PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ TRÊN KHÔNG GIAN CHUẨN TẮC

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Thị Như Ý

PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ
TRÊN KHÔNG GIAN CHUẨN TẮC

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 60 46 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN HÀ THANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008


2

LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS. Nguyễn Hà Thanh.
Thầy đã tận tình hướng dẫn, trang bị nhiều tài liệu và truyền đạt cho tôi những
kiến thức quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Thái Sơn, PGS.TS. Lê
Anh Vũ và quí thầy cô đã giảng dạy chúng tôi trong suốt quá trình học tập.
Xin cảm ơn quí thầy cô phòng Khoa học Công Nghệ và Sau Đại học đã tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn.

Trong quá trình thực hiện luận văn, chúng tôi đã vài lần liên hệ với các
nhà toán học nước ngoài, đặc biệt là giáo sư Dydak, thầy đã tận tình giải đáp
thắc mắc về các vấn đề liên quan. Xin chân thành cảm ơn tác giả Dydak.
Xin chân thành cảm ơn những người thân trong gia đình luôn động viên
và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này.
Sau cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn đến các bạn cùng lớp đã cùng học, trao
đổi kiến thức, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập.

Tp. Hồ Chí Minh tháng 6 năm 2008
Tác giả
Huỳnh Thị Như Ý


3

MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa………………………………………………………………...1
Lời cảm ơn ...................................................................................................... 2
Mục lục............................................................................................................ 3
MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 5
Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. Một số kiến thức về lý thuyết tập hợp...................................................... 8
1.1. Tập hợp được sắp ............................................................................... 8
1.2. Lực lượng của tập hợp ....................................................................... 9
1.3. Tập đếm được..................................................................................... 9
2. Không gian mêtric.................................................................................... 9
2.1. Không gian mêtric.............................................................................. 9
2.2. Ví dụ................................................................................................... 10
2.3. Khoảng cách....................................................................................... 11

2.4. Không gian mêtric tích....................................................................... 12
3. Không gian tôpô ....................................................................................... 12
3.1. Tôpô. Không gian tôpô ...................................................................... 12
3.2. Cở sở .................................................................................................. 13
3.3. Lân cận, cơ sở lân cận ........................................................................ 14
3.4. Phủ, phần trong và bao đóng.............................................................. 15
3.5. Ánh xạ liên tục ................................................................................... 16
3.6. Tiên đề tách ........................................................................................ 16
4. Sự mêtric hóa ........................................................................................... 20
4.1. Tôpô sinh bởi mêtric .......................................................................... 20
4.2. Không gian mêtric hóa ....................................................................... 21


4

4.3. Khái niệm hữu hạn địa phương, rời rạc ............................................ 21
4.4. Cái mịn ............................................................................................... 22
5. Tập sao, hình sao...................................................................................... 22
Chương 2. PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ
1. Phân hoạch đơn vị và sự liên tục đồng bậc.............................................. 24
1.1. Phân hoạch đơn vị .............................................................................. 24
1.2. Liên tục đồng bậc ............................................................................... 29
2. Tích phân và đạo hàm của phân hoạch đơn vị......................................... 37
2.1. Định nghĩa .......................................................................................... 37
2.2. Định lý 2.8 (sự tồn tại đạo hàm của phân hoạch đơn vị) ................... 38
2.3. Mệnh đề 2.9 (cái mịn sao của các phủ mở) ....................................... 42
2.4. Bậc của phân hoạch đơn vị ................................................................ 43
2.5. Mệnh đề 2.10 (tính toán bậc của phân hoạch đơn vị) ........................ 43
Chương 3. MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ CHO
TÔPÔ ĐẠI CƯƠNG

1. Phân hoạch đơn vị trên không gian chuẩn tắc ......................................... 45
1.1. Định nghĩa không gian chuẩn tắc....................................................... 45
1.2. Định lý thác triển Tietze đối với không gian chuẩn tắc ..................... 45
1.3. Thác triển của phân hoạch đơn vị trên không gian chuẩn tắc............ 47
1.4. Định lý về sự tồn tại phân hoạch đơn vị trên không gian chuẩn tắc.. 51
2. Phân hoạch đơn vị và sự mêtric hóa ........................................................ 53
2.1. Định lý 3.8 (tiêu chuẩn mêtric hóa một không gian) ......................... 53
2.2. Định lý 3.11 ( Định lý mêtric hóa) .................................................... 56
KẾT LUẬN .................................................................................................... 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 63


5

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Gần đây, khi nghiên cứu các vấn đề về tôpô và hình học, nhiều nhà
toán học như Jerzy Dydak, N.Feldman, J.Segal, R. Engelking,… đã mạnh dạn
dùng phân hoạch đơn vị để nghiên cứu lại các tính chất của không gian tôpô.
Theo nhiều nhà toán học, tính chất tôpô quan trọng là tính chuẩn tắc,
tính compact, tính paracompact và các vấn đề liên quan đến định lý thác triển
Tietze.
Như chúng ta đã biết, có hai cách tiếp cận đó là nghiên cứu không gian
thông qua các phủ mở hoặc bằng các hàm liên tục. Bằng cách sử dụng phân
hoạch đơn vị khi xây dựng các định nghĩa và chứng minh các định lý, tác giả
J.Dydak, N.Feldman, J.Segal, R. Engelking,…đã thống nhất cả hai cách tiếp
cận này.
Khi nghiên cứu về phân hoạch đơn vị, chúng tôi tìm thấy nhiều áp dụng
đối với tôpô, hình học. Ngoài ra, nó cũng đóng vai trò quan trọng trong việc
xây dựng lý thuyết đồng luân. Ban đầu, khi nghiên cứu, các nhà toán học chỉ

chứng minh sự tồn tại của phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ cũng như chỉ
dừng lại ở việc nghiên cứu phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương hoặc phân
hoạch đơn vị hữu hạn điểm. Khi đó, chúng ta gặp nhiều khó khăn khi tìm hiểu
những áp dụng của nó vì rất khó để xây dựng phân hoạch đơn vị hữu hạn địa
phương bằng phương pháp đại số, thậm chí khi xây dựng những phân hoạch
đơn vị tùy ý cũng không tránh khỏi những trở ngại. Vì vậy, việc xây dựng
phân hoạch liên tục đồng bậc đã giải quyết được những khó khăn này, nó đem
lại nhiều thuận lợi khi nghiên cứu trên các không gian tôpô, đặc biệt là không
gian chuẩn tắc.


6

Vì những lí do đó, đề tài nghiên cứu của chúng tôi là “phân hoạch đơn
vị trên không gian chuẩn tắc”.
2. Mục đích nghiên cứu
Sử dụng phân hoạch đơn vị để chứng minh các kết quả trên không gian
chuẩn tắc một cách ngắn gọn và đơn giản hơn.
3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu
Không gian chuẩn tắc
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn
Phân hoạch đơn vị giúp cho việc giải quyết các bài toán tôpô và hình
học một cách đơn giản hơn.
5. Cấu trúc luận văn
Nội dung của luận văn chúng tôi gồm phần mở đầu, ba chương nội
dung và phần kết luận. Cụ thể:
Phần mở đầu: Nêu lí do chọn đề tài.
Phần nội dung:
Chương 1: Nêu một số kiến thức chuẩn bị về tôpô đại cương.
Gồm các phần về lý thuyết tập hợp, không gian mêtric và không gian tôpô.

Chương 2: Phần cơ sở của nội dung luận văn. Ở đây, các khái
niệm về phân hoạch đơn vị, sự liên tục đồng bậc, tích phân và đạo hàm của
phân hoạch đơn vị được định nghĩa, cùng với các định lý kèm chứng minh
được nêu lên làm cơ sở cho việc trình bày chương tiếp theo.
Chương 3: Trình bày một số áp dụng của phân hoạch đơn vị cho
tôpô, hình học. Nội dung chương này gồm ba phần. Thứ nhất, sử dụng phân


7

hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ để chứng minh định lý thác triển Tietze. Thứ
hai, trình bày một số áp dụng của phân hoạch đơn vị trên không gian chuẩn
tắc. Thứ ba, tìm hiểu về vấn đề mêtric hóa một không gian và chứng minh
định lý mêtric hóa.
Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét khi nghiên cứu về phân hoạch
đơn vị.


8

Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Nội dung chương này là những kiến thức tôpô đại cương làm cơ sở lý
thuyết cho việc nghiên cứu ở các chương sau. Cụ thể như sau:
1. Một số kiến thức về lý thuyết tập hợp
1.1. Tập hợp được sắp
1.1.1. Thứ tự bộ phận
Quan hệ R trên tập hợp X được gọi là một thứ tự bộ phận nếu thỏa các
tính chất sau:
(i)

Phản xạ: xRx, ∀x ∈ X ,

(ii)

Phản đối xứng: Nếu xRy vaø yRx thì x=y, ∀x,y ∈ X ,

(iii)

Bắc cầu: Nếu xRy vaø yRz thì xRz, ∀x,y,z ∈ X .

Tập hợp X cùng với một thứ tự bộ phận R được gọi là một tập hợp
được sắp bộ phận và được ký hiệu (X, R).
Thứ tự bộ phận thường được ký hiệu là ≤ và tập hợp được sắp bộ phận
được ký hiệu là ( X , ≤ ) .

1.1.2. Phần tử bé nhất, lớn nhất

Cho ( X , ≤ ) là một tập hợp được sắp bộ phận và A ⊆ X .
Phần tử a ( a ∈ A ) được gọi là phần tử bé nhất (phần tử đầu tiên) của A
nếu a ∈ A và a ≤ x , ∀x ∈ A .
Phần tử b ( b ∈ A ) được gọi là phần tử lớn nhất (phần tử cuối cùng) của
A nếu b ∈ A và x ≤ b, ∀x ∈ A .


9

1.1.3. Tập được sắp tốt:

Tập được sắp bộ phận ( X , ≤ ) được gọi là được sắp tốt nếu mọi tập hợp
con không rỗng của X đều có phần tử bé nhất.

1.2. Lực lượng của tập hợp

Cho các tập X và Y. Nếu tồn tại một đơn ánh f : X → Y thì ta viết
card ( X ) ≤ card (Y ) ; nếu tồn tại một song ánh

f : X → Y thì ta viết

card ( X ) = card (Y ) ; nếu tồn tại một đơn ánh f : X → Y nhưng không tồn tại
một song ánh từ X lên Y thì ta viết card ( X ) < card (Y ) .
Ta gọi card(X) là lực lượng của tập X.
Hiển nhiên X ⊂ Y thì card ( X ) ≤ card (Y ) .

1.3. Tập đếm được

Một tập X là tập đếm được nếu card ( X ) ≤ card (Y ) .
Như vậy, X là tập đếm được nếu có một đơn ánh f : X → Y hoặc có
một toàn ánh g : X → Y
Mọi tập hữu hạn là đếm được. Ta kí hiệu
card ( X ) = n nếu card ( X ) = card ({1,2,..., n})
card ( ∅ ) = 0
Trong trường hợp này ta có thể hiểu card ( X ) là số phần tử của X.

2. Không gian mêtric
2.1. Không gian mêtric

Cho X là một tập. Một hàm d : X 2 →
mãn các điều kiện sau:

là một mêtric trên X nếu thỏa

10

(i)

d ( x, y ) ≥ 0; d ( x, y ) = 0 ⇔ x = y;

(ii)

d ( x, y ) = d ( y , x ) ;

(iii)

d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z ) , ∀x, y, z ∈ X .

Không gian mêtric ( X , d ) là một tập X cùng với một mêtric d trên X.
Nếu ( X , d ) là một không gian mêtric thì mỗi x ∈ X gọi là một điểm và
với mọi x, y ∈ X ta gọi d ( x, y ) là khoảng cách từ x đến y.

2.2. Ví dụ

Với mọi x = ( x1 , x2 ,..., xk ) , y = ( y1 , y2 ,..., yk ) ∈ R k , đặt

1.

1

2 ⎞2
⎛ n
d ( x, y ) = ⎜ ∑ xi − y j ⎟

⎝ i =1
⎠

d là một mêtric trên R k . Thật vậy,
(i), (ii) là hiển nhiên.
Với mọi x = ( x1 , x2 ,..., xk ) , y = ( y1 , y2 ,..., yk ) , z = ( z1 , z2 ,..., zk ) ∈ R k sử
dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có:
d

2

k

( x, y ) = ∑ xi − zi

2

k

2

i =1

≤∑
i =1

xi − yi

k

≤∑
i =1

( xi − yi + yi − zi )

k

k

i =1

i =1

+ 2∑ xi − yi . yi − zi + ∑
1
2

2

yi − zi
1
2

2

k
2⎞ ⎛ k
2⎞
⎛
≤ ∑ x − y + 2⎜ ∑ x − y ⎟ ⎜ ∑ y − z ⎟ + ∑ y − z

i
i
i
i
i
i
i
i
⎝ i =1
⎠ ⎝ i =1
⎠
k

i =1

2

k

i =1

2


11

⎛ k
⎞
k
⎛

⎛
⎟
≤⎜⎜ ∑ x −y
i
i ⎟ + ⎜ ∑ yi − zi ⎟
⎜ ⎝ i =1
⎠ ⎝ i =1
⎠ ⎟
⎝
⎠
1
2 ⎞2

≤ ( d ( x, y ) + d ( y , z ) )

1
2 ⎞2

2

2

Từ đó suy ra d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z ) và ta có (iii)
Mêtric d gọi là mêtric Euclide trên R k .
2.

Kí hiệu C [ a, b ] là tập các hàm liên tục trên [ a, b ] . Với mọi

() ()

x, y ∈ C [ a, b ] đặt d ( x, y ) = max x t − y t
t∈[ a,b ]

Ta thấy d thỏa (i) và (ii). Ta kiểm tra (iii)
Với mọi x, y, z ∈ C [ a, b ] ta có :

() ()

d ( x, z ) = max x t − z t
t∈[ a,b ]

≤ max( x ( t ) − y ( t ) + y ( t ) − z ( t ) )
t ∈[ a ,b ]

≤ max x ( t ) − y ( t ) + max y ( t ) − z ( t )
t∈[ a ,b ]

t∈[ a ,b ]

d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( z , y )
Do đó d là một mêtric trên C [ a, b ]
2. 3. Khoảng cách

Cho A, B là hai tập con khác rỗng của không gian mêtric X.
Đặt d ( A, B ) = inf d ( x, y )
x∈A, y∈B

Ta gọi số thực d(A, B) này là khoảng cách giữa hai tập hợp A và B.

12

Nếu A = {a} thì ta viết d(A, B) = d(a, B) và gọi là khoảng cách từ điểm
a đến tập B.
Nếu A ∩ B ≠ ∅ thì d(A, B) = 0, nhưng điều ngược lại nói chung không
đúng.
2.4. Không gian mêtric tích

Cho
X ×Y =

( X ,dX )

và

( Y , dY )

là hai không gian mêtric tùy ý.

{( x, y )⏐x ∈ X , y ∈ Y } là tích Descartes của X và Y.

Đặt
d ( ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ) = d X ( x1 , x2 ) + dY ( y1 , y2 ) , ∀ ( x1 , x2 ) , ( y1 , y2 ) ∈ X × Y

Khi đó d là một mêtric trên X × Y .
Không gian mêtric ( X × Y , d ) được gọi là không gian mêtric tích của
hai không gian mêtric X và Y.
3. Không gian tôpô
3.1. Tôpô. Không gian tôpô
3.1.1. Cho một tập X. Một họ τ các tập con của X gọi là một tôpô trên X nếu

thỏa mãn các điều kiện sau:
(i)

X và ∅ thuộc τ ;

(ii)

Hợp của tùy ý các tập thuộc τ là thuộc τ ;

(iii)

Giao của hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ .

3.1.2. Ví dụ
1. Với mọi tập X, P (X) là một tôpô trên X, gọi là tôpô rời rạc. Tập X

cùng với tôpô rời rạc gọi là không gian rời rạc.


13

2. Với mỗi tập X, họ {∅, X } là một tôpô trên X, gọi là tôpô tầm thường.

Tập X với tôpô tầm thường gọi là không gian tầm thường.
3. Với mọi không gian mêtric (X,d), họ các tập mở theo mêtric d là

một tôpô trên X. Tôpô này gọi là tôpô sinh bởi mêtric d. Không gian mêtric X
luôn được coi là không gian tôpô với tôpô sinh bởi mêtric.
Tôpô sinh bởi mêtric thông thường trên

gọi là tôpô thông thường.

4. Với mọi tập vô hạn X, họ bao gồm tập ∅ và tất cả các tập con G của

X có X \ G đếm được, là một tôpô trên X. Tôpô này gọi là tôpô Zariski.
5. Với mọi tập không đếm được X, họ bao gồm tập ∅ và tất cả các tập

con G của X có X \ G đếm được, là một tôpô trên X.
3.2. Cơ sở
3.2.1. Cơ sở

Cho τ là một tôpô trên X. Một họ β của τ gọi là một cơ sở của τ nếu
mọi tập thuộc τ đều bằng hợp của một họ các tập thuộc β . Nói cách khác, họ
con β của τ là cơ sở của τ nếu mọi G ∈τ mọi x ∈ G tồn tại V ∈ β sao cho
x ∈V ⊂ G .

Không gian tôpô gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu tôpô của
nó có một cơ sở đếm được.
3.2.2. Ví dụ

1. Tôpô thông thường trên
với a, b là số hữu tỉ, a < b. Như vậy
đề đếm được thứ hai.

có cơ sở là họ tất cả các khoảng ( a, b )
với tôpô thông thường thỏa mãn tiên


14

⎛ 1⎞
2. Trong không gian mêtric, họ tất cả các hình cầu mở B ⎜ x, ⎟ ,
⎝ n⎠
x∈ X ,n∈

là một cơ sở.

3.3. Lân cận, cơ sở lân cận
3.3.1. Lân cận

Cho X là một không gian tôpô và x ∈ X . Tập con V của X được gọi là
một lân cận của điểm x nếu tồn tại tập mở G sao cho x ∈ G ⊂ V . Nếu lân cận
V của x là tập mở thì V là lân cận mở của x.
3.3.2. Cở sở lân cận

Một họ Ux các lân cận của x gọi là một cơ sở lân cận của x nếu mọi lân
cận V của x đều tồn tại lân cận U∈Ux sao cho U ⊂ V.
Không gian tôpô X gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu mọi
điểm x ∈ X đều có một cơ sở lân cận đếm được
3.3.3. Ví dụ
1. ⎡⎣ a, b ⎤⎦

( a < b ) là lân cận của một điểm tùy ý của ( a, b ) trên đường

thẳng thực.
2. Họ tất cả các tập mở chứa x là một cơ sở lân cận của x.
3. Trong không gian mêtric, tại mỗi điểm x, họ các hình cầu mở tâm x,

bán kính

1
,n ∈ N là cơ sở lân cận của x. Như vậy mọi không gian mêtric đều
n

thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
4. Trong không gian rời rạc, tập một điểm { x} là cơ sở lân cận của

điểm x.


15

3.4. Phủ, phần trong và bao đóng
3.4.1. Các định nghĩa về phủ

Cho X là không gian tôpô, tập A ⊂ X . Một họ {Vα }α∈I các tập con của X
được gọi là một phủ của A nếu A ⊂ ∪ Vα . Ta cũng có thể nói A được phủ bởi
α ∈I

họ {Vα}α∈I .
Nếu Vα là tập mở với ∀α∈I thì {Vα}α∈I được gọi là một phủ mở của A.
Nếu I là tập hữu hạn thì {Vα}α∈I được gọi là một phủ hữu hạn của A.
Cho X là không gian tôpô, tập A ⊂ X và {Vα }α∈I là một phủ của A. Nếu

J ⊂ I và {Vα}α∈J cũng là một phủ của A thì {Vα}α∈J được gọi là một phủ con
của phủ {Vα}α∈I . Nếu tập J hữu hạn thì {Vα}α∈J được gọi là phủ con hữu hạn
của {Vα}α∈I .
3.4.2. Phần trong và bao đóng

Cho X là một không gian tôpô và A là tập con của X.
Ta gọi phần trong của A là hợp của tất cả các tập mở được chứa trong
A, kí hiệu là A0 .
Từ định nghĩa ta có: A0 là tập mở lớn nhất chứa trong A; A ⊂ B thì
A0 ⊂ B 0 và A mở nếu và chỉ nếu A = A0 .
Ta gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, kí hiệu là
A . Từ định nghĩa ta có A là tập đóng nhỏ nhất chứa A; A ⊂ B thì A ⊂ B và
A đóng nếu và chỉ nếu A = A .
Tập con D gọi là trù mật trong X nếu D = X . Không gian X gọi là khả

li nếu nó có một tập con đếm được trù mật.
Tập con A của X gọi là không đâu trù mật nếu ( A ) = ∅ .
0


16

3.5. Ánh xạ liên tục

Cho X và Y là các không gian tôpô và ánh xạ f : X → Y . Ánh xạ f gọi
là liên tục tại x ∈ X nếu mọi lân cận V của f(x) trong Y đều tồn tại lân cận U
của x trong X sao cho f (U ) ⊂ V , một cách tương đương f −1 (V ) là lân cận
của x.
Ánh xạ f gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi x ∈ X .
3.6. Tiên đề tách
3.6.1. Các tiên đề tách

Không gian tôpô X gọi là T0 - không gian nếu hai điểm x, y khác nhau
bất kỳ thuộc X đều có một lân cận của x không chứa y hoặc một lân cận của y
không chứa x.

Không gian tôpô X gọi là T1 - không gian nếu hai điểm x, y khác nhau
bất kỳ thuộc X đều có một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y
không chứa x.
Không gian tôpô X gọi là T2 - không gian (hay không gian Hausdorff )
nếu hai điểm x, y khác nhau bất kỳ thuộc X, tồn tại lân cận U của x và lân cận

V của y sao cho U ∩ V = ∅ .
Không gian tôpô X gọi là T3 - không gian (hay không gian chính qui)
nếu X là T1- không gian và với mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn
tại các tập con mở U và V sao cho x ∈U , F ⊂ V và U ∩ V = ∅ .
Không gian tôpô X gọi là T 1 - không gian (hay không gian hoàn toàn
3

2

chính qui) nếu X là T1 - không gian và với mọi x ∈ X , mọi tập con đóng F
của X không chứa x, tồn tại một hàm liên tục f : X → [ 0,1] sao cho f(x)=0 và

f(y)=1 với mọi y ∈ F .
Không gian hoàn toàn chính qui gọi là không gian Tikhonov.


17

Không gian tôpô X gọi là T4 - không gian ( hay không gian chuẩn tắc)
nếu X là T1- không gian và hai tập con đóng A, B bất kì không giao nhau trong

X, tồn tại các tập mở U và V sao cho A ⊂ U , B ⊂ V và U ∩ V = ∅ .
Ta gọi T0 , T1 , T2, T3 , T 1 , T4 là các tiên đề tách.
3

2

3.6.2. Tính chất của không gian chuẩn tắc
3.6.2-1. Bổ đề Urysohn

Cho X là một không gian chuẩn tắc, A và B là hai tập con đóng rời
nhau của X. Khi đó tồn tại hàm liên tục f : X → [0,1] sao cho f ( x ) = 0 với
mọi x ∈ A và f ( x ) = 1 với mọi x ∈ B .
Chứng minh.
Trước hết ta chứng minh mọi số hữu tỉ dạng r = k .2− n ∈ ( 0,1] , tồn tại
một tập mở U r sao cho

A ⊂ U r ⊂ X \ B, U r ⊂ U s , r < s
Thật vậy, đặt U1 = X \ B . Gọi V và W là các tập mở rời nhau sao cho

A ⊂ V và B ⊂ W . Đặt U1/ 2 = V . Vì X\W đóng nên ta có:
A ⊂ U1/ 2 ⊂ U1/ 2 ⊂ X \ W ⊂ X \ B = U1
Bây giờ ta xây dựng U r với r = k .2− n bằng qui nạp theo n. Giả sử đã
chọn được U r với r = k .2− n , 0 < k ≤ 2n , 1 ≤ n ≤ N − 1
Ta

sẽ

xây

dựng

Ur

với

r = ( 2 j + 1) 2− N ,0 ≤ j < 2 N −1

0 < j ≤ 2 N −1 , r = 2 j 2− N = j 2− ( N −1) , U r đã có theo giả thiết qui nạp). Ta có U
và X \ U ( j +1)2

1− N

(với
j 21− N

là hai tập đóng rời nhau (ở đây đặt U 0 = A ), nên tương tự như

trên, chọn được U r sao cho U j 2 ⊂ U r ⊂ U r ⊂ U ( j +1)2
1− N

1− N


18

Vậy ta có họ các U r có tính chất đặt ra.
Đặt U r = X với mọi r > 1 và xác định hàm f ( x ) = inf {r / x ∈U r }
Vì A ⊂ U r ⊂ X \ B với 0 < r < 1 nên f ( x ) = 0 với mọi x ∈ A , f ( x ) = 1
với mọi x ∈ B và 0 ≤ f ( x ) ≤ 1 với mọi x ∈ X . Với mọi α ∈ [ 0,1] , do các giá
trị r = k .2− n , 0 < k < 2n trù mật trong [ 0,1] nên
f ( x ) < α ⇔ x ∈U r với r nào đó, r < α

⇔ x ∈ ∪U r

r <α

f ( x ) > α ⇔ x ∉U r với r nào đó, r > α
⇔ x ∉U s với s nào đó, s > α

(

⇔ x ∈ ∪ X \ Us
s >α

)

(

Vì vậy f −1 ( ( −∞,α ) ) = ∪ U r và f −1 ( (α , +∞ ) ) = ∪ X \ U s
r <α

s >α

)

là mở. Từ

đó f liên tục.
3.6.2-2. Định lý 1.1(Định lý Tietze-Urysohn)

Cho X là không gian chuẩn tắc, A là tập con đóng của X. Khi đó mọi
hàm liên tục f : A → [ a, b ] đều tồn tại một hàm liên tục F : X → [ a, b ] sao
cho F ⎢A = f

Chứng minh


19

Bằng cách thay f bởi

{ g } các

dựng dãy

n

f −a
ta có thể giả thiết [ a, b ] = [ 0,1] . Ta sẽ xây
b−a

hàm liên tục trên X sao cho

2n−1
0 ≤ g n ≤ n trên X và
3

n

⎛2⎞
0 ≤ f − ∑ g j ≤ ⎜ ⎟ trên A.
j =1
⎝3⎠
n

⎛ ⎡ 1⎤ ⎞
⎛ ⎡2 ⎤⎞
Xét các tập B = f −1 ⎜ ⎢0, ⎥ ⎟ và C = f −1 ⎜ ⎢ ,1⎥ ⎟ . Vì B, C đóng trong A
⎝ ⎣ 3⎦ ⎠
⎝ ⎣3 ⎦⎠
và A đóng trong X nên B,C đóng trong X. Theo bổ đề Urysohn, tồn tại
1
⎡ 1⎤
g1 : X → ⎢0, ⎥ sao cho g1 = 0 trên B và g1 = trên C.
3
⎣ 3⎦
Từ đó 0 ≤ f − g1 ≤

2
trên A. Giả sử đã xây dựng được g1 ,..., g n −1 có tính
3

n −1
2n−2
⎛2⎞
chất 0 ≤ g n−1 ≤ n −1 trên X và 0 ≤ f − ∑ g j ≤ ⎜ ⎟
3
j =1
⎝3⎠

n −1

trên A

⎡ 2n −1 ⎤
Bằng phương pháp trên, ta có g n : X → ⎢0, n ⎥ sao cho g n = 0 trên tập
⎣ 3 ⎦
có

n

n
2n −1
2n −1
⎛2⎞
f − ∑ g j ≥ n và g n = n trên tập có f − ∑ g j ≥ ⎜ ⎟ . Dễ thấy g n có
3
3
j =1
j =1
⎝3⎠
n

tính chất mong muốn của dãy { g n } .
⎛2⎞
Đặt F = ∑ g n , ta có 0 ≤ f − F ≤ ⎜ ⎟
n =1
⎝3⎠
∞

F ≡ f trên A và hiển nhiên 0 ≤ F ≤ 1 .

n

trên A với mọi n, do đó


20

Ta còn phải chứng minh F liên tục. Với mỗi x0 ∈ X và ε > 0 , chọn

2n−1 ε
sao cho ∑ n < . Do g1 ,..., g N liên tục tại x0 nên tồn tại lân cận V của x0
3
n = N +1 3
∞

sao cho g n ( x ) − g n ( x0 ) <

ε
3N

với mọi x ∈V , n=1,…,N.

Từ đó với mọi x ∈V
N

F ( x ) − F ( x0 ) ≤ ∑ g n ( x ) − g n ( x0 ) +
n =1

ε

ε

ε

∞

∑

n = N +1

gn ( x ) +

2n −1
< + + = ε (vì g n ≤ n mà
3 3 3
3

∞

∑

n = N +1

g n ( x0 )

2n−1 ε
∑ n < 3)
n = N +1 3
∞

Vậy F liên tục tại x0.
4. Sự mêtric hóa

4.1. Tôpô sinh bởi mêtric
4.1.1. Hình cầu, mặt cầu

Cho không gian mêtric ( X , d ) , điểm x0 ∈ X và số thực r > 0 .

{

}

Hình cầu mở tâm x0 bán kính r là tập B ( x0 , r ) = x ∈ X⏐d ( x , x0 ) < r

{

}

Hình cầu đóng tâm x0 bán kính r là tập B∗ ( x0 , r ) = x ∈ X ⏐d ( x , x0 ) ≤ r

{

}

Mặt cầu tâm x0 bán kính r là tập hợp B ( x0 , r ) = x ∈ X⏐d ( x , x0 ) = r

Hình cầu mở B(x0, r) được gọi là r- lân cận của điểm x0 trong không
gian mêtric ( X , d ) .

4.1.2. Tôpô sinh bởi mêtric

Cho không gian mêtric (X, d). Ta xác định trong ( X , d ) một tập hợp τ
các tập con của X như sau:

21

τ = {U ⊂ X | ∀x∈U, ∃r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ U}.
Thì τ là một tôpô trên X. Tôpô τ xác định như trên gọi là tôpô sinh ra bởi
mêtric d trên X, các phần tử thuộc τ được gọi là các tập mở trong ( X , d ) .

4.2. Không gian mêtric hóa
4.2.1. Định nghĩa

Không gian tôpô X gọi là không gian mêtric hóa nếu trên X có một
mêtric d sao cho tôpô sinh bởi mêtric d trùng với tôpô xuất phát trên X.
4.2.2. Ví dụ

Mọi không gian rời rạc đều là không gian mêtric hóa (bởi mêtric rời
rạc)
4.3. Khái niệm hữu hạn địa phương, rời rạc
4.3.1. Họ U các tập con của không gian tôpô được gọi là hữu hạn địa phương

khi và chỉ khi mỗi điểm của không gian có một lân cận chỉ cắt một số hữu hạn
các phần tử của họ U .
Họ U là σ -hữu hạn địa phương khi và chỉ khi nó là hợp của một số
hữu hạn các họ con hữu hạn địa phương

4.3.2. Họ U các tập con của không gian tôpô được gọi là rời rạc nếu mỗi

điểm của không gian có một lân cận cắt nhiều nhất một phần tử của họ U.
Như vậy, một họ rời rạc là hữu hạn địa phương.

22

Họ U là σ -rời rạc khi và chỉ khi nó là hợp của một số hữu hạn các họ
con rời rạc.
4.4. Cái mịn
4.4.1. Định nghĩa

Phủ B của tập hợp X được gọi là cái mịn của phủ U khi và chỉ khi mỗi
phần tử của phủ B được chứa trong phần tử nào đó của phủ U.

4.4.2. Ví dụ

Trong không gian mêtric họ tất cả các hình cầu mở bán kính một nửa là
cái mịn của họ tất cả hình cầu mở bán kính một đơn vị.
5. Tập sao, hình sao


23

Cho A ⊂ R n , nếu x ∈ A thì toàn bộ đoạn thẳng nối 0 với x cũng bị chứa
trong A, một tập mở có tính chất như vậy được gọi là tập sao đối với 0.
Cho U là họ nào đó các tập con của tập X và x ∈ X . Ta gọi hình sao
của điểm x đối với U là tập hợp tất cả các phần tử của họ U chứa điểm x.


24

Chng 2. PHN HOCH N V
Trong chng ny, chỳng ta s trỡnh by cỏc khỏi nim v phõn hoch

n v, s liờn tc ng bc cựng vi tớch phõn v o hm ca phõn hoch
n v.
1. Phõn hoch n v v s liờn tc ng bc
1.1. Phõn hoch n v
1.1.1. nh ngha 1

Cho { f s }sS l mt h cỏc hm t khụng gian X vo [ 0, ) . Ta nh
ngha hm s f nh sau: f = f s .
sS

f

s

= f cú

ngha

l:

vi

mi

x X

sS

f ( x) = sup fs ( x) / T laứ taọp con hửừu haùn cuỷa S

sT



Hm f cú th nhn giỏ tr .
Nu ta thờm iu kin: Vi mi s S , f s l hm s liờn tc thỡ h

{ f s }sS c gi l phõn hoch ca hm f. Ta cú nh ngha phõn hoch ca
hm

f : X [ 0; ] nh sau:

1.1.2. nh ngha 2

Mt h cỏc hm

F = { f s : X [0, )}sS c gi l mt phõn

hoch ca hm f : X [0, ] nu f s liờn tc vi mi s S v

f

s

=f.

s S

c bit: Nu

f
sS

s

= 1 thỡ F c gi l mt phõn hoch n v.


25

F được gọi là một phân hoạch đơn vị hữu hạn nếu f s ≡ 0 khắp nơi trừ

hữu hạn s ∈ S .
F được gọi là một phân hoạch hữu hạn điểm nếu F | { x} là một phân

hoạch hữu hạn của f | { x} với ∀x ∈ X .
F được gọi là một phân hoạch hữu hạn địa phương nếu với mỗi

x ∈ X có một lân cận U của x trong X sao cho F U là một phân hoạch hữu

hạn của f ⎢U .
Sau đây chúng ta xét đến khái niệm phân hoạch { f s }s∈S phụ thuộc vào
một phủ cho trước. Trước tiên ta xét khái niệm giá của f s

{
f là cl { x ∈ X⏐ f ( x ) ≠ 0} )

}

Giá của f s là bao đóng của tập x ∈ X⏐ f ( x ) ≠ 0

(Giá của

s

1.1.3. Định nghĩa 3

Cho F = { fs : X → [0, ∞)}s∈S là một phân hoạch của f : X → [0, ∞]
và U = {U s }s∈S là một phủ mở của X. F là một U - small phân hoạch của
hàm f (phân hoạch phụ thuộc vào phủ U ) nếu f s ( X − U s ) ⊆ {0} với mỗi
s ∈ S . Nói cách khác, giá của f s được chứa trong U s với mỗi s ∈ S .
Ví dụ