MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT LỚP 6

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT LỚP 6
Môn: Toán
Tổ: Khoa học Tự nhiên
BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ
1. Lời giới thiệu
Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục không ngừng đổi
mới. Các nhà trường ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng giáo dục toàn diện
bên cạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn. Với vai trò là môn học
công cụ, bộ môn Toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các bộ môn
khoa học tự nhiên khác.
Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của
học sinh, đòi hỏi trong giảng dạy giáo viên phải biết chắt lọc kiến thức, phải đi
từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học
sinh có thể phát triển tốt tư duy toán học.
Ngày nay, học sinh luôn có nhu cầu hiểu biết rộng. Làm thế nào để học
sinh phát huy hết khả năng của mình, đó là trách nhiệm của các giáo viên chúng
ta. Qua giảng dạy tôi nhận thấy “ Một số phương pháp giải toán chia hết lớp 6 ”
là đề tài lí thú, phong phú và đa dạng của số học lớp 6 và không thể thiếu khi bồi
dưỡng học sinh khá giỏi môn Toán 6 cũng như môn Toán THCS. Với bài viết
này, tôi không tham vọng lớn bàn về việc hướng dẫn học sinh giải toán chia hết
và ứng dụng của nó trong chương trình toán học phổ thông, tôi chỉ xin đưa ra
một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 6 giải các bài tập về chia hết trong tập hợp
số tự nhiên, số nguyên mà tôi đã từng áp dụng . Tôi hy vọng nó sẽ có ích cho
các đồng nghiệp khi giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi.
1


2. Tên chuyên đề
“Một số phương pháp giải toán chia hết lớp 6”

3. Tác giả chuyên đề
- Họ và tên: Nguyễn Thị Loan
- Địa chỉ: THCS Vĩnh Sơn – Vĩnh Vường – Vĩnh Phúc.
- Số điện thoại: 0986229114; Email:
4. Chủ đầu tư chuyên đề
Nguyễn Thị Loan - Trường THCS Vĩnh Sơn – Vĩnh Vường – Vĩnh Phúc.
5. Lĩnh vực áp dụng chuyên đề
Áp dụng vào các giờ giảng dạy môn Toán 6 có nội dung liên quan đến
tính chất chia hết.
6. Ngày chuyên đề được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử
Từ tháng 8 năm 2014
7. Mô tả bản chất của chuyên đề
7.1. Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu...
7.1.1. Mục đích nghiên cứu
Trong khuôn khổ đề tài này bản thân tôi sẽ trình bày một số phương pháp
giải toán chia hết lớp 6 trong tập hợp N và tập hợp Z. Cụ thể là:
+ Các phương pháp thường dùng khi giải các bài toán về phép chia hết.
+ Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức để giải các bài toán về phép chia hết.
+ Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập.
7.1.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Xây dựng hệ thống lý luận về vấn đề nghiên cứu
+ Đánh giá thực trạng vấn đề nghiên cứu
+ Đề xuất giải pháp nghiên cứu
+ Tiến hành thử nghiệm và đối chiếu kết quả.
7.1.3. Địa điểm, thời gian, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Địa điểm: Lớp 6 Trường THCS Vĩnh Sơn-Vĩnh Tường -Vĩnh Phúc
+ Thời gian: Từ tháng 8 năm 2014 đến tháng 12 năm 2015
+ Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 6 Trường THCS Vĩnh Sơn-Vĩnh TườngVĩnh Phúc
2

+ Phạm vi nghiên cứu qua các tiết dạy về phép chia hết Toán 6, qua các buổi
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi.
7.1.4. Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu những tài liệu toán học có liên
quan tới các dạng toán về tính chia hết.
- Phương pháp điều tra: Khảo sát học sinh trường THCS Vĩnh Sơn.
- Phương pháp tọa đàm: Trò chuyện với HS trong trường, với các đồng nghiệp
trường THCS Vĩnh Sơn
- Phương pháp thực nghiệm: Thực nghiệm một số phương pháp giải toán chia
hết
7.2. Định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu chia hết, các tính chất về quan
hệ chia hết.
7.2.1.Định nghĩa
Cho 2 số tự nhiên a và b, trong đó b khác 0, nếu có số tự nhiên x sao cho b.x
= a, thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a: b= x
7.2.2.Các dấu hiệu chia hết
- Dấu hiệu chia hết cho 2
Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn.
- Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9)
Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết
cho 3 (hoặc 9).
Chú ý: Một số chia cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của số đó
chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại
- Dấu hiệu chia hết cho 5
Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5
- Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25)
Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi 2 chữ số tận cùng của số đó chia
hết cho 4 (hoặc 25)
- Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125)

Một số chia hết cho 8 hoặc 125 khi và chỉ khi 3 chữ số tận cùng của số đó chia
hết cho 8 hoặc 125.
- Dấu hiệu chi hết cho 11

3


Một số chi hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng
các chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11.
7.2.3. Tính chất của quan hệ chia hết.
+ 0 chia hết cho b với b ∈ N*
+ a chia hết cho a với mọi a ∈ N*
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b (a, b ∈ N)
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c
+ Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a±b) chia hết cho m
+ Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (a±b) không chia hết cho m
+ Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b, c) = 1 thì a chia hết cho b.c
+ Nếu a chia hết cho m và a chia hết cho n thì a chia hết cho BCNN(m,n)
+ Nếu a.b chia hết cho c và (b,c) =1 thì a chia hết cho c
+ Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên.
+ Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n
+ Nếu (a.b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b chia
hết cho m.
+ Nếu a chia hết cho m thì an chia hết cho m với n ∈ N
+ Nếu a chia hết cho b thì an chia hết cho bn với n∈ N
* Lưu ý : Định nghĩa và các tính chất trên cũng đúng trong tập hợp số nguyên
7.3. Một số phương pháp thường dùng để giải các bài toán chia hết.
Với học sinh lớp 6 tôi thường sử dụng 5 phương pháp sau:
7.3.1. Phương pháp1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết
Để chứng minh a chia hết cho b (b khác 0), ta biểu diễn số a dưới dạng

một tích các thừa số, trong đó có 1 thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b). a = b.k
(k ∈ N) hoặc a =m.k (m chia hết cho b)
Ví dụ 1: Các tích sau có chia hết cho 4 không?
a) 5.12; b) 14.28; c) 126.572
Giải :
a) 5.12=5.3.4 M4 (vì 12=3.4 chia hết cho 4)
b) 14.28M4 (vì 28=7.4 chia hết cho 4)
c) 126.572M4 (vì 572=143.4 chia hết cho 4)
4


Ví dụ 2: Không thực hiện phép chia chứng tỏ rằng:
a) 39.2015 chia hết cho 13
b) 2009.2010 chia hết cho 3
c) 187.2014 chia hết cho 17
Giải : a) Ta có: 39.2015 = 3.13.2015 M13 (vì 13 M13)
b) Ta có: 2010M3 nên 2009.2010 M3
c) Ta có: 187M17 nên 187.2014M17
Ví dụ 3: Chứng tỏ rằng số có dạng aaa bao giờ cũng chia hết cho 3, cho 37
Giải: Ta có: aaa = a.111 = a. 3.37 chia hết cho 3, cho 37
Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng số có dạng abcabc bao giờ cũng chia hết cho 11, chia
hết cho 7 và chia hết cho 13.
Giải :
Ta có : abcabc = abc000 + abc = abc .(1000+1) = abc .1001 = abc .11.7.13
nên abcabc chia hết cho 11, chia hết cho 7 và chia hết cho 13.
Ví dụ 5: Chứng minh rằng, nếu lấy một số có 2 chữ số cộng với số gồm 2 chữ
số ấy viết theo thứ tự ngược lại, ta luôn được một số chia hết cho 11
Giải: Gọi 2 số đó là ab và ba .
Ta có: ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11( a + b) M11
7.3.2. Phương pháp 2: Dùng các tính chất của phép chia hết.

a. Dùng tính chất chia hết của một tổng, một hiệu
* Để chứng minh a chia hết cho b ( b ≠ 0) ta có thể làm như sau:
- Viết a = m + n mà m  b và n b
- Viết a = m - n mà m  b và n b
* Để chứng minh a không chia hết cho b ta viết a dưới dạng tổng của các số mà
chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho b, còn các số hạng khác đều
chia hết cho b.
Ví dụ 1: Xét xem mỗi tổng( hiệu) sau có chia hết cho 6 không?
a) 42 + 66

b) 60 + 15,

c) 600 - 14

d) 24 + 36 + 72

e) 120 + 54 + 20

f) 80 + 16 + 48

Giải:
5


a) 42 6, 66 6 => 42 + 66  6
b) 60  6, 15

6 => 60 + 15

c) 600  6 , 14

6 => 600 – 14

6
6

d) 24  6, 36  6, 72 6 => 24 + 36 + 72  6
e) 120  6, 54  6, 20
f) 80

6, 16

6 => 120 + 54 + 20

6

6, 48  6 nhưng 80 + 16 + 48  6.

Ví dụ 2: Cho tổng A=15 + 27 + 33 + x với x ∈N. Tìm điều kiện của x để:
a) A chia hết cho 3
b) A không chia hết cho 3
Giải: Ta có nhận xét: 15M3, 27M3, 33M3. Do đó:
Nếu x M3 thì A M3
Nếu x

3 thì A

3

Ví dụ 3: Khi chia số tự nhiên a cho 24 được số dư là 10. Hỏi số a có chia hết

cho 2 không ? có chia hết cho 4 không?
Giải : Ta có: a = 24.q + 10 (q ∈N
24.q  2, 10  2 => 24.q + 10  2
24.q  4 , 10

4 => 24.q + 10

4

Vậy a chia hết cho 2, a không chia hết cho 4
Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng:
a) Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3
b) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4
Giải:
a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n +1 , n + 2
Tổng của 3 số đó là : n + ( n +1) + (n+ 2) = 3n +3 = 3( n + 1)  3
b) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : n , n+1, n+2, n+3.
Tổng của 4 số đó là : n + ( n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6
= 4n + 4 + 2 = 4(n+1) + 2

4

Vậy tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.
Nhận xét: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp chưa chắc đã chia hết cho n.
Ví dụ 5: Tìm số tự nhiên n sao cho n2 +4 chia hết cho n +1
6


Giải: Ta có :

(n − 1)(n + 1) + 5
5
n2 + 4
=
= n-1 +
n +1
n +1
n +1

Để (n2 + 4)  (n+1) thì 5  n+1 hay n+1 ∈ Ư(5)
Mà Ư(5) ={1; 5}
* n+1 = 1 ⇒ n = 0 (thoả mãn)
* n+1 = 5 ⇒ n = 4 (thoả mãn)
Vậy với n = 0; n = 4 thì n2 + 4  n+1
Ví dụ 6 : Tìm số nguyên n sao cho n2 +4 chia hết cho n +1
Giải: Ta có :

(n − 1)(n + 1) + 5
5
n2 + 4
=
= n-1 +
n +1
n +1
n +1

Để (n2 + 4)  (n+1) thì 5  n+1 hay n+1 ∈ Ư(5)
Mà Ư(5) ={-5; -1; 1; 5}
* n+1 = -5 ⇒ n = - 6 (thoả mãn)
* n+1 = -1 ⇒ n = - 2 (thoả mãn)

* n+1 = 1 ⇒ n = 0 (thoả mãn)
* n+1 = 5 ⇒ n = 4 (thoả mãn)
Vậy với n = -6; n=-2; n= 0 ; n = 4 thì n2 + 4  n+1
Ví dụ 7: Tìm số tự nhiên x sao cho: (5x + 7)  (3x + 1)
Hướng dẫn: Muốn biến đổi các hệ số của x ở số bị chia và số chia giống nhau ta
cần tìm bội chung nhỏ nhất của hai hệ số.
Giải:

Ta có: (3x+1) ( 3x+1) ⇒ 5.(3x+1)  (3x+1) ⇒ (15x+5)  (3x+1) (1)
(5x+7)  (3x+1) ⇒ 3.(5x+7)(3x+1) ⇒ (15x+21)  (3x+1) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (15x+21) - (15x+5)  (3x+1)
Do đó 16  (3x+1) ⇒ (3x + 1) ∈{1; 2; 4;8;16} mà x ∈ N
Vậy x ∈{0;5}
Ví dụ 8: Tìm số tự nguyên x sao cho: x2 + x+ 1 chia hết cho x + 1
Giải:

Ta có: x2 + x+ 1  x+1 ⇔ x(x+1) +1  x+ 1 ⇒ 1  x+1
Do đó x + 1 ∈ Ư(1) mà Ư(1) = {−1; 1} ( x∈ Z)
Vậy x ∈ {−2; 0}

Bài 9: Tìm số tự nguyên n để 3n- 8 chia hết cho n-4
Giải:
7


Cách 1: Ta có: 3n- 8 = 3(n - 4) + 4
Mà 3.(n - 4)  (n- 2)
Do đó (3n- 8)  (n - 4) ⇔ 4  (n - 4) ⇔ n- 4 là ước của 4.
⇔ n - 4 ∈ {-4; -2; -1; 1; 2; 4}

⇒ n ∈ {0; 2; 3; 5; 6; 8}
Vậy với n ∈ {0; 2; 3; 5; 6; 8} thì 3n-8  n-4
Cách 2: (3n-8)  (n-4)
Ta có: (n-4)  (n-4) => 3(n-4)  (n-4)
=> [ (3n - 8) - (3n -12)]  (n - 4)
⇔ 4  n – 4 ⇔ n - 4∈ {-4; -2; -1; 1; 2; 4}
⇒ n ∈ {0; 2; 3; 5; 6; 8}
Vậy với n ∈ {0; 2; 3; 5; 6; 8} thì 3n-8  n+2
b. Dùng tính chất chia hết của 1 tích
Để chứng minh a chia hết cho b (b ≠ 0) ta có thể chứng minh bằng một trong
các cách sau:
+ Ta chứng minh (a.m) chia hết cho b; (m, b) = 1 ⇒ a chia hết cho b
+ Biểu diễn b = m.n với (m, n)= 1, sau đó chứng minh a chia hết cho m, a chia
hết cho n
+ Biểu diễn a = a 1.a2,, b = b1.b2, rồi chứng minh a1 chia hết cho b1; a2 chia hết
cho b2
Ví dụ 1: Chứng minh (2010a + 2025b) chia hết cho 15 với ∀ a, b là số tự nhiên.
Giải:
Vì 2010M3 nên 2010.a M3 với ∀ a
Vì 2025 M3 nên 2025.b M3 với ∀ b
Vậy (2010a + 2025b) M3.
Chứng minh tương tự ta có: (2010a + 2025b) M5 với ∀ a, b mà (3,5) = 1
⇒ (2010 a + 2025b) M15
Ví dụ 2: Chứng minh rằng tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.
Giải: Gọi 2 số chẵn liên tiếp là 2n, 2n +2 (n ∈ N)
Tích của 2 số chẵn liên tiếp là 2n.(2n +2) = 4.n.(n+1)
Vì n và n + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên n.(n+ 1) M2
8

Mà 4 M4 nên 4.n.(n+1) M(4.2)
⇒ 4.n.(n+1) M8
⇒ 2n.(2n + 2) M8
Vậy tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.
* Nhận xét: Như vậy khi gặp những bài toán chứng minh một tổng, một hiệu
hoặc một tích chia hết cho một số mà các tổng, hiệu, tích đó có thể phân tích
được thành tích các thừa số, ta thường sử dụng các tính chất của phép chia hết.
7.3.3. Phương pháp 3: Dùng định lí về chia có dư
Để chứng minh n chia hết cho p ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia n
cho p:
Ta viết n = p.k + r, trong đó r = 0, 1, ..., p-1; k ∈ N. Rồi xét tất cả các trường
hợp của r.
Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n + 3).(n +6) chia hết cho
2.
Giải: Với mọi n ta có thể viết hoặc n = 2k + 1 hoặc n= 2k
- Với n = 2k +1 ta có:
(n+3).(n+6)=(2k+1 +3).(2k+1+6)=(2k+4).(2k+7)=2.(k+2).(2k+7) M2
- Với n = 2k ta có:
( n+3)(n+6) = (2k+3)(2k+6) = (2k+3)(k+3).2 M2.
Vậy với mọi n ∈ N thì (n+3)(n+6) M2
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
a) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 4
Giải: a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2
Tích của số tự nhiên liên tiếp là: n.(n+1).(n+2)
Mọi số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số dư 0; 1; 2
- Nếu r = 0 thì n M3 ⇒ n.(n + 1).(n+ 2) M3
- Nếu r = 1 thì n = 3 k + 1 (k là số tự nhiên)
⇒ n+2 = 3k +1 + 2 = (3 k +3) M3
⇒n. (n+1).(n+2) M3

- Nếu r = 2 thì n = 3k+ 2 (k là số tự nhiên)
9


⇒ n+1 = 3k +2 +1 = 3k +3 M3
⇒n.(n+1) . (n+2) M3
Tóm lại, n.(n+1).(n+2) M3 với mọi n là số tự nhiên.
b) Chứng minh tương tự ta có: n.(n+1).( n+2).( n+3) M4 với mọi n là số tự nhiên.
Sau khi giải bài tập tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng
tổng quát.
Giáo viên khắc sâu cho học sinh:
Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n.
*Nhận xét: Phương pháp này thường được sử dụng khi chứng minh một biểu
thức có chứa biến chia hết cho các số tự nhiên có một chữ số. Khi chứng minh
một biểu thức chia hết cho các số tự nhiên lớn hơn 10 ta không sử dụng phương
pháp này vì phải xét nhiều trường hợp.
7.3.4. Phương pháp 4: Dùng các dấu hiệu chia hết.
Ví dụ 1: Điền chữ số vào dấu * để:
a) 3*5 chia hết cho 3
b) 7*2 chia hết cho 9
c) *63* chia hết cho cả 2, 3, 5, 9
Giải:
a) Để 3*5M3 ⇒ (3 + * + 5) M3 ⇒ 8 + *M3 ⇒ * ∈ {1; 4; 7}
b) Để 7*2M9 ⇒ (7 + * + 2) M9 ⇒ 9 + *M9 ⇒ * ∈{0; 9}
c) Để *63* M2 và *63*M5 thì * ở tận cùng là 0
Khi đó ta có *630 M
3 và *630 M
9 ⇒ (* + 6 + 3 + 0) M9 ⇒ * +9 M9 ⇒ * = 9 .
Vậy ta được số 9630 chia hết cho cả 2, 3, 5, 9.
Ví dụ 2: Tìm các chữ số a và b sao cho 19ab chia hết cho 5 và chia hết cho 8

Cách giải: - Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 5; 8 để tìm b
- Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 4 để tìm các giá trị của a
Giải:
Vì 19ab M5 nên chữ số tận cùng b = 0 hoặc b = 5.
Vì 19ab M8 nên suy ra b = 0.
Mặt khác 19a0 M8 suy ra 19a0 M4.
19a 0 M4 ⇔ a 0 M4 suy ra a ∈{ 0, 2, 4, 6, 8}.

10


Ta có 19a0 M8 ⇔ 9a0 M8 nên a = 2 hoặc a = 6.
Nếu a = 2 thì b = 0
Nếu a = 6 thì b = 0
Vậy số phải là 1920, 1960.
Ví dụ 3: Tìm các chữ số a và b sao cho a - b = 4 và 87ab chia hết cho 9.
Giải:
Ta có: 87ab M9 => 8 + 7 + a + b M9 => 15 + a + b M9 => a + b ∈ {3; 12}
Mà a – b = 4 nên a+ b = 3( loại)
Từ a – b =4 và a + b =12 ta tìm được a=8, b=4.
Ví dụ 3: Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 3, cho 9 không ?
a) 1012 – 1

b) 1010 + 2

Giải:
a) 1012 – 1 = 100…0 - 1 = 99…9 chia hết cho 9, cho 3
12 chữ số 0

12 chữ số 9

b) 1010 + 2 = 100…0 + 2 = 100…02 chia hết cho 3, không chi hết cho 9,
10 chữ số 0

9 chữ số 0

Ví dụ 4: Chứng minh rằng: 1028 + 8 chia hết cho 72
Giải:
Ta có 1028 + 8 = ( 100...0 + 8) = 100. . .08 có tổng các chữ số bằng 9 nên
chia hết cho 9.

28 chữ số 0

27 chữ số 0

1028 + 8 = 100. . .08 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8
27 chữ số 0

Vì ( 8,9) =1 nên 1028+ 8  (8.9) hay 1028+ 8  72
Ví dụ 5: Chứng minh rằng (9931999 – 5571997) chia hết cho 10
Giải:
Ta có: 9931999 = [ (9934)499. 9933] = ( ...1 ).( ...7 ) = ...7
5571997 = (5574)499.557 = ( ...1 ).( ...7 ) = ...7
=> 9931999 – 5571997 = ...0 chia hết cho 10 ( đpcm)
* Nhận xét: Phương pháp này thường sử dụng để chứng minh các bài toán mà
số chia là các số tròn chục (10, 100, ...) hay các số chia mà dấu hiệu chia hết có
11


liên quan đến chữ số tận cùng (ví dụ : 5, 4, 8, 25, 125), hoặc số chia có thể phân

tích thành tích các số có dạng như trên.
7.3.5. Phương pháp 5: Sử dụng nguyên tắc Đirichlet
Nội dung của nguyên tắc Đirichlet: “Nếu có n+1 con thỏ, xếp vào n chuồng, thì
ít nhất 1 chuồng chứa từ 2 con thỏ trở lên”.
Đối với dạng toán này giáo viên không đi sâu mà chỉ giới thiêu cho học sinh biết
và bài tập áp dụng dạng suy luận dễ hiểu.
Ví dụ 1: Cho ba số lẻ. chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết
cho 8.
Giải: Một số lẻ chia cho 8 thì số dư chỉ có thể là một trong bốn số sau: 1; 3; 5;
7. ta chia 4 số dư này (4 con thỏ) thành 2 nhóm (2 lồng)
Nhóm 1: dư 1 hoặc dư 7
Nhóm 2: dư 3 hoặc dư 5
Có 3 số lẻ (3 thỏ) mà chỉ có hai nhóm số dư nên tồn tại hai số thuộc cùng một
nhóm
- Nếu 2 số dư bằng nhau thì hiệu của chúng chia hết cho 8
- Nếu 2 số dư khác nhau thì tổng của chúng chi hết cho 8
Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiên bất kì luôn tìm được 2 số có hiệu
chia hết cho 5.
Giải:
Một số khi chia cho 5 có thể nhận một trong các số dư là: 0; 1; 2; 3; 4.
Trong 6 số tự nhiên bất kì khi chia cho 5 luôn tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư
(nguyên tắc Đirichlet). Hiệu của 2 số chia hết cho 5.
Ví dụ 3: Một lớp có 50 học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất 5 học sinh có
tháng sinh giống nhau
Giải:
Giả sử có không quá 4 học sinh có tháng sinh giống nhau
Một năm có 12 tháng, khi đó số học sinh của lớp có không quá: 12.4 = 48 (học
sinh). (ít hơn 50 học sinh). Vậy theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất 5 học
sinh có tháng sinh giống nhau.
7.4. Áp dụng kiến thức vào giải các dạng bài toán về chia hết

12


Bài 1:
a) Tìm tất cả các số x, y để số 34 x5 y chia hết cho 36.
b) Tìm các chữ số x, y để 21xy chia hết cho 3, 4, 5.
Giải:
a) Vì (4; 9) = 1 nên 34 x5 y M36 ⇔ 34 x5 y M9 và 34 x5 y M4
Ta có: 34 x5 y M4 ⇔ 5y M4 ⇔ y∈{2; 6}
34 x5 y M9 ⇔ (3+4+x+5+y) M9

⇔ (12+x+y) M9
Vì x, y là các chữ số nên x+y ∈ {6; 15}
Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 > 9 (loại)
Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9
Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056; 34956
b) Ta có: 21xy  5 ⇔ y ∈ {0; 5}
Nếu y = 5 thì 21xy

4

Nếu y = 0 thì 21xy  4 ⇔ x0  4 ⇒ x ∈ {0; 2; 4 ; 6 ; 8}

(1)

21x0  3 ⇔ (2 + 1 + x + 0)  3 ⇔ (3+ x) 3 ⇒ x ∈ {0; 3; 6; 9}.

( 2)

Kết hợp (1) và ( 2) ⇒ x ∈ {0; 6}.

Vậy các số cần tìm là: 2100; 2160
Bài 2: Cho các chữ số 0, a, b. Hãy viết tất cả các số có 3 chữ số tạo bởi 3 số
trên. Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết 211.
Giải:
Tất cả các số có 3 chữ số tạo bởi 3 chữ số 0, a, b là: a0b; ab0; ba 0; b0a
Tổng của các số đó là:
a 0b + ab0 + ba 0 + b0a = 100a +b +100a +10b +100b +10a +100b +a = 211a +211b

= 211(a+b) chia hết cho 211.
Bài 3: a) Cho A = 2 +22 +23 + ... +260. Chứng minh rằng: A3; A7; A 15
b) Cho B = 3 + 33 + 35 + ...+ 32015. . Chứng minh rằng: B chia hết cho 13 và B
chia hết cho 41.
Giải:
*A = 2 +22 +23 + ... +260 = ( 2+ 22) + ( 23 + 24) + ...+ (259 + 260) =
13


= 2( 1+ 2) + 23 ( 1+2) + ... + 259 (1+2) = 2.3+ 23. 3 +.... +259. 3 =
= 3.(2+ 23 + ... + 259)  3
*A= (2+ 22+ 23) + (24+25+26) + ... + (258 + 259 + 260)
= 2.(1+2+ 4) + 24( 1+2+4) +... + 258( 1+ 2+4)
= 2.7 +24.7+ ... + 258.7 = 7( 2+24 +... + 258)  7
*A= (2+ 22+ 23 + 24) + ... + (257 + 258 + 259 + 260)
= 2(1+2+4+8) +... + 257 ( 1+2+4+8) = 15( 2+ 25 + ... + 257)  15.
Vậy A  3, A  7 và A 15.
b) B = 3 + 33 + 35 + ... + 32015
= ( 3 + 33 + 35) + ( 37 + 39+311) + ... + ( 32011+ 32013 + 32015)
= 3( 1 + 32 + 34) + 37( 1+ 32+34) + ... + 32011(1+ 32+34)
= 3. 91 + 37.91 + ... + 32011.91
= 91.( 3 + 37 + ... + 32011)  13 ( vì 91  13)

B = ( 3 + 33 + 35 + 37) + ( 39 + 311 + 313 + 315) + ... + ( 32009 + 32011 + 32013+
32015)
= 3( 1 + 32 + 34 + 36) + 39(1 + 32 + 34 + 36) + ... + 32009(1 + 32 + 34 + 36)
= 3. 820 + 39 .820 + ... + 32009. 820
= 820( 3 + 39 + ... + 32009)  41 ( vì 820  41)
Bài 4: Cho a - b chia hết cho 6. Chứng minh các biểu thức sau chia hết cho 6
a) a +5b

b) a + 17b

c) a - 13b

Giải:
a) Ta có : a + 5b = a + 6b - b = ( a- b) + 6b  6 ( vì (a - b)  6 và 6b  6)
b) Ta có: a + 17 b = ( a- b) + 18b  6
c) Ta có: a - 13b = ( a - b) - 12b  6

[ vì (a- b)  6 và 18b6]
[ vì ( a - b )  6 và 12b  6]

Bài 5: Chứng minh rằng: (92n + 201493) chia hết cho 5.
Giải:
Ta có: 92n = (92)n = 81n = ...1
199493 = (20142)46. 2014 = ...6 46. 2014 = ...6 .2014 = ...4
Do đó: 92n + 201493 = ...1 + ...4 = ...5  5
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để (3n+10) chia hết cho (n+2)
14


Giải:

Cách 1: Ta có: 3n+10 = 3(n+2) +4
Mà 3.(n+2)  (n+2)
Do đó (3n+10)  (n+2) ⇔ 4  (n+2) ⇔ (n+2) là ước của 4.
⇔ (n+2) ∈ {1; 2; 4} ⇒ n ∈ {0; 2}
Vậy với n ∈ {0; 2} thì (3n+10)  (n+2)
Cách 2: (3n+10)  (n+2)
Mà (n+2)  (n+2) => 3(n+2)  (n+2)
=> [ (3n +10) - (3n +6)]  (n+2)
=> 4  (n+2)
⇔ (n+2) ∈ {1; 2; 4} ⇒ n ∈ {0; 2}
Vậy với n ∈ {0; 2} thì (3n+10)  (n+2)
n + 15
là số tự nhiên
n+3

Bài 7: Tìm số tự nhiên n để
Giải : Để

n + 15
là số tự nhiên thì (n+15)  n+3
n+3

=> [( n+15) - (n+3)]  (n+3)
⇔ 12  (n+3)
⇔ (n+3) ∈ Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
=> n ∈ {0; 1; 3; 9}
Vậy với n ∈ {0; 1; 3; 9} thì

n + 15
là số tự nhiên

n+3

Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 3n +1 và 4n + 1 là hai số
nguyên tố cùng nhau
Giải: Gọi d là ƯC( 3n+ 1, 4n + 1)
⇒ 3n + 1  d

⇒

4n + 1  d

4.( 3n + 1)  d
3.( 4n+1)  d

⇒ ( 12n + 4 - 12n - 3 )  d ⇒ 1  d ⇒ d = 1
Vậy ( 3n + 1, 4n + 1) = 1
Bài 9: Chứng minh rằng nếu abc  37 thì cab  37 và bca  37
Giải:

Vì abc  37 nên ( 100a + 10b + c)  37

⇒ 10.( 100a + 10b + c)  37
15


⇒ [ 10.( 100a + 10b + c) - 999a]  37 ( vì 99937)
⇒ ( 100b + 10c + a )  37
⇒ bca  37. Mặt khác:
abc + cab + bca =100a +10b+c+ 100c +10a +b + 100b +10c+a

= 37.3.( a+b +c)  37
Mà abc + bca  37
⇒ bca  37
*Nhận xét: Qua bài này ta rút ra được tổng 3 số dạng abc + cab + bca  37
Bài 10: Chứng minh rằng nếu ( 6x + 11y ) chia hết cho 31 thì ( x + 7y) chia hết
cho 31 với mọi số tự nhiên x, y.
Giải : Vì ( 6x + 11y)  31 nên ( 6x + 11y + 31y )  31
⇒ ( 6x + 42 y)  31 ⇒ 6 ( x + 7y )  31
mà ( 6, 31 ) = 1 ⇒ ( x + 7y )  31 ( đpcm).
Bài 11: Một số khi chia cho 6 dư 4, khi chia cho 7 dư 6, chia cho 11 dư 3. Tìm
dư cho phép chia số đó cho 642.
Giải:

Gọi số đó là a.

Theo bài ra, ta có a = 6k + 4 = 7q + 6 = 11p + 3 ( k, q, p là các thương và là các
số tự nhiên).
Suy ra : a + 8 = 6k + 4 + 8 = 6 ( k+ 2)  6
a + 8 = 7q + 6 + 8 = 7( q + 2)  7
a + 8 = 11p + 3 + 8 = 11 ( p + 1)  11
suy ra ( a + 8) là BC (6,7,11), mà BCNN(6, 7, 11) = 462
⇒ ( a + 8)  462
⇒ ( a + 8 ) = 462.m ( m∈ N)
⇒ a = 462.m - 8 = 462.(m - 1) + 454
⇒ a = 462.n + 454 ( n ∈ N).
Vậy a chia cho 462 dư 454.
Bài 12: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia số đó cho 17 thì dư 5, còn khi
cho 19 thì dư 12.
Giải:
16

Cách 1: Gọi số cần tìm là a.
Theo bài ra, ta có: a chia cho 17 dư 5 ⇒ a = 17m+5 (m ∈ N)
a chia cho 19 dư 12 ⇒ a = 19n+12 (n ∈ N)
Suy ra: a =17m+5= 19n+12 ⇒ 17m= 19n+7 =17n+(2n+7)  17
Vì a là số nhỏ nhất nên ta chọn n nhỏ nhất sao cho 2n+7  17
Ta chọn n=5, a =107. Vậy số cần tìm là 107
Cách 2: Gọi số cần tìm là a. Theo bài ra, ta có:
a chia cho 17 dư 5 ⇒ a = 17m+5 (m ∈ N)
a chia cho 19 dư 12 ⇒ a = 19n+12 (n ∈ N)
3a = 3.17m+15 ⇒ 3a + 2  17 (1)
3a = 3.19n +36 ⇒ 3a + 2  19 (2)
Tu (1) (2) suy ra 3a + 2 BC(17, 19)
Vì a là số nhỏ nhất nên 3a+2 =BCNN(17, 19), mà BCNN(17, 19) =17.19 = 323
Do dó

3a+2 = 323
3a = 321
a = 107

Vậy số cần tìm là 107.
Bài 13: a) Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để được số chia hết
cho các số 5, 7 ,9?
b) Phải viết thêm vào bên phải số 523 ba chữ số nào để được số chia hết
cho các số 6, 7, 8, 9?
Giải:
a) Giả sử số viết thêm là abc . Ta có 579abc chia hết cho 5, 7, 9 suy ra 579abc
chia hết cho 5. 7. 9 = 315. (vì 3, 5, 7 đôi một nguyên tố cùng nhau)
Mặt khác 579abc = 579000 + abc = (315.1838 + 30 + abc )  315

Mà 315.1838 315 suy ra ( 30 + abc )  315
Do 30 ≤ 30 + abc ≤ 30 + 999 = 1029
nên (30 + abc ) ∈ { 315; 630; 945}
Suy ra abc ∈ { 285; 600; 915}
Vậy 3 số có thể viết thêm là 285; 600; 915.
b) Gọi số phải viết thêm là abc . Ta có:
17


523abc chia hết cho 6, 7, 8, 9 nên 523abc chia hết cho BCNN(6,7,8,9) = 504.

Mặt khác 523abc = 523000 + abc = 504.1037 + 352 + abc .
Vì 504. 1037  504 nên ( 352 + abc )  504  abc = k.504 - 352 với k ∈ N
⇒ k ∈ { 1; 2 } ⇔ abc ∈ { 152 ; 656}
Vậy 2 số có thể viết thêm là 152 và 656.
Bài 14: Một bạn viết các số từ 1 đến abc . Bạn đó phải viết tất cả m chữ số.
Biết rằng m chia hết cho abc , tìm abc .
Giải: Từ 1 đến abc , bạn đó phải viết số chữ số là :
m = 1.9 + 2.90 + 3.( abc - 99) = 3. abc - 108
Theo bài ra m  abc ⇔ ( 3.

- 108)  abc ⇔ 108 abc

abc

⇔ abc = 108
Vậy bạn đó đã viết các số tự nhiên từ 1 đến 108.
Bài 15: Chứng minh rằng: 2n + 11 ... 1 chia hết cho 3.
n chữ số

Giải:
* Cách 1:

Ta có : 2n + 11 ... 1 = 3n + (11 ... 1 - n)
n chữ số

n chữ số

vì một số chia cho 3 dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của số ấy chia cho 3 cũng
dư bấy nhiêu nên 11... 1 và n có cùng số dư khi chia cho 3
⇒ 11...1 - n chia hết cho 3
n chữ số

Vậy 3n + (11 ... 1 - n )  3 hay 2n + 11 ... 1  3
S

n chữ số

*Cách 2: Với mọi n ∈ N ta có hoặc n = 3k hoặc n = 3k + 1 hoặc n = 3k +2 (k ∈
N)
- Nếu n = 3k ⇒ 2n + 11...1 = 2.3k + 11...1  3
n chữ số

3k3kchữ
sốsố
chữ

- Nếu n = 3k + 1 ⇒ 2n + 11 ... 1 =2( 3k+1) + 11 ...1 = 6k + 11...13 chia hết
3k+1 chữ số
3k chữ số 1

n chữ số
cho 3.
- Nếu n = 3k+ 2 ⇒ 2n + 11 ... 1 = 2( 3k+2) + 11 ... 1
n chữ số

= 6k + 3 + 11...12 chia hết cho 3

3k+2 chữ số

3k +1 chữ số

1 các chữ số bằng 3k + 3 chia hết cho 3)
(vì số 11...12 có tổng
3k +1 chữ số 1

Bài 16: Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dưới 2, chỉ có
2 học sinh được điểm 10. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có
điểm kiểm tra bằng nhau.
Giải:
18


Có 45 - 2 = 43 học sinh được phân chia và 8 loại điểm (từ 2 đến 9). Giả sử mỗi
điểm trong 8 loại là điểm không có quá 5 học sinh, thì lớp học không có quá 8.5
= 40 học sinh (ít hơn 43 học sinh).
Vậy tồn tại ít nhất có 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau.
*Một số bài tập vận dụng:
Bài 1: Thay dấu * bởi chữ số thích hợp để 517** chia hết cho cả 6, 7, 9
Bài 2: Chứng minh rằng, hiệu một số có 2 chữ số với số gồm 2 chữ số ấy viết
theo thứ tự ngược lại, ta luôn chia hết cho 9.

Bài 3: Chứng tỏ rằng số 20132000- 20112000 chia hết cho cả 2 và 5
Bài 4: Chứng tỏ rằng n(n+1)( 5n+6) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Bài 5: a) Cho A = 2 +22 +23 + ... +2120. Chứng minh rằng : A 3; A  7; A  15
b) Cho B = 3 + 33 + 35 + ...+ 32003 Chứng minh rằng: B chia hết cho 13 và B chia
hết cho 30.
c) Cho C= 5+ 52 + 53 + ...+ 5100 Chứng minh rằng: C chia hết cho 6 và C chia
hết cho 30.
d) Cho D = 3 + 32 + 33 + ...+ 32004 Chứng minh rằng: B chia hết cho 12 và B chia
hết cho 39.
Bài 6: Tìm số nguyên n sao cho
a) 3n + 2 chia hết cho n – 1
b) 2n + 1 chia hết cho 6 - n
c) n2 + 2n -7 chia hết cho n + 1
Bài 7: Chứng minh rằng:
a) 251 - 1 chia hết cho 7

d ) 270 + 370 chia hết cho 13

b) 1719 + 1917 chi hết cho 18

e) 24n - 1 chia hết cho 15 với n ϵ N

c) 3663 - 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 37
Bài 8: a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 7n +10 và 5n + 7 là hai
số nguyên tố cùng nhau.
b) Chứng minh rằng với mọi n ∈ N* thì 3n - 2 và 4n - 3 là hai số
nguyên tố cùng nhau.
Bài 9: Tìm các số tự nhiên n để 18n + 3 và 21 + 7 là hai số nguyên tố cùng
nhau.
Bài 10: Tìm các số tự nhiên a, b biết .

19


a) a+b=432 và ƯLN(a, b)=36
b) a.b =864 và ƯCLN( a, b) = 6
c) a.b=360 và BCNN( a, b) = 60
Bài 11: Chứng minh rằng nếu ab + cd + eg M11 thì abcdeg M11 .
Bài 12: a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia số đó cho 8 thì dư 7, còn khi
cho 31 thì dư 28.
b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia số đó cho 11 thì dư 5, còn khi
cho 13 thì dư 8
Bài 13: a) Một số tự nhiên khi cho chia số đó cho 7 thì dư 1, khi cho 13 thì dư
4. Hỏi khi chia cho 91 thì dư bao nhiêu?
Bài 14: CMR trong 100 số tùy ý thì có ít nhất 10 số đôi một có hiệu chia hết
cho 11.
Bài 15: CMR tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 2007.
Trên đây là một số ví dụ và một số dạng bài tập về phép chia hết. Các bài
toán về phép chia hết thật đa dạng và phong phú. Nếu như chúng ta chỉ hướng
dẫn học sinh giải những bài tập ở mức độ trung bình thì các em chưa thể thấy
được "cái hay" của dạng toán này, đồng thời có khi các em còn có cảm giác là
khó và phức tạp. Qua các bài tập trên ta thấy, mặc dù mỗi dạng bài tập sử dụng
phương pháp biến đổi ban đầu khác nhau, nhưng cuối cùng đều quy về định
nghĩa và các tính chất của phép chia hết. Chính vì vậy, việc nắm vững định
nghĩa về phép chia hết, các tính chất và các dấu hiệu chia hết là vấn đề then chốt
giúp học sinh có thể định hướng được cách giải bài tập giúp học sinh có tư duy
sáng tạo và sự linh hoạt khi giải toán. Khi đã làm được như vậy thì việc giải các
bài toán về phép chia hết đã trở thành niềm say mê, thích thú của học sinh.
8. Những thông tin cần được bảo mật chuyên đề
Không
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng chuyên đề

Phòng học, bảng, bàn ghế, học sinh
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng chuyên đề
20


10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng chuyên
đề theo ý kiến của tác giả
- Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên, bản thân tôi nhận thấy: Khi dạy
phần chia hết trong tập hợp số tự nhiên, số nguyên học sinh tiếp nhận kiến thức
một cách thoải mái, chủ động, rõ ràng. Học sinh phân biệt và nhận dạng được
các bài toán liên quan đến phép chia hết và từ đó có thể giải được hầu hết các
bài tập phần này, xóa đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu là không có quy tắc
tổng quát. Qua đó, rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, các phẩm
chất trí tuệ khác và học sinh cũng thấy được dạng toán này thật phong phú, điều
đó giúp cho học sinh hứng thú hơn khi học bộ môn Toán.
- Kết quả học tập: Với những bài tập giáo viên đưa ra, học sinh giải được một
cách độc lập và tự giác, được thống kê theo bảng sau:
Trước khi áp dụng chuyên đề:
Số HS giải được theo các mức độ
Năm học

Số
Giỏi
HS
SL %

2014 - 2015 35

5

Khá
SL

14,3 12

TB

Yếu

%

SL

%

SL

%

34,3

14

40,0

4

11,4

Sau khi áp dụng chuyên đề:

Số HS giải được theo các mức độ
Năm học

Số
Giỏi
HS
SL %

2015 - 2016 36

8

Khá
SL

22,2 14

TB

Yếu

%

SL

%

SL

%

38,9

12

33,3

2

5,6

10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng chuyên
đề theo ý kiến tổ chức cá nhân
Phần Phép chia hết cho tập hợp số tự nhiên ở lớp 6 là một nội dung quan
trọng bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ, nó là tiền đề cho học sinh học tốt
các kiến thức về sau và đặc biệt nó có ứng dụng rất nhiều. Do vậy, trước hết
chúng ta cần cho học sinh nắm thật vững định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu
chia hết và đặc biệt là các tính chất của quan hệ chia hết bởi vì các tính chất này
rất hay sử dụng.
Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập, chúng ta cần liên hệ những
kiến thức đã biết để xây dựng kiến thức mới, chọn lọc hệ thống bài tập theo mức
độ tăng dần từ dễ đến khó. Khi học phải cho học sinh nhận dạng sau đó mới bắt
tay vào giải theo nhiều cách (nếu có thể) chứ không nhất thiết phải giải nhiều bài
tập. Cần rèn luyện nhiều cách suy luận để tìm hướng giải và cách lập luận trình
21


bày của học sinh vì đây là học sinh đầu cấp. Với mỗi dạng tuy không có quy tắc
tổng quát, song sau khi giải giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm, một hướng giải
quyết nào đó để khi gặp bài tương tự học sinh có thể liên hệ được.

10.3. Kết luận
- Bản thân mỗi một người GV trong quá trình giảng dạy học sinh phải chú ý
hướng dẫn HS một cách tổng quát các dạng toán và phân loại các loại bài và chú
ý rèn kỹ năng cho HS.
- Cần xây dựng một hệ thống bài tập đặc trưng nêu được những tính chất cơ
bản của nội dung mà ta cần rèn luyện. Bên cạnh đó đưa ra những bài tập tương
tự như những bài tập mà các em đã làm được.
- Cần phải quan tâm đến HS, thay đổi phương pháp giảng dạy, tạo cho HS tích
cực chủ động học hỏi và phải đam mê học.
11. Danh sách những tổ chức/ cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp
dụng sáng kiến lần đầu
TT

Tên tổ chức/ cá nhân

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh
vực áp dụng

1

Nguyễn Thị Hồng Minh

THCS Vĩnh Sơn

PP chia hết

2

Kim Trung Hưng

THCS Vĩnh Sơn

PP chia hết

22


TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa toán tập 1
Tác giả Vũ Hữu Bình- Phạm Gia Đức-Trần Luận
-Sách bài tập toán tập 1
Tác giả Vũ Hữu Bình- Phạm Gia Đức-Trần Luận
- Sách Để học tốt toán 6 tập 1
Tác giả Lê Hồng Đức- Đào Thiện Khải
-Sách Các dạng toán và phương pháp giải Toán 6
Tác giả Vũ Hữu Bình- Nguyễn Vũ Thanh- Bùi Văn Tuyên
-Sách Toán bồi dưỡng học sinh lớp 6
Tác giả Vũ Hữu Bình- Tôn Thân- Đỗ Quang Thiều
- Sách Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 6
Tác giả Bùi Văn Tuyên
-Sách Một số vấn đề phát triển và nâng cao Toán 6 tập 1
Tác giả Vũ Hữu Bình

23


24

25