Thiết giải lặp cho phương trình sóng phi tuyến có hệ số chứa tích phân với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (473.34 KB, 60 trang )
T5S —
Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ộ SP -T
Bộ GIÁO
DỤCTP.
VÀHÒ
ĐÀO
TẠO
laiâsasl TRƯỜNG ĐẠI HỌC
sư PHẠM
CHÍ
MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM TP. HÒ CHÍ MINH
Nguyễn Thị Ngọc Hiền
Nguyễn Thị Ngọc Hiền
THUẬT GIẢI LẶP CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI
TUYẾN CÓ HỆ SỐ CHỨA TÍCH PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN
THUẦN
NHẤT
THUẬT GIẢIBIÊN
LẶPHỖN
CHOHỢP
PHƯƠNG
TRÌNH
SÓNG PHI
TUYẾN CÓ HỆ SỐ CHỨA TÍCH PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN
BIÊN HỎN HỢP THUẦN NHẤT
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60. 46. 01
LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh - 2008
Thành phố Hồ Chí Minh - 2008
Học viên cao học: Nguyễn Thị Ngọc Hiền
Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận văn Trường Đại học Sư
phạm TP. Hồ Chí Minh, vào lúc ... giờ... ngày... tháng ... năm 2008.
Thành phố HÒ Chí Minh - 2008
1
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi trân trọng kính gửi tới Thầy hướng dẫn, TS. Nguyễn
Thành Long, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Người Thầy đã rất ân
cần và tận tình hướng dẫn, giúp cho tôi nắm được từng bước nghiên cứu và
giải đáp những thắc mắc khi tôi gặp phải. Sự dam mê nghiên cứu khoa học và
sự tận tình hướng dẫn của Thầy đã giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Xin trân trọng cảm ơn Thầy Lê Hoàn Hóa và Cô Lê Thị Phương Ngọc
đã dành thời gian, công sức để đọc và cho những nhận xét quý báu đối với
luận văn của tôi.
Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô trong và ngoài khoa Toán - Tin
học trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã tận tình truyền đạt kiến
thức và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường.
Chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin học, quý Thầy Cô
Nguyễn Thị Ngọc Hiền
2
MỤC LỤC
Lời cảm ơn..........................................................................................................1
Mục lục................................................................................................................2
MỞ ĐẦU.............................................................................................................3
Chương 1: MỘT SỐ CỒNG cụ CHUẨN BỊ...................................................7
1.1. Các không gian hàm thông dụng........................................................7
1.2. Không gian hàm ư(
1.5. Bổ đề về tính compact của Lions.........................................................11
1.6. Một kết quả về lý thuyết phổ...............................................................12
1.7. Một số kết quả khác.............................................................................13
Chương 2: THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT...................................................14
2.1. Giói thiệu bài toán và các công cụ chuẩn bị......................................14
2.2. Thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm bỏi thuật giải lặp cấp
một..........................................................................................................16
Chương 3: THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI.....................................................37
3.1. Giói thiệu bài toán...............................................................................37
3.2. Thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm bỏi thuật giải lặp cấp
hai...........................................................................................................37
KẾT LUẬN.......................................................................................................60
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................62
3
MỞ ĐÀU
Các bài toán biên phi tuyến nói chung là đề tài đuợc quan tâm bởi
nhiều tác giả, chẳng hạn nhu trong [3 - 23] và các tài liệu tham khảo trong đó.
Loại bài toán nay chứa đựng nhiều mô hình toán học đặt ra trong các lĩnh vực
Kỹ thuật, Cơ học,.... và có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Đó là lý do tôi
chọn đề tài nay.
Trong nhiều truờng hợp, bài toán chỉ giải đuợc và dừng lại ở mức độ
tồn tại nghiệm và không chỉ ra cách thiết lập nghiệm nhu thế nào. Một cách
thông dụng nhất mà nhiều nhà nghiên cứu hay làm là phuơng pháp tuyến tính
hóa, hơi giống như phép xấp xỉ liên tiếp của nguyên lý ánh xạ co. Cách làm
nay vẫn bảo đảm hội tụ về mặt toán học, nhưng trong thực tế hệ số co tuy nhỏ
hơn 1 và khá gần 1, thì phép lặp nay sẽ hội tụ chậm và đòi hỏi số bước lặp
phải khá lớn, thậm chí rất lớn. Phương pháp lặp kiểu nay người ta còn gọi là
phép lặp cấp 1 hay lặp đơn. Cải tiến phương pháp nầy, người ta thường tìm
kiếm thuật giải có tốc độ hội tụ nhanh hơn, chẳng hạn như thuật giải lặp cấp
hai [17] hoặc cao hơn nữa [22]. Ví dụ như một thuật giải xác định một dãy lặp
{u m} gọi là thuật giải cấp hai nếu ta có được đánh giá sai lệch của số hạng u m
với nghiệm chính xác u theo bất đẳng thức dưới đây (với một chuẩn thích
hợp INI)
u
u
„ - s(lk(0||2 )«„ + /(«,«,) = F[x,),
tt ~[b ữ + ỔỊ||VI/||2ỊỊẢM = f(x,t,u,u x ,u l ),xe(0,\),te(0,T),
(0.9)
4
\\u m - u\\ < C x a m = Vm etG
N,(0,r), xe (0,1),
(0.3)
trong đó 0 < a < 1,uC
hằng =
số u(ì,t)
độc lập
x là các
- u(0,t)
= với
0, m.
x (0,t)
u(x, 0) = ủ ữ (x), u t (x, 0) = ủ x (x),
So sánh vói hai đánh giá sai số (0.2) và (0.3), ta thấy (0.2) có tốc độ hội
tụ nhanh hơn (0.3), bởi vì
trong đó ủ Q , ũ x ,f, F, B là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ
/?(2)
1 -2míln(l/ p) -ỉ a\
2
(0.5)
—777 =-7— e ^
"'
—>0, khi m —> 00
(0.4)
€cc,
ra sau. Trong phương trình (0.5), số hạng phi tuyến FỊX,Í,Ỉ/,||WX(Í)||2
B Ị||wx (í)||2 j, là hàm có phụ thuộc vào một tích phân
\\u x (t)f =\u 2 x (x,t)dx.
u(0,t) = u(ì,t) = 0,
0
(0.8)
(0.10)
u(x,0) = ũ 0 (x), u l (x,0) = ũ x (x).
(0.11)
Trong [13], Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định và Trần
Ngọc Diễm đã nghiên cứu bài toán
5
Trong [14], Nguyễn Thành Long và Bùi Tiến Dũng đã nghiên cứu sự
tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán
u tt -5(|VW||2)AW = f(x,t,u,u x ,u t ,ịVuf), xe (0,1), te (0,T),
(0.12)
ư x (0,t)-/i 0 u(0,t) = u(l,t) = 0,
(0.13)
ư(x,0) = ũ 0 (x), u t (x,0) = ũ 1 (x),
(0.14)
trong đó B, /, ũ 0 , ũ x là các hàm cho truớc và h 0 > 0 cho truớc.
Trong [10, 12], tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của
phương trình
u tl +ÀA 2 u-BiịVuị^Au + sịu^ ' u t = F(x,t), xe £2, t> 0,
(0.15)
trong đó Ả > 0, £ > 0, 0 < a < 1 là các hằng số cho trước và Q là tập mở và
bị chặn của M".
6
trong đó b 0 >0, p>\, d 0 , d 0 , d v d } >0 là các hằng số cho trước. Chúng tôi
liên kết phưong trình (0.1) với một dãy quy nạp phi tuyến {u m } xác định bởi
- B (ll'V K 0)f )yr- =
(«„-1) - /(“„-1 )K - ).
F x
( ’0 - /
u m thỏa (0.6), (0.7). Khi đó, luận văn chứng tỏ dãy lặp {u m } sẽ hội tụ
bậc hai về nghiệm yếu của bài toán (0.5) - (0.7). Trong chứng minh tồn tại
nghiệm địa phương, định lý điểm bất động Banach được sử dụng.
Luận văn sẽ được trình bày theo các chương mục sau.
Phần mở đầu tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua
các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn.
7
8
Chương 1: MỘT SỔ CÔNG cụ CHUẨN BỊ
1.1.
Các không gian hàm thông dụng
H x ^ L 2 =(L 2 y
(1.7)
với các phép nhúng liên tục và nằm trù mật.
Ta đặt các ký hiệu £2 = (0,1), gr=£2x(0,r), ĩ>0 và cũng bỏ qua
Chú thích 1.1. Từ bổ đề 2, ta dùng ký hiệu tích vô hướng (v) trong j}
định nghĩa các không gian hàm thông dụng: cm(£2),
ư(0,T;X),
1<
p<°°
là
không
gian
các
lớp
tương
đương
chứa
định
không
gian Sobolev cấp 1
u: (0,T)Ta—>
X nghĩa
đo được
sao cho
T l
H ={veL 2 :v eL 2 }.
ị\u(t)Ỵxdt
Không gian này cũng là không gian Hilbert với tích vô hướng
(u,v)H,=(u,v) + (ux,vx).
hàm
(1.3)
(1.4)
Kí hiệu I • II , để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.4), nghĩa là
ll“L' =V(U>“)H' =(HMHf)
(15)
Liên hệ giữa hai không gian Hx và c°(£2) ta có các bổ đề sau:
Bổ đề 1.1. Phép nhúng Hỉc—> c°(£2) là compact và
llvllc*(õ,ắ^llvL’Vveií'-
d-6)
9
BỔ đề 1.4. (Lions [7]) Gọi X' là đối ngẫu của X. Khi đó, với
p' = p , 1 < / ? < O O thì ư (0,T;X') là đối ngẫu của Lp(0,T;X). Hom nữa,
p-\
nếu X là không gian phản xạ thì ư(0 ,T;X) cũng phản xạ M
Bổ đề 1.5. (Lions [8])
= L°°(0,T;X'). Hon nữa, các không
X), ư (0, T; X') không phản xạ. ■
Chú thích 1.2. NếuX = Z/(Q) thì ư(OJ-,X) = ư(£lx{<ò,T)).
1.3.
Phân bố có giá trị trong không gian Banach.
Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian Banach thực. Một ánh xạ tuyến
tính liên tục từ Z)((0,r)) vào X gọi là một phân bố có giá trị trong X, ký
hiệu là
ư(0,T;X) = L(D(0,T);X)
= {u :D(0,T) —: u là tuyến tính liên tục}.
Chú thích 1.3. Ta ký hiệu D(0,T) thay cho D((0,ĩ)) hoặc CJ°((0,r))
= inf|M >0:||W(7)||X
(1.9)
10
Ta có thể nghiệm lại rằng T G D\0, T; X). Thật vậy:
r
—> 0,
(1.10)
J|V(0A(0L^
Vậy Tve ư(0,T;X).
m + oo.
b) Ánh xạ VI—>TV là một đơn ánh, tuyến tính từ ư(0,T;X) vào
1.4.
Đạo hàm trong ư(0,T;X).
Do bổ đề 7, phần tử ue U(0,T;X) và do đó — là phần tử của
dt
11
1.5.
Bổ đề về tính compact của Lions.
Cho không gian Banach B0,B,BỈ với B0C—>BC—> Bx với các phép
nhúng liên tục sao cho:
trong đó 0 < T < oo, 1 < p < oo? i = 0,1.
Trang bị trên W(0,T) một chuẩn như sau
II v||...=||v|| „ +||v'||
II 11^(0, T) II \\ư°(0,T;B o ) II llL/,|(0,r;f1)
gm g trong ư (Q) yếu.
.
(1.14)
v
J
12
1.6.
Một kết quả về lý thuyết phổ.
Cho a: V X V —> M là một dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục trên
V X V và cưỡng bức trên V.
Chính xác hơn, ta gọi a là một dạng song tuyến tính
(j) Nếu u\-^a(u,v) tuyến tính từ V vào M với mọi ve V và
VI—> a(u,v) tuyến tính từ V vào R với mọi ueV.
0<Ẳ J
đối với tích vô hướng ứ(v).
j - ^oo J
(1.17)
13
1.7.
Một số kết quả khác.
Bất đắng thức Gronwall. Giả sử /: [0,r] —» R là hàm khả tích,
không
âm trên [0,71 và thỏa mãn bất đẳng thức
m
trong đó Cj, C2 là các hằng số không âm. Khi
đó
m<qe c >‘, Víe[0,r].
Kỷ hiệu u(t), u l (t) = ủ(t), u lt (t) = ũ(t), uXt) = Vu(t), u_(t) = Au(t)
thay cho u(x,t), (du/dt)(x,t), (d 2 u/dt 2 )(x,t), (du/dx)(x,t), (d 2 u/dx 2 )(x,t)
lần lượt tuơng úng.
14
Chương 2: THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT
2.1.
Giới thiệu bài toán và các công cụ chuẩn bị.
Trong chưong nay, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và ban đầu sau
u x (0,t)-u(0,t) = u(ì,t) = 0,
(2.2)
w(x,0) = ủ 0 (x), u t (x,0) = ủ ỉ (x),
(2.3)
trong đó
ÍFe C'([0,l]xM xRxR ),
ị
,_2
(2.4)
Ự(u,ut) = K\u\q u + Ẳ\ut\P u t , q > 2, p > 2, K > 0, Ằ > 0.
trong đó ũ ữ, ũ x , B là các hàm cho truớc. Trong chuông này ta sẽ thiết lập
Khi đó V là một không gian con đóng của H x và do đó V cũng là
15
V „„ < V
I llc°(ữ) II
Vve V.
(2.6)
Chứng minh bổ đề 2.1 khá dễ dàng mà chứng minh của nó có thể tìm
thấy trong nhiều tài liệu liên quan đến lý thuyết về không gian Sobolev, chẳng
hạn [1, 2].
Trên chúng ta sử dụng một dạng song tuyến tính trên V X V
a{u,v) = ịu (x)v (x)dx + u(0)v(0), U , V E V.
(2.7)
0
Bổ đề 2.2. Dạng song tuyến tính đắi xứng ứ(v) được định nghĩa trong
V V.
V ị-> ||v||K = yja(v,v) = Ị^J|v^(x)|2 dx + v2(0) j
là tuơng đương.
(2.9)
u
tt- B ÌẶ u x t) u xx = G { x d,u,u n \u x fỴ (x,t)e (0,l)x(0,r),
(2.11)
16
Hon nữa, dãy ịWj /y[ÃjỊ cũng là một cơ sở trực chuẩn Hiỉbert của
V
đối với tích vô hướng ứ(v).
trong đó
Mặt
khác,
ta 2cũng có Wj thỏa
mãn bài
2
? 2 toán biên
G(x,t,u,u
u — Ẳ\ut\P 2 dưỏi
ut,
t,\\u || ) = F(x,í,w,|w || ) —Â’|w|
^2
^
đây
-Aw. =Ầ.W. trong £2,
(2.10)
q > 2, p > 2, K > 0, Ằ > 0.
Ta thành
các bổ
giảđề
thiết
đây
Chứnglập
minh
nàydưới
được
suy từ bổ đề 1.10, với H = IĨ, và V,
2
(#,) ũ 0 eVnH
, ũ,eV;
a(v)
được xác định bởi (2.5) và (2.7).
),B(z)>b 0 > 0;
2.2.
Thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm bỏi thuật giải
lặp
cấp
một.
Fe c1 ([0,l]xM+ xMxR+) với F(l, t, u, z) = 0 Vt, z > 0, Vue R.
Ta viết phương trình (2.1) dưới dạng
Với B và F thỏa các giả thiết (H 2) và (H 3 ) tương ứng, ta xây dựng
các hằng số sau đối với mỗi M > 0, T > 0. Đặt
K 0 = K 0 (M,T,F) = sup|FCM,K,z)|,
(2.13)
(2.14)
u
m-\ e W X (M,T).
(2.19)
17
18
ở đây, trongĐặtmỗi trường hợp, sup được lấy trên miền 0<%<1, 0
K 0 = K 0 (M,B) = sup B(z),
0
(2.15)
KI=KÍ(M,B') = K0(M,\B])= sup \B'(z)\.
2
0
2
V
2
7
(2.16)
’
W X (M,T)={ V < E W(WJ\ v tt er(0,T;L 2 )}.
(2.18)
Hệ phương trình (2.24) được viết lại như sau
(2.28)
ở đây
\cĩỉ{t) + X J b m {t)cỵ(t) = {G m {t\w l ),
(iii) Sau đó tìm um e W X (M,T) thỏa bài toán biến phân tuyến tính
(ii m (tịv) + b m ự)a(u m (t),v) = (G m ựịv}, Vve
(2.20)
Ta mô tả thuật giải cấp một cho bài toán (2.2), (2.3), (2.11) như sau
“»(°) = “o» úm(0)=ũ„
(2.21)
(i)
Chọn số hạng đầu tiên u ữ =ủ ữ .
è„(í)=s(iv«„.1(0ir),
■ ơm(x,í) = í'(x,í,íí„.1(0,|VM„.1(í)||2)
(ii)
(2.22)
Giả sử rằng
- K K,-1 «r “«-1 (0 - 1“»-] (»r “»-1 (0-
Khi đó, ta có
Định lý 2.4. Giả sử (//,) - (//3) được thỏa. Khi đó tồn tại các hằng
19
Chứng minh bổ đề 2.5. Bỏ qua chỉ số m, k trong các cách viết và ta
viết Cjự), ữj, fij, u(t) = Ỵ j c j {t)w j làn lượt thay cho c^ự), a%\ p%\
j=1
^(t)=ỵ4\t)wr
7=1
tr
(Vc)jự) = -ẰjIdrịbm(í) Cj{s)ds,
0 0
Ỵj(0 = ạ, + tPj + ịdrị (G( 1 <
00
(2.31)
Ta chỉ cần chứng minh tồn tại một số tự nhiên PQ sao cho toán tử
U Po : X = c° ([0, T]; ) —> X là co, tức là tồn tại hằng số p e [0,1) sao cho
cíi’ <0=<+/O+M(
)*
u p °c - ư Po dị
0 0
u p c(t)-u p d(t)ị<
c^ự) trong khoảng 0
(2 p)\
X
(2.29)
(2.34)
20
• Với p = 1, ta có
Iưc(t) - ưd(í)^ < Ả k k ữ ịdrị|c(j)- 4- rd(s)^
ds
-
(2.35)
Vậy (2.34) đúng.2/7+2
với p = l.
u p *'c(t)-u p +'d(t)[
-4,
(2/7 + 2)!
/ r[J\K ữ SỸ
(VT^õ^y
-4,-
(2.37)
= 0, nên tồn tại một số tự nhiên p ữ sao
21
(%/wj
0<
X
<
(2.38)
<1.
(2p„
)!
ụĩẸr)
(2/>,)
|c —í/|L, Vc,deX.
!
Do đó
(2.39)
Vậy toán tử ư Po : V —> X là co, và do đó toán tử nầy có điểm bất động
duy nhất. Điểm bất động nay chính là nghiệm của hệ phương trình (2.29).
C(0=^f«+írit,(0+ÍKi,w|
0
-C(0 = ||ủii,(0||2
Y*\t)=a(ủf{t),
+b m (t)a{u«\t),u«\tj),
,
2
«i>))+M0|K (0|| .
(2.40)
ở đây
iẨx(í)(í)=2 —
2 dt "
2
= {GM
Lấy tích phân (2.43) theo t, ta được
ủ«\t)) + \b' m {t)
(2.43)
22
x«(0 = x«(0 ) +
V) V
2
j(ơ. (í), «í
(2.44)
0
+
u^\s))ds.
Thay >v = —-Àw. trong (2.24), sau đó đơn giản Ăj ta được
1
= Vi£>(U)Aw,(l) -
(2.47)
(0,0Aw.(0)
-1V u{^) ( x , t)VAwị (x)dx
0
-1 Vw^} (x, t)VAWj (x)dx
0
= A.V^)(l)wy(l)-ỉ/if)(0)Awy(0)
a
(“it)(0» _Awj}=(A“lí>(0, Awy).
Vậy
(2.48)
23
{ G m(f),~
Aw
1
j) = -J GJx,t)&w j (x)dx
0
= -GJự)Vwi(\) + GJ0,t)wM
’
j
m\
’
y
Vì Vw (0) = w (0) nên
1
+(x)dx
7
v
y
j
0
(2.49)
Ta viết lại (2.49) như sau
a(ũ^\t\wj) + bm(t)(àu^\t),\w^ = a(Gm(t),wJ),(2.50)
trong (2.50) thay Wj bởi ủ^\t) ta được
a{ủ«Xt),
ủ«Xi)) + (*),
bm{iA «1^(0
= ứ(Gm(0,»l‘,(0)+Vl,(0 AMí>(02
(2.52)
Tích phân theo t ta được
í,(0 = ỉrii,(0) + 2ja(ơm(í),úii,(í))* + j*:(í)||AU«(í)||2&. (2.53)
5i‘>(0=5i‘>(0)+/*:(*)
a{u«Xs),u«Xs))+ AM,'*’(í)
0
+ 2j(ơ„ (i), «i‘ ’ (s)) ás + 2j ữ(G„ (í), ủ^\s))ds
0 0
+/!«?’(*)
0
24
=si‘>(0)+/,+/2+/3+/4.
(2.54)
Ta tiến hành đánh giá các tích phân trong (2.54).
Tích phân thứ nhất. Ta có:
\b'M=2|S'(IIV“.-.(0||2)(V“~-.W>
/J =
=2|5'(|V«„_I(0|2)||VU._,(0||||VÚ„,(0||
<2K,M\
(2.55)
<^\s:\s)ds.
Tích phân thứ hai. Ta có:
(2.56)
G m (x,t) = F ụ, t,(0,|| V i ( f )f)
- K K-, (0T “-I (0 - ^k-1 (0T “-1 (0.
|G.(JC,Í)|
Suy ra
) +^k-.wr+'ik-,(or1-
25
ắ
i)
/J = 2/(ơ.co.ã^co)* 2||G„(í)|||«i (5)|*
00
<2'Jrf f '(M,T)Ịyls0
(2.58)
Tích phân thứ ba. Ta có:
/3=2
ị a {G m (s),ú ( J;\s))ds < 2j||G„(í)||r||«i*)
(j)
f ơ„ = AFk_1]+AFk.,]vMm.1
.
(2.59)
p- 2
Mặt khác
A^[«.-,] = A^(Jc.<»“«-,(0.||V«„.,(í)ir)» ỉ' = l, 2,3,4.
(2.60)
2
+ K{q-r Vum_, + Ã(p - 1)|«„_, V
trong đó
(2.61)
Từ đó
(2.62)
|C^)|C=4ơ>),G>)H|VG>)f+G2(0,s)
< [Ả:, (1
1)MH ]2
(2.63)
+M) + K(q- + -
