chuyên đề hàm số đặng việt hùng

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ - P1
Thầy Đặng Việt Hùng
I. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Dạng 1. Sự biến thiên của hàm không có tham số
Phương pháp:
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính y ' và giải phương trình y ' = 0 để tìm các nghiệm.
+ Lập bảng biến thiên (hoặc chỉ cần bảng xét dấu y ' ) và kết luận trên cơ sở các điểm tới hạn.
Chú ý: Quy tắc xét dấu của hàm đa thức và phân thức.
Các ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: Xét sự biến thiên của các hàm số sau đây:
a) y = −2 x 3 + 3 x 2 + 1.

b) y = x3 − 3x 2 + 3x + 1.
1
1
x2
d) y = x5 − x 4 − x3 +
+ 2 x − 1.
5
4
2
Lời giải:

c) y = x 4 − 2 x 2 − 1.
a) y = −2 x 3 + 3 x 2 + 1.
Tập xác định: D = R.

x = 0
Đạo hàm: y′ = −6 x 2 + 6 x = −6 x ( x − 1) 
→ y ′ = 0 ⇔ −6 x ( x − 1) = 0 ⇔ 
x =1
Bảng xét dấu của đạo hàm:
x
−∞
0
1

−

y'

0

+

+∞

−

0

Vậy hàm số đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (−∞; 0) và (1; +∞).
b) y = x3 − 3x 2 + 3x + 1.
Tập xác định: D = R.
2
Đạo hàm: y′ = 3 x 2 − 6 x + 3 = 3 ( x − 1) ≥ 0 

→ y′ ≥ 0, ∀x ∈ D.

Vậy hàm số đã cho luôn đồng biến trên tập xác định.
c) y = x 4 − 2 x 2 − 1
Tập xác định: D = R.
x = 0
Đạo hàm: y′ = 4 x3 − 4 x = 4 x x 2 − 1 
→ y′ = 0 ⇔ 4 x x 2 − 1 = 0 ⇔ 
 x = ±1
Bảng xét dấu của đạo hàm:
x
−∞
−1
0
1

(

y'

)

(

−

0

+

)

0

−

0

+∞
+

Hàm số đồng biến trên (−1; 0) và (1; +∞); hàm số nghịch biến trên (−∞; −1) và (0; 1).
1
1
x2
d) y = x5 − x 4 − x3 + + 2 x − 1.
5
4
2
Tập xác định: D = R.
 x = −1
2
4
3
2
Đạo hàm: y′ = x − x − 3 x + x + 2 = ( x + 1) ( x − 1)( x − 2 ) 
→ y ′ = 0 ⇔  x = 1
 x = 2
Do ( x + 1) ≥ 0, ∀x nên dấu của y ' chỉ phụ thuộc vào biểu thức (x − 1)(x − 2).
Bảng xét dấu của đạo hàm:

2

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
−∞

x

−1

y'

+

Facebook: LyHung95

1

0

+

2
−

0

0

+∞
+

Hàm số đồng biến trên (−∞; 1) và (2; +∞); hàm số nghịch biến trên (1; 2).

Ví dụ 2: Xét sự biến thiên của các hàm số cho dưới đây:
x +1
x 2 + 3x + 3
a) y =
b) y =
.
.
2x − 2
x +1
2
c) y = 1 − x +
d) y = x 2 − 2 x + 2.
.
x +1
2x + 1
e) y = 2 x − x 2 .
f) y =
.
3x − 2
Lời giải:
x +1
a) y =
.
2x − 2

Tập xác định: D = R \ {1} .
Đạo hàm: y′ =

−4

( 2 x − 2 )2

> 0, ∀x ∈ D 
→ hàm số luôn đồng biến trên tập xác định.

x 2 + 3x + 3
.
x +1
Tập xác định: D = R \ {−1} .

b) y =

Đạo hàm:

2 x + 3)( x + 1) − x 2 − 3x − 3 x 2 + 2 x
(
x = 0
y′ =
=

→ y′ = 0 ⇔ x 2 + 2 x = 0 ⇔ 
2
2
 x = −2
( x + 1)

( x + 1)

Bảng xét dấu của đạo hàm:
x

−∞

−2

y'

+

−1
−

0

0
−

||

+∞

0

+

Hàm số đồng biến trên (−∞; 2) và (0; +∞); hàm số nghịch biến trên (−2; −1) và (−1; 0).

2
c) y = 1 − x +
.
x +1
Tập xác định: D = R \ {−1} .

Đạo hàm: y′ = −1 −

2

< 0, ∀x ∈ D 
→ hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định của nó.

( x + 1)2

d) y = x 2 − 2 x + 2.
Hàm số xác định khi x 2 − 2 x + 2 ≥ 0 ⇔ ( x − 1) + 1 > 0, ∀x 
→ D = R.
2

Đạo hàm: y′ =

(x

2

− 2x + 2

)′ =

2 x − 2x + 2
Bảng xét dấu của đạo hàm:
2

x −1
x − 2x + 2
2

x
y'


→ y ′ = 0 ⇔ x = 1.

−∞

1
−

0

+∞
+

Hàm số đồng biến trên (1; +∞) và nghịch biến trên (−∞; 1).

e) y = 2 x − x 2 .
Hàm số xác định khi 2 x − x 2 ≥ 0 ⇔ x ( x − 2 ) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 
→ D = [ 0; 2].
′

2x − x )
(
y′ =
=
2

Đạo hàm:

2 2 x − x2
Bảng xét dấu của đạo hàm:

1− x
2x − x2


→ y′ = 0 ⇔ x = 1.

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
x

0

y'

Facebook: LyHung95

1

+

2
−

0

Hàm số đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (1; 2).
2x + 1
f) y =
.
3x − 2
1

2 x + 1 ≥ 0  x ≥ −


 1
 2
2
Hàm số xác định khi 
⇔

→ D = − ; + ∞ \  .
2
 2
 3
 x ≠ 3
x ≠ 2


3
2
( 3x − 2 ) − 3 2 x + 1 3x − 2 − 3 ( 2 x + 1)
−3 x − 5
5
1
x
2
2
+
1
Đạo hàm: y′ =
=
=

→ y′ = 0 ⇔ x = − < −
2
2
2
3
2
( 3x − 2 )
( 3x − 2 ) . 2 x + 1 ( 3x − 2 ) . 2 x + 1
Bảng xét dấu của đạo hàm:
x
1
2
−
+∞
2

3

−

y’

||

−

 1 2
2

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên  − ;  và  ; +∞  .
2
3
3





BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
1) y = −2 x + 5.

2) y = x 3 − 3 x + 2.

3) y = −2 x3 + 3x 2 + 2.

4) y = x 3 − 3 x 2 + 3 x − 12.

5) y = x 4 − 2 x 2 + 5.

6) y = − x 4 + 4 x 2 − 1.

7) y = x 3 + x 2 + 2 x − 2.
x +1
9) y =
.
x−2
1− x
11) y =
.
3x − 2
1
13) y = x + .
x

8) y = 2 x + 3 x 2 + 1.
2x −1
10) y =
.
x +1
x2 + 3x + 3
12) y =
.
x +1
1
14) y = 2 x − 3 −

.
x +1

Dạng 2. Sự biến thiên của hàm có tham số
Phương pháp: Sử dụng các tính chất của tam thức bậc hai để giải
Xét tam thức bậc hai: f ( x ) = ax 2 + bx + c, gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình f(x) = 0, với x1 < x2
+ Nếu a > 0:

 x > x2
f ( x) > 0 ⇔ 
 x < x1
f ( x ) < 0 ⇔ x1 < x < x2

a > 0
+ f ( x ) > 0, ∀x ∈ R ⇔ 
∆ < 0
 x < x2 < α < β
a > 0 
→ 1
+ f ( x ) > 0, ∀x ∈ ( α; β ) :
 α < β < x1 < x2
a < 0 
→ x1 < α < β < x2

f ( x ) > 0 ⇔ x1 < x < x2

+ Nếu a < 0:

 x > x2
f ( x) < 0 ⇔ 

 x < x1

a < 0
+ f ( x ) < 0, ∀x ∈ R ⇔ 
∆ < 0
+ f ( x ) < 0, ∀x ∈ ( α; β ) :

a > 0 
→ x1 < α < β < x2
 x1 < x2 < α < β
a < 0 
→
 α < β < x1 < x2

Các ví dụ điển hình:

Ví dụ: Tìm m để hàm số
x3
a) y =
− x 2 + ( m − 1) x + m đồng biến trên R.
3
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

1
b) y = − x3 + mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 1 nghịch biến trên R.

3
3
m − 1) x
(
c) y =
+ mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 2 đồng biến trên R.
3
Lời giải:
3
x
a) y =
− x 2 + ( m − 1) x + m 
→ y′ = x2 − 2 x + m − 1
3
Hàm số đồng biến trên R khi y′ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆′ ≤ 0 ⇔ 1 − ( m − 1) ≤ 0 ⇔ m ≥ 2.
Vậy hàm số đồng biến trên R khi m ≥ 2.
1
b) y = − x3 + mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 1 
→ y ′ = − x 2 + 2mx + 3m − 2.
3
Hàm số nghịch biến trên R khi y′ ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆′ ≤ 0 ⇔ m 2 + ( 3m − 2 ) ≤ 0 ⇔
Vậy hàm số đồng biến trên R khi

( m − 1) x 3 + mx 2 +

−3 − 17
−3 + 17
.
≤m≤
2

2

−3 − 17
−3 + 17
≤m≤
.
2
2

→ y ′ = ( m − 1) x 2 + 2mx + 3m − 2
( 3m − 2 ) x + 2 
3
Để hàm số luôn đồng biến trên R thì y′ ≥ 0, ∀x ∈ R.
c) y =

Khi m − 1 = 0 ⇔ m = 1 
→ y′ = 2 x + 1.

 1

Ta thấy hàm số chỉ đồng biên trên  − ; +∞  nên không thỏa mãn yêu cầu.
2


m − 1 > 0 m > 1
m > 1
Khi m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 
→ y′ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ 
⇔ 2
⇔

2
m − ( m − 1)( 3m − 2 ) ≤ 0 −2m + 5m − 2 ≤ 0
 ∆′ ≤ 0

m > 1

m ≥ 2
⇔ 

→ m ≥ 2.
m ≤ 1
 
2
Vậy với m ≥ 2 thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên R.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
x3
− x 2 + ( m − 1) x + m đồng biến trên R.
3
2) Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3 ( 2m − 1) x + 1 đồng biến trên R.

1) Tìm m để hàm số y =

1
3) Tìm m để hàm số y = − x3 + mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 1 nghịch biến trên R.
3
3
x
5
4) Tìm m để hàm số y =

+ ( m − 1) x 2 + ( 2m − 3) x + đồng biến trên R.
3
3
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

DẠNG 1. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC I
Phương pháp:
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính y ' và giải phương trình y ' = 0 để tìm các nghiệm.
+ Lập bảng biến thiên và dựa vào bảng biến thiên để kết luận về điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
Chú ý: Với một số dạng hàm đặc biệt (thường là hàm vô tỉ) thì ta phải tính giới hạn tại các điểm biên để cho bảng
biến thiên được chặt chẽ hơn.
Các ví dụ điển hình:

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:
a) y = 2 x3 + 3 x 2 − 36 x − 10.
b) y = x 4 + 2 x 2 − 3.
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
d) y =

c) y = 2 x 2 − x 4 .

Facebook: LyHung95

1 4
x − x3 + 3.
4

Lời giải:
a) y = 2 x3 + 3 x 2 − 36 x − 10.
Tập xác định: D = R.
 x = −3
Đạo hàm: y ' = 6 x 2 + 6 x − 36 = 6 x 2 + x − 6 
→ y ' = 0 ⇔ x2 + x − 6 = 0 ⇔ 
x = 2
Bảng biến thiên:
x
−∞
−3
2

(

)

y'

+

−

0

0

+∞

+
+∞

71
y

−∞

−54

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; 3) và (2; +∞); hàm số nghịch biến trên (−3; 2).
Hàm số đạt cực đại tại x = −3; y = 71 và đạt cực tiểu tại x = 2; y = −54.
b) y = x 4 + 2 x 2 − 3.
Tập xác định: D = R.
Đạo hàm: y′ = 4 x3 + 4 x = 4 x x 2 + 1 
→ y ′ = 0 ⇔ x = 0.

(

)

Bảng biến thiên:
−∞

x

0
−

y'

+∞

0

+

+∞

+∞

y
−3
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; 0) và nghịch biến trên (0; +∞).
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y = −3.
c) y = 2 x 2 − x 4 .
Tập xác định: D = R.
x = 0
Đạo hàm: y′ = 4 x − 4 x3 = 4 x 1 − x 2 
→ y′ = 0 ⇔ x 1 − x 2 = 0 ⇔ 
 x = ±1
Bảng biến thiên:

(

x

)

−∞

y'

(

−1
+

0

)

0
−

0

1
y

−∞

1
+

0

+∞
−

1
0

−∞

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (0; 1); hàm số nghịch biến trên (−1; 0) và (1; +∞).
Hàm số đạt cực đại tại x = −1; y = 1 và x = 1; y = 1.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y = 0.
1
d) y = x 4 − x3 + 3.
4
Tập xác định: D = R.
x = 0
Đạo hàm: y′ = x 3 − 3 x 2 = x 2 ( x − 3) 
→ y ′ = 0 ⇔ x 2 ( x − 3) = 0 ⇔ 
x = 3
Dấu của y’ chỉ phụ thuộc vào dấu của biểu thức (x − 3) nên ta có bảng biến thiên như hình vẽ

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
−∞

x

Facebook: LyHung95

0
−

y'

0

3
−

0

+∞
+

+∞

+∞

y

−

15
4

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (3; +∞) và hàm số nghịch biến trên (−∞; 3).
15
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3; y = − .
4
Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:
x +1

a) y = x 1 − x 2 .
b) y = 2 x + 3 x 2 + 1.
c) y =
.
x+3
Lời giải:

a) y = x 1 − x 2 .
Hàm số xác định khi 1 − x 2 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 
→ D = [ −1;1].

x2

Đạo hàm: y′ = 1 − x 2 −

1− x

2

=

1 − 2x2
1− x


→ y′ = 0 ⇔ 1 − 2 x 2 = 0 ⇔ x = ±

2

1

2

Bảng biến thiên:
x

−1

−
−

y'

1
2
0

1
2
+

0

+1
−

1
2

0

y
−

1
2

0

1 
 1 1 

 1 
Hàm số đồng biến trên  −
;
;1 .
 ; hàm số nghịch biến trên  −1; −
 và 
2 2
2


 2 
1
1
1
1
Hàm số đạt cực đại tại x =
;y=
và đạt cực tiểu tại x = −
;y =−

.
2
2
2
2

b) y = 2 x + 3 x 2 + 1.
Tập xác định: D = R.
Đạo hàm: y′ = 2 +

3x
x +1

=

2 x 2 + 1 + 3x


→ y ′ = 0 ⇔ 2 x 2 + 1 + 3 x = 0 ⇔ 2 x 2 + 1 = −3 x

x +1
x < 0
2
 x < 0
 x < 0

⇔ 2
⇔ 2
⇔
→x = −

2 
2
5
4 x + 4 = 9 x
5 x = 4  x = ±
5

Giới hạn:


1 
1 
lim 2 x + 3 x 2 + 1 = lim  2 x + 3 x 1 + 2  = lim x  2 − 3 1 + 2  = +∞
x 
→ −∞
x 
→−∞
x  x → −∞ 
x 



1 
1 
lim 2 x + 3 x 2 + 1 = lim  2 x + 3 x 1 + 2  = lim x  2 + 3 1 + 2  = +∞
x 
→ +∞
x 
→+∞
x  x → +∞ 

x 

Bảng biến thiên:
2

(

)

(

)

2

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
x

−∞

−
−

y'

Facebook: LyHung95

2
5

0

+∞

+∞

+

0
+∞

y

5
2 

 2

; +∞  .
Hàm số đồng biến trên  −∞; −
 ; hàm số nghịch biến trên 
5

 5

2
Hàm số đạt cực tiểu tại x = −

; y = 5.
5
x +1
c) y =
.
x+3
Hàm số xác định khi x + 3 > 0 ⇔ x > −3 
→ D = [ −3; + ∞ ].

Đạo hàm: y′ =

x +1
( x + 3) + 2 
x+5
2 x + 3 = 2 ( x + 3) − x − 1 =
=
→ y ′ > 0, ∀x ∈ D.
x+3
2 ( x + 3) x + 3 2 ( x + 3) x + 3 2 ( x + 3) x + 3

x+3 −

Bảng biến thiên:
x

−3

+∞

y'

+
+∞

y
−∞
Hàm số đã cho luôn đồng biến trên miền xác định và không có cực trị.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Tìm cực trị của các hàm số sau bằng quy tắc I:

1) y = 3x 2 − 2 x3
4) y =

x4
− x 2 + 3.
2

2) y = x3 − 2 x2 + 2 x − 1.
5) y = x 4 − 4 x 2 + 5.

1
3) y = − x 3 + 4 x 2 − 15 x.
3
x4
3
6) y = − + x 2 + .
2
2

DẠNG 2. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC II
Phương pháp:
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính y ' và giải phương trình y ' = 0 để tìm các nghiệm.
+ Tính y '' tại các giá trị nghiệm tìm được ở trên rồi kết luận.
Chú ý: Quy tắc II tìm cực trị thường được áp dụng cho các hàm số khó lập bảng biến thiên như hàm lượng giác,
hàm siêu việt, hàm vô tỉ...
Các ví dụ điển hình:

Ví dụ mẫu: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:
1
a) y = sin 2 x − x.
b) y = cos x + cos 2 x.
c) y = x + 2 x − x 2 .
2
Lời giải:
a) y = sin 2 x − x.
Tập xác định: D = R.
1
π
π
Đạo hàm: y′ = 2cos 2 x − 1 
→ y ′ = 0 ⇔ cos 2 x = ⇔ 2 x = ± + k 2 π 
→ x = ± + kπ
2
3
6

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

π

π

y ′′  + kπ  = −4sin  + k 2π  = −2 3 < 0
6

3

→
Đạo hàm bậc hai: y′′ = −4sin 2 x 
 π

 π

y ′′  − + kπ  = −4sin  − + k 2π  = 2 3 > 0
6
3




Vậy hàm số đạt cực đại tại x =
Hàm số đạt cực tiểu tại x = −

π
3 π
π
 π
+ kπ; y = sin  + k 2π  − − kπ =
− − kπ.
6
2 6
3
 6

π
3 π
 π
 π
+ kπ; y = sin  − + k 2π  + − kπ = −
+ − kπ.
6
2 6
 3
 6

1
b) y = cos x + cos 2 x.
2
Tập xác định: D = R.

1
2π



cos x = −
x=±
+ k 2π


Đạo hàm: y′ = − sin x − sin 2 x = − sin x (1 + 2cos x ) 
→ y′ = 0 ⇔
2⇔
3


sin x = 0
 x = kπ
Đạo hàm bậc hai: y′′ = − cos x − 2cos 2 x
 2π

 2π

 4π
 3
+ 4nπ  = − cos  ±
+ 4nπ  − 2cos  ±
+ 8nπ  = > 0
y ′′  ±
+ Nếu k = 2n 
→
 3

 3


 3
 2
y ′′ ( 2nπ ) = − cos ( 2nπ ) − 2cos ( 4nπ ) = −3 < 0
 2π

 2π

 4π
 3
+ 4nπ + 2π  = − cos  ±
+ 4nπ + 2π  − 2cos  ±
+ 8nπ + 4π  = > 0
y ′′  ±
+ Nếu k = 2n + 1 
→
 3

 3

 3
 2
y ′′ ( π + 2nπ ) = − cos ( π + 2nπ ) − 2cos ( 2π + 4nπ ) = −1 < 0
3
 2 ; k = 2n
1
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = kπ; y = cos ( kπ ) + cos ( k 2π ) = 
2
 − 1 ; k = 2n + 1
 2

 3
− ; k = 2n
2π
 2π
 1
 4π
  4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±
+ kπ; y = cos  ±
+ kπ  + cos  ±
+ k 2π  = 
3
 3
 2
 3
  1 ; k = 2n + 1
 4

c) y = x + 2 x − x 2 .
Hàm số xác định khi 2 x − x 2 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 
→ D = [ 0; 2].
Đạo hàm:

y′ = 1 +

2 − 2x
2 2 x − x2

=

2 x − x2 + 1 − x

 x ≥ 1

→ y′ = 0 ⇔ 2 x − x2 + 1 − x ⇔ 2 x − x2 = x − 1 ⇔ 
2
2
 2 x − x = x − 2 x + 1

2x − x2
x ≥ 1

2+ 2

x
≥
1
=1+

 x =
⇔ 2
⇔ 
2
 2 x − 4 x + 1 = 0  
 x = 2 − 2 = 1 −
2
 

1
→x =

2 
1
2

Vậy hàm số đạt cực đại tại x =

(1 − x )2

− 2x − x −
2
2
′
1
2 x − x2 = x − 2 x − x + 2 x − 1 = −
<0
 =
2
2
2
2
2x − x
2x − x
2x − x
2x − x
2x − x2

2

 1− x
Đạo hàm bậc hai: y′′ = 


2
 2x − x

2+ 2
.
2

(

)

(

)

2+ 2
; y = 1 + 2.
2

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Tìm cực trị của các hàm số sau bằng quy tắc II:
1) y = x x 2 − 4.

2) y = x 2 − 2 x + 5.

4) y = cos 2 3 x.

5) y = sin

x
x
− cos .
2
2

3) y = x − 4sin 2 x.
6) y =

x2 − 4
.
3x − 2

DẠNG 3. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
Phương pháp:
+ Hàm số có cực trị khi y ' = 0 có nghiệm và đổi dấu qua các nghiệm.
+ Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1; x2 thì khi đó x1; x2 là hai nghiệm của y ' = 0.
 y′ ( x0 ) = 0
+ Hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x0 khi 
 y′′ ( x0 ) < 0
 y′ ( x0 ) = 0
+ Hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x0 khi 
 y′′ ( x0 ) > 0

Các ví dụ điển hình:

Ví dụ mẫu: Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 2 x − 3m + 1 . Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực trị.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 3.
c) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 2.
d) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = –1.
Lời giải:
2
′
a) Ta có y = 3x − 6mx + 2
Hàm số đã cho có cực trị khi y ' = 0 có nghiệm và đổi dấu khi qua các nghiệm.

6
m>

2
3
⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > 0 ⇔ 9m 2 − 6 > 0 ⇔ m 2 > ⇔ 
3

6
m < −
3

6
6
Vậy với m >
; m<−
thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu.

3
3
b) Gọi x1; x2 là hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó x1; x2 là nghiệm của phương trình y ' = 0 .
 x1 + x2 = 2m

Theo định lí Vi-ét ta có 
2
 x1 x2 = 3


 x1 + 2 x2 = 3
 x1 = 4m − 3


Theo giải thiết ta có x1 + 2x2 = 3 
→  x1 + x2 = 2m ⇔  x2 = 3 − 2m


2
2
 x1 x2 =
( 4m − 3)( 3 − 2m ) =
3
3


29

→ 8m 2 − 18m +
= 0 ⇔ 24m 2 − 54m + 29 = 0 

→ phương trình vô nghiệm.
3
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn đề bài.
c) Ta có y′′ = 6 x − 6m
7

 y′ ( 2 ) = 0
3.4 − 12m + 2 = 0 m =
7
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 khi 
⇔
⇔
→m = .
6 
6
 y′′ ( 2 ) > 0 12 − 6m > 0
m < 2

Giá trị m =

7
thỏa mãn điều kiện tồn tại cực trị nên là giá trị cần tìm.
6

5

3 + 6m + 2 = 0 m = −
5
 y′ ( −1) = 0
d) Hàm số đạt cực đại tại x = –1 khi 

⇔
⇔
→m = − .
6 
6
 y′′ ( −1) < 0 −6 − 6m < 0
m > −1

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Giá trị m = −

Facebook: LyHung95

5
thỏa mãn điều kiện tồn tại cực trị nên là giá trị cần tìm.
6

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1
Bài 1. Cho hàm số y = x3 + mx 2 + ( 2m + 3) x + 2. Tìm giá trị của m để
3
a) hàm số có cực trị.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn 2x1 + 3x2 = –2.
c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 0.
d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = –2.
1
Bài 2. Cho hàm số y = x3 + mx 2 + ( m + 6 ) x − 1 . Tìm giá trị của m để

3
a) hàm số có cực trị.
1 1 x1 + x1
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn
+ =
.
x1 x2
3
c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 1.
d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.

Bài 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị ?
a) y = x3 – 3x2 + 3mx + 3m + 4.
b) y = mx3 + 3mx2 – (m – 1)x – 1.
Bài 4. Tìm a, b để hàm số
a) y = ax4 + bx2 đạt cực trị bằng –9 tại điểm x = 3.
ax 2 + bx + ab
đạt cực trị tại x = 0 và x = 4.
bx + a
ax 2 + 2 x + b
c) y =
đạt cực đại bằng 5 tại điểm x = 1.
x2 + 1

b) y =

Bài 5. Tìm m để hàm số

(

)

(

)

a) y = x3 + 2 ( m − 1) x 2 + m2 − 4m + 1 x − 2 m2 + 1 đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho

1 1 1
+ = ( x1 + x2 ) .
x1 x2 2

1
b) y = x3 − mx 2 + mx − 1 đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho x1 − x2 ≥ 8.
3
1 3
1
c) y = mx − (m − 1) x 2 + 3(m − 2) x + đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho x1 + 2x2 = 1.
3
3

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P1
Thầy Đặng Việt Hùng

DẠNG 1. TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Công thức :
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y = f ( x ) là y = y(′xo ) ( x − xo ) + yo ⇔ y = y(′xo ) ( x − xo ) + f ( xo )
Các lưu ý :
+) Nếu cho xo thì tìm yo = f(xo).
+) Nếu cho yo thì tìm xo bằng cách giải phương trình f(x) = yo.
+) Tính y′ = f′(x). Suy ra y′(xo) = f′(xo).
+) Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y = f′(xo).(x – xo) + yo.
Dạng toán trọng tâm cần lưu ý :
ax + b
+) Tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị hàm phân thức y =
cắt các trục tọa độ Ox, Oy tại các điểm A, B thỏa
cx + d
OA = kOB
mãn các tính chất 
 S ∆OAB = S0
ax + b
+) Khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị hàm số y =
đến tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị đạt giá trị
cx + d
lớn nhất, hoặc bằng một hằng số cho trước.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2 x3 − x 2 + 6 x − 3 . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại giao điểm của đồ thị và
Ox.

Đ/s: y =

13 

1
x− 
2
2

Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2 x3 − 3 x 2 + 1 có đồ thị là (C)
Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8.

Đ/s: M (−1; −4)
Bài 3: [ĐVH]. Cho hàm số y =

x+2
x −1

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A
và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng

50
(với O là gốc toạ độ)
3

Đ/s: M (2; 4)
Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số y =

2x + 3
x −1

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A
và B sao cho OB = 5OA (với O là gốc toạ độ)

Đ/s: y = −5 x + 17; y = −5 x − 3
Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số y =

x
x +1

Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm E (−1;1) đến tiếp tuyến tại M với đồ thị bằng

2.

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Đ/s: M (0;0), M (−2; −2).
Bài 6: [ĐVH]. Cho hàm số y =

x+2
x −1

Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm E (−1;1) đến tiếp tuyến tại M với đồ thị lớn nhất.

Đ/s: d max = 2 ⇔ M (0;2), M (−2;0).
Bài 7: [ĐVH]. Cho hàm số y =

x−3
2x + 1

7 2
 1 1
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm I  − ;  đến tiếp tuyến tại M bằng
.
10
 2 2

Đ/s: y = 7 x + 11.
Bài 8: [ĐVH]. Cho hàm số y =

2x + 5
(1)
x−2

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân
biệt A và B sao cho OA = 9OB (với O là gốc toạ độ)

Bài 9: [ĐVH]. Cho hm số y =

x−3
( C)
x +1

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến cắt trục Ox tại A, cắt trục Oy tại B sao cho OA = 4OB.

Bài 10: [ĐVH]. Cho hàm số y =

x+2
(1).

2x + 3

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm
phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.

Bài 11: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + x 2 + 2 x + 2 . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại
a) giao điểm của đồ thị và Ox.
b) điểm uốn của đồ thị.
Bài 12: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + 3x 2 + x + 1 . Tìm diểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị
đi qua gốc tọa độ O.
Đ/s: M (−1; 2)
x +1
(C ) . Tìm diểm M thuộc đồ thị hàm số (C) sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị
x−2
cắt các trục tọa độ Ox, Oy tại A, B sao cho OA = 3OB, với O là gốc tọa độ.

Bài 13: [ĐVH]. Cho hàm số y =

Đ/s: Một điểm M là M (3; 4)
x
(C ) . Tìm diểm M thuộc đồ thị hàm số (C) sao cho khoảng cách từ điểm
x +1
1
E (1; 2) đến tiếp tuyến tại M với đồ thị bằng
.
2

Bài 14: [ĐVH]. Cho hàm số y =

Đ/s: Một điểm M là M (0;0)

Bài 15: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + (2m − 1) x 2 + mx + m − 1 . Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = −1 đi qua
điểm A(2; −1) ?
Bài 16: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x4 + (m + 2) x 2 − 4m + 3 . Tìm m để tiếp tuyến tại các điểm cố định vuông góc với
nhau?

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
DẠNG 1. TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ (tiếp theo)

Công thức :
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y = f ( x ) là y = y(′xo ) ( x − xo ) + yo ⇔ y = y(′xo ) ( x − xo ) + f ( xo )
Các lưu ý :
+ Nếu cho xo thì tìm yo = f(xo).
+ Nếu cho yo thì tìm xo bằng cách giải phương trình f(x) = yo.
+ Tính y′ = f′(x). Suy ra y′(xo) = f′(xo).
+ Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y = f′(xo).(x – xo) + yo.
Dạng toán trọng tâm cần lưu ý :
ax + b
Tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị hàm phân thức y =
cắt các tiệm cận tại A, B. Khi đó ta có các tính chất sau:
cx + d
+) M là trung điểm của AB
+) Diện tích tam giác IAB luôn không đổi, với I là giao điêm của hai tiệm cận

+) Chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
+) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB dạt gái trị lớn nhất.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số y =

2x − 3
(C ) . Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các
x−2

tiệm cận tại A, B. Tìm điểm M đề đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất, với I là tâm đối xứng của

đồ thị hàm số.
Đ/s: M (3;3), M (1;1)
Hướng dẫn: Tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có đường kính là AB, suy ra diện tích

đường tròn ngoại tiếp là S = πR 2 = π
Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số y =

AB 2
, từ đó bài toán quy về tìm M để độ dài AB ngắn nhất.
4

2mx + 3
(C ) . Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt
x−m

các tiệm cận tại A, B. Tìm điểm M đề tam giác IAB có diện tích bằng 64.

Đ/s: m = ±

58
2

Bài 3: [ĐVH]. Cho hàm số y =

x−2
(C ) . Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các
x +1

tiệm cận tại A, B. Viết phương trình tiếp tuyến tại M đề bán kính đường trỏn ngội tiếp tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.

Đ/s: y = x + 2(1 ± 3)
Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số y =

x
(C ) . Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các
x −1

tiệm cận tại A, B. Viết phương trình tiếp tuyến tại M biết chu vi tam giác IAB bằng 2(2 + 2) .
 y = −x
Đ/s: 
 y = −x + 4

Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + 3x 2 − 1 . Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

các trục tọa độ tại A, B. Tìm tọa độ điểm M biết OB = 3OA, với O là gốc tọa độ.
Đ/s: M (−1;1)
2x − 1
. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A là điểm trên (C) có hoành độ là a.
1− x
Tiếp tuyến tại A của (C) cắt hai đường tiệm cận tại P và Q. Chứng tỏ rằng A là trung điểm của PQ và tính diện tích tam
giác IPQ.
x+2
Bài 7: [ĐVH]. Cho hàm số y =
(C ) .
x −1

Bài 6: [ĐVH]. Cho hàm số y =

Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B.

a) Chứng minh rằng M là trung điểm của AB.
b) Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi, với I là tâm đối xứng của đồ thị (I là giao của hai tiệm cận)
Bài 8: [ĐVH]. Cho hàm số y =

2x − 3
(C ) .
x−2

Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Tìm điểm M đề độ dài

đoạn AB ngắn nhất.
Đ/s: M (3;3), M (1;1)

Bài 9: [ĐVH]. Cho hàm số y =

2x + 1
(C ) .
x −1

Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Tìm điểm M đề chu vi
tam giác IAB nhỏ nhất, với I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Đ/s: xM = 1 ± 3

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P3
Thầy Đặng Việt Hùng
DẠNG 2. TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC

Hệ số góc của một đường thẳng là tang (tan) của góc hợp bởi đường thẳng đó và chiều dương trục Ox.
Kí hiệu k = tanα.
Nếu đường thẳng d hợp với trục Ox (không nói rõ chiều dương của trục Ox) thì k = ± tanα.
y − yN
Đường thẳng d đi qua hai điểm M, N thì hệ số góc của đường d được tính bởi kd = M
xM − x N
Đường thẳng d đi qua điểm M(x1 ; y1) và có hệ số góc k thì có phương trình d : y = k ( x − x1 ) + y1.

Trong trường hợp tổng quát, đường thẳng d có hệ số góc k thì luôn viết ở dạng d: y = kx + m.
d : y = k1 x + m1
Cho hai đường thẳng  1
d 2 : y = k2 x + m2
 kd = kd 2
+) d1 và d2 song song với nhau thì có cùng hệ số góc :  1
 m1 ≠ m2

+) d1 và d2 vuông góc với nhau thì có tích hệ số góc bằng −1 : kd1 .kd 2 = −1 ⇔ kd2 = −

1
.
kd1

Đạo hàm tại một điểm xo thuộc đồ thị hàm số y = f(x) chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó.
Tức là ktt = y′ ( xo ) .
Ví dụ 1: [ĐVH]. Xác định hệ số góc k của các đường cho dưới đây ?
a) 2 x + 3 y − 1 = 0 ←
→ 3 y = −2 x + 1 ⇔ y =

−2
1
2
x + 
→k = − .
3
3
3

1

3
1
b) − x + 5 y + 3 = 0 ←
→ 5 y = x − 3 ⇔ y = x − 
→k = .
5
5
5

c) 2 x + y + 3 = 0 ←
→ y = 2 x − 3 
→ k = 2.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + (m − 1) x 2 + 2mx + 3
Tìm m để tiếp tuyến

a) tại điểm có hoành độ x = –3 song song với đường thẳng d : 5x – y + 3 = 0
b) tại điểm có hoành độ x = 1 vuông góc với đường thẳng d’ : x – 2y + 3 = 0
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 + 2(m − 1) x 2 − 8m − 2
Tìm m để tiếp tuyến tại các điểm cố định của đồ thị hàm số vuông góc với nhau.

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − (m + 1) x 2 + (2m − 1) x + 3
Tìm m để tiếp tuyến

a) tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với đường thẳng d : 4x – 3y + 1 = 0
b) tại điểm có hoành độ x = −1 song song với đường thẳng d’ : 2x – 3y + 2 = 0
Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hàm số y =

2x + 1
. Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến cách đều A(2;4), B (−4; −2)
x +1

Đ/s : x − 4 y + 5 = 0; y = x + 1; y = x + 5

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

2x − 1
, có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc
x −1
(C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM.
Đ/s: M(0; 1) và M(2; 3).

Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho hàm số y =

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − (m − 2) x2 + mx + 3.
a) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 1 song song với đường (d): y = 2x – 1.
b) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với đường (d): 4x – 3y = 0.
Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = –x4 + 2mx2 – 2m + 1
Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1; 0), B(–1; 0) vuông góc với nhau.

Bài 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + 3x2 + x + 2, có đồ thị là (C) và một đường thẳng d đi qua A(−1; 3) có hệ
số góc k.

a) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt cùng có hoành độ âm.
b) Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến với (C) tại hai điểm B, C vuông góc với

nhau.

Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = x4 + mx2 – m – 1.
Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng (d): y = 2x, với A là điểm cố định có hoành

độ dương của đồ thị hàm số.
Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số y =

( 3m + 1) x − m .
x+m

Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox song song với đường thẳng (d): y = –x –5.

Bài 6: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + x + 3. Một đường thẳng d đi qua A(2 ; 1) và có hệ số góc k.
Tìm k để đường thẳng d và đồ thị hàm số đã cho

a) cắt nhau tại duy nhất một điểm.
b) cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
c) cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
Bài 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2 x3 − 3mx 2 + mx + 1.
a) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm uốn song song với đường thẳng ∆: 4x + y + 1= 0.
b) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm x = −2 vuông góc với đường thẳng ∆′: 2x + 3y + 2= 0.
Bài 8: [ĐVH]. Cho hàm số y =

x + 3m
x−m

Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị và trục Oy vuông góc với đường thẳng d : x – 2y + 1 = 0

Bài 9: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + x 2 − x + 1

Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1 ; 2) và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt
A, B, C sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B, C vuông góc với nhau.
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

2x −1
. Tìm trên đồ thị (C) các điểm A, B sao cho tiếp tuyến với (C) tại A và
x +1
B song song với nhau và khoảng cách AB = 2 10.
Bài 11: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + (2m − 3) x 2 − 2mx + 2 . Tìm m để đồ thị cắt Ox tại ba điểm phân biệt A,

Bài 10: [ĐVH]. Cho hàm số y =

B, C (với A cố định) sao cho
a) BC = 3
b) Tổng hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại A, B, C bằng 8.
Bài 12: [ĐVH]. Cho hàm số y =

x +1
(C ) .Viết phương trình tiếp tuyến ( ∆ ) của (C) biết ( ∆ ) cắt Ox, Oy lần
x−2

lượt tại 2 điểm phân biệt A,B thõa mãn OA=2028OB.

Bài 13: [ĐVH]. Cho hàm số y =

2x −1
(C ) và điểm M bất kỳ thuộc (C) . Gọi I (1; 2) . Tiếp tuyến tại M cắt
x −1

tiệm cận tại A, B .

a) CMR: M là trung điểm của AB.
b) CMR: Diện tích tam giác IAB không đổi.
c) Tìm M để

IA + IB = 3

d) Tìm M để chu vi ∆IAB nhỏ nhất, khi đó tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆IAB
e) Tìm M để bán kính đường tròn nội tiếp ∆IAB lớn nhất.
f) Tìm trên (C) 2 điểm P,Q sao cho PQ = 8 và tiếp tuyến tại 2 điểm này song song với nhau.

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P4
Thầy Đặng Việt Hùng
DẠNG 2. TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC (tiếp theo)

Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 5 x 2 + (m + 4) x − m có đồ thị là (C).
Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt A, B, C (trong đó A là điểm cố định) và thỏa mãn
a) k B2 + kC2 = 160

b) Tiếp tuyến tại B, C vuông góc với nhau.
x+2
, (C ) ; d : y = x − m
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số y =
x +1
Tìm m để đồ thị cắt đường d tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
a) k A + 2k B = −3
b) k B = 81k A
Đ/s: a ) m = −2

b) m =

2
3

Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số y =

3x + 2
, (C ) . Gọi A, B là hai điểm phân biệt trên đồ thị sao cho tiếp tuyến
x+2

tại A, B song song với nhau. Chứng minh rằng AB ≥ 4 2.
Ví dụ 4: [ĐVH, tham khảo]. Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị là (Cm); (m là tham số).
Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của
(Cm) tại D và E vuông góc với nhau.

Đ/s: m =

9 − 65
8

Ví dụ 5: [ĐVH, tham khảo]. Cho hàm số y =

2x
, có đồ thị là (C).
x−2

Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị sao cho tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại các điểm A, B với AB = 2OA
Đ/s: d: x + y – 8 = 0
x+2
Ví dụ 6: [ĐVH, tham khảo]. Cho hàm số y =
, (C ) ; d : y = 2 x − m
1 − 2x
1 1
129
Tìm m để đồ thị cắt đường d tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
+ +m=
20
k A kb

Đ/s: m = 5
Ví dụ 7: [ĐVH, tham khảo]. Cho hàm số y = x3 − (2m + 1) x 2 + mx + m có đồ thị là (C).
Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt A, B, C (trong đó A là điểm cố định) và thỏa mãn
12
a) BC =
5
19
b) k A + k B + kC =
16
4

1
Đ/s: a ) m =
b) m =
3
8

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
x +1
, có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị (C).
x−2
Tìm điểm M trên đồ thị sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại M vuông góc với đường thẳng IM.

Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số y =

2x −1
, (C ).
x +1
Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có
tích hệ số góc bằng −9.

Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số y =

Bài 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x3 + 2 x 2 − 3. Một đường thẳng d đi qua M(1 ; −2) và có hệ số góc k.

a) Tìm k để đường thẳng d và đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt M(1 ; −2) ; A và B.
b) Tim k để tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm A, B vuông góc với nhau.
Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 có đồ thị là (C) và đường thẳng d: y = mx + m + 3.
Xác định m để d cắt (C) tại M(−2; 3), N, P sao cho các tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.
Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 – 3x 2 + 4 có đồ thị là (C) và đường thẳng d đi qua A(2; 0) có hệ số góc k.
Xác định k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau.
2
5
Bài 6: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x3 + (m − 1) x 2 + (3m − 2) x − có đồ thị (C m ), m là tham số.
3
3
Tìm m để trên (C m ) có hai điểm phân biệt M 1 ( x1 ; y1 ), M 2 ( x2 ; y2 ) thỏa mãn x1.x2 > 0 và tiếp tuyến của (C m ) tại mỗi
điểm đó vuông góc với đường thẳng d : x − 3 y + 1 = 0.
Bài 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + (1 − 2m) x 2 + (2 − m) x + m + 2

(1) với m là tham số.

Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc α, biết cos α =

1
.
26

x−3
có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến
x +1
đó cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho OA = 4OB.
Bài 9: [ĐVH]. Cho hàm số y = f ( x) = x3 + 6 x 2 + 9 x + 3 (C).
Tìm tất cả các giá trị k, để tồn tại 2 tiếp tuyến với (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua
các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA = 2011.OB .

9
Đ/s: k = ; k = 6039.
2
2x + 1
Bài 10: [ĐVH]. Cho hàm số y =
,(C ) và đường thẳng d : y = x + m . Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt
x +1
17
A, B sao cho hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại A, B thỏa mãn k A + k B =
4
1
Đ/s: m =
2
2x + 1
Bài 11: [ĐVH]. Cho hàm số y =
,(C ) và đường thẳng d : y = x + m . Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt
x +1
A, B sao cho hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại A, B thỏa mãn k B = 16k B
1
Đ/s: m =
2

Bài 8: [ĐVH]. Cho hàm số y =

Bài 12: [ĐVH]. (Trích đề thi Đại học khối A năm 2011)
−x +1
, có đồ thị là (C). Chứng minh rằng đường thẳng d: y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm
2x −1
phân biệt A, B với mọi giá trị của m. Gọi k1 ; k2 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A, B. Tìm k để tổng k1 + k2
đạt giá trị nhỏ nhất.

Đ/s: m = −1; ( k1 + k2 )min = −2
Cho hàm số y =

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P5
Thầy Đặng Việt Hùng
DẠNG 3. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐI QUA MỘT ĐIÊM CHO TRƯỚC
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). Điểm A(xA ; yA) không thuộc đồ thị.
Viết viết các phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đến đồ thị ta thực hiện như sau
+) Gọi d là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k 
→ d : y = k ( x − xA ) + y A
 f ( x) = k ( x − x A ) + y A ,
+) Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm 
k = f ′( x), ( 2 )

(1)

+) Ta giải hệ phương trình trên bằng cách thế (2) lên (1). Giải (1) được x rồi thay lại vào (2) tìm k, từ đó ta
được phương trình dường d chính là tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − x − 6
Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến
a) tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 2x – y + 1 = 0
b) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d’: 4x – y + 2 = 0
c) biết tiếp tuyến đi qua A(2; 0) đến đồ thị hàm số.

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x 3 + 9 x
Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến
b) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 3x + 23y + 2 = 0
c) biết tiếp tuyến đi qua A(3; 0) đến đồ thị hàm số.
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x 3 + 9 x
Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến kẻ từ O(0; 0) đến đồ thị hàm số.
Ví dụ 4: [ĐVH]. CMR không có tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số y =

x
đi qua giao điểm I của 2 đường
x +1

tiệm cận.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2

Bài 1: [ĐVH]. Viết PTTT, biết tiếp tuyến đi qua A  ; −1 đến đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 1
3

x+2
Bài 2: [ĐVH]. Viết PTTT kẻ từ điểm A (1; −2 ) đến đồ thị hàm số y =
.
2x −1
Bài 3: [ĐVH]. Viết PTTT kẻ từ điểm A ( 0; −1) đến đồ thị hàm số y = x3 + x 2 − x + 2.

Đ/s: y = 4 x − 1
Bài 4: [ĐVH]. Viết PTTT kẻ từ điểm A(1; 4) đến đồ thị hàm số y = 2 x3 − x 2 + 3 x + 1.
Đ/s: y = 3 x + 1
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Bài 5: [ĐVH]. Viết PTTT kẻ từ điểm A(3; 4) đến đồ thị hàm số y = − x3 + 2 x + 5.
Đ/s: x + y − 7 = 0
1 
Bài 6: [ĐVH]. Viết PTTT kẻ từ điểm A  ; 4  đến đồ thị hàm số y = x 4 + 2 x 2 − 3.
2 
Đ/s: y = 8 x − 8
x +1
Bài 7: [ĐVH]. Viết PTTT kẻ từ điểm A (1; −6 ) đến đồ thị hàm số y =
.
x+2
Đ/s: y = −3 x − 3
2x − 3
Bài 8: [ĐVH]. Viết PTTT kẻ từ điểm A(2; 2) đến đồ thị hàm số y =
.
x−2
Đ/s: y = − x + 4

(

Bài 9: [ĐVH]. Viết PTTT, biết tiếp tuyến đi qua A(0; 4) đến đồ thị hàm số y = 2 − x 2

)

2

.

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

BÀI TOÁN BIỆN LUẬN SỐ TIẾP TUYẾN (Nâng cao)
Thầy Đặng Việt Hùng
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = 3 x − x 3 (C).
Tìm trên đường thẳng (d): y = − x các điểm M mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).
Hướng dẫn giải:
Gọi M (m; −m) ∈ d . PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − m) − m .
3

∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm: 3 x − x2 = k ( x − m) − m (1)

3 − 3 x = k

Thay (2) vào (1) ta được: 2 x 3 − 3mx 2 + 4m = 0 ⇔ m =

2 x3
3x 2 − 4

(2)

(*)

(**)

Từ M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (C) ⇔ (**) có 2 nghiệm phân biệt
Xét hàm số f ( x ) =

2 x3
3x 2 − 4

 2 3 2 3
6 x 4 − 24 x 2

 f ′( x ) =
;
; f ′( x ) = 0 ⇔  x = 0
2
2
3 
 3
 x = ±2
(3 x − 4)

. Tập xác định D = R \ −


Dựa vào BBT, (**) có 2 nghiệm phân biệt ⇔  m = −2 . Vậy: M(−2;2) hoặc M(2; −2) .
m = 2

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 2 .
Tìm trên đường thẳng d : y = 4 các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (C).

Hướng dẫn giải:
Gọi M (m;4) ∈ d . PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − m) + 4
 3
∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm:  x 2− 3 x + 2 = k ( x − m) + 4
3 x − 3 = k

Thay (2) vào (1) ta được: ( x + 1) 2 x 2 − (3m + 2) x + 3m + 2  = 0

(1)
(2)

(*)

(3)

 x = −1

⇔ 2
2 x − (3m + 2) x + 3m + 2 = 0

(4)

YCBT ⇔ (3) có đúng 2 nghiệm phân biệt
+ TH1: (4) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng –1 ⇔ m = −1
+ TH2: (4) có nghiệm kép khác –1 ⇔ m = −
 2
 3

2
∨ m=2

3




Vậy các điểm cần tìm là: (−1; 4) ;  − ;4  ; (2; 4) .
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 + (m − 1) x + 2m (Cm).
Tìm m để từ điểm M(1;2) kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (Cm).
Hướng dẫn giải:
PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − 1) + 2 . ∆ là tiếp tuyến của (Cm) ⇔ hệ PT sau có nghiệm:
 x 3 − 2 x 2 + (m − 1) x + 2m = k ( x − 1) + 2
 2
3 x − 4 x + m − 1 = k

⇒ f ( x ) = 2 x 3 − 5 x 2 + 4 x − 3(m − 1) = 0 (*)
Để qua M kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm) thì (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt
2
3
 2 109

⇒ Các điểm cực trị của (Cm) là: A(1;4 − 3m), B  ;
− 3m  .
 3 27


Ta có f ′( x ) = 6 x 2 − 10 x + 4 ⇒ f ′( x ) = 0 ⇔ x = 1; x =

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95


4
m = 3
 A ∈ Ox
Do đó (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt ⇔ 
.
⇔
 B ∈ Ox
 m = 109

81

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x 3 + 3 x 2 − 2 (C).
Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).
Hướng dẫn giải:
Gọi M (m;2) ∈ (d ) . PT đường thẳng ∆ đi qua điểm M có dạng : y = k ( x − m) + 2
2
− 3
∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm  x 2+ 3 x − 2 = k ( x − m) + 2

 −3 x + 6 x = k

(1)
(2)

(*).

Thay (2) và (1) ta được: 2 x 3 − 3(m + 1) x 2 + 6mx − 4 = 0 ⇔ ( x − 2) 2 x 2 − (3m − 1) x + 2  = 0
x = 2

⇔
2
 f ( x ) = 2 x − (3m − 1) x + 2 = 0 (3)
Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) ⇔ hệ (*) có 3 nghiệm x phân biệt

5

∆ > 0
⇔ (3) có hai nghiệm phân biệt khác 2 ⇔ 
⇔ m < −1 ∨ m > 3 .
 f (2) ≠ 0
m ≠ 2

5

Vậy từ các điểm M(m; 2) ∈ (d) với m < −1 ∨ m > 3 có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).
m ≠ 2
2

2

Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = ( x + 1) . ( x − 1)
Cho điểm A(a;0) . Tìm a để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).
Hướng dẫn giải:
4
2

Ta có y = x − 2 x + 1 . PT đường thẳng d đi qua A(a;0) và có hệ số góc k : y = k ( x − a)
4
2
 x − 2 x + 1 = k ( x − a)

d là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm: 


k = 0
( A)
2
x −1 = 0

Ta có: (I ) ⇔ 

2


hoặc 4 x( x − 1)2= k

 f ( x ) = 3 x − 4ax + 1 = 0 (1)
+ Từ hệ (A), chỉ cho ta một tiếp tuyến duy nhất là d1 : y = 0 .

4x3 − 4x = k

(I )

( B)

+ Vậy để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với (C) thì điều kiện cần và đủ là hệ (B) phải có 2 nghiệm

phân biệt ( x; k ) với x ≠ ±1 , tức là phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác ±1 ⇔
 ∆′ = 4a2 − 3 > 0
3
3
⇔ −1 ≠ a < −
hoaëc 1 ≠ a >

2
2
 f (±1) ≠ 0

Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho hàm số: y =

x+2
(C).
x −1

Cho điểm A(0; a) . Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về
2 phía của trục hoành.
Hướng dẫn giải:
Phương trình đường thẳng d đi qua A(0; a) và có hệ số góc k: y = kx + a
x +2
 x − 1 = kx + a
d là tiếp tuyến của (C) ⇔ Hệ PT 
có nghiệm
−3
k =
( x − 1)2


⇔ PT: (1 − a) x 2 + 2(a + 2) x − (a + 2) = 0 (1) có nghiệm x ≠ 1 .
Để qua A có 2 tiếp tuyến thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

a ≠ 1

a ≠ 1
⇔
⇔
(*)
a > −2
∆′ = 3a + 6 > 0

Khi đó ta có: x1 + x2 =

2(a + 2)
a+2
3
3
; x1 x2 =
và y1 = 1 +
; y2 = 1 +
x1 − 1
x2 − 1
a −1

a −1

Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía đối với trục hoành thì y1.y2 < 0


3 

3

x .x + 2( x + x ) + 4



2

1 2
1
2
⇔ 1 +
< 0 ⇔ 3a + 2 > 0 ⇔ a > −
 .1 +
<0 ⇔
x
−
1
x
−
1
x
.

x
−
(
x
+
x
3

1

2

1 2
1
2) +1



2


Kết hợp với điều kiện (*) ta được: a > − 3 .
a ≠ 1

Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho hàm số y =

x +1
(C).
x −1

Tìm trên Oy tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C).
Hướng dẫn giải:
Gọi M (0; yo ) là điểm cần tìm. PT đường thẳng qua M có dạng: y = kx + yo (d)
 x +1
( y − 1) x 2 − 2( y + 1) x + y + 1 = 0 (1)
 x − 1 = kx + yo
o
o
 o
⇔
(*)
(d) là tiếp tuyến của (C) ⇔  −2
−2
=k

=k
 x ≠ 1;
2
2
( x − 1)

 ( x − 1)

YCBT ⇔ hệ (*) có 1 nghiệm ⇔ (1) có 1 nghiệm khác 1
y = 1 y ≠ 1

1
 o
 o
x = ; yo = 1 ⇒ k = −8


⇔
∨
⇔
1

2
2

∆ ' = ( yo + 1) − ( yo − 1)( yo + 1) = 0
 x = 2
x
=
0;
yo = −1 ⇒ k = −2


Vậy có 2 điểm cần tìm là: M(0; 1) và M(0; –1).
x +3
(C).
x −1
Tìm trên đường thẳng d : y = 2 x + 1 các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C).

Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho hàm số y =

Hướng dẫn giải:
Gọi M (m;2m + 1) ∈ d . PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − m) + 2m + 1
PT hoành độ giao điểm của ∆ và (C): k ( x − m) + 2m + 1 =

⇔ kx 2 − [(m + 1)k − 2m ] x + [ mk − (2m + 4)] = 0 (*)

x+3
x −1

k ≠ 0
2
∆ = [(m + 1)k − 2m ] − 4k [ mk − (2m + 4)] = 0

∆ tiếp xuc với (C) ⇔ (*) có nghiệm kép ⇔ 

k ≠ 0
2 2
2
2
 g(k ) = (m − 1) k − 4(m − m − 4)k + 4m = 0

⇔

Qua M (m;2m + 1) ∈ d kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)
m = 0
 ∆′ = −32(m 2 − m − 2) > 0; g(0) = 4m2 = 0


⇔ g(k ) = 0 có đúng 1 nghiệm k ≠ 0 ⇔  ∆′ = −32(m 2 − m − 2) > 0; g(0) = 4m2 = 0 ⇔  m = −1
m = 2

1
−
=
⇒

+
=
⇒
=
−
m
1
0
16
k
4
0
k
 m = 1

4

⇒ M (0;1)
⇒ M (−1; −1)
⇒ M (2;5)
⇒ M (1;3)

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

02. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P1

Thầy Đặng Việt Hùng
I. BIỆN LUẬN SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Tóm tắt lí thuyết cơ bản :
Xét hàm số bậc ba y = ax3 + bx3 + cx + d ⇒ y′ = 3ax 2 + 3bx + c
Nếu a = 0 , khi đó hàm suy biến thành bậc hai, ta có y′ = 3bx + c ⇒ y′ = 0 ⇔ x = −

c
3b

Trong trường hợp này hàm số có 1 cực trị.
Nếu a ≠ 0 thì dấu của y’ phụ thuộc vào dấu của biệt thức ∆
+) Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu, tức là phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có
nghiệm kép, tức là ∆ ≤ 0.
+) Hàm số có 2 điểm cực trị khi y′ đổi dấu hai lần, tức là phương trình y′ = 0 có hai nghiêm phân biệt.
Từ đó ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị là ∆ > 0.
Vậy, với hàm bậc ba thì hàm số chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị.

Ví dụ 1: [ĐVH]. Biện luận số cực trị của hàm số y = x3 + ( m + 1) x 2 + 2mx − 3 + m theo tham số m.
1
Ví dụ 2: [ĐVH]. Biện luận số cực trị của hàm số y = − (m + 1) x3 + ( 2m − 1) x 2 + mx + 3m − 2 theo tham số m.
3

II. MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP
Phương pháp chung :
+) Tìm điều kiện tồn tại cực đại, cực tiểu.
+) Giải điều kiện về tính chất K nào đó mà đề bài yêu cầu.
+) Kết hợp nghiệm, kết luận về giá trị của tham số cần tìm.

Dạng 1. Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ x = x0 cho trước.
Phương pháp 1: (Sử dụng y’’)

 y ′ ( x0 ) = 0
+) Hàm số đạt cực đại tại x = x0 ⇔ 
 y ′′ ( x0 ) < 0
 y ′ ( x0 ) = 0
+) Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 ⇔ 
 y ′′ ( x0 ) > 0
 y ′ ( x0 ) = 0
Chú ý: Hàm số đạt cực trị tại x = x0 ⇔ 
 y ′′ ( x0 ) ≠ 0
Phương pháp 2: (Sử dụng điều kiện cần và đủ)
+) Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x = x0 ⇔ y ′ ( x0 ) = 0 
→ m.
+) Với m tìm được, thay vào hàm số rồi khảo sát, từ bảng biến thiên ta có kết luận về hàm số đạt cực đại, hay
cực tiểu tại điểm x0 hay không.
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!