THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU HARTOGS Hình học và tôpô

THƯ
VIỆN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đào Quốc Tuấn

THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU HARTOGS

Chuyên ngành: Hình học và tôpô
Mã số: 60 46 10

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THÁI SƠN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Thác triển chỉnh hình là một trong những bài toán trung tâm của giải tích phức hữu hạn
chiều cũng như vô hạn chiều. Trên thế giới có nhiều nhà toán học quan tâm và giải quyết vấn đề
này như Ivashkovitch, Shiffman, Nguyễn Thanh Vân, Zeriahi, … Ở Việt Nam thì hình thành
một nhóm khá mạnh nghiên cứu về bài toán này, trong đó tập trung các nhà toán học như Hà
Huy Khoái, Lê Mậu Hải, Đỗ Đức Thái, …
Cho đến thời điểm gần đây, việc thác triển ánh xạ chỉnh hình có hai dạng đáng chú ý.
Dạng 1: Thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình, hay người ta còn gọi là thác
triển chỉnh hình kiểu Hartogs. Trong đó trường hợp đặc biệt (nhưng quan trọng) là với
điều kiện nào của không gian phức X thì mọi ánh xạ chỉnh hình từ H 2  r   X có thể
thác triển chỉnh hình tới  2 , ở đây 0  r  1 và

H2 r  
Với

 z , z   
1

2

2

 

: z1  1   z1, z2    2 : z1  1, z2  1  r



   z   : z  1

Dạng 2: Thác triển chỉnh hình qua tập mỏng, chẳng hạn qua điểm kì dị cô lập, qua siêu
mặt hoặc qua tập đa cực đóng. Thác triển kiểu này người ta còn gọi là thác triển chỉnh
hình kiểu Riemann.
Trong đa số các trường hợp thì thác triển chỉnh hình kiểu Riemann tỏ ra khó hơn rất
nhiều so với thác triển kiểu Hartogs, tuy nhiên nghiên cứu bài toán thác triển kiểu Hartogs hi
vọng cho chúng ta những phương pháp nhầm tiếp cận bài toán thác triển kiểu Riemann.
Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển của lý thuyết thế vị, chẳng hạn bài toán
thác triển trên biên dựa vào hàm đa điều hòa dưới, việc nghiên cứu bài toán thác triển chỉnh
hình đã có những bước tiến mạnh mẽ. Nhiều công trình của các nhà toán học như Shiffman,
Suzuki, Đỗ Đức Thái, … đã làm xuất hiện một đối tượng mới cho bài toán thác triển chỉnh
hình. Đó là khảo sát việc thác triển qua tập đa cực và tập có dung lượng bằng 0.

Vào những năm 80 của thế kỉ trước, D. Vogt đã đưa ra nhiều kết quả nghiên cứu về các
bất biến tôpô. Các bất biến này mở ra nhiều ứng dụng cho giải tích phức. Một trong những ứng
dụng đó là nghiên cứu tính chỉnh hình của ánh xạ chỉnh hình theo từng biến, một trong những
bài toán được đặt ra bởi nhà toán học Hartogs vào năm 1906. Từ năm 1972, Nguyễn Thanh Vân
lần đầu tiên đã chỉ ra rằng cơ sở Schauder của một vài không gian hàm chỉnh hình có thể dùng
để giải được bài toán về thác triển chỉnh hình của hàm chỉnh hình theo từng biến. Từ phát hiện


đó, năm 1976, Zaharjuta đã nghiên cứu tính chỉnh hình của các hàm chỉnh hình theo từng biến
trên các tập có dạng đặc biệt  m n . Các kết quả sau đó được tổng quát hóa thực sự bởi Nguyễn
Thanh Vân và Zeriahi từ năm 1983. Gần như đồng thời, năm 1981, Siciak bằng một phương
pháp tiếp cận khác là sử dụng công thức nội suy Lagrange để nhận được một kết quả tương tự.
Phương pháp này sau đó được Siffmann vận dụng bằng cách phát triển lý thuyết thế vị phức
được xây dựng bởi Siciak để mở rộng các kết quả nói trên vào năm 1989, trong đó ông cải thiện
các điều kiện về L-chính quy.
Như vậy, phương hướng đầu tiên để nghiên cứu bài toán thác triển chỉnh hình đó là
nghiên cứu bài toán thác triển kiểu Hartogs. Công trình đầu tiên được Hartogs công bố đầu thế
kỉ 20 về bài toán này là ánh xạ cần thác triển là hàm số mà miền xác định là tập mở trong  2 .
Tiếp đó các nhà toán học như Andreotti, Stoll, … đã phát triển và mở rộng kết quả này bằng
cách thay thế miền xác và miền giá trị bởi các đa tạp phức khác. Năm 1971, Siffmann đưa ra
khái niệm "điều kiện lồi – đĩa" và dạng yếu hơn gọi là "điều kiện lồi – đĩa yếu", sau đó dùng
điều kiện lồi – đĩa yếu ông đã chứng minh được giả thuyết của S.S.Chern đưa ra vào năm 1970
khi miền xác định là một lân cận của một siêu cầu đơn vị và miền giá trị là một đa tạp phức
được trang bị một metric Hermit đầy đủ và có độ cong thiết diện không dương. Cùng năm đó,
độc lập với Siffmann, Griffiths cũng đã chứng minh được giả thuyết của Chern.
Như vậy, các kết quả của Siffmann và Griffiths đã giải quyết được giả thuyết của Chern
trong trường hợp hữu hạn chiều. Mối chốt để giải quyết bài toán là điều kiện lồi – đĩa yếu. Từ
đây xuất hiện bài toán là tìm lớp không gian vô hạn chiều thỏa mãn điều kiện thác triển chỉnh
hình Hartogs. Vào những năm 80, những công trình của Siffmann, Ivashkovitch, … đã chỉ ra
những đặc trưng hình học cho phép nhận biết một không gian kiểu như thế, chẳng hạn vào năm

1987 Ivashkovitch [7] chỉ ra rằng đó là các đa tạp Kahler lồi chỉnh hình không chứa đường
cong hữu tỉ nào. Kết quả này sau đó được mở rộng bởi Đỗ Đức Thái sang trường hợp không
gian phức.
Sau đó, năm 1994, Đỗ Đức Thái và Nguyễn Thị Lê Hương đã chứng minh được rằng nếu
X là đa tạp Banach giả lồi và có các 1 phân hoạch đơn vị và X không chứa các đường thẳng

phức thì X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs. Kết quả này lại được phát triển bởi Đỗ
Đức Thái và Nguyễn Thái Sơn [30] cho các đa tạp rộng hơn, đó là lớp các đa tạp là hợp tăng
của các miền giả lồi.
Dựa vào lịch sử của các vấn đề được nêu trên, chúng tôi nhận thấy vai trò mấu chốt của
việc cần nghiên cứu một cách cẩn thận bài toán thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs như là điểm


khởi đầu cho việc nghiên cứu rộng hơn cho lớp các bài toán thác triển khác. Do đó, bài toán đặt
ra cho luận văn là nghiên cứu các chứng minh chi tiết của các công trình gần đây của một tác
giả liên quan đến bài toán thác triển này để tìm ra cách giải quyết cho bài toán thác triển khác.
Và cũng vì lý do đó mà luận văn được mang tên "Thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs"

2. Mục đích nghiên cứu :
Nghiên cứu bài toán thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu :
Tôpô và hình học giải tích phức

4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn của đề tài
Tìm hiểu bài toán thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs, từ cơ sở đó tìm hiểu một cách toàn
diện bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình

5. Cấu trúc của đề tài :
Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể:

Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề và đặt bài toán nghiên cứu.
Chương 1: Trình bày các định nghĩa và các kết quả về bài toán thác triển Hartogs. Trong đó nội
dung chính là định lý mở rộng trên lớp các đa tạp là hợp tăng của các miền giả lồi và mối quan
hệ giữa bài toán thác triển Hartogs và bài toán thác triển trên các siêu mặt.

Chương 2 và chương 3: Trình bày những kết qua sâu sắc hơn về bài toán thác triển Hartogs,
bao gồm các kết quả liên quan đến điều kiện lồi – đĩa và lồi – đĩa yếu cho bài toán thác triển
chỉnh hình kiểu Hartogs trên các tập đa cực và trên các không gian Hyperbolic. Vấn đề cuối
cùng được đề cập là định lý thác triển hội tụ dạng Noguchi cho  n, d  - tập.

Phần kết luận: đưa ra những nhận xét và những vấn đề cần phải tiếp tục nghiên cứu trong thời
gian tới.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Thái Sơn,
người thầy tận tâm và rất nghiêm khắc trong công việc. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
tới người thầy kính yêu đã từng bước hướng dẫn tác giả làm quen với các kiến thức về giải tích
phức, hình học Hyperbolic, … để dần nắm bắt bài toán nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn các
thầy trong tổ hình học, Khoa toán – tin Trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ
tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học
cao học. Chân thành cảm ơn ban giám hiệu, phòng tổ chức hành chính, Phòng Khoa học công
nghệ và sau đại học, Phòng Kế hoạch - tài chính Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã
động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này.


Chương 1. THÁC TRIỂN CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TRÊN SIÊU MẶT VÀ MỐI
QUAN HỆ VỚI THÁC TRIỂN HARTOGS VÔ HẠN CHIỀU
Như trong phần mở đầu chúng tôi đã nói, hướng tiếp cận đầu tiên cho việc nghiên cứu
bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình đó là thác triển lên bao chỉnh hình hay người ta còn gọi là
thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs. Phần mở đầu chương này chủ yếu chúng tôi sẽ nhắc lại một
số khái niệm liên quan đến tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs, khái niệm điều kiện lồi - đĩa

và điều kiện lồi – đĩa yếu của Shiffman sử dụng để chứng minh Giả thuyết Shiing – Shen
Chern. Phần sau sẽ trình bày một số kết quả khác liên quan đến thác triển của ánh xạ chỉnh hình
trên siêu mặt và trên hợp tăng các miền giả lồi mà chứng minh của chúng có sử dụng điều kiện
lồi – đĩa yếu.

1.1 . Các định nghĩa và các kết quả đã biết.
Đầu tiên chúng tôi sẽ nhắc lại định nghĩa không gian phức (hữu hạn chiều) có tính chất thác
triển Hartogs (viết tắt là HEP), được đưa ra bởi Ivashkovich [7]

1.1.1. Định nghĩa. Một không gian phức X được gọi là có tính chất thác triển Hartogs nếu
mọi ánh xạ chỉnh hình f từ  vào X với  là miền Riemann trong  n đều có thể thác triển

 của  .
chỉnh hình được đến bao chỉnh hình 
Gọi H 2  r    z1 , z2    2 ; z1  r  z2  1  r

  0  r  1 là kí hiệu cho miền Hartogs

2 chiều
Theo như đã biết [10] thì X có tính chất HEP nếu và chỉ nếu mọi ánh xạ chỉnh hình

 f n   H  , X  thác triển chỉnh hình được đến  2 .
Lớp các không gian phức có tính chất HEP là khá rộng. Nó chứa các không gian phức
hằng, các nhóm Lie phức, các đa tạp phức Hermitian đầy đủ với các đường cong chỉnh hình 2
chiều không dương. Đặc biệt, Ivashkovich [10] đã chỉ ra rằng đa tạp Kahler lồi chỉnh hình có
tính chất HEP nếu và chỉ nếu không có chứa đường cong hữu tỉ nào. Tính chất này đã được Đỗ
Đức Thái tổng quát hóa cho trường hợp các không gian Kahler lồi chỉnh hình .
Định nghĩa trên có thể được mở rộng một cách tự nhiên cho trường hợp không gian
Banach giải tích bằng việc thay thế  n bởi một không gian Banach B nào đó. Tuy nhiên, vì
những lý do mang tính kĩ thuật nên ta cần thêm điều kiện mọi miền giả lồi Riemann trên một

không gian Banach B đều tồn tại. Ví dụ cho trường hợp này là không gian Banach có cơ sở


Schauder ( xem Mujica [18, Định lý 54.12, Trang 390]). Do đó, trong trường hợp vô hạn chiều
ta có định nghĩa sau.
1.1.2. Định nghĩa. Một không gian Banach giải tích X được gọi là có tính chất thác triển

Hartogs nếu với mọi ánh xạ chỉnh hình từ một miền Riemann  trên không gian Banach B với

 của  .
cơ sở Schauder vào X đều có thể được thác triển chỉnh hình đến bao chỉnh hình 
Về lịch sử, ví dụ đầu tiên được Hartogs đưa ra đầu thế kỷ 20 về ánh xạ chỉnh hình thác
triển được là hàm số mà miền xác định là một tập mở trong  2 . Cho đến nay, kết quả này đã
được phát triển mở rộng cho nhiều ánh xạ chỉnh hình khác với miền xác định và miền giá trị là
các đa tạp phức có cấu trúc phức tạp hơn.
1.1.3. Giả thuyết Shiing – Chen Chern. Trong hội nghị Nice năm 1970, Shiing – Chen Chern

đã đưa ra giả thuyết sau:
Cho X là một đa tạp phức với mêtric Hermit đầy đủ và có độ cong thiết diện chỉnh hình



2

2



không dương. Gọi B  z   k : z1  ... zk  1 , k  2
và U   k là một lân cận của B . Khi đó mọi ánh xạ chỉnh hình f : U  X đều thác triển

chỉnh hình lên B .
Giả thuyết này ngay lập tức được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm. Năm 1971,
Shiffman lần đầu tiên đưa ra khái niệm "điều kiện lồi – đĩa" như sau.
1.1.4. Định nghĩa. Với mọi 0  r  1, s  0 kí hiệu
 s   z   : z  s  , 1  ,  r1   z   : r  z  1.
Một không gian Banach giải tích X được gọi là lồi – đĩa yếu

 f n   Hol  , X 

sẽ hội tụ trong Hol  , X  khi dãy

nếu

 f  hội tụ trong Hol  
n  r1

mọi dãy
r1 , X



với

r  1.
Ở đây Hol  X , Y  kí hiệu không gian các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y cùng với tôpô
compact mở.
Theo định lý Montel, một không gian phức hằng (hữu hạn chiều) là lồi – đĩa và
hyperbolic. Ngược lại thì không đúng trong trường hợp tổng quát.
Một dạng yếu của điều kiện lồi – đĩa mà dưới đây ta gọi là điều kiện lồi – đĩa yếu

1.1.5. Định nghĩa. Một không gian phức X được gọi là lồi – đĩa yếu nếu mọi dãy

 f n   Hol  , X 

hội tụ trong Hol  , X  khi dãy

 f   H  , X 
n *

*

hội tụ trong




Hol * , X

 . Ở đây  và 

*

  \ 0 lần lượt là kí hiệu của đĩa đơn vị và đĩa đơn vị thủng

trong  .
Dùng điều kiện lồi – đĩa yếu, Shiffman đã chứng minh được định lý sau.

1.1.6. Định lý. Cho X là đa tạp phức sau cho đa tạp phủ phổ dụng của nó có một mêtric
Hermit đầy đủ với độ cong thiết diện chỉnh hình không dương. Gọi D là một tập mở của đa tạp
Stein M sao cho M là bao chỉnh hình của D . Khi đó mọi ánh xạ chỉnh hình f : D  X đều

có một thác triển chỉnh hình lên M .
Áp dụng định lý này bằng cách đặt D  U  B và M  B , Shiffman đã chứng minh được
Giả thuyết Shiing – Chen Chern.
Ngoài ra, cũng trong năm đó, Griffiths đã chứng minh một cách độc lập Giả thuyết
Shiing – Chen Chern. Đó là nội dung của định lý sau.

1.1.7. Định lý. Cho M là đa tạp phức có một mêtric Hermit đầy đủ với độ cong thiết diện
chỉnh hình không dương. Khi đó hiện tượng Hartogs đúng với M , nghĩa là mọi ánh xạ chỉnh
hình f : N \ U  X đều có một thác triển chỉnh hình lên N , ở đây N là một đa tạp phức liên
thông và U là một lân cận mở đủ nhỏ của một đa tạp con S của N .
Như vậy, xuất phát từ Giả thuyết của Chern, Shiffman và Griffiths đã đồng thời giải
quyết bài toán trong trường hợp hữu hạn chiều. Trong đó để chứng minh Định lý 1.1.6 ở trên,
Shiffman đã dùng điều kiện lồi – đĩa yếu, từ điều kiện này ông cũng đã chứng minh được kết
quả tổng quát hơn như sau.
Cho X là một đa tạp thỏa mãn điều kiện lồi - đĩa yếu. D là một tập con của một đa tạp
Stein M sao cho M là bao chỉnh hình của D . Khi đó mọi ánh xạ chỉnh hình f : D  X đều
có một thác triển chỉnh hình lên M .

1.2. Tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs trên hợp tăng các miền giả lồi.
1.2.1. Định lý. Cho X là một không gian giải tích Banach thỏa mãn điều kiện lồi – đĩa yếu.
Khi đó X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs.

Chứng minh. Gọi f :   X là ánh xạ chỉnh hình, ở đây  là một miền Riemann trên một
không gian Banach B có cơ sở Schauder. Xét sơ đồ giao hoán sau:
f



X

e



p
p

B

f

f


ở đây  f chỉ miền tồn tại của f .
Trước hết ta chứng minh bổ đề sau.

1.2.2. Bổ đề. Ánh xạ f :  f  X là giả lồi địa phương, tức là với mọi x  X tồn tại một lân

cận giả lồi V của x trong X sao cho f 1 V  là giả lồi.
Chứng minh. Cho x  X . Chọn một lân cận V của x trong X sao cho V đẳng cấu với một

tập giải tích trong quả cầu mở của không gian Banach. Xét ánh xạ hạn chế f
g : ^ f 1 V   V là thác triển chình của f

f 1V 

.
f 1V 

Gọi

đến bao chỉnh hình ^ f 1 V  của f 1 V  . Vì

 f là miền tồn tại của f nên dẫn tới ^ f 1 V    .

f

Mặt khác, từ



^

 

f 1 V   g

^



f 1 V   V

ta có

f 1 V   ^ f 1 V  . Suy ra

f :  f  X là giả lồi địa phương.
Bây giờ ta tiếp tục chứng minh định lý.

Vì B có cơ sở Schauder nên để chỉ ra  f  ^  chúng ta chỉ cần chứng minh p 1  E  giả lồi
với mọi không gian con hữu hạn chiều của B . Muốn vậy ta phải kiểm chứng p 1  E  thỏa mãn
điều kiện lồi - đĩa yếu.
Thật vậy, gọi



 k   Hol  , p 1  E  



sao cho dãy

Hol * , p 1  E  . Vì X là lồi – đĩa yếu nên dãy
Hol  , X  . Lưu ý



*

 
k *

hội tụ về  trong

 f   k   Hol  , X 

hội tụ về  trong

 f   .

Chọn một lân cận giả lồi V của   0  trong X sao cho V đẳng cấu với một tập giải tích
trong quả cầu mở của không gian Banach và f 1 V  giả lồi. Vì f 1 V  là miền Riemann giả
lồi trên không gian Banach B với cơ sở Schauder nên f 1 V  là miền chỉnh hình. Dể dàng
thấy rằng tồn tại số k0 và   0 sao cho f   k     V với mọi k  k0 và      V , ở đây



   z   : z    . Suy ra  k     f 1 V  với mọi k  k0 . Điều này dẫn tới  k



trong Hol  , f 1 V 









 

(xem [6, Định lý 5 và Bổ đề 6]). Do đó dãy  k  hội tụ trong

Hol  , f 1  E  . Đến đây định lý đã được chứng minh hoàn toàn.


Vào những năm 80 của thế kỷ trước, những công trình của Shiffmann, Ivashkovitch, ...

đã chỉ ra những đặc trưng hình học cho phép nhận biết một không gian có tính chất thác triển
chỉnh hình kiểu Hartogs. Chẳng hạn vào năm 1987, Ivashkovitch đã chứng minh được một đặc
trưng hình học rất quan trọng cho tính thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs của những đa tạp
Kahler lồi chỉnh hình đó là:
Một đa tạp Kahler lồi chỉnh hình X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs khi và chỉ
khi X không chứa đường cong hữu tỉ.
Năm 1994, Đỗ Đức Thái và Nguyễn Thị Lê Hương đã chứng minh được rằng nếu X là
một đa tạp Banach lồi có các 1 - phân hoạch đơn vị và X không chứa các đường thẳng phức
thì X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs.
Năm 1998, Đỗ Đức Thái và Nguyễn Thái Sơn [30] tiếp tục mở rộng kết quả trên cho các
lớp đa tạp rộng hơn, đó là lớp các đa tạp là hợp tăng của các miền giả lồi.
1.2.3. Định lý. Cho X là không gian Banach giải tích và là hợp tăng dần các miền giả lồi. Giả

sử X không chứa đường thẳng phức nào. Khi đó X có thác triển Hartogs.
Chứng minh:

(i) Đầu tiên ta giả sử X là giả lồi. Gọi f :   X là ánh xạ chỉnh hình. Xét sơ đồ giao hoán
sau:
f



X

e





f

f


B

ở đây  f chỉ miền tồn tại của f với thác triển chính tắc f :  f  X và e,  ,  là các ánh xạ
chính tắc song chỉnh hình địa phương. Chứng minh tương tự Bổ đề 1.2.2, ta có
1.2.4. Bổ đề. Ánh xạ f :  f  X là giả lồi địa phương.
Để chỉ ra rằng  f  ^  chúng ta chỉ cần kiểm tra  f thỏa mãn điều kiện lồi – đĩa yếu.



Thật vậy, gọi  k   Hol ,  f

 sao cho dãy   hội tụ về  trong Hol   ,  f  .
k *

*

Và X là giả lồi và mọi tập mở compact tương đối trong X không chứa đường thẳng phức nào


nên X thỏa mãn điều kiện giả lồi – đĩa yếu (xem [29, Mệnh đề 2.3]). Do đó dãy

 f   k   Hol  , X  hội tụ về

f   trong Hol  , X  .

Chọn một lân cận giả lồi V của f    0  đẳng cấu với một tập giải tích trong quả cầu
mở của không gian Banach và f 1 V  giả lồi. Vì f 1 V  là miền Riemann giả lồi trên không
gian Banach B với cơ sở Schauder, f 1 V  là miền chỉnh hình. Dể dàng thấy rằng tồn tại số
và   0

k0

sao cho

f   k     V

với mọi k  k0

và

f       V , ở đây

   z   : z    . Suy ra  k     f 1 V  với mọi k  k0 . Điều này dẫn tới dãy

   
k 







trong Hol  , f 1 V  ( xem [6, Định lý 5 và Bổ đề 6]). Do đó dãy  k  hội tụ



trong Hol ,  f .


(ii) Giả sử X   X n , ở đây X n là miền giả lồi và X 1  X 2  ...
n1

Đặt  n  f 1  X n  với n  1 .
Theo (i), với mỗi n  1 ánh xạ f n  f
^

n

thác triển được tới ánh xạ chỉnh hình

f n : ^   X n . Dể dàng thấy rằng với mỗi n  1 tồn tại duy nhất ánh xạ chỉnh hình địa phương

en : ^  n  ^  n1 sao cho sơ đồ sau giao hoán :
^

n

n

Và

^

en

^

 n1

 n 1

B một miền Riemann trên
f n1en  ^ f n với n  1 , ở đây  n : ^   B xác định ^  n như là

  B bởi công thức
  lim ind ^   X và  : 
B . Do đó ta có thể định nghĩa các ánh xạ f : 
n

: f

^ n

 fˆn với mọi n  1 và 

^ n

  n với mọi n  1 . Vì  n là đồng phôi địa phương với

n  1 nên  cũng đồng phôi địa phương.

Hơn nữa, ta có d n  z   d n1  en  z   với mọi z  ^ n và n  1 , ở đây d n là kí hiệu
khoảng cách biên tương ứng  n : ^ n  B với n  1 .

Vì ^  n là giả lồi nên  log d n là đa điều hòa dưới với mọi n  1 . Do đó hàm
 , là đa điều hòa dưới. Điều này có nghĩa 
 là đa điều
 log d  lim   log d n  z   , với mọi z  
n

 là miền chỉnh hình. Do đó 
  ^ . Định lý được chứng minh hoàn toàn.
hòa và suy ra 


1.2.5. Chú ý. Tồn tại đa tạp phức X không giả lồi, chẳng hạn như X   X n với X n là đa tạp
n1

Stein.
Thật vậy, với mỗi n đặt:
n

1 

3
X n   z ,  ,    :   pn  z  , pn  z     z   
k 
k 1 


Hiển nhiên, X n là các đa tạp đóng của 3 do đó X n là đa tạp Stein. Với mỗi n xét ánh
xạ  n : X n  X n1 được định nghĩa như sau:





  z,  ,    z ,  , ,  z 


1 

n  1  

 1 
2
Rỏ ràng là  n là song chỉnh hình từ X n vào X n1 \ 
    . Do đó ta có thể xác
 n  1 

định X  lim  X n ,  n  . Ta sẽ chứng minh X không giả lồi. Giả sử X giả lồi, suy ra X thỏa
n

mãn điều kiện lồi – đĩa yếu. Gọi  f n   Hol  , X  là dãy các ánh xạ được định nghĩa như sau:
1


, pn    
fn       ,  
n 1


Khi đó f n     X n1 . Ta sẽ chứng minh rằng

 fn 



mỗi k , xét f nk  Hol   1 , X  được định nghĩa:


,1
 k 1




pn    
1
,
,   1
fn       ,  
1 
,1

n
1


k 1

n 1 


Với 

1
,1
k 1

1


 z   :
 z  1
k 1





Chú ý rằng: f nk  Hol   1 , X k 


,1
 k 1






hội tụ đều trong Hol * , X , với

Với mỗi n  k ,

f 
k
n



hội tụ trong Hol   1 , X  đến ánh xạ f k được cho bởi


,1
 k 1


p   

f k     , , k
 . Mặt khác, vì




 n   n1  ...   k  f nk  f n
Với mọi n, k  1 nên ta có  q  ...   p f p  f q với p, q là các số tự nhiên và p  q . Do đó ta có
thể định nghĩa ánh xạ f : *  X bởi f  z   f k  z  với mọi z  
Vì

1

,1
k 1

.

1
 0 nên dãy  f n  hội tụ về f trong Hol  * , X  . Theo giả thiết
k 1

 f n  hội tụ về

f trong Hol  , X  .
Xét tập    z   : z    ,    0,1 , vì dãy

 fn 

hội tụ đều trên  nên



 f n   

n 1



compact. Vì X   X k , X k  X k 1 và X k mở trong X với mọi k  1 nên tồn tại k0 sao cho
k 1



 f n     X k

n 1

0

. Do đó:
pk    

f k0       ,  , 0






với mọi   * .
Suy ra f k0    có thể thác triển chỉnh hình được đến  . Điều này là không thể vì
pk  0   0 . Do đó X không giả lồi.
0

1.3.

Thác triển của ánh xạ chỉnh hình trên siêu mặt.

Chúng ta xét bài toán ánh xạ thác triển chỉnh hình trên các siêu mặt và bài toán thác triển
đến bao chỉnh hình, tức là bài toán thác triển chỉnh hình Hartogs. Cả hai bài toán đều có mối
tương quan với nhau.
Trong [13], Kwack đã chỉ ra rằng nếu f là ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị bị đâm thủng

* vào một đa tạp hyperbolic X sao cho với một dãy thích hợp các điểm zk  * hội tụ về gốc


tọa độ, f  zk  hội tụ về điểm p0  X thì f mở rộng đến ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị  vào
X.
Cũng từ kết quả đó, Kwack đã đưa ra một quy tắc tổng quát và hiệu quả thúc đẩ việc
nghiên cứu bài toán thác triển các ánh xạ chỉnh hình. Từ đó có nhiều hướng được mở rộng hơn.
Trong đó bài toán thác triển chỉnh hình trên siêu mặt cũng đã được nghiên cứu.
Do đó việc mở rộng kết quả của kwack trong trường hợp vô hạn chiều là thực sự cần
thiết và tạo cơ sở để nghiên cứu bài toán thác triển chỉnh hình trong trường hợp vô hạn chiều.
Trong phần này chúng ta sẽ xét bài toán khi nào thì một ánh xạ chỉnh hình có thể được
thác triển trên siêu mặt trong đa tạp Banach phức.
Vì đa tạp Banach phức không có tính chất compact địa phương nên kỹ thuật chứng minh
định lý Kwack trong trường hợp vô hạn chiều đòi hỏi có những thay đổi. Trong các định lý
dưới đây, Đỗ Đức Thái và Nguyễn Thái Sơn [30] đã dùng một kỹ thuật khác của giải tích phức,
đó là quy tắc cực đại cho hàm đa điều hòa dưới.
1.3.1. Định lý. Cho X là một không gian Banach giải tích hyperbolic và f : Z \ H  X là một

ánh xạ chỉnh hình, trong đó H là một siêu mặt trong đa tạp Banach phức Z . Giả sử với mọi

z  H tồn tại  zn   Z \ H hội tụ về z sao cho dãy

 f  z  hội tụ về xz  X . Khi đó
k

f thác

triển chỉnh hình được tới Z .
Chứng minh.

(i) Đầu tiên xét trường hợp Z   và H  0 . Chọn một lân cận tọa độ giả lồi W của x0 trong
X đẳng cấu với một tập con giải tích của quả cầu mở trong không gian Banach B . Đặt
V W / 2.
Bài toán chỉ ra rằng, với một số dương thích hợp  , đĩa  z   : 0  z    được ánh xạ
vào W bởi f . Giả sử có dãy con  zn  sao cho

 z  đơn điệu giảm. Xét tập các số nguyên n
n

sao cho ảnh của hình khuyên zn1  z  zn bởi f không chứa hoàn toàn trong V . Nếu tập các
số nguyên này là hữu hạn thì f chuyển đĩa 0  z   vào trong V . Giả sử tập các số nguyên
này là vô hạn, ta sẽ suy ra điều ngược lại. Do đó ta có thể giả sử với mọi n ảnh của hình
khuyên zn1  z  zn bởi f không chứa hoàn toàn trong V .
Với mỗi n , đặt:







rn  inf r  zn : f r  z  zn  V










sn  sup r  zn : f r  z  zn  V



 n   z   : z  rn 



 n  z   : z  zn



 n   z   : z  sn 
Vì d

*

 n   d    n   d    n   0
*

*

và theo quy tắc giảm dần khoảng cách, suy ra:

d X f  n   d X f   n   d X f   n   0, n  


Đặt K   f   n   n 1 

n 1

Theo quy tắc cực đại Kˆ PSH W  

 f  n  n1 

Do đó

 f  n  n1 

n2

compact tương đối trong V . Vì tính compact tương đối của

n2

 f  n  n1 

và từ các giới hạn d X f  n   0, d X f   n   0 , không mất tính tổng quát

ta có thể giả sử

 f  n   x1

n2

và

 f  n   x2 . Theo

định nghĩa của rn và sn suy ra

x1 , x2  V và hiển nhiên là x1 , x2  x0 . Chọn hàm tuyến tính liên tục u trên B sao cho
u  x1  , u  x2   u  x0   0.

Vì



f r s

n n

 V W

nên tồn tại rn  rn  sn  sn sao cho



f  r s

n n

 W

với

 r s   z   : rn  z  sn  và  r s   z   : rn  z  sn .
n n

n n

Xét

hàm

chỉnh

n  u  f

hình



 r

n sn

vì

 n  n   u  x2 

nên

ta

có:



  0, N , n  N, :  n snei  u  x2    . Áp dụng quy tắc cực đại cho hàm

z   n  z   u  x2  trên hình khuyên  z   : rn  z   sn , cụ thể là đường tròn:

z   : z  z   
n



rn sn

  z   : rn  z  sn 



Suy ra  n zn ei  u  x2    với mọi  . Do đó u  x0   u  x2  . Điều này mâu thuẩn.
suy ra f thác triển chỉnh hình được đến  .


(ii) Giả sử H không chứa điểm kì dị nào.
Không mất tính tồng quát ta có thể giả sử rằng đa tạp  có dạng U   với U là một tập
mở trong không gian Banach và H  U  0.
Với mỗi phần tử z U , xét ánh xạ f z : *  X được xác định:

f z     f  z ,   với   *

 z,0   H

Vì

 f  zn , n   x0.

nên

tồn

 zn , n   U  *, zn , n    z,0 

tại

sao

cho

Áp dụng quy tắc giảm dần khoảng cách cho ánh xạ chỉnh hình

f : U  *  X , ta có:





d X f  z , n  , f  zn , n   d



U *

 z, n  ,  zn , n   dU  z, zn   0



Suy ra f  z , n   x0 .
Theo (i), f z thác triển được tới ánh xạ chỉnh hình fˆ z :   X . Ta định nghĩa ánh xạ

fˆ : U    X như sau: fˆ  z,    fˆ z    với mọi  z ,   U   . Vì X là hyperbolic nên fˆ là
liên tục.
Thật vậy, gọi

ˆ   
n

*

 z,0   H

và

 z ,    U  
n

n

sao cho

 z ,     z,0.
n

n

Chọn

 

sao cho ˆn  0 . Ta có:



   d X  fˆ  zn , n  , fˆ  z, n  
 d X  fˆ  z , n  , fˆ  z ,0  
 n  , fˆ z  n    d X  f  zn , n  , f  z, n    d X  fˆ z  n  , fˆ z  0  
 d   n , n   dU  zn , z   d   n ,0   0 khi n  







d X fˆ  zn , n  , fˆ  z ,0   d X fˆ  zn , n  , fˆ zn , n



z
 d X fˆ n

n

Do đó fˆ là thác triển chỉnh hình của f .
(iii) Gọi   H là một điểm bất kì của H . Khi đó tồn tại một lân cận U đẳng cấu với một lân

cận V  e của 0  B và đa thức Weierstrass P  x,     P  aP 1  x   P 1  ...  a0  x  sao cho
Zero  P   H  U với B được phân tích B  E  Ce.

 
 P 
 P  
Ta có H  U  Zero  P    Zero    Zero  P     Zero  P  \ Zero    .
  
   

 


 P 
Theo (ii) thì f thác triển tới ánh xạ f1 : U \ Zero 
  X . Ta sẽ chứng minh với mọi
  
 P 
 p 
z0  Zero 
 tồn tại  zn   U \ Zero   hội tụ về z0 sao cho f1  zn  hội tụ về xz0  X .
  
  





Thật vậy, theo giả thiết tồn tại  zn   U \ H hội tụ về z0 sao cho

 f  zn  hội tụ về

xz  X .
0

Chọn

 zn  U \  Zero  P   H 


sao cho dU \ H  zn , zn   0 . Khi đó dãy



z 
n

thỏa

mãn yêu cầu trên.
 2P 
Tương tự f có thể thác triển được đến các tập U \ Zero  2  ,..., và cuối cùng là
 
 PP 
U \ Zero  P   U .
 

Định lý đã được chứng minh hoàn toàn.
1.3.2. Định lý. Cho X là không gian Banach giải tích hyperbolic đầy đủ theo nghĩa của

cauchy và f : Z \ H  X là một ánh xạ chỉnh hình, ở đây H là một siêu mặt trong đa tạp

 

Banach phức Z. Giả sử với mọi H của H tồn tại z  Re g  H  và dãy zn


n 1

 Z \ H hội

   hội tụ về P  X . Khi đó f thác triển chình hình được tới Z .

tụ về z sao cho dãy f zk



Chứng minh.

(i) Đầu tiên ta sẽ chứng minh X thỏa mãn điều kiện lồi – đĩa yếu , tức là nếu mọi dãy

n  Hol  , X  hội tụ trong Hol  , X  nếu dãy n   hội tụ trong Hol   , X  , trong đó
*

*

Hol  X , Y  là kí hiệu của không gian các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y với tôpô compact mở.

Thực vậy, cho n   Hol  , X  sao cho n   trong  * , X  . Vì:
d X   n  0  ,  m  0    d X  n  0  ,  n  z    d X   n  z  ,  m  z    d X   m  z  ,  m  0  

 2d   0, z   d X m  z  , m  z  


và n   trong Hol  * , X  , điều này dẫn tới  n  0  hội tụ về x0  X khi n   . Định
nghĩa ánh xạ  :   X như sau: 

*

  và   0   x0 . Vì X là hyperbolic nên  liên tục.

suy ra   Hol  , X  và n   trong Hol  , X  .
(ii) Theo (i) thì X có tính chất thác triển Hartogs (xem [26], [29]). Do đó, chúng ta chứng minh
được rằng f thác triển chỉnh hình trên tập  Z \ H   W với W là tập mở của Z sao cho
W  H khác rỗng với mọi H .

(iii) Giả sử H là một nhánh của H và z  Re g  H  như là giả thuyết của định lý 1.3.2 ta sẽ
chứng minh f thác triển chỉnh hình được trên lân cận mở W của z trong Z .
Vì bài toán chỉ mang tính chất địa phương nên ta có thể giả sử

Z  B   với

H  B  0 , ở đây B là quả cầu đơn vị trong không gian Banach E , gọi zn  z   x,0  .
Gọi

F

là không gian con hữu hạn chiều bất kì của

E

chứa

X . Ta viết

zn  zn   xn , n   B  * . Đặt P : E  F là phép chiếu tuyến tính liên tục của E lên F . Ta

giả sử rằng Pxn  B  F với mọi n  1.
Vì B là hyperbolic và Pxn  Px  x nên ta có:

 

  d X  f  xn  , f  Pxn    d B  xn , Pxn   0

 

d X f xn , n , f Pxn , n
f

n



n



khi n   với

n

 xn   f  x, n  . Suy ra f  Pxn , n   p khi n   . Chọn lân cận tọa độ giả lồi W của

p trong X đẳng cấu với một quả cầu mở trong không gian Banach B . Đặt V  W / 2.
Xét f F  f

 B  F *

. Đặt BF  B  F . Theo cách đưa ra dãy con  zn  ta có thể giả sử dãy

 z  . Tương tự với cách chứng minh định lý 1.3.1 (phần (i)),giả sử với mọi n ảnh của tập hợp


n

BF
 n1  z  n
n



 bởi









f F không chứa hoàn toàn trong V . Đặt :



 B

rn  inf r  0, n : f F  F     V ,   , sao cho r    n 
 n





 B

sn  sup r  0, n : f F  F     V ,   , sao cho n    r 
 n









Cho  n     :   rn  ,  n     :    n ,  n     :   sn  , khi đó:
 B

d X f  F n   dX

 n


 B

f  F  n   dX
 n


 B

f  F   n   0 khi n   .
 n


Xét tập compact K trong W được cho bởi:

K  Cl   f
 n1


  BF
  B

  n    F   n1   

  n
  
 n

Theo quy tắc cực đại ta có:

  B
  B

Kˆ PSH W    f   F   n    F   n  
n 2
  n

 n

và

  BF
  B

  n    F   n   compact tương đối trong V .
  n

 n

 f 
n2

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng:
 B

 B

f  F   n   1 và f  F   n   2

 n

 n


Theo định nghĩa của rn và sn , suy ra 1 , 2  V và

1 , 2  p . Chọn hàm tuyến tính

liên tục u sao cho u 1  , u 2   u  p   0.
 B

 B

Vì f  F   r s   V  W nên tồn tại rn  rn  sn  sn sao cho f  F   r s   W .
n n
n n
 n

 n

x

Xét tại điểm x0 BF và hàm chỉnh hình  n     u  f  0 ,   trên  r s dễ dàng thấy rằng
n n
n 

    u  p   0 và      u  .
n



n

n

n

2

Tương tự Định lý 1.3.1, ta có điều ngược lại. Do đó f F thác triển chỉnh hình đến BF  .
Theo (iii) thì họ  f F  xác định ánh xạ chỉnh hình Gateaux fˆ : Z \ S  H   X với S  H  là quỹ
tích kì dị của H . Từ [3]:
d B  u , v   inf d B F   u , v  : u , v  F , dim F  





ta có d X fˆ  u  , fˆ  v   inf d B F   u , v  : u, v  F , dim F    d B  u , v 
Do đó fˆ liên tục, điều này suy ra tính chất chỉnh hình của fˆ . Định lý đã được chứng
minh hoàn toàn.


1.3.3. Chú ý. Định lý 1.3.2 đã được chứng minh bởi Fujimoto [4] khi Z là không gian phức

hữu hạn chiều và X là không gian phức hằng. Tuy nhiên, vì tính hằng không được định nghĩa
trong trường họp vô hạn chiều, giả thiết về tính chỉnh hình đầy đủ của X là sự thay thế một
cách tự nhiên.

Chương 2. THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH TRÊN TẬP ĐA CỰC NHIỀU CHIỀU

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày bài toán thác triển chỉnh hình trên tập đa cực
nhiều chiều. Cho S là một tập đa cực trong một đa tạp phức Z và X là không gian phức. Nếu
f : Z \ S  X là ánh xạ chỉnh hình, câu hỏi đặt ra là khi nào có thể tìm ra được thác triển chỉnh

hình f : Z  X của ánh xạ f . Bài toán này đã được nhà toán học nghiên cứu (xem [8], [24],
[25], [34],…)
2.1. Các định nghĩa và kết quả chính
2.1.1. Định nghĩa. Cho X là không gian phức. Ta nói X có tính chất n - thác triển chỉnh hình
trên các tập đa cực nếu với mọi đa tạp phức Z

n - chiều, ánh xạ hạn chế

R : H  Z , X   H  Z \ S , X  là toàn ánh với mọi tập đa cực đóng S trong Z .

Ở đây H  Z , X  là kí hiệu của không gian các ánh xạ chỉnh hình từ Z vào X được trang
bị tôpô compact- mở.
Nếu ánh xạ hạn chế R là một đồng phôi thì ta nói X có tính chất n - thác triển chỉnh
hình chặt. Khi đó đồng phôi R được kí hiệu là:

R : H Z, X   H Z \ S, X  .
Nếu X là một miền Siegel dạng 2 trong  n thì mọi ánh xạ f đều có thác chỉnh hình
trên Z ( xem Sibony [24] hoặc nếu X là miền phức trong n thì thác triển chỉnh hình trên các
siêu mặt của mọi ánh xạ f tồn tại khi và chỉ khi X là hyperbolic (xem P.K. Ban [1]).
Trong trường họp X là mặt Riemann và Z \ S là đĩa chấm thủng 0  z  1 trong  , bài
toán được nghiên cứu bởi Royden [22]. Gần đây là Jarvi [8] đã tổng quát hóa kết quả của
Royden cho trường họp các tập con compact có lực lượng bằng 0 trong miền Z   . Bài toán
thác triển được đề cập trên trong trường hợp nhiều chiều, tức là Z là một đa tạp phức bất kì.

Bài toán thác triển này cũng được nghiên cứu bởi Suzuki [25]. Tuy nhiên chứng minh của
Suzuki [25] trong trường họp nhiều chiều không chính xác. Sau đó, Đỗ Đức Thái đã phát triển
các kết quả trên và cải tiến lại chứng minh của Suzuki trong trường họp nhiều chiều. Điều này
thể hiện qua 2 định lý dưới đây.
2.1.2. Định lý: Cho X là một không gian phức có tính chất 1- thác triển chỉnh hình chặt trên
tập cực. Khi đó X sẽ có tính chất n- thác triển chỉnh hình chặt trên các tập đa cực với n  2 .

Chứng minh.


(i) Đầu tiên quan sát thấy rằng giả thiết X thỏa mãn điều kiện đĩa yếu. Nghĩa là nếu

 f n  H  , X  , trong đó H  , X 

là đĩa đơn vị mở trong  , hội tụ về f trong H  * , X 

với *   \ 0 thì f có thể thác triển chỉnh hình đến  và f n  f trong H  , X  . Theo [6],
X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs.

(ii) Cho n  1
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng Z  U  W , trong đó U là đa đĩa mở
trong  n1 và W là một tập mở trong  .
Với mỗi tập đa cực S trong Z , đặt:

S    z U : z  W  S 
S   w W : U  w  S 

Khi đó, S ' và S '' tương ứng là các tập đa cực trong U và W . Thật vậy, ta chỉ cần kiểm
tra tính chất này đối với S ' , còn S '' thì tương tự.
Cho z0  S ' , gọi w0 W sao cho  z0 , w0   S . Vì S là tập đa cực nên ta có thể tìm được

một lân cận U 0  W0 của  z0 , w0  trong U  W và một hàm đa điều hòa dưới  trên U 0  W0 sao
cho 

S U 0 W0 

  và   z0 , w0    .

Nếu ta đặt   z     z , w0  với z U 0 thì  là hàm đa điều hòa dưới trên U 0 sao cho

  z     z , w0    với mọi z U 0  S  và   z0     z0 , w0    .
Ta đặt: S W   z U :  z , w   S  với mỗi w W và S z  w W :  z , w   S  với mỗi
z U

Thì S W là tập đa cực với mỗi w  S  và tương tự S z cũng là tập đa cực với mỗi z  S  .
Vì w  S  nên tồn tại a  S  sao cho  a, w   S . Theo định lý Josefson ta có thể tìm được
một hàm đa điều hòa dưới  trên U  W sao cho  S   và   a, w    .
Định nghĩa hàm đa điều hòa dưới  trên U bởi   z     z , w  , z U .
Suy ra    và 

SW

  .


Bây giờ xét một chuổi

f 
k

các ánh xạ chỉnh hình trên U  W \ S vào X hội tụ đến f

trong H U  W \ S , X  . Với mỗi w  S  và mỗi k  1 xét ánh xạ chỉnh hình f kw : U \ S W  X
được cho bởi
z  f kw  z   f k  z , w 

Theo giả thiết quy nạp thì f kw  f k trong H U , X  .
Tương tự, với mỗi z  S  , chuổi các ánh xạ chỉnh hình

 fk , z   H W \ S , X  được cho

bởi công thức: f k , z  w   f k  z , w  , hội tụ về f z trong H U , X  . Do đó ta có thể định nghĩa
ánh xạ chỉnh hình:

f1 : U \ S   X , f1  z, w   f z  w 
Và
f 2 : U  W \ S   X , f 2  z , w   f w  z  .

Đầu tiên ta chỉ ra rằng f1 và f 2 là chỉnh hình. Theo Shiffman [23] và khả năng thác triển
chỉnh hình của X thì đủ để kiểm tra rằng f1 ( tương ứng f 2 ) là chỉnh hình trong z U \ S 
(tương ứng w W \ S  ). Ta chứng minh phát biểu đúng cho f1 , còn trong trường hợp f 2 là
tương tự. Cố định w W . Gọi

z p   U \ S ,z p   z U \ S  . Vì

S đóng nên ta có tập

 

P    S z   S z là một đa tạp cực trong W . Nói cách khác, từ giả thiết quy nạp suy ra:
 p 1 p 




H W , X   H W \ P, X  nên
Vì f z  f z trong H W \ P, X  nên f z  f z trong H W , X  .
p

p





 

 

Do đó, f1 z p , w p  f z p w p  f z  w   f  z , w  với mọi w p  w trong W . Suy ra,

f1 liên tục trong U \ S   W . Tương tự f 2 liên tục trong U  W \ S  .
Vì U  W \ S  U \ S    W \ S   và U  W \ S trù mật trong U  W nên ta có :

 *

f1 U \ S W \ S   f 2 U \ S W \ S 


Hơn nữa, f z  w   f1  z, w   f 2  z, w  f w  z  với z U \ S  và w W \ S  nghĩa là f1
chỉnh hình tách được trên

U \ S    W \ S  .

U \ S   W \ S  . Tương tự,

f 2 cũng chỉnh hình U \ S    W \ S   .

Theo Shiffman [23], f1 chỉnh hình trên

Do tính liên tục của f1 và f 2 tương ứng trên U \ S   W và U  W \ S  nên từ biểu thức

 *

ta có thể định nghĩa một hàm f trên U \ S   W   U  W \ S   được xác định như sau:
U \ S W  f1

f

và f

U W \ S   f 2

là ánh xạ chỉnh hình tách được .
Theo Shiffman [23] thì f sẽ chỉnh hình. Từ [6]:
^

U \ S   W   U  W \ S     U  W

ta suy ra f chỉnh hình trên U  W . Nói cách khác: fˆk

U \S

fˆk và fˆ lần lượt được xác định bởi f k và f . Suy ra, fˆk
đó f k

U \ S W

f

U \ S W

 fˆ

U \S

U \S

fˆ

trong H W \ S , X  , với

U \S

trong H W , X  và do

. Hoàn toàn tương tự ta cũng có f k  f trong H U  W , X  .

Định lý được chứng minh hoàn toàn .
2.1.3. Định lý. Mọi miền Siegel D dạng 2 trong không gian Banach B có tính chất thác triển

đồng luân trên tạp đa cực trong đa tạp Banach.

Trong đó, miền Siegel dạng 2 trong B là miền có dạng

D   u, v   B  A  iA  W : Im u  F  w, w  V 
với A là một không gian Banach thực, F : W  W  A  iA là một ánh xạ V -Hermit và V là
một nón phức mở trong A .
Chứng minh

(i) Đầu tiên chúng ta sẽ kiểm tra D là tạp lồi trong B . Thực vậy, với mọi  u1 , w1  ,  u2 , w2   D
và với mọi    0,1 , ta có:
Im  u1  1    u2   F  w1  1    w2 , w1  1    w2 
   Im u1  F  w1 , w1    1     Im u2  F  w2 , w2  

  1    F  w1  w2 , w1  w2  V

Do đó,  u1  1    u2 , w1  1    w2   D , tức là D là tạp lồi trong B .
(ii) Đặt V   x  A : x*  x   0,  I 


Vì V là nón nên ta có

 Kerx  0

*

I

Cho  u1 , w1  ,  u2 , w2  điểm trên D sao cho u1  u2 . Không mất tính tổng quát ta có thể
giả sử rằng Re u1  Re u2 . Chọn   I sao cho x*  Re u1   x*  Re u2  . Gọi z*   A  iA  được
*

cho bởi z*  x  iy   x*  x   ix*  y  .
Khi đó

z*  u 
f  u, w   *
;  u, w  D
z  u   1

là hàm bao chỉnh hình trên

D

với

f  u1 , w1    u2 , w2  .

(iii) Giả sử tồn tại đường thẳng phức khác hằng L trong D . Theo (ii) ta có thể giả sử rằng L có
dạng  u0 ,  w0  ,    .
Vì

 Kerx  0

*

I

được z* sao cho z*
k

k



 

và i Im u0  k 2 F  w0 , w0  ,0  D với mỗi k  1 nên ta có thể tìm

 yk    , trong đó



yk  i Im u0  k 2 F  w0 , w0 



Với mỗi k  1 , xét hàm bao chỉnh hình f k trên D được định nghĩa:

f k  u, w  

z*  u 
k

z  u   1
*

k



Đặt Tk  u, w   u  Re u0  2iF  w, kw0   ik 2 F  w0 , w0  , w  kw0



u
u kw 

zk   i Im 0  Re 0 , 0 
2
2 2 

Vì Tk là song chỉnh hình từ D vào D nên ta có thể xác định g k  f k  Tk , k  1
Từ bất đẳng thức sup

 zk 
1
 zk   1

z*
z*

k

k

nên tồn tại chuỗi  k  các tự đẳng cấu của  sao

cho:
 z*  u  

  0 với k  1

k  * k
 z u   1 
 k

 z*  y  

k
  0 khi k  
và  k  * k
 z  y  1
 k k



 u kw 
Cố định q  D . Vì Tk   0 , 0   zk với k  1 và dựa vào tính chất của  ta có:
2 2 
sup  k  f k  Tk  q   1
k 1

Đồng thời khi đó tồn tại chuỗi  k  các tự đẳng cấu của  sao cho  k k g k  q   0 với
k  1 và  k k g k  u0 , kw0   1 khi k   . Điều này không thể xảy ra. Do đó D là một miền lồi
không chứa đường thẳng phức nào.
(iv)

Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra D có tính chất 1- thác triển chỉnh hình chặt. Cho

 f   H  \ S, D
k

với f k  f trong H   \ S , D  . Gọi z0  S . Vì S phân cực, dim S  0 và

do đó tồn tại lân cận U 0 của z0 sao cho U 0   . Gọi U là lân cận của z0 trong Z sao cho
U  S  U 0 . Cho  là một hàm  trong lân cận của U sao cho 0    1, 

S U  0

và

  1 trong lân cận của U .
Theo định lý Sard, tồn tại 0  r  1 sao cho  1  r  là đường cong  . Đặt:
W   z U :   z   r
Với mỗi k  1 xét hàm chỉnh hình g k trên W được cho bởi công thức:

gk  z  

fk t 
1
dt
2 i W t  z

Vì x* g k chỉnh hình trên W với mọi   I nên x* g k  x* f k

W

với   I và k  1 , trong

đó  x*   B* được chọn sao cho D   Re x*    
Chúng ta có thể giả sử rằng 0  D và   0 với mọi   I . Từ (ii) ta có:  ker x*  0


và suy ra g k

W \ S  fk W \ S

với mọi k  1 .

Do đó f k được thác triển đồng luân đến z0  S . Vì z0 được chọn bất kì nên f k được
thác triển đến hàm chỉnh hình fˆk trên Z . Hơn nửa fˆk  f k trong H  Z , B  . Ta kiểm tra
fˆ     D . Thực vậy, từ z0 ở trên và W ta có f  W   D và suy ra Re x* f  W     với

 I .
Dựa vào quy tắc cực đại của hàm điều hòa, ta có Re x* f  z0     với   I , tức là
f  z0   D . Do đó f W   D .