NỘI SUY CÁC HÀM P-ADIC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thanh Hà

NỘI SUY CÁC HÀM P-ADIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thanh Hà

NỘI SUY CÁC HÀM P-ADIC

Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số
Mã số

: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Mục lục
MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Chuẩn và chuẩn phi Archimede..........................................................................3
1.2. Xây dựng các tập số p-adic .................................................................................5
1.2.1. Chuẩn p-adic.................................................................................................5
1.2.2. Xây dựng trường
1.2.3. Xây dựng vành
1.2.4. Xây dựng trường

p
p

...................................................................................5

.......................................................................................7
p

..................................................................................8

1.3. Hàm chỉnh hình p-adic........................................................................................9
1.4. Xây dựng tương tự p-adic của hàm log .............................................................16
Chương 2: PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN

p

2.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản về dãy nội suy p-adic ............................19

2.2. Một vài ví dụ về dãy nội suy p-adic ..................................................................25
2.3. Nội suy p-adic hàm số mũ.................................................................................26
2.4. Nội suy hàm gamma p-adic...............................................................................30
Chương 3: PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM CHỈNH HÌNH TRÊN ĐĨA ĐƠN VỊ
TRONG

p

3.1. Độ cao của hàm chỉnh hình ...............................................................................35
3.1.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản..........................................................35
3.1.2. Một số ví dụ minh họa.................................................................................38
3.1.3. Công thức p-adic Poisson – Jensen .............................................................42
3.2. Độ cao của dãy điểm và nội suy p-adic của hàm chỉnh hình trên đĩa đơn vị....43
3.2.1. Độ cao của dãy điểm ...................................................................................43
3.2.2. Nội suy p-adic của hàm chỉnh hình trên đĩa đơn vị.....................................44
KẾT LUẬN ................................................................................................................56
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................57


1

MỞ ÐẦU
Ta biết rằng, một đa thức bậc n hoàn toàn có thể xác định được hay nói cách
khác là nội suy được khi biết giá trị của đa thức đó tại (n + 1) điểm phân biệt. Từ
đây nảy sinh vấn đề tổng quát hóa bài toán nội suy một hàm trong đó yêu cầu đặt ra
là làm thế nào có thể khôi phục lại hàm số khi biết giá trị của nó từ một dãy rời rạc
các điểm?
Nội suy các hàm p-adic là một công cụ quan trọng trong giải tích p-adic để xây
dựng các hàm p-adic và đặc biệt là xây dựng các tương tự p-adic của các L_hàm số
học. Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài: NỘI SUY CÁC HÀM P-ADIC để tìm hiểu sâu

hơn về cách nội suy các hàm p-adic và các ứng dụng của nó.
Luận văn đi sâu vào 2 nội dung chính: nội suy các hàm liên tục trên
suy các hàm chỉnh hình p – adic trên đĩa đơn vị của

p

p

và nội

, thể hiện trong 3 chương:

 Chương 1: trình bày những kiến thức cơ bản về giải tích p – adic gồm chuẩn
p – adic, các tập số p – adic, hàm chỉnh hình p – adic và hàm log.
 Chương 2: trình bày khái niệm nội suy p – adic các hàm liên tục trên

p từ

đó đưa ra một số ví dụ cụ thể và cách xây dựng hàm số mũ và hàm gamma p – adic.
 Chương 3: trình bày khái niệm độ cao của hàm chỉnh hình, độ cao của dãy
điểm, nội suy của hàm chỉnh hình p – adic trên đĩa đơn vị trong đó quan trọng nhất
là chứng minh chặt chẽ điều kiện cần và đủ để một dãy điểm là dãy nội suy của một
hàm chỉnh hình cho trước và những ứng dụng của kết quả này.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn rất nhiệt tình, tận tâm của thầy
Mỵ Vinh Quang. Người viết xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của
mình về sự hướng dẫn chu đáo của thầy trong suốt thời gian thực hiện luận văn. Lời
cảm ơn tiếp theo tôi xin dành cho tất cả những người thân đã luôn động viên và
giúp đỡ để tôi yên tâm học tốt. Và cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến các thầy trong

2

bô môn Đại số, khoa Toán – Tin đã giúp tôi trang bị những kiến thức cần thiết và
phòng sau đại học đã tạo điều kiện để tôi thực hiện bảo vệ luận văn này.
Do hạn chế về khả năng và thời gian thực hiện, luận văn chắc không tránh khỏi
những thiếu sót nhất định. Người viết rất mong nhận được sự đóng góp của quý
thầy cô và những ai quan tâm đến vấn đề này.
TP.HCM, ngày 30 tháng 8 năm 2009


3

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1. Chuẩn và chuẩn phi Archimede
Định nghĩa 1.1
Cho F là một trường. Chuẩn trên trường F là một ánh xạ, kí hiệu là

:F 

sao cho với mọi x, y  F ta có:
i)

x  0, x  0  x  0

ii) xy  x y
iii) x  y  x  y
Ví dụ 1: Giá trị tuyệt đối thông thường là chuẩn trên các trường
Ví dụ 2: Cho F là một trường bất kì. Ánh xạ

:F 

, , .

được định nghĩa bởi:

1 khi x  0
với mọi x  F , x  
là chuẩn trên F, gọi là chuẩn tầm thường.
0 khi x  0
Định nghĩa 1.2

Giả sử

là một chuẩn trên trường F. Khi đó hàm d : F  F  [0, ) xác định

bởi d ( x, y )  x  y là một metric trên trường F gọi là metric cảm sinh bởi chuẩn
.
Hai chuẩn

1

và

2

trên F gọi là tương đương nếu tôpô cảm sinh bởi hai

metric tương ứng là như nhau. Kí hiệu

1

2

.

Định lý 1.3 (Các điều kiện tương đương của chuẩn)

Giả sử

1

và

2

là hai chuẩn trên trường F. Các khẳng định sau là tương

đương:
i)

x 1  1  x 2  1 với mọi x  F

ii) x 1  1  x 2  1 với mọi x  F


4

C

iii) Tồn tại hằng số C > 0 sao cho x 2  x 1 với mọi x  F

iv)  xn  là dãy Cauchy đối với
v)

1

1

  xn  là dãy Cauchy đối với

2

2

Định nghĩa 1.4

Chuẩn

trên trường F gọi là chuẩn phi Archimede trên F nếu ngoài 2 điều

kiện i và ii trong định nghĩa 1.1 nó thỏa thêm điều kiện:
iii’) x  y  max  x , y 
Ví dụ: Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Archimede.
Mệnh đề 1.5 (Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Archimede)

Cho
i)

là chuẩn trên trường F. Các khẳng định sau là tương đương:
là chuẩn phi Archimede

ii) 2  1
iii) n  1 với mọi n 
iv) Tập

bị chặn, nghĩa là tồn tại số c > 0 sao cho n  c với mọi n 

Mệnh đề 1.6 (Tính chất của chuẩn phi Archimede)

Cho

là chuẩn phi Archimede trên trường F. Khi đó:

i) Nếu x, y  F , x  y thì x  y  max  x , y  .
ii) D(a, r )  {x  F : x  a  r} , D(a, r )  {x  F : x  a  r} vừa đóng vừa mở.
iii) Giả sử  xn  là dãy Cauchy.

Nếu xn  0 thì lim xn  0 .
n

Nếu xn  0 thì xn là dãy dừng (tồn tại N sao cho xn1  xn với mọi n > N)


5

1.2. Xây dựng các tập số p – adic
1.2.1. Chuẩn p – adic
Định nghĩa 1.7

Cho p là số nguyên tố.
Với mỗi a  , a  0 , ta gọi ord p a là số mũ của p trong sự phân tích a thành

các thừa số nguyên tố. Nếu a = 0, ord p a   .
Với mỗi r 

m

n

, m, n  , (m, n) = 1, ta đặt ord p r  ord p m  ord p n .

Mệnh đề 1.8

Trên trường

, ta xét ánh xạ

p

được xây dựng như sau:

 1 ord p x

khi x  0
x p   p 

khi x  0
0

Khi đó

p

là chuẩn phi Archimede gọi là chuẩn p – adic.

Định lý 1.9 (Ostrowski)

Mọi chuẩn không tầm thường trên

đều tương đương với chuẩn giá trị tuyệt

đối thông thường hoặc tương đương với chuẩn p – adic với p là số nguyên tố nào
đó.
1.2.2. Xây dựng trường

p

 Gọi S là tập các dãy Cauchy trong

.

Trên S ta xây dựng quan hệ tương đương như sau:
{xn } { yn }  lim xn  yn
n

Ta gọi
cho

p

p

p

0

là tập hợp tất cả các lớp tương đương theo quan hệ trên và trang bị

hai phép toán cộng và nhân như sau:

 xn    yn    xn  yn 


6

 xn . yn    xn . yn 
Khi đó ta có thể chứng minh (

p , , )



là trường với đơn vị 1 .

Ngoài ra, với  xn   0 tức là xn  0 , theo mệnh đề 1.6, tồn tại N sao cho với
mọi n > N : xn  a  0 . Khi đó, phần tử nghịch đảo của  xn  là  xn  1  yn 
nN

0

trong đó yn   1
x

 n

nN

 Chuẩn trên

p

được xác định như sau:

Với mỗi x   xn  

p,

x p  lim xn
n

Ta có thể chứng minh được chuẩn
 Trường

trên

p

là chuẩn phi Archimede.

có thể xem là trường con của

p

nhờ ánh xạ nhúng:



j:

p

p

p

a  a

và

p

trong

p

là mở rộng của chuẩn p - adic trong

Chú ý: Với x  {xn } 
Định lý 1.10 (mô tả

Với mỗi x 

p,

p

.

thì x  lim xn .
n

p)

x p  1 , có duy nhất dãy đại diện {an } của x thỏa mãn:

i) 0  an  p n
ii) an  an1 (mod p n ) với n = 1, 2,…
Nhận xét

Với các {an } thỏa mãn những điều kiện trên ta có thể viết:
a1  b0
a2  b0  b1 p


7

…
an  b0  b1 p  ...  bn1 p n1

trong đó bi  {0,..., p  1} với mọi i = 0, 1, …
Khi đó:
 Với x 

x p 1,

p,



x  b0  b1 p  ...  bn1 p

 Với x 

p,

  lim(b

n 1

n

0

 b1 p  ...  bn1 p

n 1



)   bn p n
n 0

x p  p m  1 : đặt u  p m x suy ra u p  1 nên theo trên

u  b0  b1 p  ...  bm p m  ... hay x  b0 p  m  b1 p  m1  ...  bm  ... 


Tóm lại, mọi x 

sẽ có biểu diễn dạng x   ci p i

p



 ci pi

i  m

với m  ,

i m

ci  0,..., p  1 , cm  0 gọi là khai triển p – adic của x.

1.2.3. Xây dựng vành

Tập hợp

p

 {x 

p
p

: x p  1} cùng với phép cộng và nhân trong

thành một vành gọi là vành các số nguyên p – adic.
Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của
*
p



 x

p

: x 1 

p

  x 

Định lý 1.11 (Tính chất tôpô của

i)

p

compact từ đó

ii)

p

đầy đủ

p

p

và

p compact

p,



: x p 1
p)

địa phương

kí hiệu là:

p lập


8

Định lý 1.12 (Tiêu chuẩn Eisenstein)

Cho đa thức f ( x)  a0  a1 x  ...  an x n 

p [ x]

trong đó ai  0 (mod p ) với

i  0, 1,..., n  1 ; an  0 (mod p ) và a0  0 (mod p 2 ) . Khi đó f(x) bất khả quy trên
p.

1.2.4. Xây dựng trường

Gọi

p

là bao đóng đại số của

Với mọi  

p

p , x)

p

do đó tồn tại đa thức Irr ( ,

Trường

p



p

n

a0

p

. Có thể chứng minh được

p

là chuẩn trên trường

p.

cùng với chuẩn vừa xây dựng không đầy đủ. Làm đầy đủ

ta sẽ được trường các số phức p – adic kí hiệu là
Với    n  ,  n 

p

thì 

p

 lim  n
n

lớn. Chúng ta cũng mở rộng ord p cho

p

p

p

i)

p

p

)

đóng đại số

ii) Với mọi x 

p, x



theo

và khi   0 , 

p

 n

p

với n đủ

: ord p x   log p x p .

.

Định lý 1.13 (Tính chất của trường

p

.

Từ đây trên các tập số p-adic ta sẽ xét chuẩn p-adic và quy ước viết
p

bất khả

mà hệ số đầu tiên là 1 nhận  làm nghiệm dạng:

và là mở rộng của chuẩn p – adic trên

p

p , x)

p.

 x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0

Ta định nghĩa 

p

p

tức là tập tất cả các phần tử đại số trên

p

,  đại số trên

quy, hệ số thuộc
Irr ( ,

p

 0 , x  pr : r 



nghĩa là

9

Mệnh đề 1.14

Giả sử  là một căn nguyên thủy bậc p n của đơn vị với số tự nhiên n nào đó.
Khi đó,   1 p  p1/( p

n 1

 pn )

.

Chứng minh

Đặt u    1 .
n

Xét f ( X ) 

(1  X ) p  1
(1  X )

n

Do  p  1 và  p

n

p 1

n 1

1



X

X p  pn X p

n

n

n 1

p

n 1

p

n 1

X

p

1

 ...  p n X

1

 ...  p

n 1

X

Xp

 1 nên u là nghiệm của đa thức f ( X ) 

n

 p n 1

p[ X ] .

 ...  p

Ngoài ra

bằng phương pháp quy nạp, ta có thể chứng minh được f(X) thỏa các điều kiện của
tiêu chuẩn Eisenstein và do đó f(X) chính là đa thức bất khả quy trên

p với

hệ số

đầu tiên là 1 nhận u làm nghiệm.
Theo định nghĩa u p  p1/( p

n 1

 pn )

hay   1 p  p1/ p

n 1

 pn

.■

1.3. Hàm chỉnh hình p-adic
Mệnh đề 1.15


 an

Một chuỗi vô hạn

n 0

với an 

p

là hội tụ khi và chỉ khi lim an  0
n

Mệnh đề 1.16

Xét chuỗi



 an z n
n 0

, an 

p

, đặt r 

1
lim sup n an

gọi là bán kính hội tụ của

n

chuỗi. Khi đó:
 Với mọi z 

p,

z  r : chuỗi hội tụ.

 Với mọi z 

p,

z  r : chuỗi phân kì

 Với mọi z 

p,

z  r : chuỗi hội tụ khi an r n  0 , phân kì khi an r n  0 .


10

Định nghĩa 1.17

Hàm f : D (0, r ) 

p

gọi là hàm chỉnh hình trên D(0, r) nếu f(z) biểu diễn


được dưới dạng chuỗi lũy thừa hội tụ, tức là f ( z )   an z n hội tụ trong D(0, r).

n 0

Định nghĩa 1.18
p [[ z ]]  { f

Gọi
Trong

p [[ z ]] ,

 a0  a1 z  ...  an z n  ... ai 

p} .

ta xây dựng 2 phép toán cộng và nhân như sau:

Với f  a0  a1 z  ...  an z n  ... , g  b0  b1 z  ...  bn z n  ... thuộc

p [[ z ]]

thì

f  g  (a0  b0 )  (a1  b1 ) z  ...  (an  bn ) z n  ...
f .g  c0  c1 z  ...  cn z n  ... trong đó cn 

Khi đó
thuộc

p

p [[ z ]]

 aib j

i  j n

là vành, gọi là vành các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số

.

Định nghĩa 1.19

Cho r > 0, định nghĩa Ar (
minh được Ar (

p)





)
f

 an z n 
p
n 0


là vành con của

p [[ z ]]

p [[ z ]] .

Với f ( z )  a0  a1 z  ...  an z n  Ar (

p) ,

đặt

 (r , f )  max an r n gọi là hạng tử tối đại của f.
n

 (r , f )  max{n : an r n   (r , f )}
Mệnh đề 1.20

Cho r > 0, f ( z )  a0  a1 z  ...  an z n  Ar (

p) .

Khi đó:

i)  (r , f ) là chuẩn phi Archimede trên vành Ar (
ii) Ar (

p)

đủ đối với  (r , f ) .

p) .


an r n 0  . Ta chứng



11

iii)

p[ z]

trù mật trong Ar (

p).

Định lý 1.21

Cho r > 0.
Giả sử f ( z ), g ( z ) 

k

n n
sao cho  (r , g )  bk r k . Gọi
p [ z ] với g ( z )   b z
n 0

Q(z) và R(z) lần lượt là thương và dư trong phép chia f(z) cho g(z) tức là

f ( z )  g ( z )Q( z )  R ( z ) . Khi đó  (r , f )  max{ (r , g )  (r , Q),  ( r , R )} .

Chứng minh

Do định nghĩa  (r , f ) dễ thấy  ( r , f )  max{ ( r , g )  ( r , Q ),  (r , R )} . Để
chứng minh bất đẳng thức ngược lại, trước tiên ta xét trường hợp r = 1.
Không mất tính tổng quát giả sử  (1, g )  1 do đó ta cần chứng minh
max{ (1, Q ),  (1, R )}   (1, f ) (*)

Thật

ra

ta

chỉ

cần

chứng

minh

(*)

đúng

trong

trường

hợp

max{ (1, Q ),  (1, R )}  1 . Thật vậy, giả sử max{ (1, Q ),  (1, R )}  a  p r . Khi đó

f ( z)
Q( z ) R( z )
  Q   R 
 f 
và max   1,  ,  1,    1 nên  1,   1 hay
 g ( z)

a
a
a
 a
  a   a 

 (1, f )  a  max{ (1, Q ),  (1, R )} .
Để chứng minh  1, f   1 ta giả sử ngược lại  1, f   1. Khi đó nếu
n

f   ai z i thì max ai  1 suy ra ai  D(0,1) với mọi i hay f  D(0,1)[ z ]
i 0

i

Do max{ (1, Q),  (1, R )}  1 nên  (1, Q ),  (1, R )  1 suy ra Q, R  D (0,1)[ z ] .
Xét trên vành D(0,1)[ z ]

D (0,1)[ z ]

ta có 0  f ( z )  g ( z ) Q ( z )  R ( z )

Vì  (1, g )  1 hay bk  1 nên deg g  k  deg R  deg R suy ra Q  0 và như
vậy R  0 hay R ( z ), Q ( z )  D(0,1)[ z ] do đó max{ (1, Q),  (1, R )}  1 (mâu thuẫn
với điều giả sử ban đầu của ta).


12

Tóm lại (*) đúng hay max{ (1, g )  (1, Q ),  (1, R )}   (1, f ) .
Giờ xét r 

*
p

khi đó tồn tại a 

*
p

sao cho a  r .

Với h  a0  a1 z  ...  an z n  ... , đặt ha ( z )  h(az )  a0  ...  an a n z n  ...
n

Rõ ràng  (1, ha )  max an a n  max an a  max an r n   (r , h) (**)
n

n

n

và f a ( z )  g a ( z )Qa ( z )  Ra ( z ) .
Áp dụng chứng minh trên với r = 1 thì  (1, f a )  max{ (1, g a )  (1, Qa ),  (1, Ra )}
Theo (**) ta có đpcm.
Cuối cùng giả sử r 

*
p

. Do

*
p

trù mật trong



nên tồn tại ri 

*
p

sao

cho ri  r do đó lim  ( ri , h)   (r , h) với h là một trong các đa thức f, g, Q, R.
i 

Vì ta đã chứng minh ở trường hợp 2,  (ri , f )  max  (ri , g )  (ri , Q ),  (ri , R )
nên lấy giới hạn 2 vế ta có đpcm. ■
Định lý 1.22

Cho f  Ar (

p)

và g ( z )  b0  b1 z  ...  bk z k 

Khi đó tồn tại chuỗi lũy thừa Q  Ar (

p)

p[ z]

sao cho  (r , g )  bk r k .

và đa thức R ( z ) 

p[ z]

sao cho

f ( z )  g ( z )Q( z )  R ( z ) , degR < k và  (r , f )  max{ (r , g )  (r , Q),  (r , R )} .

Chứng minh

Do tính chất iii trong mệnh đề 1.20 nên với f  Ar (

fn 

p [ z]

p) ,

tồn tại dãy các đa thức

hội tụ về f.

Gọi Qn ( z ) và Rn ( z ) lần lượt là thương và dư trong phép chia f n ( z ) cho g ( z ) :
f n ( z )  g ( z )Qn ( z )  Rn ( z ) (*) với deg Rn  k .

Khi đó f n1 ( z )  f n ( z )  g ( z )[Qn1 ( z )  Qn ( z )]  Rn1 ( z )  Rn ( z ) với
deg( Rn1  Rn )  k

Áp dụng định lý 1.21 ta có:

 (r , f n1  f n )  max{ (r , g )  (r , Qn1  Qn ),  (r , Rn1  Rn )}


13

Do f n là dãy Cauchy nên Qn , Rn  Ar (
Ar (

p)

p)

là dãy Cauchy đối với  (r , ) mà

đủ đối với  (r , ) nên tồn tại Q ( z )  lim Qn ( z ), R ( z )  lim Rn ( z ) . Lấy
n

n

giới hạn 2 vế của (*) ta có được f ( z )  g ( z )Q( z )  R ( z ) trong đó deg Rn  k nên
degR < k. Khi đó  ( r , f )  max{ ( r , g )  ( r , Q ),  (r , R )} . ■
Định lý 1.23 (Định lý Weierstrass)

Cho f  Ar (

với r > 0.

p)

Khi đó tồn tại đa thức g ( z )  b0  b1 z  ...  b r 
chuỗi lũy thừa h( z ) 

p

p [ z]

có bậc    (r , f ) và

[ z ] thỏa:

i) f(z) = g(z)h(z)
ii)  (r , g )  b r

iii) h  Ar (

p)

iv)  (r , h  1)  1
v)  (r , f  g )   (r , f )



Đặc biệt h không có không điểm trong D (0, r )  x 

p



: x  r và f có đúng

 không điểm trong D(0, r )
Chứng minh

Giả sử f ( z )  a0  a1 z  ...
Đặt g1 ( z )  a0  a1 z  ...  a z . Hiển nhiên  ( r , g1 )  max an r n  a r
n

Ta có: ( f  g1 )( z )  a 1 z 1  ...
và  ( r , f  g1 ) 
Do đó

max

n   ( r , f )

an r n  max an r n   (r , f )
n

 (r , f  g1 )
 (r , f  g1 )
 1 suy ra tồn tại   0 sao cho
  1
 (r , f )
 (r , f )

Chọn h1 ( z )  1 .


14

Giờ ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp rằng tồn tại dãy các đa thức
gi ( z )  bi 0  bi1 z  ...  bi z và hi sao cho:

(1)  (r , gi )  bi r
(2)  (r , f  gi )   (r , f ),  ( r , hi  1)  
(3)  (r , f  gi hi )   i  ( r , f )
Ở phần đầu ta đã chứng minh điều này cho trường hợp i = 1.
Giả sử ta đã xây dựng được dãy các đa thức gi , hi thỏa các điều kiện 1, 2, 3.
Theo định lý 1.22, tồn tại chuỗi lũy thừa Qi  Ar (

p)

và đa thức Ri 

p[ z]

sao cho f ( z )  gi ( z )hi ( z )  gi ( z )Qi ( z )  Ri ( z ) với deg Ri  
và  (r , f  gi hi )  max{ ( r , gi )  ( r , Qi ),  ( r , Ri )}
Định nghĩa gi 1  gi  Ri , hi 1  hi  Qi
Do mệnh đề 1.20  (r , f )  max{ ( r , f  gi ),  (r , gi )} nhưng theo (2) lại có

 ( r , f  gi )   (r , f ) nên  (r , f  gi )   (r , gi ) và do đó  (r , f )   (r , gi ) .
Ta có:  (r , Qi ) 

 (r , f  gi hi )  i  (r , f )

  i và
 (r , gi )
 (r , f )

 (r , Ri )   (r , f  gi hi )   i  (r , f )   (r , f )   (r , gi ) do đó  (r , gi 1 )   (r , gi ) .
Như vậy (1) đúng với i + 1 vì deg Ri  deg gi   .
Điều kiện (2) cũng đúng với i + 1 vì

 (r , f  gi 1 )   (r , f  gi  Ri )  max{ (r , f  gi ),  (r , Ri )}   (r , f )
và  (r , hi 1  1)   (r , hi  1  Qi )  max{ (r , hi  1),  (r , Qi )}  
Ngoài ra, chú ý rằng
f  gi 1hi 1  f  ( gi  Ri )(hi  Qi )  f  gi hi  giQi  Ri (hi  Qi )  Ri (1  hi  Qi )

Khi đó  (r , f  gi 1hi 1 )   (r , Ri ) max{ (r , hi  1),  (r , Qi )}   i 1 (r , f ) và
như vậy (3) đúng với i + 1.
Hơn nữa,  (r , gi 1  gi )   ( r , Ri )   i  (r , f ) và  (r , hi 1  hi )   (r , Qi )   i

15

Do   1 nên {g i },{hi } là các dãy Cauchy đối với chuẩn  (r , ) .
Khi đó với 0  j   , i  1 , bi 1, j  bij r j   (r , gi 1  g i )   i  ( r , f ) tức là
{bij }i1 là dãy Cauchy với mọi j nên hội tụ.


Đặt b j  lim bij , g ( z )   b j z j .
i 

j 0

Rõ ràng gi  g và  (r , g )   (r , gi )  bi r  b r (điều kiện (ii) đúng)
Vì Ar (

p)

đầy đủ nên {hi } hội tụ do đó tồn tại h  Ar (

p)

sao cho hi  h

Theo điều kiện (3), cho i   ta có  (r , f  gh)  0 nên f = gh (điều kiện (i)
đúng)
Điều kiện (iii) đúng là hiển nhiên do cách định nghĩa h.
Cho i   trong điều kiện (2) ta có điều kiện (iv)
Cho i   trong điều kiện (2) ta cũng có  ( r , f  g )   (r , f )   ( r , f ) (điều
kiện (v) đúng)

Giả sử h  1  c1 z  ...  cn z n  ...
Với z  t  r , do  ( , h  1) tăng nên  (t , h  1)   ( r , h  1)  1 do đó
n

max cn z  max cn t n  1 suy ra h( z )  1 tức là h không có không điểm trong
n

n

D(0, r ) .

Gọi z1 ,..., z là các không điểm của g. Khi đó g ( z )  b ( z  z1 )...( z  z )
Điều kiện (ii) kéo theo  (r , g / b )  r và như vậy

 max r , z  ... max r , z   r
1

suy ra z j  r với j  1,..., .

Do đó g có đúng  không điểm, h không có không điểm trong D(0, r ) nên f
cũng có đúng  không điểm trong D(0, r ) . ■


16

1.4. Xây dựng tương tự p – adic của hàm log
Mệnh đề 1.24

Miền hội tụ của



 (1)
n 1

n 1

zn
là D(0, 1)
n

Chứng minh
1

Bán kính hội tụ của chuỗi trên là r 

lim n

n

Với mọi số tự nhiên n, n  p

ord p n

1
1
 ord n 1
 ord n
 p p .  p p  n suy ra n 
n

m
n

1
n

 lim n n
n

. m trong đó (m, p) = 1. Khi đó

n

n  1 do đó lim n n  1 hay r = 1. Vậy
n

chuỗi lũy thừa hội tụ trong D(0, 1).
Tại z 
z

p,

p,

z  1 : lấy dãy số {nk } mà (nk , p )  1 . Khi đó

1
 1  0 . Vậy tại
nk

z  1 , chuỗi phân kì. ■


Trong giải tích phức, hàm log được định nghĩa là log(1  z )   (1) n1
n 1

zn
hội
n

tụ trong (–1, 1] . Giờ trong giải tích p – adic, sự hội tụ được xét với chuẩn p – adic
thì



 (1)n1
n 1

zn
hội tụ trong đĩa D(0, 1) và hàm log lúc này được định nghĩa như
n

sau :
Định nghĩa 1.25
log : D(0,1) 



p

với log(1  z )   (1) n1

Định lý 1.26

Hàm log có các tính chất sau đây:

n 1

zn
n


17


i) log :1  E  E đẳng metric với E   z 


p : z  p

ii) Tập tất cả các không điểm của log(1 + z) là



pn

1
1 p








1 1

n

Chứng minh
i) Để chứng minh i, ta cần chứng minh những điều sau:
 Nếu 1  z 1  E thì log(1  z )  E

Thật vậy, nhận xét rằng nếu x1 ,..., xn1 , xn  E thì

 x ...x 
 x ...x

ord p  1 n1   ord p  1 n1 (n  1)!  ord p ( x1...xn1 )  ord p ( n !)
 n 
 n!

1

x ...x
x ...x
n  1 n  Sn Sn  1




 0 suy ra 1 n1  1 và do đó 1 n  p 1 p .
n
n
p 1 p 1
p 1
1

z z 2 z3 z 4
zn
Vì vậy, với z  E , log(1  z )      ...  max
 p 1 p hay
n
n
1 2 3 4
log(1  z )  E .

 Nếu z1 , z2  E thì log(1  z1 )  log(1  z2 )  z1  z2 .

Sử dụng nhận xét trên ta có:
n 1
z1  z2
 z1n2 z2  ...  z2n1
n 1 z1
VT  z1  z2 1 
 ...  (1)
 VP
2
n

(vì

z1  z2
 z z 
 max  1 , 2   1 ,…,
2
 2 2 

 z1n1 z1n2 z2
z1n1  z1n2 z2  ...  z2n1
z2n1 
 max 
,
,...,
  1 ).
 n
n
n
n 


Tóm lại, hàm log :1  E  E đẳng metric.


18

ii)
 Lấy z 

pn

1  1 . Do mệnh đề 1.14 ta thấy z  p1/ p

n 1

 pn

 1 nên z  D(0,1)

do đó log(1 + z) tồn tại.
Vì ( z  1)



 1 suy ra p log(1  z )  log1   (1)

pn

n

n 1

n 1

0n
 0 do đó log(1+z)=0.
n

 Ngược lại, giả sử có z  D(0,1) mà log(1 + z) = 0
n

Trước hết ta chứng minh bằng quy nạp (1  z ) p  1   n1 với mọi n trong đó

  max{ z , p 1} .
Hiển nhiên bất đẳng thức đúng với n = 0. Giả sử nó đúng với n ta cần chứng
minh nó đúng với n + 1.
n

Đặt (1  z ) p  1  a , do giả thiết quy nạp ta có a   n1 . Khi đó:
(1  z ) p

n 1

p

n
 1  (1  z ) p   1  (a  1) p  1  a p  C1p a p 1  ...  C pp 1a



 a a p 1  C1p a p 2  ...  C pp 1

Vì C pk  p , k  1, p  1 nên với a   n1 dễ thấy a p 1  C1p a p 2  ...  C pp 1  
do đó (1  z ) p

n 1

 1  a    n 2
n

n

Vậy (1  z ) p  1   n1 mà   1 nên lim (1  z ) p  1  0 do đó với n đủ lớn
n

(1  z )

pn

1  p

1
1 p

n

suy ra (1  z ) p 1  E .

Vì log :1  E  E đẳng metric nên đơn ánh.
n

n

Do đó log(1  z ) p  p n log(1  z )  0  log1 suy ra (1  z ) p  1 hay z 

pn

1 1. ■


19

Chương 2 : PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN
Trong chương này ta quy ước viết

nghĩa là

p

p

.

2.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản về dãy nội suy p - adic

Trước khi đi vào khái niệm, ta chứng minh mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.1

Tập hợp các số tự nhiên

trù mật trong

p.

Chứng minh

Với mọi x 

p,

giả sử x có biểu diễn p – adic dạng

x  a0  a1 p  ...  an p n  ... với ai  {0,1,..., p  1}

Khi đó, với mỗi số tự nhiên n, ta xét xn  a0  a1 p  ...  an p n . Rõ ràng xn 
và x  xn  an1 p n1  ...  p  n nên lim xn  x . Mệnh đề được chứng minh. ■
n

Từ mệnh đề 2.1 ta có ngay nhận xét:
Nhận xét 2.2

Nếu a1 , a2 ,... là dãy các phần tử của
f:

p



p

p

thì tồn tại nhiều nhất một hàm

liên tục sao cho f (n)  an với mọi n 

.

Chứng minh

Nhận xét này được suy ra dễ dàng từ mệnh đề 2.1 và một kết quả trong tôpô:

Cho X, Y là các không gian metric. f , g : X  Y là hai hàm liên tục. Giả sử

A  X trù mật trong X. Khi đó nếu f A  g A thì f = g. ■

Sau nhận xét 2.2, ta thấy rằng nếu cho trước a1 , a2 ,... là dãy các phần tử của
p

thì có tối đa một hàm f :

p



p

liên tục sao cho f (n)  an với mọi n 

.

Nhưng một câu hỏi đặt ra là liệu có tồn tại một hàm f có tính chất như vậy? Ta có
định nghĩa sau:


20

Định nghĩa 2.3

Dãy a1 , a2 ,... các phần tử trong
f:

p



p

gọi là nội suy p – adic nếu tồn tại một hàm

p

liên tục sao cho f (n)  an với mọi n 

.

Ta sẽ thay thế định nghĩa 2.3 bằng một định nghĩa khác dễ hình dung hơn thông
qua định lý sau :
Định lý 2.4

Dãy a1 , a2 ,... các phần tử trong
g:



p

p

là dãy nội suy p – adic khi và chỉ khi ánh xạ

liên tục đều.

n  an
Chứng minh

 Điều kiện cần:

Giả sử dãy a1 , a2 ,... là dãy nội suy p – adic tức là có hàm f :
sao cho f (n)  an n 
Do

p

p



p

liên tục

.

là tập compact nên f liên tục đều trên

p,

suy ra f liên tục đều trên

chứng tỏ rằng g  f : n  an liên tục đều.
 Điều kiện đủ:

Giả sử hàm g liên tục đều. Ta tìm cách xây dựng hàm f :

p



p

f  g.

Với mỗi X 

p



Vì g liên tục đều trên

, tồn tại {xn } 

: xn  X .

nên

  0,    ( ), x, y 

: x  y    g ( x)  g ( y )   (*)

Do xn  X nên tồn tại N  N ( ) : xn  X   n  N .

liên tục mà


21

Do đó với n, m  N :
xm  xn  ( xm  X )  ( X  xn )  max  xm  X , xn  X    nên theo (*) ta có

g ( xm )  g ( xn )   .

Như vậy, ta đã chứng minh  g ( xn ) là dãy Cauchy trong

p

mà

p

đầy đủ

nên tồn tại L  lim g ( xn ) .
n

Giả sử có {xn' } 

, xn'  X suy ra {xn  xn' }  0 . Do g liên tục đều nên

{g ( xn )  g ( xn' )}  0 do đó L  lim g ( xn' ) .
n

Giờ ta định nghĩa f :

p



p

cho bởi f ( X )  lim g ( xn ) , ta đã chứng minh f
n

được xác định tốt và dễ thấy f  g . Ta chỉ cần chứng minh f liên tục đều trên
Lấy X , Y 
Do

p

p.

thỏa X  Y   (  được xác định trong (*))

trù mật trong

p

nên tồn tại {xn },{ yn } 

sao cho xn  X , yn  Y .

Suy ra, tồn tại N1  N1 ( ) : xn  X   , yn  Y   với mọi n  N1 . Khi đó
xn  yn  ( xn  X )  ( X  Y )  (Y  yn )  max  xn  X , X  Y , yn  Y   

nên

theo (*) ta có g ( xn )  g ( yn )   với mọi n  N1 .
Theo cách xây dựng f ta có f ( X )  lim g ( xn ), f (Y )  lim g ( yn ) do đó tồn tại
n

n

N 2 sao cho với mọi n  N 2 thì f ( X )  g ( xn )   , f (Y )  g ( yn )   . Khi đó với
n  max( N1 , N 2 ) ta có:
f ( X )  f (Y )  ( f ( X )  g ( xn ))  ( g ( xn )  g ( yn ))  ( g ( yn )  f (Y ))
 max  f ( X )  g ( xn ) , g ( xn )  g ( yn ) , g ( yn )  f (Y )   

do đó f liên tục đều trên

p .■


22

Nhờ định lý 2.4 ta xây dựng được một định nghĩa khác tương đương về dãy nội
suy p – adic như sau:
Dãy các phần tử a1 , a2 ,... các phần tử của
  0, N 

p

là dãy nội suy p – adic nếu

thỏa n  m  p  N thì an  am   (1).

sao cho m, n 

Thật ra, có thể làm mạnh hơn định nghĩa trên như sau:
  0, N 

sao cho n 

thì an p N  an   (2).
, n > m, n  m  p  N tức là

Thật vậy, giả sử có (2). Khi đó với mọi m, n 
n  m  bp N với b 

, ta có:

an  am  ambp N  am 

  am jp
b

N

j 1







 am( j 1) p N  max am jp N  am( j 1) p N  
j

Ta đã có (1). Vậy (2)  (1) còn (1)  (2) là hiển nhiên.
Ta lại tiếp tục có một định nghĩa tương đương sau :
Định lý 2.5

Dãy a1 , a2 ,... các phần tử của

p

là dãy nội suy p – adic khi và chỉ khi

lim sup an p j  an  0 .
j 

n

Chứng minh
 Điều kiện cần:

Lấy   0 .
Do dãy a1 , a2 ,... các phần tử của
nghĩa (2) ở trên, tồn tại j0 
Khi đó, với mọi j  j0 ,

p

là dãy nội suy p – adic nên theo định

sao cho với mọi n 

thì an p j0  an   .