Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên tục với tôpô yếu và ứng dụng

❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❱■◆❍
✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲

✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲

❍➬ ❳❯❹◆ ❚❘❯◆●

❱➋ ❙Ü ❚➬◆ ❚❸■ ✣■➎▼ ❇❻❚ ✣❐◆● ❈Õ❆ ⑩◆❍
❳❸ ▲■➊◆ ❚Ö❈ ❱❰■ ❚➷P➷ ❨➌❯ ❱⑨ Ù◆● ❉Ö◆●
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

◆❣❤➺ ❆♥ ✲ ✷✵✶✺


❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❱■◆❍
✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲

✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲

❍➬ ❳❯❹◆ ❚❘❯◆●

❱➋ ❙Ü ❚➬◆ ❚❸■ ✣■➎▼ ❇❻❚ ✣❐◆● ❈Õ❆ ⑩◆❍
❳❸ ▲■➊◆ ❚Ö❈ ❱❰■ ❚➷P➷ ❨➌❯ ❱⑨ Ù◆● ❉Ö◆●
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚❖⑩◆ ●■❷■ ❚➑❈❍
▼➣ sè✿ ✻✵✳ ✹✻✳ ✵✶✳✵✷

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿

❚❙✳ ❑■➋❯ P❍×❒◆● ❈❍■

◆❣❤➺ ❆♥ ✲ ✷✵✶✺


✶

▼Ö❈ ▲Ö❈
▼ö❝ ❧ö❝
✶
▼ð ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷
✶ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ ✣à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣
❚✐❦❤♦♥♦✈✲❙❝❤❛✉❞❡r
✹
✶✳✶✳ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹
✶✳✷✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼
✶✳✸✳ ✣à♥❤ ❧þ ❚✐❦❤♦♥♦✈✲❙❝❤❛✉❞❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺

✷ ✣à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝ ✈î✐ tæ♣æ ②➳✉
✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣
✷✵

✷✳✶✳ ▼ët sè ❦➳t q✉↔ ✈➲ tæ♣æ ②➳✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳ ❈→❝ ✤à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝ ✈î✐ tæ♣æ ②➳✉
✷✳✸✳ ❙ü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❑➳t ❧✉➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳

✳
✳
✳
✳

✷✵
✷✻
✸✵
✸✹
✸✺




é
ỵ t ở ố ợ tử ởt
ỹ q trồ ừ ỵ tt t ở ợ ỵ
t ở ố ợ ỵ t ở ừ
tử ữủ tt tr ỳ ổ õ trú t t
õ ữủ t t tứ ỳ t q ờ t ừ rr r

ỵ t ở ừ rr ố ợ tử
ỳ t ỗ t tr ổ ỳ ởt t q
q trồ ừ t ồ ữủ rr ự õ ữủ ự
ử rở r tr ỹ ừ t ồ ữ t Pữỡ
tr t s ỵ rr ữủ rở tr
ợ ổ ởt tr ỳ rở ờ t
ỵ rr tở r ố ợ tử
tr ổ ỗ ữỡ
ự ỵ t ở ợ

tử tr tờ qt ổ ỗ ữỡ
ự ử tú r ổ ổ ỗ
ữỡ tổổ s ồ ỷ tữỡ ự t
trú tổổ õ trỏ rt q trồ ởt sỹ tỹ
ự ỵ t ở tử ố ợ tổổ
ữủ r ở sỹ t ỡ
ợ ử t tổổ ởt t q




ỵ t ở ởt số ợ tử ố ợ tổổ tr
ổ ổ ỗ ữỡ ự ử ú
tổ ỹ ồ t s ừ
sỹ tỗ t t ở ừ tử ợ tổổ ự
ử
ở ừ ự ổ ỗ ữỡ
ỵ t ở r tổổ ởt số ỵ t
ở ố ợ tử t tổổ ở tr ữủ tr
tr ữỡ
ữỡ tr ởt số tự ổ tỡ
tổổ ổ ỗ ữỡ ỵ t ở
r ố ợ tử tr ổ ỗ ữỡ
ữỡ ự ởt số t q tổổ sỹ tỗ t t
ở ừ ởt số ợ tử t tổổ ự ử tr
ự sỹ tỗ t ừ ữỡ tr tr
tr ổ
ữủ tỹ t trữớ ồ ữợ sỹ ữợ
ừ t Pữỡ tọ ỏ t ỡ s
s ừ t ữủ ỡ t ổ tr

ữ ồ rữớ ồ t t
ú ù t tr sốt tớ ồ t ố ũ ỡ
ỗ t tr ợ ồ
t ở t ú ù ở t tr sốt q tr
ồ t ự ũ õ ố ữ
ổ tr ọ ỳ t sõt ú tổ rt
ữủ ỳ ỵ õ õ ừ t ổ
ữủ t ỡ
t

ỗ r




ì

Pì ị

ữỡ ự ởt số tự ỡ s ổ ỗ
ữỡ ỵ t ở r ố ợ
tử tr ổ ỗ ữỡ

ởt số tự
ử tr ởt số tự ỡ s ổ tỡ tổổ
t ờ ũ s ỳ ở ữủ tờ ủ
tr r tứ

ổ tỡ tổổ ởt ổ tỡ ũ
ợ ởt tổổ tr õ s t ở ổ ữợ

tử

U tr ổ tỡ X ữủ ồ U U ợ
ồ K || < 1 t U ữủ ồ út ợ ồ x X tỗ t
> 0 s x U ợ ồ || < .

ỵ r ổ tỡ tổổ ổ tỗ t ỡ s
ừ 0 ỗ t út ợ ồ U U tỗ t V
V + V U
U

U

s

U ừ ổ tỡ X ữủ ồ ỗ
ợ ồ x, y U ợ ồ 0



1

t x + (1 )y U


✺

✶✳✶✳✹ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❚➟♣ ❝♦♥ U ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì tæ♣æ E ✤÷ñ❝ ❣å✐

❧➔ ❜à ❝❤➦♥ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ ❧➙♥ ❝➟♥ V ❝õ❛ 0 tç♥ t↕✐ s > 0 t÷ì♥❣ ù♥❣ s❛♦ ❝❤♦

U ⊂ tV ✈î✐ ♠å✐ t > s✳
✶✳✶✳✺ ✣à♥❤ ❧þ✳ ❚r♦♥❣ ♠é✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì✿
✶✮ ❇❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ❜à ❝❤➦♥ ❧➔ t➟♣ ❜à ❝❤➦♥❀
✷✮ ❇ë✐ ✈æ ❤÷î♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ❜à ❝❤➦♥ ❧➔ t➟♣ ❜à ❝❤➦♥❀
✸✮ ❍ñ♣ ❤♦➦❝ tê♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ t➟♣ ❜à ❝❤➦♥ ❧➔ t➟♣ ❜à ❝❤➦♥✳
✶✳✶✳✻ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì tæ♣æ✳ ❚➟♣ ❝♦♥ A ⊂ E
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❜à ❝❤➦♥ ❤❛② t✐➲♥ ❝♦♠♣❛❝t ♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐ ❧➙♥ ❝➟♥ U
❝õ❛ 0 tç♥ t↕✐ t➟♣ ❝♦♥ ❤ú✉ ❤↕♥ B s❛♦ ❝❤♦ A ⊂ B + U ✳
✶✳✶✳✼ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì tæ♣æ ✈î✐ ❝ì sð ❧➙♥ ❝➟♥ U
❝õ❛ 0✳ ❉➣② s✉② rë♥❣ {xi}i∈I ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞➣② ❈❛✉❝❤② ♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐ U ∈ U
tç♥ t↕✐ i0 ∈ I s❛♦ ❝❤♦ xi − xj ∈ U ✈î✐ ♠å✐ i, j i0✳
❚➟♣ ❝♦♥ A ⊂ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤➛② ✤õ ♥➳✉ ♠å✐ ❞➣② s✉② rë♥❣ ❈❛✉❝❤② ❧➔
❤ë✐ tö tr♦♥❣ A✳
✶✳✶✳✽ ✣à♥❤ ❧þ✳ ❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì tæ♣æ✳ ❚➟♣ ❝♦♥ A ❝õ❛ E ❧➔
❝♦♠♣❛❝t ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ A ✤➛② ✤õ ✈➔ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❜à ❝❤➦♥✳
✶✳✶✳✾ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr➯♥ tr÷í♥❣ R✳ ❍➔♠
. : E → R ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❝❤✉➞♥ tr➯♥ E ♥➳✉ t❤♦↔ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
s❛✉✿
✶✮ x 0✱ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ E ✈➔ x = 0 ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ x = 0❀
✷✮ λx = |λ| x ✱ ✈î✐ ♠å✐ λ ∈ R ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ E ❀
✸✮ x + y
x + y , ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ E ✳
❑❤✐ ✤â (E, . ) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✳
❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠➯tr✐❝ ✈î✐ ♠➯tr✐❝ s✐♥❤ ❜ð✐ ❝❤✉➞♥
d(x, y) = x−y , ∀x, y ∈ E ✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♥➳✉ E ✤➛② ✤õ ✈î✐ ♠➯tr✐❝ s✐♥❤ ❜ð✐ ❝❤✉➞♥✳ ✣è✐ ✈î✐ tæ♣æ s✐♥❤


✻

❜ð✐ ♠➯tr✐❝ s✐♥❤ ❜ð✐ ❝❤✉➞♥ ❝→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❝ë♥❣ ✈➔ ♥❤➙♥ ✈æ ❤÷î♥❣ tr➯♥ E
❧➔ ❧✐➯♥ tö❝✳ ❉♦ ✤â✱ ♠é✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì
tæ♣æ ✈î✐ Bn = {x ∈ E : x < n1 }, n = 1, 2, ... ❧➔ ❝ì sð ❧➙♥ ❝➟♥ ❣ç♠ ❝→❝
t➟♣ ❧ç✐✱ ❝➙♥✱ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ E ✳
❙❛✉ ✤➙② t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ t✉②➺t ✤è✐✳

✶✳✶✳✶✵ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ✭❬✷❪✮ ❍➔♠ f : [a, b] → R ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ t✉②➺t

✤è✐✱ ♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐ ε > 0 tç♥ t↕✐ δ = δ(ε) s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ❜➜t ❦ý ❤ú✉ ❤↕♥ ✤♦↕♥
❝♦♥ [xk , yk ] ❝õ❛ [a, b] t❤ä❛ ♠➣♥
|xk − yk | < δ
k

❦➨♦ t❤❡♦
|f (xk ) − f (yk )| < ε.
k

❚➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ t✉②➺t ✤è✐ ❝õ❛ ❤➔♠ ❝â ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ♠➟t t❤✐➳t ✈î✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝
✤↕♦ ❤➔♠ t❤❡♦ ❝➟♥ tr➯♥✳

✶✳✶✳✶✶ ✣à♥❤ ❧þ✳ ❈❤♦ ❤➔♠ f : [a, b] → R✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ❧➔
t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
✶✮ f ❧✐➯♥ tö❝ t✉②➺t ✤è✐❀
✷✮ f ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ❤➛✉ ❦❤➢♣ ♥ì✐ tr➯♥ [a, b] ✈➔
x

f (x) = f (a) +

f (t)dt
a

✈î✐ ♠å✐ x ∈ [a, b]✳
✸✮ ❚ç♥ t↕✐ ❤➔♠ g ❦❤↔ t➼❝❤ ▲❡❜❡s❣✉❡ tr➯♥ [a, b] s❛♦ ❝❤♦
x

f (x) = f (a) +

g(t)dt
a

✈î✐ ♠å✐ x ∈ [a, b]✳




(X, A, à) ổ ở tr õ A số t
ủ ừ X à ở ừ ỳ tr X ỵ
Lp (X, dà) = {f : X R : |f |p

t tr X}(p

1).

r Lp(X, dà) t ỗ t ỡ tr X
ợ t ở ổ ữợ t ữủ

f

p

=

p

1
p

|f (x)| dx .

t Lp(X, dà) ổ ỡ ỳ ổ ố ừ
1 1
Lp (X, dà) ợ ổ Lq (X, dà) tr õ + = 1
p q
p
L rtr

f

: [a, b] ì Rn Rn

ữủ ồ Lp

rtr tọ s
y f (t, y) tử ợ t t [a, b]
t f (t, y) ữủ ợ ồ y Rn
ợ ồ c > 0 tỗ t hc Lp(I) s |y|
|f (t, y)| hc (t) ợ ồ t [a, b]

c

t

t tú ử t ỵ t ở rr

ỵ rr ồ tử tứ t õ

ỗ ừ ổ ỳ õ õ t
t ởt t ở

ổ ỗ ữỡ
ử tr ử t t ỡ ừ ổ
ỗ ữỡ t q ữủ tờ ủ tr r tứ



✽

✶✳✷✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì tæ♣æ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣

♥➳✉ ♥â ❝ì sð ❧➙♥ ❝➟♥ U ❝õ❛ 0 ❣ç♠ ❝→❝ t➟♣ ❧ç✐✳
✶✳✷✳✷ ▼➺♥❤ ✤➲✳ ●✐↔ sû X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐
0 ∈ X ❝â ❝ì sð ❧➙♥ ❝➟♥ U t❤♦↔ ♠➣♥✿
✶✮ U, V ∈ U t❤➻ ❝â W ∈ U s❛♦ ❝❤♦ W ⊂ U ∩ V ❀
✷✮ αU ∈ U ✈î✐ ♠å✐ α ∈ K, α = 0 ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ U ∈ U;
✸✮ ▼å✐ U ∈ U ❧➔ ❧ç✐✱ ❝➙♥ ✈➔ ❤ót✳
❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ tæ♣æ X ❝â ❤å ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ U t❤♦↔
♠➣♥ ✶✮✱ ✷✮ ✈➔ ✸✮ t❤➻ ♥â ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳
✶✳✷✳✸ ▼➺♥❤ ✤➲✳ ◆➳✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì E ❝â ❤å U ❣ç♠ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐✱
❝➙♥ ✈➔ ❤ót t❤➻ tr➯♥ E tç♥ t↕✐ tæ♣æ ②➳✉ ♥❤➜t s❛♦ ❝❤♦ ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥ tr➯♥ E
❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ E trð t❤➔♥❤ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ❝ì sð ❝õ❛ 0

tr♦♥❣ E ❧➔ ❤å ❝→❝ t➟♣
U = ε ∩ni=1 Vi , ε > 0, Vi ∈ U, 1

i

n.

✶✳✷✳✹ ▼➺♥❤ ✤➲✳ ◆➳✉ tæ♣æ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ τ tr➯♥ X ♥❤➟♥ U ❧➔♠ ❝ì sð
❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ✤✐➸♠ 0 ∈ X t❤➻ tæ♣æ ♥➔② ❧➔ ❍❛✉s❞♦r❢❢ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
εU = 0.
U ∈U;ε>0

❙❛✉ ✤➙② t❛ tr➻♥❤ ❜➔② ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝èt ②➳✉ ✈➲ sü ①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛ tæ♣æ
❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t❤æ♥❣ q✉❛ ❤å ❝→❝ ♥û❛ ❝❤✉➞♥✳ ✣➛✉ t✐➯♥ t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ❦❤→✐
♥✐➺♠ ♥û❛ ❝❤✉➞♥✳
✶✳✷✳✺ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❈❤♦ X ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì✳ ❍➔♠ p ①→❝ ✤à♥❤
tr➯♥ X ✈➔ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà t❤ü❝ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ♥û❛ ❝❤✉➞♥ tr➯♥ X ♥➳✉ ✈î✐
♠å✐ x, y ∈ X ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ λ ∈ K t❛ ❝â
N1 ✮ p(x) 0;
N2 ✮ p(x + y) p(x) + p(y);
N3 ✮ p(λx) = |λ|p(x).


✾

◆û❛ ❝❤✉➞♥ p tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì X ❧➔ ❝❤✉➞♥ tr➯♥ X ♥➳✉ p(x) = 0
s✉② r❛ x = 0✳ ◆➳✉ p ❧➔ ♠ët ❝❤✉➞♥ tr➯♥ X ✈➔ x ∈ X t❤➻ sè p(x) t❤÷í♥❣
✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ||x||.
✶✳✷✳✻ ▼➺♥❤ ✤➲✳ ◆➳✉ p ❧➔ ♠ët ♥û❛ ❝❤✉➞♥ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì X t❤➻ ✈î✐
♠å✐ α > 0 ❝→❝ t➟♣ A = {x ∈ E : p(x) < α} ✈➔ B = {x ∈ E : p(x) α}

❧➔ ❧ç✐✱ ❝➙♥ ✈➔ ❤ót✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû x, y ∈ A✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠å✐ λ ∈ [0, 1] t❛ ❝â
p(λx + (1 − λ)y)

p(λx) + p((1 − λ)y)
= |λ|p(x) + |1 − λ|p(y)
< λα + (1 − λ)α = α.

❉♦ ✤â λx + (1 − λ)y ∈ A✳ ❱➟② A ❧➔ t➟♣ ❧ç✐✳
❱î✐ ♠é✐ x ∈ A ✈î✐ ♠♦✐ r ∈ K s❛♦ ❝❤♦ |r|
p(rx) = |r|p(x)

1

t❛ ❝â

|r|α < α.

❙✉② r❛ rx ∈ A✳ ❱➟② A ❝➙♥✳
α
❱î✐ ♠é✐ x ∈ X ✳ ◆➳✉ p(x) = 0 t❤➻ x ∈ A✳ ◆➳✉ p(x) = 0 t❤➻ ❧➜② δ = p(x)
✳
❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠å✐ λ ∈ K s❛♦ ❝❤♦ |λ| < δ t❛ ❝â
p(λx) = |λ|p(x) <

α
p(x) = α.
p(x)

❱➻ ✈➟② λx ∈ A✳ ❉♦ ✤â A ❤ót✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t÷ì♥❣ tü t❛ ❝â ❦➳t ❧✉➟♥ ❝❤♦

B✳
✶✳✷✳✼ ◆❤➟♥ ①➨t✳ ●✐↔ sû P ❧➔ ❤å ❝→❝ ♥û❛ ❝❤✉➞♥ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì
X ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❦➳t ❤ñ♣ ❝→❝ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✸ ✈➔ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✻ t❛ ❝â✿ ❚r➯♥ X
tç♥ t↕✐ ♠ët tæ♣æ ②➳✉ ♥❤➜t s❛♦ ❝❤♦ E ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì tæ♣æ ✈➔ ❝→❝ p ∈ P
❧✐➯♥ tö❝✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ ❝ì sð ❧➙♥ ❝➟♥ t↕✐ 0
❧➔ ❤å ❝→❝ t➟♣ ❧ç✐ ❝â ❞↕♥❣
U = {x ∈ E : sup pi (x) < ε, i = 1, 2..., n},




tr õ > 0 pi P n N

sỷ A t ỗ út ừ ổ tỡ
tổổ X tỹ ổ àA : X R+
àA (x) = inf{t > 0 : x tA}

ợ ồ

xX

ữủ ồ s ừ t ủ A

ỵ A t ỗ út ừ ổ tỡ tổổ
X

t p := àA ỷ tr X ỡ ỳ

{x X : p(x) < 1} A {x X : p(x)

1}.

t X ổ ỗ ữỡ t X õ ỡ s

t ỗ út õ ỡ s tữỡ ự ợ
ồ ỷ s tữỡ ự t ủ ợ
t s r r ộ tổổ ỗ ữỡ t ữủ
ởt ồ ỷ ữủ

t sỷ P ồ ỷ s r tổổ ỗ

ữỡ tr E õ E sr p(x) = 0 ợ ồ
p P t x = 0

ỵ E ổ sr ỗ ữỡ E ữủ

ồ ữủ ỷ t E tr tự tr
E tỗ t ởt tr s r tổổ trũ ợ tổổ ỗ ữỡ
ừ õ

ự sỷ {pn} ồ ỷ s r tổổ ỗ ữỡ
tr E ợ ộ x, y E t t


d(x, y) =
n=1

1 pn (x y)
.
2n 1 + pn (x y)

✶✶

❑❤✐ ✤â✱ rã r➔♥❣ d(x, y) ①→❝ ✤à♥❤ ✈➔ ❤ì♥ ♥ú❛ d ❧➔ ♠➯tr✐❝ tr➯♥ E ✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤ tæ♣æ s✐♥❤ ❜ð✐ d trò♥❣ ✈î✐ tæ♣æ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ s✐♥❤ ❜ð✐ {pn}✳
❱î✐ ε > 0 t❛ ①➨t
Bd (0, ε) = {x ∈ E : d(x, 0) < ε}

❧➔ ❤➻♥❤ ❝➛✉ tr♦♥❣ tæ♣æ ❞♦ ♠➯tr✐❝ d s✐♥❤ r❛✳ ❈❤å♥ n0 ✤õ ❧î♥ s❛♦ ❝❤♦
n>n0

1
ε
<
.
2n
2

❱î✐ U ❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ 0 tr♦♥❣ tæ♣æ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
ε
U = {x ∈ E : pi (x) < , 1
2

i

n0 }.

❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â U ∈ B(0, ε)✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ♥➳✉ x ∈ U t❤➻
n0

d(x, 0) =
i=1
n0

<
i=1
n0

1 pi (x)
+
2i 1 + pi (x)
1
pi (x) +
2i

n>n0

n>n0

1 pn (x)
2n 1 + pn (x)

1
2n

1ε ε
+
2i 2 2
i=1

ε ε
< + .
2 2

<

◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ♥➳✉ t❛ ❧➜②
V = {x ∈ R∞ : pi (x) < , i ∈ I, I

❤ú✉ ❤↕♥

}

❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ 0 ∈ E tr♦♥❣ tæ♣æ s✐♥❤ ❜ð✐ ❤å {pn}✳ ▲➜② ε1 > 0 s❛♦ ❝❤♦
2i ε 1

ε
, i ∈ I.
1+ε

❑❤✐ ✤â
Bd (0, ε1 ) ⊂ V.


✶✷

❚❤➟t ✈➟②✱ ❣✐↔ sû ❝â x ∈ Bd(0, ε1) ✈➔

i∈I

s❛♦ ❝❤♦

pi (x) > ε.

❑❤✐ ✤â

∞

ε1 >
n=1

1 pn (x)
2n 1 + pn (x)

>

1 ε
.
2i 1 + ε

✣✐➲✉ ✤â ❦❤æ♥❣ ①↔② r❛✳ ❱➟② tæ♣æ ❞♦ d s✐♥❤ r❛ ❧➔ tæ♣æ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ E ❧➔
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈î✐ tæ♣æ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❤å ✤➳♠ ✤÷ñ❝ ❝→❝
♥û❛ ❝❤✉➞♥✳
❈→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❦❤↔ ♠➯tr✐❝ ❣å✐ ❧➔ F ✲❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✱ ♥➳✉
♥â ✤➛② ✤õ t❤➻ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❋r❡❝❤❡t✳

✶✳✷✳✶✸ ❱➼ ❞ö✳ ●✐↔ sû
R∞ := {x = {xn } : xn ∈ R, n

1}

✈î✐ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣ ✈➔ ♥❤➙♥ ✈æ ❤÷î♥❣ t❤æ♥❣ t❤÷í♥❣ t❤❡♦ tø♥❣ sè ❤↕♥❣✳ ❳➨t
❤å Q = {pn} ❧➔ ❤å ✤➳♠ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ♥û❛ ❝❤✉➞♥ tr➯♥ R∞ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
Pn (x) = |xn |; x = {xn }, n = 1, 2, ...

❑❤✐ ✤â R∞ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❉♦ ❤å ❝→❝ ♥û❛ ❝❤✉➞♥ ❧➔ ✤➳♠
✤÷ñ❝ ♥➯♥ R∞ ❝á♥ ❦❤↔ ♠➯tr✐❝
∞

d(x, y) =
n=1

1 |xn − yn |
2n 1 + |xn − yn |

✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ R∞✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ R∞ ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❜à ❝❤➦♥ ✤à❛
♣❤÷ì♥❣✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ♥➳✉ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ t❤➻ ♥â ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✳ ❑❤✐
✤â✱ tç♥ t↕✐ ❝❤✉➞♥ tr➯♥ R∞ s❛♦ ❝❤♦ tæ♣æ s✐♥❤ r❛ ❜ð✐ ❝❤✉➞♥ trò♥❣ ✈î✐ tæ♣æ
s✐♥❤ r❛ ❜ð✐ {pn}✳ ❳➨t B(0, 1) = {x ∈ R∞ : x < 1}✳ ❑❤✐ ✤â✱ tç♥ t↕✐
V = {x ∈ R∞ : pi (x) = |xi | < δ, i ∈ I}




tr õ I t ỳ s V B(0, 1) x0 = {x0n} R
s x0n = 0 n I x0n = 0 ợ n / I õ x0 = 0 s r
x0 = r > 0 ợ ồ số tỹ k ừ x0 V t õ
kx0 V õ kx0 B(0, 1) ợ ồ k r kx0 = kr < 1 ợ ồ
k ữủ sỹ t

ử ồ C(R) ổ tỡ tỹ tử tr
R

ợ ộ n = 1, 2, ... t

pn (f ) = sup{|f (x)| : x [n, n]},

ợ ồ f C(R) õ tr ữủ pn ỷ
tr C(R) õ C(R) ổ ỗ ữỡ s ồ
ỷ {pn} ỡ ỷ C(R) ổ rt ợ


d(f, g) =
n=1

1 pn (f g)
,
2n 1 + pn (f g)

ợ ồ f, g C(R)
t ỗ

E ởt ổ tỡ A E ỗ

ừ A t ỗ t ự A

ỗ ừ t A ữủ ỵ A ó r ỗ ừ A
ừ tt t ỗ ự A ỡ ỳ ữớ t ự ữủ
A = {

n

n

i ai : ai A, i > 0,
i

i = 1}.
i=1

r ổ ỗ ữỡ

ỗ ừ t
ỗ ừ t t t
ỗ ừ t t t t


✶✹

❙❛✉ ✤➙② t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët ❦➳t q✉↔ ❜ê trñ s➩ ✤÷ñ❝ ❞ò♥❣ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣
s❛✉✳
✶✳✷✳✶✼ ✣à♥❤ ❧þ✳ ●✐↔ sû E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤
❜ð✐ ❤å ❝→❝ ♥û❛ ❝❤✉➞♥ {pα}α∈I ✳ ❑❤✐ ✤â✱ A ⊂ E ❜à ❝❤➦♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â
❜à ❝❤➦♥ ✈î✐ ♠é✐ ♥û❛ ❝❤✉➞♥ pα✱ tù❝ ❧➔ ✈î✐ ♠é✐ α ∈ I tç♥ t↕✐ qα s❛♦ ❝❤♦
pα (x) < qα < ∞

✈î✐ ♠å✐ x ∈ A✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû A ❜à ❝❤➦♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠é✐ α ∈ I t❛ ❝â
U = {x ∈ E : pα (x) < 1}

❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝➙♥ ❝õ❛ 0 tr♦♥❣ E ✱ ❞♦ ✤â tç♥ t↕✐ n0 s❛♦ ❝❤♦
A ⊂ n0 U

✈î✐ ♠å✐ n

n0 ✳

❙✉② r❛
pα (x)

n0

✈î✐ ♠å✐ x ∈ A✳ ❍❛② A ❜à ❝❤➦♥ t❤❡♦ ♠é✐ ♥û❛ ❝❤✉➞♥✳
◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ❣✐↔ sû A ❜à ❝❤➦♥ ❜ð✐ ❤å ❝→❝ ♥û❛ ❝❤✉➞♥ {pα}α∈I ✳ ❱î✐ ♠é✐ U
❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ 0✳ ❑❤✐ ✤â ❝â t❤➸ ①❡♠ U ❝â ❞↕♥❣
U = {x ∈ E : pαi (x) < 1, i = 1, 2, ..., n}.

❱î✐ ♠é✐ i = 1, ..., n tç♥ t↕✐ Mi s❛♦ ❝❤♦
pαi (x)

Mi < ∞

✈î✐ ♠å✐ x ∈ A✳ ✣➦t M = max{Mi : i = 1, 2, ..., n}✳ ❑❤✐ ✤â
pαi (x)

M

✈î✐ ♠å✐ i = 1, 2, ..., n ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ A✳ ❙✉② r❛ εA ⊂ U ✈î✐ ε = M1 ✳ ❉♦
✤â A ❜à ❝❤➦♥✳

ỵ r
ử ự ỳ t q ừ r sỹ
rở t q tr ố ợ ổ ỗ ữỡ
rữợ t t tr ởt t q ờ trủ s
ỵ E ổ ỗ ữỡ sr A ởt
t t ừ E C t ỗ ừ E ự A õ
U ừ 0 t tỗ t ởt tử x PU (x) tứ A
E tọ
PU (x) x U ợ x A
PU (x) L C ợ x A tr õ L ởt ổ ỳ
ừ E
ự E ỗ ữỡ t õ t tt U ỗ
ỵ
àU (x) := inf{ > 0 : x U }

s U õ x
tử tr E

à(x)U

ỷ

U = {x E : àU (x < 1}.

ứ A t t s r tỗ t {a1, a2, ..., an} A s
n

A

U (ai ),
i=1

tr õ U (a) = U + a ợ


a E ài , i = 1, 2, ...

ài (x) := max{0, 1 àU (x ai )},

ợ ồ x E ứ àU tử tr E s r ài tử tr E
t ợ ộ i = 1, 2, ..., n t õ
0 ài (x) 1 ợ x E,


✶✻

✈î✐ µi(x) = 0 ♥➳✉
✤➦t

x∈
/ U (ai )

✈➔ µi(x) > 0 ♥➳✉
n
i=1 µi (x)ai
n
i=1 µi (x)

PU (x) =

✈î✐

❚❛ t❤➜② PU ①→❝ ✤à♥❤✱ ❜ð✐ ✈➻ ♥➳✉ x ∈ A t❤➻
✈➔♦ {1, 2, ..., n} ✈➔ ✈➻ t❤➳

x ∈ U (ai ).

❇➙② ❣✐í✱ t❛

x ∈ A.

x ∈ U (ai ) ✈î✐ i ♥➔♦ ✤â t❤✉ë❝

n

µi (x) = 0.
i=1

❍ì♥ ♥ú❛ PU ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ A ✈➔ t➟♣ ❣✐→ trà ❝õ❛ ♥â ♥➡♠ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❝♦♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ L s✐♥❤ ❜ð✐ {ai : i = 1, 2, ..., n}. ▼➦t ❦❤→❝ A ⊆ C ✈➔
C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐ ♥➯♥
PU (x) ∈ C

✈î✐ ♠é✐

x∈A

✈î✐

x ∈ A.

✳ ❉♦ ✤â
PU (x) ∈ L ∩ C

▼➦t ❦❤→❝
µU (PU (x) − x) =

n
i=1 µi (x)(ai − x)
n
i=1 µi (x)

✈î✐

x∈A

✈➔ ❞♦ ✤â
µU (PU (x) − x)

n
i=1 µi (x)µU (ai
n
i=1 µi (x)

− x)

❜ð✐ ✈➻ ✈î✐ ♠å✐ i = 1, 2, ...✱ ❤♦➦❝ µi(x) = 0 ✈➔

µi (x) > 0

✈➔

<1

✈î✐

µU (ai − x)

x ∈ A,
1

❤♦➦❝

µU (ai − x)U < 1.

❑❤✐ ✤â PU (x) − x ∈ U ✈î✐ x ∈ A. ✣à♥❤ ❧þ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❇➙② ❣✐í✱ t❛ tr➻♥❤ ❜➔② ✤à♥❤ ❧þ ❚✐❦❤♦♥♦✈✲❙❝❤❛✉❞❡r✳




ỵ E ổ ỗ ữỡ sr
C

t ỗ ừ E F : C E tử s
F (C) A C,

tr õ A t t õ F õ t t ởt t ở

ự sỷ U ỗ ừ 0 PU ữủ
ữ tr ỵ ớ t FU
FU (x) := PU (F (x))

ợ

x C.

õ PU tr tr ổ ỳ L
ữ tr ự ỵ ụ tứ ỵ t õ
x L C t F (x) A
FU (x) = PU (F (x)) L C.

r


sỷ K ỗ ừ t t PU (A) tr L ú ỵ r K
ụ t tứ PU (A) K L C s r
FU (L C) PU (A) L C.

FU (K ) K .

ử ỵ t ở ừ rr s r tỗ t x K ợ x =
FU (x) r
x F (x) U,

x = FU (x) tữỡ ữỡ ợ x = PU (F (x)) õ t ỵ
t õ
PU (F (x)) F (x) U.

ữ ợ t ý U ừ 0 tỗ t t t x
K C s tọ




ớ t sỷ r x = F (x) ợ ồ x C. t tử
ừ F E ổ sr s tỗ t Vx
Wx ừ 0 tọ
F (C Vx (x)) Wx (F (x))


F (C Vx (x)) Wx (F (x)) = .

sỷ Ux ởt ừ 0 s
2Ux Vx Wx .

A t tỗ t ởt t ỳ {ai : i = 1, ..., n} A ợ
n

A

Ui (i ).
i=1

r ợ t ý x C tỗ t j {1, ..., n} s
x F (x) U .

t ố x C y = F (x) A tỗ t j {1, ..., n}
ợ y U (j ) õ y = u + aj ợ u õ tở U . õ

U (y) t tỗ t U ợ
j

j

j

j

j

z = + y = + u + aj ,


z 2Uj + aj Vj (j ).

t ữủ


sỷ r ổ ú õ ợ t ý x C t
õ x V (y); ợ y = F (x) tứ t t r x V (j ) t
tứ t õ
Uj (y) Vj (j ).

j

j

y = F (x) Wj (F (aj )).

tứ y W (F (aj )) s r y / V (j )
t ợ õ ợ t ý x C tỗ t j {1, ..., n} s
j

j

x F (x)

ồ U s



Uj .

n

U

ứ tr t ữủ
x F (x)
/U

Ui .
i=1

ợ ồ x C.

ữủ sỹ t ợ õ tỗ t x C ợ x =
F (x)
ữủ q s

q E ổ ỗ ữỡ sr

t ỗ ừ E F : C C tử t
õ F õ t t ởt t ở tr C

C

ữ ỵ r F : C C t F (C) t t
tữỡ ố ừ C
ộ ổ ổ sr ỗ ữỡ
t q s ỵ t ở r ờ
t õ õ t ự ở ữỡ

ỵ C t õ ỗ ừ ổ
E õ ồ t tử F
ởt t ở

:C C

õ t t




ì

ị ế ệ
P ệ
ữỡ ự sỹ tỗ t t ở ừ
tử ố ợ tổ ổ ỵ ữủ tt ừ ỹ tr
ỵ t ở r

ởt số t q tổổ
ử ự ởt số t q tổổ
sỷ X ổ tr trữớ K
tt t t tử tr X ồ ổ
ủ X
sỷ X ổ tỡ tổổ tr trữớ K
X ổ ủ ừ X õ ợ ồ f X
pf :X K
x pf (x) = |f (x)|

ỷ tr X ổổ ỗ ữỡ tr X s ồ ỷ
pf : f X ữủ ồ tổổ tr X (X, X )
ỵ sỷ ổ tỡ tổổ õ tổổ
(X, X ) tổổ sr
tỷ xn ừ X ồ ở tử x ừ X
xn ở tử x ố ợ tổổ (X, X ) õ t t xn x




E ổ (xn) E
õ xn x f (xn) f (x) n ợ ồ f E
ự sỷ xn x õ ợ ộ f E > 0 t õ
U = {y E : |f (y) f (x)| < }.

t tổổ ừ x õ tỗ t n0 s xn U
ợ ồ n n0
|f (xn ) f (x)|



ợ ồ n n0 tự f (xn) f (x) n .
ữủ ợ ồ f E f (xn) f (x) n sỷ U
ừ x õ U õ
U = {y E : |f1 (y) f1 (x) < 1 , ..., |fk (y) fk (x)| < k },

tr õ i > 0, fi E ợ ồ i = 1, 2, ..., k ứ fi(xn) fi(x)
n ợ ồ i = 1, 2, ..., k s r tỗ t ni s
|fi (xn ) fi (x) < i

ợ ồ n

ni

t n0 = max{n1, ..., nk } õ ợ ồ n

n0

t õ

|fi (xn ) fi (x) < i

ợ ồ i = 1, ..., k õ xn U ợ ồ n n0 tự xn x
E ổ õ ồ

ở tử t
ử s t ởt ở tử õ t ổ ở tử
ử sỷ H ổ rt ợ ỡ s trỹ
(en ) õ ợ ộ a H t õ tự Ps


a

2

| a|en |2 .

=
n=1


✷✷

❉♦ ✤â n→∞
lim | en |a | = 0✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧þ ❘✐❡③ t❤➻ ♠å✐ f
✤➲✉ ❝â ❞↕♥❣ f (x) = x|a ✱ tr♦♥❣ ✤â a ∈ H ✳ ❱➻ ✈➟②✱

∈ H∗

f (en ) = en |a → 0

❦❤✐ n → ∞ ✈î✐ ♠å✐ f ∈ H ∗. ❉♦ ✤â (en) ❤ë✐ tö ②➳✉ tî✐ 0 tr♦♥❣ H ✳ ❱➻
en = 1

✈î✐ ♠å✐ n ♥➯♥ en ❦❤æ♥❣ ❤ë✐ tö tî✐ 0✳

✷✳✶✳✽ ◆❤➟♥ ①➨t✳ ❚ø ✈➼ ❞ö tr➯♥ t❛ ❝â
K = {en : n = 1, 2, ...} ∪ {0}

❧➔ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t ②➳✉✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ♥â ❦❤æ♥❣ ❧➔ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t ❜ð✐ ✈➻
en − em

2

=2

✈î✐ ♠å✐ m = n✳
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦➳t q✉↔ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ tæ ♣æ
②➳✉✳

✷✳✶✳✾ ✣à♥❤ ❧þ✳ ✭❬✻❪✮ ◆➳✉ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ t❤➻ ♠ët t➟♣ ❜à ❝❤➦♥

❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❜à ❝❤➦♥ ②➳✉✳

✷✳✶✳✶✵ ✣à♥❤ ❧þ✳ ✭❬✻❪✮ ◆➳✉ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ F ❧➔ t➟♣
❝♦♥ ❧ç✐ ❝õ❛ E t❤➻ ❜❛♦ ✤â♥❣ t❤❡♦ tæ♣æ ②➳✉ ❝õ❛ F trò♥❣ ✈î✐ ❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛
♥â✳

✣à♥❤ ❧þ s❛✉ ❧➔ ❦➳t q✉↔ ♥ê✐ t✐➳♥❣ ❝õ❛ ❊❜❡r❧❡✐♥ ✈➔ ❙♠✉❧✐❛♥✳

✷✳✶✳✶✶ ✣à♥❤ ❧þ✳ ✭❬✻❪✮ ❈❤♦ X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❦❤↔ ♠➯tr✐❝✳

❑❤✐ ✤â✱ t➟♣ ❝♦♥ A ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t ②➳✉ t❤❡♦ ❞➣② ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❝♦♠♣❛❝t
②➳✉✳

✷✸

❚❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ r➡♥❣✱ t➟♣ A tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ X ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t t❤❡♦ ❞➣②
♥➳✉ ♠é✐ ❞➣② ❝õ❛ A ❝â ♠ët ❞➣② ❝♦♥ ❤ë✐ tö tr♦♥❣ A✳
❑➳t q✉↔ s❛✉ t❤✉ë❝ ✈➲ ❑r❡✐♥✲❙♠✉❧✐❛♥✳
✷✳✶✳✶✷ ✣à♥❤ ❧þ✳ ✭❬✻❪✮ ❇❛♦ ❧ç✐ ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t ②➳✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
❇❛♥❛❝❤ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t ②➳✉✳
❙❛✉ ✤➙② ❧➔ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❤ë✐ tö ②➳✉ tr♦♥❣ ♠ët ✈➔✐ ❧î♣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ q✉❡♥
t❤✉ë❝✳
●✐↔ sû C0 ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❝→❝ ❞➣② ❤ë✐ tö tî✐ 0 ✈î✐ ❝❤✉➞♥
∞

x = sup |xn |
n=1

✈î✐ ♠å✐ x = (xn) ∈ C0✳ ❚❛ ✤➣ ❜✐➳t r➡♥❣✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ C0 ❧➔
✤➥♥❣ ❝➜✉ ✈î✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
∞

l1 = {x = (xn ) :

|xn | < ∞}
n=1

✈î✐ ❝❤✉➞♥

∞

|xn |.

x =
n=1

✷✳✶✳✶✸ ▼➺♥❤ ✤➲✳ ❉➣② (xk ) ⊂ C0 ❤ë✐ tö ②➳✉ tî✐ x ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ (xk ) ❜à

❝❤➦♥ tr♦♥❣ C0 ✈➔ ✈î✐ ♠é✐ n = 1, 2, ...✱ n→∞
lim xkn = xn ✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➻ xk x ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ xk − x ♥➯♥ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ t❤✐➳t
xk
0✳
●✐↔ sû xk 0✳ ❑❤✐ ✤â✱ (xk ) ❜à ❝❤➦♥ t❤❡♦ ❝❤✉➞♥✱ tù❝ ❧➔ tç♥ t↕✐ M > 0
s❛♦ ❝❤♦
xk = sup xkn

M

n

✈î✐ ♠å✐ k = 1, 2, ...✳ ❇➙② ❣✐í✱ ✈î✐ ♠é✐ n = 1, 2, ... ①➨t ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ pn
C0 → K ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
pn (y) = yn , ∀y = (y1 , y2 , ..., yn , ...) ∈ K.

: