Một số tính chất của các phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều trên không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
——————————————–

NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CÁC PHẦN TỬ
NGẪU NHIÊN COMPACT KHẢ TÍCH ĐỀU
TRÊN KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
——————– * ———————

NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA
CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN COMPACT
KHẢ TÍCH ĐỀU TRÊN KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.01.06

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS.TS Nguyễn Văn Quảng

Nghệ An, 2015


i

Mục lục

1 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1

1.2

3

Không gian xác suất và biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3

Kỳ vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.4

Các dạng hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Phần tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2

Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . 10

1.2.3

Các dạng hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.4

Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CÁC PHẦN TỬ NGẪU
NHIÊN COMPACT KHẢ TÍCH ĐỀU
2.1

2.2

14

Họ phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều . . . . . . . . 14
2.1.1

Phần tử ngẫu nhiên compact khả tích . . . . . . . . 14

2.1.2

Họ phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều . . . . 16

Dãy phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều theo nghĩa
Cesàro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19


ii

2.2.1

Dãy phần tử ngẫu nhiên khả tích đều theo nghĩa
Cesàro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.2

Dãy phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều theo
nghĩa Cesàro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3

2.4

Compact khả tích đều đối với mảng . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1

Khả tích đều đối với mảng . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.2

Nghiên cứu tính compact khả tích đều đối với mảng

23

Một số định lý giới hạn dạng luật số lớn với điều kiện compact khả tích đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1

LỜI NÓI ĐẦU
Khả tích đều là một khái niệm quan trọng của giải tích hàm và lí thuyết
xác suất. Mặt khác, luật số lớn đóng vai trò quan trọng trong lí thuyết
xác suất. Điều kiện độc lập và khả tích, cùng phân phối là nền tảng trong
các luật số lớn của Bernoulli, Borel và N. Kolmogorov. Từ đó đến nay, các
điều kiện trên đã không ngừng được giảm nhẹ. Nhằm giảm điều kiện khả
tích, cùng phân phối, người ta đưa ra các điều kiện yếu hơn, trong đó có
điều kiện khả tích đều. Đây là điều kiện được sự quan tâm của nhiều nhà
toán học. Khi nghiên cứu các định lý giới hạn đối với các phần tử ngẫu
nhiên nhận giá trị trên không gian Banach, người ta thường phải thay thế
điều kiện khả tích đều bởi điều kiện mạnh hơn. Đó là điều kiện compact
khả tích đều. Để tìm hiểu sâu hơn về điều kiện này, chúng tôi quyết định
chọn đề tài luận văn là: "Một số tính chất của các phần tử ngẫu
nhiên compact khả tích đều trên không gian Banach".
Mục đích của luận văn là nghiên cứu một số tính chất của các phần tử
ngẫu nhiên compact khả tích đều trên không gian Banach và một số định
lí giới hạn dạng luật số lớn với điều kiện compact khả tích đều.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn này gồm
có hai chương:
Trong chương 1 chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ
bản về biến ngẫu nhiên và phần tử ngẫu nhiên. Các kết quả của chương


2

này sẽ được sử dụng ở chương 2.
Chương 2 trình bày một số tính chất của các phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều. Chương này gồm 4 mục. Mục 2.1 trình bày về họ các
phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều. Mục 2.2 đề cập đến việc mở

rộng khái niệm compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro. Mục 2.3 compact
khả tích đều đối với mảng. Mục 2.4 dành cho việc trình bày một số bổ đề
và định lí giới hạn dạng luật số lớn với điều kiện compact khả tích đều.
Luận văn được hoàn thành tại trường đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
của thầy giáo GS.TS Nguyễn Văn Quảng. Tác giả xin được bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đến thầy về sự quan tâm và sự nhiệt tình hướng dẫn mà
thầy đã dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đề
tài.
Nhân dịp này tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong tổ
Xác suất thống kê và Toán ứng dụng, khoa sư phạm Toán học, Phòng Đào
tạo sau đại học,... đã tận tình giúp đỡ tác giả trong quá trình tác giả học
tập tại trường.
Mặc dù tác giả đã rất cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu
sót. Kính mong nhận được những lời chỉ bảo, những ý kiến đóng góp của
quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 8 năm 2015
Tác giả


3

Chương 1

NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ
bản về biến ngẫu nhiên và phần tử ngẫu nhiên. Các kết quả của chương
này sẽ được sử dụng ở chương sau.

1.1
1.1.1

Không gian xác suất và biến ngẫu nhiên
Không gian xác suất

Giả sử Ω là một tập tuỳ ý khác rỗng, F là một σ− đại số các tập con
của Ω. Khi đó, cặp (Ω, F ) được gọi là một không gian đo.
Giả sử (Ω, F ) là một không gian đo. Một ánh xạ P : F → R được gọi
là độ đo xác suất trên F nếu
i) P(A) ≥ 0 với ∀A ∈ F (tính không âm)
ii) P(Ω) = 1 (tính chuẩn hoá)
iii) Nếu An ∈ F, (n = 1, 2, 3, ...), Ai ∩ Aj = Ai Aj = ∅(i = j) thì
∞

∞

n=1

n=1

P( ∪ An ) =

P(An ) (Tính cộng tính đếm được).

Các điều kiện (i), (ii), (iii) được gọi là hệ tiên đề Kolmogorov về xác
suất.
Bộ ba (Ω, F, P) được gọi là không gian xác suất.
Tập Ω được gọi là không gian biến cố sơ cấp.


4

σ đại số F được gọi là σ− đại số các biến cố.
Mỗi A ∈ F được gọi là một biến cố.
Biến cố Ω ∈ F gọi là biến cố chắc chắn.
Biến cố ∅ ∈ F gọi là biến cố không thể có.
Biến cố A = Ω\A được gọi là biến cố đối lập của biến cố A.
Nếu A ∩ B = AB = ∅ thì A, B được gọi là các biến cố xung khắc .
Không gian xác suất (Ω, F, P) gọi là không gian xác suất đầy đủ nếu
mọi tập con của biến cố có xác suất không đều là biến cố.
1.1.2

Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, G là σ− đại
số con của σ− đại số F . Khi đó ánh xạ X : Ω → R được gọi là biến
ngẫu nhiên G - đo được nếu nó là ánh xạ G/B(R) đo được (tức là với mọi

B ∈ B(R) thì X −1 (B) ∈ G ).
Biến ngẫu nhiên còn được gọi là đại lượng ngẫu nhiên.
Trong trường hợp đặc biệt, khi X là biến ngẫu nhiên F− đo được thì X
được gọi một cách đơn giản là biến ngẫu nhiên.
Hiển nhiên, biến ngẫu nhiên G− đo được là biến ngẫu nhiên.
Mặt khác, dễ thấy rằng nếu X là biến ngẫu nhiên thì họ:

σ(X) = (X −1 (B) : B ∈ B(R))
lập thành một σ−đại số con của σ−đại số F , σ−đại số này gọi là σ−đại
số sinh bởi X. Đó là σ−đại số bé nhất mà X đo được. Từ đó suy ra rằng
X là biến ngẫu nhiên G−đo được khi và chỉ khi σ(X) ⊂ G .
Nếu biến ngẫu nhiên X chỉ nhận hữu hạn giá trị, thì nó được gọi là biến
ngẫu nhiên đơn giản.

5

Định lý 1.1.1. X là biến ngẫu nhiên khi và chỉ khi một trong các điều
kiện sau đây thoả mãn
(i) (X < a) := (ω : X(ω) < a) ∈ F với mọi a ∈ R
(ii) (X ≤ a) := (ω : X(ω) ≤ a) ∈ F với mọi a ∈ R
(iii) (X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ F với mọi a ∈ R
(iv) (X ≥ a) := (ω : X(ω) ≥ a) ∈ F với mọi a ∈ R.
Định lý 1.1.2. Giả sử X1 , X2 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên cùng xác
định trên (Ω, F, P), f : Rn → R là hàm B(Rn )/B(R) đo được. Khi đó

Y = f (X1 , ..., Xn ) : Ω → R
ω → f (X1 (ω), ..., Xn (ω))
là biến ngẫu nhiên.
Hệ quả 1.1.1. Giả sử X,Y là các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên

(Ω, F, P), f : R → R là hàm liên tục và a ∈ R. Khi đó
aX, X ± Y, XY, |X| , f (X), X + = max(X, 0), X − = max(−X, 0), X
Y,
(Y = 0) đều là các biến ngẫu nhiên.
Định lý 1.1.3. Giả sử (Xn , n ≥ 1) là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác
định trên (Ω, F, P). Khi đó, nếu inf Xn , sup Xn hữu hạn, thì inf Xn , sup Xn ,
n

n

n

n

limXn , limXn , lim Xn (nếu tồn tại), đều là biến ngẫu nhiên.
n→∞

Định lý 1.1.4. Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm thì tồn tại dãy biến
ngẫu nhiên đơn giản, không âm (Xn , n ≥ 1) sao cho Xn ↑X (khi n → ∞).
1.1.3

Kỳ vọng

Định nghĩa 1.1.2. Giả sử X : (Ω, F, P) → (R, B(R)) là biến ngẫu nhiên.
Khi đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được gọi là
kỳ vọng của X và kí hiệu là EX. Vậy


6

EX =

XdP
Ω

Nếu tồn tại E|X|p < ∞ (p > 0), thì ta nói X khả tích bậc p.
Đặc biệt, nếu E|X| < ∞, thì X được gọi là biến ngẫu nhiên khả tích.
Tính chất 1.1.1. 1. Nếu X ≥ 0 thì EX ≥ 0
2. Nếu X = C thì EX = C .
3. Nếu tồn tại EX thì với mọi C ∈ R, ta có E(CX) = C EX .
4. Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ± Y ) = EX ± EY
5. Nếu X ≥ 0 và EX = 0 thì X = 0 h.c.c




xi pi nếu X rời rạc nhận các giá trị x1 , x2 , ...



i

6. EX =
với P(X = xi ) = pi


+∞



xp(x)dx nếu X liên tục có hàm mật độ p(x)

−∞

Tổng quát:
 Nếu f : R → R là hàm đo được và Y = f(X) thì:


f (xi )pi nếu X rời rạc nhận các giá trị x1 , x2 , ...



i


EY =
với P(X = xi ) = pi


+∞



f (x)p(x)dx nếu X liên tục có hàm mật độ p(x)

−∞

7. (Định lý B. Levi về hội tụ đơn điệu). Nếu Xn ↑X (tương ứng Xn ↓X) và
tồn tại n để: EXn − < ∞ (tương ứng EXn + < ∞) thì EXn ↑EX (tương
ứng EXn ↓EX).
8. (Bổ đề Fatou). Nếu Xn ≥ Y với mọi n ≥ 1 và EY > −∞ thì:
ElimXn ≤ limEXn .
Nếu Xn ≤ Y với mọi n ≥ 1 và EY < +∞ thì:
ElimXn ≥ limEXn .


7

Nếu |Xn | ≤ Y với mọi n ≥ 1 và EY < ∞ thì:
ElimXn ≤ limEXn ≤ limEXn ≤ ElimXn .
9. (Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn) Nếu |Xn | ≤ Y với mọi n ≥ 1,
EY < ∞ và Xn → X thì X khả tích, E |Xn − X| → 0 và EXn → EX
(khi n → ∞).
10. (Bất đẳng thức Markov). Giả sử X là biến ngẫu nhiên không âm. Khi

đó với mọi ε > 0 ta có:
P(X ≥ ε) ≤
1.1.4

EX
ε .

Các dạng hội tụ

Định nghĩa 1.1.3. Ta nói dãy biến ngẫu nhiên (Xn , n ≥ 1) hội tụ đến
biến ngẫu nhiên X (khi n → ∞).

• hầu chắc chắn nếu P( lim |Xn − X| = 0) = 1.
n→∞

h.c.c

Ký hiệu Xn −−→ X .

• theo xác suất nếu với mọi ε > 0 thì
lim P(|Xn − X| > ε) < ∞.

n→∞
P

Ký hiệu Xn →
− X.

• đầy đủ nếu với mọi ε > 0 thì
∞

P(|Xn − X| > ε) < ∞.
n=1
c

Ký hiệu Xn →
− X.

• theo trung bình cấp p, (p>0) nếu lim E |Xn − X|p = 0.
n→∞

Lp

Ký hiệu Xn −→ X .


8

Hội tụ hầu chắc chắn còn được gọi là hội tụ với xác suất 1 ; hội tụ theo
trung bình cấp p còn được gọi là hội tụ trong Lp .
h.c.c

Định lý 1.1.5. Xn −−→ X khi và chỉ khi với mọi ε > 0

lim P sup |Xm − X| > ε = 0.

n→∞

m≥n

c

h.c.c

Hệ quả 1.1.2. Nếu Xn →
− X thì Xn −−→ X .
L

h.c.c

P

r
Định lý 1.1.6. Nếu Xn −−→ X hoặc Xn −→
X thì Xn →
− X.

1.2
1.2.1

Phần tử ngẫu nhiên
Định nghĩa

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử E là không gian Banach thực khả ly, G là

σ−đại số của F , B (E) là σ−đại số các tập Borel của E.Ta nói ánh xạ
X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên G−đo được nếu X là ánh xạ G/B(E)
(nghĩa là với mọi B ∈ B(E) thì X −1 (B) ∈ G ).
Định nghĩa 1.2.2. Phần tử ngẫu nhiên X : Ω → E được gọi là phần tử
ngẫu nhiên rời rạc nếu |X(Ω)| không quá đếm được.

Đặc biệt, nếu |X(Ω)| hữu hạn thì X được gọi là phần tử ngẫu nhiên đơn
giản. (|X(Ω)| là lực lượng của tập hợp X(Ω)).
Định nghĩa 1.2.3. Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi là hội tụ hầu
chắc chắn (h.c.c) đến ánh xạ X : Ω → E (khi n → ∞) nếu tồn tại tập

N ∈ F sao cho P(N) = 0 và Xn (ω) → X(ω) (theo chuẩn, khi n → ∞),
h.c.c

với mọi ω ∈ Ω\N . Kí hiệu Xn → X (khi n → ∞).
h.c.c

Định lý 1.2.1. Nếu {Xn , n ≥ 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên và Xn → X
thì X là phần tử ngẫu nhiên.


9

Định lý 1.2.2. Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên khi và chỉ khi
X là giới hạn đều của một dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc, tức là tồn tại
dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc {Xn , n ≥ 1} sao cho

lim sup Xn (ω) − X(ω) = 0.

n→∞ ω∈Ω

Định lý 1.2.3. Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên khi và chỉ
khi X là giới hạn (theo chuẩn) của một dãy phần tử ngẫu nhiên đơn giản

{Xn , n ≥ 1} sao cho Xn (ω) ≤ 2 X(ω) với mọi n ≥ 1 với mọi ω ∈ Ω
(tức là tồn tại dãy phần tử ngẫu nhiên đơn giản {Xn , n ≥ 1} thoả mãn

lim Xn (ω) − X(ω) = 0 và Xn (ω) ≤ 2 X(ω) với mọi n ≥ 1 với

n→∞

mọi ω ∈ Ω)
Định lý 1.2.4. Giả sử E1 , E2 là các không gian Banach thực khả ly,

T : E1 → E2 là ánh xạ B(E1 )/B(E2 ) đo được và X : Ω → E1 phần tử
ngẫu nhiên . Khi đó, ánh xạ T ◦ X : Ω → E2 là phần tử ngẫu nhiên.
Hệ quả 1.2.1. Giả sử ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên. Khi đó,
ánh xạ X : Ω → R là biến ngẫu nhiên.
Định lý 1.2.5. Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên khi và chỉ khi
với mọi f ∈ E ∗ thì f(X) là biến ngẫu nhiên.
Hệ quả 1.2.2. Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên, a, b ∈ R và

ξ : Ω → R là biến ngẫu nhiên. Khi đó aX + bY, ξX là các phần tử ngẫu
nhiên.
Định nghĩa 1.2.4. Một tập hữu hạn các phần tử ngẫu nhiên X1 , X2 , ..., Xn
nhận giá trị trong E được gọi là độc lập nếu với mỗi B1 , B2 , ..., Bn ∈ B(E)
ta có:

P (X1 ∈ B1 , X2 ∈ B2 , ..., Xn ∈ Bn ) = P (X1 ∈ B1 )P (X2 ∈ B2 )...P (Xn ∈
Bn )


10

Một dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} trong E được gọi là độc
lập nếu mọi tập con hữu hạn của nó đều độc lập.

1.2.2

Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.2.5. Giả sử X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên. Phần tử

m ∈ E được gọi là kỳ vọng của X nếu với mọi f ∈ E ∗ ta có
f(m) = E(f(X)).

E ∗ = {f : E → R : f là phiếm hàm tuyến tính, liên tục }. E ∗ là không
gian liên hợp của E.
Kí hiệu m = EX
Định lý 1.2.6. Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên, ξ là biến ngẫu
nhiên cùng xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P), a ∈ R, α ∈ E .
Khi đó, nếu tồn tại EX, EY, Eξ thì
1. Tồn tại E(X + Y) và E(X + Y) = EX + EY.
2. Tồn tại E(aX) và E(aX) = a EX.
3. Nếu P(X = α) = 1 thì EX = α.
4. Nếu ξ và f(X) độc lập với mọi f ∈ E ∗ thì tồn tại E(ξ X) và E(ξ X) =
Eξ EX.
5. Với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục T : E → E (E là không gian
Banach thực khả ly) thì tồn tại E(T(X)) và E(T(X)) = T( E(X)).
Định lý 1.2.7. Nếu E X < ∞ thì tồn tại EX và
EX ≤ E X .


11

1.2.3

Các dạng hội tụ

Định nghĩa 1.2.6. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên cùng
xác định trên Ω và nhận giá trị trên E.
Ta nói dãy {Xn , n ≥ 1} hội tụ đến X (khi n → ∞)

• hầu chắc chắn nếu: P ( lim Xn − X = 0) = 1.
n→∞

h.c.c

Ký hiệu Xn → X (n → ∞).
∞

P ( Xn − X > ε) < ∞

• đầy đủ nếu với mọi ε > 0 thì
n=1

c

Ký hiệu Xn → X (n → ∞).

• theo xác suất nếu với mọi ε > 0 thì lim P ( Xn − X > ε) = 0.
n→∞

P

Ký hiệu Xn → X (n → ∞).

• theo trung bình cấp p nếu lim E Xn − X
n→∞

p

= 0.

Lp

Ký hiệu Xn → X (n → ∞).
W

• yếu (theo phân phối) nếu PXn → PX trong đó
PX : B(E) → R
B → P (X −1 (B)).

Định lý 1.2.8. Xn → X h.c.c (khi n → ∞) khi và chỉ khi với mọi ε > 0,

lim P (sup Xm − X > ε) = 0.

n→∞

m≥n
h.c.c

Lp

P

Định lý 1.2.9. 1. Nếu Xn → X hoặc Xn → X thì Xn → X (khi n →

∞).
c

h.c.c

2. Nếu Xn → X thì Xn → X (khi n → ∞).
h.c.c

3. Nếu {Xn , n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập và Xn → C ∈
c

E thì Xn → C (khi n → ∞).


12

Định nghĩa 1.2.7. Ta nói dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} là dãy cơ
bản

• hầu chắc chắn (h.c.c) nếu P( lim

m,n→∞

Xm − Xn = 0) = 1;

• theo xác suất nếu lim( Xm − Xn > ε) = 0 với mọi ε > 0;
• theo trung bình cấp p>0 nếu lim E Xm − Xn

p

m,n→∞

= 0.

Định lý 1.2.10. Dãy {Xn , n ≥ 1} cơ bản h.c.c khi và chỉ khi dãy {Xn , n ≥ 1}
hội tụ h.c.c.
Định lý 1.2.11. Dãy {Xn , n ≥ 1} cơ bản h.c.c khi và chỉ khi một trong
hai điều kiện sau đây được thoả mãn:
(i) lim P ( sup Xk − Xl > ε) = 0 với mọi ε > 0;
n→∞

k,l≥n

(ii) lim P (sup Xk − Xn > ε) = 0 với mọi ε > 0.
n→∞

k≥n

Định lý 1.2.12. Nếu dãy {Xn , n ≥ 1} cơ bản theo xác suất thì tồn tại dãy
con {Xnk , k ≥ 1} ⊂ {Xn , n ≥ 1} sao cho {Xnk , k ≥ 1} hội tụ h.c.c.
Định lý 1.2.13. Dãy {Xn , n ≥ 1} hội tụ theo xác suất khi và chỉ khi nó
là dãy cơ bản theo xác suất.
Định lý 1.2.14. Dãy {Xn , n ≥ 1} hội tụ theo trung bình cấp p (p ≥ 1)
khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản theo trung bình cấp p.
1.2.4

Một số bất đẳng thức

Định lý 1.2.15. Bất đẳng thức Ho¨lder

Giả sử p,q ∈ (1; +∞) sao cho p1 + 1q = 1 và X,Y là các phần tử ngẫu nhiên.
Khi đó
E XY

≤ X

p

Y

q.


13

Định lý 1.2.16. Bất đẳng thức Jensen
Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên, ánh xạ ϕ : E → R là hàm lồi liên tục, X
và ϕ(X) khả tích thì

ϕ(EX) ≤ E(ϕ(X)).
Định lý 1.2.17. Bất đẳng thức Cr
Giả sử X,Y là các phần tử ngẫu nhiên, r > 0. Khi đó
E X +Y

r

≤ Cr (E X

r

+E Y

trong đó Cr = max(1, 2r−1 ) chỉ phụ thuộc vào r.

r

),


14

Chương 2

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CÁC
PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN
COMPACT KHẢ TÍCH ĐỀU
2.1
2.1.1

Họ phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều
Phần tử ngẫu nhiên compact khả tích

Định nghĩa 2.1.1. Phần tử ngẫu nhiên X được gọi là khả tích nếu
E X < ∞.

(1)

Nhận xét 2.1. Phần tử ngẫu nhiên X khả tích khi và chỉ khi biến ngẫu
nhiên X khả tích .
Do đó công thức (1) tương đương

lim E

X I(

a→∞

X >a)

= 0.

(2)

Định nghĩa 2.1.2. Phần tử ngẫu nhiên X được gọi là compact khả tích
nếu với mọi ε > 0, tồn tại tập con compact Cε ⊂ E sao cho
E

X I(X ∈C
/ ε ) < ε.

Ví dụ 2.1. Giả sử C ⊂ E , C compact.
Xét X : Ω → E , X(ω ) ∈ C với mọi ω ∈ Ω.


15

Với mọi ε > 0, đặt Cε = C. Vì X(ω ) ∈ C với mọi ω ∈ Ω nên (X ∈
/ Cε ) = ∅.
Do đó I(X ∈C
/ ε) = 0

Vậy E

X I(X ∈C
/ ε ) < ε.

Suy ra X là phần tử ngẫu nhiên compact khả tích.
Tính chất 2.1.1. 1. Phần tử ngẫu nhiên X compact khả tích thì khả
tích.
2. Trong không gian hữu hạn chiều, phần tử ngẫu nhiên X khả tích thì
compact khả tích.
Chứng minh.
1. Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên compact khả tích.
Khi đó với mọi ε > 0, tồn tại tập con compact Cε ⊂ E sao cho

X I(X ∈C
/ ε ) < ε.

E

Vì Cε compact, nên Cε bị chặn. Suy ra tồn tại M > 0 sao cho X <

M , với mọi x thuộc Cε . Do đó
Cε ⊃ {x : x ≥ M }.
Khi đó, với mọi a > M thì ( X > a) ⊂ ( X > M ) ⊂
Suy ra X I(

X >a)

Vì vậy E X I(
Vậy lim E

a→∞

≤ X I(X ∈C
/ ε ) , với mọi a > M.

X >a)

X I(

X ∈ Cε .

≤ E X I(X ∈C
/ ε ) < ε (Mọi a > M).

X >a)

= 0, nên phần tử ngẫu nhiên X khả tích.

2. Giả sử E hữu hạn chiều và X là phần tử ngẫu nhiên khả tích. Khi đó,
với mọi ε > 0, tồn tại M sao cho khi a ≥ M thì
E( X I(

X >a) )

< ε.


16

Đặt Cε = {x ∈ E : x ≤ M }, thì Cε là tập đóng và bị chặn trong E.

Mà E là không gian hữu hạn chiều nên Cε là tập compact.
Mặt khác vì Cε = {x ∈ E : x > M }, nên (X ∈
/ Cε ) = ( X > M ).
Do đó
E X I(X ∈C
/ ε ) = E X I(

X >M )

< ε.

Vậy X là phần tử ngẫu nhiên compact khả tích.
2.1.2

Họ phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều

Định nghĩa 2.1.3. Họ các phần tử ngẫu nhiên {Xi , i ∈ I} được gọi là
khả tích đều nếu

lim sup E

Xi I(

a→∞ i∈I

Xi >a)

= 0.

Định nghĩa 2.1.4. Họ các phần tử ngẫu nhiên {Xi , i ∈ I} được gọi là

compact khả tích đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại tập con compact Cε ⊂ E
sao cho

sup E
i∈I

Xi I(Xi ∈C
/ ε ) < ε.

Ví dụ 2.2. Giả sử C ⊂ E , C compact.
Với i ∈ I , xét Xi : Ω → E , Xi (ω) ∈ C , với mọi ω ∈ Ω.
Với mọi ε > 0, đặt Cε = C . Khi đó, với mọi i ∈ I , vì Xi (ω) ∈ C với
mọi ω ∈ Ω, nên (Xi ∈
/ Cε ) = ∅, mọi i ∈ I .
Do đó I(Xi ∈C
/ ε ) = 0, mọi i ∈ I .
Vì vậy sup E
i∈I

Xi I(Xi ∈C
/ ε ) = 0 < ε, suy ra {Xi , i ∈ I} là họ compact

khả tích đều.
Tính chất 2.1.2. 1. Nếu họ {Xi , i ∈ I} compact khả tích đều thì họ

{ Xi , i ∈ I} compact khả tích đều.


17

2. Mọi họ phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều thì khả tích đều.
3. Khi E là không gian hữu hạn chiều, họ phần tử khả tích đều thì họ
compact khả tích đều.
4. Giả sử tồn tại phần tử ngẫu nhiên compact khả tích X sao cho

Xi ≤ X , với mọi i ∈ I
và (Xi ∈
/ C) ⊂ (X ∈
/ C), với mọi i ∈ I , mọi C ⊂ E , C compact. Khi
đó {Xi , i ∈ I} compact khả tích đều.
Chứng minh.
1. Giả sử {Xi , i ∈ I} là họ compact khả tích đều và ε > 0. Khi đó tồn
tại Cε ⊂ E compact thoả mãn

sup E

Xi I(Xi ∈C
/ ε ) < ε.

i∈I

Ta có Cε = { x : x ∈ Cε } ⊂ R+ .
Vì

: E → R liên tục và Cε compact nên Cε compact.

Mặt khác, vì (Xi ∈ Cε ) ⊂ ( Xi

(Xi ∈
/ Cε ). Do đó I(

Vì vậy E( Xi I(

Xi ∈
/ Cε )

Xi ∈
/ Cε ) )

∈ Cε ), nên ( Xi ∈
/ Cε ) ⊂

≤ I(Xi ∈C
/ ε).

≤ E( Xi I(Xi ∈C
/ ε ) ),

tức là họ { Xi , i ∈ I} compact khả tích đều.
2. Giả sử họ phần tử ngẫu nhiên {Xi , i ∈ I} compact khả tích đều. Khi
đó, với mọi ε > 0, tồn tại Cε ⊂ E thoả mãn

sup E
i∈I

Xi I(Xi ∈C
/ ε ) < ε.

Vì Cε compact nên Cε bị chặn. Suy ra tồn tại M > 0 sao cho x < M ,
với mọi x thuộc Cε .
Do đó Cε ⊃ {x : x ≥ M }. Khi đó, với mọi a > M

18

( Xi > a) ⊂ ( Xi > M ) ⊂ ( Xi ∈ Cε ), mọi i ∈ I .
Suy ra, với mọi a>M

Xi I(

Xi >a)

≤ Xi I(Xi ∈C
/ ε ) , mọi i ∈ I .

Do đó, với mọi ε > a, tồn tại M>0 sao cho với mọi a>M ta có
E( Xi I(

Xi >a) )

≤ E( Xi I(Xi ∈C
/ ε ) < ε, mọi i ∈ I .

Vậy

lim sup E

a→∞ i∈I

Xi I(

Xi >a)

= 0,

tức là họ {Xi , i ∈ I} khả tích đều.
3. Giả sử E là không gian hữu hạn chiều và họ {Xi , i ∈ I} khả tích đều.
Giả sử ε > 0. Khi đó tồn tại M>0 sao cho với mọi a > M thì

sup

Xi I(

i∈I

Xi >a)

< ε.

Đặt Cε = {x ∈ E : x ≤ M } suy ra Cε là tập đóng và bị chặn trong
E. Mà E là không gian hữu hạn chiều nên Cε là tập compact.
Mặt khác, vì

Cε = {x ∈ E : x > M } nên (Xi ∈ Cε ) = ( Xi > M ), mọi i ∈ I .
Do đó
E

Xi I(

Xi ∈C
/ ε)

=E

Xi I(

sup E

Xi I(

Xi ∈C
/ ε)

= sup E

Xi >M )

< ε.

Vậy

i∈I

i∈I

nên họ {Xi , i ∈ I} compact khả tích đều.

Xi I(

Xi >M )

< ε,


19

4. Giả sử ε > 0 vì X compact khả tích, nên tồn tại Cε ⊂ E compact sao
cho
E( X I(

X ∈C
/ ε))

< 2ε .

Vì Xi ≤ X ; (Xi ∈
/ Cε ) ⊂ (X ∈
/ Cε ) với mọi i ∈ I , nên
E( Xi I(

Xi ∈C
/ ε))

≤ E( X I(

X ∈C
/ ε))

< 2ε , mọi i ∈ I .

Do đó

sup E

Xi I(

i∈I

Xi ∈C
/ ε)

≤

ε
2

< ε,

nên họ {Xi , i ∈ I} compact khả tích đều.

2.2

Dãy phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều theo nghĩa
Cesàro

2.2.1

Dãy phần tử ngẫu nhiên khả tích đều theo nghĩa Cesàro

Định nghĩa 2.2.1. Dãy {Xn , n ≥ 1} các phần tử ngẫu nhiên được gọi là
khả tích đều theo nghĩa Cesàro nếu:

lim sup n−1

a→∞ n≥1

n

E

Xi I(

i=1

Xi >a)

= 0.

Tính chất 2.2.1. 1. Nếu dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} khả
tích đều, thì nó khả tích đều theo nghĩa Cesàro.
2. Điều ngược lại là không đúng.
Chứng minh.
1. Giả sử {Xn , n ≥ 1} khả tích đều. Khi đó

lim sup E

a→∞

i

Xi I(

Xi >a)

= 0.


20

Do đó, với mọi ε > 0, tồn tại M > 0 sao cho với mọi a > M thì

sup E

Xi I(

i

< 2ε .

Xi >a)

Suy ra

Xi I(

E

< 2ε , mọi i ≥ 1.

Xi >a)

Do đó, với mọi a>M và n ≥ 1, ta có

n−1

n

E( Xi I(

Xi

i=1

n

−1
>a) ) ≤ n

i−1

ε
2

= n−1 .n. 2ε = 2ε .

Vì vậy
n

lim sup n−1

a→∞ n≥1

Xi I(

E
i=1

Xi >a)

= 0,

tức là dãy {Xn , n ≥ 1} khả tích đều theo nghĩa Cesàro.
2. Ta xét ví dụ: Gọi {Xn , n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên được
xác định như sau:
Giả sử v ∈ E , v = 0, k ∈ R. Suy ra kv ∈ E .

Xn = ±v ∈ E với xác suất

1
2

(Nếu n không phải là luỹ thừa bậc 3, n

= j 3 ).
√
Xn = ± 3 nv ∈ E với xác suất

1
2

(Nếu n là luỹ thừa bậc 3, n = j 3 ).

Dãy {Xn , n ≥ 1} không khả tích đều do sup E Xn = ∞. Tuy nhiên,
n

{Xn , n ≥ 1} khả tích đều theo nghĩa Cesàro.
Thật vậy, nếu a ≥ 1 ta có
1
n

n

E Xk I(

Xk >a)

≤

k=1

≤

1
n

1
3

k =
k=j 3
k≤n

1

≤

1
n

·

Suy ra

2

n

E Xk I(

1
n

j=
j=1
1

=

Xk >1)

k=1

[n1/3 ]

1

n 2 . n 2 +1

1
n

1
n

[n1/3 ]([n1/3 ]+1)
2

1

n 3 +1 n 3
2n

→ 0 khi n → ∞.


21

lim sup n−1

a→∞ n≥1

n

E Xk I(

Xk >a)

= 0,

k=1

tức là dãy {Xn , n ≥ 1} khả tích đều theo nghĩa Cesàro.
2.2.2

Dãy phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro

Định nghĩa 2.2.2. Một dãy {Xn , n ≥ 1} các phần tử ngẫu nhiên được
gọi là compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro nếu với mọi ε > 0 tồn tại
một tập con compact Cε ⊂ E sao cho:
n

sup n−1

E Xk I(Xk ∈C
/ ε) < ε

n≥1

k=1

Tính chất 2.2.2. 1. Nếu dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} compact khả tích đều thì nó compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro.
2. Điều ngược lại không đúng.

Chứng minh.
1. Giả sử dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} compact khả tích đều.
Giả sử ε > 0 khi đó tồn tại tập con compact Cε ⊂ E sao cho
ε
sup E Xi I(Xi ∈C
/ ε) < 2 .
i∈N

Suy ra
ε
Xi I(Xi ∈C
/ ε ) < 2 , mọi i ∈ N.

E

Do đó, với mọi n, ta có
n

E
i=1

Xi I(Xi ∈C
/ ε) <

nε
2 .

Vì vậy

sup

n

1
n

n

E
i=1

Xi I(Xi ∈C
/ ε) ≤

ε
2

< ε,