Về không gian các dãy modular nhận giá trị trong không gian định chuẩn

1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1

Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định
chuẩn và không gian modular

4

1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn .

8

1.3. Không gian modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Không gian dãy modular nhận giá trị trong không gian
định chuẩn

13

2.1. Xây dựng không gian các dãy modular nhận giá trị trong không
gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Một số tính chất của không gian con của không gian l(Mn ) (E) . 21
Kết luận

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Tài liệu tham khảo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30


2

MỞ ĐẦU

Trong giải tích hàm, lớp không gian tuyến tính định chuẩn có vai trò
quan trọng là lớp không gian các dãy. Không gian các dãy cổ điển được xét
với dãy nhận giá trị trong trường vô hướng, các tính chất của không gian
các dãy là những ví dụ khá điển hình của giải tích hàm cổ điển. Trong [6]
sử dụng ý tưởng của Orlicz các tác giả J. Lindenstrauss và L. Tzafriri đã
xây dựng không gian tuyến tính định chuẩn các dãy nhận giá trị vô hướng
từ dãy các hàm Orlicz, lớp không gian này được gọi là không gian các dãy
modular. Đây là lớp không gian mở rộng không gian các dãy Orlicz. Các
tính chất của các không gian dãy modular cũng được nghiên cứu khá sâu
sắc thông qua cấu trúc của dãy các hàm Orlicz bởi J . Lindenstrauss và
L. Tzafriri.
Mục đích của luận văn là xây dựng không gian các dãy modular nhận

giá trị trong không gian định chuẩn, vì vậy chúng tôi lựa chọn đề tài: Về
không gian các dãy modular nhận giá trị trong không gian định chuẩn.
Nội dung của luận văn trình bày một số kết quả đã biết về không gian
định chuẩn các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn, xây dựng
không gian các dãy modular nhận giá trị trong không gian định chuẩn và
đưa ra một số tính chất của chúng.
Chương 1. Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định
chuẩn và không gian modular
Chương này nhằm mục đích trình bày về không gian các dãy nhận giá
trị trong không gian định chuẩn; hàm Orlicz và không gian các dãy số
modular


3

Chương 2. Không gian dãy modular nhận giá trị trong không gian định
chuẩn
Chương này nghiên cứu cách xây dựng và một số tính chất của không
gian các dãy modular nhận giá trị trong không gian định chuẩn. Nội dung
trình bày trong chương này được chúng tôi đề xuất dựa trên phương pháp
của J. Lindenstrauss và L. Tzafriri đã thực hiện cho trường vô hướng.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
của Thầy giáo T.S. Kiều Phương Chi. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc nhất đến thầy. Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ
nhiệm Khoa Sư phạm Toán học, Ban lãnh đạo Phòng Sau đại học, quí
Thầy Cô trong tổ Giải tích khoa Sư phạm Toán học -Trường Đại học Vinh
đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Cuối
cùng xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu Trường Đại học tài nguyên và
Môi trường Thành phố Hồ Chí Minh, gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc
biệt là các học viên cao học khóa 21 Toán Giải tích tại Trường Đại học

Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong
suốt quá trình học tập. Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng nhưng vì năng lực
còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả
rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của các thầy cô và những
góp ý của bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 10 năm 2015

Danh Ni


4

CHƯƠNG 1
KHÔNG GIAN CÁC DÃY NHẬN GIÁ TRỊ TRONG
KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VÀ KHÔNG GIAN
MODULAR

Chương này trình bày những kiến thức cơ sở cần dùng về sau, đặc biệt
là lớp không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn và
không gian các dãy modular.
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này nhắc lại một số kết quả về không gian định chuẩn, không gian
Banach cần dùng về sau. Các kết quả này có thể tìm thấy trong [3].
1.1.1 Định nghĩa. Cho E là không gian tuyến tính trên trường K. Hàm
. : E → R được gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mãn các điều kiện

sau:
1) x

0, với mọi x ∈ E và x = 0 khi và chỉ khi x = 0;

2) λx = |λ| x , với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ E ;
3) x + y

x + y , với mọi x, y ∈ E .

Khi đó (E, . ) được gọi là một không gian định chuẩn.
Không gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn
d(x, y) = x − y , ∀x, y ∈ E . Không gian định chuẩn E được gọi là không

gian Banach nếu E đầy đủ với mêtric sinh bởi chuẩn. Với tôpô sinh bởi
mêtric sinh bởi chuẩn các phép toán cộng và nhân vô hướng trên E là liên
tục.


5

Cho E, F là các không gian định chuẩn. Ký hiệu L(E, F ) là tập hợp
các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F . Ta đã biết L(E, F ) là không
gian định chuẩn với chuẩn
f = sup

f (x) , ∀f ∈ L(E, F ).

x =1

Nếu F là không gian Banach thì L(E, F ) là không gian Banach. Đặc biệt,
L(E, K) := E ∗ là không gian liên hợp thứ nhất của E cũng là không gian

Banach.
Các lớp không gian Banach quen thuộc sau được quan tâm nhiều trong
luận văn của chúng tôi.
1.1.2 Ví dụ. Giả sử K là trường các số thực hoặc các số phức. Ký hiệu
l∞ = x = (xn ) ⊂ K : (xn ) là dãy bị chặn ;
C = x = (xn ) ⊂ K : (xn ) là dãy hội tụ ;
C0 = x = (xn ) ⊂ K : lim xn = 0 ;
n→∞

và

∞

|xn |p < ∞ , p

lp = x = (xn ) ⊂ K :

1.

n=1

Với các phép toán cộng các dãy và nhân một số với một dãy thông thường
ta có l∞ là không gian tuyến tính và C , C0 và lp là các không gian con
của l∞ . Hơn nữa
lp ⊂ C0 ⊂ C ⊂ l∞ .

Ta đã biết l∞ là không gian Banach với chuẩn xác định bởi
x = sup |xn |, ∀x ∈ l∞ .

(1.1)

n 1

Đặc biệt C0 , C là các không gian con đóng của l∞ , vì thế chúng cũng là
các không gian Banach với chuẩn trên. Tuy nhiên lp không đóng trong l∞ .


6

Đối với lp , người ta xét chuẩn xác định bởi công thức
∞

x

p

|xn |p

=

1/p

, ∀x ∈ lp .

(1.2)

n=1

Khi đó, lp cũng là một không gian Banach.
1.1.3 Định nghĩa. Cho (X, d), (Y, ρ) là các không gian mêtric và ánh

xạ f : X → Y .
1) ánh xạ f được gọi là liên tục nếu với mọi dãy {xn } ⊂ X và xn → x
thì f (xn ) → f (x).
2) ánh xạ f được gọi là liên tục đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ = δ(ε)
sao cho:
ρ(f (x), f (y)) < ε, ∀x, y ∈ X, d(x, y) < δ.

Ta chứng minh được mọi ánh xạ liên tục đều là liên tục. Mệnh đề ngược
lại là không đúng.
1.1.4 Định nghĩa. Cho d, ρ là các mêtric trên X .
1) d và ρ được gọi là tương đương nếu ánh xạ đồng nhất id : (X, d) →
(X, ρ) và ánh xạ ngược của nó liên tục.

2) d và ρ được gọi là tương đương đều nếu ánh xạ đồng nhất id :
(X, d) → (X, ρ) và ánh xạ ngược của nó liên tục đều.

Người ta chứng minh được d và ρ là tương đương đều nếu và chỉ nếu
tồn tại a, b > 0 sao cho
ad(x, y)

ρ(x, y)

bd(x, y)

với mọi x, y ∈ X .
Hai chuẩn .

1

và .

2

trên không gian tuyến tính E được gọi là tương

đương nếu tồn tại a, b > 0 sao cho
a x

1

x

2

b x

1

với mọi x ∈ E . Rõ ràng hai chuẩn tương đương sinh tương ứng ra hai
mêtric tương đương đều.


7

1.1.5 Định lý. Nếu E, F là các không gian định chuẩn và f : E → F
là một song ánh. Khi đó, nếu
m x

f (x)

M x

với mọi x ∈ E thì f là một đẳng cấu.
Như vậy, nếu hai chuẩn .

1

và .

2

trên không gian tuyến tính E là

tương đương thì (E, . 1 ) và (E, . 2 ) là đẳng cấu.
Sau đây, ta nhắc lại khái niệm về hàm lồi. Các kết quả sau có thể tìm
thấy ở trong [1].
1.1.6 Định nghĩa. Cho hàm thực f : (a, b) → R. Hàm f được gọi là lồi
nếu
f λx + (1 − λ)y

với mọi x, y ∈ (a, b) và 0

λ

λf (x) + (1 − λ)f (y)

(1.3)

1.

1.1.7 Nhận xét. Điều kiện (1.3) tương đương với điều kiện sau:
f (t) − f (s)
f (u) − f (t)
(1.4)
t−s
u−t
với mọi a < s < t < u < b.
1.1.8 Mệnh đề. Cho f : (a, b) → R là hàm lồi và c ∈ (a, b). Khi đó,
f (x) − f (c)
hàm p : (a, b) \ {c} → R xác định bởi p(x) =
là không
x−c
giảm.
Ngược lại, nếu với mọi c ∈ (a, b) hàm p không giảm thì f là hàm
lồi.
1.1.9 Hệ quả. Giả sử f là hàm khả vi trên (a, b). Khi đó, f là lồi khi
và chỉ khi f là hàm đơn điệu tăng trên (a, b).
1.1.10 Hệ quả. Nếu f : (a, b) → R có đạo hàm cấp 2 trên (a, b) và
f (x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) thì f là hàm lồi.

1.1.11 Ví dụ. Từ hệ quả trên ta thấy hàm f (x) = ex lồi trên R và
y = xp là các hàm lồi trên (0, ∞) với p

1.


8

1.2. Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định
chuẩn

Các kết quả trong mục này cơ bản đã được trình bày ở dạng tổng quát
trong [5]. Để tiện cho việc trình bày các kết quả chính trong chương 2
chúng tôi trình bày lại theo mục đích của mình. Giả sử E là không gian
định chuẩn trên trường K. Ký hiệu
l∞ (E) = x = (xn ) ⊂ E : ( xn ) : là dãy số bị chặn ;
C(E) = x = (xn ) ⊂ E : (xn ) hội tụ ;
C0 (E) = x = (xn ) ⊂ E : lim xn = 0 ;
n→∞

và

∞

lp (E) = x = (xn ) ⊂ E :

xn

p

< ∞ ,p

1.

n=1

Với các phép toán cộng các dãy và nhân một số với một dãy thông thường
ta có l∞ (E) là không gian tuyến tính và C(E), C0 (E) và lp (E) là các
không gian con của l∞ (E). Hơn nữa
lp (E) ⊂ C0 (E) ⊂ C(E) ⊂ l∞ (E).

Nếu E = K thì ta nhận được các không gian đã trình bày ở Ví dụ 1.1.2.
1.2.1 Định lý. ([5]) l∞ (E) là không gian định chuẩn với chuẩn được
xác định bởi
x = sup xn ,

(1.5)

n 1

với mọi x ∈ l∞ (E). Hơn nữa, nếu E là không gian Banach thì l∞ (E)
là không gian Banach.
Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra được (1.5) là một chuẩn trên l∞ (E). Ta
chứng minh phần còn lại của định lý. Giả sử E là không gian Banach và


9

(xk ) ⊂ l∞ (E) là dãy Cauchy. Khi đó, với mọi ε > 0 tồn tại k0 sao cho
xk − xl = sup xkn − xln < ε, ∀k, l

k0 .

(1.6)

n 1

Suy ra, với mỗi n = 1, 2, ... ta có
xkn − xln < ε

với mọi k, l

k0 , tức là dãy (xkn )∞
k=1 là dãy Cauchy trong E . Vì E là

không gian Banach nên lim xkn = xn ∈ E , với mỗi n = 1, 2, ... Đặt
k→∞

k0 cho l → ∞ ta nhận

x = (x1 , x2 , ..., xn , ...). Khi đó, từ (1.6) cố định k

được
sup xkn − xn < ε, ∀k

(1.7)

k0 ,

n 1

tức là xk − x < ε với mọi k

k0 , hay xk → x khi k → ∞. Từ (1.7) suy

ra xkn0 − xn < ε với mọi n. Vì vậy
xn

xkn0 − xn + xkn0 < c < ∞

với mọi n, tức là x ∈ l∞ (E). Như vậy l∞ (E) là không gian Banach.
1.2.2 Định lý. ([5]) C(E) và C0 (E) là các không gian con đóng của
l∞ (E). Đặc biệt, nếu E là không gian Banach thì C(E) và C0 (E) cũng

vậy.
Chứng minh. Ta chứng minh C0 (E) đóng trong l∞ (E). Giả sử (xk ) ⊂
C(E) và xk → x trong l∞ (E). Khi đó, với mỗi ε > 0 tồn tại k0 sao cho
xk − x = sup xkn − xn < ε, ∀k

k0 .

(1.8)

n 1

Vì xk0 ∈ C0 (E) nên tồn tại n0 sao cho
xkn0 < ε, ∀n

n0 .

Từ (1.8) và (1.9) ta nhận được
xn

xkn0 − xn + xkn0 < 2ε

(1.9)


10

n0 , tức là x ∈ C0 (E). Vì thế C0 (E) đóng trong l∞ (E). Nếu

với mọi n

E là không gian Banach thì l∞ (E) cũng là không gian Banach. Do đó,

không gian con đóng C0 (E) của nó cũng là không gian Banach. Chứng
minh tương tự ta được kết luận cho C(E).
1.2.3 Định lý. ([5]) lp (E) là không gian định chuẩn với chuẩn xác
định bởi

∞

x

p

=

xn

1/p

p

, ∀x ∈ lp (E).

(1.10)

n=1

Hơn nữa, nếu E là không gian Banach thì lp (E) là không gian Banach.
Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra được (1.10) là một chuẩn trên l∞ (E). Ta
chứng minh phần còn lại của định lý. Giả sử E là không gian Banach và
(xk ) ⊂ l∞ (E) là dãy Cauchy. Khi đó, với mọi ε > 0 tồn tại k0 sao cho
∞
k

l

x −x

p

xkn − xln

=

1/p

p

< ε, ∀k, l

k0 .

(1.11)

n=1

Suy ra, với mỗi n = 1, 2, ... ta có
xkn − xln

với mọi k, l

p

<ε

k0 , tức là dãy (xkn )∞
k=1 là dãy Cauchy trong E . Vì E là

không gian Banach nên lim xkn = xn ∈ E , với mỗi n = 1, 2, ... Đặt
k→∞

k0 cho l → ∞ ta

x = (x1 , x2 , ..., xn , ...). Khi đó, từ (1.11) cố định k

nhận được

∞

xkn

− xn

p

1/p

< ε, ∀k

k0 ,

(1.12)

n=1

tức là xk − x

p

< ε với mọi k

k0 , hay xk → x khi k → ∞. Từ (1.12)

suy ra xkn0 − x ∈ lp (E). Vì vậy x = xk0 − (xk0 − x) ∈ lp (E). Như vậy lp (E)
là không gian Banach.


11

1.3. Không gian modular

Mục này trình bày khái niệm, ví dụ về hàm Orlicz và không gian các dãy
số modular.
1.3.1 Định nghĩa. ([6]) Hàm M : [0, +∞) → R được gọi là hàm Orlicz
nếu
1) M là hàm không giảm, liên tục;

2) M (0) = 0 và lim M (t) = ∞;
t→∞

3) M là hàm lồi.
Hàm Orlicz M gọi là suy biến nếu tồn tại t > 0 sao cho M (t) = 0.
1.3.2 Ví dụ. Các hàm M (t) = tp ; M (t) = tet là hàm Orlicz.
Giả sử (Mn ) là dãy các hàm Orlicz và K là trường số thực hoặc số
phức. Ta ký hiệu
∞

l(Mn ) = x = (xn ) ⊂ K :

M
n=1

|xn |
ρ

< ∞, với ρ > 0 nào đó .

1.3.3 Định lý. ([6]) l(Mn ) là không gian Banach với các phép toán
cộng các dãy và nhân một số với một dãy thông thường và chuẩn xác
định bởi

∞

x = inf ρ > 0 :

Mn
n=1

|xn |
ρ

1 ,

với mọi x ∈ l(Mn ) .
Không gian định chuẩn l(Mn ) được gọi là không gian modular hay
không gian các dãy modular. Đặc biệt, nếu dãy (Mn ) là dãy hằng, tức là
Mn = M với mọi n thì không gian modular là không gian Orlicz.

Với mỗi dãy các hàm Orlicz (Mn ), ta đặt
∞

h(Mn ) = x = (xn ) ⊂ K :

Mn
n=1

|xn |
< ∞ với mọi ρ > 0 .
ρ

Khi đó, người ta thu được các kết quả sau.


12

1.3.4 Định lý. ([6]) h(Mn ) là không gian con đóng của l(Mn ) .
1.3.5 Định lý. ([6]) Nếu Mn (t) = tp với p

l(Mn ) = h(Mn ) = lp .

1 và với mọi n thì


13

CHƯƠNG 2
KHÔNG GIAN DÃY MODULAR NHẬN GIÁ TRỊ TRONG
KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

Chương này, nghiên cứu cách xây dựng và một số tính chất của không
gian các dãy modular nhận giá trị trong không gian định chuẩn. Các kết
quả của chương này do chúng tôi đề xuất dựa trên các kết quả đã biết đối
với dãy nhận giá trị vô hướng đã trình bày trong tài liệu [6].
2.1. Xây dựng không gian các dãy modular nhận giá trị trong
không gian định chuẩn

Mục này, nghiên cứu phương pháp xây dựng không gian các dãy modular nhận giá trị trong không gian định chuẩn. Giả sử (Mn ) là dãy các
hàm Orlicz và E là một không gian định chuẩn trên trường K. Ta ký hiệu
∞

l(Mn ) (E) = x = (xn ) ⊂ E :

Mn
n=1

xn
ρ

< ∞, với ρ > 0 nào đó .

2.1.1 Định lý. Nếu E là không gian định chuẩn thì l(Mn ) (E) ⊂ l∞ (E).
Chứng minh. Giả sử l(Mn ) (E)

l∞ (E). Khi đó tồn tại x = (xn ) ∈

l(Mn ) (E) không bị chặn. Ta có thể giả thiết xn
x ∈ l(Mn ) (E) nên tồn tại ρ > 0 sao cho

> n với mọi n. Vì
xn
∞
M
< ∞. Suy
n
n=1
ρ

xn
< k với mọi n. Lấy t0 ∈ (0, ∞) sao
ρ
cho Mn (t0 ) > k với mọi n. Vì lim xn = ∞ nên tồn tại n0 sao cho

ra tồn tại k sao cho Mn

n→∞


14

x n0
> t0 . Kéo theo
ρ
x n0
ρ

Mn0

> Mn0 (t0 ) > k.

Điều này mâu thuẫn với
xn
ρ

Mn


với mọi n. Vậy l(Mn ) (E) ⊂ l∞ (E).
2.1.2 Định lý. l(Mn ) (E) là không gian tuyến tính với các phép toán
cảm sinh từ l∞ (E).
Chứng minh. Giả sử x = (xn ), y = (yn ) ∈ l(Mn ) (E). Khi đó, tồn tại
ρ1 , ρ2 > 0 sao cho
∞

Mn
n=1

xn

ρ1

∞

< ∞,

Mn
n=1

yn
ρ2

< ∞.

Lấy ρ = ρ1 + ρ2 ta có
Mn

xn + y n
ρ

xn + yn
ρ1 + ρ2
xn + yn
≤ Mn
ρ1 + ρ 2
ρ1
xn
ρ2
yn
.

+
.
= Mn
ρ1 + ρ 2 ρ1
ρ1 + ρ 2 ρ 2
ρ1
xn
ρ2
≤
Mn
+
Mn
ρ1 + ρ2
ρ1
ρ1 + ρ 2
= Mn

yn
ρ2

.

Suy ra
∞

Mn
n=1

x n + yn
ρ

Tức là x + y ∈ l(Mn ) .

ρ1
<
ρ1 + ρ2

∞

Mn
n=1

xn
ρ1

ρ2
+
ρ1 + ρ2

∞

Mn
n=1

yn
ρ2

< ∞.

15

Nếu λ = 0 thì λx = (0, 0, ..., 0, ...) ∈ l(Mn ) . Nếu λ = 0 thì với ρ = |λ|ρ1
ta có
∞

Mn
n=1

λxn
ρ

∞

=

Mn
n=1

∞

|λ| . xn
ρ

=

Mn
n=1

xn

ρ1

< ∞.

Suy ra λx ∈ l(Mn ) . Vì vậy l(Mn ) là không gian tuyến tính.
2.1.3 Định lý. l(Mn ) (E) là không gian định chuẩn với chuẩn xác định
bởi công thức
∞

x = inf ρ > 0 :

xn
ρ

Mn
n=1

1 ,

với mọi x ∈ l(Mn ) (E).
Chứng minh. Với mỗi x ∈ l(Mn ) (E), thì rõ ràng x = inf ρ > 0 :
∞
xn
Mn
1
0. Ta cần chỉ ra x = 0 khi và chỉ khi x =
ρ
n=1
xn
) =

0. Thật vậy, nếu x = 0, tức là x = (0, ..., 0, ...). Khi đó, Mn (
ρ
0
Mn ( ) = 0 với mọi ρ và vì thế
ρ
x = inf{ρ > 0} = 0.

Nếu x = 0 thì ta chỉ ra x = 0. Giả sử ngược lại x = 0 nhưng x = 0.
Khi đó, vì x = (x1 , x2 , ..., xn , ...) = 0 nên tồn tại n0 sao cho xn0 = 0, suy
ra xn0 > 0. Vì Mn0 là hàm Orlicz nên lim Mn0 (t) = ∞. Do đó, tồn tại
t→∞

t0 > 0 sao cho Mn0 (t0 ) > 1. Từ giả thiết
∞

x = inf ρ > 0 :

Mn

xn
ρ

1 = 0,

Mn

xn
ρ

1}

n=1

suy ra tồn tại

∞

ρ0 ∈ {ρ > 0 :
n=1


16

sao cho

x n0
> t0 . Do đó
ρ0

Ta thu được

Mn0 (

x n0
)
ρ0

Mn0 (t0 ) > 1.

Mn

xn
ρ0

Mn0 (

∞
n=1

xn0
) > 1.
ρ0

Điều này mâu thuẫn với
∞

ρ0 ∈ {ρ > 0 :

xn
ρ

Mn
n=1

1}.

Vì vậy x = 0 thì x = 0. Do đó, x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Để kiểm tra điều kiện tiếp theo của chuẩn ta cần nhận xét sau: Nếu
x = 0 thì

∞

Mn
n=1

xn
x

(2.1)

1.

Thật vậy, với mọi ε > 0 tồn tại ρ > 0 sao cho ρ
∞

Mn
n=1

xn
ρ

x + ε và

1.

Do tính không giảm của hàm M ta suy ra
∞

Mn
n=1

xn
x +ε

∞

xn
ρ

Mn
n=1

1.

Cho ε → 0 ta nhận được
∞

Mn
n=1

xn
x

1.

Tiếp theo ta chỉ ra λx = |λ| x với mọi x ∈ l(Mn ) (E) và với mọi
λ ∈ K. Trường hợp λ = 0 hoặc x = 0 là hiển nhiên. Nếu λ = 0 và x = 0


17

thì

∞

λx = inf

ρ >0:

Mn

λxn
ρ

Mn

|λ| xn
ρ

n=1
∞

= inf

ρ >0:
n=1

Đặt ρ =

1

1

.

ρ
. Khi đó ta có
|λ|
∞

λx = inf

Mn

xn
ρ

1

Mn

xn
ρ

1

Mn

xn
ρ

1

Mn

yn
ρ

ρ|λ| :
n=1
∞

= |λ| inf

ρ:
n=1

= |λ| x .

Cuối cùng, với x, y ∈ l(Mn ) (E) ta đặt
∞

u = x = inf

ρ:
n=1

và

∞

v = y = inf

ρ:
n=1

Khi đó

∞

Mn
n=1

Giả sử t, s ∈ R sao cho s
∞

Mn
n=1

và

∞

Mn
n=1

∞

xn
x

1 và

xn
s
yn
t

.

yn
y

Mn
n=1

u và t

1

1.

v . Khi đó, ta có
∞

Mn

xn
x

1

Mn

yn
y

1.

n=1
∞
n=1


18

Mặt khác ta có
xn + yn
s xn
t
yn
=
+
.
t+s
s+t s
s+t t

Suy ra
xn + y n

s+t
s
xn
t
Mn
Mn
+
s+t
s
s+t
t
s
+
= 1.
s+t s+t

x n + yn
s+t

Mn

Mn

Do đó

∞

s+t∈

ρ:

Mn
n=1

xn + yn
ρ

1

yn
t

.

Vì vậy
∞

x + y = inf

ρ:

Mn
n=1

xn + y n
ρ

1

s + t.

(2.2)

Vì (2.2) đúng với mọi s > x và t > y nên ta thu được
x+y

x + y .

Do đó l(Mn ) (E) là không gian định chuẩn.
Để chứng minh tính Banach của l(Mn ) (E) ta cần bổ đề sau.
2.1.4 Bổ đề. Nếu dãy (xk ) ⊂ l(Mn ) (E), trong đó xk = (xk1 , ..., xkn , ...), k =
1, 2, ... hội tụ tới 0 trong l(Mn ) (E) thì lim xkn = 0 trong E với mọi
k→∞

n = 1, 2, ...

Chứng minh. Giả sử khẳng định không đúng. Khi đó, tồn tại n0 sao cho
dãy (xkn0 ) không hội tụ tới 0 trong E . Vì vậy, tồn tại dãy (kj ) và r > 0
k

sao cho xnj0

r. Ta có


19

∞
kj

x

= inf

k

ρ>0:

Mn
n=1

xnj
ρ

1

.

Suy ra
∞

1

k

k

xnj
xkj

Mn
n=1

Mn0

xnjo
xkj

r
xkj

Mn0

(2.3)

với mọi kj . Cho kj → ∞ với để ý rằng xkj → 0 ta nhận được Mn0

r
xkj

∞. Mâu thuẫn với (2.3). Ta nhận được điều cần chứng minh.

2.1.5 Định lý. Nếu E là không gian Banach thì l(Mn ) (E) là không
gian Banach.
Chứng minh. Giả sử (xk ) là dãy Cauchy trong l(Mn ) (E). Ta cần chỉ ra
(xk ) hội tụ tới x ∈ l(Mn ) (E). Thật vậy, vì (xk ) là dãy Cauchy nên
∞
k

x −x

l

= inf

ρ:

M
n=1

xkn − xln
ρ

1

→0

(2.4)

khi k, l → ∞. Theo Bổ đề 2.1.4 thì với mỗi n = 1, 2, ... ta có
xkn − xln → 0

khi k, l → ∞. Do đó, (xkn ) là dãy Cauchy trong E với mỗi n = 1, 2, .... Vì
E đầy đủ nên lim xkn := xn ∈ E . Đặt x = (x1 , ...., xn , ...). Với mọi ε > 0,
k→∞

từ (2.4) tồn tại k0 sao cho
∞
k

l

x −x

= inf

ρ:

Mn
n=1

với mọi k, l

xkn − xln
ρ

1

k0 . Trong bất đẳng thức trên cố định k

<ε

(2.5)

k0 cho l → ∞ ta

nhận được
∞

inf

ρ:

Mn
n=1

xkn − xn
ρ

1

ε, ∀k

k0 .

(2.6)

→


20

Tiếp theo ta chỉ ra x ∈ l(Mn ) (E). Từ (2.6) suy ra
ta có

∞

xkn0 − xn
ρ

Mn
n=1

xk − x

ε, ∀k

k0 .

1 < ∞,

tức là xk0 − x ∈ l(Mn ) (E). Do l(Mn ) (E) là không gian tuyến tính nên
x = xk0 − (xk0 − x) ∈ l(Mn ) (E).

Ta nhận được xk − x < ε với mọi k > k0 . Tức là xk hội tụ tới x.Ta
nhận được l(Mn ) (E) là không gian Banach.
Ta nhận được hệ quả sau đã được trình bày trong [6].
2.1.6 Hệ quả. l(Mn ) (K) là không gian Banach.
Mệnh đề sau như là ví dụ về không gian modular.
2.1.7 Định lý. Nếu Mn (t) = tp (p

1) thì l(Mn ) (E) = lp (E).

Chứng minh. Ta chia chứng minh thành 2 bước. Bước 1 ta chỉ ra hai tập
hợp l(Mn ) (E) và lp (E) bằng nhau. Bước 2 ta chỉ ra chuẩn xác định trên
chúng trùng nhau.

∞

Lấy x bất kỳ thuộc l(Mn ) . Khi đó

Vì Mn (t) = tp nên ta được

n=1
xn p

∞

ρ

n=1

∞

xn
n=1

p

Mn

xn
ρ

< ∞ với ρ nào đó.

< K < ∞ với ρ nào đó. Do đó

< Kρp < ∞. Vậy x ∈ lp (E). Tức là l(Mn ) (E) ⊂ lp (E). Chiều

ngược lại suy trực tiếp từ định nghĩa.

Bây giờ, ta chỉ ra x = x

p

với mọi x ∈ l(Mn ) (E). Thật vậy, với mọi


21

x ∈ l(Mn ) (E) ta có
∞

x = inf ρ > 0 :

xn
ρ

Mn
n=1
∞

= inf ρ > 0 :

xn

p

1
ρp

n=1
∞

= inf ρ > 0 :

xn

p

1/p

ρ

n=1

= inf ρ > 0 : x

p

ρ} = x p .

2.2. Một số tính chất của không gian con của không gian l(Mn ) (E)

Mục này dành cho nghiên cứu một số tính chất của một không gian
con quan trọng của l(Mn ) (E).
Với mỗi dãy hàm Orlicz Mn và không gian định chuẩn E ta đặt
∞

h(Mn ) (E) = x = (xn ) ⊂ E :

Mn
n=1

xn
ρ

< ∞ với mọi ρ > 0 .

2.2.1 Định lý. h(Mn ) (E) là không gian con đóng của l(Mn ) (E).
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh h(Mn ) (E) là không gian con của
l(Mn ) (E). Giả sử x, y ∈ h(Mn ) (E) và α ∈ K. Khi đó, nếu α = 0 thì
αx = 0 ∈ h(Mn ) (E).

∞

Nếu α = 0 thì từ

Mn
n=1

có

∞

Mn
n=1

Khi đó αx ∈ h(Mn ) (E).

xn

ρ

xn
ρ

< ∞ với mọi ρ > 0 ta lấy ρ =
∞

=

Mn
n=1

αxn
ρ

< ∞.

ρ
ta
|α|


22
∞

Từ chứng minh trên ta suy ra 2x, 2y ∈ h(Mn ) (E). Do đó
∞

2yn

ρ
n=1
lồi của hàm M ta có

∞ và

Mn

Mn

M
n=1

2xn
ρ

< ∞ với mọi ρ > 0. Với mọi n = 1, 2, ..., từ tính

xn + yn
ρ
1 2xn
1 2yn
= Mn
+
2 ρ
2 ρ
2xn
1
1
+ Mn

Mn
2
ρ
2

xn + yn
ρ

Mn

2xn
ρ

.

Do đó
∞

Mn
n=1

xn + yn
ρ

1
2

∞

2xn

ρ

Mn
n=1

1
+
2

∞

Mn
n=1

2yn
ρ

< ∞.

Vì vậy x + y ∈ h(Mn ) (E).
Tiếp theo ta chứng minh h(Mn ) (E) đóng trong l(Mn ) (E). Giả sử (xk )
là dãy trong h(Mn ) (E) và xk hội tụ tới x trong l(Mn ) (E). Khi đó, với mọi
ε > 0 tồn tại k0 sao cho
∞
k

x − x = inf ρ > 0 :

Mn
n=1

với mọi k

xkn − xn
ρ

1 <

ε
2

k0 . Vì vậy
∞

Mn
n=1

xkn0 − xn
ε
2

1.

(2.7)

Mặt khác, vì xk0 ∈ h(Mn ) (E) nên
∞

Mn
n=1

xkn0
ε
2

< ∞.

(2.8)

<


23

Do tính không giảm và lồi của hàm Mn ta có
Mn

xn
ε

Mn
1
Mn
2

xkn0 − xn
xkn0
+
ε
ε

k
xn0 − xn
1
+ Mn
ε
2
2

xkn0
ε
2

(2.9)

với mọi n. Từ (2.7), (2.8) và (2.9) ta nhận được
∞

Mn
n=1

xn
ε

< ∞.

Vì ε > 0 tùy ý nên ta có được x = (xn ) ∈ h(Mn ) (E).
Ta nhận ngay hệ quả sau.
2.2.2 Hệ quả. Nếu E là không gian Banach thì h(Mn ) (E) là không
gian Banach.
Chúng tôi đề xuất định nghĩa sau cho dãy hàm Orlicz.

2.2.3 Định nghĩa. Dãy hàm Orlicz (Mn ) được gọi là suy biến đều
nếu Mn suy biến với mỗi n, inf{t > 0 : Mn (t) = 0 với mọi n} > 0 và
sup{t > 0 : Mn (t) < 1 với mọi n} < ∞.

Ví dụ sau cho một dãy hàm Orlicz suy biến đều.
2.2.4 Ví dụ. Xét dãy hàm (Mn ) xác định bởi
Mn (t) =

0
nếu 0 t
n+2
(t − 1)
nếu t > 1.

1

Khi đó, dễ dàng kiểm tra được Mn (t) là Orlicz với mọi n và inf{t > 0 :
Mn (t) = 0} = 1 và sup{t > 0 : Mn (t) < 1 với mọi n}

2. Vì vậy, (Mn )

là dãy hàm Orlicz suy biến đều.
Ví dụ sau cho thấy dãy hàm Orlicz suy biến có thể không suy biến đều.


24

2.2.5 Ví dụ. Xét dãy hàm (Mn ) xác định bởi



0
nếu 0
Mn (t) =
1 2n

 t−
nếu t >
n

t
1
.
n

1
n

Khi đó, dễ dàng kiểm tra được Mn (t) là Orlicz với mọi n và inf{t > 0 :
Mn (t) = 0} = 0. Vì vậy, (Mn ) là dãy hàm Orlicz suy biến không đều.

2.2.6 Định lý. Nếu Mn là dãy hàm Orlicz suy biến đều thì
1) l(Mn ) (E) đẳng cấu với l∞ (E);
2) h(Mn ) (E) đẳng cấu với C0 (E).
Chứng minh. 1) Từ Định lý 2.1.1 ta có l(Mn ) (E) ⊂ l∞ (E). Giả sử (Mn )
suy biến đều. Đặt T0 = inf{t > 0 : Mn (t) = 0 với mọi n} > 0. Khi đó
Mn (t) = 0 với mọi t < T0 và với mọi n. Với mọi x = (xn ) ∈ l∞ (E) ta đặt
k = sup xn < ∞.
n 1

Lấy ρ =

2k
ta thu được
T0
xn
T0 xn
=
ρ
2k

T0
2

với mọi n. Từ tính chất không giảm của Mn (t) ta có
0

xn
ρ

Mn
∞

với mọi n. Ta nhận được

Mn
n=1

Mn
xn
ρ

T0
2

=0

= 0. Hay x = (xn ) ∈ l(Mn ) (E).

Vì vậy l∞ (E) = l(Mn ) (E).
Để chứng minh l(Mn ) (E) đẳng cấu với l∞ (E) ta còn phải chỉ ra các
chuẩn của chúng là tương đương. Để ý rằng l∞ (E) xét với chuẩn
x

∞

= sup xn .
n 1


25

2k
thì
T0

Từ chứng minh trên ta có, với ρ =
∞

xn
ρ

Mn
n=1

=0<1

và vì thế
∞

x = inf{ρ > 0 :

xn
ρ

Mn
n=1

1}

2k 2 x ∞
=
.
T0
T0

Như vậy,
x

T0
x

2

∞

(2.10)

với mọi x ∈ l(Mn ) (E).
Bây giờ, từ điều kiện (Mn ) suy biến đều suy ra T1 = sup{t > 0 :
Mn (t) < 1 với mọi n} < ∞. Vì
∞

x = inf{ρ > 0 :

Mn
n=1

∞

suy ra

Mn
n=1

xn
x

xn
ρ

1}

1 với mọi x ∈ l(Mn ) (E) và x = 0. Ta có Mn

xn
x

1 với mọi n. Do tính không giảm của (Mn ) nên
xn
x

T1

với mọi n. Ta thu được
x

∞

= sup xn

T1 x

(2.11)

n 1

với mọi x = 0. Bất đẳng thức rõ ràng vẫn đúng với x = 0. Từ (2.10) và
(2.11) suy ra các chuẩn trên l∞ (E) và l(Mn ) (E) là tương đương và vì thế
l(Mn ) (E) đẳng cấu với l∞ (E).

2) Vì C0 (E) là không gian con đóng của l∞ (E) và h(Mn ) (E) là không

gian con đóng của l(Mn ) (E), khi (Mn ) suy biến đều l(Mn ) (E) đẳng cấu với