BÀI GIẢNG cơ lý THUYẾT

BAØI GIAÛNG CÔ LYÙ THUYEÁT

Giáo viên biên soạn: Khoa Cơ khí

1


PHẦN I: CƠ HỌC LÝ THUYẾT
CHƯƠNG 1: CÁC TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC
1.1. Các khái niệm cơ bản
1.1.1. Vật rắn tuyệt đối
Vật rắn tuyệt đối là vật mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ thuộc vật luôn
luôn không thay đổi, tức là có hình dạng hình học không thay đổi trong suốt quá trình
chịu lực.
Trong thực tế khi chịu lực tác dụng, các vật rắn đều biến dạng nhưng rất nhỏ, ta
có thể bỏ qua để đơn giản hóa việc tính toán.
1.1.2. Lực
a) Định nghĩa: Lực là tác dụng tương hỗ giữa các vật mà kết quả là làm thay
đổi trạng thái động học của các vật đó.
Có thể chia lực làm 2 loại:
− Lực tác dụng với sự tiếp xúc trực tiếp giữa các vật, như người ngồi đè lên
ghế một lực ép, ngược lại ghế cũng tác dụng lên người một lực đẩy, kết quả
người không bị rơi xuống – tức là có sự thay đổi trạng thái động học.
− Lực tác dụng không có sự tiếp xúc trực tiếp giữa các vật - có khoảng cách
đó là lực vạn vật hấp dẫn. Chẳng hạn như lực hấp dẫn trong hệ thống thái
dương hệ thứ nhất mà mặt trời là trung tâm.
Lực tác dụng của quả đất đối với các vật rơi trên nó gọi là trọng lực.
b) Cách biểu diễn lực:
Bất kì một lực nào cũng được xác định bởi 3 yếu tố: điểm đặt, phương chiều và
trị số. Nói cách khác lực là một đại lượng véc tơ.
Người ta biểu diễn lực bằng một véc tơ,

chẳng hạn như véc tơ lực AB (hình 1.1), có gốc
A
B
là điểm đặt của lực, đường thẳng chứa véc tơ AB
gọi là phương (còn gọi là đường tác dụng) của
F
lực, mút B biểu diễn chiều của lực. Độ dài véc tơ
AB biểu diễn theo một tỉ lệ xích nào đó là trị số
của lực.
α
A
Để đơn giản người ta thường ký hiệu lực
bằng một chữ in hoa có mũi tên ở trên: F, P,
Q, R, . . .

Hình 1.1

1.1.3. Hệ lực
a) Hai lực trực đối: Là hai lực có cùng trị số, cùng đường tác dụng nhưng
ngược chiều nhau.
b) Hệ lực: Tập hợp nhiều lực cùng tác dụng lên một vật gọi là hệ lực, ký hiệu
(F1, F2, ... , Fn).

Giáo viên biên soạn: Khoa Cơ khí

2


F1

F2

A1

O
Q1

Q2

A1

A3
A2

Q3

A2
A3

P1
P2

F3
a)

b)
Hình 1.2

P3

c)

Ví dụ: Hệ lực phẳng đồng quy (F 1, F2, …,F3) (hình 1.2a), hệ lực phẳng song
song (Q1, Q2, Q3) (hình 1.2b), hệ lực phẳng bất kỳ (P1, P2, P3) (hình 1.2c).
c) Hệ lực tương đương: Hai hệ lực được gọi là tương đương khi chúng có cùng
tác dụng cơ học. Ký hiệu (F1, F2, . . . , Fn ) ~ ( Q1, Q2, . . . , Qn).
d) Hệ lực cân bằng: Là hệ lực khi tác dụng vào vật sẽ không làm thay đổi trạng
thái động học của vật, nói cách khác là hệ lực tương đương với 0.
( P1 , P2 , . . ., Pn ) ~ 0
e) Hợp lực: Là một lực tương đương với tác dụng của cả hệ, nghĩa là:
R ~ ( F1 , F2 , . . . , Fn )
R là hợp lực của hệ lực.
g) Vật cân bằng: Vật ở trạng thái cân bằng nếu nó đứng yên hoặc chuyển động
tịnh tiến thẳng đều, tức là vật chịu tác dụng của hệ lực cân bằng.
1.1.4. Mô men của lực đối với một điểm
a) Định nghĩa:
Giả sử vật rắn chịu tác dụng của lực F, vật có thể quay quanh điểm O cố định
(hình 1.3). Đại lượng đặc trưng cho tác dụng quay mà lực F gây ra cho vật quanh điểm
O được gọi là mômen m của lực F đối với điểm O và ta có định nghĩa:
“Mômen của lực F đối với điểm O là tích số giữa trị số của lực và cánh tay đòn
của lực đối với điểm ấy”.
mO ( F ) = ± F . a (1.1)
Trong đó cánh tay đòn a là khoảng cách từ tâm
B
quay O đến đường tác dụng của lực F , mO ( F )
F
là kí hiệu mômen của lực F đối với điểm O.
A
Quy ước mO ( F ) lấy dấu dương (+) nếu
chiều của lực F làm vật quay ngược chiều kim

O
a
H
đồng hồ, và lấy dấu âm (-) nếu chiều của lực F
làm vật quay cùng chiều kim đồng hồ.
Chú ý: Nếu đường tác dụng của lực F đi qua O
thì mômen của lực F đối với điểm O bằng 0: m O
Hình 1.3
( F ) = 0 vì a = 0.
1.1.5. Mô men của lực đối với một trục
Momen của lực F đối với trục OZ là đại lượng đại số ký hiệu m z ( F ) tính theo
công thức : mz ( F ) = ± F’.d . Trong đó F’ là hình chiếu của lực F trên mặt phẳng ð
vuông góc với trục Z, d là khoảng cách tính từ giao điểm O của trục z với mặt phẳng ð
đến đường tác dụng của lực F (hình 1.4).
Giáo viên biên soạn: Khoa Cơ khí

3


Hình 1.4

Quan hệ giữa mô men lực F đối với tâm O và với trục đi qua O
Trên hình 1.5 ta thấy:
mo(F) = 2.diện tích (ÄOAB).
mZ(F) = 2 diện tích (ÄOab)

O
Hình 1.5

Giáo viên biên soạn: Khoa Cơ khí

4


Vì Oab là hình chiếu của tam giác OAB trên mặt phẳng vuông góc với trục Z
tại O. Nếu gọi ỏ là góc hợp bởi giữa hai mặt phẳng OAB và mặt phẳng Oab thì góc
này cũng chính là góc hợp giữa véc tơ mô men mo(F) với trục OZ, ta có:
Diện tích ÄOab = diện tích ÄOAB. cosỏ
hay mZ(F) = mo(F) .cosỏ
Kết quả cho thấy mô men của lực F đối với trục OZ là hình chiếu véc tơ mô
men lực F lấy với điểm O nào đó trên trục OZ chiếu trên trục OZ đó.
1.1.6. Ngẫu lực
a) Định nghĩa: Hệ gồm hai lực song song ngược chiều có trị số bằng nhau gọi
là một ngẫu lực, kí hiệu ( F , F ) (Hình 1.6a).
Khoảng cách a giữa đường tác dụng của hai lực gọi là cánh tay đòn của ngẫu
lực.
Ta có thể trượt các lực để cho đoạn nối 2 điểm đặt đúng là cánh tay đòn (hình
1.5b)từ đây ta quy ước vẽ ngẫu lực như vậy.

F

F

a

a

A

F

B

H
a)

Hình 1.6

F

b)

Một ngẫu lực được xác định bởi 3 yếu tố:
- Mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực: là mặt phẳng chứa các lực của ngẫu lực.
- Chiều quay của ngẫu lực: là chiều quay của vật do ngẫu lực gây nên.
Chiều quay là dương (+) khi ngẫu lực có xu hướng làm cho vật quay ngược
chiều kim đồng hồ và âm (-) khi vật quay thuận chiều kim đồng hồ (hình 1.7).
- Trị số mômen của ngẫu lực: là tích số giữa trị số của lực với cánh tay đòn, ký
hiệu là m:
m=F.a
(1.2)

+

-

a)

b)
Hình 1.7

b) Tính chất của ngẫu lực trong mặt phẳng tác dụng:
- Tác dụng của một ngẫu lực không thay đổi khi ta di chuyển ngẫu lực trong mặt
phẳng tác dụng của nó.
- Có thể biến đổi lực và cánh tay đòn của ngẫu lực một cách tùy ý, miễn là bảo
đảm trị số mô men và chiều quay của nó.
Đặc biệt, khi có nhiều ngẫu lực ta có thể biến đổi để cho chúng có chung cánh
tay đòn.

Giáo viên biên soạn: Khoa Cơ khí

5


F
a

~

m=F.a

F

Hình 1.8
Từ các tính chất trên ta có thể rút ra kết luận: tác dụng của ngẫu lực trên một
mặt phẳng hoàn toàn được đặc trưng bằng chiều quay và trị số mômen của nó. Điều
này cho phép biểu diễn ngẫu lực bằng chiều quay và trị số mômen của nó như hình
1.8.
c) Hợp hệ ngẫu lực phẳng:
“Hợp một hệ ngẫu lực trong cùng một mặt phẳng được một ngẫu lực nằm
trong mặt phẳng đã cho, có mômen đại số bằng tổng mômen đại số của các ngẫu lực

thuộc hệ”.
1.2. Hệ tiên đề tĩnh học
1.2.1. Tiên đề 1 (tiên đề về hai lực cân bằng)
Điều kiện cần và đủ để hai
B
A
A B
lực tác dụng lên một vật rắn được
cân bằng là chúng phải trực đối nhau
F2
F1
F1
F2
(hình 1.9)
1.2.2. Tiên đề 2 (tiên đề về thêm,
Hình 1.9
bớt hai lực cân bằng)
Tiên đề: Tác dụng của một hệ lực lên một vật rắn không thay đổi khi ta thêm
vào (hay bớt đi) hai lực cân bằng nhau.
Hệ quả: Tác dụng của một lực lên một vật rắn không thay đổi khi trượt lực trên
đường tác dụng của nó.
1.2.3. Tiên đề 3 (tiên đề về hình bình hành lực)

F1

R
N

A

F2

Hình 1.10

F
Hình 1.11

Hai lực đặt tại một điểm tương đương với một lực đặt tại điểm đó và được biểu
diễn bởi đường chéo hình bình hành mà hai cạnh là hai lực đã cho (hình 1.9).
R = F 1 + F2
Hệ quả: Hợp lực của hệ lực đồng quy được biểu diễn bằng véctơ chính của hệ
lực đặt tại điểm đồng quy.
Giáo viên biên soạn: Khoa Cơ khí

6


Để xác định véctơ lực có thể sử dụng phương pháp vẽ (phương pháp đa giác
lực) hoặc phương pháp xác định hình chiếu của nó trên 2 trục vuông góc (hệ lực
phẳng) hoặc trên 3 trục vuông góc (hệ lực không gian).
a) Phương pháp đa giác lực
Giả sử có hệ lực phẳng đồng quy
(F1, F2, F3, F4) (hình 1.12).Muốn tìm hợp
lực của hệ, trước hết ta hợp hai lực F 1 và
B
F2 theo tiên đề về hình bình hành lực, ta
F2'
A
được R1:
R1 = F1 + F2

R1
F3'
Tiếp tục hợp R1 và F3, được R2:
F
1

R2 = R1 + F3 = F1 + F2 + F3
Cuối cùng, ta hợp R2 với F4:
R = R2 + F4 = F1 + F2 + F3 + F4
R là hợp lực của hệ lực phẳng đồng
quy đã cho. Hợp lực R khép kín đa giác
lực.

F2

R2

O
F4

R

F3

C
F4'
D

Hình 1.12
b) Xác định hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy theo phương pháp chiếu:

Giả sử có hệ lực phẳng đồng quy (F 1, F2 , . . . , Fn) có hình chiếu tương ứng lên
hai trục tọa độ vuông góc là (F1x, F2x . . . , Fnx ) và (F1y , F2y . . ., Fny).
Ta có hợp lực:
R = F1 + F2 + . . . + Fn = Σ F
Hợp lực R có hình chiếu lên hai trục tọa độ là (Rx, Ry).
Theo kết quả trong phép tính vec tơ, "hình chiếu của véc tơ tổng hợp bằng tổng
đại số hình chiếu của các véc tơ thành phần".
Ta có:
R x = F1x + F2 x + ... + Fnx = ΣFx 
(1.3)

R y = F1 y + F2 y + ... + Fny = ΣFy 
Về trị số của hợp lực R:

R = Rx2 + R y2 = (ΣFx ) 2 + (ΣFy ) 2
Về phương chiều của hợp lực R:

tgα =

Ry
Rx

=

ΣF y
ΣFx

(1.4)

(1.5)

1.2.4. Tiên đề 4 (tiên đề về tương tác)
Lực tác dụng và phản lực là hai lực trực đối (hình 1.11).
1.2.5. Tiên Đề 5 (Tiên đề hóa rắn)
Một vật biến dạng đã cân bằng dưới tác dụng của một hệ lực thì khi hoá rắn vật
vẫn cân bằng.
1.2.6.Tiên đề 6 ( Tiên đề giải phóng liên kết)
Giáo viên biên soạn: Khoa Cơ khí

7


Trước khi phát biểu tiên để này cần đưa ra một số khái niệm cÇn ®ưa ra mt s
kh¸i niƯm vỊ: Vt r¾n t do, vt r¾n kh«ng t do, liªn kt v ph¶n lc liªn kt.
1.2.6.1. Vật tự do và vật chịu liên kết
Vật rắn gọi là tự do khi nó có thể thực hiện chuyển động tùy ý theo mọi
phương trong không gian mà không bị vật khác cản trở.
Vật không tự do là vật có một vài phương chuyển động bị vật khác cản trở.
Những điều kiện cản trở chuyển động của vật được gọi là liên kết.
Vật không tự do gọi là vật chịu liên kết (hay còn gọi là vật khảo sát).
Vật gây ra sự cản trở chuyển động của vật khảo sát gọi là vật gây liên kết.
1.2.6.2. Phản lực liên kết
Do tác dụng tương hỗ, vật khảo sát tác dụng lên vật gây liên kết một lực, gọi là
lực tác dụng. Theo tiên đề về tương tác vật gây liên kết phải tác dụng lên vật khảo sát
một lực, lực đó gọi là phản lực liên kết (gọi tắt là phản lực).
Ở ví dụ trên hình 1.11 , F là lực tác dụng, N là phản lực.
Phản lực liên kết đặt vào vật khảo sát (ở chỗ tiếp xúc giữa hai vật) cùng phương
ngược chiều với chiều chuyển động bị cản trở của vật khảo sát. Trị số của phản lực
phụ thuộc vào lực tác dụng lên vật khảo sát.
Vật chịu liên kết ( cân bằng ) có thể xem được vật tự do ( cân bằng ), nếu thay

thế tác dụng cuả các vật gây liên kết lên vật khảo sát bằng những phản lực liên kết
tương ứng .
Thực tế thường gặp vật rắn chịu liên kết, nhờ tiên đề này ta đưa về trường hợp
vật tự do và áp dụng được tiên đề trên.
1.2.6.3. Giải phóng liên kết:
Khi khảo sát một vật rắn, ta phải tách vật đó ra khỏi các liên kết và xác định hệ lực tác
dụng lên vật rắn đó.
Hệ lực tác dụng gồm các lực đã cho và các phản lực liên kết.
Việc thay thế các liên kết bằng các phản lực liên kết tương ứng, được gọi là giải
phóng liên kết.
Sau khi giải phóng liên kết, vật khảo sát được coi như một vật tự do cân bằng
dưới tác dụng của hệ lực gồm các lực đ cho và các phản lực.
1.2.6.4 Các loại liên kết cơ bản
a) Liên kết hoàn toàn trơn (liên kết không ma sát hay còn gọi là liên kết tựa):
Là loại liên kết mà hai vật trực tiếp tựa lên nhau, tiếp xúc theo bề mặt, hoặc đường,
hoặc điểm. Phản lực liên kết tựa có phương vuông góc với mặt tiếp xúc chung, có
chiều đi về phía vật khảo sát, ký hiệu N (hình 1.13).

NC
C

NA

N

NB

A
B
Hình 1.13

Giáo viên biên soạn: Khoa Cơ khí

8


b) Liên kết dây mềm, thẳng và không dãn: Là loại liên kết giữa vật với các
dây treo nó. Phản lực của vật rắn tác dụng lên dây được gọi là sức căng dây, ký hiệu là
T. Sức căng dây hướng dọc theo dây và hướng ra đối với mặt cắt dây, làm dây luôn ở
trạng thái căng (hình 1.14).

T2

T1

T

Hình 1.14
c) Liên kết bản lề: Hai vật có liên kết bản lề khi chúng có trục (chốt) chung, có
thể quay đối với nhau. Phản lực liên kết R đi qua tâm của trục và có phương, chiều
chưa được xác định. Phản lực R được phân làm hai thành phần vuông góc với nhau là
Rx và Ry nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục tâm của bản lề (hình 1.15).

y
R

O

R

Ry

x
O

Rx
Hình 1.15

D
LLiên kết gối: Liên kết gối dùng để đỡ các dầm, khung, . . . Có 2 loại liên kết
gối: gối cố định và gối di động (gối con lăn).
Phản lực liên kết của gối cố định được xác định như liên kết bản lề, còn phản
lực liên kết của gối con lăn được tìm theo quy tắc của phản lực liên kết tựa (hình 1.16.

YA
A

F1
XA

F2
YB
B

Hình 1.16

e) Liên kết ngàm: Là liên kết khi vật được nối cứng vào một vật khác (ví dụ trong
trường hợp hai vật được hàn cứng lại với nhau).
Trong trường hợp ngàm phẳng (hệ lực khảo sát là hệ lực phẳng), phản lực liên
kết gồm hai thành phần vuông góc với nhau và một ngẫu lực nằm trong mặt phẳng
chứa hai thành phần lực và cũng là mặt phẳng chứa hệ lực (hình 1.17.
Giáo viên biên soạn: Khoa Cơ khí

9


y
YA
mA

F


XA
A

x
B

Hỡnh 1.17
i vi ngm khụng gian (h lc kho sỏt l h lc khụng gian), phn lc liờn
kt gm ba thnh phn lc vuụng gúc vi nhau (dc theo ba trc ta ) v ba thnh
phn ngu lc trong ba mt phng ta .
f) Liờn kt thanh: Liờn kt thanh c thc hin nh
cỏc thanh tha món iu kin sau: Ch cú lc tỏc dng
SC
B
SB
hai u, cũn dc thanh khụng cú lc tỏc dng v trng
A
lng ca thanh c b qua. Vớ d cỏc thanh khụng

trng lng, liờn kt bng cỏc liờn kt tr hay cu. Phn
lc liờn kt thanh cú phng qua hai im chu lc (dc
theo thanh). Phn lc liờn kt thanh ký hiu l S (hỡnh
1.18 1.19).

P

Hỡnh 1.18


C

Hỡnh 1.19
g) Liên kết l gót trục: ( hình 1.20). Vật khảo sát bị hạn chế các chiều chuyển
động theo phơng ngang, phơng thẳng đứng v chuyển động quay quanh các trục X
v Y do đó phản lực liên kết có các thnh phần nh hình vẽ.

Giỏo viờn biờn son: Khoa C khớ

10


Hình 1.20
1.3. Các hệ quả
Hệ quả 1 (Định lý trượt lực): Tác dụng của lực không thay đổi khi ta trượt lực
trên đường tác dụng của nó.

Hình 1.21
Chú ý : Tính chất trên chỉ đúng với vật rắn tuyệt đối. Với vật rắn biến dạng khi
thay đổi điểm đặt thì ứng xử của biến dạng trong vật sẽ thay đổi.

Hệ quả 2 (Định lý về hợp lực của hệ): Khi hệ lực cân bằng thì một lực bất kỳ
của hệ lực
ấy sẽ là lực
trực đối vớihợp lựccủa các lực còn lại.
 

( F 1, F 2, ..., F n) ∼ 0 ⇒ F 1 ∼ ( F 2, ..., F n)
Hệ quả 3 (Định lý về đường tác dụng của 3 lực đồng phẳng): Khi ba lực đồng
Giáo viên biên soạn: Khoa Cơ khí

11


phng cõn bng, ng tỏc dng ca chỳng hoc ng quy hoc song song.
ẹũnh lyự ve 3 lửùc caõn baống:
Ba lc cõn bng l chỳng cựng nm trong mt mt phng, v nu chỳng khụng
song song thỡ ng tỏc dng phi ng quy ti mt im .


F3


F1
A

B

(H 1-.22)

F2


R

Chng minh


Tht vy. hai lc F 1, F 2 ng qui ti A ( Hỡnh 1-13) nờn cú hp lc : R ( F1 , F2 )


vỡ: ( F1 , F2 , F3 ) 0 ( F3 , R) 0
Nờn theo tiờn 1 thỡ hai lc trờn cõn bng nờn phi cựng ng tỏc dng suy ra
chỳng s ng quy nhau.

Giỏo viờn biờn son: Khoa C khớ

12


CHƯƠNG 2: HỆ LỰC PHẲNG, HỆ LỰC KHÔNG GIAN
2.1. Hệ lực phẳng
Hệ lực phẳng là một tập hợp các lực tác dụng lên cùng một vật rắn và có đường
tác dụng cùng nằm trong một mặt phẳng.
2.1.1. Vec tơ chính và mômen chính của hệ lực phẳng.
a) Véc tơ chính
  

Cho hệ lực phẳng ( F1 , F2 ,...Fn ) , vectơ chính của hệ lực kí hiệu là RO là vectơ
tổng của các vectơ lực của hệ lực.


 

RO = F1 + F2 + ... + Fn

hay

n 

Ro = ∑ Fk
i =1

(2.1)

Cách xác định véc tơ chính như trình bày trong mục 1.2.3.

b) Mômen chính của hệ lực phẳng đối với một điểm
Mômen chính của hệ lực phẳng đối với một điểm (O) là đại lượng đại số, kí
hiệu là M O , bằng tổng mômen của các lực của hệ lực đối với điểm O.
n




M o = mO ( F1 ) + mO ( F2 ) + ..... + mO ( Fn ) = ∑ mo ( Fk )
(2.2)
k =1

Giáo viên biên soạn: Khoa Cơ khí

13


Hình 2.2

ĐỊNH LÝ DỜI LỰC :
Tác dụng lên vật sẽ không thay đổi nếu dời lực đó song song với chính nó tới một
điểm bất kỳ thuộc vật, đồng thời ta thêm vào một ngẫu lực có momen bằng momen
của lực sẽ di chuyển lấy đối với điểm mà lực di chuyễn tới (Hình 2.3)


F′


F
A
(H 2.3)


F ′′

B

Chứng minh
 

Giả sử cho lực F đặt tại A .Tại B ta thêm vào hai lực cân bằng F ′ , F ′′ cùng

phương và trị số với lực F   
 


Theo tiên đề II ta được: ( F , F ′ , F ′′ ) ∼ F Mà ( F , F ′′) chính là một ngẫu lực.
  

( F ′, ( F , F ′′)) ∼ F
Vậy có nghĩa là:
Chú ý:
- Véctơ chính là véctơ tự do, còn mômen chính phụ thuộc vào điểm lấy mômen,
nghĩa là mômen chính lấy đối với 2 điểm khác nhau sẽ khác nhau.
Khi thay tâm O bằng một điểm khác, tâm I chẳng hạn, dĩ nhiên:

n 

 
RI = ∑ Fk = Ro = R ;
i =1

momen chính của hệ lực phẳng đối với
điểm I sẽ là:


M I = M O + m I ( RO )

m I ( RO ) gọi là mômen của véctơ chính đặt tại O đối với điểm I.

- Đối với hệ lực đồng quy thì mômen chính của hệ lực đối với điểm đồng quy
bằng không. Đối với hệ ngẫu lực thì véctơ chính của hệ ngẫu lực luôn luôn bằng
không, còn mômen chính của hệ ngẫu lực đối với điểm bất kì O nào cũng bằng mômen
Giáo viên biên soạn: Khoa Cơ khí

14


của ngẫu lực tổng cộng, tức bằng tổng mômen các ngẫu lực thành phần của hệ ngẫu
lực.
- Định lý biến thiên Momen chính :
Vectơ momen chính của một hệ lực đối với các tâm rút gọn khác nhau thì khác
nhau, song giữa chúng có liên hệ là( Hình 2-4)
(H 2-.4)


ri


Fi

O
I


 
M I = M o + mI ( Ro )







(2-3)



Hay M I = M o + IO x R
Chứng minh
n

' 
M I = ∑ (rk x Fk ) mà
i =1

Vậy


 
ri ' = ri + IO

n
n




  
 
M I = ∑ (rk + IO) x Fk ⇒ M I = ∑ rk x Fk + IO×∑ Fk
i =1

i =1




 
M I = M o + IO x R

Nghiã là: Momen chính khi thu hệ lực về điểm I bằng momen chính khi thu hệ lực về
điểm O cộng với momen cuả vectơ chính đặt tại điểm O lấy đối với điểm I
2.1.2 Thu gọn hệ lực phẳng:
o Bất biến thứ 1: Như ta đã thấy khi thay đổi tâm thu gọn thì vectơ chính



R I = Ro = R
không thay đổi. Nghĩa là :
(2-4)

Vậy: Vectơ chính R là bất biến thứ nhất của hệ lực đối với tâm thu gọn.
o Bất biến thứ 2


 
M I = M o + IO x R
Từ (II-3) ta có :
 


 
 

 
R I . M I = R I . ( M o + IO x R ) = R I . M o + R I . ( IO x R )





Nhưng vì vectơ chính R là một đại lượng bất biến : R I = Ro = R

 

 
Mà R I . ( IO x R) = 0 ( vì R I ⊥ ( IO x R ) )
 
 
⇒ RI . M I = Ro M o
(2-5)

Vậy: Tích vô hướng của vectơ chính và momen chính là một đại lượng bất biến ( Bất
biến thứ hai ).
o Bất biến thứ 3
Chiếu vectơ momen chính lên phương vectơ chính, ta được:
Ro.Mo.Cos α = RI.MI.Cos β
⇒ Mo.Cos α =.MI.Cos β
(2-6)
Vậy: Hình chiếu của vectơ momen chính lên phương của vectơ chính là một đại
lượng không đổi
- Các dạng tối giản của hệ lực:
Giáo viên biên soạn: Khoa Cơ khí

15

Thu hệ lực về một điểm ta được một lực đặt tại điểm thu gọn
có cường độ bằng

vectơ chính Ro và một ngẫu lực có momen bằng momen chính M o
Nếu :



a- M o = 0, Ro = 0 thì hệ lực cân bằng ( Fi ) ∼ 0








b- M o ≠ 0, Ro = 0 thì hệ lực tương đương với 1 ngẫu lực ( Fi ) ∼ M




c- M o = 0, Ro ≠ 0 Hệ lực có hợp lực ( Fi ) ∼ R




d- M o ≠ 0, Ro ≠ 0

Mo

 

M . R = 0 Hệ lực có hợp lực ( Fi ) ∼ R đặt tại điểm I sao cho: OI =
Ro
 
M . R ≠ 0 Hệ lực thu về hệ xoắn ( đinh ốc)

2.1.3 Điều kiện cân bằng và các phương trình cân bằng của hệ lực phẳng

- Định lý :Điều kiện cần và đủ để một hệ lực bất kỳ cân bằng là vectơ chính Ro


và momen chính M o của hệ lực ấy đối với một tâm thu gọn bất kỳ đều bằng không.
n 

R
=
- o ∑ Fi = 0

  
( F1 , F2 ...Fn ) ≈ 0 ⇔
n

  n  
M o = ∑ mo ( Fi )=∑ (ri x Fi ) = 0
i =1

i =1

-

i =1

2- Phương trình cân bằng :


Từ điều kiện cân bằng của hệ lực : M o = 0, Ro = 0 ta chiếu trên các trục tọa độ sẽ nhận
được 4 phương trình vô hướng sau đây và được gọi là 4 phương trình cân bằng của hệ
lực .
 − Rx = ∑ X = 0

 − Ry = ∑ Y = 0





 − M x = ∑ mx ( Fi ) = 0


 − M = m (F ) = 0
∑
y
y
i




2.2 Hệ lực không gian

2.2.1 Vecto chính và mômen chính của hệ lực không gian.
- Vectơ chính của hệ lực không gian.
a. Định nghĩa: Vectơ chính của hệ lực không gian, ký hiệu R’ , là tổng hình học của
các vectơ biểu diễn các lực của hệ lực.

- Mômen chính của hệ lực không gian.
- Định nghĩa: Mômen chính của hệ lực không gian đối với tâm O, ký hiệu Mo , là một
vectơ bằng tổng hình học các vectơ mômen các lực thuộc hệ lực đối với tâm O.

- Định lý biến thiên mômen chính:
Định lý: Biến thiên mômen chính của hệ lực khi tâm lấy mômen thay đổi từ O đến O’
Giáo viên biên soạn: Khoa Cơ khí

16


bằng mơmen của vectơ chính đặt tại O lấy đối với điểm O’.

2.2.2 Thu gọn hệ lực khơng gian.
- Định lý dời lực song song.
Định lý: Lực F đặt tại A tương đương với lực F’ song song, cùng chiều, cùng cường
độ với lực F nhưng đặt tại O và một ngẫu lực có mơmen bằng mơmen của lực F lấy
đối với điểm O.

Nhận xét:
Nhận thấy M = mO (F) ^F Hệ lực gồm một lực F và một vectơ mơmen M vng góc
với F sẽ tương đương với một lực F cách F’ một đoạn d =M/F . Điểm đặt của lực F
phụ thuộc vào chiều của M.
2.2.2- Thu gọn hệ lực khơng gian về tâm.
Định lý: Hệ lực khơng gian bất kỳ tương đương với một lực và một ngẫu lực đặt tại

một điểm tuỳ ý, chúng được gọi là lực thu gọn và ngẫu lực thu gọn. Lực thu gọn được
biểu diễn bằng vectơ chính của hệ lực đặt tại tâm thu gọn, còn ngẫu lực thu gọn có
vectơ mơmen bằng mơmen chính của hệ lực đối với tâm thu gọn.
2.2.3 Điều kiện cân bằng và các phương trình cân bằng của hệ lực khơng gian
Đònh lý :Điều kiện cần và đủ để một hệ lực bất kỳ cân


bằng là vectơ chính Ro và momen chính M o của hệ lực ấy
đối với một tâm thu gọn bất kỳ đều bằng không.
n 

R
=
- o ∑ Fi = 0

  
( F1 , F2 ...Fn ) ≈ 0 ⇔

i =1

(2-7)

n

  n  
M
=
m
- o ∑ o ( Fi )=∑ (ri x Fi ) = 0
i =1

i =1

Phương trình cân bằng :


Từ điều kiện cân bằng của hệ lực : M o = 0, Ro = 0 ta
chiếu trên các trục tọa độ sẽ nhận được 6 phương trình vô
hướng sau đây và được gọi là 6 phương trình cân bằng của
hệ lực .

Giáo viên biên soạn: Khoa Cơ khí

17


 − Rx = ∑ X = 0

 − Ry = ∑Y = 0

− R =∑Z =0
z



 − M x = ∑ m x ( Fi ) = 0


 − M = m (F ) = 0
∑

y
y
i


 − M z = ∑ mz (F ) = 0


(2.8)

CÁC KẾT QUẢ KHI THU GỌN HỆ LỰC KHÔNG GIAN VỀ TÂM THU GỌN
(CÁC DẠNG TỐI GIẢN CỦA HỆ LỰC KHÔNG GIAN)
1. Định lý Varinhông.
Nếu hệ lực không gian có hợp lực thì mômen của hợp lực đối với một tâm bất kỳ
bằng tổng mômen của các lực thành phần đối với tâm ấy.

Các dạng chuẩn của hệ lực không gian

Giáo viên biên soạn: Khoa Cơ khí

18


Hình 2.5

Hình 2.6

2.2.4- Điều kiện cân bằng và các phương trình cân bằng với các hệ lực đặc biệt :

Giáo viên biên soạn: Khoa Cơ khí

19


a- Hệ lực không gian đồng quy: Ta lấy điểm đồng quy của tất cả các đường tác
dụng của lực làm góc tọa độ O. Hệ 6 phương trình cân bằng ở trên trong trường hợp
này chỉ còn lại 3. Vậy điều kiện cân bằng của hệ lực đồng quy là :
 − Rx = ∑ X i = 0

 − R y = ∑ Yi = 0

− R =∑Z =0
z
i


(2-10)



b- Hệ lực không gian song song: Giả sử hệ lực ( Fi ) song song với trục z. Hệ 6
phương trình cân bằng ở trên trong trường hợp này chỉ còn lại 3. Vậy điều kiện cân
bằng của hệ lực song song là :

 − M x = ∑ m x ( Fi ) = 0


 − M = m (F ) = 0
∑
y

y
i

 − Rz = ∑ Z i = 0


(2-11)

c- Hệ lực phẳng:
c1 - Hệ lực
 phẳng bất kỳ:
Giả sử hệ lực ( Fi ) đều nằm bất kỳ trong mặt phẳng (xoy). Hệ 6 phương trình
cân bằng ở trên trong trường hợp này chỉ còn lại 3. Vậy điều kiện cân bằng của hệ lực
phẳng là :



 − Rx = ∑ X i = 0

Dạng 1  − R y = ∑ Yi = 0


 − M = ∑ m (F ) = 0
A
A
i


(2-12)



 − Rx = ∑ X i = 0


Dạng 2  − M A = ∑ m A ( F ) = 0


 − M = ∑ m (F ) = 0
B
B
i


(2-13)

Chú ý: Phương x không được vuông góc với đường nối hai điểm A và B



 − M A = ∑ m A ( Fi ) = 0


Dạng 3  − M B = ∑ m B ( Fi ) = 0

 − M C = ∑ mC ( Fi ) = 0


(2-14)

Chú ý: Các điểm A, B, C không thẳng hàng
c1 – Các dạng đặc biệt hệ lực phẳng
 Hệ lực phẳng đồng quy
− RX = ∑ X i = 0
− RY = ∑ Yi = 0

(2-15)

 Hệ lực phẳng song song
- Dạng 1:
Giáo viên biên soạn: Khoa Cơ khí

20


− RX = ∑ X i = 0

− M o = ∑ mo ( Fi )

(2-16)


− M A = ∑ mA ( Fi )

− M B = ∑ mB ( Fi )

(2-17)

- Dạng 2:

4- Điều kiện cân bằng của vật rắn không tự do :
Trường hợp không tự do, ngoài các lực chủ động tác dụng lên vật rắn còn có
các phản lực liên
 kết
 . Giải phóng các liên kết ta có vật tự do cân bằng chịu hệ lực sau :
( Fi , Rk ) = 0
( i, k = 1, 2 , ... n )
a- Vật rắn quay được quanh một trục cố định:
A, B là các bản lề trụ. Vật cân bằng nếu ( Hình 2-7) :

RA
A


RB

B

(Hình 2-7)











( F1 , F2 . . . Fn , R A , R B ) ∼ 0
 
các phản lực liên kết R A , R B đều cắt trục ,

vậy :
Σ mz ( Fi ) = 0
( 2-18)
Do đó : Điều kiện cân bằng của vật rắn quay quanh
trục cố định là : “ Tổng momen của các lực chủ động
đối với trục quay bằng không “
b- Vật rắn quay được quanh một điểm:
O là bản lề cầu.
 Vật
 rắncân bằng thì ta có ( Hình 2-8):
( F1 , F2 . . . Fn , Ro ) ∼ 0


Ro
O
(Hình 2-8)



Vì đường tác dụng của phản lực liên kết Ro phải đi qua

O nên :
Σ mo ( Fi ) = 0
( 2-19)
Vậy điều kiện cân bằng của vật rắn quay quanh
một điểm cố định là: “ Tổng momen của các lực chủ

động đối với tâm quay bằng không”

BÀI TOÁN CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN
Giáo viên biên soạn: Khoa Cơ khí

21


Vật rắn cân bằng khi hệ lực tác dụng lên nó bao gồm các lực đã cho v à phản lực liên
kết cân bằng.
Khi giải bài toán cân bằng của vật rắn có thể áp dụng phương pháp giải tích hoặc
phương pháp hình học nhưng phổ biến và có hiệu quả nhất là phương pháp giải tích.
Giải bài toán cân bằng của vật thường tiến hành theo các bước sau:
1. Chọn vật khảo sát: vật khảo sát phải là vật rắn mà sự cân bằng của nó cần thiết cho
yêu cầu xác định của bài toán. Nếu như bài toán tìm phản lực liên kết thì vật khảo sát
phải là vật chịu tác dụng của phản lực liên kết cần tìm, nếu là bài toán tìm điều kiện
cân bằng của vật thì vật khảo sát phải chính là vật đó.
2. Giải phóng vật khảo sát khỏi liên kết và xem đó là vật tự do dưới tác dụng của các
lực đã cho và phản lực liên kết.
3. Thiết lập điều kiện cân bằng cuả vật bởi các phương trình cân bằng của hệ lực tác
dụng lên vật khảo sát bao gồm các lực cho và phản lực liên kết.
4. Giải hệ phương trình cân bằng để xác định trị số và phương chiều của các phản lực
liên kết hoặc thiết lập mối quan hệ giữa các lực để đảm bảo điều kiện cân bằng cho vật
khảo sát .
5. Nhận xét các kết quả thu được.
Cần chú ý rằng chiều của các phản lực thường chưa được xác định vì thế lúc đầu phải
tự chọn chiều. Dựa vào kết quả giải hệ phương trình cân bằng ta có thể xác định chiều
của các phản lực chọn đúng hay sai. Nếu các phản lực liên kết cho trị số dương thì
chiều chọn là đúng và nếu trị số âm thì chiều phải đảo lại . Mặt khác cũng cần lưu ý
rằng bài toán có trường hợp giải được (bài toán tĩnh định) khi số ẩn số cần xác định

nhỏ hơn hoặc bằng số phương trình cân bằng. Có trường hợp không giải được (bài
toán siêu tĩnh) khi ẩn số cần tìm lớn hơn số phương trình cân bằng.
Thí dụ 1. Cột điện OA chôn thẳng đứng trên mặt đất và được giữ bởi hai sợi dây AB
và AD hợp với cột điện một góc ỏ = 30 0 (xem hình 2-9a) Góc giữa mặt phẳng AOD và
mặt phẳng AOB là ϕ = 600. Tại đầu A của cột điện có hai nhánh dây điện mắc song
song với trục Ox và Oy. Các nhánh dây này có lực kéo là P1 và P2 như hình vẽ. Cho
biết P1 = P2 = P = 100kN.
Xác định lực tác dụng dọc trong cột điện và trong các dây căng AD, AB.
Bài giải:
Chọn vật khảo sát là đầu A của cột điện.

Giáo viên biên soạn: Khoa Cơ khí

22


Hình 2.9
Liên kết đặt lên đầu A là hai sợi dây AB, AD và phần cột điện còn lại.Gọi phản
lực liên kết trong dây AB là R 1, trong dây AD là Rr 2 và lực dọc cột là R 3 với chiều
chọn như hình vẽ 2-9. Khi giải phóng điểm A khỏi liên kết điểm A sẽ chịu tác dụng
của các lực P1, P2 và các phản lực R1R2 Rr3. Điều kiện để đầu A cân bằng là hệ 5 lực
tác dụng lên nó cân bằng. Ta có:

Giáo viên biên soạn: Khoa Cơ khí

23


Thí dụ 2:

Giáo viên biên soạn: Khoa Cơ khí

24


Giáo viên biên soạn: Khoa Cơ khí

25