phân hoạch đơn vị trên không gian chuẩn tắc

21

|$£p^

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC
sử CẢM
PHẠMƠN
TP. Hồ CHÍ MINH
LỜI

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS. Nguyễn Hà Thanh.
Thầy đã tận tình hướng dẫn, trang bị nhiều tài liệu và truyền đạt cho tôi những
kiến thức quí báu trong suốtHuỳnh
quá trìnhThị
thựcNhư
hiện luận
Ý văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Thái Sơn, PGS.TS. Lê
Anh Vũ và quí thầy cô đã giảng dạy chúng tôi trong suốt quá trình học tập.
Xin cảm ơn quí thầy cô phòng Khoa học Công Nghệ và Sau Đại học đã tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn.

PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ
TRÊN
GIAN
CHUẨN
TẮC
nhà toán
học nước KHÔNG
ngoài, đặc biệt là

giáo sư Dydak,
thầy đã tận
tình giải đáp

Trong quá trình thực hiện luận văn, chúng tôi đã vài lần liên hệ với các

thắc mắc về các vấn đề liên quan. Xin chân thành cảm ơn tác giả Dydak.
Xin chân thành cảm ơn những người thân trong gia đình luôn động viên
và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này.
Sau cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn đến các bạn cùng lớp đã cùng học, trao

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 60 46 10

đối kiến thức, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập.

Tp. Hồ Chí Minh tháng 6 năm 2008

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Tác giả

Huỳnh Thị Như Ý
NGƯỜI HƯỚNG DẦN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN HÀ THANH

Thành phố Hồ Chí Minh - 2008


3

MỤC LỤC

Trang
Trang phụ bìa...........................................................................................1
Lời cảm ơn.................................................................................................2
Mục lục......................................................................................................3
MỞ ĐẦU...................................................................................................5
Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. Một số kiến thức về lý thuyết tập hợp.......................................................8
1.1. Tập hợp được sắp................................................................................ 8
1.2. Lực lượng của tập hợp.........................................................................9
1.3. Tập đếm được......................................................................................9
2. Không gian mêtric.....................................................................................9
2.1. Không gian mêtric...............................................................................9
2.2. Ví dụ..................................................................................................10
2.3. Khoảng cách......................................................................................11
2.4. Không gian mêtric tích......................................................................12
3..................................................................................................................... K
hông gian tôpô...............................................................................................12
3.1. Tôpô. Không gian tôpô..................................................................... 12
3.2. Cở sở.................................................................................................13
3.3. Lân cận, cơ sở lân cận.......................................................................14
3.4. Phủ, phần trong và bao đóng.............................................................15
3.5. Ánh xạ liên tục..................................................................................16
3.6. Tiên đề tách.......................................................................................16
4. Sự mêtric hóa.......................................................................................... 20
4.1. Tôpô sinh bởi mêtric.........................................................................20
4.2. Không gian mêtric hóa......................................................................21

4

4.3. Khái niệm hữu hạn địa phương, rời rạc ............................................ 21
4.4. Cái mịn...............................................................................................22
5. Tập sao, hình sao.....................................................................................22
Chương 2. PHÂN HOẠCH ĐON VỊ
1. Phân hoạch đơn vị và sự liên tục đồng bậc.............................................24
1.1. Phân hoạch đơn vị.............................................................................. 24
1.2. Liên tục đồng bậc............................................................................... 29
2. Tích phân và đạo hàm của phân hoạch đon vị........................................ 37
2.1. Định nghĩa..........................................................................................37
2.2. Định lý 2.8 (sự tồn tại đạo hàm của phân hoạch đơn vị)...................38
2.3. Mệnh đề 2.9 (cái mịn sao của các phủ mở).......................................42
2.4. Bậc của phân hoạch đơn vị................................................................ 43
2.5. Mệnh đề 2.10 (tính toán bậc của phân hoạch đơn vị)........................43

Chương 3. MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA PHÂN HOẠCH ĐON VỊ CHO
TÔPÔ ĐẠI CƯƠNG
1. Phân hoạch đơn vị trên không gian chuẩn tắc.........................................45
1.1. Định nghĩa không gian chuẩn tắc.......................................................45
1.2. Định lý thác triển Tietze đối với không gian chuẩn tắc....................45
1.3. Thác triển của phân hoạch đơn vị trên không gian chuẩn tắc...........47
1.4. Định lý về sự tồn tại phân hoạch đơn vị trên không gian chuẩn tắc.. 51
2. Phân hoạch đơn vị và sự mêtric hóa........................................................53
2.1. Định lý 3.8 (tiêu chuẩn mêtric hóa một không gian)........................53
2.2. Định lý 3.11 ( Định lý mêtric hóa)....................................................56
KẾT LUẬN...................................................................................................... 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................63

5

MỞ ĐÀU

I. Lý do chọn đề tài

Gần đây, khi nghiên cứu các vấn đề về tôpô và hình học, nhiều nhà
toán học nhu Jerzy Dydak, N.Feldman, J.Segal, R. Engelking,... đã mạnh dạn
dùng phân hoạch đơn vị để nghiên cứu lại các tính chất của không gian tôpô.
Theo nhiều nhà toán học, tính chất tôpô quan trọng là tính chuẩn tắc,
tính compact, tính paracompact và các vấn đề liên quan đến định lý thác triển
Tietze.
Nhu chúng ta đã biết, có hai cách tiếp cận đó là nghiên cứu không gian
thông qua các phủ mở hoặc bằng các hàm liên tục. Bằng cách sử dụng phân
hoạch đơn vị khi xây dựng các định nghĩa và chứng minh các định lý, tác giả
Dydak, N.Feldman, J.Segal, R. Engelking,...đã thống nhất cả hai cách tiếp
cận này.
Khi nghiên cứu về phân hoạch đơn vị, chúng tôi tìm thấy nhiều áp dụng
đối với tôpô, hình học. Ngoài ra, nó cũng đóng vai trò quan trọng trong việc
xây dụng lý thuyết đồng luân. Ban đầu, khi nghiên cứu, các nhà toán học chỉ
chứng minh sự tồn tại của phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ cũng như chỉ
dừng lại ở việc nghiên cứu phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phuơng hoặc phân
hoạch đơn vị hữu hạn điểm. Khi đó, chúng ta gặp nhiều khó khăn khi tìm hiểu
nhũng áp dụng của nó vì rất khó để xây dựng phân hoạch đon vị hũn hạn địa
phuong bằng phương pháp đại số, thậm chí khi xây dụng nhũng phân hoạch
đon vị tùy ý cũng không tránh khỏi những trở ngại. Vì vậy, việc xây dụng
phân hoạch liên tục đồng bậc đã giải quyết được những khó khăn này, nó đem
lại nhiều thuận lợi khi nghiên cứu trên các không gian tôpô, đặc biệt là không

6

Vì những lí do đó, đề tài nghiên cứu của chúng tôi là “phân hoạch đơn
vị trên không gian chuẩn tắc”.
2. Mục đích nghiên cún
Sử dụng phân hoạch đơn vị để chúng minh các kết quả trên không gian
chuẩn tắc một cách ngắn gọn và đơn giản hơn.
3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu
Không gian chuẩn tắc
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn
Phân hoạch đơn vị giúp cho việc giải quyết các bài toán tôpô và hình
học một cách đon giản hon.
5. Cấu trúc luận văn
Nội dung của luận văn chúng tôi gồm phần mở đầu, ba chương nội
dung và phần kết luận. Cụ thể:
Phần mở đầu: Nêu lí do chọn đề tài.
Phần nội dung:
Chương 1: Nêu một số kiến thức chuẩn bị về tôpô đại cương.
Gồm các phần về lý thuyết tập hợp, không gian mêtric và không gian tôpô.
Chương 2: Phần cơ sở của nội dung luận văn. Ở đây, các khái
niệm về phân hoạch đơn vị, sự liên tục đồng bậc, tích phân và đạo hàm của
phân hoạch đơn vị được định nghĩa, cùng với các định lý kèm chứng minh
được nêu lên làm cơ sở cho việc trình bày chương tiếp theo.
Chương 3: Trình bày một số áp dụng của phân hoạch đon vị cho
tôpô, hình học. Nội dung chương này gồm ba phần. Thứ nhất, sử dụng phân


7

hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ để chứng minh định lý thác triển Tietze. Thứ
hai, trình bày một số áp dụng của phân hoạch đơn vị trên không gian chuẩn
tắc. Thứ ba, tìm hiểu về vấn đề mêtric hóa một không gian và chứng minh
định lý mêtric hóa.
Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét khi nghiên cứu về phân hoạch
đơn vị.


8

Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Nội dung chương này là những kiến thức tôpô đại cương làm cơ sở lý
thuyết cho việc nghiên cứu ở các chương sau. Cụ thể như sau:
I. Một số kiến thức về lý thuyết tập hợp
1.1.

Tập hợp được sắp

1.1.1.

Thứ tự bộ phận

Quan hệ R trên tập hợp X được gọi là một thứ tự bộ phận nếu thỏa các
(i)
(ii)

tính chất sau:
Phản xạ: xRx, Vx E X,
Phản đổi xứng: Neu xRy và yRx thì x=y, Vx,y E X,

(iii)

Bắc cầu: Neu xRy và yRz thì xRz, Vx,y,z E X.

Tập họp X cùng với một thứ tự bộ phận R được gọi là một tập họp
được sắp bộ phận và được ký hiệu (X, R).
Thứ tự bộ phận thường được ký hiệu là < và tập họp được sắp bộ phận
được ký hiệu là(x,<).

1.1.2.
Phần tử bé nhất, lớn nhất
Cho (x,<) là một tập hợp được sắp bộ phận và AcX.
Phần tixa (ữ€Ấ) được gọi là phần tử bé nhất (phần tử đầu tiên) của A
nếu a e A và a < X ,

V JC E A.

Phần tử b (b E A) được gọi là phần tử IÓ71 nhất (phần tử cuối cùng) của

beA và X < b, V JC E A.


9

1.1.3.

Tập được sắp tốt:

Tập được sắp bộ phận (x,<) được gọi là được sắp tốt nếu mọi tập hợp

con không rỗng của X đều có phần tử bé nhất.
1.2.

Lực lượng của tập hợp

Cho các tập X và 7. Neu tồn tại một đon ánh / :X —>Y thì ta viết
card(X)<card(7); nếu tồn tại một song ánh f:X —>Y thì ta viết
card(X) = card (7); nếu tồn tại một đơn ánh / :X —>Y nhung không tồn tại
một song ánh từ X lên Y thì ta viết card (X) < card (Y).
Ta gọi card(X) là lực lượng của tập X.
Hiển nhiên X c= Y thì card(X) < card(7).

1.3.

Tập đếm được

Một tập X là tập đếm được nếu card{X) < card(7).
Như vậy, X là tập đếm được nếu có một đơn ánh / :X —>Y hoặc có
một toàn ánh g:X —» 7
Mọi tập hữu hạn là đếm được. Ta kí hiệu
card(X) = n nếu card(X) = card(ịl,2,...,n})
card(0) = 0
Trong trường hợp này ta có thể hiểu card(X) là số phần tử củaX

2. Không gian mêtric
2.1.
Không gian mêtric
Cho X là một tập. Một hàm d: X2 —» R là một mêtrỉc trên X nếu thỏa
mãn các điều kiện sau:

( >y)=\Ỹ\ x i-yj

d x

10

(i)

d(x,y^>0;

d(x,y} = ữ<=> x=

(ii)

d(x,y) = d(y,x);

(iii)

d(x,z) < d(x,y) + d(y,z),Vx,y,z e X.

Không gian mêtrỉc (x,d) là một tập Xcùng với một mêtric d trên X.
Neu [x,d) là một không gian mêtric thì mỗi xeX gọi là một điểm và
với mọi X , y e X ta gọi d (x,ỳ) là khoảng cách từ X đếny.

2.2.
1.

Ví dụ
Với mọi x = (xl,x2,...,xl),y = (yl,yỉ,...,yi)

d là một mêtric trên Rk. Thật vậy,
(i)

, (ii) là hiển nhiên.

Với mọi x = (xl,x29...,xk), y = (yỉ,y2,...,yk), z = (z1,z2,...,zk) eRk sử
dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có:
đ1 M =

iịx;-Zị\ít (ịxị-ytl+lxi-Zi\ị
i=1

* t\xị -y, f+2
i=l

-ị\xi-yi

17

i=l

i =1

- yịịy, - z,|+1| y, -Zị
i=l 1

(k

+2

E x-y,

Vỉ1

J

V.— z
sỉ I
V/=1

Ẹ

2k

A
+1 V.— Z/=1
ỉ


11

í
<

ík
Ỵixi-yt
\i=1

1V

Y

ík
I yrzi

V/=l

V

)

<(d(x,y) + d(y,z))2
Từ đó suy ra d(x,z) < í/(x,y) + d(y,z) và ta có (iii)
Mêtric d gọi là mêtrỉc Euclỉde trên Rk.
2.

Kí hiệu c[ứ,ồ] là tập các hàm liên tục trên [a,bị. Với mọi
x,yeC[a,b] đặt d(x,y)= Ir^J*(0“^0)|
t C!I C l j l I

Ta thấy d thỏa (i) và (ii). Ta kiểm tra (iii)
Với mọi x,y,z E c[ứ,z?] ta có :
4*.*)-,Ẹy(‘h(<ì
< max(|x(í) - y{t)\ +1y{t) - z(t)|)
/qa,oJ

1

11

1

d(x,z) < d(x,y) + d(z,y)
Do đó d là một mêtric trên c[ứ,ồ]

2. 3. Khoảng cách
Cho Ả, B là hai tập con khác rỗng của không gian mêtric X.
Đặt d(A,B)= inf d(x,y)
xeA,yeB


d

{{ x \’yì)ị x i>y ì )) = Khi đó d là một mêtric trên X X Y.

12

NếuKhông
Ả = {a}
ta viết(Xd(Ả,
= d(a,gọi
B)làvàkhông
gọi làgian
khoảng
cách
điếm
gianthìmêtric

x Y , dB)) được
mêtric
tíchtừcủa
a đến tập B.

hai không gian mêtric X và Y.
Nếu Ả n B * 0 thì 5) = 0, nhung điều nguợc lại nói chung không

3. Không gian tôpô
3.1.2.4.

Không
gian mêtric
tích
Tôpô. Không
gian tôpô

3.1.1.

) vàMột
(y,í/họ
haitập
không
ChoCho
một(X,í/
tập xX.
con gian
của Xmêtric
gọi làtùy
mộtý.tôpô trên X

F) rlàcác

nếu

X X Y = |(x, y) IV E x,y E rỊ là tích Descartes của X và Y.
thỏa mãn các điều kiện sau:
Đặt
(i)
Xvầ 0 thuộc r;
(ii)

Hợp của tùy ý các tập thuộc T là thuộc T;

(iii)

Giao của hữu hạn các tập thuộc ĩ là thuộc ĩ.

3.1.2.

Ví dụ
1. Với mọi tập X, P(X) là một tôpô trên Xf gọi là tôpô rời rạc. Tập X
cùng với tôpô rời rạc gọi là không gian rời rạc.


13

2. Với mỗi tập X, họ {0,x} là một tôpô trên X, gọi là tôpô tầm thưòng.
với tôpô tầm thường gọi là không gian tầm thưòĩig.
3. Với mọi không gian mêtric (X,d), họ các tập mở theo mêtric d là
một tôpô trên X. Tôpô này gọi là tôpô sinh bởi mêtric d. Không gian mêtric X

luôn được coi là không gian tôpô với tôpô sinh bởi mêtric.
Tôpô sinh bởi mêtric thông thường trên R gọi là tôpô thông thưòng.
4. Với mọi tập vô hạn X, họ bao gồm tập 0 và tất cả các tập con G của
X có x \ G đếm được, là một tôpô trên X. Tôpô này gọi là tôpô Zariski.
5. Với mọi tập không đếm được X, họ bao gồm tập 0 và tất cả các tập
con G của X có X \ G đếm được, là một tôpô trên X.
3.2.

Cơ sử

3.2.1.

Cơ sở

Cho T là một tôpô trên X. Một họ p của T gọi là một cơ sở của T nếu
mọi tập thuộc T đều bằng họp của một họ các tập thuộc p. Nói cách khác, họ
con p của T là cơ sở của r nếu mọi ơ e r mọi xeG tồn tại V G p sao cho
xeV cG.
Không gian tôpô gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu tôpô của
nó có một cơ sở đếm được.
3.2.2.

Ví dụ

1. Tôpô thông thường trên R có cơ sở là họ tất cả các khoảng (ứ, ồ)
a, b là số hữu tỉ, a < b. Như vậy R với tôpô thông thường thỏa mãn tiên
đề đếm được thứ hai.


1

-M ( a <

là lân cận của một điểm tùy ý của trên đường
14

X,-

2. Trong không gian mêtric, họ tất cả các hình cầu mở B V n)
x e X,n e N là một cơ sở.

thẳng thực.
3.3.2. Họ tất
Lân
cơ mở
sở lân
cận
cả cận,
các tập
chứa
X là một cơ sở lân cận của X.
3. Trong không gian mêtric, tại mỗi điểm X, họ các hình cầu mở tâm X,
3.3.1.
Lân cận
bán kính — , n e N là cơ sở lân cận của X. Như vậy mọi không gian mêtric đều
n
Cho Xlà một không gian tôpô và x e X. Tập con Vcủa Xđược gọi là
thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
một lân cận của điểmV nếu tồn tại tập mở G sao cho xeơck. Neu lân cận
4. Trong không gian rời rạc, tập một điểm {x} là cơ sở lân cận của

V của X là tập mở thì V là lân cận mở của X .
điểm X.
3.3.2.

Cở sở lân cận

Một họ Ux các lân cận của X gọi là một cơ sở lân cận của X nếu mọi lân
của X đều tồn tại lân cận UeUx sao cho UczV.
Không gian tôpô X gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu mọi
điểm X e X đều có một cơ sở lân cận đếm được
3.3.3.

Ví dụ


15

3.4.

Phủ, phần trong và bao đóng

3.4.1.

Các định nghĩa về phủ

ChoXlà không gian tôpô, tập Acl. Một họ {Va} Ịcác tập con củaX
được gọi là một phủ của Ả nếu Ẩc

u

V . Ta cũng có thể nói Ả được phủ bởi
ael

J ael •
Nếu Va là tập mở với V aeỉ thì {va} ữe/ được gọi là một phủ mở của A.
Nếu / là tập hữu hạn thì {va} aGỈ được gọi là một phủ hữu hạn của Ả.
Cho X là không gian tôpô, tập Aclvà {Va} là một phủ của A. Nếu
và {va}aej cũng là một phủ của A thì {Va}aej được gọi là một phủ con
của phủ {Va}aeI. Nếu tập J hữu hạn thì {va}aej được gọi là phủ con hữu hạn
cua {Va} a e Ị .
3.4.2.
Phần trong và bao đóng
Cho x\ầ một không gian tôpô và A là tập con của X.
Ta gọi phần trong của A là hợp của tất cả các tập mở được chứa trong
A, kí hiệu là A°.
Từ định nghĩa ta có: A° là tập mở lớn nhất chứa trong A; A c z B thì
A° czB° và A mở nếu và chỉ nếu A = A°.
Ta gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, kí hiệu là
Ả. Từ định nghĩa ta có A là tập đóng nhỏ nhất chứa A; A c z B thì A t z B và
A đóng nếu và chỉ nếu A = A .
Tập con D gọi là trù mật trong X nếu D = X . Không gian X gọi là khả
li nếu nó có một tập con đếm được trù mật.
Tập con A của X gọi là không đâu trù mật nếu (A j° = 0 .


16

3.5.

Ánh xạ liên tục

ChoXvà 7là các không gian tôpô và ánh xạ f : X — > Y . Ánh xạ/gọi
là liên tục tại xeX nếu mọi lân cận Vcủaf(x) trong 7đều tồn tại lân cận ư
của X trong X sao cho f ( ư ) c z V , một cách tuơng đuơng /_1 (F) là lân cận
của X .
Ánh xạ/gọi là liên tục trênX nếu nó liên tục tại mọi x e X .
3.6.

Tiên đề tách

3.6.1.

Các tiên đề tách

Không gian tôpô X gọi là To - không gian nếu hai điểm X , y khác nhau
bất kỳ thuộc X đều có một lân cận của

X

không chứa y hoặc một lân cận của y

không chứa X.
Không gian tôpô X gọi là TỊ - không gian nếu hai điểm
bất kỳ thuộc X đều có một lân cận của

X

X,

y khác nhau

không chứa y và một lân cận của y

không chứa X.
Không gian tôpô X gọi là T2 - không gian (hay không gian Hausdorff)
nếu hai điểm

X,

y khác nhau bất kỳ thuộc X, tồn tại lân cận u của

X

và lân cận

V của y sao cho u n V = 0.
Không gian tôpô X gọi là T3 - không gian (hay không gian chính qui)
nếu X là Tr không gian và với mọi tập con đóng F của X không chứa

X,

tồn

tại các tập con mở u và V sao cho x e ư , F cF ư nV = 0 .
Không gian tôpô X gọi là T, - không gian (hay không gian hoàn toàn
32

chính quĩ) nếu X là Ti - không gian và với mọi x e X , mọi tập con đóng F
của X không chứa

X,

tồn tại một hàm liên tục /: X

—»[0,1]

sao cho f(x)=0 và

f(y)=1 với mọi y eF.
Không gian hoàn toàn chính qui gọi là không gian Tikhonov.


17

Không gian tôpô X gọi là

T4

- không gian ( hay không gian chuẩn tắc)

nếu X là T1- không gian và hai tập con đóng Ả, B bất kì không giao nhau trong
X, tồn tại các tập mở u và V sao cho Aczư,B czV vầ ư nV = 0.
Ta goi To, Ti , T2 T3, T,, T4 là cảc tiên đề tách.
32

3.6.2. Tính chất của không gian chuẩn
tắc
3.6.2-1. Bổ đề Urysohn
Cho X là một không gian chuẩn tắc, A và B là hai tập con đóng rời
nhau của X. Khi đó tồn tại hàm liên tục f: X —> [0,1] sao cho / (x) = 0 với

m ọ i X E Ả v à f (*) = 1 v ó i m ọ i X E B .

Chứng minh.
Trước hết ta chứng minh mọi số hữu tỉ dạng r = k.2“" 6(0,1], tồn tại
một tập mở u. sao cho
A c z U , < z X \ B , Ỡcơ, r < s
Thật vậy, đặt ơ, = X \ B . Gọi V và

w

là các tập mở rời nhau sao cho

AczV và B cz w. Đặt ưm = V. Vì X wđóng nên ta có:
A (Z UV2 c:

c z X \ W c z x\ B = ư i

Bây giờ ta xây dựng U r với r = k . 2“” bằng qui nạp theo n . Giả sử đã
chọn đuợc ư với r = k . T n, 0 < k < 2", \ < n < N - \
Ta sẽ xây dựng

u

với r = (2ỹ + l)2“'v,0<ỹ <2V“' (với

0 < j < 2N ~\r = 2 j2~ N = j2~ ( N ~ l ) , Ur đã có theo giả thiết qui nạp). Ta có u .
,-,v

2

và x\ư là hai tập đóng rời nhau (ở đây đặt ư 0 = A ) , nên tương tự như
trên, chọn được ưr sao cho ưjĩ'- c[/f czưr czư(j+i)2'N

N


18

Vậy ta có họ các u. có tính chất đặt ra.
Đặt ơ. = x với mọi r > 1 và xác định hàm f ( x ) = i n f { r / x e ư . }
Vì AczUc= X\B với 0với mọi xeB và 0 < f (x)< 1 với mọi x e X . Với mọi a E [0,1] , do các giá
trị r = k.2“",

0 < k < 2” trù mật trong [0,1] nên

/(x) < a o X e Ur với r nào đó, r < a
oxe {Jưr
r
f (x) > a <=> X Ể ư với r nào đó, r > a
<=> X Ể Us với s nào đó, s >
a
oxe

u(x\ỡ)

Vì vậy /_1((-00,a)) =

u

Ur và /_1((6)í,+Go)) = ỊJ (x\ơ,) là mở. Từ

đó/liên tục.
3. Ó.2-2. Định lý l.l(Định lý Tietze-ưrysohn)
CAớ X là không gian chuẩn tắc, A là tập con đóng của X. Khi đó mọi
hàm liên tục f >[ứ,ò] đều tồn tại một hàm liên tục F:X —»[ứ,ố] sao
Chủng minh


19

/*

Bằng cách thay/bởi ——— ta có thể giả thiết [ữ,z>] = [0,1]. Ta sẽ xây
b—a
2»-i
dựng dãy {ơ }các hàm liên tục trên X sao cho 0< g < —— trên X và
trên A
Xét các tập ổ = / 1

c đóng trong Ả

và C=/-'|

và A đóng trong X nên B,c đóng trong X. Theo bổ đề ưrysohn, tồn tại
sao cho gj = 0 trên B và gị=- trên c.

Từ đó 0 < f - gx< — trên A. Giả sử đã xây dựng được gv...,g _J có tính
chất 0

trênXvà 0
3

7=1

2

v3y

trêny
4

Bằng phương pháp trên, ta có g: X —» 0.
sao
2"“'cho g = 0 trên tập
7=1

3

có / - Ỳễi * và s, = ,rên tập có / - Ẻ£, ^ [ \1 • Dề thấy g„ có
3

7=1 V 3 y

tính chất mong muốn của dãy {g }.
«

(2Ỵ

Đặt F = 2_,g , ta có 0F = / trên và hiển nhiên 0 < F < 1.


00

2"_1 £

20

sao choTa2,còn
~—phải
< —chứng
• Do gị,...,g
minh FN liên tục
tục.tại
Với
Xo mỗi
nên xtôn
X và
lân£cận
> 0,Vchọn
của Xo
N
0 e tại
n=N+1 3”
3

sao cho |g„(x)-g/I(x0)|<^; với mọi xeF,n=l,...,N.

Từ đó với mọi xeV
N

00

co

n=1

n=N+1

n=N+l

|F(x)-F(x 0)|<ígg„(x)-g„(x 0 )| + Ệg„(x)+ Ệg„(x 0 )
£ £ £_
/ , „ / 2"-1
^ 2"-1 s.
< — + — + — = £ (vì g <----- mà > --------< —)
3

0o

v

JJ

°n

o /í
J

o7

o /í
n=N+1 J

J

Vậy F liên tục tại Xo.

4. Sự mêtric hóa
4.1.

Tôpô sinh bởi mêtric
4.1.1.
Hình cầu, mặt cầu
Cho không gian mêtric (x,d^j, điểm x0 E X và số thực r > 0.

Hình cầu mở tâm

Xo

bán kính r là tậpz?(x0,r)

=

|x

E

XI d ( x , x 0 ) < rỊ

Hình cầu đóng tâm x0 bán kính r là tập B* (x0,r) = |x E XI d(x,x0) < r
Mặt cầu tầm x0 bán kính r là tập họp z?(x0,r) = |x e X I d(x,xữ) = rỊ
Hình cầu mở B(x0, r) được gọi là r- lân cận của điểm x0 trong không
gianmêtric (x , d ) .

4.1.2.
Tôpô sinh bỏi mêtric
Cho không gian mêtric ( X , d ) . Ta xác định trong (v,úf)một tập họp T
các tập con của X như sau:


21

T = { u c= X I Vxe ơ, 3r > 0 sao cho 5(x, r ) c z ư } .
Thì T là một tôpô trên X. Tôpô T xác định như trên gọi là tôpô sinh ra bỏi
mêtrỉc d trên X, các phần tử thuộc T được gọi là các tập mở trong ( X , d Y
4.2.

Không gian mêtric hóa
4.2.1.

Định nghĩa

Không gian tôpô X gọi là không gian mêtrỉc hóa nếu trên X có một
mêtric d sao cho tôpô sinh bởi mêtric d trùng với tôpô xuất phát trên X.
4.2.2.

Ví dụ

Mọi không gian rời rạc đều là không gian mêtric hóa (bởi mêtric rời

4.3.

Khái niệm hữu hạn địa phương, ròi rạc
4.3.1.
Họ u các tập con của không gian tôpô được gọi là hữu
hạn địa phưong

khi và chỉ khi mỗi điểm của không gian có một lân cận chỉ cắt một số hữu hạn
các phần tử của họ u.
HọU là ơ -hữu hạn địa phưong khi và chỉ khi nó là hợp của một số
hữu hạn các họ con hữu hạn địa phương

4.3.2.
rạc

Họ

u

các tập con của không gian tôpô được gọi là rời
nếu

mỗi

điểm của không gian có một lân cận cắt nhiều nhất một phần tử
của

họ

u.


22

Họ u là cr -rời rạc khi và chỉ khi nó là họp của một số hữu hạn các họ
con rời rạc.
4.4.

Cái mịn
4.4.1.

Định nghĩa

Phủ B của tập họp X được gọi là cải mịn của phủ u khi và chỉ khi mỗi
phần tử của phủ B được chứa trong phần tử nào đó của phủ u.
4.4.2.

Ví dụ

Trong không gian mêtric họ tất cả các hình cầu mở bán kính một nửa là
cái mịn của họ tất cả hình cầu mở bán kính một đơn vị.
5. Tập sao, hình sao


23

Cho yấcl'1, nếu xe Ả thì toàn bộ đoạn thẳng nối 0 với X cũng bị chứa

trong A, một tập mở có tính chất như vậy được gọi là tập sao đối với 0.
Cho u là họ nào đó các tập con của tập X và x e X . Ta gọi hình sao
của điểm X đối với u là tập hợp tất cả các phần tử của họ u chứa điểm X .


24

Chương 2. PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ

Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày các khái niệm về phân hoạch
đon vị, sự liên tục đồng bậc cùng với tích phân và đạo hàm của phân hoạch
đon vị.
1. Phân hoạch đơn vị và sự liên tục đồng bậc
1.1.

Phân hoạch đơn vị
1.1.1.

Cho {/?}?

Định nghĩa 1
s

là một họ các hàm từ không gian X vào [0,oo). Ta định

nghĩa hàm số f như sau: / = y*]fs.
£/. = f CÓ
S€S

nghĩa

là:

với

f ( x ) s u p £/,( x ) I T l à t ậ p c o n h ữ u h ạ n c ủ a
[seT

mỗi

xe X

s

Hàm / có thể nhận giá trị ở oo.
Nếu ta thêm điều kiện: Với mỗi s G s , f s là hàm số liên tục thì họ
{/Js

s

được gọi là phân hoạch của hàm / Ta có định nghĩa phân hoạch của

hàm f : X - > [0;co] như sau:

1.1.2.

Định nghĩa 2

Một họ các hàm

= Ự S \ X —>[0,oo)}? s được gọi là một phân

của hàm /:X —>[0,oo] nếu fs liên tục với mỗi sES và Ỵ2fs — f '
S€S


25

T được gọi là một phân hoạch đon vị hữu hạn nếu fs = 0 khắp nơi trừ
hữu hạn se s.
T được gọi là một phản hoạch hữu hạn điểm nếu X7 I {x} là một phân
hoạch hữu hạn của /1 {x} với Vx e X.
T được gọi là một phản hoạch hữu hạn địa phưong nếu với mỗi
xeX cỏ một lân cận ƯcủaX trongXsao cho Jr\ u là một phân hoạch hữu
hạn của /lơ.
Sau đây chúng ta xét đến khái niệm phân hoạch ịfsphụ thuộc vào
một phủ cho trước. Trước tiên ta xét khái niệm giá của fs

(Giá của fs là c l ị x e X |/(x)^ oỊ)

1.1.3.

Định nghĩa 3

Cho eF = {/s :X—»[0,oo)}s

s

là một phân hoạch của / : X ^-[0,(X)]

và u = [ ư s} s là một phủ mở của X. T là một u - small phân hoạch của
hàm/(phân hoạch phụ thuộc vào phủ U) nếu f s ( X

—

Ợv)c{o} với mỗi

s e S . Nói cách khác, giá của f s được chứa trong U s với mỗi s e s .

Ví dụ


26

là một phân hoạch đơn vị đối với đường
Đây là phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ

(—

Hơn thế nữa, điều mà chúng ta hướng đến là tìm hiểu phân hoạch của
một hàm số liên tục. Định lý sau đây chỉ ra những tính chất đặc trung cho sự
liên tục đó.
1.1.4.

Định lý 2.1

Cho {/?}v 5 là một họ các hàm số liên tục từ không gian X vào [0, oc)
sao cho = f hữu hạn (có nghĩa là f (X) C[0,oo)). Nói cách khác, cho
s

là phần hoạch của hàm hữu hạn/.

/liên tục nếu và chỉ nếu môi X G X và mỏi £ > 0 có một lân cận ư của
X trong X và một tập con hữu hạn T của s sao cho giả trị của Y.I

/< t r ê n

u

nhỏ hon £.
Chứng minh
Với bất kì tập con hũai hạn T của s đặt fT là y^ /v
Chiều thuận
f là hàm liên tục. Ta chứng minh mỗi X G X và mỗi £ > 0 có một lân
cận ư của X trong X và một tập con hữu hạn T của s sao cho giá trị của ^ fs
nhỏ hơn £.