KHẢO SÁT MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC PHI TUYẾN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN THỊ XUÂN ANH

KHẢO SÁT MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH
PARABOLIC PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ : 1.01.01

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
12 -1997


LUẬN VĂN ĐƢỢC HOÀN THÀNH TẠI :
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Người Hướng Dẫn :
PTS Nguyễn Thành Long
Ban Toán - Tin học,
học Đại cƣơng TP.Hồ Chí Minh.
Người Nhận Xét 1 :
PTS Nguyễn Bích Huy
Khoa Toán,
Trƣờng Đại học Sƣ phạm TP.Hồ Chí Minh.
Người Nhân Xét 2 :

PTS Nguyễn Đình Huy
Ban Toán - Tin học,
Trƣờng Đại học Đại cƣơng TP.Hồ Chí Minh.
Người Thực Hiện :
Nguyễn Thị Xuân Anh
Ban Toán - Tin học,
Trƣờng Đại học Đại cƣơng TP.Hồ Chí Minh.

LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƢỢC BẢO VỆ TẠI :
HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VÀN THẠC SỸ TOÁN HỌC
TRƢỜNG ĐAI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin đư ợc gởi đến Thầy PTS Nguyễn Thành Long, Ban Toán
- Tin học, trường Đại học Đại cương Thành phố Hồ Chí Minh, người đã tận tình
hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm lu ận văn lòng biết
ơn chân thành và sâu s ắc nhất.
Xin chân thành cảm ơn các Quý Thầy :
PGS TS Trần Hữu Bổng, PTS Nguyễn Bích Huy, PTS Lê Hoàn Hoa, Khoa Toán,
trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, PTS Nguyên Đình Huy, Ban Toán Tin học, trường Đại học Đại cương Thành phố Hồ Chí Minh đã đọc và đóng góp
nhiều ý kiến quý giá cho bản luận văn này.
Xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các Quý Thầy, Cô thuộc
Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình truyền
đạt và chỉ bảo cho tôi những kiến thức quý giá trong suốt thời gian học tại
Trường.
Xin chân thành cảm ơn các Quỷ Thầy, Cô trong Ban Chủ nhiệm Khoa Toán,
các Quý Thầy, Cô trong Phòng Nghiên cứu Khoa học trường Đại học Sư phạm Thành
phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi có
thể học tập và hoàn thành luận văn này.

Xin chân thành cảm ơn các Thầy PGS TS Đỗ Công Khanh, PGS PTS Võ Đăng
Thảo cùng các Thầy, Cô và các Bạn trong Ban Toán - Tin học trường Đại học Đại
cương Thành phố Hồ Chí Minh đã quan tâm và t ạo điều kiện cho tôi trong quá
trình học tập.
Chân thành cảm ơn sự quan lâm, giúp đ ỡ của các Bạn cùng lớp Cao học
Toán 4A trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.
Cuối cùng xin g ởi đến Gia đình tôi, những người luôn động viên và tạo
mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm vi ệc lời cảm ơn
thân thương nh ất.
Một lần nữa, tôi xin được gởi lời cảm ơn chân thành đ ến các Quý Th ầy,
Cô, Bạn hữu và Gia đình đã giúp tôi hoàn thành b ản luận văn này.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 1997
Nguyễn Thị Xuân Anh.


MỤC LỤC
CHƢƠNG I: PHẦN MỞ ĐẦU .............................................................................................. 1
CHƢƠNG II: CÁC KHÔNG GIAN HÀM ............................................................................... 4
CHƢƠNG III: KHẢO SÁT BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN T – TUẦN HOÀN
.................................................................................................................................................... 8
III.1. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA LỜI GIẢI T-TUẦN HOÀN ............................... 9
III.2. SỰ TÙY THUỘC LIÊN TỤC CỦA LỜI GIẢI T-TUẦN HOÀN ĐỐI ..................... 19
VỚI CÁC HÀM a(t),h(t).f(r,t) VÀ HẰNG SỐ ũ0 ............................................................... 19
III.3 THUẬT GIẢI TÌM LỜI GIẢI T-TUẦN HOÀN ......................................................... 21
CHƢƠNG IV: KHẢO SÁT BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN ĐẦU ................. 25
IV. 1. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT LỜI GIẢI ............................................................... 25
IV.2. LỜI GIẢI BÀI TOÁN DỪNG: .................................................................................. 36
VI.3. DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA u(r,t) KHI t +∞ ................................................... 40
CHƢƠNG V PHẦN KẾT LUẬN............................................................................................ 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................................... 45

Phần mở đầu

CHƢƠNG I: PHẦN MỞ ĐẦU
Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và các tính chất liên
quan đến lời giải của phƣơng trình parabolic phi tuyến chứa toán tử Bessel thuộc
dạng :
(1.1)
liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất : (1.2)
và kèm theo điều kiện đầu :
u(r,0) = U0(r);
hay điều kiện T-tuần hoàn :
u(r,0) = u(r,T) ;
trong đó ũ 0 , T>0 là các hằng số cho trƣớc , a(t), h(t), F, f(r,t) là các hàm số cho
trƣớc thỏa một số điều kiện nàođó mà ta sẽ đặt sau.
Phƣơng trình (1.1) là phƣơng trình truyền nhiệt trong hình cầu đơn vị r < l , trong đó
:
u(r,t) là nhiệt độ tại mọi điểm trên mặt cầu
tại thời điểm t với r < l , 0 < t < T .
a(t) xuất hiện trong phƣơng trình (1.1) là hệ số truyền nhiệt, f(r,t) - F(u) là nguồn
nhiệt.
Điều kiện biên (1.2) trên mặt cầu đơn vị S 1 mô tả sự trao đổi nhiệt với môi trƣờng
bên ngoài, mà môi trƣờng bên ngoài (bên ngoài quả cầu đơn vị) có nhiệt độ cố định
là ũ 0 .
Trong [2] Minasjan đã khảo sát phƣơng trình

(1.5)
liên kết với điều kiện biên (1.2) với ũ 0 = 0 và điều kiện tuần hoàn (1.4). Minasjan đã
tìm lời giải cổ điển bằng phƣơng pháp biến đổi Fourier. Phƣơng pháp này dẫn đến

một hệ phƣơng trình đại số tuyến tính giả chính quy vô hạn. Tuy nhiên, tính giải
đƣợc của hệ này không đƣợc chứng minh một cách chi tiết [2] .

Trang 1


Phần mở đầu

Sau đó, Lauerova trong [3] đã chứng minh sự tồn tại của một lời giải yếu T-tuần hoàn của bài
toán (1.2), (1.5) với ũ0 = 0.
Để xét trƣờng hợp phi tuyến, N.T.Long và Alain Phạm trong [5] đã nghiên cứu bài toán:

(1.6)
liên kết với điều kiện biên (1.2), (1.4) với ũ0 = 0. Trong trƣờng hợp ũ0 = 0 ,
đủ nhỏ, các tác giả trong [5] đã chứng minh bài toán (1.2),
(1.4), (1.6) có duy nhất một lời giải yếu T-tuần hoàn trong các không gian hàm Sobolev có
trọng lƣợng thích hợp. Hơn nữa, lời giải thu đƣợc phụ thuộc liên tục vào các hàm a(t) và h(t)
[5].
Trong luận văn này chúng tôi khảo sát hai bài toán (1.1) - (1.3) và (1.1), (1.2), (1.4) và các
tính chất liên quan đến các lời giải của các bài toán này.
Trong luận văn chúng tôi chia làm một số chƣơng mục sau :
 Chƣơng 1 là phần mở đầu, chúng tôi giới thiệu tổng quát về bài toán và sơ nét về một
số kết quả đã có trƣớc đó.
 Chƣơng 2 : chúng tôi trình bày một số kí hiệu, công cụ, các không gian Sobolev có
trọng lƣợng và một số tính chất về các phép nhúng giữa các không gian hàm.
 Chƣơng 3 : Bằng phƣơng pháp Galerkin , chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất
một lời giải yếu T-tuần hoàn của bài toán (1.1), (1.2), (1.4) trong không gian hàm
Sobolev có trọng lƣợng thích hợp. Hơn nữa, lời giải thu đƣợc tùy thuộc liên tục đối
với các hàm a(t) và h(t). Kết quả này là một sự tổng quát hóa tƣơng đối trong [3], [5] .
Sau đó, một thuật toán xấp xỉ liên tiếp dựa vào nguyên tắc ánh xạ co đƣợc thiết lập để

đƣa bài toán tìm lời giải T-tuần hoàn về việc giải bài toán giá trị biên và ban đầu (1.1)
-(1.3)
 Chƣơng 4 : Chúng tôi khảo sát bài toán (1.1) - (1.3) với một số điều kiện trên các hàm
F, f(r,t), a(t), h(t), u0(r) chúng tôi chứng minh bằng phƣơng pháp Galerkin và compact
yếu rằng bài toán (1.1) - (1.3) có duy nhất một lời giải yếu u(r,t) trên
. Sau
đó, chúng tôi khảo sát dáng điệu tiệm cận của lời giải u(r,t) khi t  ∞ tùy theo dáng
điệu tiệm cận của các hàm a(t), h(t), f(r,t) khi
Mạnh hơn nữa, chúng tôi
chứng minh rằng tồn tại các hằng số
sao cho

(1.7)

Trang 2


Phần mở đầu

trong đó u∞(r) là lời giải yếu duy nhất của bài toán dừng sau
(1.8)

trong đó

theo một nghĩa nào đó.

Kết quả về tính duy nhất (phần 4.1) của lời giải đƣợc thiết lập với công cụ tƣơng tự nhƣ [8] là
một kết quả không tầm thƣờng.
Ngoài kết quả về sự tồn tại u∞(r) (xem [7]) thì kết quả thu đƣợc trong chƣơng 4 chƣa đƣợc
công bố ở một nơi nào.

• Chƣơng 5 là phần tóm lƣợc các kết quả thu đƣợc trong luận văn và kết luận.

Trang 3


Các hàm không gian

CHƢƠNG II: CÁC KHÔNG GIAN HÀM
Trong chƣơng này, chúng tôi trình bày một số kí hiệu, các không gian hàm Sobolev có trọng
lƣợng và các tính chất về các phép nhúng giữa các không gian hàm có liên quan.
II. 1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM
Đặt Ω = (0,1).
Kí hiệu H là không gian Hilbert các hàm thực đo đƣợc trên Q với tích vô hƣớng :
(2.1)
V là không gian Hilbert các hàm thuộc H đối với tích vô hƣớng
(2.2)
trong đó
là đạo hàm theo nghĩa phân bố. Các chuẩn trong H và V sinh ra
bởi các tích vô hƣớng tƣơng ứng đƣợc kí hiệu lần lƣợt là ||.|| và ||.||v
Khi đó ta có :
Bổ đề 2.1 : V nhúng liên tục và nằm trù mật trong H. Chứng minh :
Hiển nhiên vì

nằm trù mật trong H.

Bổ đề 2.2 : Ta đồng nhất H với H' (đối ngẫu của H). Khi đó ta có
với các phép nhúng liên tục và nằm trù mật.
Chứng minh : Xem [8]
Chú thích 2.1 : Từ bổ đề 2.2 ta thƣờng dùng kí hiệu tích vô hƣớng <.,.> để chỉ cặp đối ngẫu
giữa V và V’.

Bổ đề 2.3 : Tồn tại hằng số M > 0 , K > 0 sao cho
(2.3)

Trang 4


Các hàm không gian
(2.4)
(2.5)
trong đó
Chú thích 2.2 : Ta có thể định nghĩa V nhƣ là đầy đủ hoá của không gian

đối với chuẩn ||.||v (Xem [1]). Do đó, ta chỉ cần chứng minh (2.3)-(2.5) đúng vớ mọi u 
C1([0,1]).
Chứng minh bổ đề 2.3 :
1
([0,1]). Sau đó sử dụng tích phân từng phần

Vậy
b.

Ta có :

c.

Ta có :

Do đó :

Trang 5

Các hàm không gian

(do (2.4))
Chú thích 2.3 : Từ bổ đề 2.3 ta có :

Do đó, trên V hai chuẩn
đƣơng
Bổ đề 2.4 : Phép nhúng

là hai chuẩn tƣơng đƣơng. Là hai chuẩn tƣơng

là compact.

Chứng minh : (Xem [6])
II.2. KHÔNG GIAN HÀM LP(0,T;B), 1 ≤ p ≤ ∞.
Cho B là không gian Banach thực đối với chuẩn ‖.‖ B . Ta kí hiệu LP(0,T;B), 1≤ p ≤∞
là tập các lớp tƣơng đƣơng chứa hàm : f : (0,T) B đo đƣợc sao cho

Hay
Ta trang bi LP(0,T;B) bởi chuẩn :

Khi đó ta có :
Bổ đề 2.5 : (Xem J.L.Lions [4])
là không gian Banach.
Cho ba không gian B0 , B1 , B với
compact. Với

, B0,B1, là phản xạ, phép nhúng là

ta đặt:

Trang 6


Các hàm không gian

Ta trang bị W(0,T) với chuẩn :
Khi đó, W là không gian Banach.
Ta có kết quả sau :
Bổ đề 2.6 : (Bổ đề về tính compact của J.L.Lions)
Phép nhúng W(0,T)  Lpo(0,T;B) là compact.
II.3. MỘT SỐ KẾT QUẢ CẦN SỬ DỤNG
Bổ đề 2.7 : (Xem [4] trang 12)
Cho Q là tập mở, bị chặn của Rn, G, Gm
số độc lập với m), và Gm  G a.e trong Q.
Khi đó:
Gm  G trong Lp(Q) yếu.

p

(Q), 1< p <∞ sao cho

(C là hằng

Bổ đề 2.8 : (Xem [4])
Cho p : RN  RN liên tục thỏa :
Khi đó, tồn tại x0 sao cho
thỏa P(x0) = 0
trong đó <.,.> là tích vô hƣớng trong RN và ||.|| là chuẩn của RN sinh bởi tích vô hƣớng tƣơng

ứng.

Trang 7


Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn

CHƢƠNG III: KHẢO SÁT BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN T –
TUẦN HOÀN
Trong chƣơng này ta xét bài toán giá trị biên và điều kiện T-tuần hoàn
(3.1)
(3.2)
(3.3)
Các không gian hàm V, H đƣợc kí hiệu trong chƣơng 2.
Ta đ ặ t X = L2 (0,T;V),
X' = L2 (0,T;V') là đối ngẫu của X. Kí hiệu [f,v] đƣợc dùng để chỉ tích vô hƣớng
trong Y=L 2 (0,T;H) của f và v thuộc Y hay cặp tích đối ngẫu của f  X ' và v  X tức
là:

Cho T > 0 ta thành lập các giả thiết sau:
(H1) ũ0R.
(H2) a(t), h(t) là các hàm thực T-tuần hoàn thỏa
i. a, h  W1,∞ (0,T) = {a  L∞ (0,T) / a'  L∞ (0,T)};
ii. Tồn tại các hằng số a0 > 0, h0 > 0 sao cho : a(t) >a0>0, h(t) >h0>0.
(H3) f(r,t) là hàm thực T-tuần hoàn theo t sao cho f  Y.
(H4) F : R R liên tục sao cho tồn tại các hằng số 1 < P < 3 , C1 > 0, C2 > 0
thỏa :

Lời giải yếu của bài toán (3.1) - (3.3) đƣợc thành lập từ bài toán biến phân sau
Tìm hàm

sao cho
thỏa :

Trang 8


Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn
(3.4)
trong đó : A : X  X' là toán tử tuyến tính liên tục xác định bởi: (3.5)

III.1. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA LỜI GIẢI T-TUẦN HOÀN
ĐỊNH LÝ 3.1 :
Giả sử (H1) - (H4) là đúng. Khi đó bài toán (3.4) - (3.5) tồn tại duy nhất một lời giải u thỏa
mãn :
(3.6)
Chứng minh :
Chứng minh định lý 3.1 đƣợc chia làm nhiều bƣớc
Bƣớc 1 : Xấp xỉ Galerkin
V là không gian Hilbert tách đƣợc, do đó tồn tại một cơ sở đếm đƣợc {wj} các hàm Wj trong
V.
Ta tìm lời giải xấp xỉ của bài toán (3.4), (3.5) theo dạng : (3.7)

trong đó các hàm Cmj(t) , l ≤ j ≤ m , thỏa hệ phƣơng trình vi phân thƣờng phi tuyến :
(3.8)
và thỏa điều kiện T-tuần hoàn :
(3.9)
Bƣớc 2 : Sự tồn tại lời giải của hệ (3.8). (3.9)
Ta xét với m cố định và hệ (3.8) với điều kiện đầu :

Trang 9

Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn

(3.10) um(0) = u0m .

(u0m cho trƣớc)

Từ các giả thiết (H1 )- (H4) ta suy ra rằng tồn tại um(t) thuộc dạng (3.7) thỏa (3.8), (3.10)
vớihầuhết t[0,Tm], 0 < Tm ≤ T.
Dựa vào các đánh giá tiên nghiệm sau đây, ta sẽ chứng minh Tm = T với mọi m Nhân (3.8)
với Cmj(t) rồi lấy tổng theo j, l ≤ j ≤ m ta đƣợc :
(3.11)
Từ giả thiết (H2) và bất đẳng thức (2.6) ta có : (3.12)

trong đó
(3.13)
Từ các giả thiết (H4,i) ta đƣợc :
(3.14)
Mặt khác, sử dụng các bất đẳng thức (2.4) và
(3.15)
Do đó, từ các giả thiết (H1), (H2) , (H3) các số hạng của vế phải (3.11) đƣợc đánh giá nhƣ sau
:

(3.16)

Trang 10


Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn

Chọn

ta suy ra từ (3.11), (3.12), (3.14), (3.16) rằng

(3.17)
Từ (3.17) ta suy ra :

(3.18)
Nhân 2 vế của (3.18) với eC3t rồi lấy tích phân theo t, ta đƣợc

(3.19
)
Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một số thực R>0 sao cho

(3.20
)
Xét hàm số :

(3.21)

Khi đó ̃(t) liên tục trên [0,T].
Chọn : (3.22)
Vậy (3.21), (3.22) dẫn đến (3.20) đúng.
Từ (3.19), (3.20) ta có :

Trang 11


Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn

(3.23)

Vậy nếu
thì từ (3.23) ta có :
(3.24)
Ta suy ra Tm=T , với mọi m .
Gọi
là quả cầu đóng tâm O, bán kính R trong không gian m-chiều
sinh bởi w,, w2, ... , wm với chuẩn ||.||
Xét ánh xạ :

Ta sẽ chứng minh Fm là ánh xạ co.
Trƣớc hết, ta coi u0m ,
và gọi um(t) và vm(t) là hai lời giải của hệ
(3.8) trên [0,T] thỏa lần lƣợt các điều kiện đầu :

Khi đó

thỏa hệ phƣơng trình vi phân sau đây :

(3.25)
và điều kiện đầu :
(3.26)
Trong (3.25), thay wj bởi

và đánh giá tƣơng tự nhƣ (3.12), ta thu đƣợc

(3.27)

Trang 12


Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn
Từ giả thiết (H4,iii) về tính không giảm của F ta có số hạng thứ 3 của vế trái của (3.27) là
không âm và chú ý rằng ‖.‖ ≤ ‖.‖v. Do đó, ta có từ (3.27) rằng :
(3.28)
Lấy tích phân (3.28) ta đƣợc :

hay
(3.29)
Vậy Fm là ánh xạ co, do đó tồn tại duy nhất một u0m  ̅m(R) sao cho
tức là
Vậy với mỗi m, tồn tại duy nhất một hàm u0m  ̅m(R) sao cho lời giải um(t) của bài toán giá
trị ban đầu (3.8), (3.10) là lời giải T-tuần hoàn của bài toán (3.8), (3.9). Lời giải này thỏa mãn
bất đẳng thức (3.24) với hầu hết t[0,T] Vậy ta có từ (3.24) :
(3.30)
Từ (3.17), sau khi lấy tích phân theo t, 0 < t < T ta thu đƣợc
(3.31)

(3.32)
trong đó C4 là hằng số độc lập với m.
Mặt khác, nhân phƣơng trình thứ j của (3.8) với C'mj(t) rồi lấy tổng theo j, 1 ≤ j ≤ m, sau đó
lấy tích phân theo t, 0 ≤ t ≤ T , ta thu đƣợc :

Trang 13


Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn

(3.33)

Từ điều kiện T-tuần hoàn (3.9) ta đƣợc :

(3.34)
Sử dụng tích phân từng phần lần lƣợt trong các số hạng của (3.33) kết hợp với điều kiện Ttuần hoàn (3.9) và của a(t), h(t) ta có :

(3.35)

Vậy từ (3.33) - (3.35) ta thu đƣợc

(3.36)
Sử dụng các giả thiết (H1) - (H3) và các bất đẳng thức Cauchy - Schwartz, (2.4) cùng với
(3.36) ta có :

(3.37)

Chú ý rằng :
(3.38)

Trang 14


Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn

Do đó, từ (3.37), (3.38) ta thu đƣợc :

(3.39)

Cuối cùng từ (3.31) và (3.39), ta có :

(3.40)
với C5 là hằng số độc lập với m.
Bước 3 : Qua giới hạn
Từ (3.30) - (3.32) và (3.40) ta suy ra rằng tồn tại một dãy con của {um} cũng kí hiệu là {um}
và tồn tại u thỏ
L∞
trong
trong
trong
trong
Từ (3.9) và (3.43) ta sẽ chứng minh rằng :
(3.45) : u(0)=u(T) .
Thật vậy , v  H ta có :
(3.46)
Từ (3.43) và (3.46) ta có (khi m  ∞) rằng :
(3.47)
Tƣơng tự, với (3.46) ta cũng có :
(3.48)

Trang 15


Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn
do đó (3.48) tƣơng đƣơng với
u(0) = u(T).
Xét một cơ sở trực chuẩn

trong không gian

Hilbert L2(0,T).

Khi đó {qiWj} (i,j=l,2,…….) cũng là cơ sở trực chuẩn của X .
Nhân (3.8) với qi(t), rồi lấy tích phân theo t, 0 ≤ t ≤ T , ta đƣợc :

(3.49)
Cố định i, j , cho,

từ (3.42), (3.43) ta đƣợc :

(3.50)
Để chứng minh sự tồn tại của lời giải bài toán (3.4) - (3.5) ta chỉ cần chứng minh rằng :
(3.51)
Sử dụng bổ đề (2.5) về tính compact của IL.Lions với B = V, B = B1 = H, p0 = p1 = 2 từ
(3.42), (3.43) ta suy ra rằng tồn tại một dãy con của {um} cũng kí hiệu là {um} sao cho :
(3.52) : um  u trong Y mạnh .
Do định lý Riesz-Ficher, ta có thể lấy ra từ {um} một dãy con cũng kí hiệu là {um} sao cho :
(3.53) : um  u a.e trong QT .
Do F liên tục, nên từ (3.53) ta có :
(3.54) F(um)F(u) a.e trong Qt.

Trang 16


Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn

Mặt khác, từ (3.32) và giả thiết (H4,ii) ta có :
(3.55)

rong đó,

C6 là hằng số độc lập với m.

Áp dụng bổ đề (2.7) với
. Khi đó từ (3.54)và (3.55) ta suy ra :
(3.56)

trong Lp'(Qt) yếu.

Với 1< p <3 ta chú ý rằng hàm :
(3.57)
Thực vậy, sử dụng (2.5) ta đƣợc : (3.58)

Khi đó, từ (3.56) và (3.57) ta suy ra :

(3.59)

khi m  ∞.
Tức là (3.51) đúng.
Vậy sự tồn tại lời giải đƣợc chứng minh. Bƣớc 4 : Tính duy nhất lời giải
Giả sử bài toán (3.4), (3.5) tồn tại hai lời giải u1,u2. Ta sẽ chứng minh u1 = u2 . Đặt w = u1 u2. Khi đó w thỏa :

Trang 17


Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn

(3.60)

Lấy v = w trong (3.60) ta thu đƣợc :
(3.61)

vì [w',w]=0 .

Tƣơng tự nhƣ (3.12) ta cũng có
(3.62)

Mặt khác, do giả thiết (H4,iii) ta có
(3.63)
Vậy từ (3.61) - (3.63) ta thu đƣợc
Do đó w = 0 tức là u1 = u
Tính duy nhất lời giải đƣợc chứng minh .
Tóm lại định lý 3.1 đƣợc chứng minh hoàn tất.
Chú thích 3.1 : Dãy xấp xỉ Galerkin {um} xác định bởi bài toán (3.8), (3.9) hội tụ yếu về li
theo nghĩa (3.41) - (3.44) thay vì dãy con của nó.
Thực vậy, nếu ngƣợc lại, giả sử dãy {um} không hội tụ về u trong L∞(0,T;H) yếu* tức là tồn
tại một dãy con của {um} là {umk } và một g L1(0,T;H) sao
cho :
(3.64 )

với mọi k

Trang 18


Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn
Vì {umk} cũng bị chặn theo nghĩa nhƣ (3.30) - (3.32) và (3.40) nên ta lý luận tƣơng tự nhƣ
quá trình trên là tồn tại một dãy con của {umk} là {umkj} hội tụ
về lời giải u trong L∞(0,T;H) yếu * .
Điều này mâu thuẫn với (3.64).
Chú thích 3.2 : Dãy um hội tụ về u trong X mạnh.
Thật vậy, đặt vm = um - u , ta có

(3.65)

Cho m∞ , do (3.41) - (3.45), (3.56) ta suy ra vế phải của bất đẳng thức (3.65) tiến về :
(3.66)
Từ (3.65), (3.66) ta có : (3.67)

vậy um  u trong X mạnh.

III.2. SỰ TÙY THUỘC LIÊN TỤC CỦA LỜI GIẢI T-TUẦN HOÀN ĐỐI
VỚI CÁC HÀM a(t),h(t).f(r,t) VÀ HẰNG SỐ ũ0
Với các a, h, f, ũ0 thỏa các giả thiết (H1) - (H3) tồn tại duy nhất một lời giải u của bài toán
(3.4), (3.5) thỏa mãn (3.6) nhƣ trong định lý 3.1.
Lời giải tùy thuộc vào a, h, f, ũ0
u=u(a, h, f, ũ0).
Giả sử (a1 , h1 , f1 , ũ1) và (a2, h2, f2, ũ2) thỏa (H1) - (H3) với a0 , h0 >0 cố định trong giả thiết
(H2).
Đặt
ui=u(ai, hi, fi, ũ1), i=1,2 ,

Trang 19


Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn

là lời giải của bài toán (3.4), (3.5) thỏa (3.6) ứng với (a, h, f, ũ0 ) = (ai, fi, ũi), i=1,2.
Khi đó u= u1 - u2 thỏa:
(3.68)

(3.69)

Trong đó
(3.70)

Lấy V = u trong (3.68) và chú ý rằng :

ta có :
(3.71)
Đặt
Viết lại vế trái của (3.71):
(3.72)

Viết lại vế phải của (3.71):
(3.73)
Tổ hợp (3.71) - (3.73) lại ta đƣợc :

Trang 20