Dạng chuẩn tắc Jordan

MỤC LỤC
Trang
Lời nói đầu........................................................................................................2
Chương I: Kiến thức chuẩn bị........................................................................4
1.1. Không gian vectơ con.......................................................................4
1.2. Ánh xạ tuyến tính..............................................................................5
1.3. Giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận............................................6
1.4. Giá trị riêng và vector riêng của tự đồng cấu....................................7
1.5. Chéo hóa ma trận..............................................................................9
1.6. Tự đồng cấu chéo hóa được............................................................11
Chương II: Dạng chuẩn tắc Jordan.............................................................17
2.1. Tự đồng cấu lũy linh ......................................................................17
2.2. Dạng chuẩn tắc Jordan của tự đồng cấu..........................................21
2.3. Ví dụ................................................................................................29
Kết luận...........................................................................................................39
Tài liệu tham khảo………………………………………………………….40

1


Lời nói đầu
Việc nghiên cứu các đồng cấu đặc biệt là các tự đồng cấu đóng vai trò
quan trọng trong việc làm rõ cấu trúc của các không gian vectơ. Để việc
nghiên cứu các tự đồng cấu được dễ dàng hơn thì ta cần tìm ma trận biểu diễn
đơn giản nhất có thể của các tự đồng cấu. Ma trận dạng chéo là một ma trận
đơn giản, các tự đồng cấu có ma trận với một cơ sở nào đó là ma trận dạng
chéo được gọi là các tự đồng cấu chéo hóa. Nhưng không phải bất kì tự đồng
cấu nào cũng chéo hóa được vì vậy ta cần tìm ma trận có dạng gần với ma
trận dạng chéo nhất. Ma trận dạng chuẩn tắc Jordan là một ma trận đặc biệt,
gồm các khối khác không trên đường chéo chính, mỗi khối là một ma trận chỉ
có các phần tử khác không trên đường chéo chính các phần tử nằm dưới (trên)

đường kề với đường chéo là 1 các phần tử còn lại bằng không. Đối với mỗi tự
đồng cấu luôn xác định duy nhất một ma trận dạng chuẩn tắc Jordan sai khác
kém thứ tự các khối Jordan trên đường chéo chính. Dạng chuẩn tắc Jordan có
thể coi là dạng ma trận biểu diễn đơn giản nhất của một tự đồng cấu bất kì .
Dựa vào tài liệu [1] và một số tài liệu khác khóa luận xin trình bày cụ thể về
dạng chuẩn tắc Jordan như sau:
Khóa luận gồm 2 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị trình bày các vấn đề cơ bản về giá trị
riêng vector riêng của một đồng cấu tuyến tính, vấn đề chéo hóa ma trận, tự
đồng cấu chéo hóa.
Chương 2: Trình bày các kiến thức về dạng chuẩn tắc Jordan, dẫn dắt
chứng minh sự tồn tại của ma trận dạng chuẩn tắc Jordan của một tự đồng cấu
bất kì và đưa ra một số ví dụ cụ thể tìm dạng chuẩn tắc Jordan của một tự
đồng cấu tuyến tính.
Để hoàn thành khóa luận này, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô
giáo. TS. Đào Thị Thanh Hà, đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt quá
trình làm khóa luận tốt nghiệp. Tôi cũng xin cảm ơn gia đình, các thầy cô
2


trong tổ Đại số, các bạn sinh viên đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành khóa
luận này.
Do trình độ và thời gian có hạn nên khóa luận chắc chắn còn có nhiều
thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để
khóa luận được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 5 năm 2012
Tác giả.

3

Chương 1:
KIẾN THỨC CHUẨN BI
1.1. Không gian vectơ con
1.1.1. Định nghĩa
Cho V là một không gian vectơ trên trường K, khi đó tập con W ≠ φ ,
W ⊂ V được gọi là một không gian vectơ con của V nếu W khép kín với hai
phép toán trên V. Nghĩa là nếu:
(α + β ) ∈W với ∀α , β ∈W
Và aα ∈W với ∀α ∈W , a ∈ K
Nhận xét: W với hai phép toán là hạn chế của hai phép toán trên V cũng
là một không gian vectơ trên K.
1.1.2. Mệnh đê
Nếu W là một không gian vectơ con của V thì dimW ≤ dimV. Đẳng thức
dimW = dimV xảy ra khi và chỉ khi W = V.
1.1.3. Tổng và tổng trực tiếp
Giả sử W1, ..., Wm là các không gian vectơ con của V, khi đó tập hợp:
W1 + ... + Wm = { α1 + ... + α m / α i ∈Wi , i = 1,..., m} lập nên một không gian vectơ
con của V.
i) Không gian vectơ W1 + ... + Wm = { α1 + ... + α m / α i ∈Wi , i = 1,..., m} được
m

gọi là tổng của các không gian W1, ..., Wm có thể kí hiệu là

∑W .
i =1

i

Mỗi vectơ của W1, ..., Wm có thể viết dưới dạng :

α = α1 + ... + α m , α i ∈Wi , i = 1,..., m
ii) Nếu mọi vectơ của tổng W1 + ... + Wm đều viết được duy nhất dưới dạng

α = α1 + ... + α m , α i ∈Wi , i = 1,..., m thì W1 + ... + Wm được gọi là tổng trực tiếp
của các không gian W1, ..., Wm và được kí hiệu là W1 ⊕ ... ⊕ Wm .
4


1.1.4. Định ly
Tổng W1 + ... + Wm là tổng trực tiếp của W1, ..., Wm nếu và chỉ nếu một
trong hai điều kiện tương đương sau đây được thỏa mãn:
W j ) = { 0}
i) Wi ∩ (∑
i≠ j

, (i = 1,..., m) .

W j ) = { 0}
ii) Wi ∩ (∑
j >i

, (i = 1,..., m − 1) .

1.1.5. Định ly
Giả sử U và W là các không gian vector con của một không gian vectơ hữu
hạn chiều V khi đó: dimU + dimW =dim(U + W) + dim(U ∩ W ) .
1.1.6. Hệ quả: dim(U ⊕ W ) = dimU + dimW .
1.2. Ánh xạ tuyến tính
1.2.1. Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Giả sử V, W là các không gian vectơ trên trường K với các cơ sở tương
ứng là: (α1, ......, αn) và (β1, ......., βm ) khi đó ánh xạ tuyến tính f : V → W
được xác định duy nhất bởi các vectơ f(α1),......., f(αn). Biểu thị tuyến tính các
vectơ trên với cơ sở (β1, ......., βm ) ta được:
m

f(αj) =

∑ a .β
i =1

ij

i

với j = 1,.......,n và aij ∈ K

Như vậy ánh xạ tuyến tính f : V → W được xác định duy nhất bởi hệ thống
các vô hướng {aij | 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ m} và được xếp thành ma trận sau:
 a11 a12
a
a22
A =  21
 ...
..

 am1 am 2

.. a1n 
.. a2 n 

 = (aij ) mn .
.. ... 

.. amn 

A được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f : V → W trong cặp cơ sở

(α1, ......,αn) và (β1, ......., βm ).
1.2.2. Định nghĩa (Tự đồng cấu)
Mỗi đồng cấu f từ không gian vector V vào chính nó được gọi là một tự
đồng cấu của V.
5


1.2.3. Định nghĩa (ma trận đồng dạng)
Giả sử A và B là hai ma trận vuông cùng cấp n, ta nói ma trận B đồng
dạng với ma trận A nếu tồn tại ma trận P không suy biến (khả nghịch) cấp n
sao cho: B = P −1 AP .
1.2.4. Định ly
Hai ma trận vuông đồng dạng với nhau nếu nếu và chỉ nếu chúng là ma
trận của cùng một tự đồng cấu của một không gian vectơ trong các cơ sở nào
đó của không gian này.
1.3. Giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận
1.3.1. Định nghĩa
Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường K. Một số λ ∈ K được gọi
là giá trị riêng của ma trận A nếu tồn tại vectơ khác không u ∈ K n , sao cho
A(u ) = λu . Khi đó vectơ u được gọi là vectơ riêng của ma trận A ứng với giá
trị riêng.
1.3.2. Định ly
Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường K. Giả sử α1 ,...,α r là các

vectơ riêng ứng với các giá trị riêng λ1 , λ2 ,..., λr của ma trận A, khi đó tập

{ α1 ,...,α r }

độc lập tuyến tính.

1.3.3. Định nghĩa (đa thức đặc trưng) :
Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp n trên K. Xét ma trận vuông
 a11 − X
 a
A − XI n =  21
 M

 an1

6

a12
...
a1n 
a22 − X ...
a2 n 
.
M
O
M 

an 2
... ann − X 

Đa thức PA ( X ) = det( A − XI n ) ∈ K [ X ] được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận
A. Phương trình PA ( X ) = 0 được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A.

1.3.4. Định ly
Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường K. Khi đó số λ ∈ K là giá
trị riêng của A nếu và chỉ nếu λ là nghiệm của phương trình đặc trưng
PA ( X ) = 0 .

1.3.5. Định ly
Hai ma trận đồng dạng có cùng một đa thức đặc trưng nghĩa là có các giá
trị riêng như nhau.
1.4. Vectơ riêng – Giá trị riêng của một tự đồng cấu
1.4.1. Định nghĩa
Cho f là một tự đồng cấu của không gian vectơ V trên trường K. Một phần
tử λ ∈ K được gọi là giá trị riêng của f nếu tồn tại một vectơ khác không α ∈ V
sao cho f (α ) = λα . Khi đó vectơ α được gọi là vectơ riêng của f ứng với giá
trị riêng λ .
1.4.2. Định nghĩa
Giả sử λ là một giá trị riêng của tự đồng cấu f khi đó không gian vectơ
con ker(f - λidv) gồm vectơ 0 và tất cả các vectơ riêng của f ứng với giá trị
riêng λ được gọi là không gian con riêng của f ứng với giá trị riêng λ.
1.4.3. Đa thức đặc trưng của tự đồng cấu
Cho V là không gian vectơ n chiều trên K và tự đồng cấu f : V → V có ma
trận là A trong một cơ sở nào đó của V. Khi đó đồng cấu (f - Xidv) có ma trận
là: (A – XIn) trong cơ sở trên nên ta có:
det ( f − Xidv ) = det ( A – XI n )
Nếu A = (aij)nn thì:
7

det ( f − Xidv ) = det ( A – XI n )

a11 − X
a21
=
M
an1

a12
...
a1n
a22 − X ...
a2 n
M
O
M
an 2
... ann − X

là một

đa thức bậc n của ẩn X.
Đa thức bậc n của ẩn X với hệ số trong K: P f(X) = det(f - Xidv) được gọi là
đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f.
1.4.4. Mệnh đê
Vô hướng λ∈ K là một giá trị riêng của tự đồng cấu f : V → V khi và chỉ
khi λ là một nghiệm của đa thức đặc trưng của f:
det ( f – Xidv ) = det ( A – XI n ) .
1.4.5. Định nghĩa

Cho f là một đồng cấu của không gian vector V trên trường K. Một không
gian vectơ con U của V là một không gian con ổn định đối với đồng cấu f nếu
f (U ) ⊂ U , hay f (u ) ∈U với mọi u ∈U .
1.4.6. Mệnh đê
Giả sử U là một không gian vectơ con ổn định đối với tự đồng cấu f : V

→ V gọi f : V/U → V/U, f (α) = (f(α)) là đồng cấu cảm sinh bởi f. Khi
đó đa thức đặc trưng của f bằng tích các đa thức đặc trưng của f|U và của f .
1.4.7. Định ly
Không gian con riêng của f ứng với giá trị riêng λ: Ker(f - λidv) là không
gian con ổn định của V đối với f.
Chứng minh
Ta có ker(f - λidv) là một không gian vector con của V.
Với mọi v ∈ ker(f - λidv) ta có f (λ v) = λ f (v) = λ (λ v) , suy ra:

λ v ∈ ker( f − λidv)
Vậy với mọi vector v∈ ker(f - λidv), ta luôn có f (v) = λ v ∈ ker( f − λidv) .
8


Do đó ker(f - λidv) là không gian con bất biến của V .
1.5. Chéo hóa ma trận

1.5.1. Định nghĩa
Cho A là một ma trận vuông cấp n trên K. Ma trận A được gọi là chéo hóa
được nếu A đồng dạng với một ma trận đường chéo hay tồn tại một ma trận
khả nghịch P và một ma trận đường chéo D để A = PDP −1 .
1.5.2. Định ly
Cho A là ma trận vuông cấp n trên trường K. Khi đó A chéo hóa được nếu
và chỉ nếu A có n vector riêng độc lập tuyến tính. Hơn nữa, nếu A = PDP −1 với

D là ma trận chéo thì các phần tử trên đường chéo chính của D là các giá trị
riêng của ma trận A và các cột của ma trận P là các vectơ riêng tương ứng.
Chứng minh
i) Giả sử A chéo hóa được ta sẽ chứng minh A có n vectơ riêng độc lập
tuyến tính:
Vì A chéo hóa được nên tồn tại ma trận khả nghịch P: P −1 AP = D
λ1

trong đó ma trận vuông D = 


.



.
 là ma trận đường chéo
λn 

Từ P −1 AP = D nhân 2 vế với ma trận P ta được: AP = PD. (*)
Gọi p1, p2, …, pn là các vector cột liên tiếp của P ta có:
AP là ma trận có các cột là Ap1, …, Apn
và PD là ma trận có các cột là λ1 p1 ,..., λn pn .
Kết hợp với (*) ta suy ra Ap1 = λ1 p1 , ..., Apn = λn pn
Mà ma trận P khả nghịch nên các vectơ cột của P đều khác vector không
nghĩa là pi ≠ θ với ∀i = 1,..., n và hệ { p1 , ..., pn } độc lập tuyến tính.
9


Suy ra λ1 , ..., λn là các giá trị riêng của A và p1, p2, …, pn là các vectơ riêng

tương ứng.
Vậy khi A chéo hóa được thì A có n vectơ độc lập tuyến tính.
ii) Giả sử A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính ta đi chứng minh A chéo
hóa được.
Gọi p1, p2, …, pn là n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A với các giá trị riêng
tương ứng là λ1 ,..., λn suy ra Ap1 = λ1 p1 ,..., Apn = λn pn .(**)
Đặt P là ma trận có các cột là các vectơ p1, p2, …, pn ta có
AP là ma trận có các cột là Ap1, …, Apn theo (**) ta suy ra AP là ma trận có
các cột là λ1 p1 ,..., λn pn
 λ1

Suy ra AP = P 




.
.
 = PD trong đó D là ma trận chéo có những giá trị
λn 

riêng trên đường chéo chính.
Vì các vectơ cột của P là độc lập tuyến tính nên ma trận P khả nghịch suy ra
phương trình AP = PD viết thành P −1 AP = D
Vậy khi A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính thì A chéo hóa được .
1.5.3. Hệ quả
Cho A là ma trận vuông cấp n trên K. Khi đó nếu A có n giá trị riêng phân
biệt thì A chéo hóa được.
Chứng minh
Giả sử λ1 , λ2 ,..., λn là các giá trị riêng phân biệt của ma trận A. Gọi

u1 , u2 ,..., un là các vectơ riêng của A tương ứng với các giá trị riêng λ1 , λ2 ,..., λn .
Khi đó theo Định lý 1.3.2 thì { u1 , u2 ,..., un } độc lập tuyến tính trong K n do đó
ma trận A chéo hóa được theo Định lý 1.5.2.
1.5.4 Định ly

10


Cho A là ma trận vuông cấp n trên K. Giả sử λ1 , λ2 ,..., λr là các giá trị riêng
phân biệt của A và Si là cơ sở của không gian vectơ riêng ứng với các λi (i =
1, 2, …, r). Khi đó S = S1 ∪ S2 ∪ ... ∪ S r độc lập tuyến tính trong K n và A chéo
hóa được nếu và chỉ nếu S chứa n vectơ.
1.6. Tự đồng cấu chéo hóa được
1.6.1. Định nghĩa
Cho V là một không gian vectơ trên trường K và f là một tự đồng cấu của V.
Tự đồng cấu f được gọi là chéo hóa được nếu ma trận của nó trong một cơ sở
nào đó của V là một ma trận chéo.
1.6.2. Định ly
Cho V là một không gian vectơ n chiều trên trường K và f là một tự đồng
cấu của V. Khi đó f chéo hóa được nếu và chỉ nếu f có n vectơ riêng độc lập
tuyến tính. Hơn nữa các phần tử trên đường chéo chính của ma trận biểu
diễn là các giá trị riêng của f.
Chứng minh
i) Giả sử A chéo hóa được và A là ma trận biểu diễn của f theo cơ sở

 λ1 0
0 λ
2
S = {v1 , v2 ,..., vn } . Khi đó A = 
 ... ...


0 0

... 0 
... 0 
 và f (vi ) = λi vi .
... ... 

... λn 

Vì S là cơ sở của V nên vi khác vectơ 0 với mọi i = 1, 2, …, n. Do đó,

λ1 , λ2 ,..., λn là các giá trị riêng của f và v1 , v2 ,.., vn là các vectơ riêng tương
ứng.
ii) Đảo lại nếu f có n vectơ riêng v1 , v2 ,.., vn độc lập tuyến tính thì
S = {v1 , v2 ,..., vn } là cơ sở của V. Vì vi là vectơ riêng của f nên tồn tại λi ∈ K
sao cho f (vi ) = λi vi với mọi i = 1, 2, …, n. Khi đó
11


 λ1 0
0 λ
2
A=
 ... ...

0 0

... 0 
... 0 

 chính là ma trận của f theo cơ sở S. Ma trận biểu
... ... 

... λn 

diễn A của f là ma trận đường chéo nên f chéo hóa được.

1.6.3. Hệ quả
Cho tự đồng cấu f : V → V , và A là ma trận biểu diễn của f theo cơ sở
nào đó của V. Khi đó, f là chéo hóa được nếu và chỉ nếu A chéo hóa được.
Chứng minh
Giả sử λ ∈ K là một giá trị riêng của A. Khi đó tồn tại vectơ v khác 0 sao
cho A(v) = λ v = f (v) . Điều này đồng nghĩa với λ cũng là giá trị riêng của tự
đồng cấu f và ngược lại.
1.6.4. Định ly
Giả sử α1 ,α 2 ,...α k là các vectơ riêng của tự đồng cầu f : V → V ứng với
mỗi giá trị riêng đôi một khác nhau λ1 , λ2 ,..., λk . Khi đó các vectơ α1 ,α 2 ,...α k
độc lập tuyến tính.
1.6.5. Hệ quả
Giả sử V1, V2, …, Vk là các không gian con riêng của tự đồng cấu
f : V → V ứng với những giá trị riêng λ1 , λ2 ,..., λk . Khi đó tổng V1 +…+ Vk
là một tổng trực tiếp.
1.6.6. Hệ quả
Nếu dimV = n và tự đồng cấu f : V → V có n giá trị riêng đội một khác
nhau thì f chéo hóa được.
1.6.7. Định ly
Tự đồng cấu f của không gian vectơ V trên trường K chéo hóa được nếu và
chỉ nếu hai điều kiện sau đây thỏa mãn:
i) Đa thức đặc trưng của f có đủ nghiệm trong trường K:
12

Pf ( X ) = (−1) n ( X − λ1 ) s1 ( X − λ2 ) s2 ...( X − λm ) sm .
Trong đó λ1 , λ2 ,..., λm là các vô hướng đôi một khác nhau trong K.
ii) rank(f - λiidv) = n – si với (i = 1, 2, …, m), với s i là bội của λi xem như
nghiêm của đa thức Pf ( X ) .
Chứng minh
Giả sử f chéo hóa được ta đi chứng minh hai điều kiện i) và ii) được thỏa
mãn.
Gọi D là ma trận chéo của f trong một cơ sở nào đó của V với: s 1 phần tử trên
đường chéo bằng λ1, …, sm phần tử trên đường chéo bằng λm đôi một khác
nhau và n = s1 +…+ sm.
Khi đó :

Pf ( X ) = PA ( X ) = (λ1 − X ) s1 ....(λm − X ) sm
= (−1) n ( X − λ1 ) s1 ....( X − λm ) sm .

Lại có : ( D − λi I n ) là một ma trận chéo với si phần tử trên đường chéo bằng λi
- λi = 0 các phần tử còn lại bằng λj - λi ≠ 0 (với i ≠ j).
Suy ra :

rank(f - λiidv) = rank(A - λiIn) = n – si (với i = 1,2,…m)

Ngược lại giả sử các điều kiện (i), (ii) được thỏa mãn. Ta xét không gian
con riêng của f ứng với giá trị riêng λi : Vi = ker(f - λiidv) ( với i = 1,2,..m).
Ta có :
dimVi = dimker(f - λiidv) = n – rank(f - λiidv) = si.
Mà : Tổng V1 + V2 +…+ Vk là một tổng trực tiếp, với số chiều bằng s1+ ...+sm
= n.
Vậy tổng đó bằng toàn bộ không gian V:

V = V1 ⊕ V2 ⊕ .... ⊕ Vm

13


Lấy một cơ sở bất kì (ei1 ,..., eisi ) của Vi (với i = 1, 2,..., m). Khi đó
(e11 ,..., e1s1 ,..., em1 ,..., emsm ) là một cơ sở của V gồm toàn những vectơ riêng của
f. Như vậy f chéo hóa được.
1.6.8. Ví dụ
Tìm ma trận dạng chéo của f biết f có ma trận với một cơ sở của R3 là:
 3 −2 0 
A =  −2 3 0  .


 0 0 5 
Lời giải
3− X
Phương trình đặc trưng Pf ( X ) = det( A − XI 3 ) = −2
0

−2
3− X
0

0
0 =0
5− X

⇔ −( X − 1)( X − 5) 2 = 0 .
Phương trình có 3 nghiệm X1 = 1, X2 = X3 = 5, suy ra f có 3 giá trị riêng là:

λ1 = 1, λ2 = λ3 = 5 .
Gọi x = (x1, x2, x3) là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ suy ra x là
nghiệm không tầm thường của phương trình thuần nhất ( A − λ I 3 ) x = 0 .
 x1 = t
 2 −2 0   x1  0 







Với λ1 = 1 ta có  −2 2 0   x2  = 0  ⇔  x2 = t
x = 0
 0 0 4   x3  0 
 3
 t  1 
⇒ x =  t  = t 1  là các vectơ riêng ứng với λ1 = 1 .
   
0   0 
⇒ không gian con riêng của f ứng với λ1 = 1 là V1 = ( 1,1,0 ) .
 x1 = − s
 −2 −2 0   x1  0 








Với λ2 = λ3 = 5 ta có  −2 −2 0   x2  = 0  ⇔  x2 = s
x = k
 0 0 0   x3  0 
 3
14


−s 
 −1
0 
⇒ x =  s  = s  1  + k 0  là các vectơ riêng ứng với λ2 = λ3 = 5 .
 
 
 
 k 
 0 
1 
⇒ không gian con riêng của f ứng với λ2 = λ3 = 5 là
V2 =

{ ( −1,1,0 ) , ( 0,0,1) }

.

Ta có các vector (1,1,0); ( −1,1,0); (0,0,1) độc lập tuyến tính nên suy ra f có 3
vectơ riêng độc lập tuyến tính. Áp dụng Định lý 1.6.2 thì ma trận của f với cơ
sở S = { (1,1,0); (−1,1,0); (0,0,1)} là ma trận đường chéo và có dạng:
1 0 0 
B = 0 5 0  .



0 0 5 
Ví dụ trên là một đồng cấu chéo hóa được tuy nhiên không phải tự đồng cấu
nào cũng chéo hóa được.
1.6.9. Ví dụ (tự đồng cấu không chéo hoá được)
1 1 0


Cho f có ma trận là A =  −1 3 0  chứng minh f không chéo hóa được.
 −1 4 −1
Lời giải
1− X
Phương trình đặc trưng Pf ( X ) = det( A − XI 3 ) = −1
−1

1
0
3− X
0 =0
4
1− X

⇔ −( X + 1)( X − 2) 2 = 0 .
Phương trình có 3 nghiệm X1 = -1, X2 = X3 = 2, suy ra f có 3 giá trị riêng là:

λ1 = −1, λ2 = λ3 = 2 .
Gọi x = (x1, x2, x3) là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ suy ra x là
nghiệm không tầm thường của phương trình thuần nhất ( A − λ I 3 ) x = 0 .

15


 x1 = 0
 2 1 0   x1  0 


   
Với λ1 = 1 ta có  −1 4 0   x2  = 0  ⇔  x2 = 0
x = t
 −1 4 0   x3  0 
 3
0   0 
⇒ x = 0  = t  0  là các vectơ riêng ứng với λ1 = −1 .
   
 t  1 
⇒ không gian con riêng của f ứng với λ1 = −1 là V1 = ( 0,0,1) .
 x1 = s
 −1 1 0   x1  0 


   
Với λ2 = λ3 = 2 ta có  −1 1 0   x2  = 0  ⇔  x2 = s
x = s
 −1 4 −3  x3  0 
 3
s
1
⇒ x =  s  = s 1 là các vectơ riêng ứng với λ2 = λ3 = 2 .
 


 s 
1
⇒ không gian con riêng của f ứng với λ2 = λ3 = 2 là V2 = (1,1,1) .
Suy ra dimV1 + dimV2 = 2 < n = 3 nên theo Định lý 1.5.4 thì ma trận A không
chéo hóa được suy ra f không chéo hóa được.

16


Chương2 :
DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN
Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là chúng ta có thể cải tiến một ma trận bất kì về
ma trận tam giác? Để làm được điều đó chúng ta cần tìm cơ sở “tốt hơn” cho
các không gian con xuất hiện như là hạng tử trực tiếp. Vì vậy chúng ta có cái
nhìn gần hơn về tự đồng cấu lũy linh.
2.1. Tự đồng cấu lũy linh
Cho f : V → V là một tự đồng cấu của V. Giả sử ta phân tích V thành:
V = V1 ⊕ ... ⊕ Vr trong đó mỗi Vi là một không gian f – ổn định và tự đồng cấu
f |Vi có ma trận là Ji trong cơ sở (ei1 ,..., eisi ) của Vi. Khi đó ma trận của f trong
cơ sở (e11 ,..., e1s1 ,..., em1 ,..., emsm ) của V có dạng (đường) chéo khối sau đây,
được gọi là tổng trực tiếp của các ma trận J1, ..., Jr:
 J1

− − .
0

J1 ⊕ ... ⊕ J r =  − − .
 M M




 0 0

17

0 

.
0 

J2
... 0 
− − ....

M O M M

... . − − 

0 ...
Jr 

0
−−

...
...


Lớp các tự đồng cấu f mà ma trận của nó trong một cơ sở nào đó có dạng chéo

khối như trên với các khối Ji thật “đơn giản”. Đó là lớp các tự đồng cấu lũy
linh.
2.1.1. Định nghĩa.
i)

Tự đồng cấu ϕ của K – không gian vectơ V được gọi là lũy linh nếu

có số nguyên dương k sao cho ϕ k = 0. nếu thêm vào đó ϕ k −1 ≠ 0 thì k được
gọi là bậc lũy linh của ϕ
ii)

Cơ sở (e1, ..., en) của V được gọi là một cơ sở xyclic đối với ϕ nếu

ϕ (e1) = e2, ϕ (e2) = e3, ..., ϕ (en) = 0
iii)

Không gian vectơ con U của V được gọi là một không gian con

xyclic đối với ϕ nếu U có cơ sở xyclic đối với ϕ .
2.1.2. Nhận xét :
i)

Mỗi tự đồng cấu lũy linh đều có giá trị riêng duy nhất bằng 0.

ii) Cơ sở (e1 ,..., en ) là một cơ sở xyclic với ϕ nếu và chỉ nếu ma trận của

0
1

0

ϕ trong cơ sở này có dạng: 
.
0

0

0
0
1
.
0
0

0
0
0
.
0
0

...
...
...
...
...
...

0
0
0

.
0
1

0
0

0

.
0

0

Thật vậy:
i) Giả sử ϕ có bậc lũy linh bằng k.
Theo định nghĩa thì tồn tại vectơ α ∈V sao cho ϕ k-1(α) ≠ 0 và ϕ k(α) = 0 suy
ra: ϕ k (α ) = ϕ (ϕ k −1 (α )) = 0 đặt β = ϕ k-1(α) thì β chính là một vectơ riêng của

ϕ ứng với giá trị riêng bằng 0.
Ngược lại, giả sử α là một vectơ riêng của ϕ ứng với giá trị riêng λ.
18


Ta có ϕ (α) = λα, do đó ϕ k(α) = λkα. Vì k là bậc lũy linh của ϕ nên:

ϕ k = 0 suy ra λkα = 0.
Mà α là một vectơ riêng nên α ≠ 0 suy ra λ = 0.
ii) Gọi (e1 ,..., en ) là một cơ sở xyclic với ϕ khi đó ta có:

ϕ (e1 ) = e2 = 0e1 + e2 + 0e3 + ... + 0en−1 + 0en
ϕ (e2 ) = e3 = 0e1 + 0e2 + e3 + ... + 0en−1 + 0en
...

ϕ (en−1 ) = en = 0e1 + 0e2 + 0e3 + ... + 0en−1 + en
ϕ (en ) = 0 = 0e1 + 0e2 + 0e3 + ... + 0en−1 + 0en
Điều này tương đương với ma trận của ϕ trong cơ sở xyclic (e1 ,..., en ) có
dạng:
0
1

0

.
0

0

0
0
1
.
0
0

0
0
0
.
0

0

...
...
...
...
...
...

0
0
0
.
0
1

0
0

0
.
.
0

0

2.1.3. Định ly
Giả sử f là một tự đồng cấu lũy linh của không gian vectơ hữu hạn chiều
V. Khi đó, V phân tích được thành tổng trực tiếp của các không gian con
xyclic đối với f. Hơn nữa, với mỗi số nguyên dương s, số không gian con s

chiều xyclic đối với f trong mọi phân tích như thế là không đổi và bằng:
rank (ϕ s −1 ) − 2rank (ϕ s ) + rank (ϕ s +1 ) .
Chứng minh
Gọi k là bậc lũy linh của ϕ suy ra ϕ k = 0 và ϕ k −1 ≠ 0, đặt Vi = ϕ k −i (V ) ta có:
Vk = ϕ 0 (V ) = idv(V ) = V , Vk −1 = ϕ 1 (V ) = ϕ 1 (Vk ) , Vk −2 = ϕ 2 (V ) = ϕ 1 (Vk −1 ) , ..,
V1 = ϕ k −1 (V ) = ϕ k −2 (V2 ) , V0 = ϕ k (V ) = { 0} .
19


Suy ra V = Vk ⊃ Vk −1 ⊃ Vk − 2 ⊃ ... ⊃ V1 ⊃ V0 = { 0}
Bây giờ ta sẽ xây dựng các không gian vectơ con Vi j với 1 ≤ j ≤ i ≤ k có các
tính chất sau:
j
j
i) ϕ |Vnj : Vn → Vn −1 ,( n > 1, j = 1,2,..., n − 1) là đẳng cấu.
1
2
n
ii) Ker(ϕ |Vn ) = V1 ⊕ V2 ⊕ ... ⊕ Vn (1 ≤ n ≤ k ) .
i
iii) Vn = ⊕1≤ j ≤i≤ nV j (1 ≤ n ≤ k ) .

Với n = 1: Đặt V11 = V1 , xét ϕ |V1 : V1 → V1 theo trên ta có ϕ (V1 ) = V0 = { 0}
suy ra ker(ϕ |V1 ) = V1 , các tính chất khác dễ thấy.
Giả sử ta xây dựng được các không gian vectơ Vi j với 1 ≤ j ≤ i ≤ n − 1
thỏa mãn tính chất trên, ta sẽ đi xây dựng các không gian vectơ Vi j với
1≤ j ≤ i ≤ n .
Ta có: ϕ |Vn : Vn → Vn−1 là một toàn ánh vì Vn−1 ⊂ Vn suy ra có thể chọn các
j
j

không gian con Vn1 ,...,Vnn−1 sao cho : ϕ |Vnj : Vn → Vn−1 với j = 1, ..., n – 1 là các

đẳng cấu.
Lại có ker(ϕ |Vn −1 ) ⊂ ker(ϕ |Vn ) vì Vn−1 ⊂ Vn . Ta chọn Vnn là phần bù tuyến tính
n
của ker(ϕ |Vn −1 ) trong ker(ϕ |Vn ) suy ra Ker(ϕ |Vn ) = ker(ϕ |Vn −1 ) ⊕ Vn

Tiếp tục chọn Vnn−−11 là phần bù tuyến tính của ker(ϕ |Vn − 2 ) trong ker(ϕ |Vn −1 )
... chọn V11 là phần bù tuyến tính của ker(ϕ |V0 ) trong ker(ϕ |V1 )
1
n
Ta được: ker (ϕ |Vn ) = V1 ⊕ ... ⊕ Vn .
n −1
j
j
Ta có đẳng thức sau: Vn = (⊕ j =i Vn ) ⊕ (⊕1≤ j ≤i
bằng quy nạp.
i
Kết hợp hai đẳng thức ở trên ta thu được: Vn = ⊕1≤ j ≤i≤n V j (1 ≤ n ≤ k ) .

20


Như vậy họ không gian con Vi j với 1 ≤ j ≤ i ≤ k đã được xây dựng bằng quy
nạp theo i.
j
≅
≅
≅

→Vk j−1 
→ ... 
→V j j
Bây giờ ta xét dãy các không gian vectơ : Vk 

trong đó các mũi tên đều chỉ các hạn chế của đồng cấu ϕ .
Ta thấy với mỗi vectơ e ≠ 0 trong Vk j được đặt tương ứng với một không gian
con xyclic (k – j – 1) chiều với ϕ , với mỗi cơ sở xyclic gồm các vectơ sau
đây : (e,ϕ (e),...,ϕ k − j (e)) .
j
j
j
Như vậy Vk ⊕ Vk −1 ⊕ ... ⊕ V j là một tổng trực tiếp của số hữu hạn không gian

con xyclic (k – j + 1) chiều đối với ϕ .
k
j
j
j
Do đó : V = Vk = ⊕ j =1 (Vk ⊕ Vk −1 ⊕ ... ⊕ V j ) là một tổng trực tiếp của một số

hữu hạn các không gian xyclic với ϕ .
Giả sử V = ⊕i Wi là một phân tích của V thành tổng trực tiếp các không
gian con xyclic đối với ϕ . Vì mỗi ϕ đều là một không gian ϕ - ổn định nên:
rank (ϕ ) = ∑ rank (ϕ |Wi ) .
i

Nếu Wi là một không gian m chiều xyclic với ϕ thì dẽ thấy rằng :
m − s
rank (ϕ s |Wi ) = 

 0

khi
khi

s≤m
.
s>m

Từ đó :
 1
Rank (ϕ s −1 |Wi ) − 2rank (ϕ s |Wi ) + rank (ϕ s +1 |Wi ) = 
 0

khi
khi

s=m
.
s≠m

Vì thế với mỗi số nguyên dương s ta có :
rank (ϕ s −1 ) − 2rank (ϕ s ) + rank (ϕ s +1 ) chính là số không gian con s chiều
xyclic với ϕ trong mọi phân tích của V.
2.2. Dạng chuẩn tắc Jordan của tự đồng cấu
2.2.1. Nhận xét
21


Giả sử f : V → V là một đồng cấu bất kì. Với mỗi λ∈ K xét tập:

Rλ = {α ∈ V: ∃m = m(α) sao cho (f - λidv)m(α) = 0}. Khi đó:
i) Rλ là không gian con ổn định đối với f.
ii) Rλ ≠ {0} nếu và chỉ nếu λ là một giá trị riêng của f .
Thật vậy
i)

Ta có R λ là một không gian vectơ con vì R λ là hợp của một dãy các
∞

không gian vectơ con lồng vào nhau: Rλ =

Uker ( f − λidv)

m

.

m =1

Lại có f giao hoán với (f - λidv) vì: với ∀α ∈V :
f ( f − λidv)(α ) = ( f − λidv )( f (α )) = f 2 (α ) − λ f (α ) = f ( f (α ) − λα )
= f ( f (α ) − λidv(α )) = f (( f − λidv)(α )) = ( f − λidv ) f (α )
Mà với mỗi α ∈ Rλ tồn tại m > 0 sao cho ( f − λidv) m (α ) = 0 suy ra:
f ( f − λidv) m = ( f − λidv ) m f (α ) = f (0) = 0 ⇒ ( f − λidv)( f (α )) = 0
Theo cách cho Rλ thì từ đẳng thức trên ta có f( α ) ∈ Rλ
Vậy Rλ là một không gian vectơ con ổn định với f.
ii) Nếu λ là một giá trị riêng của f thì không gian con riêng ker( f − λidv)
là một không gian con của Rλ. Suy ra Rλ ≠ { 0}
Ngược lại, giả sử α ∈ Rλ / { 0} , chọn m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho
m

(f - λidv)m(α) = 0 ⇒ ( f − λidv)(( f − λidv) (α )) = 0 .

Suy ra: β = ( f − λidv) m−1 (α ) ≠ 0 là một vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng
của λ vì ( f − λidv)( β ) = 0
2.2.2. Định nghĩa
Giả sử λ là một giá trị riêng của f, khi đó Rλ được gọi là không gian con suy
rộng của f ứng với giá trị riêng λ.
2.2.3.

Mệnh đê:
22


Nếu λ là giá trị riêng của tự đồng cấu f : V → V thì dim Rλ bằng bội
của λ xem như nghiệm của đa thức đặc trưng f.
Chứng minh
Theo định nghĩa của không gian con riêng suy rộng:
Rλ = {α ∈ V: ∃m = m(α) sao cho (f - λidv)m(α) = 0}
Suy ra đồng cấu ( f − λidv) |Rλ là lũy linh.
Áp dụng Định lý 2.1.3 cho ( f − λidv) / Rλ phân tích được thành tổng trực tiếp
các không gian con xyclic với ( f − λidv)
Gọi Vs là một không gian con xyclic trong tổng và (e1 ,..., es ) là cơ sở xyclic
tương ứng. Khi đó ta có:
( f − λidv)(e1 ) = e2 ⇒ f (e1 ) = λ e1 + e2 + 0e3 + ... + 0es −1 + 0es
( f − λidv)(e2 ) = e3 ⇒ f (e2 ) = 0e1 + λe2 + e3 + ... + 0es −1 + 0es
...
( f − λidv)(es −1 ) = es ⇒ f (e1 ) = 0e1 + 0e2 + 0e3 + ... + λ es −1 + es
( f − λidv)(es ) = 0 ⇒ f (es ) = 0e1 + 0e2 + 0e3 + ... + 0es −1 + λes
Suy ra ma trận của f |Vs với cơ sở xyclic (e1 ,..., es ) là:
 λ 0 0 ... 0 0 

 1 λ 0 ... 0 0 


 0 1 λ .... 0 0 
Js = 

 . . . ... . . 
 0 0 0 ... λ 0 


 0 0 0 ... 1 λ 
Mà Vs là một không gian con xyclic trong tổng trực tiếp nên ma trận của f |Rλ
có dạng chéo khối với các khối trên đường chéo có dạng trên.
dim R
Từ đó suy ra đa thức đặc trưng của f |Rλ là: Pf |Rλ ( X ) = (λ − X ) λ .

23


Gọi f là đồng cấu cảm sinh bởi f trên không gian thương V|Rλ theo Mệnh đề
1.4.6 ta có:
Pf ( X ) = Pf |Rλ ( X ) Pf ( X ) = (λ − X ) dim Rλ Pf ( X )
Gọi s là bội của λ (λ xem như nghiệm của đa thức đặc trưng của f) thì dimRλ
≤ s. Ta đi chứng minh dimRλ = s.
Giả sử phản chứng dimRλ < s suy ra λ là một nghiệm của Pf ( X ) .
Gọi α ∈V | Rλ là một vector riêng của f ứng với giá trị riêng λ. Khi đó
f (α ) = λα ∈V |Rλ suy ra ∃ β ∈ Rλ sao cho f (α ) = λα + β ∈V
⇒ β = ( f − λidv)(α ) ∈ Rλ .
Vì β ∈ Rλ nên theo định nghĩa có số nguyên m sao cho:
( f − λidv) m ( β ) = 0 ⇔ ( f − λidv) m+1 (α ) = 0 nghĩa là α ∈ Rλ . Điều này mâu

thuẫn với giả thiết α ∈V | Rλ
Vậy ta có dimRλ = s.
Kết quả sau đây cho thấy mọi tự đồng cấu với ma trận tương ứn đều đưa
đượ về dạng chuẩn tắc Jordan.
2.2.4. Định ly (dạng chuẩn tắc Jordan của ma trận của tự đồng cấu)
Giả sử tự đồng cấu f của K- không gian vector n chiều V có đa thức đặc
trưng Pf ( X ) phân tích được thành các nhân tử tuyến tính trong K [ X ] tức là
:
Pf ( X ) = (−1) n (λ1 − X ) s1 ....(λm − X ) sm
Trong đó λ1 , λ2 ,..., λm là các vô hướng đôi một khác nhau trong K. Khi đó, V
phân tích được thành tổng trực tiếp các không gian con riêng suy rộng ứng
với những giá trị riêng λ1 , λ2 ,..., λm :
V = Rλ1 ⊕ ... ⊕ Rλm , ở đây dim Rλk = sk .

24


Hơn nữa V có một cơ sở sao cho ma trận của f trong cơ sở đó là tổng trực
tiếp của các khối Jordan cấp s có dạng:

J s ,λk

λk
1

0
=
.
0


0

0
λk
1
.
0
0

0
0
λk
.
0
0

... 0
... 0
.... 0
... .
... λk
... 1

0
0

0

.
0


λk 

Khi đó :
 λ1

1 O

1




J =









λ1
λ2
1 O
1

λ2
λ3

1 O
1

λ3
















. 
.

Số khối Jordan cấp s với phần tử λk trên đường chéo bằng:
rank ( f − λk idv ) s −1 − 2rank ( f − λk idv ) s + rank ( f − λk idv ) s +1
Ma trận này được xác định duy nhất bởi f sai khác thứ tự sắp xếp các khối
Jordan trên đường chéo chính.
2.2.5. Định nghĩa
Ma trận J trong Định lý 2.2.4 được gọi là ma trận dạng chuẩn tắc Jordan
của tự đồng cấu f.

Chứng minh Định lý 2.2.4
Để chứng minh định lý ta chứng minh các điều sau:

25