ĐỘ ĐO HAUSDORFF TRÊN KHÔNG GIAN MÊTRIC

Độ đo Hausdorff trên không gian metric

MỤC LỤC
MỤC LỤC...................................................................................................................... 1
LỜI NÓI ĐẦU ............................................................................................................... 2
CHƢƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................... 3
Độ đo ngoài ........................................................................................................ 3

I.

II. Một số định nghĩa trong không gian metric ....................................................... 3
1. Đƣờng kính ........................................................................................................ 3
2. Khoảng cách giữa hai tập .................................................................................. 3
3. Ánh xạ Holder – Ánh xạ Lipschitz.................................................................... 3
4. ζ-đại số Borel .................................................................................................... 4
5. Tập μ*-đo đƣợc .................................................................................................. 4
6. Hai tập tách đƣợc bởi hàm f .............................................................................. 4
III.

Định lý Carathéodory ...................................................................................... 4

CHƢƠNG 2. ĐỘ ĐO HAUSDORFF TRÊN KHÔNG GIAN METRIC ...................... 5
I.

Độ đo ngoài Carathéodory .................................................................................. 5

II. Độ đo Hausdorff trên không gian metric ............................................................ 7
1. Định nghĩa ......................................................................................................... 7
2. Tính chất ............................................................................................................ 8
III. Độ đo Hausdorff trong ℝ và ℝ2 ......................................................................... 12
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................ 14

1
GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp

SV: Võ Thị Luân


Độ đo Hausdorff trên không gian metric

LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết độ đo đƣợc xây dựng trên tập X ≠ ∅ bất kỳ, ta có không gian độ đo
(X,ℱ,μ). Khi trên tập X có trang bị một metric đầy đủ và một độ đo thì sự liên hệ giữa
metric và độ đo có những tính chất thú vị.
Trong phạm vi đề tài này, em xét độ đo Hausdorff và một số tính chất của nó trên
không gian metric. Xây dựng độ đo Hausdorff bƣớc đầu bằng việc xây dựng độ đo
ngoài Carathéodory. Từ đó đƣa ra ví dụ tính độ đo Hausdorff của một số tập đơn giản.
Do thời gian hạn chế nên bài tiểu luận còn nhiều thiếu sót, em hy vọng nhận đƣợc
sự góp ý của thầy cô và các bạn. Mọi ý kiến và thắc mắc xin gửi về địa chỉ email:


2
GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp

SV: Võ Thị Luân


Độ đo Hausdorff trên không gian metric

CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
I. Độ đo ngoài

Cho (X,ρ) là không gian metric, một hàm tập hợp μ: 𝒫(X) →
đo ngoài trên X nếu:

đƣợc gọi là một độ

(i) μ(∅) = 0
(ii) μ(A) ≤ μ(B); A, B  X ; A  B
(iii)  (
i

Ai )    ( Ai ) ; ( Ai )i ⊂ 𝒫(X)
i

II. Một số định nghĩa trong không gian metric
1. Đường kính
Cho (X,ρ) là không gian metric, định nghĩa đƣờng kính của một tập A⊂ X, kí hiệu d(A)
là

d  A  sup  (u, v).
u ,vA

2. Khoảng cách giữa hai tập
Cho (X,ρ) là không gian metric. Với 2 tập con của X là A và B, ta định nghĩa khoảng
cách giữa A và B, kí hiệu ρ(A,B), là

 ( A, B)  inf  (u, v)
uA,vB

3. Ánh xạ Holder – Ánh xạ Lipschitz
(i) Cho (X,ρ) là không gian metric. Một ánh xạ f: X → X đƣợc gọi là ánh xạ Holder với

số mũ α và hằng số c > 0 nếu:

 (f( x),f(y))  c  (x, y)

x, y  X

(ii) Nếu α = 1 thì f là ánh xạ Lipschitz.

3
GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp

SV: Võ Thị Luân


Độ đo Hausdorff trên không gian metric
4. σ-đại số Borel
Cho (X,ρ) là không gian metric. Lúc đó ζ-đại số sinh ra bởi họ các tập mở của X đƣợc
gọi là ζ-đại số Borel trên X, kí hiệu là ℬ(X) hay đơn giản là ℬ. Mỗi phần tử của ℬ(X)
đƣợc gọi là một tập Borel.
5. Tập μ*-đo được
Cho (X,ρ) là không gian metric, μ * là một độ đo ngoài trên X. Một tập A ⊂ X đƣợc gọi
là μ*-đo đƣợc nếu:

E  X ,  * ( E )   * ( E  A)   * ( E \ A)
Ta kí hiệu ℒ là lớp tất cả các tập μ*-đo đƣợc:
ℒ=  A  X : E  X ,  * ( E )   * ( E  A)   * ( E \ A)
Vì ta luôn có bất đẳng thức  * E   * ( E  A)   * ( E \ A) nên A là tập μ*-đo đƣợc nếu:

 * E   * ( E  A)   * ( E \ A)
6. Hai tập tách được bởi hàm f

Hai tập con A và B của X đƣợc gọi là tách đƣợc bởi hàm thực f trên X nếu có 2 số thực
a và b mà a < b sao cho f ≤ a trong A và f ≥ b trong B. Khi đó ta cũng nói f tách hai tập A
và B.
III. Định lý Carathéodory
Cho (X,ρ) là không gian metric, μ* là một độ đo ngoài trên X. Khi đó hàm tập μ = μ*|ℒ
là một độ đo.

4
GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp

SV: Võ Thị Luân


Độ đo Hausdorff trên không gian metric
CHƯƠNG 2. ĐỘ ĐO HAUSDORFF TRÊN KHÔNG GIAN METRIC
I.

Độ đo ngoài Carathéodory

Mệnh đề 1.1
Cho (X,ρ) là không gian metric, φ là một hàm thực trong tập X và μ* : 2X → [0,∞] là
một độ đo ngoài có tính chất rằng 2 tập A,B bất kì tách được bởi φ, thì:

 * ( A  B)   * ( A)   * ( B)
Khi đó φ là đo được với độ đo cảm sinh bởi μ*.
 Chứng minh:
Lấy a ∈ ℝ, ta cần chứng minh rằng tập hợp E  {x  X |  ( x)  a} là μ*-đo đƣợc.
+ Trƣớc hết ta chứng minh với ε > 0 và A ⊂ X là tập bất kì có độ đo ngoài hữu hạn thì:

 * ( A)     * ( A  E )   * ( A  E C )

Đặt B  A  E và C  A  E C . Với mỗi số tự nhiên n,

Bn  {x  B |  ( x)  a  1/ n} và Rn  Bn \ Bn1
Ta có

 

B  Bn  
Rk 
 k n1 
Trong Bn2 ta có   a  1/ (n  2) , còn trong Rn ta có   a  1/ (n  1) . Nhƣ vậy
k 1

Rn và Bn2 tách đƣợc, do đó R2k và

j 1

R2 j cũng tách đƣợc vì nó chứa trong B2 k 2 . Vì

vậy

k

 k 1  k *
*
*
  R2 j    ( R2 k )    R2 j     ( R2 j )
 j 1 
 j 1  j 1
*

5
GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp

SV: Võ Thị Luân


Độ đo Hausdorff trên không gian metric
k

Từ đó

 R2i  B  A ta có
j 1

k

  * ( R2 j )   * ( A) , và do đó chuỗi
j 1



Tƣơng tự, chuỗi

  * ( R2 j1 ) hội tụ, chuỗi
j 1



  (R

*

j 1

2j

) hội tụ.



  (R )
*

k

k 1

cũng hội tụ. Chọn n đủ lớn để



  ( R )   . Ta có,
*

k  n 1

k

 * ( B)   * ( Bn ) 



  (R )   (B )  
*

*

k

k  n1

n

 * ( Bn )   * ( Bn )  

Hay
Khi đó

 * ( A)   * (Bn  C)   * (Bn )   * (C)
với A,B rời nhau. Do đó,

 * ( A)   * (Bn )   * (C)  
Cho ε → 0 ta suy ra điều phải chứng minh.
+ Trƣờng hợp  * A   thì bất đẳng thức  * A   * ( A  E )   * ( A \ E ) là hiển nhiên
đúng.
Định nghĩa
Cho (X,ρ) là không gian metric. Một độ đo ngoài μ* : 2X → [0,∞] được gọi là độ đo
ngoài Carathéodory với 2 tập con A, B của X mà  ( A, B)  0 , khi đó

 * ( A  B)   * ( A)   * ( B)

Mệnh đề 1.2
Cho μ* là một độ đo ngoài Carathéodory trên không gian metric (X,ρ). Khi đó mỗi tập
con Borel của X là đo được đối với độ đo μ*.

6
GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp

SV: Võ Thị Luân


Độ đo Hausdorff trên không gian metric
 Chứng minh:
Họ những tập Borel là một ζ-đại số nhỏ nhất chứa các tập đóng, và các tập đo đƣợc là
một ζ-đại số. Do đó ta chỉ cần chỉ ra rằng mỗi tập đóng là đo đƣợc. Tuy nhiên mỗi tập
con đóng F của X có thể đƣợc biểu diễn thành F  f 1 (0) với f là hàm liên tục trên X
xác định bởi

f ( x)   ( F ,{x})
Từ đó ta đi chứng minh mỗi hàm liên tục là đo đƣợc. Để chứng minh điều đó, ta sử
dụng mệnh đề 1.1. Thật vậy, cho A và B là hai tập con của X mà tồn tại một hàm số f liên
tục trên X và 2 số thực a,b với a < b sao cho f ≤ a trên A và f ≥ b trên B. Vì tính liên tục
của f, ta có  ( A, B)  0 . Lại có, theo giả thiết  * ( A  B)   * ( A)   * ( B) . Theo mệnh
đề 1.1, ta suy ra rằng mỗi hàm liên tục là đo đƣợc. Mệnh đề đƣợc chứng minh.
II.

Độ đo Hausdorff trên không gian metric

1. Định nghĩa
Cho (X,ρ) là không gian metric và một số s > 0. Với mỗi số thực dƣơng s, ta xác định
một độ đo H s trên ζ-đại số Borel ℬ(X) đƣợc gọi là độ đo Hausdorff trên X với số chiều s

nhƣ sau:
Với mỗi δ > 0 và E ⊂ X ta xét những họ (hữu hạn hay đếm đƣợc) tập {Ak} các tập con
của X sao cho


k 1

Ak  E và d(Ak) ≤ δ với mọi k (mỗi họ nhƣ thế đƣợc gọi là một δ-

phủ của E). Ta định nghĩa:


s

H s (E)  inf   d ( Ak ) 


k 1

s

Ta có khi δ giảm dần tới 0 thì H  tăng dần và phải tiến đến một giới hạn, ta đặt

H s* (E)  lim H s (E)
 0

Định lý 1.1
Cho (X,ρ) là không gian metric và s là số thực dương. Khi đó

7

GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp

SV: Võ Thị Luân


Độ đo Hausdorff trên không gian metric

H s* : 2X → [0,∞] là một độ đo ngoài Carathéodory.
 Chứng minh:
*

Dễ thấy rằng H s là một hàm tập đơn điệu tăng trên 2X và H s* ()  0 . Do đó H s* là
một độ ngoài trên 2X. Ta cần chứng minh nó là độ đo ngoài Carathéodory. Thật vậy, cho
E và F là hai tập con của X sao cho  ( E, F )   . Từ đó ta có

H s (E F )  H s (E)  H s (F)
với    : {Ak} là một họ những tập đếm đƣợc, mỗi đƣờng kính đều nhỏ hơn δ, chứa
E  F , E và F là hai tập tách đƣợc. Cho δ→0, ta có

H s* (E F)  H s* (E)  H s* (F)
*
Từ Mệnh đề 1.2 (phần Độ đo ngoài Carathéodory) ta suy ra rằng H s sinh ra một độ

đo trên ζ-đại số mà chứa tập con Borel của X. Ta chỉ ra sự thu hẹp của độ đo này trên
ℬ(X) bằng H s và gọi là độ đo Hausdorff s-chiều trên không gian metric X.


Nhận xét
(i) Trong định nghĩa độ đo Hausdorff, có thể thay phủ bất kì bằng phủ mở (phủ đóng).

(ii) Nếu X là tập compact thì trong định nghĩa độ đo Hausdorff có thể thay phủ bất kì
bằng phủ mở hữu hạn.
2. Tính chất
Mệnh đề 2.1
Cho (X,ρ) là không gian metric, A là một tập Borel chứa trong X, s và t là hai số thực
dương sao cho 0  s  t   .
Khi đó:
a/ H s (A)    Ht (A)  0
b/ Ht (A)  0  H s (A)  

8
GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp

SV: Võ Thị Luân


Độ đo Hausdorff trên không gian metric
 Chứng minh

a/ Giả sử H s (A)   . Khi đó, với mọi 0    1 ta có H s   . Với

( Ei ) là δ-phủ của A sao cho

 (dE )

s

i

  1 , tồn tại

 H s (A)  1

i

H t (A)   (dEi )t  [(dEi ) s (dEi )t  s ]
i

i

  [(dEi ) s  t  s ]   t  s  [( dEi ) s 
i



i
t s



 ( H s (A)  1)

Cho δ→0 ta thu đƣợc H t (A)  0 .
b/ Từ câu a/ ta có: H t (A)  0  H s (A)   với mọi 0  s  t   .
Định lý 2.2
Cho X=ℝn là không gian Euclide với metric thông thường. Khi đó, với mỗi s > 0, H s
là độ đo Borel chính quy.
 Chứng minh:
Ta có H s là độ đo Borel trên ℝn.
Xét tập A ⊂ ℝn, với s > 0 cho trƣớc.

+ Nếu H s (A)   , ta có ℝn là tập Borel và H s (A)  H s (
H s (A)  H s (

n

n

) . Do đó

)   .

+ Nếu H s (A)  
( n)
( n)
Với mỗi n ∈ ℕ, chọn (Ui ) là phủ mở của A; d(Ui ) 

[ d(U

(n)
i

1
n
s

)]  H ( A) 
s

i

2
thỏa mãn:
n
1
n

9
GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp

SV: Võ Thị Luân


Độ đo Hausdorff trên không gian metric
Đặt G 





U i( n ) . Khi đó A ⊂ G và G là tập Gδ. Do đó G là tập Borel.
i 1 n 1

Lại có G 

U i( n ) nên (Ui( n ) ) là 2  phủ của G. Do đó:
n

i
2
n

s

H (G)   [ d(U

(n)
i

1
n
s

)] H (A) 
s

i

1
n

Vì A  G nên:
2
n
s

2
n
s

1
n

s

H (A)  H (G)  H (A) 

1
n

Cho n → ∞ ta thu đƣợc
H s (A)  H s (G)

Vậy H s là độ đo Borel chính quy trên ℝn
Định lý 2.3
Cho( X,𝜌) là không gian metric. Với mỗi s  0 , H s không tăng theo s. Tức là nếu

0  s  t   thì H s (A)  Ht (A) ,

A  X .

 Chứng minh:
Lấy 0  s  t   . Với mọi tập A  X , 0    1 , ta có:
H s ( A)  inf{ (dU i ) s (U i ) là δ - phủ của A}
i

 inf{ (dU i )t (U i ) là δ - phủ của A}
i

 H t ( A) .

10
GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp

SV: Võ Thị Luân


Độ đo Hausdorff trên không gian metric
Do đó:

H s (A)  lim H s ( A)  lim Ht ( A)  H t (A)
 0

 0

Vậy H s không tăng theo s.
Định lý 2.4
Cho (X,ρ) là không gian metric
(i) Nếu A ⊂ X và λ > 0 thì

H s ( A)   s H s (A)
(ii) Nếu f: X→X là ánh xạ Holder với số mũ α > 0 và hằng số c > 0 thì với A ⊂ X, ta có
s

H s (f(A))  c H s (A)




 Chứng minh
(i) Nếu {Ai} là δ-phủ của A thì { λAi} là λδ-phủ của λA, do đó

H s ( A)  [d ( Ai )]s   s [d ( Ai )]s   s H s (A)

Cho δ→0 ta thu đƣợc H s ( A)   s H s (A)
Áp dụng kết quả này cho tập λA và số

(1)

1
ta sẽ có bất đẳng thức ngƣợc lại:

s

1
 1
H s  ( A)     H s ( A)

 

 H s ( A) 

1

s

H s ( A)

  s H s ( A)  H s ( A)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra H s ( A)   s H s (A)

11
GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp

SV: Võ Thị Luân


Độ đo Hausdorff trên không gian metric
(ii) Nếu {Ai} là δ-phủ của A thì d[f (Ai )]  c [d (Ai )] , cho nên {f(Ai)} là (cδα)-phủ của
s

s

f(A). Vậy [d ( f ( Ai ))]  c  [d (Ai )]s , do đó ta có

H

c 
s


s


( f ( A))  c  H s ( A)

s

Cho δ→0 ta suy ra H s (f(A))  c  H s (A)


Hệ quả 2.5
Nếu   1 thì f là ánh xạ Lipschitz. Khi đó

H s ( f (A))  cs  H s ( A)
 Chứng minh
Từ định lý 2.4, thay   1 ta có điều phải chứng minh.
III. Độ đo Hausdorff trong ℝ và ℝ2
Ta khảo sát độ đo Hausdorff với số chiều s = 0 và s = 1, tức là độ đo Hausdorff trong ℝ
và ℝ2.
Mệnh đề 3.1
Cho (X,ρ) là không gian metric, A ⊂ X, A đếm được. Khi đó với mỗi s ∈ (0,+∞):
H s ( A)  0

 Chứng minh:
Lấy s ∈ (0,+∞). Giả sử A  {an }n . Với mọi ε > 0, với mọi n ∈ ℕ, đặt

U n  B(an ;  2

 ns 1

) . Khi đó:

n

Vậy (U n )n là   2

 ns

U n  A ; d (U n )    2

 ns

-phủ của A. Do đó:

12
GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp

SV: Võ Thị Luân


Độ đo Hausdorff trên không gian metric




n 1

n 1

H s ( A)   d (U n ) s   (  2 ) s
 ns



  ( s  2 n )   s
n 1

Suy ra:

s

H s ( A)  lim
H
(
A
)

lim

0
s
 0
 0

Vậy H s ( A)  0
Mệnh đề 3.2
Trong ℝ, độ đo Hausdorff với s = 1 chính là độ đo Lebesgue, hay H1 = ℒ1
 Chứng minh:
Trong ℝ, lấy tập A bất kì, A ⊂ ℝ. Với mọi δ > 0, xét (Ai) là δ-phủ bất kì của A.
Đặt ai = inf Ai ; bi = sup Ai . Khi đó ta có Ai  [ai ; bi ] và d(Ai )  d([ai ; bi ]) .
Lại có, trong ℝ thì V([ai ; bi ]) = V([ai ; bi )) = d([ai ; bi ]) = bi  ai , do đó:
H1 ( A)  inf{ d ( Ai ) | (Ai) là δ-phủ của A}
i

 inf{ d ([ai ; bi ]) | ([ai ; bi ]) là δ-phủ của A}
i

 inf{ V([ai ; bi ]) | ([ai ; bi ]) là δ-phủ của A}
i

 L1 (A)

Vậy H1 = ℒ1 trên ℝ.

13
GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp

SV: Võ Thị Luân


Độ đo Hausdorff trên không gian metric
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. H.L.Royden and P.M.Fitzpatrick, Real Analysis, Pearson, 2010.
[2]. Lƣơng Hà, Giáo trình Độ đo và tích phân, Dự án phát triển giáo viên THPT &
TCCN, 2013.
[3]. Nguyễn Văn Khuê, Cơ sở Lý thuyết hàm và Giải tích hàm - tập 1, NXB Giáo
dục, 2001.
[4]. Hoàng Tụy, Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2005.
[5]. Đinh Thị Nga, Khóa luận tốt nghiệp Độ đo Hausdorff và các tính chất, khóa
học 2007-2011.

14
GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp

SV: Võ Thị Luân