CƠ SỞ MAHLER TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
____________________

NGUYỄN THỊ VÂN KHÁNH

CƠ SỞ MAHLER TRONG KHÔNG GIAN
CÁC HÀM LIÊN TỤC
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện sau quá trình tích lũy kiến thức ở lớp Cao học
khóa 15
Lời đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc và lời tri ân đến Thầy hướng dẫn của
tôi, PGS.TS. Mỵ Vinh Quang, thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi rất nhiều
để luận văn được hoàn thành.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với các Thầy Cô ở Khoa Toán - Tin
Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và các Thầy Cô đã tham gia
giảng dạy, quản lý lớp học, đã truyền đạt cho tôi nhiều kiến thức và kinh nghiệm
nghiên cứu khoa học.
Ngoài ra tôi cũng chân thành cảm ơn các Anh Chị trong Khoa Sư phạm Khoa
học Tự Nhiên Trường Đại Học Sài Gòn đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi và động

viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Cảm ơn các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình học tập và thực hiện luận văn.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2008
Nguyễn Thị Vân Khánh


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Không gian các hàm liên tục C( Zp Cp ) là không gian Banach với chuẩn được
xác định bởi





f  Max f  x  , x  Z P ; f  C  Z P  CP  . Có một kết quả rất đẹp
 x

của Mahler nói rằng: “Tập các đa thức dạng   ; n  0,1, 2,... là cơ sở trực chuẩn
n
của C( Zp Cp )”. Quả thực, mặc dù còn hạn chế về chuyên môn nhưng khi nghiên
cứu kết quả trên tôi cảm thấy rất hấp dẫn. Thực hiện đề tài này giúp tôi tập làm quen
với các phương pháp nghiên cứu Toán học và trên hết là có thể phát triển tư duy của
bản thân.
2. Mục đích nghiên cứu:
Mục tiêu chính của luận văn là giới thiệu kết quả trên của Mahler, đồng thời
chúng tôi tìm tòi ứng dụng hệ số Mahler trong một số trường hợp cụ thể, ngoài ra
chúng tôi mỡ rộng kết quả của Mahler cho không gian các hàm liên tục hai biến
C(ZpxZp Cp).

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu chính của luận văn là các hàm cơ bản trên không gian C(
Zp Cp ). Tuy nhiên chúng tôi không tập trung vào việc xây dựng các hàm liên tục
cơ bản trên Cp, phạm vi nghiên cứu chính của chúng tôi là tìm tòi cách biểu diễn
các hàm đó qua cơ sở Mahler.
4. Cấu trúc luận văn:
Luận văn bao gồm 3 chương
Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản để có thể nghiên
cứu được những chương sau.
Chương 2: CƠ SỞ MAHLER TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC
C(ZPCP)


Trong chương này, chúng tôi chứng minh định lý Kaplansky, là một định lý khá
quan trọng để có thể xây dựng cơ sở Mahler. Đặc biệt chúng tôi nghiên cứu về cơ
sở trực giao, trực chuẩn và các tính chất của nó, để từ đó có thể hiểu rõ hơn việc xây
dựng cơ sở trực chuẩn Mahler trong không gian các hàm liên tục C(Zp Cp), cũng
như nghiên cứu các tính chất và kết quả liên quan đến cơ sở Mahler, hệ số Mahler.
Chương 3: HỆ SỐ MAHLER CỦA MỘT SỐ HÀM CƠ BẢN
Chương 3 chúng tôi trình bày cách biểu diễn hệ số Mahler qua một vài hàm cơ
bản như hàm số mũ, hàm exp, hàm sin, hàm cos, hàm p-adic Gamma, tổng vô hạn
của hàm liên tục, hàm lũy thừa. Ngoài ra ở cuối chương chúng tôi có mở rộng cơ sở
và công thức tính hệ số Mahler trong không gian các hàm liên tục hai biến
C(ZpxZp Cp)
Người thực hiện
Nguyễn Thị Vân Khánh


Chương 1:

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản để người đọc có thể dễ
dàng nắm bắt được các chương sau, tuy nhiên chúng tôi chỉ chứng minh một số kết
quả được sử thường xuyên trong những chương sau, các kết quả chưa được chứng
minh độc giả có thể dễ dàng tìm thấy trong mục 2. và 5. của phần tài liệu tham
khảo.
1.1. Chuẩn trên trường:
1.1.1. Định nghĩa:
Cho K là trường, ta nói chuẩn trên K là một ánh xạ

: K  R  thỏa các điều

kiện sau
i) x  K , x  0 và x  0  x  0
ii) x , y  K , x.y  x y
iii) x, y  K , x  y  x  y
Ví dụ:
Trường các số hữu tỉ Q với giá trị tuyệt đối thông thường là một chuẩn trên Q.
1.1.2. Định nghĩa:
Cho là chuẩn trên trường K, nếu thoả điều kiện mạnh hơn iii) là
iii)’ x, y  K , x  y  Max  x , y  thì ta nói

là chuẩn phi-Archimedean.

Ví dụ:
Trên trường các số hữu tỉ Q ta có một số chuẩn phi-Archimedean sau
1
0

1. Chuẩn tầm thường: x  

neáu x  0
neáu x  0

0
neáu x  0

ord p  x 
2. Chuẩn p-adic: x p   1 
( p là số nguyên tố )
neá
u
x
0

 
 p 


Trong đó
Nếu x = 0 thì ord p  0   
Nếu x  Z \ 0 thì ord p  x  là số mũ của p trong sự phân tích x thành các thừa số
nguyên tố
Ví dụ:
x = 50 = 52.2 thì ord5  50   2
a
b

Nếu x  Q \ 0 , giả sử x  ; a, b  Z , b  0,  a, b   1 , thì

ord p  x   ord p  a   ord p  b 

Ví dụ:
x

9 32
9
 2 thì ord3    ord3  9   ord3  4   2  0  2
4 2
4

1.1.3. Định lý Oxtropxki:
Mọi chuẩn không tầm thường trên Q đều tương đương với chuẩn

p

(p là một

số nguyên tố nào đó) hoặc tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường
trên Q
1.1.4. Tính chất:
Cho là chuẩn trên trường K và 1 là phần tử đơn vị của K. Ta có các tính chất
sau
1. x  K ,  x  x
2.

1 1

3. x  K \ 0 , x 1 

1
x

Chứng minh:
1. Ta có x  K ,  x   x .  x    x   x 2  x
2

Vậy  x  x
2

2. Ta có 1  12  1 , mà 1  0

2

2


Vậy 1  1
3. Ta có x 1 . x  x 1 .x  1  1 , mà x  0 (vì x ≠ 0)
Vậy x 1 

1
x

ª
1.1.5. Nguyên lý tam giác cân:
Cho

là một chuẩn phi-Archimedean trên trường K.



Nếu x  y thì x  y  Max x , y



Chứng minh:





Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x  y  Max x , y  y
Theo tính phi-Archimedean ta có x  y  y (*)
Mặt khác y  x   x  y   Max  x  y , x 
Nếu Max  x  y , x   x thì y  x , trái giả thiết
Vậy Max  x  y , x   x  y  y  x  y (**)
Từ (*) và (**) ta có x  y  y  Max  x , y 
Hiển nhiên x  y  x    y   Max  x ,  y   Max  x , y 
ª
1.2. Các trường số p –adic:
1.2.1. Xây dựng trường Qp:
Từ định lí Oxtropxki, ta thấy một chuẩn không tầm thường trên Q tương đương
với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường, hoặc chuẩn phi-Archimedean

p

. Mặt

khác, ta biết rằng làm đầy đủ Q theo chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường ta sẽ được

trường số thực R. Vậy làm đầy đủ Q theo

p

ta sẽ được trường mới mà ta gọi là

trường số p-adic QP. Cụ thể cách xây dựng như sau


Gọi S là tập hợp các dãy Cauchy hữu tỉ theo
hệ tương đương như sau:  xn 

p

, trên S ta định nghĩa một quan

yn   lim
 x n  yn   0
n

Ta gọi QP là tập hợp các lớp tương đương theo quan hệ trên và trang bị cho QP
hai phép toán cộng và nhân như sau:

 x   y    x  y 
x .y    x .y 
n
n

n

n

n

n

n

n

Khi đó dễ dàng chứng minh (QP, +, . ) là một trường và được gọi là trường các
số p-adic.
Chuẩn trên QP được xác định như sau:   Qp     xn ;  p  lim xn
n

p

Nếu   0 thì xn p  0 , ngược lại   0 thì M  N :  p  xn p ; n  M
Trường số hữu tỉ Q được xem là trường con của QP nhờ ánh xạ nhúng a  a





Tập hợp Z P  x  QP : x p  1 là vành con của QP và được gọi là vành các số
nguyên p-adic.
Với mỗi x  Qp , giả sử x p  p m ; m  Z , ta hoàn toàn có thể chứng minh x được


biểu diễn duy nhất dưới dạng x    i pi ; 0   i  p . Biểu diễn trên được gọi là biểu

i  m

diễn p-adic của phần tử x  Qp . Khi đó nếu x  Z p thì x có biểu diễn p-adic là


x    i pi ; 0   i  p .
i0

1.2.2. Xây dựng trường CP:
Ta đã biết trường số thực R không đóng đại số, bao đóng đại số của R là trường
số phức C. Làm đầy đủ Q theo

p

ta được trường QP. Giống như R, QP đầy đủ

nhưng không đóng đại số. Ký hiệu QP là bao đóng đại số của QP, chuẩn

p

trên QP

có thể mỡ rộng thành chuẩn trên QP như sau
Với   QP thì  là phần tử đại số trên QP. Gọi Irr(,QP, x) là đa thức nhận 
làm

nghiệm.

Giả

sử Irr  ,QP , x   x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0 .

Ta

định


nghĩa 

p



n

a0

p

và dễ dàng chứng minh

chính là mở rộng của

p

p

là một chuẩn trên QP , chuẩn này

trên QP, nghĩa là x p  x p ; x  QP

Trường QP đóng đại số nhưng nó lại không đầy đủ theo
Nếu tiếp tục làm đầy đủ QP theo

p

p

vừa xây dựng.

thì ta sẽ được trường các số phức p-adic, ký

hiệu C p  QP  Q
Trường số phức C p có vai trò tương tự như trường số phức C trong giải tích
phức thông thường.
1.2.3. Tính chất của vành các số nguyên p-adic ZP:
Vành các số nguyên p-adic có các tính chất sau
1. Tập các số nguyên p-adic Zp là vành con của trường Qp
2. Zp là tập Compact
3. Zp đầy đủ
4. Tập các số tự nhiên N trù mật trong Zp
5. Tập các số nguyên Z trù mật trong Zp
1.2.4. Tính chất của trường QP va CP :
Trường Qp và Cp có các tính chất sau
1. Qp là tập Compact địa phương
2. Qp đầy đủ và tách được
3. Tập các số hữu tỉ Q trù mật trong Qp
4. Cp đóng đại số, đầy đủ và Compact địa phương.
1.3. Dãy và chuỗi trong CP:
1.3.1. Định nghĩa:

Dãy a0 ,a1 ,...  Cp được gọi là hội tụ đến a  CP nếu lim an - a p  0 , ký hiệu
n 

lim an = a . Dãy không hội tụ thì gọi là dãy phân kỳ.
n 

n



i0

n0

Tổng Sn =a0 + a1 +...+ an =  ai được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi  an






n0

n0

Nếu có lim Sn =S  CP thì ta nói chuỗi  an hội tụ và viết  an  S
n 
Trong trường số phức thông thường ta biết rằng mỗi dãy an  hội tụ sẽ thỏa mãn
tiêu chuẩn Cauchy là   0, N : m, n  N  am  an   , tuy nhiên với tính chất
phi-Archimedean và đầy đủ trong trường p-adic Cp thì tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi

và dãy khá đơn giản hơn, mệnh đề sau sẽ cho ta thấy điều đó
1.3.2. Mệnh đề:
Trong trường p-adic Cp ta có
1. Dãy an  hội tụ khi và chỉ khi   0, N : n  N  an1  an p  


2. Chuỗi  an hội tụ khi và chỉ khi lim an  0
n 

n0

Chứng minh:
1.
(  ) Hiển nhiên.
(  ) Giả sử an   CP thỏa   0, N : n  N  an1  an p   . Ta sẽ chứng minh

an  hội tụ. Thật vậy, ta có



p  N , an  p  an  an  p  an  p 1  an  p 1  ....  an 1  an  Max an  p  an  p 1 ,..., an 1  an
p

p

p

 an  p  an  
p

Vậy an  hội tụ
2.





n

Chuỗi  an hội tụ  dãy Sn   ai
n0

i 1



nN

hội tụ  lim  Sn 1  Sn   0  lim an  0
n 

n 

ª
1.3.3. Mệnh đề :




n

n0

n0

j 0

Trong Cp cho hai chuỗi  an và  bn , đặt cn   a j bn  j ; n  0,1,2,... . Ta có





 
Nếu  an và  bn hội tụ thì chuỗi  cn cũng hội tụ và   an 
  b n    cn
n0

n0

n0

 n0

 n  0



n0

p




Chứng minh:


Trước tiên ta chứng minh chuỗi  cn hội tụ
n0



Ta có  an hội tụ  1  0, N1 : n  N1  an p  1
n0



 bn hội tụ   2  0, N 2 : n  N 2  bn p   2

n0

Với mọi 0 > 0 cho trước
 an  
 p
Chọn  sao cho  < 0  N  0 : n  N  
 bn p  
2



Chọn ’ sao cho ’M < 0, trong đó M  Max an p , bn p , 0  n  N
 an   '
 p
 N '  0 : n  N '  
 bn p   '
n  Max  N , N ' ta có



n







cn p   a j bn  j  Max a j bn  j , 0  j  n  Max  2 ,  ' M   0
p
j 0

p



Vậy chuỗi  cn hội tụ
n0



Bây giờ ta chứng minh   an 
  b n    cn


 n0





n0

n0



 n  0





n0

Giả sử  an  S1 và  bn  S2 , ta có
Với mọi 0 > 0 cho trước





Chọn  sao cho M < 0 , trong đó M  Max ai p , i  0,1,...
n

 N  0 : n  N   bi  S2  
i0

Lại chọn ’ sao cho ’ S2

p

p

< 0




n

 N '  0 : n  N '   ai  S1   '
i0

p

n  Max  N , N ' ta có
n

n

n

i 0

i0

n

n

n





 ci  S1S2   ai  bi  S1S2   ai   bi  S2   S2   ai  S1 

i0

p

p

 i 0

i 0



 i 0

p

n
n
 n

 Max   ai   bi  S2  , S2   ai  S1    Max  M ,  ' S2    0
p
 i 0
 p 
 i  0  i  0



 
  cn  S1S2 hay   an 
  b n    cn

 n0

n0

 
 n0

 
 n 0

 n  0



n0




 
 n0

 
 n 0






n

Vậy   an   bn  là chuỗi hội tụ và   an   bn     a j bn j
n0 j 0

ª
1.3.4. Bổ đề:
Nếu j  N có biểu diễn p-adic là
s

j  a0  a1 p  ...  as p s ;0  ai  p  1, i  0,1,..., s và S j   ai thì ord p  j ! 
i 0

j  Sj
p 1

Chứng minh:
 j

Trong tập 1, 2,..., j , các số chia hết cho p gồm p.1, p.2, …, p.   , trong đó  x  chỉ
p
 

phần nguyên của x
 j

   j 
  j 
 số mũ của p trong j ! bằng số mũ của p trong (p.1) (p.2)...  p.     p  p  .   !
 p
  p

  j   j    j 
 j  
 ord p  j !  ord p  p  p  .   !     ord p    !

 p    p 
 p 


Tiếp tục như vậy ta được
 j 
 j 
 
  k 1  
p 
 j   p
 j  j 
 j 
 ...   
 ...      2   ...   k   ...
ord p  j !    
 p 
 p  p 
 p  p 
p 










Ta có j  a0  a1 p  ...  as p s ;0  ai  p  1, i  0,1,..., s


a

j
 a1  a2 p  ...  as p s 1  0
p
p

 j
a 
    a1  a2 p  ...  as p s 1   0 
 p
 p
 a1  a2 p  ...  as p s 1

 j 

Tương tự  k   ak  ...  as p s  k với k  s
p 
 j 

Nếu k  s thì  k   0
p 
 j  j 

 j 

  



Ta có ord p  j !      2   ...   k   ...
p

p
p






 



 a1  a2 p  ...  as p s 1  a2  ...  as p s  2  ...  as p  as





 a1  a2  p  1  ...  as p s 1  p s  2  ...  p  1
 ps 1 
 a1  a2  p  1  ...  as 

 p 1 












a1  p  1  a2 p 2  1  ...  as p s  1
p 1

 a1  a2  ...  as    a1 p  a2 p 2  ...  as p s 
p 1
j Sj
p 1

ª
1.3.5. Chuỗi hàm lũy thừa:


Cho a0,a1,… là một dãy trong Cp . Khi đó chuỗi  an x n được gọi là chuỗi hàm
n0

lũy thừa.


Miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa  an x n là tập hợp
n0




n

 x  C p :  a n x h o äi tu ï 
n0






Bán kính hội tụ  của chuỗi hàm lũy thừa  an x n được định nghĩa như sau
n0



  lim n an
n 

p



1

với quy ước 01  ,  1  0



và  an x n hội tụ khi x p   , phân kỳ khi x p  
n0

1.4. Không gian co:

1.4.1. Định nghĩa:
Trong trường số p-adic Cp, ta có các định nghĩa sau
1. C p   1 , 2 ,..., n ,... : n  C p , n  N 
2.

 1 , 2 ,..., n ,...  Sup  n p , n  N  là một chuẩn trên C p





3. co   1 , 2 ,..., n ,...  C p : lim n p  0
n 

4. coo   1 ,  2 ,...,  n ,...  co :  n  0,vôùi n ñuû lôùn
1.4.2. Định lý :
Trong trường số p-adic Cp, ta có các kết quả sau
1.

C


p

,

 là không gian Banach

2. co là không gian con mở của C p
3. coo trù mật trong co

Chương 2:

CƠ SỞ MAHLER TRONG KHÔNG GIAN CÁC
HÀM LIÊN TỤC C ( ZP  CP )
Trong chương này ta sẽ nghiên cứu trên không gian đầy đủ ( K , ) , trong đó K là
trường và

là chuẩn phi-Archimedean. Để xây dựng cơ sở Mahler trong không gian

các hàm liên tục, trước tiên ta cần tìm hiểu một số khái niệm sau
2.1. Tính chất Tôpô trên trường phi-Archimedean:
2.1.1. Định nghĩa:
Trong trường K, lấy a  K , r   0,   .Ta nói



 







B a, r   x  E : x  a  r là hình cầu mở tâm a bán kính r
B  a, r   x  E : x  a  r là hình cầu đóng tâm a bán kính r





B a, r  , B  a, r  được gọi chung là hình cầu trong K.

2.1.2. Định lý:
1. Mọi hình cầu trên trường K đều vừa mở vừa đóng.
2. Mọi hình cầu trên trường K đều có vô số tâm
3. Hai hình cầu bất kỳ trong K hoặc rời nhau hoặc lồng nhau
Chứng minh:
1. Lấy a  K và r  0





Chứng minh hình cầu mở B a, r  là tập đóng:
Trên K ta định nghĩa một quan hệ như sau: x, y  K , x
Ta có

là một quan hệ tương đương. Thật vậy

Hiển nhiên x

x và ( x

x , y, z  K , giả sử x

x ); x , y  K

yy

y và y

z





Ta có x  z  x  y  y  z  Max x  y , y  z  r

y xy r


x

z

Vậy

là một quan hệ tương đương

Hơn nữa mỗi lớp tương đương x  y  K : x





Lại có K   x  B a, r   K \

xK

mà

y  B( x , r  ) là tập mở

 x
 

xB a ,r 

 x là tập mở

xB  a ,r 





Vậy B a, r  là tập đóng
Chứng minh hình cầu đóng B  a, r  là tập mở:





Giả sử x0  B  a, r  , lấy y  B x0 , r  , ta có





y  a  Max y  x0 , x0  a  r





 y  B  a, r   B x0 , r   B  a, r 

Vậy B  a, r  là tập mở
2. Giả sử a  K , r  0 , B  a, r  là hình cầu đóng. Lấy b  B  a, r  ; b  a . Ta sẽ chứng
minh B  a, r   B  b, r  . Thật vậy





x  B  a, r  ta có x  b  x  a  a  b  Max x  a , a  b  r  x  B  b, r 
 B  a, r   B  b, r 





Ngược lại x  B  b, r  ta có x  a  Max x  b , a  b  r  x  B  a, r 
 B  b, r   B  a, r 

Vậy B  a, r   B  b, r 
Việc chứng minh cho hình cầu mở hoàn toàn tương tự

3. Không mất tính tổng quát ta hoàn toàn có thể giả sử B  a, r  và B  b, s  là hai hình
cầu đóng với a, b  K và r  s  0 . Nếu B  a, r  và B  b, s  không rời nhau, nghĩa
là B  a, r   B  b, s    , ta sẽ chứng minh B  a, r  và B  b, s  lồng nhau. Ta có


 c  a  r
B  a, r   B  b, s     c  B  a, r   B  b, s   
 c  b  s





x  B  b, s  , ta có x  a  Max x  b , b  c , c  a  Max s, r  r  x  B  a, r 
 B  b, s   B  a, r 

Việc chứng minh cho hình cầu mở hoàn toàn tương tự
Vậy hai hình cầu bất kỳ trong K hoặc rời nhau hoặc lồng nhau
ª
2.1.3. Định lý:
Trong trường K ta có các kết quả sau



 



1. Mặt cầu đơn vị B  0,1 \ B 0,1  x  K : x  1 là nhóm con nhân của
nhóm nhân K\{0}

  



2. B 1,1  x  K : x  1  1 là nhóm con của mặt cầu đơn vị
3. Với 0 < r < 1 cho trước, mọi hình cầu B 1, r    x  K : x  1  r và







B 1, r    x  K : x  1  r đều là nhóm con của nhóm B 1,1



Chứng minh:









1. Ta có 1  1  1  B  0,1 \ B 0,1  B  0,1 \ B 0,1  





x, y  B  0,1 \ B 0,1  x  y  1

Ta có x 1 y  x 1 y 

1
y  1  x 1 y  B  0,1 \ B 0,1
x





Vậy mặt cầu đơn vị là nhóm con nhân của K\{0}

 



2. Trước tiên ta chứng minh B 1,1  B  0,1 \ B 0,1

 







x  B 1,1 ta có x  x  1  1  Max x  1 ,1  1 ( vì x  1  1 )





Lại có 1  1  1  x  x  Max 1  x , x  x ( vì 0  B(1,1 )  B( x ,1 )  x  1  1  x )



 x  1  x  B  0,1 \ B 0,1




 



Vậy B 1,1  B  0,1 \ B 0,1


 

Ta sẽ tiếp tục chứng minh B 1,1 là nhóm con của mặt cầu đơn vị. Thật vậy

 

 

Hiển nhiên B 1,1   (vì 1  B 1,1 )
 1  x  1
 1  y  1

 

Lại có x, y  B 1,1  

 





và x  B 1,1  B  0,1 \ B 0,1  x  1
Ta có x 1 y  1  x 1 y  x 

1
Max y  1 , 1  x  1  x 1 y  B 1,1
x





 

 

Vậy B 1,1 là nhóm con của mặt cầu đơn vị

 

3. Với 0 < r < 1, dễ thấy B 1, r   B 1,1

 1  x  r
1
x , y  B 1, r   
. Ta có x 1 y  1  Max y  1 , 1  x  r
x
 1  y  r



 x 1 y  B 1, r  .







Vậy hình cầu B 1, r   x  K : x  1  r là nhóm con

Chứng minh tương tự cho hình cầu B 1, r  
ª
2.1.4. Định lý:

Cho   X  K , X –mở. Khi đó luôn tồn tại một phủ của X gồm các hình cầu rời
nhau.
Chứng minh:
Giả sử cho trước r1  r2  ...  rn  ...  0

B  a, r1 
neáu B  a, r1   X
a  X , đặt Ba  
neáu B  a, rn   X vaø B  a, rn 1   X
B  a, rn 
Rõ ràng Ba ; a  X là một phủ của X. Ta sẽ chứng minh phủ này gồm các hình cầu

rời nhau. Thật vậy


a, b  X , ta cần chứng minh hai hình cầu Ba , Bb hoặc rời nhau hoặc bằng nhau

Nếu Ba  Bb   , theo định lý 2.1.2 thì Ba , Bb phải lồng nhau. Giả sử Ba  Bb (*)
Mặt khác theo cách đặt Ba , rõ ràng Ba là hình cầu lớn nhất (chứa trong X) trong số
những hình cầu có cùng tâm a, bán kính r  r1 , r2 ,..., rn ,... . Theo định lý 2.1.2 ta có
thể khẳng định Bb là một trong những hình cầu tâm a, bán kính r  r1 , r2 ,..., rn ,...
 Bb  Ba , kết hợp với (*) ta có Ba  Bb

Vậy Ba ; a  X là một phủ của X gồm các hình cầu rời nhau.
ª
Nhận xét:
Nếu X  K là tập Compact thì mọi phủ của X đều có một phủ con hữu hạn gồm
nhiều hình cầu rời nhau.
2.2. Định lý Kaplansky:
2.2.1. Không gian các hàm liên tục:

2.2.1.1. Định nghĩa:
Cho X  K , ta nói ánh xạ f : X  K là hàm liên tục tại x0  X nếu
  0,   0 : x  X , x  x0    f  x   f  x0   

f được gọi là hàm liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc X
2.2.1.2. Mệnh đề:
Cho X  K . Ký hiệu C(XK) chỉ tập các hàm liên tục từ X vào K . Trên
C(XK) ta định nghĩa 2 phép toán “cộng” và “nhân” như sau

 f  g  x   f  x   g  x  ; f , g  C  X  K  , x  X
  f  x    f  x  ; f , g  C  X  K  ,   K , x  X
Dễ dàng chứng minh C( X K ) là một không gian vectơ trên trường K.
2.2.2. Định nghĩa:
Cho X  K , ta nói ánh xạ f : X  K là hàm hằng địa phương nếu x  X , tồn tại
lân cận U của x sao cho f là hàm hằng trên U  X
Ví dụ:


Cho X  K , B là tập vừa đóng vừa mở trong K, đặt V  B  X . Ta có
1
0

Anh xạ V : X  K thỏa V  x   

neáu x  V
neáu x  X \ V

là hàm hằng địa phương

Chứng minh:

Ta có V  B  X  V cũng là tập vừa đóng vừa mở. Giả sử x  X
Nếu x  V (V-mở), hiển nhiên x  V  B  B là một lân cận của x và thỏa
V  x   1; x  B  X

Ngược lại x  X \ V , đặt U  X \ B  U-mơ  x  U   X \ V   X \ V là một lân cận
của x và thỏa V  x   0; x   X \ V   X
Vậy V là hàm hằng địa phương
ª
2.2.3. Định lý:
Cho X  K , ta có các kết quả sau
1. Mọi hàm hằng địa phương đều liên tục
2. Đặt LC  X  K   haøm haèng ñòa phöông f : X  K  , khi đó LC  X  K  là
không gian vectơ con của không gian vectơ các hàm liên tục C  X  K  trên
trường K.
Chứng minh:
1. Giả sử f : X  K là hàm hằng địa phương. Ta cần chứng minh f liên tục.
Thật vậy, x0  X , theo giả thiết f là hàm hằng địa phương  U là lân cận của x0
sao cho f  x   c  K ; x  U  X
Ta có f  x   f  x0   0   ;   0, x  U  X
Vậy f liên tục.
2. Hiển nhiên LC  X  K   
f , g  LC  X  K  , x0  X

ta luôn tìm được U, V là lân cận của x0 sao

cho f  x     K ; x  U  X và g  x     K ; x  V  X


  f  g  x   f  x   g  x      ; x  U  V   X

mà U  V cũng là lân cận của x0
 f  g  LC  X  K 
Lại có   f  x    ;   K , x  U  X
  f  LC  X  K 

Vậy LC  X  K  là không gian vectơ con.
ª
2.2.4. Định lý:
Cho X  K , f  C  X  K  . Khi đó với   0 tùy ý, tồn tại một hàm hằng địa
phương g : X  K sao cho f  x   g  x    ; x  X , nói cách khác không gian các
hàm hằng địa phương trù mật trong không gian các hàm liên tục C  X  K  .
Đặc biệt, không gian các hàm hằng địa phương bị chặn cũng trù mật trong
không gian các hàm liên tục bị chặn BC  X  K 
Chứng minh:
Trên X ta định nghĩa một quan hệ như sau
y  f  x   f  y    . Dễ dàng chứng minh được

x , y  X , x

tương đương. Mặt khác mỗi lớp tương đương x  y  X : x





là một quan hệ

y là tập mở. Thật vậy



Giả sử y0  x , do f liên tục tại y0    0 : x  B y0 ,    f  x   f  y0   











y  B y0 ,   ta có f  y   f  x   Max f  y   f  y 0  , f  y 0   f  x     y  x





 B y0 ,    x

Vậy x là tập mở
Lại có X   xi ; xi  X , i  I
iI

Bây giờ ta định nghĩa ánh xạ g như sau


x  X  i  I : x  xi , đặt g : X   xi  K được xác định bởi g( x )  f  xi 
iI

Dễ dàng chứng minh g là hàm hằng địa phương. Hơn nữa
f  x   g  x   f  x   f  xi  với xi

x

 f  x  g x  
Vậy f  C  X  K  và   0, g  LC  X  K  : f  x   g  x    ; x  X
Cuối cùng ta chứng minh tập các hàm hằng địa phương bị chặn trù mật trong không
gian các hàm liên tục bị chặn BC  X  K  .
Giả sử f  BC  X  K  , do f bị chặn  M  0 : f  x   M ; x  X





 g  x   Max f  x  , f  x   g  x   Max  M ,   ; x  X

 g bị chặn
Mặt khác f liên tục nên theo kết quả chứng minh trên ta có
Với   0 cho trước, g  LC  X  K  : f  x   g  x    ; x  X
Vậy tập các hàm hằng địa phương bị chặn trù mật trong không gian các hàm liên
tục bị chặn.
ª
2.2.5. Định lý Kaplansky:
Cho X  K , X Compact và f C( X K ). Khi đó với mọi  > 0 cho trước, tồn
tại một đa thức P : K K sao cho  P(x) – f(x)  < ; xX.
Chứng minh:
Giả sử x0  X và   0 . Khi đó x  B  x0 ,   , hiển nhiên các hình cầu
B  x0 ,   , B  x ,   là một phủ của X. Theo giả thiết X là tập Compact nên theo định lý

2.1.4,

tồn tại một phủ con hữu hạn gồm nhiều hình cầu rời nhau, giả sử

X  B  x0 ,    B  x1 ,    B  x2 ,    ...  B  xm ,  


Không mất tính tổng quát ta chọn 0  X , tịnh tiến x0 = 0 và x1, x2,…, xm  X thành
c1, c2,…, cm

sao cho X  B  0,    B  c1 ,    B  c2 ,    ...  B  cm ,   , trong đó

B  0,   , B  c1 ,   , B  c2 ,   ,..., B  cm ,   là các hình cầu rời nhau và c1  c2  ...  cm
1

Trước tiên ta chứng minh định lý đúng với h  x   
0


neáu x  B  0,  
m

neáu x   B  c j ,  
j 1
s

 
Vì B  0,   , B  c1 ,   rời nhau    c1 , chọn s  N sao cho    
 c1 

 
x
Đặt P  x     1  
c
j 1 
  j
m






s

n

j
 ; x  K , trong đó nj  N, j  {1,2,…,m} là các số



nguyên được định nghĩa quy nạp theo m .
 P  x  1  

Ta chứng minh P(x) là đa thức cần tìm, nghĩa là 
 P  x  


neáu x  B  0,  

m

neáu x   B  c j ,  
j 1

n

  x s  1
Với m = 1, ta sẽ chứng minh tồn tại n1  N sao cho P  x    1     ; x  K thỏa
  c1  


 P  x   1  

 P  x   

neáu x  B  0,  
neáu x  B  c1 ,  
1
x

s
 1 
c1
 c1 

Lấy x  B  c1 ,    x  c1    
s

 1  x 

 1
x
1/s
  B  1,  s      B  1,  s  (vì B(1, ) là nhóm nhân)
c1

  c1 


s

1
x
 1      s . Chọn n1 = s ta có
 c1 

n

  x s  1
1        P  x   
  c1  




s

s
x  
Lấy x  B  0,    x          

 c1   c1 
s

s

s

x
x
x
Lại có 1     1       1     B 1,  
 c1 
 c1 
 c1 
n1

  x s 
  1      B 1,   (vì B(1,) là nhóm nhân)
  c1  


n1

  x s 
 1      1    P  x   1  
  c1  



Vậy phát biểu trên đúng với m = 1

Giả sử phát biểu trên đúng với (m – 1), nghĩa là tồn tại nj  N, j  {1,2,…,m-1}
sao cho
 
x
P  x    1  
c
j 1 
  j
m 1






s

 P  x  1  
j
 ; x  K thỏa 

 Px  


n

neáu x  B  0,  
m 1

neáu x   B  c j ,  

j 1

Bây giờ ta chứng minh phát biểu trên đúng với m
 
x
Nghĩa là chứng minh tồn tại nm  N sao cho P  x     1  
c
j 1 
  j
m






s

n

j
 ; x  K thỏa



 P  x   1   neáu x  B  0,  

m

neáu x   B  c j ,  

 P  x  
j 1


Trước tiên ta thấy rằng nếu x  B  c j ,   thì x  c j ; j  1,2,..., m . Thật vậy



 Max  x  c , x   x

x  Max x  c j , c j  c j ( vì x  c j    c j )
cj

j

 x  c j ; j  1,2,..., m
Ta tiếp tục chứng minh kết quả quy nạp


m

Lấy x   B  c j ,    i  1,2,..., m sao cho x  B  ci ,   . Ta có
j 1

Nếu jx
1 
c
 j

s
 

x

  M ax 1, 


  cj








s


 

 ci
  M ax 1, 

  cj









s












s


 

 ci
  M ax 1, 

  cj









s



 1



 ci

c
 j

s


 ( vì c1  c2  ...  cm )



Nếu j>i
x
1 
c
 j

s
 

x

  M ax 1, 


  cj



Nếu j=m
 x
1  
 cm

s
k
k
c c 2
s  x 

 x  s  x
 x 
c
 i
, i ,..., i
  1        1    vì     Max 
cm

k 1 cm
 

 cm  k 1  ck 
 cm 
 cm cm

mà
s

 x 
 x 
1



 1   
1   
cm  x 

cm
c1
c1
 cm  cm
 cm 

Theo giả thiết quy nạp ta có
 
x
  1  

c
j 1
  j

m 1






s






nj

 
x
Ta có   1  
c
j 1 
  j
m

c
  , chọn nm sao cho  i

j i c j






s






nj

c
 i
j i c j

sn j

 
. 
 c1 
 

sn j

 

. 
c 
 1 

snm



snm

   P( x )  

s

s

s

    
x
Lấy x  B  0,    x    x   



 c   c 
cm
 m   1 
s

s

nm

s
s
s
  x s 
 x 
 x 
x
 1   1 
   1     B 1,     1      B 1,  
  cm  
cm
 cm 
 cm 



s



 1
