ứng dụng của lý thuyết nevanlinna cho phương trình vi phân và điểm bất đông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

________________

Lê Văn Vĩnh

Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số
Mã số
: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009


BẢNG KÍ HIỆU


p

: Trường số p-adic.



p

: Bao đóng đại số của

p

: Trường đầy đủ hóa của p .

p

.

.p

: Giá trị tuyệt đối p-adic.

ord p  z 

: Chỉ số mũ của z .



: Bán kính hội tụ.

B 

: Quả cầu mở tâm 0 bán kính  .

B r 

: Quả cầu đóng tâm 0 bán kính  .

  r, f 

: Số hạng cực đại.

  r, f 

: Chỉ số tâm.

 1
n  r, 
 f 

: Số không điểm của f (kể cả bội) với trị tuyệt đối  r

 1
N  r, 
 f 

: Hàm trị của f đối với 0.

 1
n  r, 
 f 

: Số không điểm của f (không kể bội) với trị tuyệt đối  r .

 1
N  r, 
 f 

 1
: Hàm trị của f tương ứng với n  r ,  đối với 0.
 f 

m  r, f 

: Hàm bù của f .

T  r, f 

: Hàm đặc trưng của f .



p

z

: Trường các hàm hữu tỉ trên p .

O 1

: Đại lượng bị chặn.

O f 

: Đại lượng bị chặn so với f .

o f 

: Đại lượng vô cùng bé đối với f .


MỞ ÐẦU
Gần đây, lý thuyết Nevanlinna đã trở thành một trong những lĩnh vực toán học
năng động. Chẳng hạn, Khoái [3], Khoái-Quang [6] đã chứng minh tương tự padic của hai “định lí chính” và mối quan hệ về số khuyết của lý thuyết
Nevanlinna cổ điển. Khoái [4] đã nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna nhiều biến, và
đã chứng minh mối liên hệ về số khuyết của các siêu phẳng trong vị trí tổng quát.
Cherry-Yang [13] đã mô tả một số tập xác định duy nhất với số phần tử hữu hạn
của các hàm nguyên p-adic. Có hai “định lí chính” và các mối quan hệ về số
khuyết, chúng đóng vai trò trọng tâm trong lý thuyết Nevanlinna. Những kết quả
này đóng góp quan trọng trong việc nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết
Nevanlinna.
Trong giải tích phức, một trong những ứng dụng nổi bật của lý thuyết
Nevanlinna là ứng dụng trong phương trình vi phân đại số. Cụ thể, lý thuyết
Nevanlinna được sử dụng trong việc nghiên cứu tính chất nghiệm là hàm nguyên
hay hàm phân hình của phương trình vi phân. Chẳng hạn, lý thuyết Nevanlinna
được sử dụng để chứng minh định lí Malmquist’s và một ví dụ điển hình trong số
các kết quả của định lí kiểu Malmquist là: “Nếu P  X  và Q  X  là các phần tử
nguyên tố cùng nhau trong vành đa thức một biến với hệ số trong trường các
hàm hữu tỉ theo biến z với hệ số phức và phương trình vi phân f  

P f 
có
Q f 

một nghiệm phân hình siêu việt f, khi đó Q là một đa thức bậc không theo biến X
và P có bậc tối đa bằng 2”. Kết quả trên là nền tảng để xây dựng các định lí kiểu
Malmquist tổng quát hơn sau này trong giải tích phức. Về sau, các kết quả trong

giải tích phức thường được xây dựng tương tự trong giải tích p-adic; vì vậy, ý
tưởng nghiên cứu tính chất nghiệm của các phương trình vi phân đại số, đặc biệt
là các kết quả kiểu Malmquist tương tự p-adic là điều tất yếu.


Trong luận văn này, tôi đã trình bày các phương trình vi phân đại số p-adic
dạng:



 z , w, w,..., w

n

  R  z, w ,

Trọng tâm của phần này là tập trung vào việc nghiên cứu các tính chất nghiệm
của phương trình vi phân đại số, cụ thể, ta sẽ chỉ ra rằng một số phương trình vi
phân đại số không có nghiệm phân hình siêu việt chấp nhận được. Hơn nữa, các
kết quả còn được mở rộng trong các trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn như
định lí Malmquist-type (I), định lí Malmquist-type (II) và nghiên cứu nghiệm
chấp nhận được của một số phương trình vi phân cụ thể. Các kết quả này là nội
dung trọng tâm của chương 2.
Trong chương 3, tôi đã trình bày tương tự p-adic của định lí Baker trong giải
tích phức, định lí nghiên cứu điểm bất động của hàm nguyên siêu việt, đó là:
“Nếu f là hàm nguyên siêu việt trên

p

cấp n, trừ nhiều nhất một giá trị của n”.

, khi đó f sở hữu vô hạn điểm bất động


Chương 1: LÝ THUYẾT NEVANLINNA
CỦA HÀM PHÂN HÌNH p-ADIC
Trong chương này, tôi sẽ trình bày các kết quả quan trọng và cần thiết của lý thuyết
Nevanlinna của hàm phân hình p-adic, các kiến thức này sẽ bổ trợ cho phần trọng
tâm của luận văn này là chương 2 và 3.
1.1 Lý thuyết Nevanlinna của hàm phân hình p-adic:
Cho p là một số nguyên tố, gọi
adic của bao đóng đại số

p

là trường các số p-adic, và

p

của

p

p

. Giá trị tuyệt đối . p trong

là đầy đủ hóa pp

được chuẩn

hóa sao cho p p  p 1 . Ta cũng dùng kí hiệu ord p  z    log p z p . Nhắc lại rằng,

trong không gian mêtric đầy đủ có được nhờ chuẩn phi Archimedean, mỗi tổng vô
hạn hội tụ nếu và chỉ nếu số hạng tổng quát tiến dần về không. Khi đó biểu diễn
dưới dạng:


a

f  z    an z n

n

n 0



p



được xác định tốt khi
an z n  0
p

Định nghĩa “ bán kính hội tụ  ” bởi
1



 lim sup an
n 

p

1
n

.

Khi đó chuỗi hội tụ nếu z p   và phân kì nếu z p   . Cũng vì thế hàm f  z 
được gọi là hàm giải tích p-adic trên B    , ở đó



B   z 

p



zp .

Nếu    , hàm f  z  được gọi là hàm nguyên p-adic trên

P

.

Cho f là hàm giải tích p-adic khác hằng trên B   

 0      . Ta định nghĩa số

hạng cực đại:

  r , f   max an p r n

0  r   

n0

và chỉ số tâm:





  r , f   max n an p r n    r , f  .
n0

Định nghĩa

  0, f   lim  r , f  .
r 0

Bổ đề 1.1.1: Nếu f và h là hai hàm giải tích p-adic trên B    , khi đó:

  r , fh     r , f    r , h  .

Bổ đề 1.1.2: Chỉ số tâm   r , f  tăng khi r   , và thỏa mãn công thức:
r

  t , f     0, f 

0

t

log   r , f   log a  0, f   
p

dt    0, f  log r

0  r   

Hệ quả 1.1.3:   r , f  là hàm số liên tục trên  0,   .

Bổ đề 1.1.4: (Weierstrass Preparation Theorem): Tồn tại duy nhất đa thức P bậc

  r , f  và một hàm giải tích p-adic g trên B  r  sao cho f  gP , ở đó



B r   z 

p

zp r



Hơn nữa, g không có bất kì không điểm nào trong B  r  , và P có đúng   r , f 
không điểm, kể cả bội trong B  r  .
 1
Gọi n  r ,  là số không điểm ( tính cả bội ) của hàm f với trị tuyệt đối  r và
 f 

định nghĩa hàm trị của f đối với 0 bởi:


 1
 1
n  t ,   n  0, 
r
f 
 1
 f  dt  n  0, 1  log r
N  r,    


t
 f  0
 f 

0  r   .

Bổ đề 1.1.3 chỉ ra rằng
 1
n  r,     r, f .

 f 

Khi đó bổ đề 1.1.2 cho ta công thức Jensen:
 1
N  r ,   log   r , f   log a  1  .
n 0, 
 f 
 f  p
 1
Ta cũng kí hiệu số không điểm phân biệt của f trên B  r  bởi n  r ,  và định
 f 

nghĩa
 1
 1
n  t ,   n  0, 
r
f 
 1
 f dt  n  0, 1  log r
N  r,    


t
 f  0
 f 

0  r   .

Với mỗi n ta vẽ đồ thị  n  t   ord p  an z n   ord  an   nt như là hàm của

t  ord p  z  . Khi đó  n  t  là một đường thẳng với hệ số góc n . Gọi   t , f  là bờ

giao nhau của tất cả các nửa mặt phẳng nằm dưới đường  n  t  . Đường thẳng này
được gọi là đa giác Newton của hàm f  z  . Điểm t tại đỉnh của   t , f  được gọi là
đỉnh tới hạn của f  z  . Một đoạn hữu hạn  ,   chỉ chứa một số hữu hạn các điểm
tới hạn. Rõ ràng nếu t là một điểm tới hạn, thì khi đó hàm f  z  có ít nhất hai số
hạng cực đại. Hiển nhiên, ta có:

  r , f   p   t , f 
trong đó r  p  t .


Tính chất 1.1.5: Nếu t  ord p  z  không là điểm tới hạn, khi đó
f  z p  p

 t , f 

   r, f .

Định nghĩa 1.1.6: Hàm biểu diễn dưới dạng thương f 

g
của hai hàm giải tích
h

p-adic g và h sao cho g và h không có nhân tử chung trong vành các hàm giải tích
p-adic trên B    được gọi là hàm phân hình f trên B    .

Ta có thể mở rộng  cho hàm phân hình f 

  r, f  

g
bằng cách định nghĩa
h

  r, g 
.
  r, h

Ta cũng đặt

 t, f    t, g    t, h .
Rõ ràng, nếu t  ord p  z  không là điểm tới hạn của f  z  , hay t không là điểm tới
hạn của g  z  và h  z  , khi đó
f  z p  p

 t , f 

   r, f .

Định nghĩa
p

Khi đó  p w w 



Nếu a : [0, ) 

p

và

và b :

p

p





 z p z

p

.
[0, ) .

trù mật trong

là các hàm giá trị thực, khi đó
ar  br

nghĩa là với bất kì số dương hữu hạn nào 0  R   , có một tập hữu hạn E trong
p

  0, R  sao cho

a r   br ,

r zp

p

  0, R   E


Bằng cách sử dụng kí hiệu trên, ta có

  r, f   f  z 

p

đối với hàm phân hình p-adic f trên B    .
Định nghĩa hàm đếm n  r , f  và hàm trị N  r , f  của f đối với cực điểm
 1
n  r, f   n  r,  ,
 h

 1
N  r, f   N  r, .
 h

Áp dụng công thức Jensen cho g và f , ta thu được công thức Jensen cho hàm phân
hình:
 1
N  r ,   N  r , f   log   r , f   C f
 f 

ở đó C f là hằng số chỉ phụ thuộc vào f . Định nghĩa
m  r , f   log    r , f   max 0,log   r , f .

Cuối cùng, ta định nghĩa hàm đặc trưng:
T  r, f   m  r, f   N  r, f  .

Tính chất 1.1.7: Cho f i  M 
 k
N  r, 
 i 1

Tính chất 1.1.9:

  i  1, 2,..., k  . Khi đó với r  0 , ta có:

 k
f i    N  r , fi ,
 i 1

Tính chất 1.1.8: Cho f i  M 
 k
m  r, 
 i 1

p

p

 k

N  r, 
 i 1

 k
fi    N  r , f i .
 i 1

  i  1, 2,..., k  . Khi đó với r  0 , ta có

 k

fi   max m  r , f i  , m  r , 
 1i k
 i 1

Cho f i  M 

 k
T  r, 
 i 1

p

 k
f i    m  r , fi .
 i 1

  i  1, 2,..., k  . Khi đó với r  0 , ta có

 k

 k
fi    T  r , f i , T  r , 
 i 1
 i 1

 k
fi    T  r , f i .
 i 1


Tính chất 1.1.10: Cho w  M 









N r , w
m r , w

p

 . Khi đó với 

là số nguyên dương tùy ý, ta có

  N  r, w   N  r, w    1 N  r, w



 w  
 m  r, w  m  r,
  m  r , w   O 1

w



từ đó suy ra
 w  
 1
N  r,
   N  r , w   N  r ,  .

w 
 w


Sau đây là một số kết quả quan trọng của lý thuyết Nevanlinna sẽ được sử dụng
trong các phần sau.
Định lí 1.1.11: ( Định lí chính thứ nhất ) Cho f là một hàm phân hình khác

hằng trong B    . Khi đó với mỗi a 

p

ta có:



1 
1 
m  r,
  N  r,
  T  r , f   O 1
 f a
 f a

 r   .

Định lí 1.1.12: ( Tính chất đạo hàm logarit ) Cho f là một hàm phân hình khác

hằng trong B    . Với mỗi số nguyên dương n bất kì, ta có
 f  n 
m  r,
  O 1

f



 r   .

Định lí 1.1.13: ( Định lí chính thứ hai ) Cho f là một hàm phân hình khác hằng

trong B    và gọi a1 , a2 ,..., aq là các số đôi một khác nhau trong
q



j 1



 q  1 T  r , f   N  r , f    N  r ,

1
f  aj

p

. Khi đó


  N1  r , f   log r  O 1


q

1 
 N  r, f    N  r,
 log r  O 1
 f  a 
j 1
j



ở đó
 1
N1  r , f   2 N  r , f   N  r , f    N  r ,  .
 f

Tính chất 1.1.14: Nếu f là hàm nguyên khác hằng trên

p

. Khi đó:

 1
N  r ,   T  r , f   O 1 ,
 f 

hơn nữa, với mọi a 

p

ta có:

1 
N  r,
  T  r , f   O 1 .
 f a

1.2 Cấp tăng của hàm phân hình p-adic:

Gọi M 

p

 là không gian các hàm phân hình p-adic trên

p

. Định nghĩa

k

A  r , w   a j  z  w j ,
j 0

trong đó a j  M 

p

 với a

k

Định nghĩa 1.2.1: Cho a 

 0.

p

  , gọi  af  z0  là bội số của f giá trị a tại

z0 , tức là  af  z0   m nếu và chỉ nếu

 a   z  z0  m h  z  : a  

f z  
h z
: a

m
 z  z0 


với h  z0   0,  .

Bổ đề 1.2.2: Với z0 

p

, w  z0    , ta có:





k


A

 z0   k   z0    a  z0 


A

 z0   k   z0    a0  z0 .

Bổ đề 1.2.3: Nếu w  M 


w

j 0
k


w

p

j

j 0

j

 , khi đó

 k 
 1
N  r , A   kN  r , w   O    N  r , a j   N  r ,

 a
 j 0 
j

 

Bổ đề 1.2.4: Nếu w  M 

p


   .

  

 , khi đó

 k 
 1
m  r , A   km  r , w   O    m  r , a j   m  r ,
 a
 j 0 
j

 


   .

  

Từ bổ đề 1.2.1 và 1.2.2 ta có kết quả sau:
Định lí 1.2.5: Nếu w  M 

p

 , khi đó

 k

T  r , A   kT  r , w   O   T  r , a j   .
 j 0


Lấy b0 , b1 ,..., bq   M 

p

 với b

q

 0 và định nghĩa
q

B  z, w   b j  z  w j .
j 0

Giả sử rằng A  z , w  và B  z , w  là các đa thức nguyên tố cùng nhau đối với w .
Định nghĩa

R  z, w 

A  z, w
.
B  z, w


Bổ đề 1.2.6: Cho z0 

p

, Nếu  B  z0   0 thì  R  z0    A  z0    B  z0  . Trong

trường hợp  B  z0   0 ta có  R  z0    A  z0    B  z0  .
Định lí 1.2.7: Nếu w  M 

p

 , khi đó:

q
 k

T  r , R   max k , q T  r , w   O   T  r , a j    T  r , b j   .
j 0
 j 0


Định lí 1.2.8: Nếu w là một hàm nguyên p-adic khác hằng và nếu
f M 

p

   z  , khi đó:
p

T  r , f w 
  .
r  T  r , w 

lim

Hệ quả 1.2.9: Một hàm phân hình p-adic f trên

là một hàm hữu tỉ bậc d nếu

p

và chỉ nếu, với mọi hàm nguyên p-adic khác hằng w trên

p

, ta có

T  r , f w 
d.
r  T  r , w 

lim

Hệ quả 1.2.10: Một hàm phân hình p-adic f trên

p

là một hàm hữu tỉ bậc d

nếu và chỉ nếu
T  r, f 
d.
r  log r

lim

Hàm phân hình p-adic trong M 

p

nhiên, một hàm phân hình p-adic trên

   z  được gọi là hàm siêu việt. Hiển
p

p

là siêu việt nếu và chỉ nếu

T  r, f 
  .
r  log r

lim


Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ p-ADIC
Trong chương này, tôi sẽ trình bày tương tự phi archimedean định lí Malmquisttype trong phương trình vi phân.
2.1 Phương trình vi phân đại số p-adic:
Định nghĩa 2.1.1: Phương trình vi phân đại số p-adic là phương trình có dạng





n
 z , w, w,..., w   R  z , w 

(1)
trong đó



 z , w, w,..., w

(2)

n

  c w
i

iI

i0

 w

i1

 

... w

n

in

và i   i0 , i1 ,..., in  là các chỉ số nguyên không âm, I là tập hữu hạn, ci  M 
và R  z , w  là một hàm phân hình p-adic trên

2
p

p

.

Ta định nghĩa
 n 
 n

 n


deg     max  i  ,      max    1 i  ,      max   i  .
iI
iI
iI
 0 
 0

  1




Bổ đề 2.1.2: Với toán tử  z , w, w,..., w

n



 

  ci wi0  w  1 ... w
i

iI

n

in

ta có:

  z0        w  z0    c  z0  .
iI

i

Chứng minh:

 

Đặt Ai   ci wi0  w  1 ... w
i

iI

n

in

. Khi đó,

n

 A  z0   c  z0      1 i  w  z0  (do  w   z0    w  z0   k ).
i

i

k

 0

,


 n

Theo định nghĩa của      max    1 i  , suy ra:
iI
 0


  z0        w  z0    c  z0  .
iI

Tính chất 2.1.3: Với w  M 

p

i

 , ta viết   z  dưới dạng:



  z    z , w  z  , w  z  ,..., w

n

 z .

Khi đó ta có:
(3)

N  r ,    deg    N  r , w       N  r , w    N  r , ci 
iI

N  r ,        N  r , w    N  r , ci 
iI

(4)

n

 w   
m  r ,    deg    m  r , w   max m  r , ci    i m  r ,


iI
w  
 1


 deg    m  r , w    m  r , ci   O 1
iI

(5)

T  r ,    deg    T  r , w       N  r , w    T  r , ci   O 1

iI

T  r ,        T  r , w    T  r , ci   O 1 .
iI

Chứng minh:

Theo tính chất 1.1.10 ta có:



N r , w

 

Suy ra N  r , ci wi0  w  1 ... w

i

n

in



  N  r , w   N  r, w

n
n
   i  N r, w    i  N r, w  N r, c

       i 
    
   0 
  1


và
N  r ,    deg    N  r , w       N  r , w    N  r , ci 
     N  r , w    N  r , ci 
iI

Theo tính chất 1.1.8 và 1.1.10 ta có:

iI


 

i
n
m  r , ci wi0  w  1 ... w 


in

 
n
n
   i  m r, w  m r, c  i m  r, w 
  i    


    
w 
   0 
 1


Cũng theo tính chất 1.1.8 ta suy ra:
n

 w   
m  r ,    deg    m  r , w   max m  r , ci    i m  r ,
  .

iI
w
 1


 

 w  
Theo định lí 1.1.12 ta có: m  r ,
  O 1 nên:

w



m  r ,    deg    m  r , w   max m  r , ci   O 1

iI

 deg    m  r , w    m  r , ci   O 1
iI

Từ kết quả (1) và (2) ta thu được:
T  r ,    deg    T  r , w       N  r , w    T  r , ci   O 1
iI

 deg    T  r , w       T  r , w    T  r , ci   O 1
iI

     T  r , w    T  r , ci   O 1 .
iI

Định nghĩa
(6)

R  z, w 

A  z, w
, trong đó A  z , w  và B  z , w  là các đa thức nguyên tố
B  z, w
k

q

cùng nhau đối với w và A  r , w    a j  z  w , B  z , w    b j  z  w j ,
j

j 0

với a0 ,..., ak , b0 ,..., bq   M 
Bổ đề 2.1.4: Cho w  M 

p

p

, a

k

j 0

 0, bq  0 . Ta có kết quả sau:

 là một nghiệm của (1), trong đó. Nếu q  k , khi đó

  1 q

 7  m  r ,     m  r , ci    m  r , a j   O  m  r ,    m  r , b j  
iI
j 0
  bq  j 0

k

8

k
 q  1
N  r ,     N  r , ci    N  r , a j   O   N  r ,
 j 0  b j
iI
j 0




 






k



T  r ,     T  r , ci    T  r , a j   O T  r , b j  .

9

iI

j 0

Chứng minh:

Lấy z 

p

với
w  z   0, ;
ci  z   0, 

a j  z   0, 

0  j  k ;
 i  I  ; b j  z   0,   0  j  q  ,

và định nghĩa
1


q j


b
z


j  p
  .
  z   max 1, 
0 j  q
  bq  z  p  




Nếu w  z  p    z  , ta thấy

b j  z  w  z  p  bq  z    z 
j

p

q j

p

w  z  p  bq  z  w  z  p .
j

q

p

Khi đó
  z , w  z    bq  z  w  z  p . (do tính chất của chuẩn phi-archimedean)
q

p

p

Khi đó

 z p 

A  z, w  z  
B  z, w  z  

p





max a j  z  w  z 
0 j  k

j

bq  z  w  z  p
q

p

p

  max  a  z 
0 j  k

p

j

w z  p
k

p

bq  z  w  z  p
q

p

(do w  z  p    z   1 )




max a j  z  w  z  p
0 j  k

q

p

bq  z  w  z  p
q

p



1

max a j  z  .
p
bq  z  0 j k
p

(do q  k )




Nếu w  z  p    z  , khi đó:
 z p 

 c w  w
iI

  z

i

i0

deg   

i1

 
 n

... w

max ci  z  p
iI

i

in


p

 c  z  w z 
iI

i

i1

n
w  z 
w   z 
...
w z  p
w z 

i0  i1 ... in

1
 w  z    w n   z  



 ... 

 w z    w z  

in

in

p

Kết hợp hai trường hợp ta được:
 z p

in
i1
n
 aj  z
w  z 
w   z  
deg   

p
 max 
, z
max ci  z  p
...

iI
0 j  k ,iI

w z  p
w z  
 bq  z  p
p



in
i1
n

 a j  z  p

w z
w z
  b j  z  p
 max 
, max ci  z  p
...
max 1,
iI
0 j  k ,iI
0 j  q
w
z
w
z
b
z







q

  bq  z  p
p
p
p








deg   
q j








Suy ra

deg    



i
i1
n n

q j




b
   r, a j 

w
w




j
  r ,    max 
,   r , ci    r ,  ...  r ,
max
1,

,
,

r





 0 j  q
 b 
0 j  k ,iI  r , b
w
w




q



  q





(do

  r , f   f  z  đối với mọi hàm phân hình p-adic f ).
p

Bất đẳng thức này đúng trong trường hợp z p  r với z thỏa mãn điều kiện chọn
ban đầu, nhưng do tính chất liên tục của hàm  nên bất đẳng thức trên cũng đúng
cho mọi r  0 . Suy ra
i1


 1
 w 
log   r , a j   log   r ,  ,log   r , ci   log   r ,   ...

b
w


 q


log   r ,    max 

i
n
0 j  k ,iI
 1   deg    
 w n  


log1,log   r , b j   log   r ,  
  log   r , w   max

0 j  q



 bq   q  j 




Suy ra
i1


 1
 w 
m  r , a j   m  r ,  , m  r , ci   m  r ,   ...

 w


 bq 
m  r ,    max 

in
0 j  k ,iI
 1   deg    
  w n  

 m  r , b j   m  r ,  
 m  r , w  max

0 j  q


 bq   q  j 
 

k
  1 q

  m  r , ci    m  r , a j    m  r ,    m  r , b j   O 1
  bq  j 0

iI
j 0

 

k
  1
  m  r , ci    m  r , a j   O  m  r ,
  bq
iI
j 0
 


 q

m
r
b
,

   j  

 j 0


 w  
(do m  r ,
  O 1 , 1    n ).

w



Lấy điểm z0 

p

, w  z0    . Theo bổ đề 1.2.2 ta có:
k

 A  z0   k  w  z0     a  z0 ,
j

j 0
q

 B  z0   q w  z0    b0  z0 
j

j 0

Nếu q


w

q

 z0    b0  z0   0 , khi đó
j

j 0

q

 B  z0   q w  z0    b0  z0   0
j 0

j

Theo bổ đề 1.2.6 ta có:

 R  z0    A  z0    B  z0 
Mặt khác:


k



j 0

 

q

 

j 0



 A  z0    B  z0    k  w  z0    a  z0     q w  z0    b0  z0  
 k  q 


w

k

q

j

k

j



q

 z0      z0      z0      z0    b0  z0 
j 0


aj

j 0

0
bj

j 0


aj

j 0

j

(do q  k ).


Suy ra
q

k

  z0    R  z0    A  z0    B  z0    a  z0    b0  z0 
j 0

q

j

j

j 0

1 q 0
Nếu q  z0      z0   0    z0    b j  z0 
q j 0
j 0

w


w

0
bj

Theo bổ đề 2.1.2, ta có:

  z0        w  z0    c  z0  
iI

i

  q 0
b j  z0    ci  z0 

q j 0
iI

Kết hợp cả hai trường hợp ta được:
    q 0

  b j  z0    ci  z0 
q  j 0
iI


k

  z0    a  z0   max 1,
j 0

j

Trong trường hợp w  z0    ta quay về trường hợp hai do
q

q

j 0

j 0

q w  z0    b0j  z0    b0j  z0   0

Từ đó ta cũng suy ra
    q 0

  z0      z0   max 1,
  b j  z0    ci  z0 
q  j 0
j 0
iI




k


aj

Do đó
k

    q 0

  b j   ci
q  j 0
iI


   a  max 1,
j 0

j

Từ đó suy ra
 q  1
N  r ,     N  r , ci    N  r , a j   O   N  r ,
 j 0  b j
iI
j 0


k


  .



Lấy (7) và (8) cộng theo từng vế ta được:
k





T  r ,     T  r , ci    T  r , a j   O T  r , b j  .
iI

j 0


Định nghĩa 2.1.5: Một nghiệm w của (1) với R  z , w  được xác định bởi (6) được

gọi là chấp nhận được nếu w  M 

 thỏa mãn (1) với

p

q

k

 T  r , c    T  r , a    T  r , b   o(T  r , w).
i

iI

Định lí 2.1.6:
w M 

p

j

j 0

j 0

j

Nếu R  z , w  có dạng (6) và nếu (1) có nghiệm chấp nhận được

 , khi đó





k  min     ,deg         1   w     .

q  0,

Chứng minh: Biểu diễn

A  z, w
A  z, w
 A1  z , w   2
B  z, w
B  z, w

trong đó deg  A1   k  q nếu k  q , và deg  A2   k2  q .
Khi đó phương trình (1) trở thành:



n



n

 z , w, w,..., w

  A  z, w  AB zz,,ww ,
2

1

suy ra
 z , w, w,..., w

  A  z, w  AB zz,,ww .
2

1

Theo bổ đề 2.1.4 ta có:



k



T  r ,   A1    T  r , ci    T  r , a j   O T  r , b j   o T  r , w  
iI

j 0

T  r ,   A1   o T  r , w  



(do w là nghiệm chấp nhận được)
Theo định lí 1.2.7 ta có:
q
 k

 A2 
T  r ,   A1   T  r ,   max k2 , q T  r , w   O   T  r , a j    T  r , b j   .
 B
j 0
 j 0


 qT  r , w   o T  r , w   .


Do đó q  0 , và (1) trở thành





n
 z , w, w,..., w   A  z , w  .

Theo định lí 1.2.5 ta có:
 k

T  r ,    T  r , A   kT  r , w   O   T  r , a j    kT  r , w   o T  r , w   .
 j 0


Theo (5) ta có:
T  r ,    deg    T  r , w       N  r , w    T  r , ci   O 1
iI

 deg    T  r , w       1   w     T  r , w   o T  r , w  





 deg         1   w     T  r , w   o T  r , w  

và
T  r ,        T  r , w    T  r , ci   O 1
iI

     T  r , w   o T  r , w  

Suy ra





T  r ,    min     ,deg         1   w     T  r , w   o T  r , w  

Do đó:





k  min     ,deg         1   w     .

Hệ quả 2.1.7:
p

 z



và R  z , w  

w  w z  

p



n
Cho  z , w, w,..., w  là một đa thức vi phân với hệ số trong

p

 z, w .

Nếu (1) có một nghiệm phân hình p-adic

 z  , khi đó R  z, w  là một đa thức theo

Chứng minh: Theo hệ quả 1.2.10, vì w  w  z  
T  r, f 
 
r  log r

lim

suy ra
log  r   o T  r , w  

p

w có bậc      .

z

nên ta có:


Vì ci 

p

 z  nên theo hệ quả 1.2.10 ta có:
T  r , ci   O  log r 

suy ra
T  r , ci   o T  r , w   .

Mặt khác:
Do R  z , w  

p

 z, w  nên ai , b j 

p

 z

từ đó suy ra

T  r , ai   T  r , b j   o T  r , w   .

Do đó

k

q

j 0

j 0

 T  r , ci    T  r , a j    T  r , b j   o T  r , w 
iI

nên w là một nghiệm chấp nhận được
Theo định lí 2.1.6 ta suy ra R  z , w  là một đa thức theo w có bậc:





k  min     ,deg         1   w          .

Hệ quả 2.1.8:

Cho R  z , w  là một hàm hữu tỉ của z và w . Nếu có tồn tại một

hàm phân hình siêu việt w  w  z  trên

p

thỏa mãn

n

 dw 

  R  z, w
 dz 

khi đó R  z , w  là một đa thức theo w có bậc  2n .



n

Chứng minh: Đặt  z , w, w,..., w





 dw 


 dz 



n

n
 z , w, w,..., w  , R  z , w  và w  z  thỏa mãn các tính chất trong hệ quả 2.1.7 nên

R  z , w  là một đa thức theo w có bậc     
 n

Trong đó,      max    1 i   2n .
iI
 0



Định lí được chứng minh.


2.2 Định lí Malmquist-type (I):

Trong phần này, ta tiếp tục nghiên cứu phương trình vi phân (1) cho trường hợp
tổng quát hơn của R  z , w  .
Định lí 2.2.1: Cho R  M 

p

 . Nếu phương trình vi phân sau đây:



 z , w, w,..., w

có một nghiệm khác hằng w  M 

p

  R  w

n

 thỏa mãn

 T  r , c   o T  r , w  

iI

i

Khi đó R là một đa thức với





deg( R )  min     ,deg         1   w     .

Chứng minh:

Nhận thấy rằng,
T  r , R  w
T  r, 
 lim
r  T  r , w 
r  T  r , w 

lim
Theo (5) ta có:

T  r ,        T  r , w    T  r , ci   O 1 .
iI

Suy ra
T  r, R  w
T  r,  

 lim
  
r  T  r , w 
r  T  r , w 

lim

Theo định lí 1.2.8 suy ra R là một hàm hữu tỉ.
Mặt khác, vì R là hàm hữu tỉ nên
T  r , a j   T  r , b j   o T  r , w  

Từ đó suy ra
k

q

j 0

j 0

 T  r , ci    T  r , a j    T  r , b j   o(T  r , w).
iI

(do

 T  r , c   o T  r , w   )
iI

i

nên w là nghiệm chấp nhận được.
Theo định lí 2.1.6, suy ra R là một đa thức với





deg( R )  min     ,deg         1   w     .

2.3 Định lí Malmquist-type (II):

Trong phần này, ta sẽ xem xét phương trình vi phân sau đây:

10 



n

  R  z, w   z, w, w,..., w   ,



n

  d w

 z , w, w,..., w

n

trong đó

11

 z , w, w,..., w

jJ

i

i0

 w 

i1

 

... w

n

in

 CardJ  , d  M    .
i

p

Ta có kết quả quan trọng sau đây:
Bổ đề 2.3.1: Cho R  z , w  được xác định như (6) và w là một nghiệm của (10).

Nếu q  k , khi đó
k
 q

 
T  r ,   T  r ,     T  r , ci    T  r , a j   O   T  r , b j   .
 
iI
j 0
 j 0


Nếu q  k  deg    , khi đó
k
 q
 1
m  r ,     m  r , ci    m  r , di    m  r , a j   O   m  r , b j   m  r ,
 b
 j 0
iI
iJ
j 0
 q


Chứng minh:

* Nếu q  k
Lấy z  C p với
w  z   0, ;
ci  z   0, 

và định nghĩa

a j  z   0, 

0  j  k ;
 i  I  ; b j  z   0,   0  j  q 


  .

