Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian b mêtric

1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1 Không gian b-mêtric

5

1.1. Một số kiến thức chuẩn bị

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Không gian b-mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co trong không
gian b-mêtric

12

2.1. Một vài kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co kiểu
Banach, Kannan, Chatterjea trong không gian b-mêtric . . . . . . . . 12
2.2. Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ T-co yếu suy rộng kiểu
Kannan và Chatterjea trong không gian b-mêtric . . . . . . . . . . . 19

Kết luận

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Tài liệu tham khảo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


2

MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động là một trong những chủ đề được quan tâm nghiên
cứu trong giải tích, nó có nhiều ứng dụng trong toán học và các ngành kỹ
thuật. Nguyên lý về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co trong không gian
mêtric đầy đủ của Banach (1922) là một trong những kết quả quan trọng đầu
tiên trong lý thuyết điểm bất động. Kết quả này đã được mở rộng cho nhiều
loại ánh xạ và nhiều lớp không gian khác nhau.
Vào năm 1993, để mở rộng lớp các không gian mêtric, S.Czerwik [5] đã đưa
ra khái niệm không gian b-mêtric và chứng minh một vài kết quả về sự tồn
tại điểm bất động của ánh xạ co trong không gian b-mêtric. Sau đó nhiều nhà
toán học đã tìm cách mở rộng các kết quả về sự tồn tại điểm bất động trong
không gian mêtric cho không gian b-mêtric. Năm 2013, M.Kir và H.Kiziltunc
[9] đã chứng minh sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co kiểu Kannan

và kiểu Chatterjea trong không gian b-mêtric. Mới đây (2014), Z.Mustaja
và các cộng sự [11] đã mở rộng các kết quả của Kannan [7], Chatterjea [3],
Choudhury [4], Moradi [10] và Razami, Parvaneh [12] về sự tồn tại điểm bất
động của các ánh xạ co kiểu Kannan, Chatterjea, T-co yếu suy rộng kiểu
Kannan, Chatterjea trong không gian mêtric cho không gian b-mêtric.
Chúng tôi nhận thấy rằng, trong [9], khi chứng minh các định lý, Kir và
Kiziltunc đã mắc phải một số sai sót. Các kết quả của Mustaja cùng các cộng
sự trong [11] còn có thể mở rộng được. Từ đó, vấn đề được chứng tôi đặt ra


3

là khắc phục các sai sót của Kir và Kiziltunc trong [9] và mở rộng các kết quả
của Mustaja và các cộng sự trong [11]. Với mục đích đó luận văn của chúng
tôi có nhan đề là "Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co trong không
gian b-mêtric" và được trình bày thành hai chương.
Chương 1 trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gian
mêtric, b-mêtric, giới hạn và ánh xạ làm cơ sở cho việc trình bày chương 2.
Trong chương 2, đầu tiên chúng tôi trình bày lại một số kết quả về sự tồn
tại điểm bất động của các ánh xạ co kiểu Banach, Kannan, Chatterjea trong
không gian b-mêtric đã có trong tài liệu tham khảo [9], chỉ ra những sai sót
trong [9] và đưa ra cách khắc phục (Nhận xét 2.1.7). Sau đó, chúng tôi đưa
ra một số kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ T-co yếu
suy rộng kiểu Kannan và Chatterjea trong không gian b-mêtric, đó là Định lý
2.2.6 và các Hệ quả 2.2.7, 2.2.8, 2.2.9, 2.2.11, 2.2.12. Các kết quả của chúng
tôi là mở rộng của các kết quả chính trong các tài liệu tham khảo [4], [11],
[12]. Cuối cùng chúng tôi đưa ra Ví dụ 2.2.13 chứng tỏ Định lý 2.2.6 thực sự
tổng quát hơn hai Định lý 4 và 5 trong tài liệu [11].
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Vinh năm 2015 dưới sự
hướng dẫn tận tình của PGS.TS Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin bày tỏ lòng

biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy và xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm
khoa sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa sư phạm Toán và quý thầy, cô trong
tổ Giải tích trường Đại học Vinh, Trường Đại học Sài Gòn đã giúp đỡ chúng
tôi trong thời gian học tập, rèn luyện và hoàn thành luận văn này.
Qua đây, tác giả gửi lòng cảm ơn đến Ban giám hiệu trường THPT Chuyên
Lê Hồng Phong, Quận 5, Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận
lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập.
Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn
trong lớp Cao học 21 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong


4

suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những hạn
chế, thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của
Quý thầy cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng năm 2015
Tác giả


5

CHƯƠNG 1
KHÔNG GIAN b-MÊTRIC

Chương này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của không
gian b-mêtric làm cơ sở cho việc trình bày chương 2.

1.1. Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gian
mêtric,giới hạn trên, giới hạn dưới,... mà chúng ta cần dùng trong luận văn
1.1.1 Định nghĩa. ([1]). Giả sử X là tập khác rỗng và d : X × X → R.
Hàm d được gọi là mêtric trên X nếu với mọi x, y, z ∈ X các điều kiện sau
được thỏa mãn
1) d(x, y) ≥ 0, và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y ;
2) d(x, y) = d(y, x);
3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Tập X cùng với một mêtric d trên nó được gọi là không gian mêtric và
được kí hiệu bởi (X, d) hoặc X .
1.1.2 Định nghĩa. ([1]). Giả sử {xn } là dãy số thực bị chặn. Khi đó, tồn
tại inf n sup{xn+k : k = 0, 1, ...} ∈ R và supn inf{xn+k : k = 0, 1, ...} ∈ R. Ta
gọi inf n sup{xn+k : k = 0, 1, ...}, supn inf{xn+k : k = 0, 1, ...} thứ tự là giới
hạn trên, giới hạn dưới của dãy {xn } khi n → ∞ và kí hiệu bởi lim sup xn ,

lim inf xn .
n→∞

n→∞


6

Nếu dãy {xn } không bị chặn trên (không bị chặn dưới) thì ta đặt lim sup xn =
n→∞

+∞ (lim inf xn = −∞).
n→∞

1.1.3 Bổ đề. ([1]). Với mọi dãy số thực {xn } ta có

1) lim inf xn ≤ lim sup xn ;
n→∞

n→∞

2) Tồn tại lim xn = a khi và chỉ khi
n→∞

lim inf xn = lim sup xn = a.
n→∞

n→∞

1.1.4 Bổ đề. ([1]). Giả sử {xn } và {yn } là các dãy số bị chặn. Khi đó,
1) lim sup(xn + yn ) ≤ lim sup xn + lim sup yn .
n→∞

n→∞

n→∞

2) lim inf (xn + yn ) ≥ lim inf xn + lim inf yn .
n→∞

n→∞

n→∞

1.1.5 Bổ đề. Giả sử f : R → R là hàm đơn điệu liên tục và {xn } là dãy bị
chặn trong R. Khi đó

1) lim sup f (xn ) ≤ f (lim sup xn ).
n→∞

n→∞

2) lim inf f (xn ) ≥ f (lim inf xn ).
n→∞

n→∞

Chứng minh. Đặt un = sup{xn+k : k = 0, 1, ...}. Khi đó,

lim sup xn = inf un = lim un := α
n

n→∞

n→∞

và xn ≤ un với mọi n = 1, 2, .... Vì f đơn điệu tăng nên f (xn ) ≤ f (un ) với
mọi n = 1, 2, .... Từ bất đẳng thức này suy ra

lim sup f (xn ) ≤ lim sup f (un )
n→∞

n→∞

Mặt khác, vì f liên tục và limn→∞ un = α nên

f (lim sup xn ) = f (α) = lim f (un ) = lim sup f (un ).

n→∞

n→∞

n→∞

Kết hợp với (1) suy ra

f (lim sup xn ) ≥ lim sup f (xn ).
n→∞

n→∞

Khẳng định 2) được chứng minh tương tự.

(1)


7

1.2. Không gian b-mêtric
Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính
chất củakhông gian b-mêtric.
1.2.1 Định nghĩa. ([5]). Giả sử X là tập khác rỗng và s ≥ 1. Hàm d :

X × X → [0, +∞) được gọi là b-mêtric nếu với mọi x, y, z ∈ X ta có
1) d(x, y) = 0 ⇔ x = y ;
2) d(x, y) = d(y, x);
3) d(x, y) ≤ s[d(x, z) + d(z, y)] (bất đẳng thức tam giác).
Tập X cùng với một b-mêtric trên nó được gọi là không gian b-mêtric với

tham số s, nói gọn là không gian b-mêtric và được kí hiệu bởi (X, d) hoặc X .
Chú ý. 1) Từ đây về sau, khi nói tới không gian b-mêtric ta luôn hiểu
tham số của nó là s ≥ 1.
2) Từ định nghĩa không gian mêtric và không gian b-mêtric ta thấy rằng,
không gian mêtric là trường hợp đặc biệt của không gian b-mêtric khi s = 1.
Ví dụ sau đây cho thấy rằng, lớp các không gian b-mêtric thực sự rộng hơn
lớp các không gian b-mêtric.
1.2.2 Ví dụ. ([11]). 1) Giả sử (X, p) là không gian mêtric và d : X × X →

[0, +∞) là hàm được cho bởi
d(x, y) = (p(x, y))2 ,

∀x, y ∈ X.

Khi đó, d là b-mêtric với s = 2.
2) Giả sử X = R và trên R ta xét mêtric thông thường. Ta xác định hàm

d : R × R → [0, +∞) bởi
d(x, y) = |x − y|2 ,

∀x, y ∈ R.


8

Khi đó, d là mêtric với s = 2 (theo 1)) nhưng d không là mêtric trên R vì

d(1, −2) = 9 > 5 = d(1, 0) + d(0, −2).
1.2.3 Định nghĩa. ([5]). Giả sử {xn } là dãy trong không gian b-mêtric (X, d)
Dãy {xn } được gọi là b-hội tụ (nói gọn là hội tụ) tới x ∈ X và được kí

hiệu bởi xn → x hoặc limn→∞ xn = x nếu với mọi

n0 sao cho d(xn , x) <

> 0, tồn tại số tự nhiên

với mọi n ≥ n0 . Nói cách khác, xn → x khi và chỉ

khi d(xn , x) → 0 khi n → ∞.
Dãy {xn } được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi

> 0, tồn tại số tự nhiên

n0 sao cho d(xn , xm ) < với mọi n, m ≥ n0 .
Không gian b-mêtric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong nó đều
hội tụ.
1.2.4 Bổ đề. Giả sử {xn } là dãy trong không gian b-mêtric (X, d) và xn →

x ∈ X . Khi đó,
1) {xn } là dãy Cauchy;
2) x là duy nhất;
3) 1s d(x, y) ≤ lim inf d(xn , y) ≤ lim sup d(xn , y) ≤ sd(x, y)
n→∞

n→∞

với mọi y ∈ X .
Chứng minh. 1) Vì xn → x nên với mọi

d(xn , x) <

2s

,

> 0 tồn tại số tự nhiên n0 sao cho
∀n ≥ n0 .

Từ đó suy ra

d(xn , xm ) ≤ s[d(xn , x) + d(xm , x)] < ,
Do đó, {xn } là dãy Cauchy.

∀n, m ≥ n0 .


9

2) Giả sử xn → x và xn → y . Khi đó, d(xn , x) → 0 và d(xn , y) → 0 khi

n → ∞. Theo bất đẳng thức tam giác
d(x, y) ≤ s[d(xn , x) + d(xn , y)],

n = 1, 2, ...

Cho n → ∞ ta được

0 ≤ d(x, y) ≤ s[ lim d(xn , x) + lim d(xn , y)] = 0.
n→∞

n→∞

Do đó d(x, y) = 0 tức là x = y . Vậy x là duy nhất.
3) Với mọi y ∈ X ta có

d(x, y) ≤ s[d(x, xn ) + d(xn , y)],

∀n = 1, 2, ...

Từ đó suy ra

1
d(x, y) − d(x, xn ) ≤ d(xn , y) ≤ s[d(xn , x) + d(x, y)]
s
với mọi n = 1, 2, ...
Trong bất đẳng thức trên cho n → ∞ và sử dụng limn→∞ d(xn , x) = 0 ta
được

1
d(x, y) ≤ lim inf d(xn , y) ≤ lim sup d(xn , y) ≤ sd(x, y).
n→∞
s
n→∞
Vậy ta có bất đẳng thức 3).
1.2.5 Bổ đề. ([2]). Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric, {xn } và {yn } là
hai dãy trong X lần lượt hội tụ tới x và y tương ứng. Khi đó, ta có hệ thức
sau

1
d(x, y) ≤ lim inf d(xn , yn ) ≤ lim sup d(xn , yn ) ≤ s2 d(x, y).

2
n→∞
s
n→∞
Đặc biệt, nếu x = y thì lim d(xn , yn ) = 0.
n→∞

(1)


10

Chứng minh. Theo bất đẳng thức tam giác ta có

d(x, y) ≤ s[d(xn , x) + d(xn , y)]
≤ sd(xn , x) + s2 [d(xn , yn ) + d(yn , y)] ∀n = 1, 2, ...
Do đó ta có

1
1
d(x,
y)
−
d(xn , x) − d(yn , y) ≤ d(xn , yn ) ∀n = 1, 2, ...
s2
s

(2)

Vì xn → x và yn → y nên

lim inf d(xn , x) = lim sup d(xn , x) = lim d(xn , x) = 0
n→∞

n→∞

n→∞

lim inf d(yn , x) = lim sup d(yn , x) = lim d(yn , x) = 0.
n→∞

n→∞

n→∞

Do đó, lấy lim inf n→∞ hai vế của (2) ta được

1
d(x, y) ≤ lim inf d(xn , yn ).
n→∞
s2

(3)

Tương tự như trên ta có

d(xn , yn ) ≤ s[d(xn , x) + d(x, yn )]
≤ sd(xn , x) + s2 [d(x, y) + d(y, yn )] ∀n = 1, 2, ...

(4)

Lấy lim supn→∞ hai vế của (4) ta được

lim sup d(xn , yn ) ≤ s2 d(x, y).

(5)

n→∞

Từ (3) và (5) ta suy ra (1).
1.2.6 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric và f : X → X .
1) Ánh xạ f được gọi là liên tục nếu mọi dãy {xn } trong X mà xn → x
ta có f xn → f x.
Ở đây và sau này ta viết f x thay cho f (x) với mọi x ∈ X .


11

2) Ánh xạ f được gọi là hội tụ dãy nếu với mọi dãy {xn } trong X mà

{f xn } hội tụ thì dãy {xn } hội tụ.
3) Ánh xạ f được gọi là hội tụ dãy con nếu với mọi dãy {xn } trong X mà

{f (xn )} hội tụ suy ra tồn tại dãy con {xnk } của {xn } mà {xnk } hội tụ.
4) Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu f x = x.


12

CHƯƠNG 2

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CO
TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC

Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày một số kết quả đã biết về
sựtồn tại điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian b-mêtric. Sau
đó,chúng tôi đưa ra một vài kết quả mới mà đó là sự mở rộng của một số kết
quả đã biết về sự tồn tại điểm bất động trong không gian b-mêtric đã được
công bố trong các tài liệu tham khảo [4], [11], [12].

2.1. Một vài kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co
kiểu Banach, Kannan, Chatterjea trong không gian b-mêtric
Trong mục này, chúng ta trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất
động của các ánh xạ co kiểu Banach, Chatterjea, Kannan,... trong không gian

b-mêtric đã được giới thiệu trong tài liệu tham khảo [9].
2.1.1 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric và f : X → X .
Ánh xạ f được gọi là co kiểu Banach nếu tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho

d(f x, f y) ≤ αd(x, y),

∀x, y ∈ X

Khi đó, α được gọi là hằng số co của f .
2.1.2 Chú ý. Nếu f : X → X là ánh xạ co kiểu Banach thì f liên tục theo
nghĩa, từ {xn } là dãy trong X và xn → x ∈ X kéo theo f xn → f x.


13

Chứng minh. Giả sử f là ánh xạ co kiểu Banach với hằng số α và {xn } là

dãy trong X , xn → x ∈ X . Khi đó, ta có

0 ≤ d(f xn , f x) ≤ αd(xn , x) → 0 khi → ∞.
Do đó, d(f xn , f x) → 0 khi n → ∞ tức f xn → f x.
2.1.3 Định lý. ([9]). Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric đầy đủ và f :

X → X là ánh xạ co kiểu Banach với hằng số co α. Khi đó, nếu α <

1
s

thì

f có điểm bất động duy nhất x∗ và f n x0 → x∗ với mọi x0 ∈ X .
Chứng minh. Lấy x0 ∈ X và xây dựng dãy {xn } trong X bởi

xn+1 = f xn = f n+1 x0 ∀n = 0, 1, ....

(2.1.1)

Vì f là ánh xạ co với hằng số co α ∈ [0, 1) nên ta có

d(xn , xn+1 ) = d(f xn−1 , f xn ) ≤ αd(xn−1 , xn )
= αd(f xn−2 , f xn−1 ) ≤ α2 d(xn−2 , xn−1 )
≤ ... ≤ αn d(x0 , x1 ) ∀n = 1, 2, ...

(2.1.2)

Sử dụng bất đẳng thức tam giác và (2.1.2) ta có

d(xn , xn+p ) ≤ s[d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+p )]
≤ sd(xn , xn+1 ) + s2 [d(xn+1 , xn+2 ) + d(xn+2 , xn+p )]
≤ ... ≤ sd(xn , xn+1 ) + s2 d(xn+1 , xn+2 ) + ...+
+ sp−1 [d(xn+p−2 , xn+p−1 ) + d(xn+p−1 , xn+p )]
≤ sαn d(x0 , x1 ) + s2 αn+1 d(x0 , x1 ) + ...+
sp−1 αn+p−2 d(x0 , x1 ) + sp−1 αn+p−1 d(x0 , x1 )
≤ (sαn + s2 αn+1 + ... + sp−1 αn+p−2 + sp−1 αn+p−1 )d(x0 , x1 )
p
sαn
n 1 − (sα)
= sα
d(x0 , x1 ) <
d(x0 , x1 )
(2.1.3)
1 − sα
1 − sα


14

với mọi n = 1, 2, ... và mọi p = 0, 1, ... (vì sα < 1).
Do α ∈ [0, 1) nên

sαn
1−sα d(x0 , x1 )

→ 0 khi n → ∞. Kết hợp với (2.1.3) suy ra

lim d(xn , xn+p ) = 0 ∀p = 0, 1, ...

n→∞

Điều này chứng tỏ {xn } là dãy Cauchy trong (X, d). Vì (X, d) là không gian
b-mêtric đầy đủ nên tồn tại x∗ , sao cho f n x0 = xn → x∗ .
Bây giờ, ta chứng minh x∗ là điểm bất động của f . Vì f là ánh xạ co nên
theo Chú ý 2.1.2, f liên tục. Do đó, f xn → f x∗ tức là xn+1 → f x∗ . Mặt
khác, xn+1 → x∗ . Do đó, theo Bổ đề 1.2.4 2) thì f x∗ = x∗ . Vậy x∗ là điểm
bất động của f .
Giả sử y ∈ X cũng là một điểm bất động của f tức là f y = y . Khi đó, ta
có

d(x∗ , y) = d(f x∗ , f y) ≤ αd(x∗ , y).
Vì α ∈ [0, 1) nên d(x∗ , y) = 0, tức là x∗ = y . Vậy điểm bất động của f là
duy nhất.
Ánh xạ co kiểu Banach là liên tục. Do đó một vấn đề đặt ra một cách tự
nhiên là có thể đưa ra các điều kiện co sao cho các ánh xạ thỏa mãn các điều
kiện co này sẽ có điểm bất động nhưng không liên tục. Để giải quyết vấn đề
này, trong [3] và [6], Kannan và Chatterjea đã đưa ra các khái niệm co kiểu
Kannan và co kiểu Chatterjea sau đây.
2.1.4 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian mêtric và f : X → X .
1) ([7]) Ánh xạ f được gọi là co kiểu Kannan nếu tồn tại α ∈ [0, 21 ) sao
cho

d(f x, f y) ≤ α[d(x, f x) + d(y, f y)],

∀x, y ∈ X.

2) ([3]) Ánh xạ f được gọi là co kiểu Chatterjea nếu tồn tại α ∈ [0, 21 ) sao
cho

d(f x, f y) ≤ α[d(x, f y) + d(y, f x)],

∀x, y ∈ X.


15

Nếu (X, d) là không gian mêtric đầy đủ thì Kannan [6] đã chứng minh mọi
ánh xạ co kiểu Kannan trên X có điểm bất động duy nhất còn Chatterjea
[3] đã chứng tỏ mọi ánh xạ co kiểu Chatterjea trên X có điểm bất động duy
nhất.
Để mở rộng các kết quả trên đây của Kannan và Chatterjea cho trường
hợp không gian b-mêtric, trong [9] M. Kir và H. Kiziltunc đã đưa ra hai định
lý sau đây.
2.1.5 Định lý. ([9] Theorem 2). Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric đầy
đủ với s ≥ 1 và f : X → X là ánh xạ sao cho tồn tại µ ∈ [0, 12 ) thỏa mãn

d(f x, f y) ≤ µ[d(x, T x) + d(y, T y)] ∀x, y ∈ X.

(2.1.4)

Khi đó, f có duy nhất một điểm bất động x∗ ∈ X và f n x0 → x∗ với mọi

x0 ∈ X .
Chứng minh. Lấy x0 ∈ X và xây dựng dãy {xn } trong X bởi

xn+1 = f xn = f n+1 x0 , ∀n = 0, 1, ...
Theo điều kiện (2.1.4) ta có

d(xn , xn+1 ) = d(f xn−1 , f xn ) ≤ µ[d(xn−1 , xn ) + d(xn , xn+1 )]

với mọi n = 1, 2, .... Do đó

d(xn , xn+1 ) ≤

µ
d(xn−1 , xn ) , ∀n = 1, 2, ...
1−µ

(2.1.5)

µ n
) d(x0 , x1 ) , ∀n = 1, 2, ...
1−µ

(2.1.6)

Từ (2.1.5) suy ra

d(xn , xn+1 ) ≤ (


16

Vì µ ∈ [0, 12 ) nên

µ
1−µ

< 1. Do đó, f là ánh xạ co. Tiếp theo, bằng cách chứng

minh tương tự như trong chứng minh Định lý 2.1.3 ([9] Theorem 1) ta kết
luận được {xn } là dãy Cauchy.
Vì X là đầy đủ nên tồn tại x∗ ∈ X sao cho xn → x∗ . Sử dụng bất đẳng
thức tam giác và điều kiện (2.1.4) ta có

d(x∗ , f x∗ ) ≤ s[d(x∗ , xn ) + d(xn , f x∗ )]
= sd(x∗ , xn ) + sd(f xn−1 , f x∗ )
≤ sd(x∗ , xn ) + sµ[d(xn−1 , xn ) + d(x∗ , f x∗ )].

(2.1.7)

s
sµ
d(x∗ , xn ) +
d(xn−1 , xn )
1 − sµ
1 − sµ

(2.1.8)

Do đó

0 ≤ d(x∗ , f x∗ ) ≤

với mọi n = 1, 2, .... Vì xn → x∗ nên từ Định nghĩa 1.2.3 và Bổ đề 1.2.4 1)
suy ra vế phải của (2.1.8) dần tới 0 khi n → ∞. Kết hợp với (2.1.8) suy ra

d(f x∗ , x∗ ) = 0 tức x∗ = f x∗ . Như vậy x∗ là điểm bất động của f .
Giả sử y ∈ X cũng là một điểm bất động của f . Khi đó, theo điều kiện
(2.1.4) ta có

0 ≤ d(x∗ , y) = d(f x∗ , f y) ≤ µ[d(x∗ , f x∗ ) + d(y, f y)] = 0.
Do đó d(x∗ , y) = 0 tức x∗ = y . Vậy điểm bất động của f là duy nhất.
2.1.6 Định lý. ([9] Theorem 3) Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric đầy đủ,

f : X → X là ánh xạ sao cho tồn tại λ ∈ [0, 12 ) thỏa mãn λs ∈ [0, 12 ) và
d(f x, f y) ≤ λ[d(x, f y) + d(y, f x)] , ∀x, y ∈ X

(2.1.9)

Khi đó, f có duy nhất một điểm bất động x∗ ∈ X và f n x0 → x∗ với mọi

x0 ∈ X .


17

Chứng minh. Giả sử {xn } ⊂ X là dãy được xây dựng như trong Định lý
2.1.5. Theo điều kiện (2.1.9) ta có

d(xn , xn+1 ) = d(f xn−1 , f xn ) ≤ λ[d(xn−1 , xn+1 ) + d(xn , xn )]
≤ sλ[d(xn−1 , xn ) + d(xn , xn+1 )] ∀n = 1, 2, ...
Do đó, ta có

d(xn , xn+1 ) ≤

λs
d(xn−1 , xn ) ∀n = 1, 2, ...
1 − λs

(2.1.10)

λs n
) d(x0 , x1 ) ∀n = 1, 2, ...
1 − λs

(2.1.11)

Từ (2.1.10) suy ra

d(xn , xn+1 ) ≤ (
Vì λs ∈ [0, 21 ) nên

λs
1−λs

< 1. Do đó bằng cách chứng minh tương tự như trong

chứng minh Định lý 2.1.3, ta kết luận được {xn } là dãy Cauchy. Vì (X, d)
đầy đủ nên tồn tại x∗ ∈ X sao cho xn → x∗ .
Bây giờ ta chứng tỏ x∗ là điểm bất động của f . Ta có, với mọi n = 1, 2, ...

d(x∗ , f x∗ ) ≤ sd(x∗ , xn+1 ) + sd(xn+1 , f x∗ )
= sd(x∗ , xn+1 ) + sd(f xn , f x∗ )
≤ sd(x∗ , xn+1 ) + sλ[d(xn , f x∗ ) + d(x∗ , xn+1 )]
= sd(x∗ , xn+1 ) + sλd(x∗ , xn+1 ) + sλd(xn , f x∗ )

(2.1.12)

Trong (2.1.12) cho n → ∞ ta được

d(x∗ , f x∗ ) ≤ sλd(x∗ , f x∗ )

(2.1.13)

Từ sλ ∈ [0, 21 ) suy ra d(x∗ , f x∗ ) = 0 tức là x∗ = f x∗ . Do đó x∗ là điểm bất
động của f .


18

Giả sử y ∈ X cũng là điểm bất động của f . Khi đó, theo điều kiện (2.1.9)
ta có

d(x∗ , y) = d(f x∗ , f y) ≤ λ[d(y, f x∗ ) + d(f y, x∗ )]
= λ[d(y, x∗ ) + d(y, x∗ )] = 2λd(x∗ , y).
Kết hợp với λ <

1
2

suy ra d(x∗ , y) = 0 tức là x∗ = y . Vậy điểm bất động của

f là duy nhất.
2.1.7 Nhận xét. Trong việc chứng minh Định lý 2.1.5 và Định lý 2.1.6 (tức
Theorem 2 và Theorem 3 trong [9]), các tác giả M. Kir và H. Kiziltunc đã
phạm các sai lầm sau đây
1) Nếu 1 − sµ ≤ 0 thì từ (2.1.7) không suy ra được (2.1.8).
2) Nếu b-mêtric d không liên tục thì từ (2.1.12) không suy được (2.1.13).
Trong [6], N. Hussain và các cộng sự đã đưa ra ví dụ chứng tỏ tồn tại những

b-mêtric không liên tục.
Như vậy, từ (2.1.12) không suy ra được (2.1.13), mà ta chứng minh như sau.
Theo (2.1.12) ta có

d(x∗ , f x∗ ) ≤ sd(x∗ , xn+1 ) + sλd(x∗ , xn+1 ) + sλd(xn , f x∗ )
= sd(x∗ , xn+1 ) + sλd(x∗ , xn+1 ) + s2 λ[d(xn , x∗ ) + d(x∗ , f x∗ )]
Nếu 1 − s2 λ > 0 thì bất đẳng thức này suy ra

s2 λ
s(1 + λ)
∗
0 ≤ d(x , f x ) ≤
d(x , xn+1 ) +
d(xn , x∗ ) → 0.
2
2
1−s λ
1−s λ
∗

∗

Do đó, d(x∗ , f x∗ ) = 0 tức là f x∗ = x∗ .
3) Với các giả thiết như trong hai Định lý 2.1.5, 2.1.6 thì bằng cách chứng
minh tương tự như Chứng minh Định lý 2.1.3 (tức Theorem 1 trong [9]) không
chứng minh được {xn } là dãy Cauchy, mà phải chứng minh bằng phương pháp
khác như sau


19

Đối với Định lý 2.1.5, sử dụng điều kiện (2.1.4) và (2.1.6) ta có

d(xn , xm ) = d(f xn−1 , f xm−1 ) ≤ µ[d(xn−1 , xn ) + d(xm−1 , xm )]
µ m−1
µ n−1
)
+(
)
]→0
≤ µd(x0 , x1 )[(
1−µ
1−µ
khi n, m → ∞. Do đó, {xn } là dãy Cauchy.
Đối với Định lý 2.1.6, sử dụng điều kiện (2.1.9), bât đẳng thức tam giác
và (2.1.11) ta có

d(xn , xm ) = d(f xn−1 , f xm−1 ) ≤ λ[d(xn−1 , xm ) + d(xm−1 , xn )]
≤ sλ[d(xn−1 , xn ) + d(xn , xm )] + sλ[d(xm−1 , xm ) + d(xm , xn )]
Từ đó suy ra

sλ
[d(xn−1 , xn ) + d(xm−1 , xm )]
1 − 2sλ
sλ
sλ n−1
sλ m−1
≤
d(x0 , x1 )[(
)

+(
)
]→0
1 − 2sλ
1 − sλ
1 − sλ

d(xn , xm ) ≤

khi n, m → ∞. Do đó, {xn } là dãy Cauchy.
Như vậy, trong Định lý 2.1.5 cần bổ sung thêm điều kiện sµ < 1, còn
trong Định lý 2.1.6 cần bổ sung thêm điều kiện s2 λ < 1.

2.2. Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ T-co yếu suy rộng
kiểu Kannan và Chatterjea trong không gian b-mêtric
Trong mục này, chúng tôi sẽ đưa ra một số định lý về sự tồn tại điểm bất
động của các ánh xạ T-co yếu suy rộng kiểu Kannan và Chatterjea trong
không gian b-mêtric và chỉ ra rằng, từ định lý này suy ra được một số kết
quả trong các tài liệu tham khảo [4], [11], [12].
Đầu tiên, chúng ta nhắc lại các định nghĩa của một số kiểu ánh xạ co mà
chúng là sự mở rộng của các kiểu ánh xạ co đã được trình bày trong mục 2.1.


20

2.2.1 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric, f : X → X và

ϕ : [0, ∞)2 → [0, ∞) là hàm liên tục sao cho ϕ(x, y) = 0 khi và chỉ khi
x = y = 0.
1) ([4]). Ánh xạ f được gọi là co yếu kiểu Chatterjea (nói gọn là C-co yếu)

nếu

1
d(f x, f y) ≤ [d(x, f y) + d(y, f x)] − ϕ(d(x, f y), d(y, f x))
2
với mọi x, y ∈ X .
2) ([12]). Ánh xạ f được gọi là co yếu kiểu Kannan (nói gọn là K-co yếu)
nếu

1
d(f x, f y) ≤ [d(x, f x) + d(y, f y)] − ϕ(d(x, f x), d(y, f y))
2
với mọi x, y ∈ X .
Vào năm 2009, Choudhury ([4]) đã chứng minh được rằng, mọi ánh xạ
C-co yếu trong không gian mêtric đầy đủ có duy nhất một điểm bất động.
2.2.2 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric, T và f là hai ánh
xạ từ X vào X .
1) ([12]). Ánh xạ f : X → X được gọi là T-co kiểu Chatterjea nếu tồn tại
1
α ∈ [0, s+1
) sao cho

d(T f x, T f y)) ≤ α[d(T x, T f y) + d(T y, T f x)] ∀x, y ∈ X.
2) ([10]). Ánh xạ f : X → X được gọi là T-co kiểu Kannan nếu tồn tại
1
α ∈ [0, s+1
) sao cho

d(T f x, T f y)) ≤ α[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)] ∀x, y ∈ X.
2.2.3 Chú ý. Nếu lấy T : X → X là ánh xạ đồng nhất thì ánh xạ T-co

kiểu Kannan, T-co kiểu Chatterjea trở thành ánh xạ co kiểu Kannan, co kiểu
Chatterjea tương ứng trong không gian b-mêtric. Đặc biệt s = 1, ta nhận được
các khái niệm tương ứng trong không gian mêtric.


21

2.2.4 Định nghĩa. ([8]). Hàm ψ : [0, ∞) → [0, ∞) được gọi là hàm chuyển
đổi khoảng cách nếu ψ liên tục, tăng ngặt và ψ(0) = 0.
Trong định nghĩa sau đây, ψ là hàm chuyển đổi khoảng cách còn ϕ :

[0, ∞)2 → [0, ∞) là hàm liên tục và ϕ(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y = 0
2.2.5 Định nghĩa. ([12]) Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric, T, f : X → X
là hai ánh xạ.
1. Ánh xạ f được gọi là T-co yếu suy rộng kiểu Chatterjea nếu với mọi

x, y ∈ X
ψ(d(T f x, T f y)) ≤ ψ(

d(T x, T f y) + d(T y, T f x)
)−ϕ(d(T x, T f y), d(T y, T f x)).
2

2. Ánh xạ f : X → X được gọi là T-co yếu suy rộng kiểu Kannan nếu với
mọi x, y ∈ X

ψ(d(T f x, T f y)) ≤ ψ(

d(T x, T f x) + d(T y, T f y)
)−ϕ(d(T x, T f x), d(T y, T f y)).

2

Từ Định nghĩa 2.2.2 và Định nghĩa 2.2.5 ta thấy các ánh xạ T-co kiểu
Kannan, T-co kiểu Chatterjea là trường hợp đặc biệt của ánh xạ T-co yếu
suy rộng kiểu Kannan, T-co yếu suy rộng kiểu Chatterjea tương ứng.
Ta kí hiệu

L = {ψ : [0, ∞) → [0, ∞)| ψ là hàm chuyển đổi khoảng cách}.
Φ = {ϕ : [0, ∞)2 → [0, ∞)| ϕ(x, y) = 0 ⇔ x = y = 0 và
ϕ(lim inf an , lim inf an ) ≤ lim inf ϕ(an , bn )}.
n→∞

n→∞

n→∞

2.2.6 Định lý. Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric đầy đủ, f và T : X → X
là hai ánh xạ thỏa mãn các điều kiện
i) T là đơn ánh và liên tục,


22

ii) Tồn tại ψ ∈ L, ϕ ∈ Φ và các số không âm α1 , α2 , α3 sao cho

1
s(s + 1)
α1 s 2 + α2 ≤ 1
α2 + α3 ≤

(2.2.1)
(2.2.2)

và

ψ(d(T f x, T f y)) ≤ ψ(α1 d(T x, T f y) + α2 d(T y, T f x)
+ sα3 [d(T x, T f x) + d(T y, T f y)])
− ϕ(α1 d(T x, T f y) + α3 d(T x, T f x), α2 d(T y, T f x)
+ α3 d(T y, T f y))

(2.2.3)

với mọi x, y ∈ X .
Khi đó, các khẳng định sau đây là đúng.
1) Với mọi x0 ∈ X dãy {T f n x0 } hội tụ.
2) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy con thì f có điểm bất động duy nhất.
3) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy thì với mọi x0 ∈ X dãy {f n x0 } hội tụ tới
điểm bất động của f .
Chứng minh. 1) Giả sử x0 là điểm bất kỳ trong X . Ta xây dựng dãy {xn }
bởi

xn+1 = f xn = f n+1 x0 ,

∀n = 0, 1, ...

Đặt T xn = yn , n = 0, 1, ...
Đầu tiên ta chứng minh d(yn+1 , yn ) → 0 khi n → ∞. Sử dụng điều kiện
(2.2.3) ta có, với mọi n = 1, 2, ...

ψ(d(yn+1 , yn )) = ψ(d(T f xn , T f xn−1 ))

≤ ψ(α1 d(yn , yn ) + α2 d(yn−1 , yn+1 ) + sα3 [d(yn , yn+1 ) + d(yn−1 , yn )])
− ϕ(α3 d(yn , yn+1 ), α2 d(yn−1 , yn+1 ) + α3 d(yn−1 , yn ))


23

≤ ψ(sα2 [d(yn−1 , yn ) + d(yn , yn+1 )] + sα3 [d(yn , yn+1 ) + d(yn−1 , yn )])
− ϕ(α3 d(yn , yn+1 ), α2 d(yn−1 , yn+1 ) + α3 d(yn−1 , yn ))
= ψ((α2 + α3 )s[d(yn−1 , yn ) + d(yn , yn+1 )])
− ϕ(α3 d(yn , yn+1 ), α2 d(yn−1 , yn+1 ) + α3 d(yn−1 , yn ))
d(yn−1 , yn ) + d(yn , yn+1 )
≤ ψ(
)
(2.2.4)
s+1
− ϕ(α3 d(yn , yn+1 ), α2 d(yn−1 , yn+1 ) + α3 d(yn−1 , yn ))
Từ ϕ là hàm không âm và ψ là hàm tăng cùng (2.2.4) suy ra

d(yn+1 , yn ) ≤

d(yn−1 , yn ) + d(yn , yn+1 )
s+1

∀n = 1, 2, ...

Do đó,

1
d(yn , yn+1 ) ≤ d(yn−1 , yn ) ≤ d(yn−1 , yn ) ∀n = 1, 2, ...
s

Như vậy {d(yn , yn+1 )} là dãy giảm gồm các số không âm. Do đó, dãy {d(yn , yn+1 )}
hội tụ. Giả sử limn→∞ d(yn , yn+1 ) = r ≥ 0. Từ (2.2.4) sử dụng tính liên tục
của ψ và tính chất của ϕ, cho n → ∞ ta suy ra

ψ(r) ≤ ψ(
Vì

2r
s+1

2r
) − ϕ(α3 r, α3 r + α2 lim inf d(yn−1 , yn+1 )).
n→∞
s+1

(2.2.5)

2r
≤ r nên ψ( s+1
) ≤ ψ(r). Do đó, từ (2.2.5) suy ra

ϕ(α3 r, α3 r + α2 lim inf d(yn−1 , yn+1 )) = 0.
n→∞

Theo tính chất của ϕ thì

α3 r = α3 r + α2 lim inf d(yn−1 , yn+1 ) = 0.
n→∞

Nếu α3 = 0 thì r = 0.

Giả sử α3 = 0. Khi đó, nếu α2 = 0 thì theo điều kiện (2.2.3) ta có

0 ≤ ψ(d(yn , yn+1 )) ≤ ψ(0) − ϕ(0, 0) ∀n = 0, 1, ...

(2.2.6)


24

và do đó d(yn , yn+1 ) = 0 với mọi n = 0, 1, .... Điều này chứng tỏ r = 0.
Nếu α3 = 0 và α2 = 0 thì từ (2.2.6) suy ra

lim inf d(yn−1 , yn+1 ) = 0.
n→∞

Mặt khác theo (2.2.3) ta có

ψ(d(yn , yn+1 )) ≤ ψ(α2 (d(yn−1 , yn+1 ))) ∀n = 1, 2, ...
Do đó

0 ≤ d(yn , yn+1 ) ≤ α2 d(yn−1 , yn+1 ) ∀n = 1, 2, ...
Suy ra

0 ≤ lim inf d(yn , yn+1 ) ≤ α2 lim inf d(yn−1 , yn+1 ) ∀n = 1, 2, ...
n→∞

n→∞

Suy ra

r = lim inf d(yn , yn+1 ) = 0.
n→∞

Như vậy ta luôn có

lim d(yn , yn+1 ) = r = 0.

n→∞

(2.2.7)

Tiếp theo ta chứng minh {yn } là dãy Cauchy. Giả sử {yn } không là dãy
Cauchy. Khi đó, tồn tại

> 0 sao cho có thể tìm được hai dãy con {ynk } và

{ymk } của dãy {yn } thỏa mãn nk là chỉ số bé nhất để cho nk > mk > k và
d(ynk , ymk ) ≥ .

(2.2.8)

Từ đó suy ra

d(ynk −1 , ymk ) < ,

∀k = 1, 2, ...

(2.2.9)

25

Từ (2.2.8), (2.2.9) và bất đẳng thức tam giác ta có

≤ d(ynk , ymk ) ≤ s[d(ymk , ynk −1 ) + d(ynk −1 , ynk )]
< s + sd(ynk −1 , ynk ) ∀k = 1, 2, ...
Lấy lim supn→∞ hai vế ta được

≤ lim sup d(ymk , ynk ) ≤ s .

(2.2.10)

n→∞

Từ

≤ d(ymk , ynk ) ≤ s[d(ymk , ynk −1 ) + d(ynk −1 , ynk )] cùng với (2.2.9) suy ra
≤ lim sup d(ymk , ynk −1 ) ≤ .

s

n→∞

(2.2.11)

Mặt khác, từ

≤ d(ymk , ynk ) ≤ s[d(ymk , ymk −1 ) + d(ymk −1 , ynk )]
và

d(ymk −1 , ynk ) ≤ s[d(ymk , ymk −1 ) + d(ymk , ynk )]
cùng (2.2.7) và (2.2.10) suy ra

≤ lim sup d(ymk −1 , ynk ) ≤ s2 .

s

(2.2.12)

k→∞

Tương tự như trên, ta chứng minh được rằng

s

≤ lim inf d(ymk , ynk −1 ) ≤
k→∞

(2.2.13)

và

s

≤ lim inf d(ymk −1 , ynk ) ≤ s2 .
k→∞

Từ

d(ymk −1 , ynk −1 ) ≤ s[d(ymk −1 , ymk ) + d(ymk , ynk −1 )]

(2.2.14)