THUẬT GIẢI LẶP CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CÓ HỆ SỐ CHỨA TÍCH PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP THUẦN NHẤT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
___________________________

Nguyễn Thị Ngọc Hiền

THUẬT GIẢI LẶP CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI
TUYẾN CÓ HỆ SỐ CHỨA TÍCH PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN
BIÊN HỖN HỢP THUẦN NHẤT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2008


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
__________________________

Nguyễn Thị Ngọc Hiền

THUẬT GIẢI LẶP CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI
TUYẾN CÓ HỆ SỐ CHỨA TÍCH PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN
BIÊN HỖN HỢP THUẦN NHẤT

Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60. 46. 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN THÀNH LONG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2008


Luận văn được hoàn thành tại
Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh.

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long
Khoa Toán – Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh.

Người nhận xét 1: PGS. TS. Lê Hoàn Hoá
Khoa Toán – Tin học, Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh.

Người nhận xét 2: TS. Lê Thị Phương Ngọc
Trường Cao đẳng Sư phạm Nha Trang.

Học viên cao học: Nguyễn Thị Ngọc Hiền
Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận văn Trường Đại học Sư
phạm TP. Hồ Chí Minh, vào lúc … giờ… ngày… tháng … năm 2008.
Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện trường Đại học Sư
phạm TP. Hồ Chí Minh.

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008


1

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi trân trọng kính gửi tới Thầy hướng dẫn, TS. Nguyễn

Thành Long, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Người Thầy đã rất ân
cần và tận tình hướng dẫn, giúp cho tôi nắm được từng bước nghiên cứu và
giải đáp những thắc mắc khi tôi gặp phải. Sự đam mê nghiên cứu khoa học và
sự tận tình hướng dẫn của Thầy đã giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Xin trân trọng cảm ơn Thầy Lê Hoàn Hóa và Cô Lê Thị Phương Ngọc
đã dành thời gian, công sức để đọc và cho những nhận xét quý báu đối với
luận văn của tôi.
Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô trong và ngoài khoa Toán – Tin
học trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã tận tình truyền đạt kiến
thức và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường.
Chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin học, quý Thầy Cô
thuộc phòng quản lý Khoa học Công nghệ & Sau Đại học, thư viện trường
Đại học Sư phạm Tp.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành
chương trình học cũng như trong quá trình làm thủ tục bảo vệ luận văn tốt
nghiệp.
Xin cảm ơn các anh chị lớp Cao học Giải tích Khóa 16, các anh chị
trong nhóm xemina do Thầy tổ chức đã động viên và nhiệt tình giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian qua.
Tôi cũng không quên gửi lời biết ơn đến gia đình tôi, những người đã
hết lòng lo lắng và luôn ở bên tôi trong những lúc khó khăn nhất.
Sau cùng, vì kiến thức bản thân còn hạn chế nên luận văn khó tránh
khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo của quý Thầy Cô và
sự góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2008.
Nguyễn Thị Ngọc Hiền


2

MỤC LỤC

Lời cảm ơn ........................................................................................................1
Mục lục ..............................................................................................................2
MỞ ĐẦU ...........................................................................................................3
Chương 1: MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ...............................................7
1.1. Các không gian hàm thông dụng .............................................................. 7
1.2. Không gian hàm Lp (0, T ; X ), 1 ≤ p ≤ ∞. .................................................. 8
1.4. Đạo hàm trong Lp (0, T ; X ). ...................................................................... 10
1.5. Bổ đề về tính compact của Lions............................................................ 11
1.6. Một kết quả về lý thuyết phổ. ................................................................. 12
1.7. Một số kết quả khác. ................................................................................. 13
Chương 2: THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT .................................................14
2.1. Giới thiệu bài toán và các công cụ chuẩn bị. ..................................... 14
2.2. Thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm bởi thuật giải lặp cấp
một. ........................................................................................................ 16
Chương 3: THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI ..................................................37
3.1. Giới thiệu bài toán. ..................................................................................... 37
3.2. Thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm bởi thuật giải lặp cấp
hai. ................................................................................................................. 37
KẾT LUẬN .....................................................................................................60
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................62


3

MỞ ĐẦU
Các bài toán biên phi tuyến nói chung là đề tài được quan tâm bởi
nhiều tác giả, chẳng hạn như trong [3 – 23] và các tài liệu tham khảo trong đó.
Loại bài toán nầy chứa đựng nhiều mô hình toán học đặt ra trong các lĩnh vực
Kỹ thuật, Cơ học,…. và có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Đó là lý do tôi
chọn đề tài nầy.

Trong nhiều trường hợp, bài toán chỉ giải được và dừng lại ở mức độ
tồn tại nghiệm và không chỉ ra cách thiết lập nghiệm như thế nào. Một cách
thông dụng nhất mà nhiều nhà nghiên cứu hay làm là phương pháp tuyến tính
hóa, hơi giống như phép xấp xỉ liên tiếp của nguyên lý ánh xạ co. Cách làm
nầy vẫn bảo đảm hội tụ về mặt toán học, nhưng trong thực tế hệ số co tuy nhỏ
hơn 1 và khá gần 1, thì phép lặp nầy sẽ hội tụ chậm và đòi hỏi số bước lặp
phải khá lớn, thậm chí rất lớn. Phương pháp lặp kiểu nầy người ta còn gọi là
phép lặp cấp 1 hay lặp đơn. Cải tiến phương pháp nầy, người ta thường tìm
kiếm thuật giải có tốc độ hội tụ nhanh hơn, chẳng hạn như thuật giải lặp cấp
hai [17] hoặc cao hơn nữa [22]. Ví dụ như một thuật giải xác định một dãy lặp

{um } gọi là thuật giải cấp hai nếu ta có được đánh giá sai lệch của số hạng um
với nghiệm chính xác u theo bất đẳng thức dưới đây (với một chuẩn thích
hợp ⋅ )
um − u ≤ C um−1 − u

2

∀m ∈ `,

(0.1)

trong đó C là hằng số độc lập với m. Với đánh giá nầy, nếu bước lặp đầu tiên

u0 được chọn đủ gần với nghiệm chính xác u sao cho β = C u0 − u < 1, khi
đó ta có đánh giá sai số
um − u ≤

1 2m
β = Rm(2) ∀m ∈ `.

C

Trong trường hợp lặp cấp một ta có đánh giá

(0.2)


4

um − u ≤ C1α m = Rm(1) ∀m ∈ `,

(0.3)

trong đó 0 ≤ α < 1, C1 là các hằng số độc lập với m.
So sánh với hai đánh giá sai số (0.2) và (0.3), ta thấy (0.2) có tốc độ hội
tụ nhanh hơn (0.3), bởi vì
⎛

⎞

m

Rm(2)
1 −2m ⎜⎝ ln(1/ β ) − 2m ln(1/ α ⎟⎠
=
→ 0, khi m → ∞.
e
Rm(1) CC1

(0.4)

Trong luận văn này, chúng tôi xét một số thuật giải lặp (cấp một và cấp
hai) cho bài toán giá trị biên và ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến có
hệ số chứa tích phân thuộc dạng dưới đây:

(

utt − B u x (t )

2

)u

xx

(

+ f (u , ut ) = F x, t , u , u x (t )

2

),

t ∈ (0, T ), x ∈ (0,1),

(0.5)

u x (0, t ) − u (0, t ) = u (1, t ) = 0,

(0.6)

u ( x,0) = u0 ( x), ut ( x,0) = u1 ( x),

(0.7)

trong đó u0 , u1 , f , F , B là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ

(

ra sau. Trong phương trình (0.5), số hạng phi tuyến F x, t , u , u x (t )

(

B u x (t )

2

2

),

) , là hàm có phụ thuộc vào một tích phân
1

u x (t ) = ∫ u x2 ( x, t )dx.
2

(0.8)

0

Trong [13], Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định và Trần
Ngọc Diễm đã nghiên cứu bài toán

(

(

utt − b0 + B ∇u

2

)) ∆u = f ( x, t, u, u , u ), x ∈ (0,1), t ∈ (0,T ),
x

t

(0.9)

u (0, t ) = u (1, t ) = 0,

(0.10)

u ( x,0) = u0 ( x), ut ( x,0) = u1 ( x).

(0.11)


5

Trong [14], Nguyễn Thành Long và Bùi Tiến Dũng đã nghiên cứu sự
tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán
2

2

utt − B( ∇u )∆u = f ( x, t , u, u x , ut , ∇u ), x ∈ (0,1), t ∈ (0, T ),

(0.12)

u x (0, t ) − h0u (0, t ) = u (1, t ) = 0,

(0.13)

u ( x,0) = u0 ( x), ut ( x,0) = u1 ( x),

(0.14)

trong đó B, f , u0 , u1 là các hàm cho trước và h0 ≥ 0 cho trước.
Trong [10, 12], tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của
phương trình
2

utt + λ∆ 2u − B ( ∇u )∆u + ε ut

α −1

ut = F ( x, t ), x ∈ Ω, t > 0,

(0.15)

trong đó λ > 0, ε > 0, 0 < α < 1 là các hằng số cho trước và Ω là tập mở và
bị chặn của \ n .
Trong luận văn này, chúng tôi tập trung giải quyết hai vấn đề.
Vấn đề thứ nhất: Khảo sát thuật giải lặp cấp một. Chúng tôi chứng

minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương của bài toán (0.5) – (0.7). Ý
tưởng và công cụ để khảo sát sự tồn tại nghiệm là thiết lập một dãy quy nạp
tuyến tính liên kết với bài toán, sau đó sử dụng xấp xỉ Galerkin và phương
pháp compact để chứng minh dãy này hội tụ mạnh về nghiệm yếu của bài
toán (0.5) – (0.7) trong các không gian hàm thích hợp và với các giả thiết mà
ta sẽ đặt thêm. Sự tồn tại nghiệm nhờ vào việc vận dụng định lý ánh xạ co
(toán tử co ở dạng lặp) và sự duy nhất nghiệm được chứng minh nhờ vào bổ
đề Gronwall sau một số phép tính toán và đánh giá cụ thể.
Vấn đề thứ hai: Khảo sát thuật giải lặp cấp hai. Bài toán (0.5) được

xét với
F = F ( x, t ), f = f (u ) = K u

q−2

u, q > 2

và B ∈ C 2 (\ + ), b0 ≤ B ( z ) ≤ d 0 z p + d0 , B′( z ) ≤ d1 z p −1 + d1 ,


6

trong đó b0 > 0, p > 1, d 0 , d0 , d1 , d1 ≥ 0 là các hằng số cho trước. Chúng tôi
liên kết phương trình (0.1) với một dãy quy nạp phi tuyến {um } xác định bởi

(

∂ 2u m
− B ∇um (t )
∂t 2

2

)

∂ 2u m
= F ( x, t ) − f (um−1 ) − f ′(um−1 )(um − um−1 ),
∂x 2

với um thỏa (0.6), (0.7). Khi đó, luận văn chứng tỏ dãy lặp {um } sẽ hội tụ
bậc hai về nghiệm yếu của bài toán (0.5) – (0.7). Trong chứng minh tồn tại
nghiệm địa phương, định lý điểm bất động Banach được sử dụng.
Luận văn sẽ được trình bày theo các chương mục sau.
Phần mở đầu tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua
các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn.
Chương 1, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm việc
nhắc lại một số không gian hàm, một số kết quả về phép nhúng compact giữa
các không gian hàm quan trọng.
Chương 2, chúng tôi sử dụng kỹ thuật tuyến tính hoá số hạng phi tuyến,
kết hợp với phương pháp Galerkin, cùng với các đánh giá tiên nghiệm, sự hội
tụ yếu và tính compact. Phương pháp nầy dẫn đến một thuật giải cấp một hội
tụ về nghiệm của bài toán (0.5) – (0.7). Trong phần xấp xỉ Galerkin, luận văn
cũng sử dụng định lý ánh xạ co trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của
hệ phương trình vi phân. Tính duy nhất nghiệm được chứng minh bằng cách

sử dụng bổ đề Gronwall.
Chương 3, là phần khảo sát một thuật giải lặp cấp hai. Trong mục này,
bài toán giá trị đầu và giá trị biên được xét với f = f (u ) = K u

q−2

u, B = B( z )

và các điều kiện được cho cụ thể. Một lần nữa định lý ánh xạ co đựơc sử dụng
trong việc chứng minh tồn tại và duy nhất nghiệm.
Kế đến là phần kết luận và sau cùng là danh mục các tài liệu tham
khảo.


7

Chương 1: MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ
1.1. Các không gian hàm thông dụng

Ta đặt các ký hiệu Ω = (0,1), QT = Ω × (0, T ), T > 0 và cũng bỏ qua
định nghĩa các không gian hàm thông dụng: C m (Ω), Lp (Ω), H m (Ω),
W m , p (Ω). Để cho gọn, ta ký hiệu lại như sau: Lp (Ω) = Lp , W m, p (Ω) = W m, p ,
H m (Ω) = W m ,2 (Ω) = H m . Có thể xem trong [1, 2].
Ta định nghĩa L2 = L2 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
1

u , v = ∫ u ( x)v( x)dx,

u , v ∈ L2 .

(1.1)

0

Ký hiệu ⋅ để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1), nghĩa là
1/ 2

⎛1 2
⎞
u , u = ⎜ ∫ u ( x)dx ⎟
⎝0
⎠

u =

, u ∈ L2 .

(1.2)

Ta định nghĩa không gian Sobolev cấp 1

H 1 = {v ∈ L2 : vx ∈ L2 }.

(1.3)

Không gian này cũng là không gian Hilbert với tích vô hướng
u, v

H1

⋅

Kí hiệu
u

H1

= u , v + u x , vx .

H1

=

(1.4)

để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.4), nghĩa là
u, u

H1

(

2

= u + ux

)

2 1/ 2

, u ∈ H 1.

(1.5)

Liên hệ giữa hai không gian H 1 và C 0 (Ω) ta có các bổ đề sau:
Bổ đề 1.1. Phép nhúng H 1
v

C0 (Ω)

≤ 2 v

H1

C 0 (Ω) là compact và

, ∀v ∈ H 1.

(1.6)

Bổ đề 1.2. Đồng nhất L2 với L2 ≡ ( L2 )′ (đối ngẫu của L2 ). Khi đó ta có


8

( H 1 )′

L2 ≡ ( L2 )′

H1

(1.7)

với các phép nhúng liên tục và nằm trù mật.
Chú thích 1.1. Từ bổ đề 2, ta dùng ký hiệu tích vô hướng ⋅, ⋅ trong L2

để chỉ cặp tích đối ngẫu ⋅, ⋅

giữa H 1 và ( H 1 )′. Chuẩn trong L2 được

( H 1 )′ , H 1

ký hiệu bởi ⋅ . Ta cũng ký hiệu ⋅

X

để chỉ chuẩn trong không gian Banach

X và gọi X ′ là không gian đối ngẫu của X.
1.2. Không gian hàm Lp (0, T ; X ), 1 ≤ p ≤ ∞.

Cho X là không gian Banach thực với chuẩn là

⋅

X

. Ta ký hiệu

Lp (0, T ; X ), 1 ≤ p ≤ ∞ là không gian các lớp tương đương chứa hàm

u : (0, T ) → X đo được sao cho
T

∫

u (t )

p
X

dt < ∞, 1 ≤ p < ∞.

0

hay
∃M > 0 : u (t )

X

≤ M , a.e. t ∈ (0, T ), với p = ∞.

Ta trang bị cho Lp (0, T ; X ), 1 ≤ p ≤ ∞ chuẩn như sau
u

Lp (0,T ; X )

⎛T
= ⎜ ∫ u (t )
⎝0

1

⎞
dt
⎟ , 1≤ p < ∞
X
⎠
p

p

và
u

Lp (0,T ; X )

= ess sup u (t )

X

= inf {M > 0 : u (t )

X

< M , a.e. t ∈ (0, T )} , p = ∞.

Khi đó ta có các bổ đề dưới đây mà chứng minh của chúng có thể tìm
thấy trong Lions [8].
Bổ đề 1.3. (Lions[8]) Lp (0, T ; X ), 1 ≤ p ≤ ∞ là không gian Banach.„

9

B 1.4. (Lions [7]) Gi X l i ngu ca X . Khi ú, vi

p =

p
, 1 < p < thỡ Lp (0, T ; X ) l i ngu ca Lp (0, T ; X ). Hn na,
p 1

nu X l khụng gian phn x thỡ Lp (0, T ; X ) cng phn x.
B 1.5. (Lions [8]) ( L1 (0, T ; X ) ) = L (0, T ; X ). Hn na, cỏc khụng

gian L1 (0, T ; X ), L (0, T ; X ) khụng phn x.
Chỳ thớch 1.2. Nu X = Lp () thỡ Lp (0, T ; X ) = Lp ( ì (0, T )).
1.3. Phõn b cú giỏ tr trong khụng gian Banach.
nh ngha 1.1. Cho X l khụng gian Banach thc. Mt ỏnh x tuyn

tớnh liờn tc t D ( (0, T ) ) vo X gi l mt phõn b cú giỏ tr trong X , ký
hiu l
D(0, T ; X ) = L( D(0, T ); X )
= {u : D(0, T ) X : u laứ tuyeỏn tớnh lieõn tuùc}.
Chỳ thớch 1.3. Ta ký hiu D(0, T ) thay cho D ( (0, T ) ) hoc Cc ( (0, T ) )

ch khụng gian cỏc hm s thc kh vi vụ hn cú giỏ tr compact trong
(0, T ).
nh ngha 1.2. Cho u D(0, T ; X ). Ta nh ngha o hm

du

theo
dt

ngha phõn b ca u bi cụng thc
du
d
, = u ,
, D(0, T ).
dt
dt

(1.8)

Cỏc tớnh cht

a) Cho v LP (0, T ; X ). Xột ỏnh x Tv : D(0, T ) X nh sau
T

Tv , = v(t ) (t ) dt , D(0, T ).
0

(1.9)


10

Ta có thể nghiệm lại rằng Tv ∈ D′(0, T ; X ). Thật vậy:
i) Ánh xạ Tv : D(0, T ) → X là tuyến tính.
ii) Ta nghiệm lại ánh xạ Tv : D(0, T ) → X là liên tục
Giả sử

{φm } ⊂ D(0,T ) sao cho φm → 0 trong
Tv ,φm

D(0, T ). Ta có

T

X

= ∫ v(t )φm (t )dt
0

X

T

≤ ∫ v(t )φm (t ) X dt
0

1
p

1
p′

⎛
⎞ ⎛
⎞
≤ ⎜ ∫ v(t ) X dt ⎟ ⎜ ∫ φm (t ) dt ⎟ → 0, m + ∞.

⎝0
⎠ ⎝0
⎠
T

p

T

p'

(1.10)

Vậy Tv ∈ D′(0, T ; X ).
b) Ánh xạ v 6 Tv là một đơn ánh, tuyến tính từ LP (0, T ; X ) vào
D′(0, T ; X ). Do đó, ta có thể đồng nhất Tv = v.
Khi đó ta có kết quả sau
Bổ đề 1.6. (Lions [8]) Lp (0, T ; X ) ⊂ D′(0, T ; X ) với phép nhúng liên

tục.
1.4. Đạo hàm trong Lp (0, T ; X ).

Do bổ đề 7, phần tử u ∈ Lp (0, T ; X ) và do đó

du
là phần tử của
dt

D′(0, T ; X ).
Ta có các bổ đề sau đây mà chứng minh có thể tìm thấy trong Lions

[8].„
Bổ đề 1.7. (Lions[8]) Nếu f , f ′ ∈ Lp (0, T ; X ), 1 ≤ p ≤ ∞ thì f bằng

hầu hết với một hàm thuộc C 0 ([0, T ]; X ). „


11

1.5. Bổ đề về tính compact của Lions.

Cho không gian Banach B0 , B, B1 với B0

B

B1 với các phép

nhúng liên tục sao cho:
- B0 , B1 phản xạ

(1.11)

- B0

(1.12)

B là phép nhúng compact.

Ta định nghĩa
W (0, T ) = {v ∈ Lp (0, T ; B0 ) :
0

dv
= v′ ∈ Lp (0, T ; B1 )},
dt

(1.13)

1

trong đó 0 < T < ∞, 1 ≤ p i ≤ ∞, i = 0, 1.
Trang bị trên W (0, T ) một chuẩn như sau

v W (0,T ) = v

Lp0 (0,T ; B0 )

+ v' L

p1
(0,T ; B1 )

.

(1.14)

Khi đó, W (0, T ) là một không gian Banach.
Hiển nhiên W (0, T )

Lp (0, T ; B).
0

Ta cũng có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact.
Bổ đề 1.8. (Bổ đề về tính compact của Lions [8]). Với giả thiết (1.11),

(1.12) và nếu 1 < pi < ∞, i = 0, 1 thì phép nhúng W (0, T )

Lp (0, T ; B ) là
0

compact.
Bổ đề 1.9. (Lions [8], p.12). Cho Q là mở bị chận của \ N ,

g , g m ∈ Lp (Q), 1 < q < ∞, thỏa
(i) g m

Lp ( Q )

≤ C trong đó C là hằng số độc lập với mọi m,

(ii) g m → g hầu hết trong Q,
khi đó
g m → g trong Lp (Q ) yếu.


12

1.6. Một kết quả về lý thuyết phổ.

Một số kết quả về lý thuyết phổ dưới đây được áp dụng trong nhiều bài
toán biên. Trước hết ta làm một số giả thiết sau

Cho V và H là hai không gian Hilbert thực thỏa mãn các điều kiện
(i) Phép nhúng V

H là compact,

(1.15)

(ii) V trù mật trong H .

(1.16)

Cho a : V × V → \ là một dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục trên
V × V và cưỡng bức trên V .
Chính xác hơn, ta gọi a là một dạng song tuyến tính
(j) Nếu u 6 a (u , v) tuyến tính từ V vào \ với mọi v ∈V và
v 6 a (u , v) tuyến tính từ V vào \ với mọi u ∈V .
(2j) Đối xứng nếu a (u, v) = a(v, u ), ∀u, v ∈V .
(3j) Liên tục nếu ∃C1 ≥ 0 : a(u, v) ≤ C1 u V v V , ∀u, v ∈V .
2

(4j) Cưỡng bức nếu ∃C0 > 0 : a (v, v) ≥ C0 v V , ∀v ∈V .
Khi đó ta có kết quả sau
Bổ đề 1.10. Dưới giả thiết (1.15), (1.16). Khi đó tồn tại một cơ sở trực

chuẩn Hilbert {w j } của H bao gồm các hàm riêng w j tương ứng với giá trị
riêng λ j sao cho
0 < λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λ j ≤ ...,

lim
λ j = +∞,

j →∞

a ( w j , v) = λ j w j , v , ∀v ∈V , ∀j = 1, 2,...

{

Hơn nữa, dãy w j / λ j

(1.17)
(1.18)

} cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của V

đối với tích vô hướng a (⋅ , ⋅).
Chứng minh bổ đề 1.10 có thể tìm thấy trong [20]. Định lý 6.2.1, p.127.


13

1.7. Một số kết quả khác.
Bất đẳng thức Gronwall. Giả sử f : [0, T ] → \ là hàm khả tích, không

âm trên [0, T ] và thỏa mãn bất đẳng thức
t

f (t ) ≤ C1 + C2 ∫ f ( s )ds, ∀t ∈ [0, T ],
0

trong đó C1 , C2 là các hằng số không âm. Khi đó
f (t ) ≤ C1eC t , ∀t ∈ [0, T ].

2

Ký hiệu

u (t ), ut (t ) = u (t ), utt (t ) = u(t ), u x (t ) = ∇u (t ), u xx (t ) = ∆u (t )

thay cho u ( x, t ), (∂u / ∂t )( x, t ), (∂ 2u / ∂t 2 )( x, t ), (∂u / ∂x)( x, t ), (∂ 2u / ∂x 2 )( x, t )
lần lượt tương ứng.
Ngoài ra, với F = F ( x, t , u, v), ta đặt

D1 F = ∂F / ∂x, D2 F = ∂F / ∂t , D3 F = ∂F / ∂u, D4 F = ∂F / ∂v.


14

Chương 2: THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT
2.1. Giới thiệu bài toán và các công cụ chuẩn bị.

Trong chương nầy, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và ban đầu sau
đây:

(

utt − B u x (t )

2

)u

xx

(

+ f (u , ut ) = F x, t , u , u x (t )

2

),

t ∈ (0, T ), x ∈ (0,1),

(2.1)

u x (0, t ) − u (0, t ) = u (1, t ) = 0,

(2.2)

u ( x,0) = u0 ( x), ut ( x,0) = u1 ( x),

(2.3)

trong đó
⎧⎪ F ∈ C 1 ([0,1] × \ + × \ × \ + ),
⎨
q−2
p−2
⎪⎩ f (u , ut ) = K u u + λ ut ut , q > 2, p > 2, K > 0, λ > 0.

(2.4)

trong đó u0 , u1 , B là các hàm cho trước. Trong chương này ta sẽ thiết lập
định lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (2.1) – (2.4) bằng thuật
giải lặp cấp một kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact
yếu.
Trước hết ta sử dụng một không gian Sobolev đặc biệt hơn đó là không
gian
V = {v ∈ H 1 (0,1) : v(1) = 0}.

(2.5)

Khi đó V là một không gian con đóng của H 1 và do đó V cũng là
không gian Hilbert đối với tích vô hướng của H 1. Ngoài ra, trên V , v 6 v
1/2

và v 6

H1

2
⎛1
⎞
vx , vx = ⎜ ∫ vx ( x) dx ⎟ là hai chuẩn tương đương. Điều này cho bởi
⎝0
⎠

bổ đề sau.
Bổ đề 2.1. Phép nhúng từ V

C 0 (Ω) là compact và

15

v

C0 (Ω )

≤ vx , ∀v ∈V .

(2.6)

Chứng minh bổ đề 2.1 khá dễ dàng mà chứng minh của nó có thể tìm
thấy trong nhiều tài liệu liên quan đến lý thuyết về không gian Sobolev, chẳng
hạn [1, 2].
Trên chúng ta sử dụng một dạng song tuyến tính trên V × V
1

a (u , v) = ∫ u x ( x)vx ( x)dx + u (0)v(0), u , v ∈V .

(2.7)

0

Bổ đề 2.2. Dạng song tuyến tính đối xứng a(⋅ , ⋅) được định nghĩa trong

(2.6) là liên tục trên V × V và cưỡng bức trên V . Cụ thể hơn ta còn có
(i) a (u , v) ≤ 2 u x vx , ∀u , v ∈V ,
2

(ii) a (v, v) ≥ vx , ∀v ∈V .

Chứng minh bổ đề 2.2 khá dễ dàng và được suy từ (2.7) và bổ đề 2.1.
Kết quả của bổ đề 2.2 cho thấy rằng V cũng là không gian Hilbert đối
với tích vô hướng a (⋅ , ⋅). Hơn nữa trên V thì ba chuẩn
v6 v

H1

,
1/2

v 6 vx =

2
⎛1
⎞
vx , vx = ⎜ ∫ vx ( x) dx ⎟
⎝0
⎠

và
1/ 2

2
⎛1
⎞
v 6 v V = a(v, v) = ⎜ ∫ vx ( x) dx + v 2 (0) ⎟
⎝0
⎠

là tương đương.

Bổ đề 2.3. Tồn tại một cơ sở trực chuẩn Hilbert {w j } của L2 gồm các

hàm riêng w j tương ứng với giá trị riêng λ j sao cho
0 < λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λ j ≤ ...,

lim
λ = +∞,
j →+∞ j

a ( w j , v) = λ j w j , v , ∀v ∈V , ∀j = 1, 2,...

(2.8)
(2.9)


16

{

Hơn nữa, dãy w j / λ j

} cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của V

đối với tích vô hướng a (⋅ , ⋅).
Mặt khác, ta cũng có w j thỏa mãn bài toán biên dưới đây
⎧−∆w j = λ j w j trong Ω,
⎪
⎨ w jx (0) − w j (0) = w j (1) = 0,
⎪
∞

⎩ w j ∈V ∩ C ([0,1]).

(2.10)

Chứng minh bổ đề này được suy từ bổ đề 1.10, với H = L2 , và V ,
a(⋅ , ⋅) được xác định bởi (2.5) và (2.7).
2.2. Thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm bởi thuật giải lặp cấp
một.

Ta viết phương trình (2.1) dưới dạng

(

utt − B u x

2

)u

xx

(

= G x, t , u , ut , u x

2

) , ( x, t ) ∈ (0,1) × (0,T ),

(2.11)

trong đó
2

2

G ( x , t , u , ut , u x ) = F ( x , t , u , u x ) − K u

q−2

u − λ ut

p−2

ut ,

q > 2, p > 2, K > 0, λ > 0.

(2.12)

Ta thành lập các giả thiết dưới đây
( H1 ) u0 ∈V ∩ H 2 , u1 ∈V ;

( H 2 ) B ∈ C1 (\ + ), B( z ) ≥ b0 > 0;
( H 3 ) F ∈ C1 ([0,1] × \ + × \ × \ + ) với F (1, t , u , z ) = 0 ∀t , z ≥ 0, ∀u ∈ \.
Với B và F thỏa các giả thiết ( H 2 ) và ( H 3 ) tương ứng, ta xây dựng
các hằng số sau đối với mỗi M > 0, T > 0. Đặt
K 0 = K 0 ( M , T , F ) = sup F ( x, t , u , z ) ,
4

K1 = K1 ( M , T , F ) = sup ∑ Di F ( x, t , u , z ) ,
i =1

(2.13)
(2.14)


17

ở đây, trong mỗi trường hợp, sup được lấy trên miền 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ T ,
u ≤ M , 0 ≤ z ≤ M 2,
K 0 = K 0 ( M , B) = sup B( z ),

(2.15)

0≤ z ≤ M 2

K 1 = K 1 ( M , B′) = K 0 ( M , B′ ) = sup B′( z ) .

(2.16)

0≤ z ≤ M 2

Với mỗi M > 0, T > 0 sẽ chọn sau, ta đặt
W ( M , T ) = {v ∈ L∞ (0, T ;V ∩ H 2 ) : vt ∈ L∞ (0, T ;V ), vtt ∈ L2 (QT ),
v

∞

L (0,T ;V ∩ H

2

, vt
)

∞

L

, vtt
(0,T ;V )

2

L ( QT

≤ M },
)

W1 ( M , T ) = {v ∈W (W , T ), vtt ∈ L∞ (0, T ; L2 )}.

(2.17)
(2.18)

Ta mô tả thuật giải cấp một cho bài toán (2.2), (2.3), (2.11) như sau
(i)

Chọn số hạng đầu tiên u0 = u0 .

(ii)

Giả sử rằng
um−1 ∈W1 ( M , T ).

(2.19)

(iii) Sau đó tìm um ∈W1 ( M , T ) thỏa bài toán biến phân tuyến tính
um (t ), v + bm (t )a (um (t ), v) = Gm (t ), v , ∀v ∈V ,

(2.20)

um (0) = u0 , um (0) = u1 ,

(2.21)

ở đây

(

)

⎧b (t ) = B ∇u (t ) 2 ,
m −1
⎪ m
⎪
2
⎨Gm ( x, t ) = F x, t , um−1 (t ), ∇um−1 (t )
⎪
q −2

p −2
⎪
− K um−1 (t ) um−1 (t ) − λ um−1 (t ) um−1 (t ).
⎩

(

)

(2.22)

Khi đó, ta có
Định lý 2.4. Giả sử ( H1 ) – ( H 3 ) được thỏa. Khi đó tồn tại các hằng

số dương M và T và một dãy quy nạp tuyến tính {um } ⊂ W1 ( M , T ) được xác
định bởi (2.19) – (2.22).


18

Chứng minh. Việc chứng minh bao gồm nhiều bước.
Bước 1. Xấp xỉ Galerkin. Trong V ta chọn cơ sở trực chuẩn Hilbert

{w j }, với w j = w j / λ j như đã nêu trong bổ đề 2.3.
Đặt
k

(k )
um( k ) (t ) = ∑ cmj
(t ) w j ,

(2.23)

j =1

(k )
trong đó cmj
thỏa hệ phương trình vi phân tuyến tính

um( k ) (t ), w j + bm (t ) a ( um( k ) (t ), w j ) = Gm (t ), w j , 1 ≤ j ≤ k ,

um( k ) (0) = u0 k , um( k ) (0) = u1k ,

(2.24)
(2.25)

ở đây
k

∑α

(k )
mj

w j = u0 k → u0 mạnh trong V ∩ H 2 ,

(2.26)

(k )
mj

w j = u1k → u1 mạnh trong V .

(2.27)

j =1
k

∑β
j =1

Hệ phương trình (2.24) được viết lại như sau
(k )
(k )
⎧⎪cmj
(t ) + λ j bm (t )cmj
(t ) = Gm (t ), w j ,
⎨ (k )
(k )
⎪⎩cmj (0) = α mj , cmj (0) = β mj , 1 ≤ j ≤ k .

(2.28)

Lấy tích phân (2.28) theo biến t , ta được
t

c (t ) = α
(k )
mj

(k )
mj

r

+ β t + ∫ dr ∫ Gm ( s ), w j ds
(k )
mj

0

0

t

r

0

0

(2.29)

(k )
− λ j ∫ dr ∫ bm ( s )cmj
( s ) ds, 1 ≤ j ≤ k .

Bổ đề 2.5. Giả sử rằng um−1 thỏa (2.19). Khi đó hệ (2.29) có nghiệm
(k )
cmj

(t ) trong khoảng 0 ≤ t ≤ T .


19

Chứng minh bổ đề 2.5. Bỏ qua chỉ số m, k trong các cách viết và ta
k

(k )
(k )
(t ), α mj
, β mj( k ) ,
viết c j (t ), α j , β j , u (t ) = ∑ c j (t ) w j lần lượt thay cho cmj
j =1

k

(k )
(k )
umj
(t ) = ∑ cmj
(t ) w j .
j =1

Ta viết lại hệ (2.29) thành phương trình điểm bất động
c(t ) = (Uc)(t ), 0 ≤ t ≤ T ,

(2.30)

trong đó

c = (c1 ,..., ck ), Uc = ((Uc)1 ,...,(Uc) k ),
(Uc) j (t ) = γ j (t ) + (Vc) j (t ),
t

r

0

0

(Vc) j (t ) = −λ j ∫ dr ∫ bm ( s ) c j ( s )ds,
t

r

γ j (t ) = α j + t β j + ∫ dr ∫ Gm ( s), w j ds, 1 ≤ j ≤ k .
0

(2.31)

0

Ta chỉ cần chứng minh tồn tại một số tự nhiên p0 sao cho toán tử
U po : X = C 0 ([0, T ]; \ k ) → X là co, tức là tồn tại hằng số ρ ∈ [0,1) sao cho
U po c − U po d ≤ ρ c − d

X

, ∀c, d ∈ X ,

(2.32)

ở đây ta sử dụng chuẩn trong X như sau

c

X

k

c(t ) 1 = ∑ c j (t ) , c ∈ X .

= sup c(t ) 1 ,
0≤t ≤T

(2.33)

j =1

Sau đây, bằng quy nạp ta sẽ chứng minh rằng với mọi p ∈ `, ta có

U p c(t ) − U p d (t ) ≤
1

(

λk K 0 t
(2 p )!

)

2p

c−d

X

∀c, d ∈ X , ∀t ∈ [0, T ].

(2.34)


20

•

Với p = 1 , ta có
t

r

0

0

Uc(t ) − Ud (t ) 1 ≤ λk K 0 ∫ dr ∫ c( s ) − d ( s ) 1 ds
≤

(

λk K 0 t
2

)

(2.35)

2

c−d

X

.

Vậy (2.34) đúng với p = 1 .
•

Giả sử (2.34) đúng với p > 1, ta sẽ chứng minh (2.34) đúng với p + 1,

nghĩa là
U p +1c(t ) − U p +1d (t ) ≤

(

)

λk K 0 t

2 p+2

c−d

(2 p + 2)!

1

X

,

∀c, d ∈ X , ∀t ∈ [0, T ].

(2.36)

Thật vậy,
U p +1c(t ) − U p +1d (t ) = U (U p c)(t ) − U (U p d )(t )
1

t

r

0

0

1

≤ λk K 0 ∫ dr ∫ U p c( s ) − U p d ( s) ds
t

r

0

0

≤ λk K 0 ∫ dr ∫

=

(

λk K 0 t

1

(

)

λk K 0 s
(2 p )!

)

2p

c−d

X

ds

2 p+2

(2 p + 2)!

c−d

X

.

(2.37)

Vậy (2.34) đúng với mọi p ∈ `.
Mặt khác, do lim

p →∞

cho

(

λk K 0 T
(2 p )!

)

2p

= 0, nên tồn tại một số tự nhiên p0 sao


21

0≤

(

λk K 0 T

)

2 po

< 1.

(2 p0 )!

(2.38)

Do đó
U p0 c − U p0 d

X

≤

(

λk K 0 T

)

2 p0

(2 p0 )!

c−d

X

, ∀c, d ∈ X .

(2.39)

Vậy toán tử U po : X → X là co, và do đó toán tử nầy có điểm bất động
duy nhất. Điểm bất động nầy chính là nghiệm của hệ phương trình (2.29).
Vậy bổ đề 2.5 đã được chứng minh xong. „
Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm

Đặt
t

(k )
m

S (t ) = X

(k )
m

(k )
m

(t ) + Y

2

(t ) + ∫ um( k ) ( s) ds,

(2.40)

0

ở đây

X m( k ) (t ) = um( k ) (t ) + bm (t )a ( um( k ) (t ), um( k ) (t ) ) ,

(2.41)

Ym( k ) (t ) = a ( um( k ) (t ), um( k ) (t ) ) + bm (t ) ∆um( k ) (t ) .

(2.42)

2

2

(k )
(t ) rồi lấy tổng theo j , ta được
Nhân (2.24) bởi cmj

um( k ) (t ), um( k ) (t ) + bm (t )a ( um( k ) (t ), um( k ) (t ) ) = Gm (t ), um( k ) (t ) ,

hay
1 d (k )
1 d ⎡ (k ) 2
X m (t ) =
um (t ) + bm (t )a (um( k ) (t ), um( k ) (t )) ⎤⎥
⎢
⎦
2 dt
2 dt ⎣
1
= Gm (t ), um( k ) (t ) + bm′ (t ) a (um( k ) (t ), um( k ) (t )).
2
Lấy tích phân (2.43) theo t , ta được

(2.43)


22

t

X

(k )
m

(t ) = X

(k )
m

(0) + 2 ∫ Gm ( s ), um( k ) ( s ) ds
0

(2.44)

t

+ ∫ bm′ ( s )a(um( k ) ( s ), um( k ) ( s ))ds.
0

Thay w j = −

1

λj

∆w j trong (2.24), sau đó đơn giản λ j ta được

um( k ) (t ), −∆w j + bm (t ) a ( um( k ) (t ), −∆w j ) = Gm (t ), −∆w j .

(2.45)

Mặt khác, ta có
um( k ) (t ), −∆w j = um( k ) (t ), λ j w j
= λ j um( k ) (t ), w j = a ( um( k ) (t ), w j ) .

(2.46)

1

∆u (t ), ∆w j = ∫ ∆um( k ) ( x, t ) ∆w j ( x)dx
(k )
m

(2.47)

0

1

1

= ∇u ( x, t )∆w j ( x) − ∫ ∇um( k ) ( x, t )∇∆w j ( x)dx
(k )
m

0

0

= ∇um( k ) (1, t )∆w j (1) − ∇um( k ) (0, t )∆w j (0)
1

− ∫ ∇um( k ) ( x, t )∇∆w j ( x)dx
0

= λ j ∇um( k ) (1) w j (1) − um( k ) (0)∆w j (0)
1

− ∫ ∇um( k ) ( x, t )∇∆w j ( x)dx
0

= 0 − a (um( k ) (t ), ∆w j )

= a (um( k ) (t ), −∆w j ).
Vậy
a um( k ) (t ), − ∆w j = ∆um( k ) (t ), ∆w j .

(2.48)