gian, chúng ta cần
sử dụng các phơng pháp khác.
1. Phơng pháp 2: Khai triển thành các phân số riêng
13


Tơng tự nh kỹ thuật biến đổi Laplace ngợc, một hàm Y ( z ) có thể đợc khai triển
thành các phân số riêng. Sau đó chúng ta dùng bảng của các biến đổi z của các hàm thông

dụng để tìm ra biến đổi z ngợc của các phân số này. Nếu nhìn vào bảng biến đổi z , chúng
ta thấy chỉ có thành phần z ở tử số. Do đó sẽ thuận tiện hơn nếu chúng ta tìm biến đổi z của
các phân số riêng của hàm y ( z ) / z và sau đó nhân các phân số riêng này với z để xác định
đợc y ( z ) .
Ví dụ 1.6:
Tìm biến đổi z ngợc của hàm sau:

y ( z) =

z

( z 1)( z 2 )

Lời giải:
Trớc tiên chúng ta có thể biểu diễn lại phơng trình trên nh sau

y ( z)
z

=

1

( z 1)( z 2 )

=

A
B
+

z 1 z 2

Các giá trị của A và B đợc xác định từ phơng trình sau

A ( z 2 ) + B ( z 1) = ( A + B ) z ( 2 A + B ) = 1
Dễ dàng suy ra A = 1 và B = 1 do đó

Y ( z)

=

1
1
+
z 1 z 2

Y ( z) =

z
z
+
z 1 z 2

z
hay

Mặt khác ta lại có

R ( an ) =

z
za

Cho nên

y ( nT ) = 1 + 2 n
Ta có các hệ số của chuỗi lũy thừa nh sau

14


y (0) = 0
y (T) = 1
y ( 2T ) = 3
y ( 3T ) = 7
y ( 4 T ) = 15
...
Hay hàm thời gian y ( t ) có dạng

y ( t ) = ( t T ) + 3 ( t 2 T ) + 7 ( t 3T ) + 15 ( t 4 T ) ...
1.4 Hàm truyền xung và thao tác các sơ đồ khối
Hàm truyền xung là tỷ số biến đổi z của đầu ra so với đầu vào lấy mẫu tại các thời
điểm lấy mẫu khác nhau.
Giả thiết chúng ta muốn lấy mẫu một hệ thống với đáp ứng đầu ra nh trên hình 1.9:

y ( p ) = e* ( p ) G ( p )

e( p)

e* ( p )

y ( p)

G ( p)

y* ( p )

Hình 1.9. Lấy mẫu một hệ thống
Dạng tín hiệu lấy mẫu của tín hiệu đầu ra có dạng nh sau
*

y * ( p ) = e* ( p ) G ( p ) = e* ( p ) G * ( p )

(1.22)

y ( z) = e ( z) G ( z)

(1.23)

và

Phơng trình (1.22) và (1.23) có nghĩa là nếu có tối thiểu một hàm liên tục đợc lấy
mẫu thì biến đổi z của tích bằng tích biến đổi z của mỗi hàm (chú ý rằng
*

e* ( p ) = e* ( p ) , điều này có nghĩa là một tín hiệu đã đợc lấy mẫu rồi sẽ không có tác
dụng với lấy mẫu nữa). G ( z ) là hàm truyền giữa tín hiệu hiệu đầu ra và đầu vào lấy mẫu tại
các thời điểm lấy mẫu khác nhau và đợc gọi là hàm truyền xung. Chú ý từ phơng trình
(1.23), chúng ta không có thông tin đầu ra về y ( z ) giữa các thời điểm lấy mẫu.
1.4.1 Các hệ thống vòng hở

Trong phần này chúng ta sẽ khảo sát một số ví dụ thao tác các sơ đồ khối của các hệ
vòng hở.
Ví dụ 1.7:

15


Hình 1.10 trình bày một hệ thống dữ liệu lấy mẫu vòng hở. Xác định biến đổi z của đầu
ra hệ thống.

e( p)

e* ( p )

y ( p)

G ( p)

y* ( p )

Hình 1.10. Hệ vòng hở ví dụ 1.7
Lời giải:
Đối với hệ thống này, chúng ta có thể viết

y ( p ) = e* ( p ) G ( p )
hoặc

y * ( p ) = e* ( p ) G ( p )

*

và

y ( z) = e ( z) G ( z)
Ví dụ 1.8:
Hình 1.11 trình bày một hệ thống lấy mẫu vòng hở. Xác định biến đổi z của đầu ra hệ
thống.

e( p)

e* ( p )

y ( p)
G1 ( p )

y* ( p )

G2 ( p )

Hình 1.11. Hệ vòng hở ví dụ 1.8
Lời giải:
Đối với hệ thống này chúng ta có thể viết

y ( p ) = e* ( p ) G1 ( p ) G2 ( p )
hoặc
*

*

y * ( p ) = e* ( p ) G1 ( p ) G2 ( p ) = e* ( p ) [ G1 G2 ] ( p )

và

y ( z ) = e ( z ) G1 G2 ( z )
ở đây

G1 G2 ( z ) = Z G1 ( p ) G2 ( p ) G1 ( z ) G2 ( z )
16


Ví dụ nếu

G1 ( p ) =

1
p

và

G2 ( p ) =

a
p+a

Từ bảng biến đổi z ta có:

(

)

z 1 e aT

a


Z G1 ( p ) G2 ( p ) = Z
=
aT
p ( p + a ) ( z 1) z e

(

)

và đầu ra của hệ thống sẽ là

y ( z) = e ( z)

(

)

z 1 e aT

( z 1) ( z e )
aT

Ví dụ 1.9:
Hình 1.12 trình bày một hệ thống lấy mẫu vòng hở. Xác định dạng biến đổi z của đầu
ra hệ thống.

e( p)

e* ( p )

x ( p)
G1 ( p )

x* ( p )

y ( p)
G2 ( p )

y* ( p )

Hình 1.12. Hệ vòng hở ví dụ 1.9
Đối với hệ vòng hở này chúng ta có thể viết

x ( p ) = e* ( p ) G1 ( p )
hoặc

x * ( p ) = e* ( p ) G1* ( p )
và

y ( p ) = x * ( p ) G2 ( p )
hoặc

y * ( p ) = x * ( p ) G2* ( p ) = e* ( p ) G1* ( p ) G2* ( p )
Cuối cùng ta có biến đổi z của tín hiệu ra có dạng nh sau:

17

y ( z ) = e ( z ) G1 ( z ) G2 ( z )
Ví dụ:

1
p

và

G2 ( p ) =

z
z 1

và

Z G2 ( p ) =

G1 ( p ) =

a
p+a

Khi đó ta có

Z G1 ( p ) =

az
z ze aT

Đầu ra của hệ thống sẽ là

y ( z) = e ( z)

z
az
az
= e ( z)
aT
z 1 z ze
( z 1) 1 e aT

(

)

1.4.2 Đáp ứng thời gian vòng hở
Đáp ứng thời gian của một hệ thống dữ liệu lấy mẫu có thể thu đợc bằng cách tìm biến
đổi z ngợc của hàm đầu ra. Chúng ta sẽ làm rõ khái niệm này thông qua các ví dụ.
Ví dụ 1.10:
Một tín hiệu bớc nhảy đơn vị đợc đặt vào một hệ RC điện nh trên hình 1.13. Tính và
vẽ đáp ứng đầu ra của hệ thống, giả thiết chu kỳ lấy mẫu là T = 1s .

R

u( p)

y ( p)

u* ( p )

C

Hình 1.13. Hệ thống RC với tín hiệu đầu vào bớc nhảy
Lời giải:
Hàm truyền của hệ RC là

G ( p) =

1
RCp + 1

Đối với hệ thống này ta có thể viết

y ( p ) = u* ( p ) G ( p )
và

y * ( p ) = u* ( p ) G * ( p )
18


Biến đổi z của hàm đầu ra có dạng nh sau

y ( z) = u( z) G ( z)
Biến đổi z của hàm bớc nhảy đơn vị có dạng nh sau

u( z) =

z
z 1

Hàm truyền G ( p ) có thể viết lại nh sau

G ( p) =

1
1
1
1
=
=a
1
RCp + 1 RC
p+a
p+

RC


trong đó a = 1 / RC . Mặt khác theo bảng biến đổi z của một số hàm thông dụng (bảng
1.1)

1
z
Z
=
aT
p + a z e
Ta dễ dàng suy ra

a

az
Z
=
aT
p + a z e
Do đó biến đổi z của hàm đầu ra là

z az
y ( z) =

aT
z 1 z e

az

=
aT
( z 1) z e
2

(

)

Nếu chu kỳ lấy mẫu T = 1s , R = 1 , C = 1F thì

y ( z) =

z2
z2

=
( z 1) z e1 ( z 1)( z 0,368 )

(

)

Đáp ứng đầu ra có thể thu đợc bằng cách tìm biến đổi z ngợc của y ( z ) . Bằng cách
khai triển y ( z ) thành các phần số từng phần ta có

y ( z)
z

=

1,582
0,582

z 1 z 0,368

hay

y ( z) =

1,582 z 0,582 z

z 1 z 0,368
19

Mặt khác ta có biến đổi z ngợc của z / ( z a ) nh sau

z
n
Z 1
=a
z
a



Đáp ứng đầu ra sẽ có dạng

y ( nT ) = 1,582 0, 582 ( 0, 368 )

n

Từ phơng trình trên ta có một số mẫu đầu nh sau

y (0) = 1
y ( T ) = 1,367
y ( 2 T ) = 1,503
y ( 3T ) = 1,552
y ( 4 T ) = 1, 571
...
Đáp ứng đầu ra là

y ( t ) = ( t ) + 1,367 ( t T ) + 1,503 ( t 2 T ) + 1,552 ( t 3T ) + 1,571 ( t 4 T ) + ...
y (t )
1,503 1,552 1,571

1,367
1

0

T

2T

3T

4T

t

Hình 1.14. Đáp ứng đầu ra của hệ thống RC
Một điều quan trọng là đáp ứng chỉ đợc biết tại các thời điểm lấy mẫu. Nếu điện tích
của tụ đợc xả qua điện trở giữa các khoảng chu kỳ lấy mẫu thì sẽ xảy ra hiện tợng suy
giảm theo hàm mũ của đáp ứng giữa các khoảng thời gian lấy mẫu. Tuy nhiên hiện tợng
này không thể xác định đợc bằng phơng pháp biến đổi z của quá trình phân tích.
Ví dụ 1.11:
Giả thiết chúng ta có một hệ thống điều khiển nh trên hình 1.15 với giữ bậc không
(ZOH). Xác định đáp ứng đầu ra nếu đầu vào của hệ thống là một xung bớc đơn vị.

u( p)

u* ( p )
ZOH

1

p +1

y ( p)

Hình 1.15. Hệ thống RC với giữ bậc không
20


Lời giải:
Hàm truyền của giữ bậc không có dạng nh sau:

G1 ( p ) =

1 e Tp
p

Hàm truyền của mạch RC có dạng nh sau:

G2 ( p ) =

1
1
1
1
1
=
=a
với a =
1
RCp + 1 RC

p+a
RC
p+

RC


Đối với hệ thống này, đầu ra của hệ thống có dạng nh sau:

y ( p ) = u* ( p ) G1 G2 ( p )
và
*

y * ( p ) = u* ( p ) [ G1 G2 ] ( p )
ở dạng biến đổi z đầu ra của hệ thống có dạng

y ( z ) = u ( z ) G1 G2 ( z )
Nếu T = 1s , R = 1 và C = 1F ta có

G1 G2 ( p ) =

1 e p 1
p p +1

Mặt khác ta cũng có thể phân tích G1 G2 ( p ) thành các phân số riêng nh sau:

1
1
G1 G2 ( p ) = (1 e p )

p p +1
hay

z
0, 63
z
G1 G2 ( z ) = 1 z 1

=
1
z 1 z e z 0,37

(

)

Khi đầu vào là hàm bớc nhảy đơn vị ta có

u( z) =

z
z 1

và

y ( z) =

0,63z
( z 1)( z 0,37 )
21

y ( z)
z

0, 63
( z 1)( z 0,37 )

=

Mặt khác y ( z ) / z có thể đợc khai triển thành các phân số riêng nh sau

y ( z)

=

A
B
+
z 1 z 0,37

=

1
1

z 1 z 0,37

y ( z) =

z
z

z 1 z 0,37

z
ở đây A = 1 và B = 1 nên

y ( z)
z

Sử dụng biến đổi z ngợc ta tìm đợc đáp ứng đầu ra của hệ thống nh sau:

y ( nT ) = 1 ( 0,37 )

n

y ( nT ) = 1 ( 0,37 )

n

hay

y ( t ) = 0, 63 ( t 1) + 0,86 ( t 2 ) + 0, 95 ( t 3 ) + 0, 98 ( t 4 ) + ...
Đáp ứng thời gian trong trờng hợp này đợc trình bày nh trên hình 1.16.

y (t )
0,86 0, 95 0, 98
0, 63

0

T

2T

3T

4T

t

Hình 1.16. Đáp ứng thời gian đầu vào bớc nhảy của ví dụ 1.11
Khi đầu vào làm hàm dốc (ramp) ta có

u ( z) =

Tz

( z 1)

2

Khi chu kỳ lấy mẫu T = 1s ta có
22


y ( z) =

0, 63z

2

( z 1) ( z 0,37 )

=

0, 63z
z 2, 37 z 2 + 1, 74 z 0,37
3

Sử dụng phơng pháp chuỗi lũy thừa ta có thể biểu diễn y ( z ) dới dạng nh sau

y ( z ) = 0, 63z 2 + 1,5z 3 + 2, 45z 4 + 3, 43z 5 + ...
Do đó đáp ứng đầu ra sẽ là

y ( t ) = 0, 63 ( t 2 ) + 1,5 ( t 3 ) + 2, 45 ( t 4 ) + 3, 43 ( t 5 ) + ...
1.4.3 Các hệ thống vòng kín
Trong phần này chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ về thao tác các sơ đồ khối hệ vòng
kín (hệ có phản hồi).
Ví dụ 1.12:
Hình 1.17 trình bày sơ đồ khối của một hệ thống vòng kín. Xác định hàm truyền của hệ
thống.

r ( p)

e( p)

e* ( p )

G ( p)

y ( p)

H ( p)
Hình 1.17. Hệ thống dữ liệu lấy mẫu của ví dụ 1.12
Đối với hệ thống hình 1.17 ta có thể viết

e( p) = r ( p) H ( p) y ( p)
và

y ( p ) = e* ( p ) G ( p )
Thay y ( p ) vào phơng trình e ( p ) ta có

e ( p ) = r ( p ) H ( p ) G ( p ) e* ( p )
hoặc

e* ( p ) = r * ( p ) GH * ( p ) e* ( p )
Từ phơng trình trên ta suy ra e* ( p ) nh sau

23