Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic trong không gian tựa metric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐINH NGỌC QUANG

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA CÁC ÁNH XẠ CYCLIC
TRONG KHÔNG GIAN TỰA
MÊTRIC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐINH NGỌC QUANG

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA CÁC ÁNH XẠ CYCLIC
TRONG KHÔNG GIAN TỰA
METRIC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02
Cán bộ hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. ĐINH HUY HOÀNG

NGHỆ AN - 2015

2


Mục lục

Lời mở đầu

4

1 KHÔNG GIAN TỰA MÊTRIC

7

1.1

Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Không gian tựa mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2 VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH
XẠ CYCLIC TRONG KHÔNG GIAN TỰA MÊTRIC 15

2.1

Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co kiểu
Banach và kiểu Banach suy rộng

2.2

. . . . . . . . . . . .

15

Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co kiểu
Kannan và kiểu Chatterjea . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Kết luận

36

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3


LỜI MỞ ĐẦU
Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu
quan trọng của Giải tích hàm, nó có nhiều ứng dụng trong giải tích và

một số ngành toán học khác. Do đó nó được các nhà toán học quan
tâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả. Kết quả quan trọng đầu
tiên về lý thuyết điểm bất động là nguyên lý ánh xạ co trong không
gian mêtric đầy đủ của nhà toán học Banach. Sau đó người ta đã mở
rộng nguyên lý này cho nhiều loại ánh xạ và nhiều loại không gian
khác nhau. Một trong những hướng mở rộng đó là, giảm bớt các điều
kiện trong định nghĩa mêtric, từ đó thu được lớp các không gian tựa
mêtric rộng hơn lớp các không gian mêtric. Sau đó, người ta nghiên
cứu sự tồn tại các điểm bất động của các ánh xạ trên các không gian
tựa mêtric. Những người thu được nhiều kết quả theo hướng này là:
J.Caristi, J.S.Ume, R.A.Stoltenbeg, C.S.Wong,...
Năm 2003, W.A. Kirk và các cộng sự ([4]) đã mở rộng nguyên lý
ánh xạ co kiểu Banach cho lớp ánh xạ thỏa mãn điều kiện cyclic. Năm
2010, Petric ([5]) đã giới thiệu và chứng minh một vài kết quả liên quan
tới ánh xạ co cyclic. Sau đó nhiều nhà toán học đã quan tâm nghiên
cứu về sự tồn tại các điểm bất động của các ánh xạ co cyclic trong các
không gian mêtric. Năm 2010, M.Petric và B.Zlatanov ([3])đã chứng

4


minh định lý về điểm bất động của các ánh xạ cyclic co kiểu Kannan.
Năm 2012, E.Karapınar và H.K.Nashine ([6])đã chứng minh các định
lý về điểm bất động của các ánh xạ cyclic co kiểu Chatterjea. Có một
vấn đề được đặt ra ở đây là, các kết quả về sự tồn tại các điểm bất
động của các ánh xạ cyclic trong không gian mêtric có còn đúng cho
trường hợp không gian tựa mêtric nữa hay không?
Để tập dượt nghiên cứu khoa học và lĩnh hội về không gian tựa
mêtric và lý thuyết điểm bất động, chúng tôi tìm hiểu, nghiên cứu các
tính chất của không gian tựa mêtric và sự tồn tại điểm bất động của

các ánh xạ cyclic trong không gian tựa mêtric. Vì thế chúng tôi chọn
đề tài nghiên cứu là "Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh
xạ cyclic trong không gian tựa mêtric"
Với mục đích đó, luận văn được trình bày thành hai chương.

Chương 1. Không gian tựa mêtric
Trong chương này, đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và
kết quả cơ bản của tôpô đại cương có liên quan đến nội dung của luận
văn. Sau đó, trình bày khái niệm, ví dụ và một số tính chất cơ bản
của không gian tựa mêtric. Để làm cơ sở cho việc trình bày nội dung
của chương 2.

Chương 2. Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh
xạ cyclic trong không gian tựa mêtric
Trong chương này, chúng tôi mở rộng một số kết quả về sự tồn tại
điểm bất động của các ánh xạ cyclic co kiểu Banach, kiểu Kannan và
kiểu Chatterjea trong không gian mêtric đã có trong các tài liệu tham
khảo cho không gian tựa mêtric bằng cách đưa ra các Định lý 2.1.3,
5


2.1.4, 2.1.6, 2.1.7, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5 và các Hệ quả 2.1.5, 2.1.8 2.2.6 và
2.2.7.
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng
dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc của Thầy giáo PGS.TS. Đinh
Huy Hoàng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình đến
Thầy, người đã chỉ dạy tác giả những kiến thức, kinh nghiệm trong
học tập và nghiên cứu khoa học.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm Phòng Sau đại học,
Ban Chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán - Trường Đại học Vinh đã nhiệt

tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè đặc biệt là các
bạn trong lớp Cao học khóa 21 - Chuyên ngành: Giải tích đã cộng tác,
giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên
cứu.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng do còn hạn chế về mặt kiến thức và
thời gian nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong
quý Thầy Cô và bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện
hơn.
Vinh, tháng 8 năm 2015
Tác giả

6


Chương 1
KHÔNG GIAN TỰA MÊTRIC
1.1

Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này dành cho việc giới thiệu các khái niệm cơ bản và các kết
quả đã có cần dùng trong luận văn.
1.1.1 Định nghĩa. ([1]) Cho tập hợp X. Họ T các tập con của X
được gọi là tôpô trên X nếu thỏa mãn các điều kiện
(T1 ) ∅, X ∈ T
(T2 ) Nếu Gi ∈ T , i ∈ I thì

Gi ∈ T
i∈I

(T3 ) Nếu G1 , G2 ∈ T thì G1 ∩ G2 ∈ T .
Tập hợp X cùng với tôpô T trên nó được gọi là không gian tôpô và
kí hiệu là (X, T ) hay đơn giản X.
Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô.
Các phần tử thuộc T được gọi là tập mở.
Giả sử X ⊂ E. Tập E được gọi là tập đóng nếu X\E là tập mở.
1.1.2 Định nghĩa. ([1]) Cho không gian tôpô X, tập con A của X
được gọi là lân cận của điểm x ∈ X nếu tồn tại tập mở V ⊂ X sao
cho x ∈ V ⊆ A.

7


Cho không gian tôpô X, x ∈ X, U(x) là họ tất cả các lân cận của x.
Họ B(x) ⊂ U(x) được gọi là cơ sở lân cận tại x nếu với mọi U ∈ U(x)
tồn tại V ∈ B(x) sao cho x ∈ V ⊂ U .
1.1.3 Định nghĩa. ([1]) Dãy {xn } trong không gian tôpô được gọi là
hội tụ tới x ∈ X nếu với mỗi lân cận U của x tồn tại n0 ∈ N sao cho:
xn ∈ U với mọi n ≥ n0
Khi đó ta viết: xn → x
1.1.4 Định nghĩa. ([1]) Không gian tôpô X được gọi là thỏa mãn
tiên đề đếm được thứ nhất nếu tại mỗi điểm x ∈ X có một cơ sở lân
cận B(x) có lực lượng đếm được.
Không gian tôpô X được gọi là T1 − không gian nếu hai điểm bất
kì x, y ∈ X, x = y, tồn tại lân cận tương ứng Ux , Uy của x và y sao cho
y∈
/ Ux và x ∈
/ Uy .
Không gian tôpô X được gọi là T2 − không gian (hay không gian

Hausdorff ) nếu với hai điểm x, y ∈ X, x = y, tồn tại các lân cận tương
ứng Ux , Uy của x và y sao cho Ux ∩ Uy = ∅
1.1.5 Định nghĩa. ([1]) Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và f :
X → Y . Ánh xạ f được gọi là liên tục tại x nếu mỗi lân cận V của
f (x), tồn tại lân cận U của X sao cho f (U ) ⊂ V .
Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X (nói gọn là liên tục) nếu nó
liên tục tại mọi điểm của X.
1.1.6 Định lý. Giả sử X, Y là các không gian tôpô, f : X → Y . Khi
đó các điều kiện sau tương đương:
8


(1) f liên tục trên X;
(2) Nếu E là tập mở trong Y thì f − 1(E) mở trong X;
(3) Nếu E là tập đóng trong Y thì f − 1(E) đóng trong X.
1.1.7 Định nghĩa. ([1]) Giả sử X là tập khác rỗng và ρ : X ×X → R.
Hàm ρ được gọi là mêtric trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
i). ρ(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và ρ(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
ii). ρ(x, y) = ρ(y, x) với mọi x, y ∈ X;
iii). ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) với mọi x, y, z ∈ X.
Tôpô X cùng với một mêtric trên nó được gọi là không gian mêtric
và kí hiệu là (X, ρ) hoặc X.

1.2

Không gian tựa mêtric

1.2.1 Định nghĩa. ([1]) Giả sử X là tập khác rỗng và d : X ×X → R.
Hàm d được gọi là tựa mêtric trên X nếu thỏa mãn:
i) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;

ii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X.
Tập X cùng với một tựa mêtric trên nó được gọi là không gian tựa
mêtric và kí hiệu là (X, d) hoặc X.
1.2.2 Ví dụ. ([1]) 1) Giả sử X = {1, 2, 3}. Xác định hàm d : X ×X →
R+ bởi công thức:

d (1, 1) = d (2, 2) = d (3, 3) = 0
d (1, 2) = 1, d (1, 3) = 2, d (2, 1) =

5
2

3
1
d (2, 3) = 3, d (3, 1) = , d (3, 2) = .
2
2
9


Khi đó, d là một tựa mêtric trên X
Chứng minh. Thật vậy:
i) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
ii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y ∈ X
Vì vậy, (X, d) là không gian tựa mêtric.
Vì d(1, 2) = d(2, 1) nên d không là mêtric trên X.
2) Giả sử d : R × R → R là ánh xạ được cho bởi:

nếu x = y


0
nếu x > y
d (x, y) = 1
1


nếu x < y
2
Khi đó, d là tự mêtric trên R.
Chứng minh. Thật vậy, theo cách xác định d thì hiển nhiên d(x, y) ≥ 0
với mọi x, y ∈ R và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
Giả sử x, y, z ∈ R. Khi đó nếu x = y = z thì hiển nhiên điều kiện ii)
trong Định nghĩa 1.2.1 đúng.
Nếu x < y < z thì
d (x, z) =

1
2

< 1 = d (x, y) + d (y, z) ;

d (z, y) = 1 < d (z, x) + d (x, y) ;
d (x, y) =

1
2

< 1 = d (x, z) + d (z, y) ;

d (y, x) = 1 = d (y, z) + d (z, x) ;

d (y, z) =

1
2

< 1 = d (y, x) + d (x, z) ;

d (z, x) = 1 < 2 = d (z, y) + d (y, x) .
Nếu x = y < z hoặc x < y = z dễ dàng chứng minh d thỏa mãn điều
kiện ii) trong Định nghĩa 1.2.1. Vậy (R, d) là không gian tựa mêtric.
1
Vì = d(0, 1) = d(1, 0) nên d không là mêtric trên X.
2
10


Giả sử (X, d) là không gian tựa mêtric. Với mỗi a ∈ X và mỗi ε > 0
ta ký hiệu
B (a, ε) = {x ∈ X : d (a, x) < ε}
B [a, ε] = {x ∈ X : d (a, x) ≤ ε}
và
T = G ⊂ X : với mỗi a ∈ G tồn tại B(a, ε) ⊂ G
1.2.3 Mệnh đề. ([1]) Nếu (X, d) là không gian tựa mêtric thì T là
một tôpô trên X và B(x, ε) ∈ T với mọi x ∈ X, với mọi ε > 0. Do đó
(X, T ) là không gian đếm được thứ nhất.
Chứng minh. i) Hiển nhiên ∅ và X ∈ T
ii) Giả sử Gα ∈ T với mọi α ∈ I. Khi đó, với mọi a ∈

Gα ắt tồn
α

tại α0 ∈ I sao cho a ∈ Gα0 . Vì Gα0 ∈ T nên tồn tại B (a, ε) ⊂ Gα0 ⊂
Gα .
α∈I

Gα ∈ T .

Như vậy
α∈I

iii) Giả sử G và H ∈ T . Khi đó, với mỗi a ∈ G ∩ H ta có a ∈ G
và a ∈ H. Do đó tồn tại ε1 và ε2 > 0 sao cho B(a, ε1 ) ⊂ G và
B(a, ε2 ) ⊂ H. Từ đó suy ra B(a, ε) ⊂ G ∩ H với ε = min(ε1 , ε2 ). Do
đó G ∩ H ∈ T . Vậy T là một tôpô trên X.
Giả sử x ∈ X, ε > 0 và a ∈ B(x, ε). Khi đó, d(x, a) < ε. Do đó
δ := ε − d(x, a) > 0. Với mỗi y = B(a, δ) ta có d(a, y) < δ. Do đó theo
Định nghĩa 1.2.1 ta có:
d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y) < ε.
Tức là y ∈ B(x, ε). Từ đó suy ra B(a, δ) ⊂ B(x, ε). Như vậy B(x, ε) ∈
T.
11


Chú ý: Từ đây về sau, nếu không giải thích gì thêm thì tôpô trên
không gian tựa mêtric được hiểu là tôpô T . Như vậy các tập hợp B(x, ε)
là mở trong không gian tựa mêtric (X, d). Ta gọi B(x, ε), B[x, ε] thứ
tự là hình cầu mở, hình cầu đóng tâm x bán kính ε.
1.2.4 Định lý. ([1]) Giả sử {xn } là dãy trong không gian tựa mêtric
(X, d). Khi đó, {xn } hội tụ tới x ∈ X khi và chỉ khi d(x, xn ) → 0, khi
n → ∞.

Chứng minh. Giả sử xn → x ∈ X. Khi đó, với mọi ε > 0 vì B(x, ε)
là lân cận của x (Mệnh đề 1.2.3) nên tồn tại số tự nhiên nε sao cho
xn ∈ B(x, ε) với mọi n ≥ nε , tức là d(x, xn ) < ε với mọi n ≥ nε . Điều
này chứng tỏ d(x, xn ) → 0.
Ngược lại, giả sử d(x, xn ) → 0 và U là một lân cận của x. Khi đó, tồn
tại ε0 sao cho B(x, ε0 ) ⊂ U . Vì d(x, xn ) → 0 nên tồn tại n0 ∈ N sao cho
d(x, xn ) < ε0 với mọi n ≥ n0 . Do đó, xn ∈ B(x, ε0 ) ⊂ U với mọi n ≥
n0 .
Như vậy xn → x.
1.2.5 Định lý. ([1]) Giả sử X, Y là hai không gian tựa mêtric, f :
X → Y và a ∈ X. Khi đó f liên tục tại a khi và chỉ khi mỗi dãy
{xn } ⊂ X mà xn → a thì f (xn ) → f (a)
Chứng minh. Giả sử f liên tục tại a nhưng tồn tại dãy {xn } trong X,
xn → a nhưng {f (xn )} không hội tụ tới f (a). Khi đó theo Định lý
1.2.4 {d (f (a), f (xn ))} không hội tụ tới 0. Do đó, tồn tại ε0 > 0 sao
cho với mỗi n ∈ N tồn tại mn > n và d(f (a), f (xmn )) > ε0 . Vì f liên
tục tại a và B(f (a), ε0 ) là mở trong Y nên tồn tại số tự nhiên n0 sao
12


cho f B(a, n10 ) ⊂ B (f (a), ε0 ). Vì xn → a nên tồn tại số tự nhiên n1
sao cho:
xn ∈ B(a,

1
) với mọi n ≥ n1 .
n0

xn ∈ B(a,

1
) với mọi n ≥ n1 .
n0

Do đó

hay
d(f (a), f (xn )) < ε0 với mọi n ≥ n1 ,
điều này mâu thuẫn với
d(f (a), f (xmn1 )) với mọi mn1 > n1 .
Từ đó suy ra f (xn ) → f (a).
Ngược lại, giả sử rằng với mỗi {xn } trong X mà xn → a thì f (xn ) →
f (a). Ta sẽ chứng minh f liên tục tại a. Giả sử f không liên tục tại a.
Khi đó từ Định lý 1.1.6 ta suy ra tồn tại ε0 > 0, với mọi δ > 0 đều có
f (B(a, δ)) ⊂ B(f (a), ε0 ).
Từ đó suy ra rằng với mỗi n = 1, 2, ... tồn tại xn ∈ B(a, n1 ) sao cho
f (xn ) ∈
/ B(f (a), ε0 ). Từ xn ∈ B(a, n1 ) với mọi n = 1, 2, ... suy ra
d(a, xn ) → 0. Do đó xn → a. Vì thế, theo giả thiết của điều kiện đủ
ta có f (xn ) → f (a). Điều này mâu thuẫn với f (xn ) ∈
/ B(f (a), ε0 ) với
mọi n. Vậy f liên tục tại a.
1.2.6 Định nghĩa. ([1]) Dãy {xn } trong không gian tựa mêtric (X, d)
được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0 tồn tại số tự nhiên nε sao
cho với mọi số tự nhiên n, m mà n ≥ nε , m ≥ nε ta có d(xn , xm ) < ε.
13


Không gian tựa mêtric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy
{xn } trong X đều hội tụ, tức là tồn tại x ∈ X sao cho xn → x (điều

này tương đương với d(x, xn ) → 0).
Tập con Y của không gian tựa mêtric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu
mọi dãy Cauchy trong Y đều hội tụ tới điểm thuộc Y .
Định lý sau đây nói lên mối quan hệ giữa tính đóng và tính đầy đủ.
1.2.7 Định lý. ([1]) Nếu Y là tập con đóng của không gian tựa mêtric
đầy đủ X thì Y là đầy đủ.
Chứng minh. Giả sử {xn } là dãy Cauchy trong Y . Khi đó, {xn } cũng
là dãy Cauchy trong X, mà X đầy đủ nên {xn } hội tụ tới x ∈ X. Vì
Y là tập đóng trong X và {xn } là dãy trong Y nên x ∈ Y . Vậy Y là
tập đầy đủ.

14


Chương 2
VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT
ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ
CYCLIC TRONG KHÔNG GIAN
TỰA MÊTRIC
Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động
của các ánh xạ cyclic co kiểu Banach, kiểu Kannan và kiểu Chatterjea
trong không gian tựa mêtric.

2.1

Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co
kiểu Banach và kiểu Banach suy rộng

Mục này xem xét một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của
các ánh xạ cyclic co kiểu Banach và kiểu Banach suy rộng trong không

gian mêtric còn đúng cho không gian tựa mêtric nữa hay không?
2.1.1 Định nghĩa. ([4]) Cho A1 , A2 , ..., Ap , Ap+1 = A1 là các tập khác
p

p

Ai →

rỗng của không gian mêtric X và ánh xạ T :
i=1

Ai . Ánh xạ
i=1

T được gọi là p-cyclic (nói gọn là cyclic) nếu T (Ai ) ⊂ Ai+1 với mọi
i = 1, 2, .., p.
Chú ý: Từ định nghĩa này suy ra nếu T là ánh xạ p-cyclic và T có
15


p

điểm bất động x thì x ∈

Ai .
i=1

2.1.2 Bổ đề. Nếu X là không gian tựa mêtric Hausdorff đầy đủ, F :
X → X là ánh xạ liên tục và tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho
d(F x, F 2 x) ≤ kd(x, F x), ∀x ∈ X

và
d(F 2 x, F x) ≤ kd(F x, x), ∀x ∈ X
thì F có điểm bất động trong X. Hơn nữa, với mỗi x0 ∈ X, dãy {F n x0 }
hội tụ tới điểm bất động của F.
(Ở đây, ta viết F x thay F (x), F 2 x thay F 2 (x))
Chứng minh. Lấy x0 ∈ X và đặt xn = F xn−1 với mọi n = 1, 2, .... Khi
đó, với mỗi n = 1, 2, ... ta có
d (xn , xn+1 ) = d F xn−1 , F 2 xn−1 ≤ kd (xn−1 , F xn−1 )
= kd F xn−2 , F 2 xn−2 ≤ k 2 d (xn−2 , F xn−2 )
≤ ... ≤ k n d (x0 , F x0 ) = k n d (x0 , x1 ) .
Từ đó và sử dụng nhiều lần bất đẳng thức tam giác ta có
d(xn , xn+m ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xn+m−1 , xn+m )
≤ k n + k n+1 + ... + k n+m−1 d (x0 , x1 )
− km
kn
d (x0 , x1 ) ≤
d (x0 , x1 )
=k
1−k
1−k
n1

với mọi n = 1, 2, ... với mọi m = 0, 1, 2, .... Vì k ∈ [0, 1) nên
kn
d(x0 , x1 ) → 0 khi n → ∞.
1−k
16


Từ đó suy ra

lim d (xn , xn+m ) = 0, ∀m = 1, 2, ...

n→∞

(2.1)

Tương tự ta có
d (xn+1 , xn ) = d F 2 xn−1 , F xn−1 ≤ kd (F xn−1 , xn−1 )
= kd F 2 xn−2 , F xn−2 ≤ k 2 d (F xn−2 , xn−2 )
≤ ... ≤ k n d (F x0 , x0 ) = k n d (x1 , x0 ) .
Từ đó và sử dụng nhiều lần bất đẳng thức tam giác ta có
d (xn+m , xn ) ≤ d (xn+m , xn+m−1 )+d (xn+m−1 , xn+m−2 )+...+d (xn+1 , xn )
≤ k n+m−1 + k n+m−2 + ... + k n d (x1 , x0 )
kn
− km
d (x1 , x0 ) ≤
d (x1 , x0 )
=k
1−k
1−k
n1

với mọi n = 1, 2, ... với mọi m = 0, 1, 2, .... Vì k ∈ [0, 1) nên
kn
d(x1 , x0 ) → 0 khi n → ∞.
1−k
Từ đó suy ra
lim d (xn+m , xn ) = 0, ∀m = 1, 2, ...

n→∞

(2.2)

Từ (2.1) và (2.2) suy ra với mỗi ε tồn tại số tự nhiên nε sao cho
d(xn , xp ) < ε, với mọi n, p ≥ nε .
Do đó {xn } là dãy Cauchy. Vì X đầy đủ nên xn → x ∈ X. Vì F liên
tục nên xn+1 = F xn → F x. Kết hợp với giả thiết X là không gian
Hausdorff nên ta có x = F x.
Vậy, x là điểm bất động của F .
17


2.1.3 Định lý. Giả sử (X,d) là không gian tựa mêtric Hausdorff đầy
đủ và T : X → X là ánh xạ co kiểu Banach, tức là tồn tại hằng số
α ∈ [0, 1) sao cho
d(T x, T y) ≤ αd(x, y), ∀x, y ∈ X
và
d(T y, T x) ≤ αd(y, x), ∀x, y ∈ X.
Khi đó, T có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Giả sử T : X → X là ánh xạ co với hằng số co α. Lấy
x0 ∈ X. Đặt T x0 = x1 , T x1 = x2 , .... Khi đó, với mỗi n = 1, 2, ... ta có
d (xn , xn+1 ) = d (T xn−1 , T xn ) ≤ αd (xn−1 , xn )
= αd (T xn−2 , T xn−1 ) ≤ α2 d (xn−2 , xn−1 )
≤ ... ≤ αn d (x0 , x1 ) .
Do đó với mỗi n = 1, 2, ... và mỗi p ∈ N ta có
d (xn , xn+p ) ≤ d (xn , xn+1 ) + d (xn+1 , xn+2 ) + ... + d (xn+p−1 , xn+p )
≤ αn + αn+1 + ... + αn+p−1 d (x0 , x1 )
1 − αp
αn
=α .

d (x0 , x1 ) ≤
d (x0 , x1 ) .
1−α
1−α
n

Từ đó suy ra
lim d (xn , xn+p ) = 0, ∀p = 1, 2, ...

(2.3)

lim d (xn+p , xn ) = 0, ∀p = 1, 2, ...

(2.4)

n→∞

Tương tự ta có

n→∞

18


Từ (2.3) và (2.4) suy ra với mỗi ε tồn tại số tự nhiên nε sao cho
d(xn , xm ) < ε, với mọi n, m ≥ nε .
Do đó {xn } là dãy Cauchy. Vì X đầy đủ nên tồn tại a ∈ X sao cho
xn → a hay d(a, xn ) → 0.
Bây giờ, ta chứng minh a là điểm bất động của T . Thật vậy, ta có
T xn = xn+1 → a. Vì xn → a và T liên tục nên T xn → T a. Kết hợp

với giả thiết X là không gian Hausdorff nên a = T a, tức a là điểm bất
động của T .
Cuối cùng, ta chứng minh a là điểm bất động duy nhất của T . Giả
sử b ∈ X cũng là một điểm bất động của T . Khi đó, từ α ∈ [0, 1) suy
ra
0 ≤ d(a, b) = d(T a, T b) ≤ αd(a, b) < d(a, b)
Ta có điều mâu thuẫn. Do đó d(a, b) = 0 hay a = b.
2.1.4 Định lý. Cho A và B là hai tập con đóng khác rỗng của không
gian tựa mêtric Hausdorff đầy đủ X, và giả sử F : X → X thỏa mãn
các điều kiện sau:
(1) F là ánh xạ cyclic, tức là F (A) ⊆ B và F (B) ⊆ A;
(2) d(F x; F y) ≤ kd(x, y) và d(F y, F x) ≤ kd(y, x), trong đó k ∈
[0, 1).
Khi đó, F có duy nhất điểm bất động trong A ∩ B.
Chứng minh. Với mỗi x ∈ A ∪ B, từ (1) và (2) suy ra
d(F x, F 2 x) ≤ kd(x, F x) và d(F 2 x, F x) ≤ kd(F x, x).

19

(2.5)


Mặt khác, vì A và B đóng trong X nên A∪B và A∩B đóng trong X. Do
X đầy đủ nên A∪B và A∩B đầy đủ. Theo cách chứng minh của Bổ đề
2.1.2 thì {F n x} là dãy Cauchy trong A ∪ B. Do đó, F n x → z ∈ A ∪ B.
Từ (1) và cách xây dựng dãy {F n x} thì có một dãy con nằm trong A
và một dãy con nằm trong B. Vì A và B đóng và hai dãy con này hội
tụ tới z nên z ∈ A ∩ B. Như vậy, A ∩ B = ∅ và đầy đủ. Từ (2.5) suy ra
F|A∩B thỏa mãn Bổ đề 2.1.2. Do đó, F có điểm bất động trong A ∩ B.
Giả sử x và y là hai điểm bất động của F trong A ∩ B. Khi đó

d(x, y) = d(F x, F y) ≤ kd(x, y).
Vì k ∈ [0, 1) nên x = y. Vậy điểm bất động của F là duy nhất.
2.1.5 Hệ quả. Cho A và B là hai tập con đóng khác rỗng của không
gian tựa mêtric Hausdorff đầy đủ X. Cho f : A → B và g : B → A là
hai hàm số sao cho
d(f x, gy) ≤ kd(x, y) và d(gy, f x) ≤ kd(y, x), ∀x ∈ A, y ∈ B,

(2.6)

trong đó k ∈ [0, 1). Khi đó, tồn tại duy nhất x0 ∈ A ∩ B sao cho
f x0 = gx0 = x0
Chứng minh. Ta xác định ánh xạ F : A ∪ B → A ∪ B bởi

 f x nếu x ∈ A;
Fx =

gx nếu x ∈ B.
Khi đó F thỏa mãn điều kiện của Định lý 2.1.4. Do đó F có duy nhất
điểm bất động x0 ∈ A ∩ B. Mặt khác từ (2.6) suy ra f x = gx nếu
x ∈ A ∩ B. Do đó, F x0 = f x0 = gx0 .
20


Định lý sau đây cho thấy Định lý 2.1.4 được mở rộng cho ánh xạ
p-cyclic với p là số tự nhiên khác 0 bất kỳ.
2.1.6 Định lý. Cho {Ai }pi=1 là họ các tập con đóng khác rỗng của
p

p

Ai →

không gian tựa mêtric Hausdorff đầy đủ X, và F :
i=1

Ai thỏa
i=1

mãn các điều kiện sau:
(1) F (Ai ) ⊆ Ai+1 với 1 ≤ i ≤ p (hay F là ánh xạ p-cyclic);
(2) ∃k ∈ [0, 1) sao cho d(F x, F y) ≤ kd(x, y) và d(F y, F x) ≤
kd(y, x), với mọi x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , với mọi i = 1, 2, ..., p, trong đó
Ap+1 = A1 .
Khi đó, F có duy nhất điểm bất động.
p

Chứng minh. Lấy x0 ∈

Ai và xác định dãy {xn } ⊂ X bởi
i=1

x1 = F x0 , x2 = F x1 = F 2 x0 , ..., xn = F xn−1 = F n x0 , ....
p

Từ điều kiện (1) suy ra {xn } ⊂

Ai và nếu xn ∈ Ai thì xn+1 ∈ Ai+1
i=1

với i nào đó thuộc {1, 2, ..., n}. Do đó theo điều kiện (2) ta có

d (xn , xn+1 ) = d (F xn−1 , F xn ) ≤ kd (xn−1 , xn ) , ∀n = 1, 2, ....
Từ đó suy ra
d (xn , xn+1 ) ≤ kd (xn−1 , xn ) ≤ k 2 d (xn−2 , xn−1 )
≤ ... ≤ k n d (x0 , x1 ) , ∀n = 1, 2, ...
Do đó với mọi n = 1, 2, ... và j = 0, 1, 2, ... ta có
d (xn , xn+j ) ≤ d (xn , xn+1 ) + d (xn+1 , xn+2 ) + ... + d (xn+j−1 , xn+j )
≤ k n + k n+1 + ... + k n+j−1 d (x0 , x1 )
j
n 1−k
=k .
d (x0 , x1 )
1−k
21


kn
d (x0 , x1 ) → 0 khi n → ∞ (k ∈ [0, 1)).
1−k
Tương tự, với mọi j = 0, 1, 2, ... ta có
≤

kn
d (x1 , x0 ) → 0 khi n → ∞.
d (xn+j , xn ) ≤
1−k
Vì thế {xn } là dãy Cauchy. Vì X đầy đủ nên tồn tại x ∈ X sao cho
p

Ai và nếu xn ∈ Ai thì xn+1 ∈ Ai+1

xn → x. Mặt khác, từ {xn } ⊂
i=1

suy ra {xn } có p dãy con {xim }m∈N∗ sao cho {xim }m∈N∗ ⊂ Ai với i =
1, 2, ..., p. Vì Ai đóng với mọi i = 1, 2, ..., p và {xim }m∈N∗ → x khi
p

n → ∞ nên x ∈

Ai đóng và khác rỗng. Vì X đầy đủ

Ai . Do đó,
i=1

p

p
i=1

Ai đầy đủ.

nên
i=1

p

Từ điều kiện (2) suy ra F thu hẹp trên

Ai là ánh xạ co kiểu
i=1

Banach. Do đó, theo Định lý 2.1.3, F có duy nhất điểm bất động
p

Ai . Vì F là ánh xạ p-cyclic nên điểm bất động của F thuộc

trong
p

i=1

Ai . Vậy, F có duy nhất điểm bất động.
i=1

Định lý sau đây là mở rộng của Định lí 2.1.6.
2.1.7 Định lý. Giả sử (X, d) là không gian tựa mêtric đầy đủ, A1 , A2 , ..., Ap
p

p

Ai →

là các tập con đóng khác rỗng của X; T :
i=1

Ai là ánh xạ pi=1

cyclic sao cho
d(T x, T y) ≤ g (d(x, y)) d(x, y),
(2.7)

d(T y, T x) ≤ g (d(y, x)) d(y, x)
với mọi x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , với mọi i = 1, 2, ..., p trong đó g : [0, ∞) →
[0, 1) là hàm đơn điệu tăng và Ap+1 = A1 . Khi đó, T có duy nhất điểm
bất động.

22


p

p

Ai và xác định dãy {xn } ⊂

Chứng minh. Lấy x0 ∈

Ai bởi
i=1

i=1

x1 = T x0 , x2 = T x1 , ..., xn+1 = T xn , ...
Vì T là ánh xạ p-cyclic nên từ cách xây dựng {xn } suy ra rằng, nếu
xn ∈ Ai với i ∈ {1, 2, ..., p} thì xn ∈ Ai+1 . Do đó, với mỗi n = 1, 2, ...
ta có
d (xn , xn+1 ) = d (T xn−1 , T xn )
≤ g (d (xn−1 , xn )) d (xn−1 , xn )
≤ d (xn−1 , xn ) , (vì g(d(xn−1 , xn )) ∈ [0, 1)).
Vì g là hàm đơn điệu tăng nên với mỗi n = 1, 2, ... ta có
g (d (xn , xn+1 )) ≤ g (d (xn−1 , xn )) .

Do đó với mỗi n = 1, 2, ... ta có
d (xn , xn+1 ) ≤ g (d (xn−1 , xn )) d (xn−1 , xn )
≤ g (d (xn−1 , xn )) g (d (xn−2 , xn−1 )) d (xn−2 , xn−1 )
≤ g 2 (d (xn−2 , xn−1 )) d (xn−2 , xn−1 )
≤ ... ≤ g n (d (x0 , x1 )) d (x0 , x1 ) .
Do đó với mỗi n = 1, 2, ... và với mọi p = 1, 2, ... ta có
d (xn , xn+p ) ≤ d (xn , xn+1 ) + d (xn+1 , xn+2 ) + ... + d (xn+p−1 , xn+p )
≤

g n (d (x0 , x1 )) + g n+1 (d (x0 , x1 )) + ...
+g n+p−1 (d (x0 , x1 ))

= g n (d (x0 , x1 )) .

d (x0 , x1 )

1 − g n (d (x0 , x1 ))
d (x0 , x1 )
1 − g (d (x0 , x1 ))

g n (d (x0 , x1 ))
≤
d (x0 , x1 ).
1 − g (d (x0 , x1 ))
Vì g(d(x0 , x1 )) ∈ [0, 1) nên suy ra d(xn , xn+p ) → 0 khi n → ∞, với mọi
p = 1, 2, ....
23


Tương tự ta cũng chứng minh được d(xn+p , xn ) → 0 khi n → ∞, với

mọi p = 1, 2, ....
Từ đó suy ra {xn } là dãy Cauchy. Vì X là không gian đầy đủ nên tồn
p

Ai và nếu xn ∈ Ai

tại x ∈ X sao cho xn → x. Mặt khác, từ {xn } ⊂
i=1

thì xn+1 ∈ Ai+1 suy ra xn có p dãy con {xjm }m∈N sao cho {xjm }m∈N với
i = 1, 2, ..., p. Vì Ai đóng với mọi i = 1, 2, ..., p và {xjm }m∈N → x khi
p

p

n → ∞ nên x ∈
i=1

p

Ai đóng và khác rỗng. Vì X đầy đủ

Ai . Do đó,
i=1

Ai đầy đủ.

nên
i=1

p

Từ điều kiện (2.7) suy ra T thu hẹp trên

Ai là ánh xạ co. Do đó,
i=1

theo nguyên lý ánh xạ co Banach, T có duy nhất điểm bất động trong
p

p

Ai . Vì T là ánh xạ p-cyclic nên điểm bất động thuộc
i=1

Ai . Vậy, T
i=1

có duy nhất điểm bất động.
2.1.8 Hệ quả. Cho X là không gian tựa mêtric đầy đủ và F : X → X
là ánh xạ sao cho tồn tại α ∈ S thỏa mãn
d(F x, F y) ≤ α(d(x, y))d(x, y), ∀x, y ∈ X
và
d(F y, F x) ≤ α(d(y, x))d(y, x), ∀x, y ∈ X
với S = {α : [0, +∞) → [0; 1) là hàm đơn điệu tăng }.
Khi đó, F có duy nhất điểm bất động z ∈ X và {F n x} hội tụ đến z với
mỗi x ∈ X.
Chứng minh. Đặt A1 =A2 =...=Ap =X. Khi đó, F thỏa mãn các điều
kiện của Định lý 2.1.7. Do đó F có duy nhất điểm bất động z ∈ X.
Theo cách chứng minh của Định lý 2.1.7 ta có F n x → z với mỗi

24


x ∈ X.

2.2

Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic
co kiểu Kannan và kiểu Chatterjea

Trong mục này, chúng tôi mở rộng một số kết quả về sự tồn tại điểm
bất động của các ánh xạ cyclic co kiểu Kannan và kiểu Chatterjea trong
không gian mêtric cho không gian tựa mêtric.
2.2.1 Định nghĩa. ([7]) Trong không gian mêtric (X, d), ánh xạ T :
X → X được gọi là ánh xạ co kiểu Kannan nếu tồn tại α ∈ 0, 21 sao
cho
d(T x, T y) ≤ α (d(x, T x) + d(y, T y))
với mọi x, y ∈ X.
2.2.2 Định nghĩa. ([6]) Trong không gian mêtric (X, d), ánh xạ T :
X → X được gọi là ánh xạ co kiểu Chatterjea nếu tồn tại α ∈ 0, 12
sao cho
d(T x, T y) ≤ α (d(x, T y) + d(y, T x))
với mọi x, y ∈ X.
2.2.3 Định lý. Cho {Ai }pi=1 là họ các tập con đóng khác rỗng của
p

p

Ai →

không gian tựa mêtric đầy đủ X và T :
i=1

Ai là ánh xạ cyclic
i=1

tức là
T (Ai ) ⊂ Ai+1 , i = 1, 2, ...p
trong đó Ap+1 = A1 .

25

(2.8)