Công thức quy net và một vài ứng dụng

Igas Bộ GIÁO DỤC VÀ
3 ĐÀO TẠO
121—] TRƯỜNG ĐẠI HỘC sư PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LỜI CẢM ƠN
Lâm Hữu Phước

Tri thức là vốn quý nhất của loài người. Càng lên cao, vai trò và công
sức của những người thầy càng quan trọng.
CÔNG THỨC QUY NET
, VÀ
Luận văn này được hoàn tất là nhờ sự tổng hợp khá nhiều kiến thức
MỘT VÀI ỨNG DỤNG
từ các môn trong suốt các khóa học, mà trong đó, cũng nhờ quý thầy
đã tận tình hướng dẫn em nắm bắt được. Nhân đây em xin gửi lời cảm
ơn đến quý thầy đã giảng dạy em trong các khóa học.

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
Đặc biệt, sự hướng dẫn tận tình của thầy hướng dẫn luận văn đã giúp

Xin chân thành cảm ơn.

Thành phố Hồ Chí Minh - 2008


4

MỤC LỤC

trang
Trang phụ bìa......................................................................................... 2

Lời cảm ơn .................................................................................................. 3
Mục lục........................................................................................................ 4
Mỏ đầu ........................................................................................................ 6
Chương 1- KIẾN THỨC CHUAN BỊ

8

1.1.......................................................................................................... Phức
và đồng điều.......................................................................................... 8

1.2.

1.3.

1.1.1.

Các định nghĩa...................................................................... 8

1.1.2.

Một số mệnh đề thường dùng............................................... 9

1.1.3.

Phép giải............................................................................. 10

Phức

kì dị và đồng điều kì dị....................................................... 11

1.2.1.

Các định nghĩa.................................................................... 11

1.2.2.

Một số mệnh đề.................................................................. 12

Tích tenxơ giữa các môđun........................................................ 13
1.3.1.

Định nghĩa.......................................................................... 13


5
1.4.2.

Tích xoắn các nhóm aben................................................... 17

Chương 2- TÍCH TENXƠ GIỮA CÁC PHỨC VÀ ĐỊNH LÝ
EILENBERG - ZILBER
2.1.

19

Tích tenxơ giữa các phức................................................................ 19
2.1.1.

Định nghĩa.......................................................................... 19

2.1.2.

Một số mệnh đề.................................................................. 22

2.1.3.

Áp dụng tích tenxơ giữa các phức để tính các tích
xoắn...................................................................................... 26

2.2.

Định lý Eilenberg - Zilber............................................................... 29
2.2.1.

Các model acyclic.............................................................. 29

2.2.2.

Định lý Eilenberg - Zilber.................................................. 36

Chương 3- CÔNG THỨC QUY NET VÀ MỘT VÀI ỨNG
DỤNG
3.1.

3.2.

38

Công thức Qny net.......................................................................... 38
3.1.1.

Một vài mệnh đề bổ trợ...................................................... 39

3.1.2.

Công thức Quy net ............................................................ 47

3.1.3.

Trường hợp đặc biệt đối với nhóm aben............................ 51

Một vài ứng dụng của công thức Quy net.................................. 55
3.2.1.

Định lý hệ tử phổ dụng....................................................... 55

3.2.2.

Luật kết hợp của hàm tử Tor .............................................. 56

3.2.2.

Tính đồng điều kì dị của không gian tích . . . .

62

KẾT LUẬN................................................................................................ 67
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 68

6

MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài

Như ta đã biết, Đại số Đồng Điều là một phần của Tôpô Đại số,
chuyên ngành xuất hiện từ việc đưa các cấu trúc đại số vào để tìm hiểu
sâu sắc hơn về các không gian tôpô. Trong đó, các tri thức về phức kì dị
đóng vai trò khá quan trọng.

Việc tính các đồng điều kì dị có những ứng dụng cụ the trong Tôpô
Đại Số, chẳng hạn việc xác định tính đúng sai của sự đồng phôi hoặc
đồng luân giữa các không gian Tôpô hay làm rõ một kết quả nào đó,...

Xuất phát từ tính chất tương đương đồng luân giữa tích tenxơ của
hai phức kì dị của hai không gian tôpô và phức kì dị của không gian
tôpô tích (định lý Eilengberg - Zilber), ta có được sự đẳng cấu đồng


7

Mục đích

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu trên phạm trù các phức, tích tenxơ các phức, các phức kì
dị và những vấn đề có liên quan.

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Phức và đồng điều
1.1.1.

Các định nghĩa

• Cho R là vành tùy ý, một phức dây chuyền K các R môđun là họ
{Kn, dn} gồm các R—mô đun Kn và các R—đồng cấu dn : Kn —>
Kn_ 1 được cho theo tất cả các số nguyên n, — oo < n < oo, hơn
nữa dn o dn+i = 0. Điều kiện sau cùng này tương đương với đòi hỏi
Kerớn D Imôn+1. Như vậy, phức K là một dãy vô tận về hai đầu:
K

--------

trong đó, tích hai đồng cấu hên tiếp bằng 0.

• Chu trình n chiều của phức K là phần tử của môđun con Cn(K) =


9

• Nếu K và K' là các phức thì một biến đổi dây chuyền / : K —*■ K'
là họ các đồng cấu môđun {/n : Kn —*■ K'n, n e Z } sao cho &nfn =
ỉn- A với mọi n.
f* = H n ( f ) :

H n ( K ) — Hn{K')

c + ỜKn+1 ^ f (c) + dK'n+1
được cảm sinh từ / là một đồng cấu.

• Đồng luân dây chuyền s giữa hai biến đổi dây chuyền /, g : K —*■ K'
là họ các đồng cấu môđun {sn : Kn —y K'n+lì n G z}, hơn nữa

^n+l^n T sn—ịdn fn gn
Khi đó, ta viết s : / ~ g.

• Ta nói rằng biến đổi dây chuyền / : K —> K' là tương đương dây
chuyền nếu tồn tại một biến đổi dây chuyền h : K' —> K và các
đồng luân s : hf ~ 1K: t : fh ~ 1^/.

Hn(f) = Hn(g) :

VneZ


10
thì f ~ g .
Hệ quả 1.2. Cho K, K' là các phức trong phạm trù các nhóm aben,
cấc Kn là các nhóm aben tự do và dn = 0 : Kn —► Kn-\. Khi đó, nếu có
f : K —> K' là biến đổi dây chuyền sao cho H n ( f ) là đẳng cấu với mọi
n E z thì hai phức K và K' là tương đương đồng luân.
Mệnh đề 1.2. Nếu s : / ~ g : K —> K' và sf: f ~ g' : K' —► K" là các
đồng luân dây chuyền thì ánh xạ sau đây cũng là đồng luân dây chuyền:
fs + s'g : /7 ~ g ' g : K —> K".

Định lý 1.2 (dãy đồng điều khớp). Đối với mỗi d ẫ y khớp ngắn các phức
E:0 — — - 0
(ỵ, ơ là các biến đổi dây chuyền, và dẫy khớp theo nghĩa khớp tại mọi
n), dẫy dài các nhóm đồng điều sau là khớp:
■ ■ ■ Hn+1(M)ĩm. H n ( K ) - ĩ u

trong đó, En : H n ( M )

Hn(L)- ĩ v
Hn(M)
H^(K)

— > H n _ i ( K ) gọi là đồng cấu nối và được xấc định

như sau:

1.1.3. Phép giải

Định nghĩa 1.1. Một phép giải của môđun c là dãy khớp dạng:


11

(X,e)

với

các

nhóm

đồng

điều

Hn(X)

=

0

khi

n

>

0

và

H 0 ( X ) — c. Phép giải là tự do nếu mọi Xn là tự do, và phép giải là xạ
ảnh nếu mọi Xn là xạ ảnh.
Mệnh đề 1.3 (Định lý so sánh). Nếu 7 : c —> c' là đồng cấu, £ : X —> c
là phức xạ ảnh trên c và s' : X' —► c' là phép giải của c', thế thì tồn
tại biến đổi dây chuyền f : X —> X', hơn thế £r o fo = 7 o £ và bất kỳ hai
biến đổi dây chuyền như thế là đồng luân.

1.2. Phức kì dị và đồng điều kì dị
0<<1

T,xi 1
*=0

e°, e1,..., eq là cơ sở chính tắc của Rq+1 thì ei £ Aq và gọi là đỉnh

X là không gian tôpô


12

• Phức kì dị sx, là phức dây chuyền các nhóm aben có hạng tử thứ
n là SnX và đồng cấu bờ được xác định như sau:

dn :

— 5n_iX

(7 I—>

Ệ(-1)%4

• HX = H ( S X ) được gọi là đồng điều kì dị (tuyệt đối) của không
gian tôpô X .

Nếu A là không gian con của X thì H ( X , A ) = H ( S ( X Ì A ) ) được
gọi là đồng điều tương đối của không gian tôpô X mod A.

• Cho X , Y là hai không gian tôpô. Nếu / : X —> Y là ánh xạ liên tục
thì S f : sx —> SY trở thành biến đổi dây chuyền, đôi khi không
sợ nhầm lẫn ta có thể viết / : sx —*■ S Y.

• Trường hợp p là một điểm, ánh xạ liên tục : X —> p cảm sinh


13
Mệnh đề 1.6. Cho sn là mặt cầu trong không gian Euclide,
sn = {x£ Rn+1, ||z|| = 1}
Khi đó, ta có:
0 nếu k Ỷ n
7L nếu k = n

1.3.1.
1.3. Tích Định
tenxơnghĩa
giữa các
môđun

• Tích tenxơ hai môđun: Cho XR và RY là các môđun phải và môđun
trái trên cùng một vành hệ tử R. Tích tenxơ của các môđun X và
Y là nhóm aben nào đó, kí hiệu X Y, sao cho có ánh xạ song
tuyến tính r : X X Y —> X Y mà đối với bất kỳ ánh xạ song
tuyến tính (f : X X Y —»■ G (với G là nhóm aben), luôn tồn tại duy
nhất đồng cấu / : X <S>R Y —ỳ G thỏa mãn = / o T (r được gọi là
ánh xạ tenxơ).

• Tích tenxơ của hai đồng cấu: Cho / : XR —> X'R là đồng cấu các
R—môđun phải, g : RỴ —> ỵỴ' là đồng cấu các R—môđun trái. Ta
định nghĩa tích tenxơ của hai đồng cấu / và g, kí hiệu: / 0 g là
đồng cấu nhóm aben từ X (g> X' vào Y 0 Y' sao cho ta có:

14

được xác định một cách tương tự. Các môđun dẹt phải, dẹt trái, để
1.3.2.Một vài tính chất
Mệnh đề 1.7. Cho zlũ ĩihoĩĩi abcn cap TTi vớỉ phan tu Sỉnh c. Khỉ
đó, với bất kỳ nhóm aben A ta luôn có:

trong đó, mA = {ma|a G A}.
Định lý 1.3. Cho họ { X ị } i E Ị là họ R—môđun phải và { Y j } j e j là họ các
R—môđun trái. Khi đó, ta có đẳng cấu:

Định lý 1.4. Cho X, Y, M là các môđun
= 0 trên vành giao hoán R. Khi
đó, chúng ta có các đẳng cấu:
X ® Y = Y ® X và {X (g> y) 0 M = X O (Y <8> M)
Định lý 1.5. Tổng trực tiếp một họ môđun A = ® A ị là môđun dẹt khi
iei
và chỉ khi mỗi môđun thành phần A ị là môđun dẹt.

Hệ quả 1.3. Mỗi môđun tự do là môđun dẹt.


15

1.4. Hàm tử Tor, mối liên hệ giữa Tor và tích tenxơ

1.4.1.

Định

nghĩa

1.2.

Cho

Tích xoắn các môđun

GR

là

R—môđun

phải

và

RC

là

R—môđun

trái,

ta xác định Tor^(ơ, c) là tập tất cả các bộ ba: t = (/i, L, v\ Trong đó,
L là phức các môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh độ dài n, ỊJL : L —» ơ, ỉ/ :
ư —*■ ơ là các biến đổi dây chuyền (xem ơ, c là phức tầm thuờng,

L* = Hom#(L, R ) ) .

Nếu L' là một phức khác, và p : L —> L' là biến đổi dây chuyền thì
ánh xạ liên hợp p* : L'* —> ư cũng là biến đổi dây chuyền. Đối với các
biến đổi ụ! : L' —» G và V : ư —>■ ơ, ta xem
(/x'p, v ) = OA

và

quan

hệ

bằng

nhau

trong

Tor^

là

quan

hệ

tuơng

đuơng

bé

toàn hệ thức trên.
(01,02) 1—> 91 + 92

(ci,c2) I—> C1+C2

nhất

bảo


16
2. Torn là song hàm tử hai lần hiệp biến từ phạm trù tích các R—môđun
phải và R—môđun trái đến phạm trù các nhóm aben.
Mệnh đề 1.9. Bộ ba (/i,L,zi) trong Torn cộng tính theo Ị1 và V, chẳng
hạn:
(/Xi + /12, L, ư) = (/11, L, ư) + (/12, L, ư)
Định lý 1.6. Tồn tại đẳng cấu tự nhiên G c — Tor0(ơ, C).

Đối với dãy khớp ngắn E = (x, ơ) : A------------*■ B —c và phần tử t =

E:

0--------A--------- B-----»c—-0

là phức độ dài 71 — 1, có được khi bỏ môđun Ln khỏi L và
đặt:

E { t i , L , v ) = (/i,n"jL,(^n_i)
Mệnh đề 1.10. Tích Et xác định như trên là hợp lý.

= E(/1,L,Ỉ/).


17
Định lý 1.8. Đối với mỗi phép giải e : X —» G của môđun GR và đối
với môđun RA, tồn tại đồng cấu:

Lú : Torn(ơ, Á) —* H n ( X ® A ) , n = 0 , 1 , . . .
tự nhiên theo A. Nếu X là phép giải xạ ảnh, thì UJ là đẳng cấu tự nhiên
theo G và A.

Ta cũng có một kết quả tương tự như sau:
Định lý 1.9. Giả sử TJ : Y —> A là phép giải xạ ảnh của môđun RA. Khi
đó, với môđun GR, ta có đẳng cấu:
Tor n ( G , A ) ^ H n ( G ® Y )
1.4.2. Tích xoắn các nhóm aben

Các nhóm aben được xem là Z—môđun, do đó, nó cũng có định nghĩa
về hàm tử Tor tương tự như môđưn. Tuy nhiên, ở đây, phức L có thể
chọn là phức (Z) (các hạng tử đều là Z). Ta có bổ đề sau:
Bổ đề 1.1. Cho G là nhóm aben và f : A —)• B là đơn cấu nhóm aben.
Khi đó,

/* : Tori(ơ,i4) —► Tori (

18

□

Như vậy, khi kết hợp với định lý 1.7 ở trên, ta được:
Định lý 1.10. Nếu E = (x, ơ ) : A------------B —c là dãy khớp các nhóm
aben thì với mỗi nhóm aben G, ta có dãy khớp:
0 —► Ton (G, A)

Ton (G, B) Ton (G, c )

Đối với các nhóm aben, hầu hết chỉ làm việc với Tori nên người ta kí
hiệu Tor thay cho Tori. Đặc biệt, đối với các nhóm aben G, Ả thì nhóm
aben Tor(ơ, Á) còn có một cách biểu diễn khác. Đó là nhóm aben có
các phần tử sinh là tất cả các bộ ba (g. m, a), trong đó, ra E z, gm = 0
trong G và ma = 0 trong A, thỏa các hệ thức cộng tính và trượt với các
nhân tử ra, n sau:
(gi + g2,m,a)

- (#1, ra, a) + (#2, m, a), gịm =0 = ma

(i =1,2)

(#,ra,ai + a2)

= {g, ra, ai) + {g, =ra, a2),0 gm == 0 = mai
n a ụ =1,2)


Chương 2

TÍCH TENXƠ GIỮA CÁC PHỨC

VÀ ĐỊNH LÝ EILENBERG ZILBER

2.1.2.1.1.
Tích tenxơ
giữa
Định nghĩa
các phức

—môđun trái

Ln— 1

l/n+1

Ta đi xây dựng tích tenxơ K <s> L

p=—oo
(K ® L)n = X 19
KP®Ln-p

(2.1)


20

E ( K <g> L)n thì X sẽ có dạng (rrp)p€(_00 +00), trong đó: X p

=

2 Ẫ;

(..., 0,

0 , . . . ) (tất cả các thành phần bằng 0 trừ một thành phần

nào đó có giá trị k ® /) ở dạng ỵ^k ® l .

Tiếp theo, ta xây dựng đồng cấu bờ cho phức K ứng

fnp • Kp ® ĩjn—p * (K 0 T)n_i

biến mỗi phần tử sinh k ® ỉ thành dKk (g> ỉ + (—1 )pk (g> d L ỉ . Khi đó, với
k ị , k 2 G K , ỉ e L , ta có:

f n p [(&1 + k 2 ) ® /]

= d K ( k ị + k 2 ) ® l + ( - l ) p ( k i + /c2) 0 d L ỉ

= (Ỡ**! + d K k 2 ) = dKki®l + dKk2®l+
( - l ) p k 1® d L l + ( - l ) p k 2® d L l


21

là đồng cấu tenxơ.

Do tính phổ dụng của tổng trực tiếp, ta có đồng cấu
d„:(K®
L ) n —* 1

sao cho biểu đồ sau giao hoán:
(K0 L)n

A
ỉp
K p 0 L n — p —>■ ( K 0 L)n_i
Jnp

là đồng cấu nhúng. Và từ đó, d n

được xác định qua phần tử sinh

như sau:

d n ( k ® l ) = d K k ® ỉ + (-1 ) ả e g k k <g> d L l

=

(2.2)

p nếu k E K p . Với cách xác định trên thì họ { d n } n thỏa mãn
là đồng cấu bờ của K 0 L .

• • • — (if (g) L)n_i

(ir®L)n^-(/sr®i)n+1


(f®g)d(k®l) =

(/ ® 0)(ỡ*fc ® ỉ + (-l)de«':fc ®
23
22

Trong
mệnh xác
đề định
trên, theo
đồng (2.1)
cấu thứ
L)n được
và

n trong
đồng
cấu biến
bờ đổi
đượcdâyxácchuyền
định

/ ® (2.2).
9 : (/ ® sOn thực chất là tổng trực tiếp các đồng cấu fp 0 gn_p với
theo
p G (—00, Too).

Nếu K và L là các phức dương thì K 0 L cũng vậy và tổng trực tiếp
Ta xét biểu đồ:
ở (2.1) là hữu hạn với p đi từ 0 tới n.

2.1.2.

Một số mệnh đề

Mệnh đề 2.1. Nếu f : KR —* K'R và g : RL —» RƯ là các biến đổi
dây chuyền, thì (/0 g)(k<s>l) = fk<s>gl xấc định một biến đổi dẫy chuyền
f 0 g : K <s> L —> K' 0 L'. Hơn nữa, ta có các tính chất sau:
(i) Nếu lx : KR —» KR và 1L RL —* RL lần lượt là cấc biến đổi dây
chuyền đồng nhất của cấc phức K và L thì 1K 0 1L = 1 K®L(ii)

Nếu KR—^K'R-^K'R và RL

RƯ —^ỵư là các biến đổi

dây chuyền, thì
(/'•/) ® {g'-g) = (/' ® g')-(f ® g)
(iii)

Nếu /i,/2 : KR —* K'R và g : RL —> RƯ là các biến đổi dây
chuyền, thì ta có

ỉ ® {91 + 92) = f ® g\ + f ® g2


24
Tương tự, / <s> ( g i + £2) = / 0 g i + / 0 02□

Từ mệnh đề 3.2, đặc biệt là hai tính chất (i) và (ii), ta dễ thấy
(K 0 _) và (_ 0 L ) là những hàm tử hiệp biến. Hơn nữa, (K 0 _ ) ( L ) =
K 0 L = ( _

f : K —> K', g :

L' thì

(/ 0

Từ

đó,

suy

ra

tích

tenxơ

0 9) = (/ 0 g ) = (1*7 ® ỡ)(/ ® U).

giữa

hai

phức

xác

định

một

song

hàm

tử

hai

lần hiệp biến từ tích 2 phạm trù phức các môđun vào phạm trù phức
các nhóm aben.
<7 đề
là 2.2.
biến Nếu
đổi s dây
K K'
0 và
T tvào
0 :L'L —> L' thì
Mệnh
: f i chuyền
~ /2 : Ktừ —>
: giK ~r g2
Tiếp
/1
® 91 ^ theo
/2 ® 92- ta

chứng

minh

các

tính

chất

Với k ® l E ( K ® L ) n bất kỳ, ta có:
( i ) (1K <s> 1L)(& ® ỉ ) = k ® ỉ = Ì K ® L { k Trước tiên
chứng
(ii)ta(/7
0 g 'minh
g ) { kbổ
® lđề
) sau:
= f ' f k = (/' 0 g ' ) ư k ® g l )
= ư' ® g')ư ® g)(k®1)
: /1 ~ /2 : K —► K\ t : gi ~ g2 : L —i► z/. Khi đó,
fi®\L~f2®lL\K®L^K'®L
(iii)

+ /2)
0] 92 '• K®®0L=^(/1K+®/2)^
I R ®[(/i
9\ —
Ì-K0 ®

L' 0 gl

Chứng minh bổ đề. Ta có


3

'

j=0

26
25

Nếu ta đặt d = ữ K f j L , & = QK'®LtỊ-11 ịa cỳ.
2.1.3.

Áp dụng tích tenxơ giữa các phức để tính các tích xoắn

d ( k ® l ) = d K k ® l + (-1 )de**ifc <g> aL/
Định nghĩa 2.2. Cho 2 phức dương

ỡ'(sfc ® /) = dK'sk® l + ®
k của X ®Y sinh
E N, ta định nghĩa: Fỵ0Y là một phức con
Từ đó, ta biến đổi tiếp như sau:
x 0 <8> n-— ( X o © Y ị ) © ( X i © Y 0 )
Xn-j © Yj
3=0
[(/1 ® 1L) — (/2 ® 1L)] (Ả; ® /) = dK'sh <g> l + (—I)dessfcsfc 0 dLl+

Từ đó, ta dễ thấy

k <g>
®/—
0 — Fỵ®Y c c FÌÍ®Y C s. .d. K
c X
y (—l)deg,sfcs/c 0
dLl
Mệnh đề 2.3. ơ/iỡ hai phức dương XR và Ị Ị Y. Khi đó phức thương
cấu bờ d trong Fỵ0Y- Ta dễ dàng thấy
rằng:
= ớ,(sfc<8)Z)+
• Phức đang xét có các hạng tử ở chiều m < k đều bằng 0.
Xét phức

)YỊ'pk-1 , ta có hạng tử ở chiều thứ n là

k

í/ + (-l)deg/cs/c®ỡL/
Xn-j ®Yj Ị'X _. 0 y\ và đồng cấu bờ là d* cảm sinh từ đồng

• X ® y

tị 1
A
x ® y + 22x n - j ® Y j=eỡ'(s
l ~ >0X1L)(&
n - i ® 0Yi/)+
/Ỵ'Xn-i®Yị

3=0
J J=0
/u3

khác không khi và chỉ khi X € Xn-ki y € Yỵ.
(s 0 1L)Ỡ(Ả: ® /)

3
(*)


j~°

' 3=0
j=0

' 3=0
27

Với mỗi chiều thứ 72, ta có tương ứng

là đồng cấu chiếu và từ (*), ta suy ra
k
Pn■
= {pn}n là biến đổi dây chuyền.

/Y

Xn~i®

Yi'^2 * ®

k/-


Pn-A 0 ® 2/) = Pn-1 ( p x x

dYy)

= Pn-1 (ỡA ® 2/) (do (*))

= dxx ® y

Vậy, ta có đẳng cấu cần chứng minh.

□

Định lý 2.1. A/eií £ \ X ^ G và ĩ] \ Y —> A là cấc phép giải xạ ảnh của
cấc R—môđun GR và RA. Khi đó, £®1 \ X ®Y —*■ G <S>Y cảm sinh một
đẳng cấu đồng điều H n [ X ® R Y ) — Hn(G <S>R Y) và do đó ta có đẳng


28

Theo mệnh đề (2.3) thì: Fk / pk-1 đẳng cấu với phức
K k - . X 0 ® Y k í Z ^ X 1 ® Y k ~ -------------------------------

Ỉ M k~1 đẳng cấu với phức chỉ c ố G ® Y k ồ chiều thứ k , các hạng

tử trong những chiều còn lại đều bằng 0.

Ta có dãy
0-—G-—x0---------------

xạ ảnh nên dãy
0-—G ® Y k ^ —X 0 ® Y k ^ --------

cũng là dãy khớp. Ta suy ra phức K k có H n ( K k ) = 0, n

>

kvầ

G ( £ 0 l ) f c : F k / p k - i —> M k ị j ^ k _ i

cảm sinh ra đẳng cấu đồng điều với mọi k .

Hk(Kk)

—


29

Từ biểu đồ ta có: H n ( F k )

—

H n ( M k ) . Thật vậy, với k < 0 và mọi n thì

H n ( F k ) = 0 và H n ( M k ) = 0, nên đương nhiên H n ( F k ) — H n ( M k ) .
Tiếp
theo, ta giả sử đẳng cấu trên luôn xảy ra với m < k và mọi n. Khi đó,
kết hợp với biểu đồ giao hoán trên, ta có bốn ánh xạ dọc hai bên là các
đẳng cấu. Áp dụng bổ đề về 5 đồng cấu, ta suy ra ánh xạ dọc ở giữa
cũng là đẳng cấu.

ơ chiều thứ n, mọi chu trình và biên của X < s > y đều xuất hiện trong
F n + 1 . Do đó, từ H n ( F k ) — H n ( M k ) } với k lớn (cụ thể là k > n + 1) sẽ
dẫn đến H n ( X <8> Y ) = H n ( G <8> Y ) . Từ đây, do H n ( G <g> Y ) = Torf
(ơ,

A)

(định lý 1.9) nên ta có điều phải chứng minh.

2.2.

□

Định lý Eilenberg — Zilber

Định lý Eilenberg - Zilber cho thấy mối quan hệ giữa tích tenxơ của
hai phức kỳ dị của hai không gian tôpô và phức kỳ dị của không gian
tôpô tích. Trước khi vào nghiên cứu định lý, ta tìm hiểu thêm về các
model acyclic.