PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN BỊ NHIỄU: XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Văn Ý

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN BỊ NHIỄU:
XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN
CỦA NGHIỆM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Văn Ý

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN BỊ NHIỄU:
XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN
CỦA NGHIỆM

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN CÔNG TÂM

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin kính gửi đến Thầy Nguyễn Công Tâm lời cảm
ơn sâu sắc nhất về sự giúp đỡ của Thầy trong việc hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn thầy Lê Hoàn Hóa và thầy Nguyễn Thành
Long đã đọc và cho nhiều ý kiến đóng góp bổ ích.
Xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô thuộc Khoa Toán – Tin học
Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh và Đại học khoa học
tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt
khóa học.
Xin cảm ơn quý Thầy Cô thuộc phòng Khoa học Công nghệ và
Sau đại học, thư viện trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh,
Ban Giám hiệu trường THPT Chuyên Hùng Vương – Bình Dương đã
tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành chương trình học.
Xin cảm ơn các anh chị và các bạn trong lớp Cao học giải tích K16
cũng như các anh chị và các bạn trong nhóm xemina do Thầy Nguyễn
Thành Long chủ trì đã hỗ trợ tôi nhiều mặt trong thời gian học tập và
nghiên cứu.
Và cuối cùng, lời thân thương nhất tôi xin được gửi đến gia đình
tôi, nơi đã tạo cho tôi mọi điều kiện thuận lợi để học tập và hoàn thành
luận văn này.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 – 2008.
Nguyễn Văn Ý


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn

Mục lục
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
Chương 1: CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ ...................................................... 5
1.1. Các không gian hàm thông dụng ....................................................... 5
1.2. Không gian hàm Lp (0, T ; X ) , 1 ≤ p ≤ ∞. ............................................ 6

1.3. Phân bố có giá trị trong không gian Banach. .................................... 7
1.4. Đạo hàm trong Lp (0, T ; X ) ................................................................ 8
1.5. Bổ đề về tính compact của Lions. ..................................................... 8
1.6. Bổ đề về sự hội tụ yếu trong Lq (Q) . ................................................. 9
1.7. Một số kết quả khác .......................................................................... 9
Chương 2: SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM............................... 10

2.1. Giới thiệu ......................................................................................... 10
2.2. Thuật giải xấp xỉ tuyến tính............................................................. 10
2.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm. ........................................................ 21
Chương 3: SỰ HỘI TỤ CẤP HAI............................................................... 25

3.1. Dãy lặp cấp hai................................................................................25
3.2. Sự hội tụ bậc hai..............................................................................34
Chương 4: DÁNG ĐIỆU NGHIỆM KHI

λ → 0 + , δ → 0 +. ..................... 40

4.1. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu theo hai tham số λ , δ . ............ 40
4.2. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu theo một tham số λ . ............. 42
4.3. Khai triển tiệm cận theo tham số λ đến cấp N + 1. ....................... 45
Chương 5: KHẢO SÁT MỘT TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ......................... 54
KẾT LUẬN .................................................................................................... 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 57

1

MỞ ĐẦU

Các bài toán biên phi tuyến xuất hiện trong khoa học ứng dụng ( Vật lý,
Hóa học, Cơ học, Kỹ thuật,...) rất phong phú và đa dạng. Đây là nguồn đề tài
mà rất nhiều nhà toán học từ trước đến nay quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn
như trong [2, 4 – 12, 14 – 22] và các tài liệu tham khảo trong đó. Chính vì
vậy, tôi cho rằng đề tài nghiên cứu ở đây là cần thiết, có ý nghĩa lý luận và
thực tiễn.
Trong luận văn nầy, chúng tôi muốn sử dụng các phương pháp của Giải
tích hàm phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact và đơn
điệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với các định lí điểm bất động,
phương pháp khai triển tiệm cận... nhằm khảo sát một bài toán biên có liên
quan đến các vấn đề trong khoa học và ứng dụng.
Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và ban đầu sau

∂
σ (u , u x ) + λut = F ( x, t ), 0 < x < 1, 0 < t < T ,
∂x

(0.1)

utt −

(0.2)

u (0, t ) = u (1, t ) = 0,

(0.3)

u ( x,0) = u0 ( x), ut ( x,0) = u1 ( x),

(0.4)

σ (u, u x ) = u x + δ f (u ),

trong đó λ , δ là các hằng số không âm cho trước; f , F , u0 , u1 , là các hàm
cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau.
Trường hợp σ = σ (u x , u xt ) đã có rất nhiều công trình nghiên cứu. Khởi
đầu với trường hợp σ = σ (u x , u xt ) = β (u x ) + λu xt , λ > 0, β ∈ C 2 (\), β (0) = 0,

β ′ ≥ ε > 0, bài toán (0.1) – (0.3) đã được xét bởi Greenberg, MacCamy, Mizel
[10]. Đây là mô hình toán học mô tả dao động dọc của một thanh đàn hồi nhớt
phi tuyến, u ( x, t ) là độ dịch chuyển so với vị trí cân bằng. Từ khi xuất hiện


2

công trình [10], đã có rất nhiều công trình công bố liên quan đến bài toán nầy,
chẳng hạn như: Greenberg [11], Greenberg, MacCamy [12], Dafermos [6],
Andrews [2], Clements [4].
Phương trình (0.1) với (0.4) về mặt hình thức có dạng
(0.5)

utt − u xx = f ( x, t , u, u x , ut ),

trong đó f ( x, t , u, u x , ut ) = F ( x, t ) + δ f ′(u )u x − λut , tuy nhiên về mặt ý nghĩa

thì có những điểm khác biệt riêng.
Trong [9], Ficken và Fleishman đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất
nghiệm của phương trình
(0.6)

u xx − utt − 2α1ut − α 2u = ε u 3 + b, với ε > 0 bé.
Trong bài báo của Caughey và Ellison [5], đã hợp nhất các xấp xỉ trong

các trường hợp trước đây để bàn về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định tiệm
cận của nghiệm cổ điển cho một hệ động lực phi tuyến liên tục.
Trong [7], Alain Phạm đã nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và dáng điệu
tiệm cận khi ε → 0 của nghiệm yếu của bài toán (0.3), (0.5) liên kết với điều
kiện biên Dirichlet thuần nhất
(0.7)

u (0, t ) = u (1, t ) = 0,

trong đó các số hạng phương trình (0.5) cho bởi
(0.8)

f = ε f1 (t , u, ut ).
Nếu f1 ∈ C N ([0,∞] × \ 2 ) thỏa f1 (t ,0,0) = 0 với mọi t ≥ 0, một khai

triển tiệm cận của nghiệm bài toán (0.3), (0.7), (0.8) đến cấp N + 1 theo ε thu
được với ε đủ nhỏ.
Trong [14, 15], Long và Alain Phạm đã nghiên cứu bài toán (0.3), (0.5)
với số hạng phi tuyến có dạng f = f1 (u , ut ).
Trong [14], các tác giả xét nó với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất
(0.9)

u x (0, t ) = hu (0, t ) + g (t ), u (1, t ) = 0,


3

trong đó h > 0 là hằng số cho trước và trong [15] với điều kiện tổng quát hơn
t

(0.10)

u x (0, t ) = g (t ) + hu (0, t ) − ∫ k (t − s )u (0, s)ds, u (1, t ) = 0.
0

Trong [16], Long và Diễm đã nghiên cứu bài toán (0.3), (0.5) với điều
kiện biên hỗn hợp thuần nhất
(0.11)

u x (0, t ) − h0u (0, t ) = u x (1, t ) + h1u (1, t ) = 0,

trong đó h0 , h1 là các hằng số không âm cho trước với h0 + h1 > 0 và các số
hạng phi tuyến vế phải có dạng
(0.12)

f = f ( x, t , u, u x , ut ) + ε f1 ( x, t , u, u x , ut ).
Trong trường hợp f ∈ C 2 ([0,1] × [0, ∞) × \ 3 ), f1 ∈ C 1 ([0,1] × [0, ∞) × \ 3 )

các tác giả đã thu được một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu uε đến cấp hai
theo ε , với ε đủ nhỏ [16].
Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm
địa phương của bài toán (0.1) – (0.4). Chứng minh được nhờ vào phương

pháp Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kỹ thuật hội tụ
yếu và tính compact. Tiếp đến chúng tôi khảo sát sự tồn tại của dãy lặp cấp
hai và sự hội tụ của dãy này về nghiệm yếu của bài toán (0.1) – (0.4) tương
ứng. Sau cùng chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu uλ ,δ
(phụ thuộc λ , δ ) của bài toán (0.1) – (0.4) khi (λ , δ ) → (0+ ,0+ ) cũng như sự
khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán nhiễu theo tham số nhiễu λ
đến cấp N + 1, tức là nghiệm có thể xấp xỉ bởi một đa thức theo λ
(0.13)

N

uλ ( x, t ) ≈ ∑ ulk ( x, t )λ k ,
k =0

theo nghĩa cần chỉ ra các hàm ulk ( x, t ), k = 0,1,..., N , và thiết lập đánh giá theo
dạng


4

(0.14)

N

uλt − ∑ ulk t λ k
k =0

N

L∞ (0,T ; L2 )

+ uλ − ∑ ulk λ k
k =0

L∞ (0,T ; H 01 )

≤ CT λ N +1.

Luận văn được trình bày theo các chương mục sau:
Phần mở đầu, tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua

các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn.
¾ Chương 1, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm

việc nhắc lại một số không gian hàm, một số kết quả về các phép nhúng
compact giữa các không gian hàm.
¾ Chương 2, chúng tôi tập trung nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất

nghiệm yếu của bài toán (0.1) – (0.4).
¾ Chương 3, chúng tôi tập trung nghiên cứu về sự tồn tại và hội tụ của

dãy lặp cấp hai về nghiệm yếu của bài toán (0.1) – (0.4).
¾ Chương 4, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu

của bài toán (0.1) – (0.4) và sự khai triển tiệm cận theo tham số λ đến cấp
N + 1.
¾ Chương 5, minh họa cho khai triển tiệm cận theo λ ở chương 4

bằng một trường hợp cụ thể.

5

Chương 1: CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ.
1.1. Các không gian hàm thông dụng.

Đầu tiên ta đặt các kí hiệu sau Ω = (0,1), QT = Ω × (0, T ), T > 0 và bỏ
qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng: C m (Ω), Lp (Ω), H m (Ω),
W m , p (Ω). Để cho gọn, ta kí hiệu lại như sau: Lp = Lp (Ω), H m = H m (Ω)
= W m ,2 (Ω), W m, p = W m , p (Ω). ( có thể xem trong [1, 3]).
Ta định nghĩa L2 = L2 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
1

(1.1.1)

u , v = ∫ u ( x)v( x)dx, u, v ∈ L2 .
0

Kí hiệu . để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1.1), nghĩa là
1
2

⎛
⎞
2
u , u = ⎜ ∫ u ( x) dx ⎟ , u ∈ L2 .
⎝0
⎠
1

(1.1.2)

u =

Định nghĩa không gian Sobolev cấp 1
(1.1.3)

H 1 = {v ∈ L2 : v′ ∈ L2 }.

Không gian này cũng là không gian Hilbert đối với tích vô hướng
(1.1.4)

u, v

Kí hiệu .
(1.1.5)

u

H1
H1

H1

=

= u, v + u′, v′ .
để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1.4), nghĩa là
u, u

H1

, u ∈ H 1.

Ta có bổ đề liên hệ giữa hai không gian L2 và H 1 sau
Bổ đề 1.1. Phép nhúng H 1 -C 0 (Ω) là compact và

(1.1.6)

v

C0 (Ω)

≤ 2 v

H1

, ∀v ∈ H 1.

Chứng minh. Xem Adams[1].


6

Ta cũng sử dụng một không gian Sobolev đặc biệt hơn đó là không
gian
(1.1.7)

H = D (Ω)
1

0

H1

H1

∞
c

= C (Ω ) .

Bổ đề 1.2. Ta có phép nhúng từ H 01 -C 0 (Ω) là compact và

(1.1.8)

⎧ v C 0 ( Ω ) ≤ vx = v H 1 ∀v ∈ H 01 ,
0
⎪
⎨ 1
v H 1 ≤ vx = v H 1 ≤ v H 1 ∀v ∈ H 01.
⎪
0
⎩ 2

Chứng minh bổ đề 1.2 không khó khăn.
Một cách đặc trưng khác để xác định H 01 là
(1.1.9)

H 01 = {v ∈ H 1 : v(0) = v(1) = 0}.

Bổ đề 1.3. Đồng nhất L2 với ( L2 )′ (đối ngẫu của L2 ). Khi đó ta có

H 01 - L2 ≡ ( L2 )′ - ( H 01 )′ ≡ H −1 với các phép nhúng liên tục và nằm trù mật.
Chú thích 1.2. Từ Bổ đề 1.3, ta dùng ký hiệu tích vô hướng ⋅, ⋅ trong
L2 để chỉ cặp tích đối ngẫu ⋅, ⋅

H −1 , H 01

ký hiệu bởi . . Ta cũng ký hiệu ⋅

giữa H 01 và H −1 . Chuẩn trong L2 được
để chỉ chuẩn trong không gian Banach

X

X và gọi X ′ là không gian đối ngẫu của X .
1.2. Không gian hàm Lp (0, T ; X ), 1 ≤ p ≤ ∞.

Cho X là không gian Banach thực với chuẩn là

⋅

X

. Ta kí hiệu

Lp (0, T ; X ), 1 ≤ p ≤ ∞ là không gian các lớp tương đương chứa hàm
u : (0, T ) → X đo được sao cho
⎛
= ⎜ ∫ u (t )

⎝0
T

u

và

p

L (0,T ; X )

1
p

⎞
dt
⎟ < ∞, nếu 1 ≤ p < ∞
X
⎠
p


7

u

Lp (0,T ; X )

= ess sup u (t ) X , nếu p = ∞.
0

Khi đó ta có các bổ đề sau đây mà chứng minh của chúng có thể tìm
thấy trong Lions[13].
Bổ đề 1.4. Lp (0, T ; X ), 1 ≤ p ≤ ∞ là không gian Banach.
Bổ đề 1.5.

Gọi X ′ là đối ngẫu của X. Khi đó, với p′ =

p
,
p −1

1 < p < ∞, Lp′ (0, T ; X ′) là đối ngẫu của Lp (0, T ; X ).
Hơn nữa, nếu X phản xạ thì Lp (0, T ; X ) cũng phản xạ.
Bổ đề 1.6. ( L1 (0, T ; X ))′ = L∞ (0, T ; X ′). Hơn nữa, các không gian

L1 (0, T ; X ), L∞ (0, T ; X ′) không phản xạ.
Chú thích 1.3. Nếu X = Lp (Ω) thì Lp (0, T ; X ) = Lp (Ω × (0, T )).
1.3. Phân bố có giá trị trong không gian Banach.
Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian Banach thực. Một ánh xạ tuyến

tính liên tục từ D((0, T )) vào X được gọi là một (hàm suy rộng) phân bố có
giá trị trong X . Tập hợp các phân bố có giá trị trong X kí hiệu là
D′((0, T ; X )) = L( D((0, T )); X ) = {u: D((0, T )) →X: u tuyến tính, liên tục}.
Chú thích 1.4. Ta kí hiệu D(0, T ) thay cho D((0, T )) hoặc Cc∞ ((0, T ))

để chỉ không gian các hàm thực khả vi vô hạn và có giá compact trong (0, T ).
Định nghĩa 1.2. Cho u ∈ D′(0, T ; X ). Ta định nghĩa đạo hàm

nghĩa phân bố của u bởi công thức

(1.3.1)

du
dϕ
,ϕ = − u ,
dt
dt

∀ϕ ∈ D(0, T ).

Bổ đề 1.7. Lp (0, T ; X ) ⊂ D′(0, T ; X ) với phép nhúng liên tục.

du
theo
dt


8

Chứng minh của bổ đề 1.7 có thể tìm thấy trong Lions[13].
1.4. Đạo hàm trong Lp (0, T ; X ).

Do bổ đề 1.7, u ∈ Lp (0, T ; X ) ta có thể coi u ∈ D′(0, T ; X ) và do đó

du
dt

là phần tử của D′(0, T ; X ). Ta có kết quả sau:
Bổ đề 1.8. Nếu u , u′ ∈ Lp (0, T ; X ) thì u bằng hầu hết một hàm liên tục

từ [0, T ] vào X .
Chứng minh của bổ đề 1.8 có thể tìm thấy trong Lions[13].
1.5. Bổ đề về tính compact của Lions.

Cho ba không gian Banach X 0 , X 1 , X với X 0 - X - X 1 với các phép
nhúng liên tục sao cho
(1.5.1)

X 0 , X 1 là phản xạ,

(1.5.2)

Phép nhúng X 0 - X là compact.

Với 0 < T < +∞, 1 ≤ pi ≤ +∞, i = 0,1. Ta đặt

{

}

W (0, T ) = v ∈ Lp0 (0, T ; X 0 ) : v′ ∈ Lp1 (0, T ; X 1 ) .

(1.5.3)

Ta trang bị cho W (0, T ) chuẩn sau
(1.5.4)

v W (0,T ) = v

L

p

0

(0,T ; X 0 )

+ v′

p

L 1 (0,T ; X1 )

.

Khi đó W (0, T ) là không gian Banach. Hiển nhiên W (0, T ) - Lp0 (0, T ; X ).

Ta có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact.
Bổ đề 1.9. (Bổ đề về tính compact của Lions[13]). Với giả thiết (1.5.1),

(1.5.2) và nếu 1 < pi < ∞, i = 0,1 thì phép nhúng W (0, T ) - Lp0 (0, T ; X ) là
compact.
Chứng minh. Có thể tìm thấy trong Lions[13], trang 57.


9

1.6. Bổ đề về sự hội tụ yếu trong Lq (Q ).
Bổ đề 1.10. Cho

Q

là

tập

Gm , G ∈ Lq (Q), 1 < q < +∞ sao cho, Gm

mở,
Lq

bị

chặn

của

\N

và

≤ C , trong đó C là hằng số độc

lập với m và Gm → G hầu khắp nơi trong Q. Khi đó, Gm → G yếu trong
Lq (Q).
1.7. Một số kết quả khác.

Bổ đề sau đây liên quan đến một bất phương trình tích phân và nó rất
cần thiết cho việc đánh giá tiên nghiệm trong các chương sau.
Bổ đề 1.11. (Bổ đề Gronwall).

Giả sử f : [ 0, T ] → \ là hàm khả tích, không âm trên [ 0, T ] và thỏa bất
t

đẳng thức f (t ) ≤ C1 + C2 ∫ f ( s )ds với hầu hết t ∈ [0, T ], trong đó C1 , C2 là
0

các hằng số không âm.
Khi đó f (t ) ≤ C1eC2 t , với hầu hết t ∈ [0, T ].
Cuối cùng ta cần đến bổ đề sau.
Bổ đề 1.12. Cho dãy {η m } thỏa mãn

(1.7.1)

η0 = 0, 0 ≤ η m ≤ ζηm −1 + τ , m = 1,2,...

trong đó 0 ≤ ζ < 1, τ ≥ 0 là các hằng số cho trước. Khi đó
(1.7.2)

ηm ≤

τ
1− ζ

, với mọi m ≥ 1.

Trong luận văn ta kí hiệu u (t ) , ut (t ) = u (t ), utt (t ) = u(t ), u x (t ) = ∇u (t ),

∂u
∂ 2u

∂u
∂ 2u
( x, t ), 2 ( x, t ),
( x, t ),
( x, t ).
u xx (t ) = Δu (t ) để lần lượt chỉ u ( x, t ),
∂t
∂t
∂x
∂x 2


10

Chương 2: SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM.
2.1. Giới thiệu.

Trong chương này chúng tôi xét bài toán biên và giá trị đầu sau:
(2.1.1)

⎧ utt − ( u x + δ f (u ) ) x + λut = F ( x, t ), 0 < x < 1, 0 < t < T ,
⎪
⎨ u (0, t ) = u (1, t ) = 0,
⎪ u ( x,0) = u ( x), u ( x,0) = u ( x),
0
1
t
⎩

trong đó λ , δ là các hằng số không âm cho trước; f , F , u0 , u1 là các hàm

cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau.
Trong chương này, ta sẽ thiết lập một định lí tồn tại và duy nhất nghiệm
yếu của bài toán (2.1.1) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với
phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu.
Xét một cơ sở trực giao {w j } của H 01 và trực chuẩn trong L2 gồm các
hàm w j = 2 sin( jπx), j = 1,2,... được lập từ các hàm riêng của toán tử Laplace
∂2
−Δ = − 2 sao cho −Δw j = λ j2 w j , λ j = jπ , w j ∈ H 01 ∩ H 2 , j = 1, 2,....
∂x

Hơn nữa, dãy {w j / λ j } cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của H 01
đối với tích vô hướng
(2.1.2)

u, v

H 01

= a (u , v) = u x , vx .

2.2. Thuật giải xấp xỉ tuyến tính.

Ta thành lập các giả thiết sau:

( H1 )

λ > 0, δ ≥ 0,

(H2 )

u0 ∈ H 01 ∩ H 2 , u1 ∈ H 01 ,

(H3 )

F,

∂F
∈ L∞ (0, ∞; L2 ), thỏa F (0, t ) = F (1, t ) = 0, ∀t ≥ 0,
∂x


11

f ∈ C 2 (\) và f ′(0) = 0.

(H4 )

Bài toán (2.1.1) được viết lại
(2.2.1)

u − u xx + λu = if ( x, t , u , u x ), 0 < x < 1, 0 < t < T ,

(2.2.2)

u (0, t ) = u (1, t ) = 0,

(2.2.3)

u ( x,0) = u0 ( x), u ( x,0) = u1 ( x),

trong đó
(2.2.4)

if ( x, t , u ( x, t ), u ( x, t )) = F ( x, t ) + δ f ′(u ( x, t ))u ( x, t ).
x
x

Với M > 0, T > 0, ta đặt:
(2.2.5)
(2.2.6)
(2.2.7)

{

}

K i = K i ( M , f ) = sup f ( i ) (u ) : u ≤ M 2 (i = 1, 2),
W ( M , T ) = {v ∈ L∞ (0, T ; H 01 ∩ H 2 ) : v ∈ L∞ (0, T ; H 01 ), v∈ L2 (QT ),
v

L∞ (0,T ; H 01 ∩ H 2 )

, v

L∞ (0,T ; H 01 )

, v L2 (Q ) ≤ M },
T

W1 ( M , T ) = {v ∈W ( M , T ) : v∈ L∞ (0, T ; L2 )}.

Tiếp theo, ta xây dựng dãy {um } trong W1 ( M , T ) bằng qui nạp và
chứng minh nó hội tụ về nghiệm yếu của bài toán (2.2.1) – (2.2.3) với sự lựa
chọn M > 0, T > 0 thích hợp.
Ta xét thuật giải xấp xỉ tuyến tính sau:
Chọn số hạng đầu u0 ∈W1 ( M , T ). Giả sử rằng
(2.2.8)

um−1 ∈W1 ( M , T ).

Ta liên kết bài toán (2.2.1) – (2.2.3) với bài toán biến phân sau:
Tìm um ∈W1 ( M , T ) sao cho
(2.2.9)
(2.2.10)
trong đó

um (t ), v + a (um (t ), v) + λ um (t ), v = Fm (t ), v ∀v ∈ H 01 ,
um (0) = u0 , um (0) = u1 ,


12

(2.2.11)

Fm ( x, t ) = if ( x, t , um−1 ( x, t ), ∇um−1 ( x, t ))
= F ( x, t ) + δ f ′(um−1 ( x, t ))∇um−1 ( x, t ).

Sự tồn tại của um được cho bởi định lí sau
Định lí 2.1. Giả sử ( H1 ) − ( H 4 ) là đúng. Khi đó, tồn tại các hằng số

dương M , T và một dãy qui nạp tuyến tính {um } ⊂ W1 ( M , T ) xác định bởi

(2.2.9) – (2.2.11).
Chứng minh. Gồm các bước sau.

Bước 1. Xấp xỉ Galerkin. Xét một cơ sở trực giao Hilbert {w j } của H 01

và trực chuẩn trong L2 như trong mục 2.1.
Đặt
(2.2.12)

k

(k )
um( k ) (t ) = ∑ cmj
(t ) w j ,
j =1

(k )
trong đó cmj
(t ) thỏa hệ phương trình vi phân tuyến tính sau:

(2.2.13)

um( k ) (t ), w j + a(um( k ) (t ), w j ) + λ um( k ) (t ), w j = Fm (t ), w j , 1 ≤ j ≤ k ,

(2.2.14)

um( k ) (0) = u0 k , um( k ) (0) = u1k , 1 ≤ j ≤ k ,

trong đó
(2.2.15)

k

(k )
u0 k = ∑α mj
w j → u0 mạnh trong H 01 ∩ H 2 ,
j =1

(2.2.16)

k

u1k = ∑ β mj( k ) w j → u1 mạnh trong H 01.
j =1

Hệ (2.2.13), (2.2.14) có thể viết thành một dạng khác
(2.2.17)

(k )
(k )
(k )
⎧⎪cmj
(t ) + λ j2cmj
(t ) + λ cmj
(t ) = Fm (t ), w j ,
⎨ (k )
(k )
(k )

(k )
⎪⎩cmj (0) = α mj , cmj (0) = β mj , 1 ≤ j ≤ k .

Từ (2.2.17)1 ta có


13

(k )
(k )
(cmj
(t )eλt )′t + λ j2cmj
(t )eλt = eλt Fm (t ), w j , 1 ≤ j ≤ k .

Do đó ta suy ra rằng
c (t ) = α
(k )
mj

(2.2.18)

(k )
mj

t
r
β mj( k )
2
(k )
− λt

+
(1 − e ) − λ j ∫ dr ∫ eλ ( s −r )cmj
( s )ds
λ
0
0
t

r

0

0

+ ∫ dr ∫ eλ ( s −r ) Fm ( s ), w j ds.
Bổ đề 2.1. Giả sử rằng um−1 thỏa (2.2.8). Khi đó hệ (2.2.13) có nghiệm

duy nhất um( k ) (t ) trên một khoảng 0 ≤ t ≤ T .
Chứng minh bổ đề 2.1. Bỏ qua các chỉ số m, k trong cách viết và ta
(k )
(k )
(t ), α mj
, β mj( k ) . Ta viết lại hệ (2.2.18)
viết c j (t ), α j , β j lần lượt thay cho cmj

thành phương trình điểm bất động
(2.2.19)

c(t ) = (Uc)(t ), 0 ≤ t ≤ T ,

trong đó

(2.2.20)

⎧c = (c1 ,..., ck ), Uc = ((Uc)1 ,...,(Uc) k ),
⎪(Uc) = γ (t ) + (Vc) (t ),
j
j
j
⎪
t
r
⎪
β
⎨γ j (t ) = α j + j (1 − e − λt ) + ∫ dr ∫ eλ ( s − r ) Fm ( s ), w j ds,
λ
0
0
⎪
t
r
⎪
⎪(Vc) j (t ) = −λ j2 ∫ dr ∫ eλ ( s − r ) c j ( s )ds, 1 ≤ j ≤ k .
0
0
⎩

Ta chỉ cần chứng minh: tồn tại một số tự nhiên p0 sao cho toán tử
U p0 : X = C 0 ([0, T ]; \ k ) → X là co, tức là tồn tại hằng số ρ ∈ [0,1) sao cho

(2.2.21)

U p0 c − U p0 d

X

≤ ρ c−d

X

∀c, d ∈ X ,

ở đây, ta sử dụng chuẩn trong X như sau
(2.2.22)

c

k

X

= sup ∑ c j (t ) , c ∈ X .
0≤t ≤T j =1

Sau đây, bằng qui nạp ta sẽ chứng minh rằng ∀p ∈ `, ta có


14

k

∑ (U pc) j (t ) − (U p d ) j (t ) ≤

(2.2.23)

j =1

(σ t ) 2 p
c−d
(2 p )!

X

∀c, d ∈ X , ∀t ∈ [0, T ] ,

với σ = kπ .

• Với p = 1, ta có
k

t

r

0

0 j =1

k

∑ (Uc) (t ) − (Ud ) (t ) ≤ (kπ ) ∫ dr ∫ ∑ c (s) − d (s) ds
2

j

j =1

(2.2.24)

j

(σ t) 2
≤
c−d
2!

X

j

j

.

Vậy (2.2.23) đúng với p = 1.
• Giả sử (2.2.23) đúng với p ≥ 1, tức là
k

∑ (U pc) j (t ) − (U p d ) j (t ) ≤

(2.2.25)

j =1

(σ t ) 2 p
c−d
(2 p)!

X

∀c, d ∈ X , ∀t ∈ [0, T ].

• Ta sẽ chứng minh (2.2.23) đúng với p + 1, nghĩa là

(2.2.26)

k

∑ (U

p +1

j =1

c) j (t ) − (U

(σ t ) 2 p + 2
d ) j (t ) ≤
c−d
(2 p + 2)!

p +1

X

∀c, d ∈ X , ∀t ∈ [0, T ].

Thật vậy
(2.2.27)

k

k

j =1

j =1

∑ (U p+1c) j (t ) − (U p+1d ) j (t ) = ∑ (U (U pc)) j (t ) − (U (U p d )) j (t )
≤σ

t

2

r

k

∫ dr ∫ ∑ (U

0

p

0 j =1

c) j ( s ) − (U p d ) j ( s ) ds

(σ s ) 2 p
c−d
≤ σ ∫ dr ∫
(2 p )!
0
0
t

r

2

(σ t ) 2 p + 2
c−d
=
(2 p + 2)!

X

X

ds

∀c, d ∈ X , ∀t ∈ [0, T ].

Từ (2.2.27) suy ra (2.2.26) đúng. Như vậy (2.2.23) đúng ∀p ∈ `.


15

(σ T ) 2 p
= 0 nên tồn tại số tự nhiên p0 sao cho
p →+∞ (2 p )!

Mặt khác, do lim

(σ T ) 2 p0
< 1. Tức toán tử U p0 là co. Theo nguyên lý ánh xạ co, ta suy ra rằng
(2 p0 )!
hệ (2.2.13) có duy nhất nghiệm um( k ) (t ) trên 0 ≤ t ≤ T . Vậy bổ đề 2.1 được
chứng minh. ,

Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm.
Đặt
(2.2.28)

X

(k )
m

t

2

2

(t ) = u (t ) + a (u (t ), u (t )) + 2λ ∫ um( k ) ( s) ds,
(k )
m

(k )
m

(k )
m

0

(2.2.29)

(k )
m

Y

2

t

2

(t ) = a(u (t ), u (t )) + Δu (t ) + 2λ ∫ ∇um( k ) ( s ) ds,
(k )
m

(k )
m

(k )
m

0

t

(2.2.30)

S (t ) = X
(k )
m

(k )
m

(t ) + Y

(k )
m

2

(t ) + ∫ um( k ) ( s ) ds.
0

Đánh giá thứ nhất.
(k )
Nhân (2.2.13) với cmj
(t ) và lấy tổng theo j, ta được

(2.2.31)

2

um( k ) (t ), um( k ) (t ) + a(um( k ) (t ), um( k ) (t )) + λ um( k ) (t ) = Fm (t ), um( k ) (t ) .

Do đó
1 d (k )
X m (t ) = Fm (t ), um( k ) (t ) .
2 dt
Suy ra
t

(2.2.32)

X

(k )
m

(t ) = X

(k )
m

(0) + 2 ∫ Fm ( s ), um( k ) ( s ) ds.
0

Đánh giá thứ hai.
Trong (2.2.13) thay w j = −

1

λ

2
j

Δw j , sau đó đơn giản cho λ j2 ta được


16

(2.2.33)

um( k ) (t ), −Δw j + a (um( k ) (t ), −Δw j ) + λ um( k ) (t ), −Δw j = Fm (t ), −Δw j .

Hơn nữa, ta có:
(2.2.34)
(2.2.35)
(2.2.36)

um( k ) (t ), −Δw j = a(um( k ) (t ), w j ),
a (um( k ) (t ), −Δw j ) = Δum( k ) (t ), Δw j ,
um( k ) (t ), −Δw j = a(um( k ) (t ), w j ),
1

Fm (t ), −Δw j = − ∫ Fm ( x, t )Δw j ( x)dx
0

1

1

= − Fm ( x, t )∇w j ( x) 0 + ∫ ∇Fm ( x, t )∇w j ( x)dx

(2.2.37)

0

= a ( Fm (t ), w j ).
Nhờ vào (2.2.33) – (2.2.37) ta có
(2.2.38)

a (um( k ) (t ), w j ) + Δum( k ) (t ), Δw j + λ a (um( k ) (t ), w j ) = a ( Fm (t ), w j ).

Trong (2.2.38) thay w j bởi um( k ) (t ) ta được
(2.2.39)

a (um( k ) (t ), um( k ) (t )) + Δum( k ) (t ), Δum( k ) (t ) + λ a(um( k ) (t ), um( k ) (t ))
= a ( Fm (t ), um( k ) (t )).

Do đó ta có
(2.2.40)

1 d (k )
Ym (t ) = a ( Fm (t ), um( k ) (t )).
2 dt

Tích phân theo t, ta được
t

(2.2.41)

(k )
m

Y

(t ) = Y

(k )
m

(0) + 2 ∫ a ( Fm ( s ), um( k ) ( s ))ds.
0

Từ (2.2.32) và (2.2.41) suy ra


17

t

t

2

S (t ) = S (0) + 2 ∫ Fm ( s ), u ( s ) ds + ∫ um( k ) ( s ) ds
(k )
m

(k )
m

(k )
m

0

0

t

+ 2 ∫ a ( Fm ( s ), um( k ) ( s ))ds

(2.2.42)

0

= Sm( k ) (0) + I1 + I 2 + I 3 .
Sau đây, ta sẽ lần lượt đánh giá các tích phân trong (2.2.42).

t

Tích phân thứ nhất I1 = 2 ∫ Fm ( s ), um( k ) ( s ) ds .
0

Ta có
t

(2.2.43)

t

I1 = 2 ∫ Fm ( s ), u ( s ) ds ≤ 2 ∫ Fm ( s ) um( k ) ( s ) ds.
(k )
m

0

0

Do (2.2.8) nên từ (2.2.5) – (2.2.7) ta suy ra
(2.2.44)

f ( i ) (um−1 ( x, t )) ≤ sup f ( i ) ( z ) ≤ K i , i = 1, 2, ( x, t ) ∈ QT .
z ≤M

Do đó, từ (2.2.11) và (2.2.44) ta có
(2.2.45)

Fm ( x, t ) ≤ F ( x, t ) + δ K1 ∇um−1 ( x, t ) .

Suy ra
Fm (t ) ≤ ( F (t ) + δ K1 ∇um−1 (t )
2

)

2

2

≤ 2 F (t ) + 2δ 2 K12 M 2

(2.2.46)

≤2 F

2
L∞ (0,T ; L2 )

+ 2δ 2 K12 M 2 .

Sử dụng bất đẳng thức
(2.2.47)

1
2ab ≤ a 2 + ε b 2 ∀a, b ∈ \, ∀ε > 0,

ε

ta suy ra từ (2.2.43) và (2.2.46) rằng


18

t

t

2
1
2
I1 ≤ ∫ Fm ( s ) ds + 3∫ um( k ) ( s ) ds
30
0

(2.2.48)

2
≤ T F
3

t

2
2 2 2 2
(k )

3
(

)
δ
K
M
T
+
u
s
ds
∞
2 +
m
1
∫0
L (0,T ; L )
3

2

2
≤ T F
3
2
≤ T F
3

t

2 2 2 2
δ K1 M T + 3∫ X m( k ) ( s )ds

∞
2 +
L (0,T ; L )
3
0

2

t

2
+ δ 2 K12 M 2T + 3∫ Sm( k ) ( s )ds.
L∞ (0,T ; L2 )
3
0

2

t

2

Tích phân thứ hai I 2 = ∫ um( k ) ( s ) ds.
0

Ta có phương trình (2.2.13) được viết lại
(2.2.49)

um( k ) (t ), w j − Δum( k ) (t ), w j + λ um( k ) (t ), w j = Fm (t ), w j .

Do đó thay thế w j bởi um( k ) (t ), ta được
um( k ) (t ) ≤ Δum( k ) (t ) + λ um( k ) (t ) + Fm (t ) .

Do đó
t

(2.2.50)

2

I 2 ≤ 3∫ Δu ( s ) ds + 3λ
(k )
m

0

t

2

∫
0

2

t

u ( s ) ds + 3∫ Fm ( s ) ds.
(k )
m

2

0

Do (2.2.28) – (2.2.30) và (2.2.46), ta suy từ (2.2.50) rằng
t

I 2 ≤ 3∫ Y

(k )
m

( s )ds + 3λ

t

2

0

t

(2.2.51)

(k )
m

( s )ds

0

(

+ 3∫ 2 F
0

∫X

2
L∞ (0,T ; L2 )
t

≤ 3(1 + λ ) ∫ S m( k ) ( s )ds + 6T F
2

)

+ 2δ 2 K12 M 2 ds
2
L∞ (0,T ; L2 )

0

t

Tích phân thứ ba I 3 = 2∫ a ( Fm ( s ), um( k ) ( s ))ds.
0

+ 6δ 2 K12 M 2T .

19

Ta có
t

(2.2.52)

t

I 3 = 2 ∫ a ( Fm ( s ), u ( s ))ds ≤ 2 ∫ ∇Fm ( s ) ∇um( k ) ( s ) ds.
(k )
m

0

0

Ta có
(2.2.53)

∇um−1 ( x, t ) ≤ ∇um−1 (t ) C 0 ( Ω ) ≤ ∇um−1 (t )

H1

2 ≤ M 2,

∇Fm (t ) = ∇F (t ) + δ f ′′(um−1 (t ))(∇um−1 (t )) 2 + δ f ′(um−1 (t ))Δum−1 (t ).

Do (2.2.5), (2.2.6) và (2.2.44), ta suy từ (2.2.53) rằng
2

(2.2.54)

∇Fm (t ) ≤ ∇F (t ) + δ K 2 ∇um−1 (t ) C 0 ( Ω ) + δ K1 Δum−1 (t )
≤ ∇F

L∞ (0,T ; L2 )

+ δ M (2 K 2 M + K1 ).

Do đó từ (2.2.52) kết hợp với (2.2.28) – (2.2.30), (2.2.47) và (2.2.54) ta
được
t

t

2
1
2
I 3 ≤ ∫ ∇Fm ( s ) ds + 2∫ ∇um( k ) ( s ) ds
20
0
t

(

1
≤ ∫ 2 ∇F

20

(2.2.55)

2
L∞ (0,T ; L2 )

2

≤ T ∇F

L∞ (0,T ; L2 )

)

2

2

t

Từ (2.2.42), (2.2.48), (2.2.51), (2.2.55) ta có
t

(2.2.56)

S (t ) ≤ S (0) + D1 ( M , T ) + (8 + 3λ ) ∫ S m( k ) ( s )ds,
(k )
m

2

0

trong đó
D1 ( M , T ) =

(2.2.57)

20
T F
3

0

+ δ 2 M 2 (2 K 2 M + K1 ) 2 T + 2 ∫ Sm( k ) ( s )ds.
0

(k )
m

t

+ 2δ M (2 K 2 M + K1 ) ds + 2∫ Ym( k ) ( s )ds
2

2
L∞ (0,T ; L2 )

+ T ∇F

2
L∞ (0,T ; L2 )

⎛ 20
⎞
+ δ 2 M 2T ⎜ K12 + ( K1 + 2 MK 2 ) 2 ⎟ .
⎝ 3
⎠

Bây giờ ta đánh giá số hạng:


20

(2.2.58)

S m( k ) (0) = u1k

2

2

+ a (u0 k , u0 k ) + a (u1k , u1k ) + Δu0 k .

Do (2.2.15) – (2.2.16) nên tồn tại M > 0 độc lập với k và m sao cho
(2.2.59)

S m( k ) (0) ≤

M2
∀k , m.
2

Tiếp theo ta chọn hằng số T > 0 sao cho
(2.2.60)

M2
+ D1 ( M , T ) ≤ M 2 exp ( −(8 + 3λ 2 )T ) .
2

Từ (2.2.56), (2.2.58) – (2.2.60) ta suy ra
t

(2.2.61)

S (t ) ≤ M exp ( −(8 + 3λ )T ) + (8 + 3λ ) ∫ Sm( k ) ( s )ds, 0 ≤ t ≤ T .
(k )
m

2

2

2

0

Do bổ đề Gronwall, ta suy ra từ (2.2.61) rằng
(2.2.62)

S m( k ) (t ) ≤ M 2 exp ( −(8 + 3λ 2 )T ) exp ( (8 + 3λ 2 )t ) ≤ M 2 , 0 ≤ t ≤ T .

Vậy ta có
(2.2.63)

um( k ) ∈W ( M , T ) ∀m, k .

Bước 3. Qua giới hạn.
Từ (2.2.63) ta có thể lấy từ dãy {um( k ) } một dãy con {um( ki ) } sao cho:
(2.2.64)

um( ki ) → um trong L∞ (0, T ; H 01 ∩ H 2 ) yếu*,

(2.2.65)

um( ki ) → um trong L∞ (0, T ; H 01 ) yếu*,

(2.2.66)

um( ki ) → um trong L2 (QT ) yếu,

(2.2.67)

um ∈W ( M , T ).

Qua giới hạn trong (2.2.13), (2.2.14) và nhờ vào (2.2.64) – (2.2.67) ta
có um thỏa (2.2.9) – (2.2.11) trong L2 (0, T ) yếu.
Mặt khác, ta suy từ (2.2.9) – (2.2.11) rằng
(2.2.68)

um = Δum − λum + f ( x, t , um−1 , ∇um−1 ) ∈ L∞ (0, T ; L2 ).

Do đó um ∈W1 ( M , T ). Vậy định lí 2.1 được chứng minh xong. ,


21

2.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm.

Trong phần này ta sẽ chứng tỏ rằng bài toán (2.2.1) – (2.2.3) có duy
nhất một nghiệm yếu. Ta giới thiệu không gian
(2.3.1)

W1 (T ) = {v ∈ L∞ (0, T ; H 01 ) : v ∈ L∞ (0, T ; L2 )}.

Chú ý rằng W1 (T ) là một không gian Banach đối với chuẩn
v W ( T ) = ∇v

(2.3.2)

1

L∞ (0,T ; L2 )

+ v

L∞ (0,T ; L2 )

.

Định lí 2.2. Giả sử ( H1 ) − ( H 4 ) là đúng. Khi đó tồn tại các hằng số
M > 0, T > 0 sao cho bài toán (2.2.1) – (2.2.3) có duy nhất nghiệm yếu

u ∈W1 ( M , T ).
Mặt khác, dãy qui nạp tuyến tính {um } được xác định bởi (2.2.9) –
(2.2.11) hội tụ mạnh về u trong không gian W1 (T ).
Hơn nữa, ta cũng có đánh giá sai số
(2.3.3)

∇um − ∇u

L∞ (0,T ; L2 )

+ um − u

L∞ (0,T ; L2 )

≤ CkT m ∀m,

trong đó
(2.3.4)

kT = 2δ ( K1 + MK 2 2)T < 1,

và C là một hằng số chỉ phụ thuộc vào T , u0 , u1 và kT .
Chứng minh.

(i) Sự tồn tại nghiệm.
Ta sẽ chứng minh {um } là một dãy Cauchy trong W1 (T ).

Đặt vm = um+1 − um . Khi đó vm thỏa bài toán biến phân sau
(2.3.5)

⎧〈 vm (t ), v〉 + a (vm (t ), v) + λ 〈 vm (t ), v〉 = 〈 Fm+1 (t ) − Fm (t ), v〉 ∀v ∈ H 01 ,
⎨
⎩vm (0) = vm (0) = 0.

Ta lấy v = vm trong (2.3.5)1 rồi sau đó tích phân theo t, ta được