NỘI SUY các hàm p ADIC

$ SP -r
BộBộ
GIÁO
DỤC
VÀ
ĐÀO
TẠO
GIÁO
DỤC
VÀ
ĐÀO
TẠO
T^HỔCHÍMIN»J
TRƯỜNG
ĐẠI
HỌC
PHẠM
TP.HÒ
CHÍ
MINH
TRƯỜNG
ĐẠI
HỌC
sư sư
PHẠM
TP.HỒ
CHÍ
MINH

Nguyễn Thanh Hà
Nguyễn Thanh Hà

NÔI SUY CÁC HÀM P-ADIC

NỘI SUY CÁC HÀM P-ADIC
Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số
Mã số

: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009


Trang

phụ

MỤC LỤC
bìa

Mục lục
MỞ ĐẦU.......................................................

.1

Chương 1: KIÉN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Chuẩn và chuẩn phi Archimede..........

.3

1.2. Xây dựng các tập số p-adic.................
1.2.1. Chuẩn p-adic.................................
1.2.2. Xây dựng trường ..........................

.5

1.2.3. Xây dựng vành .............................
1.2.4. Xây dựng trường ..........................

.5

1.3. Hàm chỉnh hình p-adic.......................
1.4. Xây dựng tương tự p-adic của hàm

.5

log ....

Chương 2: PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN p
2.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản về dãy nội suy p-adic...................
2.2. Một vài ví dụ về dãy nội suy p-adic.........................................................

.7

2.3. Nội suy p-adic hàm số mũ....................................................................... .8

2.4. Nội suy hàm gamma p-adic.....................................................................

Chương 3: PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM CHỈNH HÌNH TRÊN ĐĨA ĐƠN
VỊ
TRONG p
3.1. Độ cao của hàm chỉnh hình......................................................................

.9
16

3.1.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản................................................
3.1.2. Một số ví dụ minh họa........................................................................ 19
3.1.3. Công thức p-adic Poisson - Jensen.....................................................
3.2. Độ cao của dãy điểm và nội suy p-adic của hàm chỉnh hình trên đĩa

đơn vị....

25

3.2.1. Độ cao của dãy điểm..........................................................................
3.2.2. Nội suy p-adic của hàm chỉnh hình trên đĩa đơn vị............................ 26

KÉT LUẬN.........................................................................................................


1

MỞ ĐÀU
Ta biết rằng, một đa thức bậc n hoàn toàn có thể xác định được hay nói cách
khác là nội suy được khi biết giá trị của đa thức đó tại (n + 1) điểm phân biệt.

Từ
đây nảy sinh vấn đề tổng quát hóa bài toán nội suy một hàm trong đó yẽu cầu
đặt

ra

là làm thế nào có thể khôi phục lại hàm số khi biết giá trị của nó từ một dãy rời
rạc
các điểm?
Nội suy các hàm p-adic là một công cụ quan trọng trong giải tích p-adic để
xây
dựng các hàm p-adic và đặc biệt là xây dựng các tương tự p-adic của các
L_hàm

số

học. Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài: NỘI SUY CÁC HÀM P-ADIC để tìm hiểu
sâu
hon về cách nội suy các hàm p-adic và các ứng dụng của nó.
Luận văn đi sâu vào 2 nội dung chính: nội suy các hàm liên tục trên và nội
suy các hàm chỉnh hình p - adic trên đĩa đơn vị của , thể hiện trong 3 chương:
> Chương 1: trình bày những kiến thức cơ bản về giải tích p - adic gồm

chuẩn
p - adic, các tập số p - adic, hàm chỉnh hình p - adic và hàm log.
> Chương 2: trình bày khái niệm nội suy p - adic các hàm liên tục trên ptừ

đó đưa ra một số ví dụ cụ thể và cách xây dựng hàm số mũ và hàm gamma p - adic.
> Chương 3: trình bày khái niệm độ cao của hàm chỉnh hình, độ cao của

dãy
điểm, nội suy của hàm chỉnh hình p - adic trên đĩa đơn vị trong đó quan trọng
nhất


2

bô môn Đại số, khoa Toán - Tin đã giúp tôi trang bị những kiến thức cần thiết và
phòng sau đại học đã tạo điều kiện để tôi thực hiện bảo vệ luận văn này.
Do hạn chế về khả năng và thời gian thực hiện, luận văn chắc không tránh
khỏi
những thiếu sót nhất định. Người viết rất mong nhận được sự đóng góp của quý
thầy cô và những ai quan tâm đến vấn đề này.
TP.HCM, ngày 30 tháng 8 năm 2009


3

Chương 1: KIẾN THỨC cơ BẢN

1.1. Chuẩn và chuẩn phi

Archimede
Định nghĩa 1.1
Cho F là một trường. Chuẩn trên trường F là một ánh xạ, kí hiệu là I I: F
—»
sao cho với mọi x,y E F ta có:

i) \x\ > 0, |x| = 0 <=> X = 0
ii) M = HM

iii) \x + y\ < |x| + |y|

Ví dụ 1: Giá trị tuyệt đối thông thường là chuẩn trên các trường , ,

.

Ví dụ 2: Cho F là một trường bất kì. Ánh xạ I I: F —» được định nghĩa bởi:
. . Í1 khi X ^ 0
,
,
với moi X G F, \x = <
là chuân trên F, goi là chuân tâm thường.
[0 khi X - 0
Định nghĩa 1.2
Giả sử I I là một chuẩn trên trường F. Khi đó hàm d :FxF —»[0,+oo) xác
định
bởi d(x,y) = \x-y\ là một metric trên trường F gọi là metric cảm sinh bởi
chuẩn

Hai chuẩn I I và I I trên F gọi là tương đương nếu tôpô cảm sinh bởi hai
metric tương ứng là như nhau. Kí hiệu II I I .
(Các điều kiện tương đương của chuẩn)


4

iii) Tồn tại hằng số c > 0 sao cho |x|2 = l^lỊ7 với mọi X E F
iv) {x„} là dãy Cauchy đối với I I <$■ {x„} là dãy Cauchy đối với I I
v)

I I, I |2
Định nghĩa 1.4

Chuẩn I I trên trường F gọi là chuẩn phi Archimede trên F nếu ngoài 2 điều
kiện i và ii trong định nghĩa 1.1 nó thỏa thêm điều kiện:
iii’) \x + y\ Ví dụ: Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Archimede.
Mệnh đề 1.5 (Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Archimede)
Cho I I là chuẩn trẽn trường F. Các khẳng định sau là tương đương:
i) I I là chuẩn phi Archimede
ii) |2| < 1
iii) I n\ < 1 với mọi n E
iv) Tập bị chặn, nghĩa là tồn tại số c > 0 sao cho ịnị < c với mọi

nE
Mệnh đề 1.6 (Tính chất của chuẩn phi Archimede)
Cho I I là chuẩn phi Archimede trên trường F. Khi đó:
i) Nếu x,y E F, |x| *\y\ thì |x + y| = max||x|,|y|Ị.
ii) D(a,r) - {x E F: |x - aị < r), D(a,r) = (x E F: |x - a\ < r) vừa đóng

vừa mở.
iii) Giả sử {xwỊ là dãy Cauchy.

Nếu xn —» 0 thì lim \xn I = 0.
n —>00


5

1.2. Xây dựng các tập số p - adic

1.2.1. Chuẩn p -

adic
Định nghĩa 1.7
Với mỗi r = — G , m,ne , (m, n) = 1, ta đặt ord r = ord m - ord n.
/2
Mệnh đề 1.8
Trên truờng , ta xét ánh xạ I I đuợc xây dựng như sau:
V ị \ordpX
khi x^O
I I \P)
p
khỉ X = 0
Khi đó I I là chuẩn phi Archimede gọi là chuẩn p - adic.
Định lý 1.9 (Ostrowski)
Mọi chuẩn không tầm thường trên đều tưong đương với chuẩn giá trị tuyệt
đối thông thường hoặc tương đương với chuẩn p - adic với p là số nguyên tố
nào

1.2.2.

Xây dựng trường

> Gọi s là tập các dãy Cauchy trong
Trẽn s ta xây dựng quan hệ tương đương như sau:
{*„} =0
n —>oo

'P

Ta gọi là tập hợp tất cả các lóp tương đương theo quan hệ trên và trang bị
M+{y»} = {x,,+yn}


6

Khi đó ta có thể chứng minh ( p,+,-) là trường với đon vị ỊlỊ.
Ngoài ra, với ^ 0 tức là xnỵ4o, theo mệnh đề 1.6, tồn tại N sao cho với
mọi n > N: |xw| = \a\ * 0 . Khi đó, phần tử nghịch đảo của {xwỊ là {xwỊ
0 n< N
n>N
[XH

trong đó yn =

> Chuẩn trên được xác định như sau:

Với mỗi * = {*„} e \x\ =\im\xn\
r ' 'P n—>co1
1p
Ta có thể chứng minh được chuẩn I I trên p là chuẩn phi Archimede.
> Trường có thể xem là trường con của nhờ ánh xạ nhúng:

a I—> ỊưỊ
và I I trong p là mở rộng của chuẩn p - adic trong
Chú ý: Với X — E thì X = lim xn.
Định lý 1.10 (mô tả p)
Với mỗi X E p, \x\ < 1, có duy nhất dãy đại diện {an} của X thỏa mãn:
i) 0

ii) an = an+Ị (moápn) vớin= 1,2,...

Nhận xét
Với các {an} thỏa mãn những điều kiện trên ta có thể
a2 =è0+v

viết:


an =b0+hlp + ... + bn_ỉpn-ì
trong đó bị e {0,...,/?-l} với mọi i = 0, 1, ...
' A2->00
“*

v

7

Khi đó:

n=0

■ Với xe n,\x\ < 1,
p I \-p pm > 1: đặt u - pmx suy ra \u\ = 1 nên theo trên
■ Với X G p,|*|

----------------------------------- 00
X = K + b\P + - + Vi/7""1} = lim(60 + ỉ\p + ...+ bn_xpn~l) = Ỵ^by 00
u=bQ+blp + ... + bmpm +... hay x = b0p~m +bỉp~m+ì +...
+ bm + ...= X

i=-m
00
Tóm lại, mọi IG sẽ có biểu diễn dạng x-^Cịp' với me ,
i-m
{o,...,/? -1}, cm * 0 gọi là khai triển p - adic của X.

1.2.3.

Xây dựng vành

Tập hợp p = {x G p : 1*1 <1} cùng với phép cộng và nhân trong p lập
thành một vành gọi là vành các số nguyên p - adic.
Tập họp tất cả các phần tử khả nghịch của , kí hiệu là:

Định lý 1.11 (Tính chất tôpô của và )
i)

compacttừđó

ii)

đầy đủ

compact địa phương


8

Định lý 1.12 (Tiêu chuẩn Eisenstein)
Cho đa thức f (x) — ŨQ + ữ ị X +... + CLnxn £ /;[x] trong đó a^sOộnod/?)

với
= 0,1,..., 72-1; anỹẩ0 (mod/?) và aữ/ẩ0 (mod/>2). Khi đó f(x) bất khả quy trên
p•
Xây dựng trường

1.2.4.

Gọi là bao đóng đại số của tức là tập tất cả các phần tử đại số trên .
Với mọi a e , a đại số trên do đó tồn tại đa thức Irr(a, ,x) bất khả
quy, hệ số thuộc mà hệ số đầu tiên là 1 nhận « làm nghiệm dạng:
Irr(a, ,x) = xn +an_ìxtl~ì + ... + fl1* + a0
Ta định nghĩa \a\ = «/|ứ0| . Có thể chứng minh được I I; là chuẩn trên
trường
và là mở rộng của chuẩn p - adic trên .
Trường cùng với chuẩn vừa xây dựng không đầy đủ. Làm đầy đủ theo
I ^ ta sẽ được trường các số phức p - adic kí hiệu là p.
Với a ={#„), ớr„ e _ thì ịa\ =lim|a„| và khi a * 0,\a\ =\a\ với n đủ
K n) ■> n p
I \p „““1 "\p
’l Ip I n\p
lớn. Chúng ta cũng mở rộng ordp cho p : ordpX = -ìogp |x| .
Từ đây trẽn các tập số p-adic ta sẽ xét chuẩn p-adic và quy ước viết I I
nghĩa là
IIp •
Định lý 1.13 (Tính chất của trường )
i)

đóng đại số

9

Mệnh đề 1.14
Giả sử 6 là một căn nguyên thủy bậc pn của đem vị với số tự nhiên n nào
đó.
Khi đó, \0 -1|

= pv(p"~'-p’\

Chứng minh
Đặt u - 9 -1.
{\+xy
-\
(X) =
(i+xỵ"_1-i

xpn +p”Xf’n-ỉ+... + p'ìX = ỵpn_pn-l
xp"~' +pn-ìXpn~l-ỉ+... + pn-ìX

+ ... + P

Do ỡp -1 và Op ^1 nẽn u là nghiệm của đa thức /{X) E P[X~\. Ngoài ra
bằng phương pháp quy nạp, ta có thể chứng minh được f(X) thỏa các điều kiện của
tiêu chuẩn Eisenstein và do đó f(X) chính là đa thức bất khả quy trên với hệ số
đầu tiẽn là 1 nhận u làm nghiệm.
Theo định nghĩa IuI - pì/{p “/;)hay|ớ-l| =pì/p ~p . ■

1.3. Hàm chỉnh hình p-adic
Mệnh đề 1.15

00

•
Mệnh đề 1.16

Môt chuỗi vô han V ứ với a„ E
là hội tụ khi và chỉ khi lim an
=0
•
n
n
/1=0

Xét chuỗi ^ anzn ,an E
/1=0

1
gọi là bán kính hội tụ của
lim supW| an

chuỗi. Khi đó:
Với mọi z E

■
■

zE

, |z| < r: chuỗi hội tụ.

Với mọi z E

, |z| > r: chuỗi phân kì

, |z| = r: chuỗi hội tụ khi anrn —> 0, phân kì khi
anrn/40.


10

Định nghĩa 1.17
00
đuợc duới dạng chuỗi lũy thừa hội tụ, tức là f(z) =^ anzn hội tụ trong D(0, r).
Định nghĩa 1.18
Gọi p[[z]] = {f = aữ+aỉz + ... + anzn+...\ai G p}.
Trong p[[z]], ta xây dựng 2 phép toán cộng và nhân nhu sau:
Với / = a0 +aỉz + ...+anzìl +..., g = b0 + bxz + ... + bnzn + ...
thuộc p[[z]\ thì
f + g = (a0 +bữ) + (ax + bị)z +... + (an + bn)zn + ...
/.g = c0 + +... + cwzw +... trong đó cn = Ẹ aibj
i+j=n
Khi đó p[[z]] là vành, gọi là vành các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số
thuộc p.
Cho
r > 0,
định nghĩa Ar (
Định
nghĩa
1.19

p[[z]]

->0k Ta chứng

Ẩr( ) là vành con của [[z]].
Với f(z) - ơ0+a1z + ... + anz” e Ẩr( p), đặt
n

= max|an|r" gọi là hạng tử tối đại của f.

v(r,f) = max{n:\an\rn =ju(r,f)}
Mệnh đề 1.20
Chor>0, f(z) = a0 +aỊz + ... + anztt eAr( p) . Khi đó:
i) ụ(r,f) là chuẩn phi Archimede trên vành Ar( ).
ii) Ar( p) đủ đối với ụ(r,/).


11

p[z] trù mật trong 4( p).

iii)

Định lý 1.21
Cho r > 0.
k
Giả sử /(z), g(z) e p[z] với g(z) = Ybnzn sao cho ju(r,g) = ịbk\rk. Gọi
/2=0
Q(z) và R(z) lần lượt là thương và dư trong phép chia f(z) cho g(z) tức là
/0) = g(z)Q(z) + R{z). Khi đó ụ(r,/) = max{jư(r,g)jư(r,Q),jư(r,R )}.

Chứng minh
Do định nghĩa //(r,/) dễ thấy ju(r,f)chứng minh bất đẳng thức ngược lại, trước tiên ta xét trường hợp r = 1.
Không mất tính tổng quát giả sử //(l,g) = l do đó ta cần chứng minh
max{yư(l,0,//(l,R)}Thật ra ta chỉ cần chứng minh (*) đúng trong trường hợp
max{//(l,0,//(l,ia

a a

= max {//(1, Ô), //(1, R)}.
Để chứng minh

ta giả sử ngược lại //(!,/)
n
f = y]aizi thì max| a\< 1 suy ra dị e D(0,1) với mọi i hay f E D(0,l)[z]
Do max{//(l ,0, //(1,R)} = 1 nên //(1,0, ju(\,R) < 1 suy ra Q, Re Z)(0,l)[z].
Xét trên vành jD^0,1^ỵ^(0 ị^z-ị ta có õ = f(z) = g(z) Q(z ) + R(z)
Vì //(1 ,g) = 1 hay \bk\ = 1 nên degg = k> degR > degR suy ra Q = 0 và
như
õ hay R(z), Q(z) E D(0,l)[z] do đó max{//(l,0, //(1,R)} < 1 (mâu thuẫn


l~Rn)
12

Tóm lại (*) đúng hay max{ju(ì,g)jư(ì,Q), ju(l,R)} >

Giờ xét r E

.

khi đó tồn tại ae * sao cho \a\ - r.

Với h-a0 + axz +... + anzn + ... , đặt ha(z) = h(az) = a0 +... + ananzn +...
Rõ ràng ju(\,ha) - max anan = max|a llứl" = max|ứ lr" = ju(r,h) (**)
n
n
n
và fa (z) = ga (z)Qa (z) + Ra (z) .
Áp dụng chứng minh trên với r = 1 thìju(ĩ,fa) = max{/^(l,gíỉ)//(l,ôíI), //
(l,Rữ)}
Cuối cùng giả sử r Ể

trù mật trong + nên tồn tại ĩị G

do đó limụ(ri9K) - ju{r,h) với h là một trong các đa thức f, g, Q, R.
Vì ta đã chứng minh ở trường họp 2, /u(rị,f) = max{//(^,g)//
(^.,Q),ụiĩị,R)}
nẽn lấy giới hạn 2 vế ta có đpcm. ■
Định lý 1.22
Cho f eAr( p) và g(z) = bữ+bỉz + ... + bkzk E p[z] sao cho ju(r,g)
= \bk\rk.
Khi đó tồn tại chuồi lũy thừa Q G Ẩr( ) và đa thức R{z) G [z] sao cho
/(z) = g(z)Q(z) + R(z), degR < k và ju{r,f) = maxịju(r,g){/(r,Q),
{i(r,R)}.
Chứng minh
Do tính chất iii trong mệnh đề 1.20 nên với / e Ar( ), tồn tại dãy các đa

thức
/„e p[z] hội tụ về f.
Áp dụng định lý 1.21 ta có:
M(r,fn+1 - f n ) = maxMr,g)ju(r,Qn+ỉ-Qn),jư(r,Rn+1-Rn)}


13

Do fn là dãy Cauchy nên Qn, Rn e Ẩr( ) là dãy Cauchy đối với ju(r,-)
mà
Ar( ) đủ đối với ju(r, -) nên tồn tại Q{z) = lim Qn (z), R(z) = lim Rn (z).
Lấy
giới hạn 2 vế của (*) ta có được /(z) = g(z)Q(z) + R{z) trong đó degi?fl < k nên
degR < k. Khi đó ju{r,f) = max{ju{r,g)ju{r,Q),Ịu{r,R )}. ■
Định lý 1.23 (Định lý Weierstrass)
Cho / eẨr( p) vớir>0.
Khi đó tồn tại đa thức g(z) = b0 + bịZ +... + bvrv G p[z] có bậc V =
v{r, f) và
chuỗi lũy thừa h(z) G [[z]] thỏa:
i) f(z) = g(z)h(z)
ii) M(r,g) = \bv\rv
iii) hsAr( p)
iv) /j(r,h-1)< 1
v)

ju(r,f-g)
Đặc biệt h không có không điểm trong D(0,r) = ịx G p : |x| < rỊ và f có
đúng
V không điểm trong D(0, r)

Chứng minh
Giả sử /(z) = a0 +ứjZ + ...
Đặt gj(z) = ứ0 +ứ1z + ... + ứKz,/. Hiển nhiên ju(r,gị) = maxlứ lrw = 1^1
rl/
«<1/
Ta có: (f-gị)(z) = aự+ỉzự+ì +...
Chọn \ (z) = 1.


14

Giờ ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp rằng tồn tại dãy các đa thức
gi(z) = bi0+bnz + ... + biựzv và hị sao cho:
(!) M(r,gi) = \biv\rv
(2) Jư(r, f - g ị ) < Sju{r,/), ju(r,h ị - \ ) < s
(3) ụ{r,f-gihi)
Ở phần đầu ta đã chứng minh điều này cho trường hợp i = 1.
Giả sử ta đã xây dựng được dãy các đa thức gị, hị thỏa các điều kiện 1, 2,
3.
Theo định lý 1.22, tồn tại chuỗi lũy thừa Qị E Ẩr( p) và đa thức Rị E
p[z]
sao cho f(z)-gi(z)hỉ(z) = gi(z)Qi(z) + Ri(z) với degi?,. và ụ{r,f-gịhị) = max{ju{r,gịỔ,),ju{r,Rị)}
Định nghĩa gM = gị + Rị,hM = hị + Qi
Do mệnh đề 1.20 ju(r,f) < max{ju(r, f - gị), jư(r,gị)} nhưng theo (2)
lại có
M(r,f-gi)Ta có: ụ(r,Qí)< ekdzMỂÙ. <
M(r,gi) M(rJ)

= và

Kr,Rị) ^ M(rJ-gih i) < ổ* ụ(r,/) < ju{r,f) = ụ{r9gi) do đó ụ(r,gM) = /ỉ(rfgị ).
Như vậy (1) đúng với i + 1 vì degi?; < degg, = V.
Điều

kiện

(2)

cũng

đúng

với

i

+

M(r,f-gM) = M(r,f-gi -Rị)< maxị/j(r,f-gi),/d(r,Ri)} <

1

SjLỉ(r,f)

và ju(r,hM -í) = ju(r,hị -1 + Qi)Ngoài ra, chú ý rằng
f-gMhM=f-(gi+R,)(hi +Qì)=f-gẢ-g,Q,-m +Qi) = Ri(\-hi-Q)

Khi đó fi(r,f

- gMhM

vì

)

15

Do ổ < 1 nên {gi},{hị} là các dãy Cauchy đối với chuẩn //(>,-).
Khi đó với 0 < j < v,i > 1, \bi+ỈJ -bụ\rJ < ju{r,gM -gị)< ỏ* tức là
{bịj };>! là dãy Cauchy với mọi j nên hội tụ.
Đặt bj = \imby, g(z) = Ỳjbjzj •
po
Rõ ràng gị g và /u{r,g) = /d>,gz.) = |6ỉV|rl' = I rv (điều kiện (ii) đúng)
Vì Ar( ) đầy đủ nên {hị} hội tụ do đó tồn tại h G Ar( ) sao cho hị -> h
Theo điều kiện (3), cho i -» 00 ta có ju(r,f - gh) < 0 nên f = gh (điều kiện
(i)
đúng)
Điều kiện (iii) đúng là hiển nhiên do cách định nghĩa h.
Cho ỉ -» 00 trong điều kiện (2) ta có điều kiện (iv)
Cho ỉ —» 00 trong điều kiện (2) ta cũng có Jư(r,f - g) < ổịu{r,f ) <
ju(r,f) (điều
kiện (v) đúng)
Giả sử h -1 + CjZ +... + cnzn +...
Với |z| = t < r, do ju(-,h-1) tăng nên ju(t,h-1) < ịu(r,h -1) <1 do đó
max|cl|z|w = maxlc < 1 suy ra \h{z)\ = 1 tức là h không có không điểm trong
n

n
5(0, r).
Gọi Zj,...,zv là các không điểm của g. Khi đó g(z) =bv(z-zỊ)...(z-zv)
Điều kiện (ii) kéo theo ju(r,g / bv) = rv và như vậy
(max|r,|z1|Ịj...Ịmax|r,|zl/|Ịj = r' suy ra |zy.|Do đó g có đúng V không điểm, h không có không điểm trong D(0,r) nên


00
_2 _3 _4
1-------h ... < max

18

n

Zj
z2

16
17
ii)
n
n+
l
(1 + z)p Miền
+ ihội
ỵz- i€tụK/ĩ-1.
■( f l1
Lấy

mệnh
của V Do
(-l)'ỉ+1
—đề
là 1.14
D(0, ta
1)thấy |z| = pì/p ~p <\ nên z eZ)(0,1)
à
tí
n
i)
do đó
log:log(l
1 + +Ez)—»
tồnEtại.
đẳng metric với
ze P:\z\E -minh
1.4.
Xây dựng tương tự p - adic của hàm log
Chứng
Vì (z +1)77 = 1 suy ra pn log(l + z) = logl = V (-l)n+1 — = 0 do đó
Mệnh
đề 1.24
log(l+z)=0.
Bán
kính hôi
tu của chuỗi trên là r ----^ .— = lim Wỹ
ii) Tập tất cả các không điểm của log(l 1+ \*=1
z) là

MỈ KỊĨ
n*
H—»oo
-11
lim
■ Ngược lại, giả sử có z G Z)(0,1) mà log(l + z) = 0 n —
n'
'
số tự nhiên
n, n-pordprì.m
(m, p) =với
1. Khi
TrướcVới
hếtmọi
ta chứng
minh bằng
quy nạp (1 +trong
z)p đó
-1 <£n+ỉ
mọiđó
n trong
N+

_«-2
~l Z1

zn

Chứng minh

p ordpn - |H| suy ra —Ị=
đó < !^n\ <1 do đó lim ỉịỊịnị = 1 hay

i) Đe chứng minh i, ta cần chứng minh những điều sau:
r = 1. Vậy
£ = max{|z|,/7-1}.
ordp í Xỉ'"x” 1 j = ordp n\ (n-1)!
>ord(xỉ...xn_l)-ord(n\)
Hiển nhiên bất đẳng thức đúng với n = 0. Giả sử nó đúng với n ta cần chứng
1
Ị
z = p p
n-1
n-Sn
Sn-1 với n + 1.
ìminh
đúng
> —— ------—
=nó
——
>
0
suy
ra
< 1 và do đó
p
p — 1 p — 1chuỗi
p — lũy
1 thừa hội tụ trong D(0, 1).
Tại z G , |z| = 1: lấy dãy số {nk} mà=(nk,p)

= 1.tạiKhi đó
1^0. Vậy
Vì vậy, với zeE, |log(l + z)| =
< p p hay
log(l + z) e E.

z G ,|z| = 1, chuỗi phân kì. ■

00
■ Nếu giải
Zj,z2
E thì hàm
|log(llog
+ được
Zj)-log(l
z2)| =là|zj
Trong
tíchE phức,
định+ nghĩa
log(l + z) = V (-l),ỉ+1 —
hội
-z2|.
tí n
, _n—2
tụ trong (-1,Sử
1] dụng
. Giờ nhận
trongxét
giảitrên
tích p - adic, sự _//—1

hội
xét_với ,chuẩn p - adic
_«—Ltụ được
2 ta có:
— z200
n+1 zj +zị z2+... + z2
thì yV-l)'^1— hội tụ trong z,
đĩa+ D(0,
Z' 1) và hàm log lúc này được định nghĩa như
tí n
z,+z2
zi
sau:
2 2
Định nghĩa 1.25
nz2 + ... + z:
ì
max
<1).
log: Ữ(0,1) -> p với log(l + z) = £(-l)"+l 3
„-1 «
Tóm lại, hàm log: 1 + E —» E đẳng metric.
Định lý 1.26
Hàm log có các tính chất sau đây:


an+\Pn+ì + ••• < p n nên lim xn =x. Mệnh đề được chứng minh. ■
an+ỉp +...

n+

19

Chương 2 ; PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN ,
Trong chương này ta quy ước viết I I nghĩa là I I .

2.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản về dãy nội suy p - adic

Trước khi đi vào khái niệm, ta chứng minh mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.1
Tập họp các số tự nhiên trù mật trong .
Chứng minh
Với mọi X G , giả sử X có biểu diễn p - adic dạng
n —»00
Khi đó, với mỗi số tự nhiên n, ta xét xn=a0 + a{p +... + anpn. Rõ ràng
ap+Cìpap-ì+... + Cp~ìa
xn G
ap-ỉ+Cỉpap~2+...
+ Cp
= \a\
ck:p, k = \,p-\ nên với u <£n+ì dễ thấy ap 1 + clap 2 + ... + cp

0-\£
<

„n+l

< \a\£ < £ n+2
(1 + z)p -1
< £n+] mà £ < 1 nên lim
= 0 do đó với n đủ lớn

Vậy
n—»°0
(i+zỵ" -1
(1 + z)p -1 < pl~p suyra(l + z)/7 el + E.

do đó

Vì log: 1 + E —» E đẳng metric nên đơn ánh.
Do đólog(l + z)p = l o g ( l + z) = 0 = logl suy ra (ì + z)p =lhayzG/>'7ĩ-l.


20

Định nghĩa 2.3
Dãy ax,a2,... các phần tử trong gọi là nội suy p - adic nếu tồn tại một hàm
/:

—» liên tục sao cho /(«) =

với mọi n E

Ta sẽ thay thế định nghĩa 2.3 bằng một định nghĩa khác dễ hình dung hon
thông
qua định lý sau :
Định lý 2.4
Dãy ,a2,... các phần tử trong là dãy nội suy p - adic khi và chỉ khi ánh xạ
p liên tục đều.
n I—> an
Từ mệnh đề 2.1 ta có ngay nhận xét:
Nhận xét

2.2
Chứng
minh
> Điều
kiện cần:
Neu ax,a2,...
là dãy các phần tử của thì tồn tại nhiều nhất một hàm

Giả sử dãy aì,a2,...
dãy
- adic
tức với
là cómọi
hàm
/: -» liên tục
/:
-» là
liên
tụcnội
saosuy
chop /(«)
= an
nE
sao cho /(«) = Vn E .
Chứng minh
Do là tập compact nên f liên tục đều trên , suy ra f liên tục đều trên
Nhận xét nàychứng
được suy
ra dễg dàng
từ H->

mệnh
đề tục
2.1đều.
và một kết quả trong
tỏ rằng
= ^ : /2
liên
> Điều kiện đủ:
tôpô:
Giả sử hàm g liên tục đều. Ta tìm cách xây dựng hàm /: —» liên tục mà
Cho X, Y là các không gian metric. f,g:X —» Tlà hai hàm liên tục. Giả sử
./[ =gA d X trù mật trong X. Khi đó nếu fụ - gụ thì f = g. ■
Với mỗi X <E p = , tồn tại {xM} cz : -> X.
Sau nhận xét 2.2, ta thấy rằng nếu cho trước ax,a2,... là dãy các phần tử
của
thì có tối đa một hàm /:

-» liên tục sao cho /(n) - an với mọi n G


21

Do đó với n,m>N:
Ixm-x„\ = \(xm -X) + (X -xn)\ < max(|xOT - x\,\xn - x\) < ổ nên
theo (*) ta có

Như vậy, ta đã chứng minh {g(xw)} là dãy Cauchy trong p mà đầy đủ
nên tồn tại L = limg(xn).
«—>0O
Giả sử có {^}d

, xn X suy ra

(gO«)-gO«)} ->0 do đó z = limgOO.
Giờ ta định nghĩa /:

Do g liên tục đều nên

«->00
-» cho bởi f(X) = lim g(xn), ta đã chứng minh f

được xác định tốt và dễ thấy fị = g. Ta chỉ cần chứng minh f liên tục đều trên p.
Lấy X, Y E p thỏa \x - Y\ < ổ (ổ được xác định trong (*))
Do trù mật trong nên tồn tại {*„ },{>>„} cz sao cho xn -» X, yn —» 7.
Suy ra, tồn tại 2Vj = jVj (ố): \xn ~x\<ỏ, \yn -Y\<ổ với mọi n>Nl. Khi đó
k -y.\ = |(*„ - X) + (X - r) + (y - ><„)| < max(|x„-X\\X-ĩ\,\yn-Y\)
nên

theo (*) ta có |g(xM) - g(yM)| < £ với mọi n>Nị.
Theo cách xây dựng f ta có /(X) = limg(xM), /(7) = limg(y;ỉ) do đó tồn tại
«—>00
«—>00
sao cho với mọi n>N2 thì I / (X) - g(xM)| < £, I / (7) - g(y„)| < £. Khi đó với
n > max(NvN2) ta có:
\f(X)-f(Y)\ = \ (f(X)-g(xn)) + (g(xn)-g(yn)) + (g(y„)
- f(Y)) I
do đó f liên tục đều trên . ■

, . nm+jp
N

m+(j-ỉ)p

-a„
n+p'
v n+n pĩ n+p’-piữ' v n+p' -pj° n+pj-2pj° ’ v n+ pK) n ’
- a„
do đó
- ữ
n+
n+pJ
PJ n
n

23
22

Nhờ định lý (a
2.4Ị—a
ta xây
dựng
được
tương đương về dãy
ị in)
+ (a
ị ,vmột
-a ịđịnh

in) nghĩa
+ ...(akhác
in-a„)
nội
1 < s với mọi n suy ra sup
<£ .
a J - ar
n+pJ
1{
suy p - adic như
sau:
Dãy các phần tử ax,a2ì...
các phần tử của là dãy nội suy p - adic nếu
=0.
a ị - an
n+
p'
n
./-^•0O n
\/£>0, 3N e saochoVra,72G thỏa \n -mị < P~N thì \an - am\< £
> Điều kiện đủ
(1).
(2).
Lấy £ > 0.
w cho
Cỉ/ v«< e£thì
\/£ > 0, 3N eữ/
sao
n+p
=

0
nên
tồn
tại
jữ
G
sao
cho
với
mọi
j
>
Do lim sup
a sử
-a. (2). Khi đó với mọi m,ne , n > m, \n — m\ j0< thì
Thật vậy,ngiả
P~N tức
n+pJcó
n
sup

là

< £ với mọi n e
/
Vậy theo định nghĩa
(2),Nax,a2,...
ữ
ã là dãy nội suy p - adic. < 8
;

Ta đã có (1). Vậy (2) => (1) còn (1) => (2) là hiển nhiên.
Ta tổng kết lại một số định nghĩa tuơng đuơng của dãy nội suy p - adic nhu
sau:
Ta lại tiếp tục có một định nghĩa tương đương sau :
(1) Tồn tại một hàm /: —» liên tục sao cho f{n)-an với Vne .
Định lý 2.5
(2)
Ánh xạ g : —» liên tục đều.
Dãy ax,a2,... các phần tử của là dãy nội suy p - adic khi và chỉ khi

n I—> an
= 0.
lim sup a , -a„
,/->co n n+p
-Np\an-am\<£
\/£ > 0, 3N e sao cho Vm,« E
thỏa 1« — m\ thì
<
(4) V^>0,3A^G sao cho V/2 G
ã N ã
Chứng
minh
> Điềuthìkiện cần :

<£

Lấy £ > 0 .
=0
a Ị-an
y->00

n+pJ n các phần tử của là dãy nội suy p - adic nên theo định
Do
dãy a{,a2,...
— a.
nghĩa (2) ở trên, tôn tại j0
sao
chomục
với này
mọibằng
n e một tính chất của dãy nội
Ta ekết
thúc
suy p<£
- adic.
Định lý 2.6

Khi đó, với mọi j > j0,

Neu ax,a2,... là dãy nội suy p - adic và liman tồn tại thì dãy ax,a2,... là
dãy


0
n +
pj

đó

0
n

k

n0
—

\
24
25

Chú ý rằng đầy đủ, = u{m} là các tập không đâu trù mật nên theo định
Chứng minh
lý Baire về phạm
suy raminh
với an
số tự
n bất
Giả sửtrù,
lim \antrù- mật
a . Tatrong
cần chứng
- anhiên
với mọi
n. kì, tồn
n—»00
tại dãy {xk}
a \ , xk -»«. Áp dụng tính chất (*) cho {xk} a \ ta có
>=
Cách
f (**)
a với1:

mọi k. Khi đó an - f {rì) - lim f{xk) = a. m
Ấr-»oo
Dùng phương pháp phản chứng ta giả
sử có số tự nhiên no sao cho an ^ a.
al9a2,... là dãy nội suy p - adic nên theo định lý
sup
n+pJ
\a-a «0
\a-a «0
2.5, lim Aị =0 do đó với j đủ lớn ta có Aị <
<
a
,
-ar
ý—»00
J
2.2. Một vài ví dụ về dãy nội suy p - adic
J
Dãy an = n với ke là dãy nội suy p - adic. \a-an
- --------. Cho j -> 00, do lim an = a ta
với mọi
có
Chứng
minhn. Riêng với n0 thì
(n + pj)k -n (n + pj)k 1 +(n +ị\k-2
p'Ỵ ^n + ... +'c-ị
n<
a-a\a-an
«0 =0 hay a = an (trái với giả thiết phản chứng).
\a-a„ <

- p —> 0
nên theo định lý 2.5, dãy an = nk là dãy nội suy p - adic.
Vậy ta có đpcm. ■
Ví dụ
2: Dãy
> Cách
2:anlà dãy nội suy p - adic.
Do ax,a2,... là dãy nội suy p - adic nên có hàm/: —» liên tục sao cho
=
f{n) = an Mn E .
n + p‘
Với jminh
đủ lớn thì pj\pk nên
+j-kp
Chứng
Vì trù mật trong nên với mọi XE \
, tôn tại dãy sô tự nhiên
—» X. Do f liên tục nên /(x) = lim f(nk) = lim an =a (*)
k—>oo
k—>oo *
Giờ ta chứng minh \ trù mật trong . Xét số tự nhiên m bất kì. Rõ ràng
dãy {m + pn} —» m khi « —> 00 (vì m + pn -m - p~n 0 khi 72—»oo) do
{722}
{772}
thì không
{m} chính
là mở
tập mở
nàylàmâu
772}

suy= ra
{722}
là tập
(**)duy
(vì nhất
nêu chứa
ngượcx0lạinhưng
thì \ điều
{722}
tập
thuẫn
với 772
(**)).
đóng nên
E \ {772} = \ {772} vô lí). Ngoài ra, {m} là tập 1 điểm trong
không
gian metric nên {m} là tập đóng và do đó cũng là tập không đâu trù mật (vì giả


26

2.3. Nội suy p - adic hàm số
mũ
Bổ đề 2.7
Giả sử 0 < £■ < 1, ye . Khi đó nếu |y-l|<<£- thì yp-\ <ĩ\y-\\ với
T - max(e,p~l).
Chứng minh
Đặt y = 1 + a. Do giả thiết nên \aị < £ .
k k-1
Do

Cp\p \/k
nênCKpa
Ta có:
yp -—1 = (1—+ \ a)p
- 1 = (y - 1 ){c'p ... +,p~' do đó
yp -1 <|y-l|max(^,^_1). ■
Định lý 2.8
Các khẳng định sau là tuoug đucmg:
ae

i)

p :|l-x| < lỊ

ii) limap =1

n—>00
Chứng minh
> i =>
Nếu
ữ Eii+ thì

= pk với
j —>
khi j —> 00.
r =0maxỊ|ứ-l|,p
1 j.Theo định lý 2.5,

Với n = 0: bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

là dãy
nội suy
adic.
dãykhẳng
an =định của
Giả sử
ta đúng
vớipn,- ta
sẽ chứng minh nó đúng với n + 1.
nêndụ
\a 3:
= ứ-1
1 =1.
Ví
Dãy+ an
= (-1)" là dãy nội suy p - adic khi và chỉ khi p = 2.
-l| 1
2+... + l Chứng
Dãy an là dãy nội suy p - adic
Áp dụng bổ đề 2.7 với s = |fl-l| và y - ap ta có (ap y-1
(~l)n+pj -{-ÌỴ—> 00 <=>
<=>
(-1/-1

< 2.
ĩ
0^p =

aị = \a -1 + a\ = 1 vàalim
F- a
ị-^co
ới mọi n e
, ta có:

n+n

api
- lim-\
ý->°°

1
= |ớ-l|
-1aw-1 + ư"-2 + ... + 1< |ứ-l|maX'
; mà

p đóng, vì vậy = lim an

\n~
^
1

1
lw~
2

28
27
29

«—
»00
ta có ứm+"
, khi
a'
n+1
Vậy
2.8,thiết
a eCp
ii)n,me
Với
Do theo
đó ápđịnh
dụng
giả
quy nạp ta-1 . Khẳng định ban đầu của
=am.
đó lý«—»00
Với x,y G , do trù mật trong nên tồn tại dãy số tự nhiên {xn}, {yn}
a~n = (an)_1khi đó ứa x" =
. có
Với ne
—»co
sao cho {*„}->*, {yn}^>y.
.
kiện đủ:
Trước hết ta chứng minh với flĩ,tĩ> EĐiều
,
<

Tn+Ì
- 0 với
or —> 0 khi n —> 00. Vậy lim ap
Vì r 1 nên-minh.
ta được
d
1. < ĩ
«—>00
n+pi
n
=
0.
Vậy
theo định lý 2.5, dãy |fl"Ị
mọi
n
(định
lý
2.8)
suy
ra
limsup
> íi => z' a 1 -a
B)|fl-l| (*)
j-**> n
Do limỡ^ =1 nên với n đủ lớn ta có ap — 1
ú/ <-11+do
1 đó
,..,|ứ|,lỊ <|fl-l|

=1
là dãy nội suy p - adic. ■
Định nghĩa 2.11
suy ra |ứ| = 1.
xechứng
, ta đã minh
biết rằng
dãyphương
số tự nhiên
X. giả sử
Đặt b = aVới
- 1, mọi
ta cần
|Ồ| 1. tại
Bằng
pháp{xn}
phản —»
chứng
1 =(ax)
là dãy nội
suy p 1.
- adic
H=1- Khi đó với a e * , theo định lý 2.10 ở trên, dãy Ịan Ị[aXn)
Tacho
có:phép
1aptt
> ta-1đặt ax(b+\y"
nên
= lim aXn.

Hàm số ax: p —» p gọi
hàm số mũ p -1 =1*1
bp"-'+C',bp"-2+...
+ là"-1
Cp,
adic.
Do lỏi = 1 và ck„bp k 1 < 1 (vì ckn :p với k = l,pn - l) nên
Chúng ta kết thúc mục 2.3 này bằng một số tính chất của hàm số mũ đã
định
= 1 mâu
với (*).
bp ~ì + cìnbp
_2 + thuẫn
...
nghĩa.
+C „
Hệ quả 2.9
ap eCp a eCp

Vớimọix,ye fl6 + ta có :

Định lí 2.12

i) ax e ;
Chứng minhii) ax+y
=
Theo
định axay
lí 2.8, a eCp o lim ap =lo lim {ap Ỵ - ì ap eCp.
iii)

a~x=(axyl
" «—>oo
«—>00
^
iii)
Định lý 2.10
a - aJ y)\a-ì\ với r = max(|fl —1|,/7 1 j
Dãy Ị=ax.bx
an Ị là dãy nội suy p - adic khi và chỉ khi av) (abỴ
Chứng minh
vi) (axy=a
> Điều kiện cần:
„n+pJOhay
« lim ứ
apJ -ì
xy Dãy Ị an Ị là dãy nội suy p - adic nên
ý>oo
lim
Chứng minht '
ý
—>co
= 0 tức là lim ap’/—>00
-1.
suy ra lim
j—>00

=0