LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN CHƯƠNG I ĐẠI SỐ LỚP 9

PHÒNG GD&ĐT VĨNH TƯỜNG
TRƯỜNG THCS NG V XUÂN

CHUYÊN ĐỀ
LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TẬP
CƠ BẢN CHƯƠNG I ĐẠI SỐ LỚP 9

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Xuyên
Đơn vị: Trường THCS Nguyễn Viết Xuân

Ngũ Kiên, ngày 25 tháng 11 năm 20....

1


Chuyên đề
LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
CHƯƠNG I ĐẠI SỐ LỚP 9
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nâng cao chất lượng dạy và học là nhiệm vụ trọng tâm của mỗi giáo viên,
đặc biệt là chất lượng các bộ môn đối với học sinh( HS) khối 9. Kết quả thi tuyển
sinh vào lớp 10 trung học phổ thông của HS khối 9 là thước đo hiệu quả đào tạo
của mỗi nhà trường THCS, đánh dấu bước chuyển tiếp quan trọng của HS trên con
đường tiếp tục học lên hoặc bước vào cuộc sống lao động sản xuất sau này.Việc
nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn cần được thực hiện ngay trong từng giờ
lên lớp, trên cơ sở luôn chú trọng đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới kiểm tra
đánh giá HS, tích cực kiểm tra theo dõi sát sao việc học tập của học sinh, từ đó uốn
nắn, giải đáp vướng mắc cho HS, rèn kỹ năng giải toán cho HS và điều chỉnh
phương pháp giảng của giáo viên sao cho phù hợp và đạt hiệu quả nhất.
Trong chương I Đại số lớp 9, học sinh được chuyển kĩ năng tính toán trên

tập số sang tính toán biểu thức chữ trên tập số thực R cùng các bài tập với biểu
thức hữu tỷ. Việc vận dụng kiến thức cũ tiếp cận kiến thức mới giải quyết bài toán
cần biến đổi tổng hợp liên quan nhiều kiến thức, kỹ năng nhất định làm cho học
sinh gặp khó khăn lúng túng trong quá trình học bộ môn, nhất là kỹ năng giải các
bài tập cơ bản của chương.
Vì thế đặt ra cho giáo viên trong quá trình giảng dạy cần phải làm thế nào để
HS nắm vững kiến thức cơ bản của chương, có kỹ năng vận dụng giải các bài tập
cơ bản của chương. Muốn vậy, giáo viên cần nghiên cứu kỹ chương trình, có định
hướng chia nhỏ yêu cầu bài tập và phân dạng bài tập. HS cần được học theo
chuyên đề về các dạng bài tập đó nhằm khắc sâu kiến thức, phương pháp và kĩ
năng giải bài tập cho HS. Yêu cầu các bài tập đưa ra phải đi từ dễ đến khó, từ đơn
giản đến phức tạp và phù hợp với trình độ nhận thức của HS giúp các em thông
hiểu, vận dụng và hứng thú tích cực trong học tập.
Vì vậy tôi muốn đưa ra hệ thống bài tập cơ bản của chương I Đại số lớp 9 để
giúp chúng ta có hệ thống các bài tập khắc sâu kiến thức cho học sinh đồng thời
luyện kỹ năng giải các dạng bài tập cơ bản của chương cho các em.
Trong chương trình Toán lớp 8 các bài toán rút gọn biểu thức các em đã
được làm quen nhiều, song bài toán về rút gọn biểu thức có chứa dấu căn trong
chương trình lớp 9 rất phong phú, đa dạng và phức tạp, nó đòi hỏi phải vận dụng
nhiều kiến thức một cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo, yêu cầu học sinh phải có óc
quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển tư duy. Chính vì vậy dạng toán này
thường xuyên có mặt trong các kì thi học sinh giỏi lớp 9, cũng như trong các kì thi
tuyển sinh vào lớp 10 THPT và nó cũng là cơ sở để giải các bài toán tiếp theo như
dạng giải phương trình, giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức...
Trong khi đó nội dung và thời lượng giảng dạy về phần rút gọn biểu thức
chứa dấu căn lại không nhiều, nhưng lượng bài tập trong sách giáo khoa và sách
bài tập phong phú và đa dạng. Vì vậy muốn học sinh giải được các dạng toán cơ
bản của chương I Đại số lớp 9, trong quá trình giảng dạy chúng tôi đã phân chia
các bài toán cơ bản của chương I thành hệ thống các dạng bài tập cho học sinh đại
trà, học sinh giỏi để học sinh nhận diện ra phương pháp giải, tăng cường luyện tập,

2


thực hành, rèn luyện kĩ năng tính toán và vận dụng các kiến thức toán học vào đời
sống và các môn học khác .
Có thể nói rằng, hình thành và rèn luyện kỹ năng giải bài tập cho HS chiếm
thời gian chủ yếu của phần kiến thức này. Đây là quá trình chuyển từ tính toán trên
tập số sang tính toán trên chữ. Do đó chương I Đại số lớp 9 còn giúp tổng kết việc
tính toán và biến đổi đồng nhất ở cấp THCS.
2. Mục đích nghiên cứu
- Chọn ra một số dạng bài tập cơ bản của chương I Đại số lớp 9, nhằm giúp
cho giáo viên có một tài liệu để giảng dạy và rèn kĩ năng giải toán cho học sinh lớp
9 và đặc biệt là phục vụ cho việc dạy ôn thi vào lớp 10 THPT và thi HSG lớp 9.
- Giúp cho học sinh nhận diện ra phương pháp giải và rèn kĩ năng vận dụng
kiến thức vào giải dạng bài tập đó. Học tốt các dạng toán giúp HS sau khi học xong
chương I, có thể làm tốt được bài toán rút gọn tổng hợp tất cả các dạng có thể có,
từ đó giúp các em tự tin hơn trong khi giải toán cũng như trong thi cử.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Các bài tập cơ bản của chương I đại số lớp 9 và luyện kĩ năng giải các dạng
bài tập đó.
- HS lớp 9 trường THCS.
- GV trong tổ Toán trường THCS.
4. Phạm vi nghiên cứu
- Trong chuyên đề này chúng tôi nêu ra một số dạng toán và hướng dẫn học
sinh giải, rèn kĩ năng cho HS từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải một
số bài toán mà các em còn lúng túng trong việc tìm lời giải.
- Ý tưởng của đề tài phong phú và đa dạng, phạm vi nghiên cứu rộng nên
chúng tôi chỉ nghiên cứu một số dạng toán cơ bản, thiết thực đồng thời đưa ra
phương pháp và rèn kĩ năng cho HS.
5. Phương pháp nghiên cứu

- Tham dự các lớp tập huấn.
- Hệ thống các dạng bài tập và tìm tài liệu.
- Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của HS.
- Phương pháp thực nghiệm, thực tế giảng dạy.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.

3


PHẦN II: NỘI DUNG
Chương I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
1.Cơ sở lý luận
- Xuất phát từ vai trò quan trọng của các dạng toán cơ bản trong chương I
Đại số 9 đã thắp lên cho tôi một ý tưởng : Xây dựng chuyên đề “Luyện kỹ năng
giải các bài tập cơ bản chương I Đại số lớp 9”. Công việc đầu tiên là xây dựng ý
tưởng về cách viết chuyên đề, làm sao thật thiết thực, bổ ích với tất cả GV Toán và
HS lớp 9. Nội dung chuyên đề bám sát chương trình nhưng không giản đơn và
tương tự như những chuyên đề đã có. Mỗi dạng toán viết ra phải cô đọng về lí
thuyết, phong phú hấp dẫn về những ví dụ cụ thể và hay hơn nữa là những lưu ý
mang đậm dấu ấn của kinh nghiệm giải toán, kinh nghiệm giảng dạy. Với hi vọng
nội dung chuyên đề mang lại hiệu quả cao trong các tiết lên lớp và đề cương ôn thi
vào THPT.
2. Cơ sở thực tiễn
- Nhiều học sinh còn yếu về kỹ năng tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét,
biến đổi và thực hành giải toán chưa cao, chưa có ý thức tự giác học tập.
- Nhiều học sinh còn sử dụng sách hướng dẫn giải bài tập nên khi gặp bài
tập các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, không biết áp
dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào tốt
nhất. Việc áp dụng lí thuyết vào giải một số bài toán rút gọn của học sinh chưa linh
hoạt, khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự tư duy thì học sinh

không xác định được phương hướng để giải bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc
không làm được, kĩ năng giải và tính toán cơ bản của một số học sinh còn yếu.
3. Thực trạng của nghiên cứu vấn đề
- Như chung ta đã biết, những năm mà đề thi vào lớp 10 THPT có bài tập
rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai thì năm đó làn điểm Toán chung trên toàn
tỉnh Vĩnh Phúc không được cao. Nguyên nhân cơ bản là do kĩ năng biến đổi biểu
thức của HS chưa tốt, mặc dù dạng toán này đề bài yêu cầu chỉ ở mức đại trà,
không quá khó. Qua tiến hành khảo sát học sinh khối 9 trường THCS Nguyễn Viết
Xuân đối với bộ môn Toán 9 trong 02 năm học( 2011- 2012; 2012-2013) với 3 đối
tượng học sinh: Khá, TB, yếu, kết quả như sau:
Trung bình
Khá – Giỏi
Năm học
Tổng số Yếu
TS
%
TS
%
TS
%
2011 - 2012 77
20
26
22
28,6
35
45,4
2012 - 2013 72
18
25,0

23
31,9
31
43,1
- Như vậy tỉ lệ học sinh học trung bình và khá môn Toán còn thấp, đặc biệt
là giải bài toán rút gọn của các em còn hạn chế, do đó việc đưa ra hệ thống bài tập
và phương pháp giải, rèn kĩ năng giải cho từng dạng bài tập là vô cùng quan trọng
và cấp thiết trong quá trình giảng dạy ở trường THCS Nguyễn Viết Xuân.
4. Những giải pháp mới của đề tài
- Đề tài đưa ra những giải pháp mới như sau:
+ Sắp xếp các bài toán theo mức độ, những dạng toán cơ bản.
+ Xây dựng các phương pháp giải cơ bản của các dạng và đưa ra kĩ năng giải
bài tập cho từng dạng.
+ Đối với học sinh yếu cần củng cố: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân
tử, tìm được điều kiện cho biểu thức có nghĩa, rèn cho HS thực hiện tốt việc tính
giá trị biểu thức trên R.
4


+ Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kĩ năng, phối hợp nhiều
phương pháp, chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán. Củng cố
các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành. Tìm tòi những lời
giải hay khai thác bài toán.
+ Đối với HS khá, giỏi: Phát triển tư duy, giới thiệu thêm các dạng toán nâng
cao.
Chương 2: PHƯƠNG PHÁP THỰC NGHIỆM
Qua thực tế giảng dạy nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học,
nâng cao chất lượng môn toán ở trường THCS, chúng tôi đã tìm hiểu, nghiên cứu
và đi đến thống nhất thực hiện chuyên đề này như sau.
I.Nội dung và mức độ yêu cầu của chương

1. Kiến thức chung
- Căn bậc hai: Định nghĩa, kí hiệu, điều kiện tồn tại. Hằng đẳng thức
A2 = A .
- Khai phương một tích. Nhân các căn thức bậc hai. Khai phương một
thương. Chia hai căn thức bậc hai.
- Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai. Rút gọn biểu thức chứa
căn thức bậc hai.
- Khái niệm căn bậc ba (Phần căn bậc ba chỉ có tính chất giới thiệu).
2. Mức độ và yêu cầu
- HS nắm được định nghĩa căn bậc hai, kí hiệu căn bậc hai số học, điều kiện
tồn tại căn bậc hai, các tính chất, quy tắc tính và biến đổi trên các căn bậc hai. Có
kĩ năng tính nhanh, đúng các phép tính trên các căn bậc hai, kĩ năng thực hiện các
phép biến đổi đơn giản, rút gọn các biểu thức chứa căn thức bậc hai. Biết khai
phương bằng máy tính bỏ túi. Tăng cường rèn luyện kĩ năng tính toán, suy luận,
thực hành giúp học sinh vận dụng kiến thức toán học vào đời sống và vào các môn
học khác.
3. Kỹ năng cơ bản
Hai kỹ năng chủ yếu là kỹ năng tính toán và kỹ năng biến đổi biểu thức.
a. Kỹ năng tính toán
* Có thể kể các kỹ năng về tính toán (các ví dụ và bài tập chú ý đến các số)
như :
- Tìm khai phương của một số ( số đó có thể là số chính phương trong
khoảng từ 1 đến 400 hoặc là tích hay thương của chúng, đặc biệt là tích hoặc
thương của số đó với số 100)
- Phối hợp kỹ năng khai phương với kỹ năng cộng trừ nhân chia các số ( tính
theo thứ tự thực hiện phép tính và tính hợp lý có sử dụng tính chất của phép khai
phương)
b. Kỹ năng biến đổi biểu thức
* Có thể kể các kỹ năng về biến đổi biểu thức (các ví dụ và bài tập chú ý đến
biểu thức chứa chữ) như :

- Các kỹ năng biến đổi riêng lẻ tương ứng với các công thức nêu ở phần 4)
5


- Phối hợp các kỹ năng đó (và cả những kỹ năng có trong những lớp trước) để
có kỹ năng mới về biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai, rút gọn biểu thức chứa
căn thức bậc hai.
- Điều quan trọng nhất khi rèn luyện các kỹ năng biến đổi biểu thức là tính
mục đích của các phép biến đổi. Điều này, SGK chú ý thông qua các ứng dụng sau
khi hình thành ban đầu kỹ năng về biến đổi biểu thức. Các ứng dụng này còn nhằm
phong phú thêm cách thức rèn kỹ năng( để so sánh số, giải toán tìm x thoả mãn
điều kiện nào đó.)
Ngoài hai kỹ năng nêu ở trên ta còn thấy có những kỹ năng được hình thành
và củng cố trong phần này như :
- Giải toán so sánh số
- Giải toán tìm x
- Chứng minh đẳng thức.
- Kỹ năng sử dụng máy tính.
4. Kiến thức cụ thể
* Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai mà SGK giới thiệu cho bởi
các công thức sau :
 x≥0
2
x = a

+ Căn bậc hai số học: Với a ≥ 0, a = x ⇔ 
+ Điều kiện tồn tại của
+

A2 = A có nghĩa là

A là A ≥ 0.
A2 = A nếu A ≥ 0

A2 = − A nếu A < 0

+ Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự (SGK thể hiện bởi định lý về so
sánh các căn bậc hai số học : “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : a < b ⇔ a < b ”)
+
+

A.B = A. B với A ≥ 0, B ≥ 0
A
=
B

A
với A ≥ 0, B > 0.
B

+ Đưa thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai: A2 B = A B với B ≥ 0
+Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai: A B = A2 B với A ≥ 0, B ≥ 0
A B = − A2 B với A < 0, B ≥ 0
+ Khử mấu của biểu thức lấy căn:
A
=
B

A.B
1

=
A.B ( B ≠ 0, A.B ≥ 0 )
2
B
|B|

+ Trục căn thức ở mẫu số:
A
B

=

A B
B

C
A±B

=

C ( A B )
A − B2

( với B > 0)
(với A≥ 0 và A ≠ B2)

6


C

A± B

=

C( A  B )
( với A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B )
A− B

II. Nội dung cụ thể
1. Dạng I: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa
Đây là vấn đề khó và phức tạp đối với HS, bởi vì tìm ĐKXĐ thường gắn với
việc giải hệ bất phương trình và phương trình mà đến cấp THPT mới được học.
Phần lớn các bài tập trong sách có liên quan đến biểu thức chữ đều cho trước ĐK
của các chữ. Nhưng thực tế đối với một đề thi vào THPT nếu có bài toán về dạng
rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai thì công việc đầu tiên là HS phải tự tìm
ĐKXĐ. Do vậy, yêu cầu xem xét ĐKXĐ của biểu thức chỉ dừng ở mức độ để cho
HS hiểu.
a) Phương pháp
Với bài toán rút gọn:
+ Nếu bài toán có phần yêu cầu tìm ĐK để biểu thức có nghĩa thì chúng ta
phải trình bày cụ thể theo các bước, nếu bài toán yêu cầu ngay rút gọn thì chúng ta
chỉ ghi kết quả của ĐKXĐ không nhất thiết phải trình bày cụ thể.
+ Đôi khi bài toán tác giả cho sẵn điều kiện thì chúng ta lưu ý điều kiện đó
là điều kiện của toàn bài, nhiều bài toán chúng ta phải đặt thêm điều kiện khi giải.
A là A ≥ 0. Nếu biểu thức có dạng

- Điều kiện tồn tại (ĐKXĐ) của

m
ta

A

giải bất phương trình A > 0. Nghĩa là mẫu của các phân thức khác 0.
b) Ví dụ
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa:
a) 2 x − 1

1
x −7

b)

Giải:
a) 2 x − 1 xác định khi 2x-1 ≥ 0
⇔ 2x ≥ 1
⇔x ≥

1
2

1
xác định khi x ≥ 0 và x - 7 ≠ 0
x −7
⇔ x ≥ 0 và x ≠ 49
1
c)
xác định khi 5x + 10 >0 ⇔ x > -2
5 x + 10

b)

Ví dụ 2:
Cho biểu thức: P =

x+2
x +1
1
+
−
x x −1 x + x + 1
x −1

Tìm x để P có nghĩa
Giải:
Để P có nghĩa thì điều kiện là:
x ≥ 0

x ≥ 0
x x −1 ≠ 0 ⇔ 
x ≠ 1

 x −1 ≠ 0
Vậy x ≥ 0; x ≠ 1 thì P có nghĩa
7

c)

1
5 x + 10

c) Bài tập
Bài tập 1: Tìm các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa
a) x 2 − 36
b) x 2 − 4 x + 3
c)

2− x
x−3

Bài tập 2: B =

1
x −3

+

1
x +3

Tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa.


x
x  x−4
+
÷.
x +2÷
 x −2
 4x

Bài tập 3: Cho biểu thức M = 

Tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa.
2. Dạng II: Phân tích đa thức thành phân tử .
Đây là khâu trung gian cho bài toán “ Rút gọn biểu thức chứa căn thức ”
a) Phương pháp
+ Đặt nhân tử chung
+ Nhóm nhiều hạng tử
+ Dùng hằng đẳng thức
+ Tách, thêm bớt
Chú ý : Đặt điều kiện trước khi phân tích đa thức thành nhân tử.
b) Ví dụ
Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử (với các số x, y, a, b không âm)
a) x2 – 3
b) x2 + 2 3 x + 3
c) ab + b a + a + 1
d) 12 - x - x
Giải:
a) x2 - 3 = ( x + 3 )(x - 3 )
b) x2 + 2 3 x + 3 = ( x + 3 )2
c) ab + b a + a + 1 = b a ( a + 1) + ( a + 1) = ( a + 1)( b a + 1)
d) Có nhiều cách làm khác nhau, GV nên hướng dẫn HS tách 12 = 9 + 3 và biến
đổi 12 - x - x = 3 - x + 9 - x = (3 - x ) + (32 - x 2 ) = (3 - x ) (4 + x )
c) Bài tập
(Giả thiết các biểu thức đều có nghĩa)
Bài tập1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử .
a) b − 4
c) a 2 − 3
b) 4 x 2 − 1

d) a 3 − 2 2
Bài tập 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 21 + 3 + 7 + 1
b) x + 2 x − 3 c) 1 − a + 1 − a 2
d) a a + 1
e) a 3 + b 3 − a 2 b − ab 2
f) 2a a + 2 a − 3a − 3
Bài tập 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
2
a) x x + x − x − 1
b) ab + 2 a + 3 b + 6
c) (1 + x ) − 4 x
d) ab − a − b + 1
e) a + a + 2 ab + 2 b
f) x x + y y + x − y
h) x − x − 2
8


Bài tập 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x − 3 x + 2
b) x 2 − 3x y + 2 y
c) x + 2 x − 1
d) x 3 − 2 x − x
g) − 6 x + 5 x + 1
h) 7 x − 6 x − 2
f) x + 4 x + 3
i) 2a + ab − 6b
Bài tập 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x − 5 x + 6

b) 2a − ab − 6b
c) 3 a − 2a − 1
d) 4a − 4 a − 1
g) x − 2 + x 2 − 4
h) x 2 − x + x − 1
f) 2a − 5 ab + 3b
i) x 4 − 4 x 3 + 4 x 2
l) 3x − 2 x 2 − 1
3. Dạng III: So sánh
a) Phương pháp
Định lí: Với hai số không âm a và b ta có: a > b ⇔ a > b
Chú ý: Khi so sánh cần linh hoạt, đó là: Sử dụng thêm các tính chất như:
a, b > 0 , nếu a2 > b2 thì a > b
+Nếu a > b > 0 thì

1 1
<
a b

+Xét hiệu A-B
+So sánh sử dụng tính chất bắc cầu.
+Áp dụng bất đẳng thức cơ bản (Côsi, Bunhia , giá trị tuyệt đối…)
+Dùng phép biến đổi tương đương
b) Các ví dụ
Ví dụ 4:
a) 5 và 26
b) 113 và 11
c) 33 − 17 và 6 - 15
Giải:
a) vì 25 < 26 nên 25 < 26 nên 5 < 26

b) Vì 113 < 121 nên 113 < 11
c) 33 < 36 và - 17 < - 15 nên 33 − 17 < 6 - 15
Lưu ý: Ta có thể so sánh các số bằng cách dùng kết quả sau đây: “Với mọi a, b
dương ta có a < b ⇔ a2 < b2.”
Thật vậy, với a, b dương thì a+b > 0 nên: a < b ⇔ a – b < 0 ⇔ (a - b)(a + b) < 0
⇔ a2 - b2 < 0 hay a2 < b2
Chẳng hạn với câu a) ta có 52 = 25, ( 26 )2 = 26
Rõ ràng 52 < ( 26 )2 nên 5 < 26
Ví dụ 5: So sánh 3 2 và 2 3
Giải: Với các số dương a, b thì a2 > b2 ⇔ a > b
Ta có 3 2 > 2 3 ⇔ ( 3 2 )2 > ( 2 3 )2
⇔ 3 2 >2 3
⇔ (3 2 )2 > (2 3 )2
⇔ 18 > 12
Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên 3 2 > 2 3
Ví dụ 6: So sánh 10 + 17 + 1 và 61
Giải:
Ta có: 10 > 9 = 3, 17 > 16 = 4 suy ra 10 + 17 + 1 > 3 + 4 + 1 = 8 (1)
9


Lại có 61 < 64 = 8
(2)
Từ (1) và (2) suy ra 10 + 17 + 1 > 61
Thêm một bài toán cơ bản về so sánh hai số bằng cách đưa về bình phương hai số
và giúp ta tiếp cận với bất đẳng thức cơ bản, nhưng một điều quan trọng tôi muốn
nhấn mạnh rằng thông qua bài toán giúp HS tránh nhầm lẫn khi thực hiện phép
tính căn bậc hai của một tổng, một hiệu lại sử dụng tương tự như quy tắc khai
phương một tích.
Ví dụ 7 : (Bài 26 SGK trang 16)

a) So sánh 25 + 9 và 25 + 9
b) Với a > 0 và b > 0, chứng minh a + b < a + b
Giải:
a) So sánh trực tiếp bằng cách tính kết quả
b) Hai vế của bất đẳng thức không âm nên bình phương hai vế ta được:

(

a+b

) ≤(
2

a+ b

)

2

⇔ a + b ≤ a + b + 2 ab ⇔ 0 ≤ 2 ab luôn đúng.

Ví dụ 8: a) So sánh 25 − 16 và 25 − 16
b)Chứng minh rằng, với a > b > 0 thì a − b < a − b
Giải: Tương tự ví dụ 7
c) Bài tập
Bài tập 1: So sánh.
a) 4 7 và 3 13

b) 3 12 và 2 16

d) 3

e)

12

và 2 16

1 17
2 2

và

1
19
3

1
1
82 và 6
4
7

c)

h) 3 3 − 2 2 và 2

Bài tập 2: So sánh các số sau :
a) 7 − 2 và 1
b) 30 − 29 và 29 − 28

c) 8 + 5 và 7 + 6

d) 27 + 6 + 1 và 48 e) 5 2 + 75 và 5 3 + 50 g) 5 − 3 và

1
2

Bài tập 3: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần ;
5 2; 2 5 ; 2 3 ; 3 2
Bài tập 4: Tồn tại hay không một tam giác có các cạnh là:
17 ; 5 + 1; 45

Bài tập 5: So sánh hai số a và b biết :
a = 2000 − 1999 và b = 1999 − 1998
4. DạngIV: Thực hiện phép tính trên R
a) Phương pháp
Áp dụng kiến thức: Hằng đẳng thức, liên hệ giữa phép nhân, phép chia và
phép khai phương, đưa thừa số ra ngoài và vào trong dấu căn, biết cách khử mẫu
của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu. Biết phối hợp và linh hoạt sử dụng các
phép biến đổi trên.
- Sử dụng hằng đẳng thức

A2 = A có nghĩa là

A2 = − A nếu A < 0
10

A2 = A nếu A ≥ 0 ,

- Đối với căn thức có dạng m ± p n ta có thể viết biểu thức dưới căn thành bình
phương của một nhị thức bằng cách phân tích p n về dạnh 2ab với a2 + b2 = m.
Chẳng hạn đối với căn thức 11 − 6 2 ta thấy 6 2 = 2.3. 2 và 32 +
11 − 6 2 =

32 − 2.3. 2 +

( )
2

2

=

(

3− 2

)

2

2

=11 nên

= 3− 2 = 3− 2

b) Ví dụ

Ví dụ 9: Tính giá trị của biểu thức:
a) 45 − 20
c)

( 2)

b) ( 3 − 5)( 3 + 5) + 2

1
3
2
6−
+3
2
2
3

Giải: a) 45 − 20 = 9.5 + 4.5 = 3 5 + 2 5 = (3 + 2) 5 = 5 5
2
2
b) ( 3 − 5)( 3 + 5) + 2 = 3 − 5 + 2 = 3 − 5 + 2 = 0
c)

1
3
2
1
3.2
2.3 1
1

1
6−
+3
6−
+3 2 =
6−
6 + 3. 6 = 6
=
2
2
2
3
2
2
3
2
2
3

Ví dụ 10: Rút gọn
a) ( 2 − 1) 2
b)

( 2 − 5)

2

Giải:
a)
b)

( 2 − 1)
( 2 − 5)

2

2

=

2 − 1 = 2 − 1 (vì

2 >1)

= 2 − 5 = 5 − 2 (vì 5 >2)

Lưu ý: Đối với những bài toán có dạng hằng đẳng thức A2 = A học sinh sử dụng
biến đổi những bước đầu rất tốt, nhưng khi bỏ giá trị tuyệt đối học sinh dễ bị nhầm
lẫn dẫn đến kết quả sai. Giáo viên cần chú ý cho học sinh rút kinh nghiệm từ phần
b) sử dụng hằng đẳng thức A2 = A có nghĩa là A2 = A nếu A ≥ 0 , A2 = − A nếu
A < 0. Bởi vì đây là những biểu thức số nên học sinh rất dễ nhận ra giá trị của biểu
thức âm hay không âm để tiế tục biến đổi. Nhưng không phải bài toán nào cũng
đơn giản như ví dụ 10, có khi chúng ta phải biến đổi để đưa về tương tự ví dụ 10,
ta tiếp tục xét ví dụ sau:
Ví dụ 11: Tính
a) 3 − 2 2
b) 7 + 4 3
Giải:

( 2 − 1)

( 2 + 3)

a) 3 − 2 2 = 2 − 2 2 + 1 =
b)

7+4 3 =

4+4 3 +3 =

2

2 −1 =

=

2

2 −1

= 2+ 3 = 2+ 3

Ví dụ 12: Tính giá trị của biểu thức
A= 21 + 6 6 + 21 − 6 6 =

(

3 +3 2

)

2

(

+

= 3 +3 2 +3 2 − 3 = 6 2
11

3 −3 2

)

2

=

3 +3 2 + 3 −3 2


Cách khác:
Nhận xét A > 0
A2 = ( 21 + 6 6 + 21 − 6 6 )2

= 21 + 6 6 + 21 − 6 6 + 2 ( 21 + 6 6 ) ( 21 − 6 6 )
= 42 + 2.15 = 72
A = 6 2 vì A > 0
Lưu ý: Các biểu thức dạng M + N và M − N là các biểu thức liên hợp của nhau.
2
Tích ( M + N ) ( M − N ) = M − N là một biểu thức không chứa dấu căn. Điều này

giúp cho việc tính toán được thuận tiện hơn.
Ví dụ 13: Tính giá trị của biểu thức: A = 9 + 17 − 9 − 17 − 2
Cách 1: A =

18 + 2 17
18 − 2 17
−
− 2 =
2
2

17 + 1
17 − 1
−
− 2 = 0 (vì
2
2

17 > 1 )

Cách 2: 2 A = 2(9 + 17) − 2(9 − 17) − 2. 2 = ( 17 + 1) 2 − ( 17 − 1) 2 − 2
2A=

17 + 1 − 17 − 1 − 2 = 17 + 1 − 17 + 1 − 2 = 0 (vì

17 > 1 ) => A = 0

Với những bài toán:Tính giá trị của biểu thức có chứa chữ HS nên rút gọn
biểu thức chứa chữ và rút gọn giá trị của chữ rồi thay vào biểu thức. Đây bài toán
thường gặp trong bài toán rút gọn tổng hợp.

Ví dụ 14: Tính giá trị biểu thức
a) 1 − 10a + 25a 2 − 4a với a = 2
b) −16a − 4a 2 − 4a + 1 với a = - 0,25
Giải:
2
a) 1 − 10a + 25a 2 − 4a = ( 1 − 5a ) − 4a = 1 − 5a − 4a với a = 2 thì ta có
1− 5 2 − 4 2 =

2 −1

b) −16a − 4a 2 − 4a + 1 = −16a − (2a − 1) 2 = −16a − 2a − 1
Với a = - 0,25 thì ta có −16(−0.25) − 2(−0.25) − 1 = 4 − −0.5 − 1 =

1
2

Đối với bài toán này tuy đơn giản nhưng các em có thể nhầm lẫn bởi không
chú ý đến giá trị x là số âm khi thay vào giá trị tuyệt đối và biểu thức dưới dấu căn
là -16a
c) Bài tập
Bài tập 1: Thực hiện phép tính sau:
a) ( 12 − 48 − 108 − 192 ) : 2 3
b) ( 2 112 − 5 7 + 2 63 − 2 28 ) 7
c) ( 2 27 − 3 48 + 3 75 − 192 )(1 − 3 )
d) 7 24 − 150 − 5 54
e) 2 20 − 50 + 3 80 − 320
g) 32 − 50 + 98 − 72
Bài tập 2: Thực hiện phép tính sau:
1
3

a) 75 − 5 +

9
2
2 + 2 27
2
3

12


1
3

b) 48 + 5 + 2 75 − 5 1
c)

(


d) 


1
3

)

3

− 150
2

1  1
18 + 0.5 − 3  − 
− 75 
3  8


12 + 2 27

e) ( 15 + 2 3 ) + 12 5
Bài tập 3: Thực hiện phép tính:
a) ( 6 + 2)( 3 − 2)
2
b) ( 3 + 1) − 2 3 + 4
c) (1 + 2 − 3 )(1 + 2 + 3)
2
d) 3 ( 2 − 3 ) − ( 3 + 2 )
e) (1 + 2 3 − 2 )(1 + 2 3 + 2 )
2
2
g) (1 − 3 ) (1 + 2 3 )
Bài tập 4: Thực hiện phép tính sau:
2

1

a)

1

+

7+4 3 7−4 3


1
1
b)  5 − 2 − 5 + 2 + 1



1

(

)

2 +1

2



3 −1  3 −1
:
+ 2 
c) 1 −
 

2



d)
e)
f)

 

5−2

−

5+2 5

(

3− 2

3+ 2 3
3

)(

+

2

1

2+ 5



1

+

5

)


3
2 

3 + 2 : 
+

3
+
2
3
−
2



2+ 2
2 +1

−

(

3+2

)

Bài tập 5: Thực hiện các phép tính sau đây:
2− 3
3
3  1

−
+
2 + 1  2 − 6 2 + 6 
2
4
12
+
− 6
6 −2
6 −3
3
15  1
+
.
3 −2 3− 3  3 +5
2


4
+
 3 − 1
6+ 2
1
1
+ .... +
2+ 3
99 + 100

3 + 2 −1

a)
b)


c) 

2+ 6
15
+
6 +1
2
+
3 −1
3




d) 
 5− 2
1
+
e)
1+ 2

+

(

)

Bài tập 6: Tính giá trị của các biểu thức
B = 7−4 3 − 7+4 3
C = 4+ 7 − 4− 7
13


D = 2 + 3 + 14 − 5 3 + 2
Bài tập 7: Tính giá trị biểu thức
M = 4 − 10 − 2 5 − 4 + 10 − 2 5
Bài tập 8: Thực hiện phép tính
A = ( 5 + 21 ) ( 14 − 6 )

(

5 − 21

)

B = 8 − 2 15 − 8 + 2 15

( 1−

C=

)

2

2007 . 2008 + 2 2007

D = 2 + 3. 2 + 2 + 3 . 2 − 2 + 3
E=

(

3+ 2 2 − 3− 2 2

)(

3−2 2 + 3+ 2 2

)

Bài tập 9: Tính giá trị của biểu thức:
a) A = 5a 2 − 4a − 1 với a = 5 +

1

5
2
5
+
b) B = 15a 2 − 31a + 16 với a =
5
3

c) C = 2a 2 − 4a 2 + 4 với a = 2 −

1
2

Bài tập 10: Tính
B=

( x − 1)

3

x2 − x +1

khi x = 2 + 3

Bài tập 11:Cho biểu thức:

D = ( x + 1)( x + 2 )( x + 3)( x + 4 ) + 1

a) Chứng minh rằng D > 0 với mọi giá trị của x.

b) Tính D khi x =

7 −5
2

Bài tập 12: Cho biểu thức:
D=

a
2a + a
− 2
2
ab − 2b
a + a − 2ab − 2b

a) Rút gọn D.
b)Tính D khi a = 2000 và b = 4 + 2 3
5. Dạng V: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
a) Phương pháp
Sử dụng một số phương pháp cơ bản như: phương pháp biến đổi tương đương, bất
đẳng thức Côsi, Bunhiacốpxki…
b) Ví dụ
Ví dụ 15: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 3x − 5 + 7 − 3 x
Giải: ĐKXĐ:

5
7
≤x≤
3
3

A2 = (3x - 5)(7 – 3x) + 2 ( 3x − 5) ( 7 − 3 x )
A2 ≤ 2 + (3x – 5 + 7 - 3x) = 4 (dấu “=” xảy ra ⇔ 3x - 5 = 7 – 3x ⇔ x = 2)
Vậy max A2 = 4 suy ra max A = 2 ⇔ x = 2

14


Lưu ý: Biểu thức A được cho dưới dạng tổng của hai căn thức hai biểu thức lấy
căn có tổng không đổi (bằng 2). Vì vậy, nếu ta bình phương biểu thức A ta sẽ xuất
hiện hạng tử là hai căn thức. Đến đây ta có thể vận dụng bất đẳng thức Côsi:
2 ab ≤ a + b (với a, b không âm)
Ví dụ 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
A = ( 2014 − x ) + ( 2013 − x )
Giải:
2
2
2
A = ( 2014 − x ) + ( 2013 − x ) ≥ ( 2014 − x + x − 2013) = 1
Vậy min A = 1 ⇔ (2014 – x )(2013 –x ) ≥ 0 ⇔ 2013 ≤ x ≤ 2014
2
Lưu ý: Chúng ta sử dụng bất đẳng thức a 2 + b 2 ≥ ( a + b ) ⇔ a + b ≥ a + b
Ví dụ 17: Biết x2 + y2 = 52. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :
A = 3x + 2y
Giải :
Nhận xét rằng : A = 3x + 2 y ≤ ( 32 + 22 ) ( x 2 + y 2 ) = 13.52 =26
x y
= = t ⇔ x = 3t và y = 2t

3 2
Do đó : 52 = x2 + y2 = (3t)2 + (2t)2 = 13t2 ⇔ t2 = 4 ⇔ t = ±2 suy ra x = 6 và y = 4
⇔ −26 ≤ A ≤ 26 Dấu “=” xảy ra khi:

hoặc x = - 6 và y = - 4
Vậy : max A = 26 khi và chỉ khi x = 6 và y = 4
Min A = - 26 khi và chỉ khi x = - 6 và y = - 4
Lưu ý: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ac + bd ≤

(a

2

+ b2 ) ( c2 + d 2 )

c) Bài tập
Bài 13 : Tìm x để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất ,tìm GTNN đó
a) A = x − 4 − 2
b) B = x − 4 x + 10
c) C = x − x
d) D = x 2 − 2 x + 4 + 1
Bài 14 : Tìm x để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất ,tìm GTLN đó
a) M = 3 − x − 1

b) N = 6 x − x − 1

c) P =

1
x − x +1

Bài 15: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = x − 5 + 23 − x
Bài 16: Cho x + y =15, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức
C = x −4 + y −3
6. Dạng VI: Giải phương trình ( phương trình vô tỉ )
Học sinh đã làm quen với việc giải phương trình chứa căn bậc hai và thấy rằng
các phương pháp thường được sử dụng, bao gồm:
- Phương pháp biến đổi tương đương (Trong đó có các sử dụng các phép biến
đổi trên căn thức như đưa thừa số vào trong, ra ngoài dấu căn…)
- Phương pháp đặt ẩn phụ.
- Chuyển về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối quen thuộc ở lớp 8.
- Áp dụng bất đẳng thức để giải phương trình (Nâng cao)
Kiến thức về phần giải phương trình rất rộng, nếu là kiến thức nâng cao cũng khá
phức tạp. Ở đây để giúp các em khắc sâu kiến thức cơ bản, ở phần này sẽ trình bày
một vài ví dụ ở mức đơn giản, cụ thể các phương pháp trên.
15


a) Phương pháp
* Phương pháp biến đổi tương đương
Ta sử dụng các phép biến đổi cơ bản sau
f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) với điều kiện f(x) ≥ 0 và g(x) ≥ 0
 g ( x)≥0
f ( x) = g ( x) ⇔ 
 f ( x )= g 2 ( x )
Ví dụ18: Giải phương trình: 3 + 2 x − 3 = x

ĐKXĐ: 2x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥

(1)

3
2

(2)

(1) ⇔ 2 x − 3 = x − 3
(3)
Ta phải có x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3
(4)
2
⇔
Với điều kiện (4) thì (3) 2x – 3 = (x - 3)
⇔ x2 – 8x + 12 = 0
⇔ (x - 2)(x - 6) = 0 ⇔

(5)

x1 = 2; x2 = 6

Giá trị x1 = 2 không thỏa mãn (4), loại. x2 = 6 thỏa mãn (2) và (4), là nghiệm của
phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 6.
Lưu ý:
- Nếu không đặt điều kiện x − 3 ≥ 0 ở (3), ta sẽ sai lầm khi nhận x = 2 là nghiệm của
(1). Chú ý rằng từ (3) suy ra được (5) nhưng từ (5) chỉ suy ra được (3) với điều
kiện x − 3 ≥ 0 .
- Có thể bình phương hai vế của (1) với điều kiện x ≥ 0 (điều kiện này đã có ở 2x –
3 ≥ 0), nhưng lời giải không ngắn gọn bằng cách tách riêng căn thức ở mỗi vế.
* Phương pháp đặt ẩn phụ (Nâng cao)

- Phương pháp đặt ẩn phụ là việc sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu
thành phương trình đa thức với một, hoặc hai…. ẩn phụ.
- Nếu bài toán chứa f ( x ) ta đặt t = f ( x ) , điều kiện t ≥ 0 , khi đó f(x) = t2
- Ngoài ra tùy thuộc vào đề bài toán mà ta biến đổi rồi đặt ẩn phụ, chú ý điều kiện
cho biểu thức có nghĩa. Sau khi tìm được giá trị của biến phải đối chiếu với điều
kiện để kết luận nghiệm.
* Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
- Phương pháp là: Khi gặp phương trình mà biểu thức trong căn có thể viết được
dưới dạng bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức :
A 2 = A để làm mất dấu căn đưa về phương trình đơn giản.
*Phương pháp dùng bất đẳng thức
Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt.
4x − 1
=2
x
4x − 1
1
a b
Giải: ĐK: x >
;Sử dụng bất đẳng thức: + ≥ 2
4
b a
x
4x − 1
+
≥2
khi và chỉ khi a=b Ta có:
x
4x − 1

Ví dụ 19: Giải phương trình:

x

+

Do đó (*) ⇔ x = 4 x − 1
Giải ra: x = 2 ± 3 thoả mãn điều kiện
16

(`*)
với a, b > 0, dấu “=” xảy ra


Vậy (*) có hai nghiệm
x = 2± 3
Ví dụ 20: Giải phương trình:
(**)
Nhận xét:+Ở phương trình này ta không nên bình phương hai vế
+ Xét các biểu thức trong căn và ngoài căn.
2
3x +6x+7 = 3(x+1)2 +4; 5x2+10x + 14 = 5(x+1)2 + 9; 4-2x-x2=-(x+1)2+5
từ đó có lời giải:
Giải: VT: 3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 ≥ 4 + 9 = 5
VP: 4 − 2 x − x 2 = 5 − ( x + 1) 2 ≤ 5
Vậy 2 vế đều bằng 5, khi đó x + 1 = 0 ⇒ x = −1
Kết luận pt (**) có một nghiệm x=-1
* Phương pháp đưa về dạng : A2(x) + B2(x) = 0 hoặc A(x).B(x)=0
Ở phương pháp này ta sử dụng A2(x) + B2(x) = 0 ⇔ A(x) = B(x) = 0 ;
Hoặc A(x).B(x)=0 khi A(x)=0 hoặc B(x)=0

Ví dụ 21: Giải phương trình: x 2 + 4 x + 5 = 2 2 x + 3
Nhận xét: + Sử dụng các phương pháp trên đều khó giải
+ Biến đổi đưa về dạng A2 + B2 = 0
Giải:
3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 − 2 x − x 2

3
2
2
x + 4x + 5 − 2 2x + 3 = 0

Điều kiện: x ≥ −

⇔ ( x 2 + 2 x + 1) + (2 x + 3 − 2 2 x + 3 + 1) = 0
⇔ ( x + 1) 2 + ( 2 x + 3 − 1) 2 = 0
 x + 1 = 0

 2 x + 3 − 1 = 0

Giải ra x= -1
b) Ví dụ
Ví dụ 22: Giải phương trình:
a) 5 2 x + 1 = 21
c) 4x + 2 x − 1 = 5
Giải:
a) ĐK: x ≥ 0
5 2 x + 1 = 21 ⇔ 5 2 x = 21 − 1 ⇔ 2 x =

b) 4 x + 20 − 3 5 + x + 7 9 x + 45 = 20

2
20
16
= 4 ⇔ 2 x = 4 2 ⇔ 2 x = 16 ⇔ x =
= 8 (t/m)
5
2

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 8
b) ĐK: x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ -5
4 x + 20 − 3 5 + x + 7 9 x + 45 = 20 ⇔ 4( x + 5) − 3 5 + x + 7 9( x + 5) = 20
⇔ 2 x + 5 − 3 5 + x + 7.3 x + 5 = 20 ⇔ (2 − 3 + 21) x + 5 = 20
⇔ 20 x + 5 = 20 ⇔ x + 5 = 1 ⇔ x + 5 = 1 ⇔ x = 1 - 5 = -4 ( t/m )

Vậy phương trình có một nghiệm x = -4
c) ĐK: 2x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1/2
Đặt t = 2 x − 1 , t ≥ 0
Khi đó, phương trình được viết lại: 2(2x-1) + 2 x − 1 - 3 = 0 ⇔ 2t2 + t – 3 = 0
⇔ (t - 1)(2t + 3) = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = - 3/2 (loại)
17


⇔ t = 1⇔

2x −1 = 1 ⇔

2x – 1 = 1 ⇔ x = 1
Vậy phương trình có nghiệm x = 1
Ví dụ 23 : Giải phương trình
a) 3 − 2 x = 4

b) 9 − 12 x + 4 x 2 = 4
c) x 2 − 10 x + 25 = x + 3
Giải:
a) ĐK: 3 – 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3/2
Khi đó bình phương hai vế ta được 3 – 2x = 16 ⇔ x = - 13/2 (t/m)
Vậy phương trình có nghiệm x = -13/2
b)
Cách 1:
2
Ta có: ( 3 − 2 x ) = 4 nên (3 – 2x)2 = 16 hay (7 – 2x)(- 1 – 2x) = 0 suy ra x = 3,5 ;
x = -0,5
2
Cách 2 : Từ ( 3 − 2 x ) = 4 suy ra: 3 − 2 x = 4
Hay 3 – 2x = ± 4 từ đó suy ra x = 3,5 ; x = -0,5
2
c) ( x − 5 ) = x + 3 hay x − 5 = x + 3
Nếu x ≥ 5 thì x – 5 = x + 3 phương trình vô nghiệm
Nếu x < 5 thì x – 5 = x + 3 , suy ra x = 1.
Lưu ý: Cần chú ý cho HS cách giải phương trình ở phần a) khác phần b) vì phần a)
trước khi giải phương trình HS phải tìm ĐK, còn phần b) thì không phải tìm,
nhưng khi giải phương trình ở phần b) theo cách 2 sẽ xảy ra hai trường hợp.
c) Bài tập
Bài tập 1: Giải phương trình
a) 3 2 x − 5 8 x + 7 18 x = 28
b) 4 x + 1 − 3x + 4 = x − 2
c) x + 2 − 4 x − 2 + x + 7 − 6 x − 2 = 1
d) x 2 − 2 x + 1 = 3 − 2 2
Bài tập 2: Giải phương trình (đặt ẩn phụ)
a) 2 x − x 2 + 6 x 2 − 12 x + 7 = 0
b) 2 x 2 +6x+12+ x 2 + 3x + 2 =9

c) x 2 + x + 2006 = 2006
7. Dạng VII: Rút gọn biểu thức
a) Phương pháp
- Ở chương I- Đại số lớp 9 gồm 18 tiết, trong đó rút gọn biểu thức chỉ có 1
tiết lý thuyết và 1 tiết luyện tập, hệ thống bài tập đơn giản nhưng bao hàm các kiến
thức trong chương và các kiến thức đã học. Việc giải các bài tập của các em học
sinh trên lớp cũng như ở nhà bước đầu còn gặp khó khăn về tìm ra đường lối giải,
hoặc mắc sai lầm khi sử dụng tổng hợp các phép biến đổi biểu thức chứa chữ, hoặc
đơn giản là chỉ nhầm dấu cũng đã làm sai kết quả bài rút gọn. Vì vậy cần hướng
dẫn cho học sinh thực hiện thứ tự các phép tính tương tự như biểu thức số, tăng
cường rèn kĩ năng cho học sinh ở dạng toán này, và công việc đầu tiên của bài toán
là tìm ĐKXĐ.
18


b) Ví dụ
Ví dụ 24: Các bài tập trắc nghiệm
a) Với x< 0 biểu thức ( x − 1)

9

( x − 1)

2

bằng :

A. 9
B. -9
C. 3

D. -3
b) Với x > -1 câu nào sau đây sai ?
A.
x4 ( x + 2 ) = x2 x + 2
9( x + 2) = 3 x + 2
B.
C.

D.

x 2 ( x + 2) = x x + 2

( x + 1)

2

= x +1

c) Đẳng thức x(1 − x) = x 1 − x đúng với :
A. ∀ x
B. x> 0
C. x< 0
D. 0 ≤ x ≤ 1
2
2
d) Kết quả của biểu thức : M = ( 7 − 5) + ( 2 − 7 ) là :
A. 3
B. 7
C. 2 7
D. 10

Ví dụ 25: Cho biểu thức: P =

x+2
x +1
1
+
−
x x −1 x + x + 1
x −1

a) Tìm x để P có nghĩa
b) Rút gọn P
Giải:
a) Để P có nghĩa thì điều kiện là:
x ≥ 0

x ≥ 0
⇔ 
x x −1 ≠ 0
x ≠ 1

 x −1 ≠ 0
Vậy x ≥ 0; x ≠ 1 thì P có nghĩa

b) Rút gọn P:

P=

x+2
x +1

1
+
−
x x −1 x + x + 1
x −1

…….. P =

x
x + x +1

Lưu ý: Với bài toán này học sinh phải phân tích các mẫu thành nhân tử, sau đó tìm
mẫu thức chung, quy đồng mẫu và tiếp tục thực hiện các phép tính tiếp theo.
Ví dụ 26: Rút gọn biểu thức:


b
a 
−
÷ a b −b a
ab − b ÷
 a − ab


(

A = 

)

Giải:
ĐKXĐ: a > 0, b > 0, a ≠ b


b
a 
−
÷ a b −b a
ab − b ÷
 a − ab


A= 

(

)

=



b
a
−

÷ a b( a − b)
b( a − b) ÷
 a( a − b)


 b. b − a . a 
÷
= 
÷ a. b ( a − b )
 a. b ( a − b ) 
= b. b − a . a = b - a

19

=


Lưu ý: Với bài toán rút gọn biểu thức mặc dù bài toán không nhắc gì đến
ĐKXĐ,nhưng học sinh vẫn phải tìm nếu không sẽ xảy ra sai lầm.
Ví dụ 27: Chứng minh rằng

(x

y+y x

)(

x− y

xy

Xét vế trái (VT)

(x

VT =

y+y x

) = x− y

)(

x− y

xy

với x > 0 và y >0

)=

xy

(

x+ y

)(

x− y

xy

)=(

x+ y

)(

x− y

)

= x – y = VP
(đpcm)
Lưu ý: Thực tế bài toán chứng minh là bài toán rút gọn đã cho biết đáp số, vì vậy
phải chọn vế trái hoặc vế phải có thể biến đổi để rút gọn bằng vế còn lại.
Ví dụ 28: Rút gọn biểu thức :
B=

x2 − 3
x+ 3

* Lời giải sai :

x2 − 3
x+ 3

=

( x − 3 )( x + 3 )
x+ 3

= x - 3.

* Phân tích sai lầm : Rõ ràng nếu x = x −3

3 thì x +

3 = 0, khi đó biểu thức

2

x+ 3

sẽ không tồn tại. Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai,

nhưng sai trong lúc giải vì không có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể
không tồn tại thì làm sao có thể có kết quả được.
* Lời giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì cần
phải có x + 3 ≠ 0 hay x ≠ - 3 . Khi đó ta có
x2 − 3
x+ 3

=

( x − 3 )( x + 3 )
x+ 3

= x - 3 (với x ≠ - 3 ).

c) Bài tập
Bài tập 1: Rút gọn biểu thức:
A=

a + b − 2 ab
a−b
−
a− b
a+ b

B=

a +1
1
: 2
a a +a+ a a − a


x
x  x−4
+
÷.
x +2÷
 x −2
 4x

Bài tập 2: Cho biểu thức M = 

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức M.
c) Tìm x để M > 3.
Bài tập 3: Cho biểu thức P =

x x −1

x− x

−

x x +1
x+ x

a) Rút gọn P.
b) Tìm x để P =

20

+

x +1
x


 x x +1 x −1  
x 
: x +
 ; với x ≥ 0, x ≠ 1
−
Bài tập 4: Cho biểu thức P = 
 

x
−
1
x

−
1
x
−
1

 

a) Rút gọn P.
b) Tìm x để P = 3

Bài tập 5: Cho A =

4x 2 − 4x + 1
. Chứng minh : A = 0,5 với x ≠ 0,5
4x − 2

8. Dạng VI: Bài toán tổng hợp
Bài toán về rút gọn biểu thức có chứa dấu căn trong chương I lớp 9 rất
phong phú đa dạng và phức tạp, nó đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức một cách
linh hoạt, sáng tạo, độc đáo; yêu cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp
học sinh phát triển tư duy. Chính vì vậy dạng toán này thường xuyên có mặt trong
các kì thi học sinh giỏi lớp 9, cũng như trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10
THPT và nó cũng là cơ sở để giải các bài toán tiếp theo như dạng giải phương
trình, giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức,...
Với những bài toán về rút gọn biểu thức có chứa dấu căn học sinh THCS
thường ngại và không thích lắm vì các em thấy khó và hay nhầm lẫn, có khi kết
quả của bài toán là đúng nhưng các em không hiểu sai lầm trong bước giải của
mình là ở đâu? các em thường gặp khó khăn trong việc đi tìm lời giải của các phần
tiếp sau của bài toán này.

Trong khi đó nội dung và thời lượng giảng dạy về phần rút gọn biểu thức
chứa dấu căn lại không nhiều, nhưng lượng bài tập trong sách giáo khoa và sách
bài tập phong phú và đa dạng. Vì vậy muốn học sinh giải được dạng toán này,
nhóm toán của chúng tôi trong quá trình giảng dạy đã phân chia các bài toán rút
gọn kiến thức chứa căn thành hệ thống các dạng bài tập cho học sinh đại trà, học
sinh thi vào THPT, HS thi HSG để học sinh nhận diện ra phương pháp giải và rèn
kĩ năng vận dụng kiến thức vào giải dạng bài tập đó.
Chọn ra một hệ thống một số dạng bài tập cơ bản về rút gọn biểu thức có chứa căn
nhằm giúp cho giáo viên có một tài liệu để giảng dạy cho học sinh lớp 9 và đặc
biệt là phục vụ cho việc dạy ôn thi vào lớp 10 THPT và thi HSG lớp 9. Giúp cho
học sinh nhận diện ra phương pháp giải và rèn kĩ năng vận dụng kiến thức vào giải
dạng bài tập đó. Từ đó giúp các em tự tin hơn trong khi giải toán cũng như trong
thi cử.
a) Phương pháp
* Các bước cơ bản:
Bước 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa (ĐKXĐ)
Bước 2: Phân tích tử, mẫu của phân thức thành nhân tử
Bước 3: Rút gọn tử, mẫu của từng phân thức (có thể)
Bước 4: Quy đồng mẫu thức của các phân thức
Bước 5: Thực hiện các phép tính
Bước 6: Rút gọn
Bước 7: Giải các phần liên quan đến bài toán khi rút gọn
Lưu ý:
Các bước trên có thể phụ thuộc vài từng bài toán để chúng ta thực hiện, từ
bước 2 đến bước 5 mỗi bước có thể được lặp đi lặp lại nhiều lần hoặc không phải
thực hiện; bước 1 thường chúng ta để trống để sau khi thực hiện xong bước 2 thì
làm bước 1 dễ hơn, đầy đủ và chính xác hơn; điều kiện của bài toán là điều kiện
xuyên suốt cho toàn bài gồm nhiều phần khác nhau.
21

Chú ý đến thứ tự thực hiện phép tính, đôi khi bài toán không nhất thiết quy
đồng tất cả các mẫu của phân thức
b) Ví dụ
 x −2
x + 2  x2 − 2 x + 1
−
÷
Ví dụ 29: Cho biểu thức: M = 
÷
2
 x −1 x + 2 x +1 

1) Tìm x để M tồn tại.
2) Rút gọn M.
3) CMR nếu 0 < x < 1 thì M > 0.
4
25

4) Tính giá trị của biểu thức M khi x =

5) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M bằng -1.
6) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M âm; M dương.
7) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M lớn hơn -2 .
8) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị nguyên.
9) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M lớn nhất.
10) Tìm x để M nhỏ hơn -2x , lớn hơn 2 x .
Giải:
x ≥ 0
x ≥ 0

⇔
x −1 ≠ 0 x ≠ 1

1)

M tồn tại ⇔ 

2)


M = 



(

x −2


x +2 ÷
2 ÷
x +1 ÷


−

) ( x + 1) (
)
( x − 2) ( x + 1) − ( x + 2 ) (
M=

( x − 1) ( x + 1)
−2 x ( x − 1)
M=
x −1

2

2

M = x−x

3)

M = x−x =

(

)(

x −1

2

)

x +1

2

2

) .(

x −1

)(

x −1

2

)

x +1

2

2

(với x ≥ 0; x ≠ 1 )

(

x 1− x

)

Vì 0 < x < 1 nên 0 ≤ x < 1 ⇔ 1 − x > 0 và x > 0 , do đó M = x ( 1 − x ) > 0

4

2
⇒ x = thay vào biểu thức M ta được:
25
5
2 4
6
M= −
=
5 25 25
M = −1 ⇔ x − x = −1 ⇔ x − x − 1 = 0 (*)
Đặt x = y ĐK y ≥ 0 thì (*) trở thành y 2 − y − 1 = 0 (**)

4) Ta có : x =

5)

Giải (**) được y =

1± 5
1+ 5
kết hợp ĐK ta chọn y =
2
2
2

1+ 5  3 + 5
Suy ra x = y = 
÷
÷ = 2
 2 

2

6)

22


(

)

* M < 0 ⇔ x − x < 0 ⇔ x 1− x < 0
 x > 0
 x > 0
⇔
⇔
1 < x
1 − x < 0

(

⇔ x >1

)

* M > 0 ⇔ x − x > 0 ⇔ x 1− x > 0
 x > 0
 x > 0
⇔
⇔

⇔ 0 < x <1
1 > x
1 − x > 0

7)

M > −2 ⇔ x − x > − 2 ⇔ x − x + 2 > 0 ⇔

(

)(

)

x + 1 2 − x > 0 (*)

Do x + 1 > 0 ∀x ≥ 0 nên (*) ⇔ 2 − x > 0 ⇔ 2 > x ⇔ 4 > x
Vậy với 0 ≤ x < 4 và x ≠ 1 thì M >-2
8)

M = x − x ∈ Z ⇔ x ∈ Z ⇔ x = k 2 (k ∈ Z , k ≠ 1)
2

1 
1 1 
1 1
9) M = x − x = −  x − x + ÷ = −  x − ÷ ≤
4 
4 4 
4 4

1
1
1
Dấu “=” xảy ra khi x − = 0 ⇔ x = ⇔ x = . Vậy
4
4
2
* M < −2 x ⇔ x − x < −2 x ⇔ x + x < 0
10)

Max M =

Do x ≥ 0 ⇒ x ≥ 0 ⇒ x + x ≥ 0
Vậy không có giá trị của x để M < −2 x
* M > 2 x ⇔ x − x > 2 x ⇔ x + x < 0 ….

Vậy không có giá trị của x để M > 2 x
c) Bài tập
Bài tập 1: Cho biểu thức:
1   1
1 
1
 1
D=
+
−
:
+
1 − x 1 + x  1 − x 1 + x  x + 1

a) Rút gọn D.
b) Tính giá trị của D khi

x2 − x = 0
3
c) Tìm giá trị của x khi D =
2
x
+
1 x −1  1
x
2 

E =
−
−
+ 2
:

Bài tập 2: Cho
 x −1 x +1  x +1 1− x x − 2 

a) Rút gọn E.
b) Tính E khi x 2 − 9 = 0
c) Tìm giá trị của x để E = -3.
d) Tìm x để E < 0
e) Tính x khi E − x − 3 = 0
Bài tập 3: Cho
5 x − 2  x 2 − 100
 5x + 2

M = 2
+ 2
 2
 x − 10 x x + 10 x  x + 4

a.Tìm x để M có nghĩa.
b.Rút gọn M
c.Tính M khi x=2004
Bài tập 4:
23

1
1
⇔x=
4
2


Cho N =

1
1  x 2 − 2x + 1
 x
−
−

:
x 2 − 2x + 1  x 2 − 1 x3 − x 
x + x3

a) Tìm TXĐ của N.
b) Rút gọn N.
c) Tính giá trị của N khi x =2; x=-1.
d) Tìm x để N= -1.
e) Chứng minh rằng :N < 0 với mọi x thuộc ĐKXĐ.
f) Tìm x để N > -1.
Bài tập 5: Cho
 a
1  a − a a + a 


A = 
−
 a + 1 − a − 1 
2
2
a




a) Rút gọn A.
b) Tìm a để A= 4 ; A> -6.
c) Tính A khi a 2 − 3 = 0
Bài tập 6: Cho biểu thức:
 a +1

a −1
1 
A = 

−
+ 4 a  a −

a
−
1
a
+
1
a





a.Rút gọn A.
6

bTính A khi a =

2+ 6
A > A.

c.Tìm a để
Bài tập 7: Cho biểu thức:


a
1   1
2 

 : 
K = 
−
+


 a −1 a − a   a −1 a −1

a) Rút gọn biểu thức K.
b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2 2
c) Tìm giá trị của a sao cho K < 0
Bài tập 8:
Cho biểu thức:
D=

a2 + a
a − a +1

−

2a + a
a

+1

a) Rút gọn D.
b) Tìm a để D = 2.
c) Cho a > 1 hãy so sánh D và D
d) Tìm D min.
Bài tập 9:

Cho biểu thức:

H=

a +2
a +3

−

5
a+ a −6

a) Rút gọn H.
b) Tìm a để H < 2.
c) Tính H khi a 2 + 3a = 0
d) Tìm a để H = 5.
Bài tập 10: Cho biểu thức

24

+

1
2− a


2 x −9

K=

−

x−5 x +6

x +3
x −2

−

2 x +1
3− x

a) Rút gọn K.
b) Tìm x để K nguyên.
c) Tìm x để K<1.
Bài tập 11: Cho biểu thức:
5 x
C = 
−
x−4

x
x −2

(


 2− x
x + 2 
x

+

)

a) Rút gọn C.
b) Tính C khi x = 7 + 4 3
c) Tìm x nguyên để C nguyên.
Bài tập 12: Cho biểu thức:


a  1
2 a
V = 1 +
−
÷
÷
÷
÷
 a +1   a −1 a a + a − a −1 

a) Rút gọn V.
b) Tìm a để V<1.
c) Tính V khi a = 19 − 8 3
9. Dạng IV: Căn bậc ba
a) Phương pháp
- Vận dụng các tính chất của căn bậc ba để tính toán, biến đổi biểu thức chứa căn
bậc ba và so sánh.
- ( 3 a )3 = a
- Mỗi số thực đều có một căn bậc ba

Số dương có căn bậc ba là số dương
- Số âm có căn bậc ba là số âm
- Số 0 có căn bậc ba là số 0.
- Nếu a < b thì : 3 a < 3 b
- Với a, b bất kì thì: 3 a . 3 b = 3 ab
- Với a, b bất kì thì:

3

a 3a
=
b 3b

b) Ví dụ
Ví dụ 30: Thực hiện các phép tính
a) A = 3 −64 + 3 27 − 3 8
b) B = 3 125 − 3 54 − 3 128
c) C =

3

(

)(

3 −1 4 − 2 3

)

Giải:

a) Ta có: A = 3 −64 + 3 27 − 3 8 = - 4 + 3 – 2 = -3
b) B = 3 125 − 3 54 − 3 128 = 5 − 3 27.2 − 3 64.2 = 5 − 7 3 2
c) C =

3

(

)(

)

3 −1 4 − 2 3 =

3

(

)(

3 −1

)

3 −1

Ví dụ 31: Thực hiện phép tính
A = 3 2+ 5 + 3 2− 5
Cách 1:
25

2

=

3

(

)

3

3 −1 = 3 −1