ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH VÀ ỨNG DỤNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
_________________

Phạm Anh Quang

ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

TP. Hồ Chí Minh – 2009


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
_________________

Phạm Anh Quang

ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số

: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. ĐẬU THẾ CẤP

TP. Hồ Chí Minh – 2009


LỜI CẢM ƠN
Qua luận văn này, em xin bày tỏ sự biết ơn của mình đến PGS. TS.
Đậu Thế Cấp, người thầy, đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn
thành luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô đã hướng dẫn, giảng dạy và
truyền đạt kiến thức cho em trong suốt quá trình đào tạo.
Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến bạn bè và đồng nghiệp đã có những
ý kiến đóng góp cho luận văn này.


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1. Tập hợp .................................................................................................... 2
1.2. Không gian vectơ ..................................................................................... 3
1.3. Không gian tôpô ....................................................................................... 4
1.4. Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương ............................. 5
1.5. Chuẩn – Không gian định chuẩn .............................................................. 6
1.6. Toán tử tuyến tính – Không gian liên hợp ............................................... 6
Chương 2. ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH
2.1. Sơ chuẩn và nửa chuẩn ........................................................................... 10
2.2. Định lý Hahn – Banach dạng mở rộng ................................................... 11

2.3. Định lý Hahn – Banach về tách các tập lồi ............................................. 20
2.4. Định lý Hahn – Banach dạng hình học ................................................... 23
Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH
3.1. Bất đẳng thức không tương thích............................................................. 31
3.2. Hàm liên hợp............................................................................................ 38
3.3. Các định lý đối ngẫu ............................................................................... 42
3.4. Bài toán cực trị ........................................................................................ 47
KẾT LUẬN .................................................................................................. 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 57


MỞ ÐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nếu không có định lý Hahn – Banach thì cấu trúc của giáo trình Giải tích hàm
rất khác so với ngày nay như ta đã biết. Định lý Hahn – Banach là một trong ba
định lý quan trọng và cơ bản nhất của Giải tích hàm, là định lý mạnh về sự tồn
tại mà dạng của nó đặc biệt thích hợp những vấn đề tuyến tính với một lượng lớn
ứng dụng thực tiễn quan trọng. Định lý Hahn – Banach là một định lý rất được
các nhà Giải tích học ưa chuộng. Mục đích của luận văn là trình bày hai lớp định
lý được biết rộng rãi có tên là Định lý Hahn – Banach dưới dạng mở rộng (dạng
giải tích) và Định lý Hahn – Banach dưới dạng tách – dạng hình học, và chúng
đều khẳng định chắc chắn sự tồn tại của một phiếm hàm tuyến tính cùng với
những đặc tính nào đó. Cả hai dạng của định lý Hahn – Banach tương đương
nhau về mặt toán học. Phần cuối của luận văn trình bày một số áp dụng của định
lý Hahn – Banach trong lý thuyết đối ngẫu và bài toán cực trị. Chúng tôi chọn đề
tài này để tìm hiểu sâu về định lý Hahn – Banach.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu các dạng định lý Hahn – Banach, xem xét một số ứng dụng của nó.
3. Đối tượng nghiên cứu
Định lý Hahn – Banach.

4. Phạm vi nghiên cứu
Lý thuyết hàm và giải tích hàm.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu
Luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo để hiểu sâu thêm về định lý Hahn –
Banach.


Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1. Tập hợp
Cho các tập X và Y, ta gọi tích Descartes của X và Y là tập X  Y   x, y  :

x  X, y  Y . Tích Descartes X  X , ký hiệu là X 2 , được gọi là bình phương
Descartes của X.
Ta gọi một tập con S của X  Y là một quan hệ trên X và Y; một tập con của
X 2 là một quan hệ trên X. Nếu S là một quan hệ thì thay cho cách viết  x, y   S

ta sẽ viết là xSy. Quan hệ S trên X gọi là:
Có tính chất phản xạ nếu mọi x  X đều có xSx;
Có tính chất đối xứng nếu mọi x, y  X , xSy thì ySx;
Có tính chất phản xứng nếu mọi x, y  X , xSy và ySx thì x  y ;
Có tính chất bắc cầu nếu mọi x, y, z  X , xSy và ySz thì xSz.
Quan hệ S trên X được gọi là quan hệ thứ tự nếu S có các tính chất phản xạ,
phản xứng và bắc cầu. Nếu S là quan hệ thứ tự thì thay cho cách viết xSy ta sẽ
viết x  y và viết x  y nếu x  y và x  y .
Tập X cùng một quan hệ thứ tự trên X gọi là tập được sắp. Nếu mọi x, y  X
ta đều có x  y hoặc y  x thì X được gọi là sắp tuyến tính (hay sắp toàn phần).
Trong trường hợp khác thì X gọi là sắp bộ phận.
Phần tử a  X gọi là phần tử tối đại (tối tiểu) nếu mọi x  X , a  x (x  a) thì
x a.

Cho E là một tập con của X. Phần tử a  X gọi là biên trên (dưới) của E nếu
x  a (a  x) với mọi x  E . Nếu a là biên trên (dưới) của E và a  E thì a gọi là


phần tử lớn nhất (nhỏ nhất) của E.
Một tập được sắp gọi là được sắp tốt nếu mọi tập con khác rỗng của nó đều
có phần tử nhỏ nhất.
Bổ đề Zorn. Nếu X là một tập được sắp mà mọi tập con được sắp tuyến tính

của X đều có biên trên thì X có một phần tử tối đại.
1.2. Không gian vectơ

Trong luận văn này ta ký hiệu K là trường số thực R hoặc trường số phức C .
Không gian vectơ trên trường K là tập X, trong đó có một phép cộng
X  X  X và một phép nhân vô hướng K  X  X , thỏa các điều kiện sau:
a)  x  y   z  x   y  z 
b) x  y  y  x
c)  X, x    x
d)   x   E, x    x   
e)   x  y   x  y
f)      x  x  x
g)    x    x 
h) 1.x  x
với mọi x, y, z  X , mọi ,   K
Các phần tử của không gian vectơ gọi là các vectơ. Nếu không có sự hiểu
nhầm, không gian vectơ trên trường K, thường viết là không gian vectơ.
Nếu x  X và A  X , thì x  A  x  a : a  A . Nếu A  X và B  X , thì
A  B  a  b : a  A,b  B . Nếu   K và A  X , thì A  a : a  A .
Chú ý rằng: A  B  B  A nhưng A + A không bằng 2A.

Độc lập tuyến tính

Giả sử M là tập con của không gian vectơ X. M được gọi là một hệ độc lập
tuyến tính, nếu với mọi hệ con hữu hạn x1 , ..., x n và mọi hệ 1 , ...,  n  K không
đồng thời bằng 0, ta đều có

n

 x
i 1

i

n

i

 0 . Vectơ y    i x i gọi là tổ hợp tuyến
i 1

tính hữu hạn của các vectơ x1 , ..., x n .
Không gian vectơ con

Một tập con Y không rỗng của không gian vectơ X gọi là một không gian
vectơ con (hay không gian con) của X nếu tổ hợp tuyến tính x  y  Y với
mọi x, y  Y và mọi ,   K .
Giao của một họ các không gian vectơ con của X là một không gian vectơ
con của X. Giao của tất cả các không gian vectơ con của X chứa tập con S của X
là không gian vectơ con bé nhất của X chứa S, gọi là bao tuyến tính của S

(không gian con sinh bởi S). Ký hiệu không gian con sinh bởi S là S , S bao
gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của S. Ta có   0 .
1.3. Không gian tôpô

Cho tập hợp X. Một họ  các tập con của X gọi là tôpô trên X nếu thỏa mãn
các điều kiện sau:
i) X và  thuộc  ;
ii) Hợp tùy ý các tập thuộc  là thuộc  ;
iii) Giao của hữu hạn các tập thuộc  là thuộc  .
Một tập X cùng với tôpô  trên X gọi là một không gian tôpô, ký hiệu là

 X,  . Tập G   gọi là tập mở của X và F gọi là tập đóng nếu X\F là tập mở.
Tập con V của X gọi là một lân cận của x thuộc không gian tôpô X nếu tồn


tại tập mở G sao cho x  G  V . Nếu V mở thì ta nói V là lân cận mở.
Cho A là tập con của không gian tôpô X. Ta gọi phần trong của A là hợp của
tất cả các tập mở được chứa trong A, ký hiệu hay intA. Và ta gọi bao đóng của A
là giao của tất cả các tập đóng chứa A, ký hiệu là A .
Điểm x được gọi là điểm trong của tập con A trong không gian tôpô X nếu x
có một lân cận V sao cho V  A .
Không gian tôpô gọi là tách (hay không gian Hausdorff) nếu hai điểm bất kỳ
khác nhau, đều có hai lân cận rời nhau.
1.4. Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương

Tập X được gọi là một không gian vectơ tôpô trên trường K nếu:
i) X là không gian vectơ trên trường K;
ii) X là không gian vectơ tôpô (với tôpô  ); tr16.ĐVL tr16.ĐVL
iii) Với tôpô  , phép cộng và phép nhân vô hướng là những ánh xạ liên tục.
Ta có nếu U là lân cận của điểm gốc 0 (gọi tắt là lân cận) thì U  x 0 là lân

cận của x0 và nếu U là một lân cận của điểm gốc 0 (gọi tắt là lân cận), thì U là
một lân cận (với mọi   0 ).
Một tập con V x của tập hợp U x các lân cận của x được gọi là một cơ sở lân cận
của x, nếu với mỗi U  U x đều tồn tại V  V x sao cho V  U .


Tập hợp con A của không gian vectơ X được gọi là hút nếu

UnA  X ; gọi là
n 1

cân nếu x  A , thì với mọi   K ,   1 đều có x  A , gọi là lồi nếu mọi
x, y  A ,    0,1 ta điều có 1    x  y  A và gọi là tuyệt đối lồi nếu nó
đồng thời là lồi và cân, điều này tương đương, với mọi x, y  A ta đều có
x  y  A khi     1 .


Nếu D, E là các tập lồi, a là một điểm,  là một số thực thì các tập (D + a),
(D + E) và D cũng lồi. Phần trong của tập lồi là lồi.
Không gian vectơ tôpô X gọi là không gian vectơ tôpô lồi địa phương hay
không gian lồi địa phương nếu X có một cơ sở lân cận gồm các tập lồi.
Vì khi tịnh tiến một tập lồi ta lại được một tập lồi nên trong không gian lồi
địa phương mỗi điểm đều có một cơ sở lân cận lồi.
1.5. Chuẩn – Không gian định chuẩn

Cho X là không gian vectơ trên trường K, một hàm thực q : X  R được gọi
là chuẩn nếu:
i) q  x   0 với mọi x  X , q  x   0  x  0 ;
ii) q  x  y   q  x   q  y  với mọi x, y  X ;
iii) q  x   |  | q  x  với mọi x  X và mọi   K .

Chuẩn thường được viết là || . || .
Cho X là một không gian vectơ trên trường K cùng với một chuẩn xác định
trên đó gọi là không gian định chuẩn trên trường K.
Cho A tập con của không gian định chuẩn X. Nếu A mở, x 0  X thì x0 + A

cũng mở; A đóng, x 0  X thì x0 + A đóng; A mở, B là tập tùy ý thì A + B là mở;
A mở, số   0 thì A mở; A đóng, số   0 thì A đóng.
1.6. Toán tử tuyến tính – Không gian liên hợp

Cho X và Y là hai không gian vectơ trên trường K, ánh xạ f : X  Y gọi là
ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu với mọi x, y  Y và mọi ,   K
thì f  x  y   f  x   f  y  .


Nếu X và Y là những không gian vectơ tôpô và f là một ánh xạ tuyến tính từ
X vào Y, thì f là liên tục trên X khi và chỉ khi f liên tục tại điểm gốc. (A.P mđề1)
Nếu X và Y là những không gian vectơ tôpô và f là một ánh xạ tuyến tính từ
X vào Y, thì f liên tục trên X khi và chỉ khi f bị chặn, tức là tồn tại số k  0 sao
cho f  x   k x với mọi x  X .
Không gian định chuẩn là không gian lồi địa phương và tách.
Không gian liên hợp

Giả sử X là một không gian vectơ trên trường K, toán tử tuyến tính f : X  K
gọi là phiếm hàm tuyến tính. Tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính trên X là một
không gian vectơ trên trường K, được ký hiệu bởi X # , gọi là không gian liên hợp
đại số hay không gian đối ngẫu đại số của X. X # là không gian vectơ với các
phép toán xác định bởi      x     x     x  và    x     x  với mọi
,   X # , x  X,   K .
Giả sử X là không gian định chuẩn trên trường K, không gian L (X, K) tất cả
phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên X được gọi là không gian liên hợp

(không gian đối ngẫu) của X. Ký hiệu X* , ta có X* là không gian con của X # .
Bất kỳ không gian định chuẩn X nào thì trên X cũng có một tôpô tự nhiên từ
không gian đối ngẫu X* của nó, gọi là tô pô yếu, ký hiệu   X,X*  , đó là tôpô
yếu nhất trên X làm cho tất cả các phiếm hàm tuyến tính trên X là liên tục. Hiển
nhiên tôpô yếu   X,X*  yếu hơn tôpô metric xác định bởi chuẩn trên X. 173.Đ
Tôpô yếu   X,X*  là tách. Và nếu X là không gian định chuẩn hữu hạn
chiều thì tôpô yếu   X,X*  và tôpô mêtric xác định bởi chuẩn của X là trùng
nhau. Trang 173 Đỗ Văn Lưu


Với tôpô yếu   X,X*  ta có các khái niệm   X, X*   đóng,   X, X*   mở,
… sau đây ta sẽ gọi đơn giản là đóng yếu, mở yếu …
Tương tự ta cũng có tôpô yếu trên X* là   X* , X**  . Trên X* còn một tôpô

quan trọng hơn tôpô yếu, ta có một kết quả là X  X** , cho nên trên X* có thể
xét tôpô   X* , X  , gọi là tôpô * yếu. Như vậy tôpô * yếu   X* , X  yếu hơn tôpô
yếu   X* , X**  .
Nhắc lại, một không gian vectơ con được gọi là không gian con thực sự của
không gian vectơ X nếu nó khác biệt không gian. Ta gọi một siêu không gian là
không gian con thực sự cực đại, tức là không gian con không chứa thực sự trong
bất kỳ không gian con thực sự nào khác. Dễ dàng chứng minh nhân N    

x  X :   x   0  Ker của một phiếm hàm tuyến tính  khác 0 trên X là một
siêu không gian. Cũng có: mọi siêu không gian là nhân của một hàm tuyến tính
khác 0 nào đó. Siêu phẳng là một sự tịnh tiến của một siêu không gian. Nói cách
khác, giả sử M là một siêu không gian của không gian vectơ X, thì tập a + M
được gọi là siêu phẳng trong X. Bản thân M là một siêu phẳng đi qua 0.
Nếu H là một siêu phẳng thì tồn tại một hàm tuyến tính  và một vectơ a  X
sao cho H  a  N    . Bây giờ giả sử rằng   a    . Với mọi h  H thì h 

a  y với y  N    . Do đó   h     a     y    . Mặt khác, giả sử rằng x  X
sao cho   x    . Cho y  x  a thì   y   0 , nghĩa là y  N    và x  a  y 
a  N     H . Như vậy chúng ta đã chứng minh rằng với mỗi siêu phẳng H, có
phiếm hàm tuyến tính khác không  và một số thực  sao cho H  x  X :
  x    . Mỗi siêu phẳng H chia toàn bộ không gian thành hai tập lồi


H r  x  X :   x    và H l  x  X :   x    , được biết như là nửa không
gian và gọi là nửa không gian con đóng của X liên kết với H (mặc dù không gian
vectơ X không có khái niệm “tập con mở” hoặc “tập con đóng”). Tương tự
những tập x  X :   x    và x  X :   x    được gọi là nửa không gian
con mở của X liên kết với H.
Nếu X là không gian vectơ tôpô thì siêu phẳng H  x  X :   x    là đóng
khi và chỉ khi  liên tục. Điều đó suy ra từ kết quả sau: Nếu f là một phiếm hàm
tuyến tính trên một không gian vectơ tôpô, thì f liên tục khi và chỉ khi f 1  0  là

đóng.


Chương 2. ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH
2.1. Sơ chuẩn và nửa chuẩn
Sơ chuẩn và nửa chuẩn

Cho X là không gian vectơ trên trường K và một hàm thực p : X  R , khi đó:
p được gọi là một sơ chuẩn nếu
i) p  x   p  x  với mọi x  X , và mọi   R với   0 ;
ii) p  x  y   p  x   p  y  với mọi x, y  X .
p được gọi là nửa chuẩn nếu
i) p  x   0 , với mọi x  X ;
ii) p  x   |  | p  x  với mọi x  X , với mọi   K ;

iii) p  x  y   p  x   p  y  với mọi x, y  X .
Ta có mọi chuẩn là nửa chuẩn và mọi nửa chuẩn đều là sơ chuẩn.
Phiếm hàm Minkowski

Trong không gian vectơ X, cho tập C khi đó pC  x   inf t  0:x  tC , xác
định hàm từ X vào R , gọi là phiếm hàm Minkowski của C, ở đây inf t   .
t

2.1.1. Định lý.
a) Với mọi tập lồi và hút U, phiếm hàm Minkowski pU là một sơ chuẩn.
b) Với mọi tập tuyệt đối lồi và hút U, phiếm hàm Minkowski pU là một nửa
chuẩn.

Chứng minh.
a) Do U hút nên với mọi x  X tồn tại t  0 để x  tU suy ra 0  p U  
hay p U : X  R .


Lấy x, y  X và   0 thì p U  x   p U  x  và p U  x  y   p U  x   p U  y  ,
 

thật vậy, ta có p U  x   inf   0:x  U  inf   0:x  U   inf t  0:
 


x  tU  inf t  0:x  tU  p U  x  (với t 


). Và với x  U , y U (,


  0) , thì x  x, y  y với x, y  U , sử dụng tính lồi của U ta có x  y 
 


x 
y       U . Từ đó theo định nghĩa thì p U  x  y  
 
  

   

   với mọi ,   0 thỏa mãn x  U , y U và do đó p U  x  y   p U  x  
p U  y  . Vậy pU là sơ chuẩn.
b) Để chứng minh p U là nửa chuẩn, ta chỉ cần kiểm tra p U  x    p U  x 
với mọi   K và điều này có được là vì U cân nên x  U   x  U .
2.1.1. Hệ quả. U lồi và hút thì  x  X : pU  x   1  U   x  X : pU  x   1 .

Chứng minh. 2.Minkowski.RemarkE.1
Với x  U ta có 1 t  0 : x  tU hay p U  x   1 nên x   y  X : p U  y   1 .
Với x  X : p U  x   1 khi đó tồn tại t   0,1 để x  tU . Đặt y  t 1x  U , do
U lồi nên x  ty  1  t  0  U , vậy ta có điều phải chứng minh.
2.2. Định lý Hahn – Banach dạng mở rộng

Trong phần này, chúng ta giải quyết vấn đề sự mở rộng của một hàm tuyến
tính trên không gian con Y đến một hàm tuyến tính trên toàn không gian X.
Kết quả sau đây có thể được xem như là phát biểu tổng quát nhất của định lý
Hahn – Banach dạng mở rộng

2.2.1. Định lý. (Định lý Hahn – Banach cho không gian vectơ thực)
Cho X là một không gian vectơ thực, p là một sơ chuẩn trên X và Y là một
không gian con của X. Khi đó mọi phiếm hàm tuyến tính f trên Y thỏa mãn

f  x   p  x  với mọi x  Y , tồn tại phiếm hàm tuyến tính %
f trên X sao cho
%
f  f và %
f  x   p  x  với mọi x  X .
Y

Chứng minh. TS.ĐTC
Ta gọi một mở rộng của f là một phiếm hàm tuyến tính g trên một không gian
con Dg của X chứa Y sao cho g Y  f và g  x   p  x  với mọi x  Dg .
Xét tập X gồm tất cả các mở rộng của f. Do f  X nên X   . Ta viết g  h
nếu Dg  D h và h D  g . Dễ dàng thấy  là một thứ tự trên X .
g

Giả sử A là một tập con được sắp tuyến tính của X. Đặt D A  UgA D g , ta xác
định hàm h : D A  R bằng cách sau:
Nếu x  D A thì tồn tại g  A để x  Dg . Đặt h  x   g  x  , nếu cũng có x  Dg
thì do A được sắp tuyến tính nên g  g hoặc g  g . Và vì x  Dg I Dg nên
g  x   g  x  . Vậy h xác định đúng.
Lấy tùy ý x, y  DA và ,  R , khi đó tồn tại g và g thuộc A để x  Dg ,
y  Dg . Ta giả thiết g  g , khi đó x, y  Dg và x  y  Dg  D A . Vậy DA là
không gian con của X. Ngoài ra h  x  y   g  x  y   g  x   g  y  

h  x   h  y  , do đó h là hàm tuyến tính trên DA. Hiển nhiên h  x   p  x  với
mọi x  D A nên h  X và g  h với mọi g  A . Vậy h là biên trên của tập A. Từ
đó theo bổ đề Zorn trong X tồn tại phần tử tối đại %

f : G  R . Để hoàn tất chứng


minh ta sẽ chỉ ra G  X .
Giả sử trái lại, tồn tại y  X \ G , xét không gian con D sinh bởi y và G, tức là
D  y  z :   R,z  G . Với u, v  G ta có %
f u  %
f  v  %
f u  v  p u  v

 p  u  y   p  v  y  , từ đó p  u  y   %
f u   p v  y  %
f  v  . Vì u và v tùy ý







f  u   inf p  v  y   %
f  v  , và cả hai số trên đều hữu
nên sup p  u  y   %
uG



vG



f  u  , xác định hàm k : D  R bởi k  y  z  
hạn. Đặt   sup  p  u  y   %
uG

  %
f  z  với mọi   R , z  G . Hiển nhiên k là tuyến tính và k  z   %
f  z  với
mọi z  G . Ta chứng minh k  y  z   p  y  z  với mọi   R , z  G .
f  z   p  z  với mọi z  G . Nếu   0 thì k  y  z  
Nếu   0 thì k  z   %

 z
 z 
  z  % z  
z

  %
f z     %
f     p  y   %
f    f     p   y   p  y 
  
      



 
f u ,
z  với mọi z  G . Cuối cùng nếu     0 , để ý là   inf p  u  y   %
uG






 z
 z 
  z  % z  
f  z       %
f     p  y   %
f    f   
ta có k  y  z     %


 
      

 
z

p   y   p  z  y   p  y  z  .



f k
Như vậy k  x   p  x  với mọi x  D . Điều đó chứng tỏ k  X . Bởi vì %
f  k . Ta gặp mâu thuẫn vì %
f tối đại.
và %

2.2.2. Định lý. (Định lý Hahn – Banach cho không gian vetơ trên trường K)

Cho X là một không gian vectơ trên trường K, p là nửa chuẩn trên X và Y là
không gian con của X. Khi đó mọi phiếm hàm tuyến tính f trên Y thỏa mãn


f  x   p  x  với mọi x  Y , tồn tại phiếm hàm tuyến tính %
f trên X sao cho
%
f  x   p  x  với mọi x  X .
f  f và %
Y

Chứng minh. TS.ĐTC
Trường hợp K  R .
Để ý rằng f  y   f  y   p  y  với mọi y  Y , vì thế chúng ta có thể áp dụng
định lý 2.2.1 và có %
f : X  R với %
f  x   p  x  với mọi x  X . Suy ra
f  f và %
Y

f  x   p  x  với mọi x  X .
%
f x  %
f   x   p   x   p  x  với mọi x  X . Nên %

Trường hợp K  C .
Mọi không gian vectơ phức X có thể coi là một không gian vectơ thực (phép

nhân vô hướng R  X  X là thu hẹp của phép nhân vô hướng C  X  X ). Ta
gọi một phiếm hàm tuyến tính thực trên không gian phức X là một phiếm hàm
tuyến tính trên X nếu coi X là không gian vectơ thực nói trên. Trước hết ta chứng
minh bổ đề sau.
2.2.1. Bổ đề. Hàm f : X  C là phiếm hàm tuyến tính trên X nếu và chỉ nếu

tồn tại một phiếm hàm tuyến tính thực f1 trên X sao cho f  x   f1  x   if1  ix 
với mọi x  X .
Chứng minh.TS.ĐTC
Giả sử f : X  C là phiếm hàm tuyến tính, đặt f  x   f1  x   if 2  x  trong đó
f1  x   Ref  x  và f 2  x   Im f  x  . Ta được các phiếm hàm tuyến tính thực f1,
f2 trên X. Bởi vì f  ix   f1  ix   if 2  ix  và f  ix   if  x   i  f1  x   if 2  x   
if1  x   f 2  x  nên ta có f 2  x   f1  ix  . Suy ra f  x   f1  x   if1  ix  , tức f1
chính là phiếm hàm tuyến tính muốn tìm.


Ngược lại, vì f1 là tuyến tính thực nên hàm f  x   f1  x   if1  ix  thỏa mãn
f  x  y   f  x   f  y  với mọi x, y  X . Với mọi x  X và     i C ta có
f  x   f1  x   if1  ix   f1     i  x   if1  i    i  x   f1  x   f1  ix  
if1  ix   i f1  x      i  f1  x   i    i  f1  ix     f1  x   if1  ix    f  x  ,
vậy f là hàm tuyến tính phức.
Trở lại chứng minh cho trường hợp K  C .
Từ bổ đề 2.2.1, gọi f1 là phiếm hàm tuyến tính thực trên X để f  x   f1  x  
if1  ix  . Bởi vì f1  y   f  y   p  y  , với mọi y  Y , do đó áp dụng định lý cho
f1 : X  R sao cho %
f1  f1 và %
f1  x   p  x  với
trường hợp K  R và tìm được %
Y

mọi x  X . Ta sẽ chứng minh %
f, %
f x  %
f1  x   if%1  ix  với mọi x  X , là phiếm
hàm cần tìm.
Thật vậy, do mọi x  Y , f  x   f1  x   if1  ix  , kết hợp với %
f1  f1 dẫn đến
Y

%
f  f . Mặt khác nếu %
f  x   0 thì %
f x  %
f  x  ei (  R phụ thuộc vào x) nên
Y

%
f  x   e  i%
f x  %
f  e  i x  . Mà %
f  e  i x  là một số thực nên %
f  e  i x   %
f1  e  i x  .

Vì vậy %
f x  %
f  e i x   %
f1  e  i x   p  e  i x   e  i p  x   p  x  .
Có một câu hỏi đặt ra là các ánh xạ tuyến tính trên không gian con có được
mở rộng dễ dàng như những phiếm hàm tuyến tính hay không? Banach và Mazur

đã chứng minh điều này là không thể vào năm 1933 nhưng chứng minh đó
không đúng. Mãi đến năm 1950, Nachbin mới có câu trả lời chính xác cho câu
hỏi này.


2.2.1. Hệ quả. Giả sử X là không gian vectơ trên trường K, a  X , p là một

nửa chuẩn trên X. Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên X thỏa
f  a   p  a  và f  x   p  x  với mọi x  X .
Chứng minh.
Gọi Y là không gian con của X sinh bởi a, Y  a :   K , lấy x  Y khi đó
x  a (  K) . Ta định nghĩa f1  x   p  a  (  K) . Khi đó, f1 là phiếm hàm
tuyến tính trên Y, đồng thời, f1  x   f1  a    p  a   p  a   p  x  .
Theo định lý 2.2.2 tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên X sao cho f  x   f1  x 
với mọi x  Y và f  x   p  x  với mọi x  X . Và hiển nhiên f  a   p  a  .
2.2.2. Hệ quả. (Định lý Hahn – Banach cho không gian định chuẩn)

Cho X là một không gian định chuẩn và Y là một không gian vectơ con của X.
Khi đó mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên Y, tồn tại một phiếm hàm tuyến
tính liên tục %
f trên X sao cho %
f  f và %
f  f .
Y

Chứng minh. TS.ĐTC
Đặt p  x   f x với mọi x  X , khi đó p là một nửa chuẩn trên X và
f  x   p  x  với mọi x  Y . Từ đó theo định lý 2.2.2 tồn tại phiếm hàm tuyến
tính %
f xác định trên X sao cho %

f  f và %
f  x   p  x   f x với mọi x  X .
Y

Do đó %
f liên tục và %
f  f .
Vì %
f  sup %
f  x   sup f  x   f nên %
f  f .
xX, x 1

xY, x 1

2.2.3. Hệ quả. Cho X là một không gian định chuẩn, Y là một không gian

vectơ con của X và vectơ x0  X là điểm không thuộc Y sao cho d  x0 , Y  


inf x0  y    0 . Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f : X  K sao
yY

cho f  1, f

Y

 0 và f  x0    .

Chứng minh. TS.ĐTC

Gọi G là không gian con của X sinh bởi Y và x0, G  x 0  y :   K, y  Y ,
công thức g  x 0  y    với mọi x 0  y  G cho ta phiếm hàm tuyến tính g
trên không gian con G. Nếu   0 thì g  x 0  y   0 . Nếu   0 thì x 0  y 
y
 y
 x 0        vì   Y . Từ đó g  x 0  y      x 0  y với mọi

 
x 0  y  G . Vậy g liên tục và g  1 .
Với r tùy ý, 0  r  1 , do d  x 0 ,Y    nên tồn tại y  Y để x 0  y  r 1 hay
r x 0  y   . Từ đó g  x 0  y     r x 0  y . Vì x 0  y    0 cho nên g 

sup

gx

xG\0

x

 r và do r  1 tùy ý nên g  1 . Vậy g  1 .

Áp dụng hệ quả 2.2.2, tồn tại mở rộng tuyến tính liên tục f của g lên X sao
cho f  1. Vì f

G

 g nên f

Y

 g Y ,f  x 0   g  x 0    .

Lấy Y  0 trong hệ quả 2.2.3, khi đó d  x 0 ,Y   x 0 . Ta được hệ quả 2.2.4
như sau
2.2.4. Hệ quả. Cho X là một không gian định chuẩn, x0  X và x0  0 . Khi

đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên X sao cho f  1 và f  x0   x0 .

Và như thế thì bất kỳ không gian định chuẩn khác không nào cũng có một
hàm tuyến tính liên tục khác không.


2.2.5. Hệ quả. Cho X là không gian vectơ tôpô thực, và C là tập con tuyệt đối

lồi, mở và hút. Nếu x 0  X là điểm không thuộc C, thì tồn tại một phiếm hàm
tuyến tính liên tục f : X  R , sao cho f  x0   1 và f  v   1, với mọi v  C .

Chứng minh. Bổ đề E1
Gọi Y  tx 0 : t  R là không gian vectơ sinh bởi x 0 và định nghĩa phiếm hàm f1
xác định bởi f1  tx 0   t, với mọi x  tx 0 , t  R . Khi đó f1 là tuyến tính, và
f1  x 0   1 . Trước tiên ta chỉ ra f1  y   pC  y  , với mọi y  Y .
Xét y  Y, y  tx 0 , t  R . Với t  0 , thì rõ ràng f1  y   pC  y  , bởi vì f1  y 
 t  0 và vế phải pC  y  thì luôn không âm. Giả sử t  0 , từ pC là một sơ chuẩn,
ta có pC  y   pC  tx 0   tpC  x 0  , mà x 0  C theo hệ quả 2.1.1 thì pC  x 0   1 .
Suy ra pC  y   t  f1  y  .
Bây giờ áp dụng định lý 2.2.2 có một phiếm hàm tuyến tính f trên X sao cho

f

Y

 f1 và f  x   pC  x  với mọi x  X . Khi đó f  x 0   f1  x 0   1 . Và với

v  C , vì C mở thì theo hệ quả 2.1.1 chúng ta có pC  v   1 , suy ra f  v   1 với
mọi v  C . Vấn đề còn lại là chứng minh f liên tục, để làm điều đó, do f là tuyến
tính, chỉ cần chứng minh f liên tục tại 0.
Với mọi   0 , ta sẽ tìm lân cận mở U  sao cho f  u    , với mọi u  U  .
Lấy U    2C  I  2C  , chú ý rằng, với mọi u  U  chúng ta có  u  2C ,
hay  2 

1

  u   C , thì từ hệ quả 2.1.1, nên



pC  2 

1

2 . Do đó f   u    tức là f  u    , với mọi u  U  .

  u    1 hay

pC   u  


2.2.6. Hệ quả. Giả sử X là không gian lồi địa phương, Y là một không gian

vectơ con của X. Khi đó mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên Y, tồn tại một
phiếm hàm tuyến tính liên tục %
f trên X sao cho %
f  f.
Y

Trước khi chứng minh ta xét bổ đề sau
2.2.2. Bổ đề. Giả sử p và q là các nửa chuẩn trên không gian vectơ X. Nếu

q  x   1 kéo theo p  x   1 thì p  x   q  x  với mọi x  X .
Chứng minh.
x
Nếu không, sẽ tồn tại x  X ,   0 với 0  q  x     p  x  . Khi đó q   

x
1 nhưng p    1 , điều này mâu thuẫn với giả thiết.

Trở lại với chứng minh hệ quả 2.2.6.
Do f liên tục trên Y, tồn tại lân cận tuyệt đối lồi và hút U (của 0) sao cho
f  x   1 với mọi x  U I Y . Áp dụng bổ đề 2.2.2 như sau: Lấy x  Y sao cho

p U  x   1 thì x  U I Y nên f  x   1 . Theo bổ đề 2.2.2 thì f  x   p U  x  với
f tuyến tính trên X sao cho %
mọi x  Y . Theo định lý 2.2.2, tồn tại %
f  f và
Y

%
f  x   p U  x  với mọi x  X .

Vấn đề còn lại là chứng minh %
f liên tục. Thật vậy với   0 , x  U thì
f  x   p U  x    nên %
f liên tục tại 0. Do đó %
f liên tục.
2.2.7. Hệ quả. Cho X là không gian lồi địa phương, Hausdorff, v  X và

v  0 . Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên X sao cho f  v   1 .


Chứng minh. Xem Q17 5.0.2
Gọi Y  v là không gian vectơ con sinh bởi v và định nghĩa phiếm hàm f1
xác định bởi f1  v    . Khi đó f1 là phiếm hàm tuyến tính trên Y. Do tính
Hausdorff của X nên có thể chọn U là lân cận tuyệt đối lồi sao cho v  U . Với
mọi   0 , v  U thì f1  v    nên f1 liên tục trên Y. Khi đó sự tồn tại hàm f
thỏa f  v   1 do hệ quả 2.2.6.
2.3. Định lý Hahn – Banach về tách các tập lồi

Bây giờ xét bài toán tồn tại phiếm hàm tuyến tính tách hai tập con lồi không
giao nhau. Nói cách khác, với hai tập lồi không giao nhau trong không gian
vectơ, khi nào có thể tìm thấy một siêu phẳng sao cho hai tập lồi này nằm trên
hai miền đối diện của siêu phẳng đó?
Phiếm hàm tuyến tính f trên không gian vectơ thực X được gọi là tách các tập
lồi D và E của X nếu supf  x   inf f  x  , tức là tồn tại   R sao cho f  x   
xD

xE

với mọi x  D và   f  x  với mọi x  E .
Nếu f  0 thì H  x  X : f  x    là một siêu phẳng. Trường hợp này ta cũng

nói siêu phẳng H tách D và E. Và nếu f  x    với mọi x  D và   f  x  với
mọi x  E thì ta nói f tách ngặt D và E.
Một điểm a của tập D trong không gian X gọi là điểm bọc nếu với mỗi vectơ
b  X đều có số   0 sao cho toàn đoạn thẳng nối a  b với a  b chứa trong
D. Ta nhận xét rằng nếu D có a là điểm bọc thì D – a là tập hút.
Tập con V của không gian vectơ X gọi là đa tạp tuyến tính nếu tồn tại a  V
sao cho V – a là không gian con. Và không gian con này gọi là không gian song


song với đa tạp tuyến tính V.
Mỗi tập lồi D  X có một đa tạp tuyến tính nhỏ nhất chứa nó, ký hiệu affD,
đó là giao tất cả các đa tạp tuyến tính chứa D.
Nếu X là không gian định chuẩn thì mỗi tập con của X là một không gian
metric, với metric xác định bởi chuẩn. Một điểm a  D gọi là một điểm trong
tương đối của D nếu a là điểm trong của D xét trong không gian metric affD. Tập
hợp các điểm trong tương đối của D được ký hiệu riD.
Trước tiên, chúng ta đề cập đến vấn đề tách hai tập lồi không giao nhau bởi
một hàm tuyến tính (siêu phẳng), tức là không đòi hỏi một tính chất nào khác
cho không gian vectơ X.
Ta thừa nhận các bổ đề sau trong chứng minh định lý 2.3.1
2.3.1. Bổ đề. Nếu một tập lồi D có điểm trong a và nếu b  D thì mọi điểm

c   a  1    b với 0    1 cũng là điểm trong của D (chú ý: 0   ). Và khi
đó mọi điểm bọc của D cũng là điểm trong.
2.3.2. Bổ đề. Một tập lồi D trong không gian R k bao giờ cũng có ít nhất một

điểm trong tương đối (nói cách khác riD   ).
2.3.1. Định lý. Cho X là không gian vectơ thực hữu hạn chiều, D và E là các

tập con lồi không giao nhau của X. Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên X

tách D và E.

Chứng minh.
Do D và E là lồi và không có điểm chung nên C  D  E là tập lồi không
chứa 0. Vì X là không gian hữu hạn chiều, nên có thể giả thiết X  R k . Theo bổ
đề 2.3.2 C có điểm trong tương đối c.