Áp dụng cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm parabolic

Áp dụng cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm
Parabolic

Áp dụng cho hệ nhiều điện tử
và lỗ trống trong chấm lượng
tử dạng đĩa với thế giam cầm
Parabolic
Bởi:
TS. Nguyễn Hồng Quang

Phương trình Hartree-Fock cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống
Trong phần này chúng ta sẽ mở rộng bài toán trong hệ N điện tử tự do cho bài toán tổng
quát: hệ nhiều điện tử và lỗ trống tương tác với nhau trong chấm lượng tử parabolic. Bài
toán bây giờ trở nên phức tạp hơn vì ngoài tương tác giữa các điện tử với nhau còn có
thêm tương tác giữa điện tử với lỗ trống và lỗ trống với lỗ trống.
Hamilton toàn phần của hệ có dạng
^
H=

N

∑
i=1

M

N

( ) ∑( ) ∑

→

h r i +

→
h r k +
'

k=1

i
e2
+
ϵrij

M

∑
k
e2
−
ϵrkl

N

M

∑∑
i=1

k=1

e2
,
ϵrik

( )

→
h r i là Hamiltonian đơn điện tử trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm
parabolic đặt trong từ trường

( )

2
2
me* 2 ωce 2 1 ^
∇i
→
h r i = −
+
ω +
r + ω L ,
2 e
4 i 2 ce zi
2me*

( )

với năng lượng riêng

1
ϵnm = Ωe(2n + | m | + 1) + mωce
2

1/17


Áp dụng cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm
Parabolic

Tương tự, đối với lỗ trống

( )

2
2
mh* 2 ωch 2 1 ^
∇k
→
h r k = −
+
ω +
r − ω L ,
2 h 4 k 2 ch zk
2mh*
'

( )

với năng lượng riêng

1
ϵnm = Ωh(2n + | m | + 1) − mωch.
2
1

1

Các kí hiệu Ω2e = ω2e + 4 ω2ce vµ Ω2h = ω2h + 4 ω2ch,
ωce, ωch là tần số cyclotron của điện tử và lỗ trống,
me* , mh* là khối lượng hiệu dụng của điện tử và lỗ trống,
^
L z là thành phần z của toán tử momen động lượng của điện tử hoặc lỗ trống,
ϵ là hằng số điện môi.
Đơn vị chiều dài được dùng là bán kính Born hiệu dụng aB =
2 lần năng lượng Rydberg 2Ry =

2

ℏ ϵ
me* e2

, đơn vị năng lượng là

me* e4
2 2

ℏ ϵ

Hàm sóng của hệ được tìm trực tiếp từ hàm sóng của N điện tử với hàm sóng của M lỗ
trống (Hàm sóng của N điện tử và hàm sóng của M lỗ trống phải có dạng phản đối xứng

để chúng thỏa mãn nguyên lí loại trừ Pauli của hệ các hạt đồng nhất). Hàm sóng của hệ
có dạmg

(

Ψ ξe1, ..., ξeN, ξh1, ..., ξhM
×

)

=

|ψ (ξ ), ..., ψ (ξ )|
1

e1

N

eN

|ψ (ξ ), ..., ψ (ξ )|
1

h1

M

hM

trong đó ξ là biến số đặc trưng cho cả toạ độ và spin
Với năng lượng

2/17


Áp dụng cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm
Parabolic

∫

^
E = Ψ * ξe1, ..., ξeN, ξh1, ..., ξhM HΨ ξe1, ..., ξeN, ξh1, ..., ξhM

(

) (

)

Các hàm ψ(ξ) thỏa mãn điền kiện trực giao chuẩn hóa

∫ψ (ξ )ψ (ξ )dξ dξ
*
i

∫

ei

j

ej

ei

ej

= δeiej ≡ δij

¯*
¯
ψk ξhk ψl ξhl dξhkdξhl = δhkhl ≡ δkl

( ) ( )

Hàm sóng ψ(ξ) được viết dưới dạng

( )

ψ i ξ ei =

{
{

( →r )α(σ)
→
ϕ ( r )β (σ )
α

đốivớiđiệntửcóspinlên( ↑ )

β
i

đốivớiđiệntửcóspinxuống( ↓ )

ϕi

i = 1, ..., N
¯
ψ k ξ hk =

( )

( )
¯ →
ϕ ( r )β (σ )

¯α →
ϕ k r α (σ )
β
k

đốivớilỗtrốngcóspinlên( ↑ )
đốivớilỗtrốngcóspinxuống( ↓ )

k = 1, ..., M
^
Thay H và Ψ vào biểu thức của E, tiến hành tính toán ta thu được:

N

E

=

∑∫
i=1

*
ϕi

M

( ) ( ) ( ) ( ) ∑∫ ( ) ( ) ( ) ( )
→
→
→
→
r 1 h r 1 ϕi r 1 d r 1 +

¯* →
→ ¯ →
→
ϕ k r 1 h ' r 1 ϕk r 1 d r 1

k=1

3/17

Áp dụng cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm
Parabolic

1
2

+

1
2

−

1
2

+

1
2

−

N
'

∑∫

( )|

→
|ϕi r 1

i, j = 1
N

∑∫
'

i, j = 1 ↑ ↑
M
'

∑∫

∑∫
'

k, l = 1 ↑ ↑
M

∑∑∫
i=1

2

( ) ( )( )( )

e2 ¯ → 2 →

→
ϕl r 2 d r 1 d r 2
ϵr12

| ( )| ( ) ( )

¯ * → ¯ → e2 ¯ * → ¯ →
→
→
ϕ k r 1 ϕl r 1
ϕ l r 2 ϕk r 2 d r 1 d r 2
ϵr12

( )( )

( )|

→
|ϕi r 1

k=1

| ( )| ( ) ( )

( )( )

( )|

M

2
e2
→
→
→
ϕj r 2 d r 1 d r 2
ϵr12

2
→
→ e
→
→
→
* →
r 1 ϕj r 1
ϕ j r 2 ϕi r 2 d r 1 d r 2
ϵr12

¯ →
| ϕk r 1

k, l = 1

N

−

*
ϕi

2

2

( ) ( )( )( )

e2 ¯ → 2 →
→
ϕk r 2 d r 1 d r 2
ϵr12

| ( )| ( ) ( )

Trong đó kí hiệu ∑ ' là tương ứng cho các giá trị của i ≠ j, k ≠ l
Viết dưới dạng khai triển theo Nα, Nβ, Mα, Mβ với Nα, Mα, Nβ, Mβ là số điện tử và lỗ
trống có spin lên ( ↑ ) và spin xuống ( ↓ ) ( Nα + Nβ = N, Mα + Mβ = M)
Nα

E=

∑〈

α
ϕi (1)

| h(1) |

α
ϕi (1)

i=1

〉 + 12

Nβ

+

∑

〈ϕi (1)
β

|

h(1)

|

ϕi (1)〉 +
β

i=1
Mα

+

∑〈

¯α
ϕk (1)

k=1
Mβ

+

∑〈
k=1

¯β
ϕk (1)

|
|

h '(1)

'

h (1)

Nα

∑〈

1
2

'

i, j = 1
Nβ

∑〈

〉

|

¯α
1
ϕk (1) +
2

|

¯β
1
ϕk (1) +
2

〉

α
α
ϕi (1)ϕj (2)

'

β

β

ϕi (1)ϕj (2)

i, j = 1
Mα

∑〈
'

¯α ¯α
ϕk (1)ϕl (2)

k, l = 1
Mβ

∑〈
'

k, l = 1

¯β ¯β
ϕk (1)ϕl (2)

|

e2

ϵr12

|

ϕi (1)ϕj (2)

|

e2
ϵr12

|

ϕi (1)ϕj (2)

|

e2
ϵr12

|

e2
ϵr12

α

α

β

β

〉
〉

|

¯α
α
ϕk (1)ϕl (2)

〉

|

¯β ¯β
ϕk (1)ϕl (2)

〉

4/17


Áp dụng cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm
Parabolic

1
+
2

1
+
2
1
−
2
1
−
2

Nβ

∑∑〈
i=1

j=1

Nβ

Nα

|

ϕi (1)ϕj (2)

β
α
ϕi (1)ϕj (2)

|

e2
ϵr12

|

ϕi (1)ϕj (2)

α
α
ϕi (1)ϕj (2)

|

e2
ϵr12

|

ϕj (1)ϕi (2)

ϕi (1)ϕj (2)

|

e2
ϵr12

|

ϕj (1)ϕi (2)

〉

¯α ¯β
ϕk (1)ϕl (2)

|

e2
ϵr12

|

¯α ¯β
ϕk (1)ϕl (2)

〉

¯β ¯α
ϕk (1)ϕl (2)

|

e2
ϵr12

|

¯β ¯α

ϕk (1)ϕl (2)

〉

¯α ¯α
ϕk (1)ϕl (2)

|

e2
ϵr12

|

¯α ¯α
ϕl (1)ϕk (2)

〉

|

e2
ϵr12

|

¯β ¯β
ϕl (1)ϕk (2)

〉

|

e2
ϵr12

|

¯
α
ϕi (1)ϕk(2)

〉

|

e2
ϵr12

|

¯
β
ϕi (1)ϕk(2)

〉

|

e2

ϵr12

|

¯α
ϕk (1)ϕi(2)

〉

|

e2
ϵr12

|

¯β
ϕk (1)ϕi(2)

〉

∑∑〈
i=1

j=1

Nα

Nα

∑∑〈
i=1

j=1

Nβ

Nβ

j=1

Mα

Mβ

k=1

l=1

Mβ

Mα

k=1

l=1

Mα

Mα

k=1

l=1

Mβ

Mβ

k=1

l=1

Nα

M

i=1

k=1

Nβ

M

i=1

k=1

Mα

N

k=1

i=1

Mβ

N

k=1

i=1

∑∑〈

1
+
2

∑∑〈

1
−
2
1
−
2
1

−
2

α

∑∑〈

β

¯
α
ϕi (1)ϕk(2)

∑∑〈

1
−
2

β

¯β ¯β
ϕk (1)ϕl (2)

∑∑〈

1
−
2

β

ϕi (1)ϕj (2)

∑∑〈
i=1

〉

|

e2
ϵr12

∑∑〈

1
+
2

1
−
2

Nα

¯
β
ϕi (1)ϕk(2)

∑∑〈

¯α
ϕk (1)ϕi(2)

∑∑〈

¯β
ϕk (1)ϕi(2)

α

β

β

α

α

α

β

β

〉
〉

5/17

Áp dụng cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm
Parabolic

Từ đó ta có

6/17


Áp dụng cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm
Parabolic
Nα

E

=

i=1

+

−

1
2

1
2

Nα

j=1

−

1
2

{

Nβ

∑
j=1

−

1
2

Mα

∑
l=1

〈

∑〈

¯α

|

ϕk (1)ϕl (2)

|

¯α
ϕk (1)ϕj(2)

{〈

Mβ

∑
l=1

¯β

ϕk (1)

〈

¯β

|
¯β

|

α

|

e2
ϵr12

α

ϕj (2)ϕi (1)

|

ϕi (1)ϕj (2)

|

ϕi (1)ϕj (2)

α

β

β

α

〉

〉

〉 + 12

k

Nα

∑〈

β
α
ϕi (1)ϕj (2)

j=1

)

ϵr12

|
〉

¯α

1
ϕk (1) +
2

Mβ

∑〈

)

r12

1
ϕk (1) +
2

(

Mα

)

^
e2 1 − P 12
ϵr12

|

〉

¯α ¯β
ϕk (1)ϕl (2)

|

¯α ¯α
ϕl (2)ϕk (1)

e2
ϵr12

|

¯α ¯β
ϕk (1)ϕl (2)

e2
ϵr12

|

¯β ¯α
ϕk (1)ϕl (2)

〉

〉

〉}

∑〈
l=1

〉

〉}

|

¯α
ϕk (1)ϕj(2)

〉

¯β

β

l=1

(

|

|

β

|

e2
ϵr12

ϕj (2)ϕi (1)

¯
β
ϕi (1)ϕk(2)

^
e2 1 − P 12

|

h (1)

ϕk (1)ϕl (2)

α
i

e2
ϵr12

'

|

)

(

|

¯α

j=1

^
e2 1 − P 12

|

β

| ϕ (1)¯ϕ (2)〉}

e2
ϵr12

h (1)

∑〈

α

ϕi (1)ϕj (2)

ϵr12

β
ϕi (1)

'

j=1

∑
1
2

ϕk (1)

N

k=1

+

{〈

¯α

Nβ

(

1
r12

|

¯
β
ϕi (1)ϕk(2)

〉 + 12

^
e2 1 − P 12

|

β

k=1

Mβ

+

β

| h(1) |

ϕi (1)ϕj (2)

∑〈

∑
1
2

〈

M

k=1

+

|

k

k=1

β
ϕi (1)

α
ϕi (1)

|

α
j

α
i

Mα

+

α
i

∑ 〈ϕ (1)¯ϕ (2)

∑〈
1
2

|

M

i=1

+

〈

|

h(1)

∑ ϕ (1)ϕ (2)

Nβ

+

{

∑〈

α
ϕi (1)

¯β ¯α
ϕk (1)ϕl (2)

|

¯β ¯β
ϕl (2)ϕk (1)

〉

〉

7/17


Áp dụng cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm
Parabolic

Biểu thức năng lượng của hệ có dạng

E=

1
2

Nα

Nα

{∑ 〈ϕ (1) | h(1) | ϕ (1)〉 + ∑ 〈ϕ (1) | f (1) | ϕ (1)〉
α
i

+

α
i

α
i

i=1

i=1

Nβ

Nβ

∑ 〈ϕ (1) | h(1) | ϕ (1)〉 + ∑ 〈ϕ (1) | f (1) | ϕ (1)〉
β
i

β

i

β
i

i=1
Mα

+

∑〈

¯α
ϕk (1)

k=1
Mβ

+

∑〈

α
i

α

¯β

ϕk (1)

k=1

β
i

β

i=1

|
|

h '(1)

h '(1)

〉

|

¯α
ϕk (1) +

|

¯β

〉

ϕk (1) +

Mα

∑〈

¯α
ϕk (1)

¯β
ϕk (1)

k=1
Mβ

∑〈
k=1

|

¯α
f (1)

|

¯α
ϕk (1)

|

¯β
f (1)

|

¯β
ϕk (1)

〉

〉}

trong đó
Nα

fα(1) = h(1)

+

∑
j=1

〈 |
α

ϕj (2)

M

−

∑〈

¯
ϕl(2)

l=1
Nβ

β

f (1) = h(1)

+

∑
j=1
M

−

〈 |

∑〈
l=1

|

β
ϕj (2)

¯
ϕl(2)

|

(

)

^
e2 1 − P 12
ϵr12

e2
ϵr12

(

)

ϵr12

|

α

ϕj (2) +

∑〈

β

ϕj (2)

j=1

|

e2
ϵr12

|

ϕj (2)

|

e2
ϵr12

|

ϕj (2)

β

〉

〉

|

¯
ϕl(2) ,

^
e2 1 − P 12

e2
ϵr12

| 〉

Nβ

¯
ϕl(2)

| 〉
β
ϕj (2)

Nα

+

∑〈
j=1

α

ϕj (2)

〉

8/17

α

〉


Áp dụng cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm
Parabolic

Mα

¯α

f (1) = h '(1)

+

∑
l=1

〈 |
ϕl (2)

N

−

∑ 〈ϕ (2)
j

j=1
Mβ

¯β

'

f (1) = h (1)

+

∑
l=1

|

e2
ϵr12

〈 |

∑〈
j=1

|

¯α

ϕl (2) +

|

ϕj(2)

(

| 〉

)

¯β
ϕl (2) +

ϵr12

e2
ϵr12

Mβ

∑〈

¯β

ϕl (2)

¯α
ϕl (2)

l=1

|

e2
ϵr12

|

e2
ϵr12

Mα

∑〈
l=1

〉

|

ϕj(2) ,

^
trong đó kí hiệu P 12 là toán tử trao đổi biến (được đưa vào để tiện cho việc tính toán)

^
α
α
P 12χμ(1)ϕ (2) = χμ(2)ϕ (1).
α*

Lấy biến phân δE theo ϕi (1) (tính với chỉ số α, các chỉ số khác tính tương tự), sau đó
cho δE = 0, ta được

〈 |{ 〈 |

(

α

h(1) +

∑ ϕ (2)
α
j

ϵr12

j=1

Nβ

+

∑〈

j=1

β
ϕj (2)

|

e2
ϵr12

|

β
ϕj (2)

〉

M

−

∑〈
l=1

¯
ϕl(2)

)

^

e2 1 − P 12

Nα

δE = δϕi (1)

|

¯β
ϕl (2)

〉

|

¯α
ϕl (2)

〉

〉

^
e2 1 − P 12

ϕl (2)

ϕj(2)

| 〉

)

ϵr12

¯β

N

−

(

^
e2 1 − P 12

¯α

|

e2
ϵr12

|

| 〉

¯
ϕl(2)

α

ϕj (2)

〉}

| 〉
α

ϕi (1) = 0

Từ điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng

〈ϕαi (1) | ϕαj (1)〉 = δij ta có 〈δϕαi (1) | ϕαj (1)〉 = 0 với mọi i, j
Nhân thừa số −λαij vào rồi lấy tổng theo j :
9/17


Áp dụng cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm
Parabolic

−

∑ λ 〈δϕ (1) | ϕ (1)〉 = 0
α
i

α
ij

α
j

j

Cộng với đẳng thức δE = 0, ta được

〈 |{ 〈 |

(

α
δϕi (1)

h(1) +

∑

α
ϕj (2)

−

∑〈

¯
ϕl(2)

l=1

α
ϕj (2)

ϵr12

j=1

M

| 〉

)

^
e2 1 − P 12

Nα

|

e2
ϵr12

|

¯
ϕl(2)

〉}

Nβ

+

∑〈

β
ϕj (2)

j=1

| 〉
α

ϕi (1) −

|

e2
ϵr12

|

β

ϕj (2)

∑ λ 〈δϕ (1) | ϕ (1)〉 = 0
α
ij

α
i

β
ϕj (2)

|

α
j

j

α

Vì ta có thể chọn ma trận λij là chéo, kí hiệu λαii = ϵi

∑ λ | ϕ (1)〉 = ∑ ϵ δ |ϕ (1)〉 = ϵ |ϕ (1)〉
α
ij

α
j

j

α
i ij

α
i

j

α
i

j

nên
Nα

〈

α
δϕi (1)

| {h(1)

+

∑
j=1

M

−

〈 |

∑〈
l=1

α
ϕj (2)

¯
ϕl(2)

|

(

)

^
e2 1 − P 12
ϵr12

e2
ϵr12

|

〉

| 〉

¯

α
ϕl(2) − ϵi

α
ϕj (2)

Nβ

+

∑〈
j=1

e2
ϵr12

}| 〉
α

ϕi (1) = 0

Bằng cách tương tự chúng ta nhận được phương trình Hartree - Fock cho hàm sóng tự
hợp của điện tử và lỗ trống trong hệ nhiều Exciton (N điện tử và M lỗ trống). Đây là
phương trình tổng quát cần giải

10/17

|

β

ϕj (2)

〉

〉


Áp dụng cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm
Parabolic
Nα

Nβ

{h(1) + ∑ (

Jαj

−

Kαj

)+∑

j=1

j=1

Nβ

Nα

{h(1) + ∑ (

Jβj

−

Kβj

)+∑

j=1

{

Mα

'

h (1) +

{

∑(

h '(1) +

−

∑ J }ϕ (1)
h
l

¯α
Jl

−

¯α
Kl

∑(

)

−

)

l=1

α, β

α, β

trong đó ϕi (1) ≡ ϕi

ϵi ϕi (1)

=

ϵi ϕi (1)

=

¯α¯α
ϵk ϕk (1)

k

=

¯β¯β
ϵk ϕk (1)

(

)

∑ J }ϕ (1)
h
l

β
i

β β

l=1

∑

¯β
Jl −

l=1

¯β ¯β
J l − Kl +

α α

=

M

Jαj

Mβ

+

α
i

l=1

j=1

l=1
Mβ

M

Jβj

N

∑ J }¯ϕ (1)
e
j

α
k

j=1

Mα

∑

¯α
Jl −

l=1

N

∑ J }¯ϕ (1)

e
j

β

j=1

( )

¯α, β →
→ ¯α, β
r e1 ϕk (1) ≡ ϕk
r h1

và
γ'
Jγj ϕi (1)

r12 =

|

∫

→
d r 2 γ'
e2 γ *
γ
=
ϕ (2)ϕj (2)

ϕ (1)-sốhạngtươngtácđẩyCoulomb
r12 i
ϵ j

|

→
→
r 1 − r 2 ; γ, γ ' = α, β

γ
Kγj ϕi (1)

=

∫

=

→
e 2 γ * d r2 ^ γ
γ
ϕj (2)
P 12ϕj (2)ϕi (1),
r
ϵ
12

→

d r2
γ*
γ
ϕj (2)ϕi (2)
r12

γ

ϕj (1)

∫

số hạng tương tác trao đổi hai hạt ở trạng thái có spin song song (cho điện tử)
Tương tự cho lỗ trống

∫

→
'
'
e2 ¯γ * ¯γ d r 2 ¯γ
¯γ¯γ
Jl ϕk (1) =
ϕ (2)ϕl (2)
ϕ (1)-sèh¹ngt-¬ngt¸c®ÈyCoulomb
r12 k
ϵ l

11/17

Áp dụng cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm
Parabolic

r12 =

| →r

1

¯γ¯γ
Kl ϕk(1)

|

→
− r 2

∫
∫

=

→
e2 ¯γ * ¯γ d r2 ¯γ
ϕ (2)ϕk(2)
ϕ (1)
r12 l
ϵ l

=

→
e2 ¯γ * d r2 ^ ¯γ ¯γ
ϕ (2)
P ϕ (2)ϕk(1),
r12 12 l
ϵ l

số hạng tương tác trao đổi hai chuẩn hạt ở trạng thái có spin song song (cho lỗ trống).
Phương trình (30) được viết lại:
α

=

ϵi ϕi (1)i = 1, ..., Nα

fβ(1)ϕi (1)

β

=

ϵi ϕi (1)i = 1, ..., Nβ

¯α ¯α
f (1)ϕk (1)

=

¯α¯α
ϵk ϕk (1)k = 1, ..., Mα

¯β ¯β
f (1)ϕk (1)

=

¯β¯β
ϵk ϕk (1)k = 1, ..., Mβ

fα(1)ϕi (1)

α α
β β

2 Hình thức luận Roothaan
¯
Trong hình thức luận Hartree - Fock - Roothaan chúng ta tìm ϕi vµ ϕk dưới dạng khai
triển theo hệ hàm cơ sở nào đó. Trong trường hợp chấm lượng tử hai chiều với thế giam
¯
cầm parabolic đặt trong từ trường ngoài ta có thể chọn hệ hàm cơ sở χν, χν này là hệ hàm
riêng của Hamiltonian đơn điện tử [link] và Hamiltonian đơn lỗ trống [link]
α

ϕi (1)

=

∑ C χ (1)

α
νi ν

ν
β

ϕi (1)

=

∑ C χ (1)
β
νi ν

ν

¯α
ϕk (1)

=

α¯
νk χ ν(1)

∑ ¯C
ν

¯β
ϕk (1)

=

β¯
νk χ ν(1),

∑ ¯C
ν

12/17


Áp dụng cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm
Parabolic

bởi vì các hàm χν có thể giải được chính xác (xem phụ lục I):

( )

→
χν r = χneme(re, ϕe)
2ne !
1 imeϕe
=
e
√2π
(ne + | me

√

2

| )!

(α e r e ) m
2
|
|
αe(αere) e 2 L| e|((αere) ),
n
me −

e

với năng lượng riêng
1
ϵnm = Ωe(2ne + |me| + 1) + meωce,
2
ở đó
αe

=

√me* Ωe,

Ωe

=

√ω + 14 ω ,

ωc e

=

eB
.
me*

2
e

2
ce

( )

¯ →
¯
χν r = χnhmh(rh, ϕh)
2nh !
1 imhϕh
=
e
√2π
(nh + | mh

√

2

| )!

(αhrh) m
2
|
|
αh(αhrh) e 2 L| h|((αhrh) ).
n
mh −

h

và năng lượng
1
ϵnhmh = Ωh(2nh + |mh| + 1) − mhωch.
2
với
αh

=

√mh* Ωh,

Ωh

=

√ω + 14 ω ,

ωc h

=

eB
.
mh*

2
h

2
ch

13/17


Áp dụng cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm
Parabolic

Thay các biểu thức khai triển này vào phương trình trên (tính với chỉ số α rồi sau đó tính
tương tự cho các chỉ số còn lại) ta có:
fα(1)

∑ C χ (1)
α
νi ν

α

ϵi

=

ν

∑ C χ (1),
α
νi ν

ν

∑ C f (1)χ (1)
α α
νi

α

ϵi

=

ν

ν

∑ C χ (1).
α
νi ν

ν

Nhân hai vế phương trình trên về phía phải với χμ* (1) rồi lấy tích phân theo toàn bộ
→
không gian d r 1χμ* (1) ... và sử dụng điều kiện trực giao chuẩn hoá 〈χμ(1) | χν(1)〉 = δμν

∫

ta thu được:

∑ C 〈χ (1) | f (1) | χ (1)〉 = ϵ C
α
νi

α

μ

α α
i μi

ν

ν

∑ C 〈χ (1) | f (1) | χ (1)〉 = ϵ C
β
νi

β

μ

β β
i μi.

ν

ν

Tương tự cho lỗ trống:
α
νk

∑ ¯C
ν

β
νk

∑ ¯C
ν

〈

¯
χμ(1)

|

¯α

f (1)

|

〉

¯α¯α
¯
χν(1) = ϵk Cμk

〈¯χ (1) | ¯f (1) | ¯χ (1)〉 = ¯ϵ ¯C

β β
k μk.

β

μ

ν

Kí hiệu
Fαμν

=

〈χμ(1) | fα(1) | χν(1)〉

Fβμν

=

〈χμ(1) | fβ(1) | χν(1)〉

¯α
Fμν

=

¯β
Fμν

=

〈¯χ (1) | ¯f (1) | ¯χ (1)〉
〈¯χ (1) | ¯f (1) | ¯χ (1)〉,
α

μ

ν

β

μ

ν

ta có
14/17

Áp dụng cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm
Parabolic

∑C F

α α
νi μν

α

= ϵi Cαμi,

ν

∑C F

β

β β
νi μν

= ϵi Cβμi,

α ¯α
νkFμν

¯α¯α
= ϵk Cμk,

ν

∑ ¯C
ν

∑

¯β ¯β ¯β¯β
CνkFμν = ϵk Cμk.

ν

hay
α

FαC α

=

ϵ C α,

F βC β

=

ϵ C β,

¯α¯α
FC

=

¯α¯α
ϵC,

¯β¯β
FC

=

¯β¯β
ϵC.

β

Đây là phương trình Hartree-Fock dưới dạng ma trận cho hệ các điện tử và lỗ trống. Hệ
phương trình này cho phép xác định các hệ số khai triển hàm sóng tự hợp của điện tử và
¯
lỗ trống Cνi vµ Cνk. Giải hệ phương trình ma trận này bằng phương pháp chéo hoá ma
¯
trận ta tính được các hệ số Cνi vµ Cνk và khi biết các hệ số này thì có nghĩa là ta đã tìm
được hàm sóng của hệ.
¯α, β
Thay thế biểu thức từ (23) - (26) của fα, β(1) vµ f (1) vào công thức [link] ta tính và
¯α, β
β
thu được biểu thức cuối cùng cho các yếu tố ma trận Fα,
và
Fμν :

μν

15/17


Áp dụng cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm
Parabolic

Fαμν

=

〈

〈χμ(1) | h(1) | χν(1)〉 + ∑ PTλσ χμ(1)χσ(2)
λ, σ

−

∑
∑

¯T
¯
Pλσ χμ(1)χσ 2

e2
ϵr12

λ, σ

Fβμν

=

|
( ) |

χμ(1)χσ(2)

λ, σ

−

〈
〈

e2
ϵr12

Pαλσ

〈χμ(1) | h(1) | χν(1)〉 + ∑

−

∑

〈
〈

|
( ) |

e2
ϵr12

¯T
¯
Pλσ χμ(1)χσ 2

e2
ϵr12

|

〉 ∑

λ, σ

−

∑
λ, σ

¯α
Fμν

=

−

=

〈

χμ(1)χσ(2)

χν(1)χλ(2)

〉

〉
( )〉

¯
χν(1)χλ 2

〈

〉
( )
( ) ( )〉
∑
〈 ( ) | ( ) | ( )〉 ∑ 〈 ( ) ( ) |
∑ 〈 () () |
| ( ) ( )〉
∑ 〈 () () |
| ( ) ( )〉

e2
ϵr12

∑

|

〈
〈

h '(1)

¯
χ ν ( 1) +

λ, σ

|
( ) |

¯α ¯
¯
Pλσ χμ(1)χσ(2)

PTλσ

¯
χμ 1

¯

χ μ 1 χσ 2

'

h 1

e2
ϵr12

e2
ϵr12

|
|

¯T ¯
¯
Pλσ χμ(1)χσ(2)

λ, σ

|

¯ ¯
χν(1)χλ(2)

〉

|

¯ ¯
χν(1)χλ(2)

〉

¯
¯
χλ(1)χν(2)

¯
χ ν 1 χλ 2

¯T ¯
¯
Pλσ χμ 1 χσ 2

¯
χν 1 +

¯β ¯
¯
Pλσ χμ 1 χσ 2

e2
ϵr12

¯
¯
χλ 1 χν 2

¯
PTλσ χμ 1 χσ 2

e2
ϵr12

¯
χ ν 1 χλ 2 ,

λ, σ

−

|

χλ(1)χν(2)

λ, σ

−

|

e2
ϵr12

¯
χν(1)χλ 2

|

〈

λ, σ

¯β
Fμν

〉

e2
ϵr12

¯
χμ(1)

λ, σ

−

|
|

χν(1)χλ(2)

χλ(1)χν(2)

PTλσ

Pβλσ χμ(1)χσ(2)

|

〉
( )〉

|
|

λ, σ

|

e2
ϵr12

trong đó

16/17


Áp dụng cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm
Parabolic

¯T ¯α ¯β
PTλσ = Pαλσ + PβλσPλσ = Pλσ + Pλσ
Nα

Pαλσ = Pασλ =

∑C

Nβ
α α* β
λiCσi Pλσ

= Pβσλ =

i=1

¯α
Pλσ

¯α
Pσλ

=

Mα

=

∑

∑C

β β*
λiCσi

i=1

¯α ¯α * ¯β
CλkCσk Pλσ

=

¯β
Pσλ

k=1

Mβ

=

β ¯β *
λkCσk ,

∑ ¯C
k=1

với μ, ν, λ, σ ≡ {n, m} là số lượng tử đặc trưng cho trạng thái của điện tử hoặc lỗ trống.

3 Biểu thức năng lượng của hệ
Năng lượng cơ bản của hệ nhiều điện tử và lỗ trống được tính theo biểu thức [link].
Thay các biểu thức của (32) vào (22) và sử dụng các công thức (23) - (26), (39) và
(41) - (44) ta thu được biểu thức của năng lượng E biểu diễn qua các yếu tố ma trận
¯α ¯β
Fανμ, Fβνμ, Fνμ, Fνμ như sau
E=

=
+

1
2

∑ {P

T
μνhνμ

¯T '
¯α ¯α ¯β ¯β
+ PαμνFανμ + PβμνFβνμ + Pμνhνμ
+ PμνFνμ + PμνFνμ

μ, ν

1
2

∑ {δ

1
2

∑{

T
μνPμν

[Ωe(2n +

}

| m | + 1) + mωce] + PαμνFανμ + PβμνFβνμ}

μ, ν

μ, ν

[

¯T
¯α ¯α ¯β ¯β
δμνPμν Ωh(2n + | m | + 1) − mωch] + PμνFνμ + PμνFνμ

〈

¯
'
trong đó hνμ ≡ 〈χν(1) | h(1) | χμ(1)〉 hνμ
≡ χν(1)

}

| h (1) | ¯χ (1)〉.
'

μ

Công thức [link] là công thức tổng quát cho phép ta tính năng lượng cơ bản của hệ với
số điện tử và lỗ trống tuỳ ý. Các tham số của bài toán như độ lớn của thế giam cầm (và
tỷ lệ với nó là bán kính của chấm lượng tử), độ lớn của từ trường ngoài cũng như các
thông số của vật liệu như khối lượng hiệu dụng của điện tử và lỗ trống, hằng số điện
môi,...được biểu diễn gián tiếp, không tường minh qua các yếu tố ma trận.

17/17