Sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi các biến ngẫu nhiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

CAO ĐỨC MINH

SỰ HỘI TỤ
HẦU CHẮC CHẮN CỦA CHUỖI
CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN

Chuyên ngành : Lý thuyết xác suất và thống kê Toán học
Mã số : 60. 46. 01. 06

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS. TS. LÊ VĂN THÀNH

NGHỆ AN, 2015


Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Biến ngẫu nhiên và vector ngẫu nhiên . . . . . . . . . . .
1.2 Hàm phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Các dạng hội tụ đối với dãy các biến ngẫu nhiên . . . . .

3
3
8
11

2 Sự hội tụ hầu chắc chắn đối với chuỗi các biến ngẫu nhiên
2.1 Một số bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi các biến ngẫu nhiên .
2.3 Một số ví dụ và phản ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Kết quả luận văn . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Hướng phát triển của luận văn . . . . . . . . . .

17
17
20
26
34
34
34

2


MỞ ĐẦU
Sự hội tụ của chuỗi các biến ngẫu nhiên là một hướng nghiên cứu của
Lý thuyết xác suất được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và
đã có nhiều ứng dụng trong nhiều ngành khoa học khác nhau. Chính vì
vậy mà các kết quả về sự hội tụ của chuỗi các biến ngẫu nhiên không
chỉ mang ý nghĩa lý thuyết mà còn mang ý nghĩa thực tiễn to lớn.
Sự hội tụ của chuỗi các biến ngẫu nhiên thu hút sự quan tâm nghiên
cứu của rất nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước, chẳng hạn như
Smythe, Gut, Stadtmuller, Rosalsky, Nguyễn Duy Tiến, Nguyễn Văn
Quảng,. . .

Năm 2014, Rosalsky và Volodin nghiên cứu về sự hội tụ hầu chắc
chắn của chuỗi các biến ngẫu nhiên bất kỳ. Các tác giả đó đã cung cấp
các điều kiện cần và đủ để thu được những kết quả tương tự như định lý
ba chuỗi. Sau khi nghiên cứu bài báo của Rosalsky và Volodin nói trên
và nhận thấy có rất nhiều kết quả thú vị, chúng tôi chọn đề tài nghiên
cứu cho luận văn của mình là “Sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi các
biến ngẫu nhiên”.
Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu sự hội tụ hầu chắc chắn
đối với chuỗi các biến ngẫu nhiên tùy ý. Nội dung chính của luận văn là
trình bày lại chi tiết các kết quả của Rosalsky và Volodin đã đề cập ở
trên. Nội dung luận văn được trình bày trong hai chương.
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở của lý thuyết xác suất cần
thiết cho việc nghiên cứu chương sau.
Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Trong chương này, chúng
tôi trình bày về các điều kiện cần và đủ để chuỗi các biến ngẫu nhiên
tùy ý hội tụ hầu chắc chắn. Kết quả chính của luận văn là Định lý 2.2.3
và hai hệ quả của nó. Chúng tôi cũng trình bày thêm một số ví dụ, phản
ví dụ minh họa nội dung của Định lý 2.2.3 và các hệ quả nói trên.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh,
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Lê Văn Thành. Tác giả xin
được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy về sự hướng dẫn tận tình
đối với tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu. Nhân dịp này,
tác giả xin gửi lời biết ơn tới các thầy, cô GS.TS. Nguyễn Văn Quảng,
TS. Nguyễn Trung Hòa, TS. Nguyễn Thị Thế, TS. Nguyễn Thanh Diệu,
TS. Võ Thị Hồng Vân, cùng các thầy cô giáo trong tổ xác suất thống
1


kê khoa Toán. Đồng thời, tác giả xin cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng
nghiệp, đã quan tâm, góp ý, tạo điều kiện giúp tác giả hoàn thành luận

văn này. Và cuối cùng tác giả xin được cảm ơn Ban lãnh đạo trường
THPT Nguyễn Du cùng các đồng nghiệp - nơi tác giả đang công tác đã
tạo điều kiện bố trí thời gian và ủng hộ tác giả về tinh thần trong quá
trình tác giả tham gia khóa đào tạo này.
Mặc dù đã cố gắng song do năng lực còn hạn chế nên luận văn chắc
chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được
những lời chỉ bảo quý báu của các Thầy, Cô giáo và góp ý của bạn đọc
để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 08 năm 2015
Tác giả

2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày về biến ngẫu nhiên, hàm phân
phối và các dạng hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên. Chúng tôi cũng
trình bày một số định lý về sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi các biến
ngẫu nhiên độc lập như định lý hai chuỗi, định lý ba chuỗi,...

1.1

Biến ngẫu nhiên và vector ngẫu nhiên

Mục này sẽ trình bày giới hạn của dãy các biến cố, và bổ đề BorelCantelli. Sau đó chúng tôi trình bày biến ngẫu nhiên và vector ngẫu
nhiên.
Định nghĩa sau đây trình bày về khái niệm lim sup và lim inf của một
dãy các tập hợp. Các định nghĩa này chỉ có ý nghĩa thực sự khi các tập
hợp đang xét thuộc một σ-đại số nào đó.

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử A1 , A2 , . . . là dãy các biến cố. Khi đó ta định
nghĩa
∞

∞

lim sup An :=

Ak
n=1 k=n

= {ω ∈ Ω : ∀ n ∃ k ≥ n sao cho ω ∈ Ak }
= {ω ∈ Ω : ω thuộc vô hạn các biến cố An },

3


và
∞

∞

Ak

lim inf An :=
n=1 k=n

= {ω ∈ Ω : ∃ n sao cho ∀ k ≥ n, ω ∈ Ak }
= {ω ∈ Ω : ω thuộc vào tất cả trừ ra một số hữu hạn An }.
Ta cũng thường chúng ký hiệu lim sup An = (An i.o.), với chữ i.o. là viết

tắt của “infinite often”, với ý nghĩa lim sup An xảy ra khi và chỉ khi có
vô hạn các biến cố An xảy ra.
Tiếp theo chúng ta trình bày khái niệm giới hạn của một dãy các tập
hợp.
Định nghĩa 1.1.2. Nếu lim sup An = lim inf An = A, thì ta nói An hội
tụ tới A và viết
lim An = A hay An → A.
Định lý sau đây trình bày về giới hạn của dãy các biến cố tăng (giảm).
Phép chứng minh là tương đối dễ dàng.
Mệnh đề 1.1.3. Nếu An

, thì An hội tụ, và
∞

lim An =

An = A.
n=1

Nếu An

, thì An hội tụ, và
∞

lim An =

An = B.
n=1

Định nghĩa 1.1.4. Giả sử A1 , A2 , . . . là các biến cố tùy ý. Ta định nghĩa

σ-đại số đuôi là
∞

T :=

σ(An , An+1 , An+2 , . . .).
n=1

Các phần tử của T được gọi là biến cố đuôi.
Định lý sau đây được gọi là luật 0-1 Kolmogorov
4


Định lý 1.1.5 (Luật 0-1 Kolmogorov). Giả sử A1 , A2 , . . . là các biến cố
độc lập. Khi đó mọi biến cố đuôi A đều có xác suất bằng 0 hoặc bằng 1.
Dưới đây chúng ta sẽ trình bày bổ đề Borel-Cantelli. Nó cho ta một
điều kiện đơn giản để biết khi nào xác suất của biến cố lim sup An bằng
0 hay 1.
Định lý 1.1.6 (Bổ đề Borel-Cantelli). Giả sử A1 , A2 , . . . là các biến cố.
1. Nếu

∞
n=1 P (An )

< ∞ thì P (An i.o.) = 0.

2. Nếu A1 , A2 , . . . độc lập và
Chứng minh.

n P (An )

∞
n=1 P

1. Giả sử

= ∞ thì P (An i.o.) = 1.

(An ) < ∞. Khi đó

∞
∞
P (lim sup An ) =P (∩∞
n=1 ∪k=n Ak ) = lim P (∪n=1 An )
n→∞

∞

≤ lim

n→∞

P (Ak ) = 0.
k=n

2. Với 0 ≤ x < 1 thì
1 − x ≤ e−x .
Giả sử ∞
n=1 P (An ) = ∞. Khi đó , vì dãy (An ) độc lập nên dãy
An cũng độc lập. Do đó, với mọi n = 1, 2, ... và mọi m > n, ta có

m
m
1 − P (∪m
k=n Ak ) = P ∪k=n Ak = P ∪k=n Ak
m

(1 − P (An )) ≤ e−

=

m
k=n

P (An )

.

k=n

Suy ra
m
0 ≤ 1 − P (∪∞
k=n Ak ) = lim (∪k=n Ak )
n→∞

≤ lim e−

m
k=n

P (An )

n→∞

= 0.

Vì thế P (∪∞
n=k Ak ) = 1 với mọi n = 1, 2, ... Điều này kéo theo
P (lim sup An ) = lim P (∪∞
n=k Ak ) = 1.
n→∞

Bổ đề Borel-Cantelli có hệ quả sau đây.
5


Hệ quả 1.1.7 (Luật 0-1 Borel -Cantelli). Nếu (An ; n ≥ 1) là dãy biến cố
độc lập, thì P (lim sup An ) chỉ có thể nhận một trong hai giá trị 0 hoặc
1 tùy theo chuỗi ∞
n=1 P (An ) hội tụ hay phân kỳ.
Định nghĩa 1.1.8. Giả sử (Ω, F, P) và (Σ, G, µ) là các không gian đo.
Ánh xạ
X:Ω→Σ
được gọi là ánh xạ đo được nếu nghịch ảnh của tập đo được là tập đo
được, nghĩa là
X −1 (B) ∈ F với mọi B ∈ G.
Ta nhắc lại nghịch ảnh X −1 (B) := {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B}.
Mệnh đề sau đây khẳng định phép hợp thành của hai ánh xạ đo được
là ánh xạ đo được.
Mệnh đề 1.1.9. Giả sử (Ω, F, P), (Σ, G, µ) và (Θ, H, ν) là các không

gian đo, và
X : Ω → Σ, Y : Σ → Θ
là các ánh xạ đo được. Khi đó, tích hai ánh xạ
Y (X) : Ω → Θ
cũng là ánh xạ đo được.
Chứng minh. Mệnh đề được suy ra từ
(Y (X))−1 (B) = X −1 (Y −1 (B)) với mọi B ∈ H.

Biến ngẫu nhiên và vector ngẫu nhiên là những trường hợp đặc biệt
của ánh xạ đo được.
Định nghĩa 1.1.10. Trong Định nghĩa 1.1.8, nếu (Ω, F, P) là không
gian xác suất, Σ = R, G = B(R) và µ là độ đo Lebesgue trên R, thì X
được gọi là biến ngẫu nhiên, và nếu với d ≥ 2, Σ = Rd , G = B(Rd ) và µ
là độ đo Lebesgue trên Rd , thì X được gọi là vector ngẫu nhiên.

6


Định lý 1.1.11. Giả sử (Ω, F, P) và (Σ, G, µ) là các không gian đo,
X : Ω → Σ là một ánh xạ. Khi đó
σ(X) := {X −1 (B) : B ∈ G}
là một σ-đại số.
σ-đại số σ(X) nói trong Định lý 1.1.11 được gọi là σ-đại số sinh bởi
X. Định lý 1.1.11 dẫn đến hệ quả sau.
Hệ quả 1.1.12. Giả sử (Ω, F, P) và (Σ, G, µ) là các không gian đo,
X : Ω → Σ là một ánh xạ. Khi đó X đo được khi và chỉ khi σ(X) ⊆ F.
Đối với một ánh xạ tổng quát X : (Ω, F, P) → (Σ, G, µ), để kiểm tra
tính đo được của nó, ta chỉ cần kiểm tra ngược ảnh của các tập thuộc
tập sinh của σ-đại số G.
Định lý 1.1.13. Cho (Ω, F, P) và (Σ, G, µ) là các không gian đo và ánh

xạ X : Ω → Σ. Giả sử G = σ(A). Nếu
X −1 (B) ∈ F với mọi B ∈ A,

(1.1)

thì X là ánh xạ đo được, nghĩa là
X −1 (B) ∈ F với mọi B ∈ G,

(1.2)

Chứng minh. Xét
E := {B ∈ σ(A) : X −1 (B) ∈ F}.
Chúng ta cần chứng minh rằng E = σ(A).
Ta có A ⊆ E ⊆ σ(A). Vì σ(A) là σ-đại số bé nhất chứa A nên nếu
chúng ta chứng minh được E là một σ-đại số, thì E = σ(A).
Để làm điều này, chúng ta chỉ cần kiểm tra các điều kiện của một
σ-đại số. Việc này khá dễ dàng bằng cách chú ý
X −1 (B) = X −1 (B) với mọi B ∈ E
và

∞

X

−1

Bn
n

X −1 (Bn ) với mọi B1 , B2 , . . . ∈ E.

=
n=1

7


Hệ quả sau đây đã được chúng ta đề cập trước Định lý 1.1.13. Nó
là một cách rất thuận lợi để kiểm tra một hàm số có phải là biến ngẫu
nhiên hay không.
Hệ quả 1.1.14. Cho ánh xạ X : (Ω, F, P) → R. Khi đó X là biến ngẫu
nhiên nếu và chỉ nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
• {ω : X(ω) ≤ a} ∈ F với mọi a ∈ R.
• {ω : X(ω) < a} ∈ F với mọi a ∈ R.
Chứng minh. Vì
σ{(−∞, a], a ∈ R} = σ{(−∞, a), a ∈ R} = B(R)
nên áp dụng Định lý 1.1.13 ta kết thúc chứng minh Hệ quả.
Trong lý thuyết xác suất, ta sử dụng ký hiệu
X −1 (A) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ A} := {X ∈ A}

(1.3)

Giả sử X là biến ngẫu nhiên. Khi đó với mọi tập Borel B ⊆ R, ta
định nghĩa PX (B) of B bởi
PX (B) := P (X ∈ B) = P (X −1 (B))

(1.4)

Khi đó PX là một độ đo xác suất trên (R, B(R). Độ đo xác suất này
được gọi là phân phối xác suất của X.

Đến lúc này, ta sẽ dần quên Ω, F và P , mà ta sẽ chủ yếu tập trung
vào phân phối PX . Đây là một điều khác biệt cơ bản giữa lý thuyết độ
đo và lý thuyết xác suất. Đối với lý thuyết độ đo, chúng ta tập trung
nghiên cứu không gian đo (Ω, F, µ). Đối với lý thuyết xác suất, ta sẽ cố
gắng quên không gian này và tập trung nghiên cứu các phân phối xác
suất.

1.2

Hàm phân phối

Nếu chúng ta quên không gian xác suất (Ω, F, µ), thì ta xác định biến
ngẫu nhiên như thế nào. Chúng ta bắt đầu việc này bằng cách giới thiệu
khái niệm hàm phân phối.
8


Ta đề cập lại phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X. Trong (1.4),
chúng ta không nói gì đến không gian mẫu Ω, chúng ta làm việc với
không gian xác suất mới (R, B(R), PX ). Nói một cách khác, phân phối
xác suất của biến ngẫu nhiên X ở (1.4) cho chúng ta biết xác suất của
tất cả các tập Borel mà X nhận giá trị trong đó:
phân phối của X = P (X ∈ B), B là tập Borel trong R .
Định nghĩa 1.2.1. Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là cùng phân
d.
phối, ký hiệu là X = Y , nếu phân phối xác suất của chúng bằng nhau,
nghĩa là PX ≡ PY .
h.c.c.

d.

Chúng ta có thể nhận xét ngay rằng nếu X = Y , thì X = Y , tuy
nhiên điều ngược lại không đúng.
Phân phối xác suất đề cập đến tất cả PX (B), trong đó B là một tập
Borel bất kỳ của R. Tuy nhiên, điều này quá lớn. Theo định lý xác định
duy nhất của lý thuyết độ đo, ta thấy rằng phân phối xác suất được xác
định duy nhất bởi PX (B) với những B thuộc tập sinh của B(R). Chẳng
hạn, nếu chúng ta biết P (X ∈ (−∞, a]), chúng ta sẽ biết mọi điều về
PX . Điều này dẫn đến khái niệm hàm phân phối sau đây.
Định nghĩa 1.2.2. Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X là hàm
F : R → [0, 1] xác định bởi
F (x) := P (X ≤ x),

x ∈ R.

Như ta lập luận ở trên, hàm phân phối xác định duy nhất phân phối
xác suất của X. Những tính chất của hàm phân phối thể hiện qua định
lý sau đây, phép chứng minh có thể xem trong [3].
Định lý 1.2.3 (Tính chất của hàm phân phối). Giả sử F (x) là hàm
phân phối của biến ngẫu nhiên X. Khi đó ta có các tính chất sau đây.
1. F là hàm không giảm.
2. F (x) → 0 khi x → −∞, và F (x) → 1 khi x → +∞.
3. F liên tục phải, nghĩa là
lim F (y) = F (x).

y→x+

9

4. F có giới hạn trái tại mọi điểm. Hơn nữa,
F (x− ) := lim F (y) = P (X < x).
y→x−

Đặc biệt,
P (X = x) = F (x) − F (x− ).
5. F liên tục tại x khi và chỉ khi P (X = x) = 0.
6. F có nhiều nhất là vô hạn đếm được điểm gián đoạn.
Từ định nghĩa hàm phân phối ta cũng có
P (X ∈ (a, b]) = F (b) − F (a).
Do đó, từ hàm phân phối ta có thể tính được xác suất đối với bất kỳ các
khoảng. Vì mỗi tập Borel là tổ hợp của các tập dạng này nên điều này
gợi cho chúng ta việc tính xác suất của bất kỳ tập Borel nào. Tính quan
trọng của hàm phân phối thể hiện ở đặc điểm là nó cho phép chúng ta
thực hiện điều này.
Phép chứng minh của định lý sau đây cho phép xây dựng một biến
ngẫu nhiên từ một hàm phân phối cho trước.
Định lý 1.2.4. Nếu một hàm F thỏa mãn các tính chất 1, 2 và 3 trong
Định lý 1.2.3 thì F là hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên X nào
đó.
Chứng minh. Xét không gian xác suất (Ω, F, P ), trong đó Ω = [0, 1], F
là tập tất cả các tập Borel của [0, 1], và P là độ đo Lebesgue trên [0, 1].
Ta thấy rằng Ω = [0, 1] là miền giá trị của F . Giả sử F liên tục và
tăng ngặt. Khi đó F là song ánh từ R vào khoảng (0, 1) nên ta có thể
định nghĩa X(ω) = F −1 (ω) với mọi 0 < ω < 1, X(0) = X(1) = 0. Theo
cách đặt
P {ω : X(ω) ≤ a} = P {ω : F −1 (ω) ≤ a} = P {ω : ω ≤ F (a)} = F (a).
Điều này chứng tỏ F là hàm phân phối của X. Đối với trường hợp tổng
quát, ta có thể đặt
X(ω) = sup{y : F (y) < ω}, 0 ≤ ω < 1.

10


Để chứng minh X là biến ngẫu nhiên nhận F làm hàm phân phối, ta
cần chỉ ra rằng
P ω : X(ω) ≤ a = F (a) với mọi a ∈ R.

(1.5)

Giả sử 0 ≤ ω ∗ ≤ F (a). Vì F là hàm tăng nên
sup{y : F (y) < ω ∗ } ≤ sup{y : F (y) < F (a)} ≤ sup{y : y < a} = a.
Do đó
ω ∗ ∈ ω : sup{y : F (y) < ω} ≤ a = ω : X(ω) ≤ a .
Điều này có nghĩa là
[0, F (a)] ⊂ ω : X(ω) ≤ a .

(1.6)

Giả sử X(ω ∗ ) ≤ a, nghĩa là sup{y : F (y) < ω ∗ } ≤ a. Khi đó
F (a + 1/n) > ω ∗ với mọi n ≥ 1.
Vì F liên tục phải nên cho n → ∞, ta có
F (a) ≥ ω ∗ .
Điều này có nghĩa là
ω : X(ω) ≤ a ⊂ [0, F (a)].

(1.7)

ω : X(ω) ≤ a = [0, F (a)].

(1.8)

Từ (1.6) và (1.7) ta có

Đẳng thức (1.5) được suy ra từ (1.8).

1.3

Các dạng hội tụ đối với dãy các biến ngẫu nhiên

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu các dạng hội tụ của dãy các biến
ngẫu nhiên, đó là sự hội tụ theo xác suất, sự hội tụ theo trung bình, sự
hội tụ hầu chắc chắn,...
11


Định nghĩa 1.3.1 (Hội tụ theo xác suất). Một dãy các biến ngẫu nhiên
X1 , X2 , . . . được gọi là hội tụ theo xác suất đến một biến ngẫu nhiên X
nếu với mọi ε > 0
P (|Xn − X| > ε) → 0 khi n → ∞.
P

Khi đó ta viết Xn → X.
Sự hội tụ theo xác suất khẳng định rằng với ε bé tùy ý, xác suất để
Xn lệch khỏi X một khoảng quá ε là không đáng kể, xác suất đó hội tụ
về 0.
Sau đây ta sẽ giới thiệu một khái niệm hội tụ mạnh hơn, đó là sự hội
tụ trong Lp (p > 0), hay hội tụ theo trung bình cấp p.
Định nghĩa 1.3.2 (Hội tụ theo trung bình p). Giả sử p > 0. Một dãy
các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , . . . được gọi là hội tụ trong Lp hay hội tụ
theo trung bình cấp p đến một biến ngẫu nhiên X nếu

E|Xn − X|p → 0 khi n → ∞.
Lp

Khi đó ta viết Xn → X.
Mệnh đề sau đây giải thích tại sao sự hội tụ theo trung bình cấp p
lại mạnh hơn sự hội tụ theo xác suất.
Lp

p

Mệnh đề 1.3.3. Nếu Xn → X thì Xn → X.
Chứng minh. Mệnh đề trên là một hệ quả đơn giản của bất đẳng thức
Markov:
E|Xn − X|p
P (|Xn − X| > ε) ≤ P (|Xn − X| ≥ ε ) ≤
→ 0.
εp
p

p

Tiếp theo ta trình bày khái niệm hội tụ hầu chắc chắn (almost sure
convergence), một dạng hội tụ mạnh hơn sự hội tụ theo xác suất. Trước
hết, chúng ta nhận xét rằng với dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1},
tập
C = {ω : Xn (ω) hội tụ}

12

là một tập đo được. Thật vậy, dãy {Xn (ω), n ≥ 1} hội tụ khi và chỉ khi
nó là dãy Cauchy trong R. Do đó,
∞

∞

∞

ω : |Xm+k (ω) − Xm (ω)| ≤

C=
n=1 m=1 k=1

1
.
n

Định nghĩa 1.3.4. Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là
hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X khi n → ∞ nếu
P ω : lim Xn (ω) = X(ω) = 1.
n→∞

Khi đó ta viết
h.c.c
Xn → X h.c.c khi n → ∞, hoặc lim Xn = X h.c.c, hoặc lim Xn = X.
n→∞

n→∞

Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là khi nào thì Xn không hội tụ hầu chắc

chắn? Ta nhắc lại rằng một dãy các số thực xn → x nếu và chỉ nếu
∃ε > 0 : |xn − x| > ε đối với vô hạn n. Điều này có nghĩa là tồn tại một
dãy con cách xa x một khoảng lớn hơn ε. Do đó, ta có mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.3.5. Xn → X h.c.c. nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0, P (|Xn −
X| > ε i.o.) = 0.
Định lý sau đây so sánh sự hội tụ h.c.c và sự hội tụ theo xác suất.
Định lý 1.3.6 (Sự hội tụ h.c.c. và sự hội tụ theo xác suất). Giả sử
{X, Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên.
1. Nếu Xn → X h.c.c. thì Xn → X theo xác suất.
2. Nếu Xn → X theo xác suất thì tồn tại dãy con {Xnk } của {Xn } sao
cho Xnk → X h.c.c.

Chứng minh. 1. Giả sử Xn → X h.c.c. và ε > 0. Do đó 0 = P (|Xn −
X| > ε i.o.) = P (lim sup{|Xn − X| > ε}). Theo tính chất liên tục
của độ đo xác suất, ta có P (lim sup{|Xn −X| > ε}) = limn→∞ P ( ∞
k=n (|Xk − X
lim sup P (|Xn − X| > ε). Do đó P (|Xn − X| > ε) → 0. Điều này có
nghĩa Xn → X theo xác suất.

13


2. Giả sử Xn → X theo xác suất. Cố định dãy εk → 0, ta chọn dãy
con (nk ) sao cho
P (|Xn − X| > εk ) < 2−k với k = 1, 2, . . .
Do

k

2−k hội tụ, nên áp dụng bổ đề Borel-Cantelli ta có

P (|Xnk − X| > εk i.o.) = 0.

Do đó, Xnk → X h.c.c.
Hệ quả sau đây nêu lên một điều kiện cần và đủ của sự hội tụ theo
xác suất.
Hệ quả 1.3.7. Giả sử {X, Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên. Khi
đó Xn → X theo xác suất nếu với mọi dãy con của Xn đều chứa một
dãy con khác hội tụ h.c.c. đến X.
Chứng minh.
• (⇒). Với một dãy con bất kỳ, theo định lý trên, nó sẽ
chứa một dãy con khác hội tụ h.c.c.
• (⇐). Giả sử ngược lại rằng Xn → X theo xác suất. Khi đó tồn tại
ε > 0 và dãy con (nk ) sao cho P (|Xnk − X| > ε) > ε. Do đó, dãy
con Xnk không chứa một dãy con nào hội tụ đến X theo xác suất.
Điều mâu thuẫn này kết thúc chứng minh định lý.
Một câu hỏi đặt ra là khi nào sự hội tụ h.c.c tương đương với sự hội
tụ theo xác suất. Định lý sau đây trả lời câu hỏi đó.
Hệ quả 1.3.8. Nếu Xn là dãy đơn điệu thì Xn → X h.c.c. khi và chỉ
khi Xn → X theo xác suất.
Chứng minh. Nếu Xn → X theo xác suất, thì tồn tại dãy con Xnk → X
h.c.c. Kết hợp với tính đơn điệu của dãy Xn , ta suy ra được Xn → X
h.c.c.
Phần cuối của chương này, chúng tôi trình bày các định lý về sự hội
tụ hầu chắc chắn của chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập, đó là định lý
hội tụ Kolmogorov-Khintchin, định lý hai chuỗi và định lý ba chuỗi. Các
kiến thức này chủ yếu được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [1]
14


Định lý 1.3.9 (Định lý hội tụ Kolmogorov-Khintchin). Giả sử {Xn , n ≥

1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập. Khi đó nếu
∞

DXn < ∞
n=1

thì chuỗi

∞

(Xn − EXn )
n=1

hội tụ hầu chắc chắn.
Định lý 1.3.10 (Định lý hai chuỗi). Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy biến
ngẫu nhiên độc lập. Khi đó
1. Nếu chuỗi ∞
n=1 DXn và
hội tụ hầu chắc chắn.

∞
n=1 EXn

hội tụ thì chuỗi

∞
n=1 Xn

cũng

2. Nếu {Xn , n ≥ 1} bị chặn đều, (tức là tồn tại t > 0 sao cho
P (|Xn | < t) = 1, ∀n ≥ 1) thì sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi
∞
∞
∞
n=1 Xn suy ra chuỗi
n=1 DXn và
n=1 EXn cũng hội tụ.
Định lý 1.3.11 (Định lý ba chuỗi). Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy biến
ngẫu nhiên độc lập. Khi đó
1. Nếu chuỗi

∞
n=1 Xn

hội tụ h.c.c. thì với mỗi t ∈ (0, ∞), ba chuỗi
∞

P (|Xn | > t),

(1.1)

E (Xn I (|Xn | ≤ t)) ,

(1.2)

D (Xn I (|Xn | ≤ t))

(1.3)

n=1
∞

n=1

và

∞

n=1

hội tụ.
2. Ngược lại, nếu với mỗi t ∈ (0, ∞) ba chuỗi (1.1), (1.2) và (1.3) hội
tụ, thì chuỗi ∞
n=1 Xn hội tụ h.c.c.
15


Chứng minh. 1. Nếu chuỗi ∞
n=1 Xn hội tụ hầu chắc chắn thì Xn → 0
h.c.c. Vì vậy với mọi t ∈ (0, ∞), chuỗi thứ nhất hội tụ. Từ đó áp
dụng Luật 0 − 1 Borell - Cantelli ta được xác suất 1 thì Xn =
∞
Xn I (|Xn | ≤ t) khi n khá lớn. Do đó, chuỗi
n=1 Xn I (|Xn | ≤ t)
cũng hội tụ hầu chắc chắn. Điều này kéo theo hai chuỗi sau hội tụ
(theo Định lý hai chuỗi).
2. Từ sự hội tụ của hai chuỗi sau là (1.2) và (1.3), ta suy ra chuỗi
∞
n=1 Xn I (|Xn | ≤ t) hội tụ hầu chắc chắn. Từ sự hội tụ của chuỗi

(1.1) và luật 0 − 1 Borell - Cantelli ta được, với xác suất bằng 1 thì
Xn = Xn I (|Xn | ≤ t) khi n khá lớn. Do đó chuỗi ∞
n=1 Xn cũng hội
tụ hầu chắc chắn.

16


Chương 2
Sự hội tụ hầu chắc chắn đối với
chuỗi các biến ngẫu nhiên
Năm 1983, Smit and Vervaat [4] đã đưa ra một số kết quả về sự hội tụ
hầu chắc chắn của chuỗi các biến ngẫu nhiên không âm. Dựa trên những
kết quả đó, năm 2014, Rosalsky và Volodin [5] đã mở rộng thêm được
một số kết quả nghiên cứu mới và được giới thiệu trong bài báo “On
Almost Sure Convergence of Series of Random Variables Irrespective of
Their Joint Distributions”. Trong chương này chúng tôi trình bày lại nội
dung bài báo của Rosalsky và Volodin [5]. Nội dung chính là xây dựng
Định lý 2.2.3, từ đó dẫn đến số hệ quả và đưa ra một số ví dụ, phản ví
dụ minh họa các kết quả đạt được.

2.1

Một số bổ đề

Trong mục này, chúng ta sẽ trình bày một số bổ đề cần thiết để chứng
minh cho kết quả chính. Bổ đề thứ nhất cho một đánh giá đơn giản của
đại lượng
|X|
.

E
t0 + |X|
Bổ đề 2.1.1. Giả sử X là một biến ngẫu nhiên và t0 ∈ (0, ∞). Khi đó
E (|X| I (|X| ≤ t0 )) P (|X| > t0 )
+
≤E
2t0
2
≤

|X|
t0 + |X|

E (|X| I (|X| ≤ t0 ))
+ P (|X| > t0 ) ·
t0
17


Chứng minh. Ta có
E

|X|
t0 + |X|

=E

|X|
I (|X| ≤ t0 ) + E
t0 + |X|

|X|
I (|X| > t0 )
t0 + |X|


E (|X| I (|X| ≤ t0 )) P (|X| > t0 )


≥
+


2t0
2


E (|X| I (|X| ≤ t0 ))

≤
+ P (|X| > t0 ) .
t0

Bổ đề dưới đây được suy ra ngay từ Bổ đề 2.1.1. Nó chỉ ra một điều
∞
|Xn |
kiện cần và đủ để chuỗi
E
hội tụ.
t0 + |Xn |

n=1
Bổ đề 2.1.2. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là một dãy biến ngẫu nhiên và t0 ∈
(0, ∞). Khi đó
∞

E
n=1

nếu và chỉ nếu

|Xn |
t0 + |Xn |

<∞

∞

P (|Xn | > t0 ) < ∞

(2.1)

E (|Xn | I (|Xn | ≤ t0 )) < ∞.

(2.2)

n=1

và

∞

n=1

Bổ đề 2.1.3. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là một dãy biến ngẫu nhiên và t0 ∈
(0, ∞). Khi đó
t0 ∞

P (|Xn | > t) dt < ∞
0

n=1

khi và chỉ khi (2.1) và (2.2) đúng.

18

(2.3)


Chứng minh. Chú ý rằng với n ≥ 1,
E (|Xn | I (|Xn | ≤ t0 ))
∞

P (|Xn | I (|Xn | ≤ t0 ) > t) dt

=
0
t0

P (|Xn | I (|Xn | ≤ t0 ) > t) dt

=
0
t0

P (t < |Xn | ≤ t0 ) dt.

=

(2.4)

0

Do đó
t0 ∞

P (|Xn | > t) dt
0

n=1
t0 ∞

t0 ∞

P (t < |Xn | ≤ t0 ) dt +

=
n=1

0

P (|Xn | > t0 ) dt
n=1

0

t0

∞

∞

P (t < |Xn | ≤ t0 ) dt + t0

=
n=1 0
∞

P (|Xn | > t0 )
n=1
∞

E (|Xn | I (|Xn | ≤ t0 )) + t0

=
n=1

P (|Xn | > t0 )
n=1

Vậy, (2.3) tương đương với cặp điều kiện (2.1) và (2.2).
Chú ý 2.1.4. Điều kiện
t0 ∞

P (|Xn | > t) dt < ∞ với t0 ∈ (0, ∞)

(2.5)

n=1

0

tương đương với điều kiện
T0 ∞

P (|Xn | > t) dt < ∞ với mọi T0 ∈ (0, ∞).
0

n=1

19

(2.6)


Thật vậy, ta thấy (2.6) suy ra (2.5). Để thấy (2.5) suy ra (2.6), ta chọn
t0 thỏa mãn (2.5). Dễ dàng thấy (2.6) đúng với mọi T0 ∈ (0, t0 ]. Với
T0 ∈ (t0 , ∞), ta có
T0 ∞

t0 ∞

P (|Xn | > t) dt =
0 n=1

T0 ∞

P (|Xn | > t) dt +
0 n=1

t0 ∞

≤

P (|Xn | > t) dt
t0 n=1

∞

P (|Xn | > t) dt +
0 n=1

P (|Xn | > t0 ) (T0 − t0 )
n=1

< ∞.

Bổ đề sau đây nói rằng cặp điều kiện (2.1) và (2.2) cũng chính là điều
∞

E (min{|Xn | , t0 }) hội tụ.

kiện cần và đủ để chuỗi
n=1

Bổ đề 2.1.5. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là một dãy biến ngẫu nhiên và t0 ∈
(0, ∞) . Khi đó
∞

E (min{|Xn | , t0 }) < ∞
n=1

khi và chỉ khi (2.1) và (2.2) đúng.
Chứng minh. Với n ≥ 1, ta có
E (min{|Xn | , t0 })
= E (min{|Xn | , t0 }I (|Xn | ≤ t0 )) + E (min{|Xn | , t0 }I (|Xn | > t0 ))
= E (|Xn | I (|Xn | ≤ t0 )) + t0 P (|Xn | > t0 ) .
Do đó, bổ đề được chứng minh.

2.2

Sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi các biến ngẫu
nhiên

Mệnh đề sau đây trình bày về sự hội tụ h.c.c. của chuỗi các biến ngẫu
nhiên không âm. Đây là kết quả chính của Smit và Vervaat [4].
Mệnh đề 2.2.1. (Smit and Vervaat)[4]. Giả sử dãy {Xn , n ≥ 1} là dãy
biến ngẫu nhiên, độc lập không âm. Ba khẳng định sau đây là tương
đương:
∞

Xn < ∞ h.c.c.;

(i)
n=1

20


∞

Xn < ∞ > 0;

(ii) P
n=1
∞

E (min{Xn , 1}) < ∞.

(iii)
n=1

∞

Xn < ∞

Ví dụ sau đây minh họa cho kết quả trên. Nó chỉ ra rằng P
n=1

có thể nhận bất kỳ một giá trị nào thuộc khoảng (0, 1).

Ví dụ 2.2.2. Cho 0 ≤ p ≤ 1 và A là biến cố với P (A) = 1 − p. Cho
Xn = I (A) , n ≥ 1. Khi đó
∞

Xn < ∞

P

= P A¯ = p.

n=1

Sau đây, chúng tôi trình bày định lý chính của Chương 2. Ta chú ý
rằng các điều kiện (2.7), (2.8) và (2.9) chỉ phụ thuộc vào phân phối biên
của các biến ngẫu nhiên Xn . Đồng thời, ta không yêu cầu bất kỳ một
cấu trúc phụ thuộc nào đối với dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1}.
Định lý 2.2.3. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là một dãy biến ngẫu nhiên và
t0 ∈ (0, ∞). Khi đó ba khẳng định sau đây là tương đương
∞

E
n=1

|Xn |
t0 + |Xn |

< ∞,

(2.7)

t0 ∞

P (|Xn | > t) dt < ∞,

(2.8)

E (min{|Xn | , t0 }) < ∞.

(2.9)

0 n=1
∞

n=1

Hơn nữa, nếu một trong ba khẳng định (2.7) hoặc (2.8) hoặc (2.9) đúng,
∞

Xn hội tụ tuyệt đối hầu chắc chắn. Ngược lại, nếu {Xn , n ≥

thì chuỗi
n=1

1} là độc lập và
∞

P

Xn hội tụ tuyệt đối
n=1

21

>0

(2.10)


thì

∞

Xn hội tụ tuyệt đối h.c.c.

chuỗi

(2.11)

n=1

và ba khẳng định (2.7), (2.8) và (2.9) đúng.
Chứng minh. Theo các Bổ đề 2.1.2, 2.1.3 và 2.1.5, mỗi khẳng định (2.7),
(2.8), (2.9) đều tương đương với cặp điều kiện (2.1), (2.2). Do đó ba điều
kiện (2.7),(2.8), và (2.9) là tương đương.
Tiếp theo, nếu có một trong ba điều kiện (2.7), (2.8), (2.9), ta sẽ có
∞

∞

|Xn | I (|Xn | ≤ t0 )

E

E (|Xn | I (|Xn | ≤ t0 )) < ∞ theo (2.2)

=

n=1

n=1

Do đó
∞

|Xn | I (|Xn | ≤ t0 ) < ∞ h.c.c.

(2.12)

n=1

Hơn nữa, bất kỳ một trong ba điều kiện (2.7), (2.8) hoặc (2.9) kéo theo
dãy {|Xn | , n ≥ 1} và {|Xn | I (|Xn | ≤ 1) , n ≥ 1} là tương đương theo
nghĩa Khintchin, vì
∞

∞

P (|Xn | = |Xn |I (|Xn | ≤ t0 )) =
n=1

P (|Xn | > t0 ) < ∞ theo (2.1)
n=1

Từ đó, áp dụng bổ đề Borel-Cantelli, ta có
P lim inf [|Xn | = |Xn |I (|Xn | ≤ t0 )] = 1.
n→∞

(2.13)

∞

|Xn | < ∞ h.c.c. theo (2.12) và (2.13).

Vì vậy
n=1

Ngược lại, giả sử dãy {Xn , n ≥ 1} là độc lập và (2.10) đúng. Khi đó,
theo luật 0-1 Kolmogorov (2.11) cũng đúng. Từ đó, áp dụng định lý ba
chuỗi, (2.1) và (2.2) đúng. Theo lập luận ở trên, cặp điều kiện (2.1) và
(2.2) tương đương với một trong ba điều kiện (2.7), (2.8), (2.9).
Nhận xét 2.2.4. Nếu {Xn , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn
∞

P (|Xn | > tn ) < ∞
n=1

22

(2.14)

trong đó {tn , n ≥ 1} ⊂ (0, ∞) với
∞

tn < ∞,

(2.15)

n=1

thì các điều kiện (2.7), (2.8), (2.9) của Định lý 2.2.3 được thỏa mãn với
∞

mọi tn ∈ (0, ∞) (và, do đó, theo Định lý 2.2.3, chuỗi

Xn hội tụ tuyệt
n=1

đối hầu chắc chắn).
Chứng minh. Từ giả thiết (2.15) đảm bảo rằng tn → 0, ta có thể giả sử
mà không mất tính tổng quát rằng tn < t0 với mọi n ≥ 1. Khi đó theo
(2.14), ta có
∞

∞

P (|Xn | > t0 ) < ∞ ≤
n=1

P (|Xn | > tn ) < ∞.

n=1

Điều này chứng tỏ (2.1) đúng. Do đó theo (2.14) và (2.15), ta có
∞

E (|Xn |I (|Xn | ≤ t0 ))
n=1
∞

∞

E (|Xn |I (|Xn | ≤ tn )) +

=
n=1
∞

≤

(|Xn |I (tn < |Xn | ≤ t0 ))

n=1
∞

P (|Xn | > tn )

tn + t0
n=1

E

n=1

< ∞.
Điều này chứng tỏ (2.2) đúng. Vì vậy, theo Bổ đề 2.1.2 và Định lý 2.2.3,
các điều kiện (2.7), (2.8), và (2.9) được thỏa mãn.
Hệ quả 2.2.5. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập
và t0 ∈ (0, ∞). Khi đó năm khẳng định sau đây là tương đương:
∞

E
n=1

|Xn |
t0 + |Xn |

< ∞,

(2.16)

t0 ∞

P (|Xn | > t) dt < ∞,
0

n=1

23

(2.17)