Sự tồn tại các điểm giả bất động bộ bốn trong không gian giả meetric nón có thứ tự bộ phận

▼ô❝ ▲ô❝
❚r❛♥❣
▼ô❝ ❧ô❝

✶

▼ë ➤➬✉

✷

❈❤➢➡♥❣ ✶✳

❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➯ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥

✺

✶✳✶ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✶✳✷ ◆ã♥ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽
✶✳✸ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➯ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵
❈❤➢➡♥❣ ✷✳

❙ù tå♥ t➵✐ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❣✐➯ ❜✃t ➤é♥❣ ❜é ❜è♥ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

❣✐➯ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥ ❝ã t❤ø tù ❜é ♣❤❐♥✳

✶✻

✷✳✶ ▼ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❜é ❜è♥ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣
❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥ ❝ã t❤ø tù ❜é ♣❤❐♥✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻

✷✳✷ ▼ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ➤✐Ó♠ ❣✐➯ ❜✃t ➤é♥❣ ❜é ❜è♥ tr♦♥❣
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➯ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥ ❝ã t❤ø tù ❜é ♣❤❐♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵
❑Õt ❧✉❐♥

✸✽

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✸✾

✶


▼ë ➤➬✉
▲ý t❤✉②Õt ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝ñ❛ ❣✐➯✐
tÝ❝❤ ❤➭♠✱ ♥ã ❝ã ♥❤✐Ò✉ ø♥❣ ❞ô♥❣ tr♦♥❣ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ✈➭ ♠ét sè ♥❣➭♥❤ t♦➳♥ ❤ä❝
❦❤➳❝✳ ❉♦ ➤ã ♥ã ➤➢î❝ ❝➳❝ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ q✉❛♥ t➞♠ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈➭ t❤✉ ➤➢î❝
♥❤✐Ò✉ ❦Õt q✉➯✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ➤è✐ ✈í✐ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
♠➟tr✐❝ ➤➬② ➤ñ ❝ñ❛ ❇❛♥❛❝❤ ➤➲ ➤➢î❝ ♠ë ré♥❣ ❝❤♦ ♥❤✐Ò✉ ❧♦➵✐ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❦❤➳❝
♥❤❛✉✳ ▼ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ❤➢í♥❣ ♠ë ré♥❣ ➤ã ❧➭ ❣✐➯♠ ❜ít ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ tr♦♥❣ ➤Þ♥❤
♥❣❤Ü❛ ♠➟tr✐❝ ➤Ó t❤✉ ➤➢î❝ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ tæ♥❣ q✉➳t ❤➡♥✳ ❙❛✉ ➤ã ♥❣➢ê✐ t❛ ♥❣❤✐➟♥
❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ tr♦♥❣ ❝ñ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈õ❛
➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ◆❤÷♥❣ ♥❣➢ê✐ t❤✉ ➤➢î❝ ♥❤✐Ò✉ ❦Õt q✉➯ t❤❡♦ ❤➢í♥❣ ♥➭② ❧➭✿ ❏✳ ❙✳
❯♠❡✱ ❘✳ ❆✳ ❙t♦❧t❡♥❜❡❣✱ ❈✳ ❙✳ ❲♦♥❣✱ ❍✳ ▲✳ ●✉❛♥❣ ✈➭ ❩✳ ❳✐❛♥✱ ✳✳✳
◆➝♠ ✷✵✵✻✱ ●✳ ❇❤❛s❦❛r ✈➭ ▲❛❦s♠✐❦❛♥t❤❛♠ ❬✺❪ ➤➲ ➤➢❛ r❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠
➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❜é ➤➠✐ ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét sè ➤Þ♥❤ ❧Ý ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ❝ñ❛ ➤✐Ó♠
❜✃t ➤é♥❣ ❜é ➤➠✐ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ➤➬② ➤ñ ❝ã t❤ø tù ❜é ♣❤❐♥✳ ❑❤➳✐
♥✐Ö♠ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❜é ❜❛ ➤➢î❝ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ✈➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜ë✐ ❱✳ ❇❡r✐♥❞❡ ✈➭
▼✳ ❇♦r❝✉t ❬✹❪ ✈➭♦ ♥➝♠ ✷✵✶✶✳ ●➬♥ ➤➞②✱ ❊✳ ❑❛r❛♣✐♥❛r ✭❬✼❪✱ ❬✽❪✮ ➤➲ ➤➢❛ ❦❤➳✐

♥✐Ö♠ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❜é ❜è♥ ❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵ tõ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ tÝ❝❤

X 4 ✈➭♦ X ✈➭

♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠ét sè ➤Þ♥❤ ❧Ý ❜Ò sù tå♥ t➵✐ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❜é ❜è♥ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣
❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ➤➬② ➤ñ ❝ã t❤ø tù ❜é ♣❤❐♥✳
◆➝♠ ✷✵✵✼✱ ❍✉❛♥❣ ▲♦♥❣ ✲ ●✉❛♥❣ ✈➭ ❩❤❛♥❣ ❳✐❛♥ ❬✻❪ ➤➲ ♠ë ré♥❣ ❧í♣
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ t❤❛② t❐♣ ❤î♣ ❝➳❝ sè t❤ù❝ R ❜ë✐ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ ❝ã t❤ø tù ❜é ♣❤❐♥ ✈➭ ➤➲ ➤➢❛ r❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝
♥ã♥✳ ❙❛✉ ➤ã✱ ✈✃♥ ➤Ò ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝
♥ã♥ ➤➲ ➤➢î❝ ♥❤✐Ò✉ ♥❣➢ê✐ q✉❛♥ t➞♠✱ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈➭ t❤✉ ➤➢î❝ ♥❤✐Ò✉ ❦Õt q✉➯✳
◆➝♠ ✷✵✶✸✱ ▲➟ ❚❤Þ ❉✉♥❣ ❬✶❪ ➤➲ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➯ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥
✈➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ➤✐Ó♠ ❣✐➯ ❜✃t ➤é♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➯ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥✳
▼ét ✈✃♥ ➤Ò ➤➷t r❛ ë ➤➞② ❧➭✱ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❜é ❜è♥
tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥ ❝ã ♠ë ré♥❣ ➤➢î❝ ❝❤♦
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➯ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥ ❤❛② ❦❤➠♥❣❄ ➜Ó t×♠ ❤✐Ó✉ ✈Ò ❧ý t❤✉②Õt ➤✐Ó♠ ❜✃t
➤é♥❣ ✈➭ t❐♣ ❞➢ît ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ❝❤ó♥❣ t➠✐ t✐Õ♣ ❝❐♥ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉
✷


♥➭② ♥❤➺♠ ➤➢❛ r❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ➤✐Ó♠ ❣✐➯ ❜✃t ➤é♥❣ ❜é ❜è♥ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➯
♠➟tr✐❝ ♥ã♥ ✈➭ ①❡♠ ①Ðt ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ sù tå♥ t➵✐ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❜é
❜è♥ tr➠♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ❝ß♥ ➤ó♥❣ ❝❤♦ ➤✐Ó♠ ❣✐➯ ❜✃t ➤é♥❣ ❜é ❜è♥ tr♦♥❣
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➯ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥ ♥÷❛ ❤❛② ❦❤➠♥❣✳ ❚õ ➤ã ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❝❤ä♥ ➤Ò t➭✐ ❧✉❐♥

✧❙ù tå♥ t➵✐ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❣✐➯ ❜✃t ➤é♥❣ ❜é ❜è♥ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣
❣✐❛♥ ❣✐➯ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥ ❝ã t❤ø tù ❜é ♣❤❐♥✧

✈➝♥ ❝ñ❛ ♠×♥❤ ❧➭

❱í✐ ♠ô❝ ➤Ý❝❤ ➤ã✱ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❝❤✐❛ ❧➭♠ ❤❛✐ ❝❤➢➡♥❣
❈❤➢➡♥❣ ✶✳

❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➯ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥✳

❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ➤➬✉ t✐➟♥ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡
❜➯♥ ❝ñ❛ t➠♣➠ ➤➵✐ ❝➢➡♥❣✱ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❤➭♠ ❝ã ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ♥é✐ ❞✉♥❣ ❝ñ❛ ❧✉❐♥
✈➝♥✳ ❚r×♥❤ ❜➭② ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✱ ✈Ý ❞ô ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➯ ♠➟tr✐❝
♥ã♥✳
❈❤➢➡♥❣ ✷✳

❙ù tå♥ t➵✐ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❣✐➯ ❜✃t ➤é♥❣ ❜é ❜è♥ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

❣✐➯ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥ ❝ã t❤ø tù ❜é ♣❤❐♥✳
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➢❛ r❛ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ➤✐Ó♠ ❣✐➯ ❜✃t ➤é♥❣
❜é ❜è♥✱ ➤✐Ó♠ ❣✐➯ ❝❤✉♥❣ ❜é ❜è♥ ✈➭ ➤✐Ó♠ ❣✐➯ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❜é ❜è♥ tr♦♥❣
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➯ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥✳ ❙❛✉ ➤ã ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♠ë ré♥❣ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ò
sù tå♥ t➵✐ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ✈➭ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❜é ❜è♥ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
♠➟tr✐❝ ❝ã t❤ø tù ❜é ♣❤❐♥ ❝❤♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➯ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥ ❝ã t❤ø tù ❜é ♣❤❐♥
❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ➤➢❛ r❛ ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✷✳✷✳✷✱ ✷✳✷✳✻✱ ✷✳✷✳✼ ✈➭ ❝➳❝ ❍Ö
q✉➯ ✷✳✷✳✸✱ ✷✳✷✳✹✱ ✷✳✷✳✽✱ ✷✳✷✳✾✳
▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ t➵✐ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥
t❐♥ t×♥❤ ❝ñ❛ P●❙✳ ❚❙✳ ➜✐♥❤ ❍✉② ❍♦➭♥❣✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉
s➽❝ ❝ñ❛ ♠×♥❤ ➤Õ♥ ❚❤➬② ✈➭ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❇❛♥ ❝❤ñ ♥❤✐Ö♠ P❤ß♥❣
s❛✉ ➤➵✐ ❤ä❝✱ ❇❛♥ ❝❤ñ ♥❤✐Ö♠ ❑❤♦❛ ❙➢ P❤➵♠ ❚♦➳♥ ✈➭ q✉ý t❤➬②✱ ❝➠ tr♦♥❣ tæ
●✐➯✐ tÝ❝❤ ❝ñ❛ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤✱ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➭✐ ●ß♥ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐
tr♦♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ t❐♣✱ r❒♥ ❧✉②Ö♥ ✈➭ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳
◗✉❛ ➤➞②✱ t➳❝ ❣✐➯ ❣ö✐ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ➤Õ♥ ❇❛♥ ❣✐➳♠ ❤✐Ö✉ ❚r➢ê♥❣ ❚❍P❚ ❚❛♠
P❤ó✱ ◗✳❚❤ñ ➜ø❝✱ ❚❤➭♥❤ ♣❤è ❍å ❈❤Ý ▼✐♥❤ ➤➲ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐
❝❤♦ t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ t❐♣✳

✸


❈✉è✐ ❝ï♥❣ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❣✐❛ ➤×♥❤✱ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣✱ ❜➵♥ ❜❒✱ ➤➷❝ ❜✐Öt ❧➭ ❝➳❝
❜➵♥ tr♦♥❣ ❧í♣ ❈❛♦ ❤ä❝ ✷✶ ●✐➯✐ tÝ❝❤ ➤➲ ❝é♥❣ t➳❝✱ ❣✐ó♣ ➤ì ✈➭ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➳❝
❣✐➯ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✳
▼➷❝ ❞ï ➤➲ ❝ã ♥❤✐Ò✉ ❝è ❣➽♥❣✱ s♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❦❤➠♥❣ tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤÷♥❣
❤➵♥ ❝❤Õ✱ t❤✐Õ✉ sãt✳ ❈❤ó♥❣ t➠✐ r✃t ♠♦♥❣ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ ♥❤÷♥❣ ý ❦✐Õ♥ ➤ã♥❣ ❣ã♣
❝ñ❛ ◗✉ý t❤➬②✱ ❝➠ ✈➭ ❜➵♥ ➤ä❝ ➤Ó ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤✐Ö♥ ❤➡♥✳
◆❣❤Ö ❆♥✱ t❤➳♥❣ ✽ ♥➝♠ ✷✵✶✺

❚➳❝ ❣✐➯
▲➟ ❚❤❛♥❤ ❍✐Õ✉

✹


tr ó

trì ột số ệ tí t ề
tr tr tụ ú ù
tr
ột số ế ứ ị

ụ ệ ớ tệ ột số ệ ết q sở
ù tr
t ợ ọ

ị ĩ

t

tr



T t ủ ợ ọ

ế tỏ ề ệ s

(i) ỉ T
(ii) ế Gi T , i I tì

Gi T
iI

(iii) ế G1 , G2 T tì G1
ợ




ù ớ t

T tr ó ợ ọ t ý ệ

(X, T )
tử ủ

tử tộ
sử



ợ ọ

ủ t

T ợ ọ t ở tr

ợ ọ t ó tr ế X \ E t ở
t X t A ủ X ợ ọ

ủ ể

x X ế tồ t t ở V X s x V A

t X

B(x) U(x) ợ ọ
t

ể

ị ĩ



G2 T .

x X U(x) ọ tt t x ọ

sở ủ

ế ớ ọ

U U(x) tồ

V B(x) s V U

ị ĩ
ộ tụ tớ



{xn } tr t X ợ ọ

x X ế ớ ọ U ủ x tồ t n0 N s

xn U ớ ọ n n0 ó t í ệ
xn x lim xn = x.
n

ị ĩ

ế ợ tứ t

t
ế t ỗ ể

X ợ ọ tỏ

t ề

x X ó ột sở B(x) ó

ự ợ ế ợ



t
tồ t

X ợ ọ T1 ế x, y X, x = y

U x V ủ y s y U x X

t

X ợ ọ T2 s

r ế ể t ỳ

x, y X, x = y tồ t t ứ

Ux , Uy ủ x, y s Ux Uy = ỉ.
ế

X sr tì ỗ tr X ộ tụ tì ộ

tụ tớ ột ể t
ị ĩ

sử X, Y t f

f ợ ọ
tồ t
tr

t

tụ

: X Y.

x X ế ớ ỗ V ủ f (x)

U ủ x s f (U ) V

f ợ ọ

tụ

X ó ọ tụ ế ó tụ t ọ ể ủ

ị í



sử

X



Y

t

f : X Y.

ó ề ệ s t

f


tụ tr
ế



ế

E
E

X

t ở tr

t ó tr

ị ĩ

sử

d ợ ọ ột


tr

tì

Y

f 1 (E) ở tr X

tì

f 1 (E) ó tr X

X t rỗ d : X ì X R.

tr

X ế ề ệ s ợ tỏ

0 d(x, y) ớ ọ x, y X d(x, y) = 0 ỉ x = y



d(x, y) = d(y, x) ớ ọ x, y X




Y

d(x, y) d(x, z) + d(z, y) ớ ọ x, y, z X

X ù ớ ột tr tr ó ợ ọ

ệ

tr

ý

(X, d) X

ị ĩ

t

X rỗ

d :X ì X R
(x, y) d(x, y).

d ợ ọ





tr

t ề s ớ t ỳ x, y, z tộ



0 d(x, y), d(x, y) = 0 ế x = y
d(x, y) = d(y, x)


X

tr

X ế d tỏ

d(x, z) d(x, y) + d(y, z)

X ù ớ d ợ ọ tr ý

ệ

(X, d)

ị ĩ



sử

E ét tr trờ K = R

K = C p : E R tỏ ề ệ s



p(x) 0, x E p(x) = 0 x = 0



p(x) = ||p(x) ớ ọ x E ọ K



p(x + y) p(x) + p(y) ớ ọ x, y E

ợ ọ tr ét E ố

p(x) ợ ọ ủ

x E tờ í ệ ủ

x ét E

ét

ù ớ ột ị tr ó ợ ọ
ệ

í

ị

(E, . )

ệ ề



ế

E ị tì tứ

d(x, y) = x y , x, y E
ị ột tr tr

E ọ tr tr s ở

tr

ị ĩ

ột ị ủ t tr

s ở tì ợ ọ ột


ị í

ế





E ị tì
x x , x E;

é ộ

x + y x + y, (x, y) E ì E é ớ ớ

(, x) x, (, x) K ì E tụ
ị í

sử

E

ị ó ớ ỗ

a E ỗ K, = 0
xx+a
x x, x E
é ồ từ

E E.




✶✳✷ ◆ã♥ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

▼ô❝ ♥➭② tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ✈✃♥ ➤Ò ❝➡ ❜➯♥ ✈Ò ♥ã♥ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
❇❛♥❛❝❤✳
✶✳✷✳✶✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛

✭❬✻❪✮✳ ❈❤♦

E ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ tr➟♥ tr➢ê♥❣ sè t❤ù❝

R✳ ❚❐♣ ❝♦♥ P ❝ñ❛ E ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥ ♥Õ✉ t❤á❛ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ s❛✉
✐✮

P ❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣✱ P = ∅ ✈➭ P = {0}❀

✐✐✮ ❱í✐ ♠ä✐
✐✐✐✮ ◆Õ✉

x ∈ P ✈➭ −x ∈ P t❤× x = 0❀

✶✳✷✳✷✳ ❱Ý ❞ô

t❤➢ê♥❣✱ t❐♣

x, y ∈ P, ♠ä✐ a, b ∈ R, a, b ≥ 0 t❛ ❝ã ax + by ∈ P ;

✭❬✻❪✮ ✶✮ ❚r♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝➳❝ sè t❤ù❝

R ✈í✐ ❝❤✉➮♥ t❤➠♥❣

P = {x ∈ R : x ≥ 0} ❧➭ ♠ét ♥ã♥✳

E = R2 , P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0} ⊂ R2 ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ P t❤á❛ ♠➲♥

✷✮ ●✐➯ sö

❜❛ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥
✐✮

P ❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣✱ P = {0}, P = ∅;

✐✐✮ ❱í✐ ♠ä✐

(x, y), (u, v) ∈ P ✈➭ ♠ä✐ a, b ∈ R, a, b ≥ 0✱ t❛ ❝ã
a(x, y) + b(u, v) ∈ P ;

✐✐✐✮ ❱í✐
❱❐②

(x, y) ∈ P ✈➭ (−x, −y) ∈ P t❛ ❝ã (x, y) = (0, 0).

P ❧➭ ♠ét ♥ã♥ tr➟♥ E.

✸✮ ●✐➯ sö

C[a,b] ❧➭ t❐♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❤➭♠ sè ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ t❤ù❝ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ [a, b]✳

❚❛ ➤➲ ❜✐Õt

C[a,b] ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈í✐ ❝❤✉➮♥
f = sup |f (x)|, ∀f ∈ C[a,b] .
x∈[a,b]

❚r➟♥

C[a,b] ❝ã q✉❛♥ ❤Ö t❤ø tù ❜é ♣❤❐♥ t❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣ ≤ ➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐

f, g ∈ C[a,b] .
f ≤ g ⇔ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b].
➜➷t

P = {f ∈ C[a,b] : 0 ≤ f }.
✽

ó


P tỏ ề ệ

P t ó P = , P = {0}

ớ ọ

a, b R, a, b 0 ớ ọ f, g P t ó 0 af (x) +

bg(x) , x [a, b] ó af + bg P ;
ớ


f P f P t ó f = 0.

P ột ó tr E.



P ột ó tr E. ó tr E ét q

ệ tứ tự ị ở P s x
t q ớ

y ế ỉ ế y x P. ú

x < y ế x y x = y ò x

y ế y x intP ớ

intP tr ủ P
ổ ề



sử P ó tr

E a, b, c E

số tự ó



a

ế

ế

b b

c tì a

c;

a b b

c tì a

c;

ế


a

b, c

> 0 x intP, tồ t 0 < < 1 s x < ;

ớ ỗ

c2

b + d;

intP intP ;

ớ ỗ



d tì a + c

c1 intP

c2 intP

tồ t

d intP

s

c1

d

d;

ớ ọ
ế
ế

c1 , c2 intP

aP

E



tồ t

e intP

x ớ ọ x intP

a

e

s
tì

tự ớ ó

c1



e

c2 ;

a = 0;
P

ế

a a

ớ

a P 0 < < 1 tì a = 0;
ế
tì

0 xn yn

ớ ỗ



limn xn = x, limn yn = y

0 x y.

ổ ề
tr

sử

P

ó tr

E {xn }

P ó ế

xn 0 tì ớ ỗ c intP
ứ

ì

nN

sử

tồ t

n0 N s xn

c ớ ọ n n0 .

{xn } tr P xn 0 ớ ọ c intP

intP t ở tồ t > 0 s c + BE (0, ) intP ó



ế
t

x E x < tì c x intP ớ > 0 ị tr tồ

n0 N s
xn < n > n0 .

r

c x intP ớ ọ n n0 ó xn

c ớ ọ n n0 .

tr ó

ừ ề s t q ớ

E s intP =

P ột ó tr tự

tứ tự ộ tr E ợ ị ở

P.
ị ĩ

sử

X t rỗ

d: X ìX E
(x, y) d(x, y).

ợ ọ

ó



tr ó

tr

X

ế tỏ ề ệ s


0 d(x, y) ớ ọ x, y X, d(x, y) = 0 ế x = y;




d(x, y) = d(y, x) ớ ọ x, y X;
d(x, y) d(x, z) + d(z, y) ớ ọ x, y, z X.



X ù ớ ó d tr X ợ ọ

tr ó

ợ í ệ

í ụ

tr

sử

(X, d X.

L[a,b] t trị tự tí

[a, b] d : L[a,b] ì L[a,b] R ợ ở

d(f, g) =

b
a |f (x)

g(x)|dx f, g L[a,b] .

ó d tr ó tr L[a,b] ó L[a,b] tr
ó
ứ

t

P = [0, ) ó P ó tr

số tự R ữ tứ tự ộ tr

R ợ ị ở

P í tứ tự ỏ t tờ tr R
õ r

d(f, g) 0, d(f, g) = 0 ế f = g d(f, g) = d(g, f ) ớ

ọ

f, g L[a,b] . sử f, g, h L[a,b] ó
b

b

|f (x) g(x)|dx =

d(f, g) =

|f (x) h(x) + h(x) g(x)|dx

a

a
b



b

|f (x) h(x)|dx +

|h(x) g(x)|dx = d(f, h) + d(h, g).

a



a

d tr ó tr L[a,b] .
ế tr ó tr

ú ý

X tỏ ề ệ

d(x, y) = 0 é t x = y tì tr ó tr X
tr ó trờ ợ ệt ủ tr ó
r í ụ tr tr ó tr L[a,b] .

f



g

t

ớ


1
f (x) =

0

ế

ax
ế

x=b

g(x) = 1x [a, b].
ó


f, g tí tr [a, b] ĩ f g L[a,b] õ r f = g
b
a |f (x)

d(f, g) =

r

g(x)|dx = 0.

R ét ó P tr í ụ tì t t r ọ

tr tr ó
í ụ

ết

P = {f C[a,b] : f 0} ó tr

C[a,b] tụ tr [a, b] trị tr R

ữ q ệ

tr C[a,b] ợ ị ở P trù ớ q ệ

t tờ tr

[a, b] í ệ

X = {f C[a,b] : f
ị

ó tụ tr

d:X ìX P

[a, b]}

ở tứ

d(f, g) = |f g | f, g X.
tứ

d(f, g)(x) = |f (x) g (x)| f, g X, x [a, b].

ó

d tỏ ề ệ ủ ị ĩ tứ d tr

ó tr

X.




t r

d tr ó t ế t ét

f, g X ớ f (x) = x, g(x) = x + 1 ớ ọ x [a, b] tì f = g
d(f, g) = 0.
ừ ề s t tết
trị tr ó
ị ĩ

ỳ

(X, d) tr ó ớ d

P.

sử (X, d) tr ó ớ t

a X c intP t
B(a, c) = {x X : d(a, x)



c}.

B(a, c) ợ ọ ì ở t a í c.

ệ ề



t

T = {G X : x G, c intP : B(x, c) G}.
ó


T

ột t tr

ớ ọ

aX

ỗ ể tộ

X;

ọ

c intP ì ở B(a, c) ủ

T

(X, T ) T1

ứ



ỉ T X T ì ớ ỗ x X c intP t ó

B(a, c) X.
sử

{Ai : i I} ọ tử tộ T ó Ai T ớ ọ

i I ứ
{Ai : i I} T .
sử

Ai T

x {Ai : i I}

tồ t

c intP

ó tồ t

s

iI

s

x Ai

ì

B(x, c) Ai r

B(x, c) Ai {Ai : i I}
ó

{Ai : i I} T .
sử


A T B T t ỳ x A B ó x A, x B.

A T B T tồ t c1 c2 intP s B(x, c1 ) A

B(x, c2 ) B

ổ ề tồ t
ó s r


c intP s c

c1 c

c2 ừ

B(x, c) B(x, c1 ) B(x, c2 ) A B. ó A B T

T ột t tr X.

sử x

B(a, c) ó 0 d(x, a)

c t c = c d(x, a) ì

c t ó c intP ớ ọ y B(x, c ) t ó d(y, x)

d(x, a)

c

ó từ ề ệ ủ ị ĩ s r

d(y, a) d(y, x) + d(a, x)
ừ ó


c + d(x, a) = c d(x, a) + d(x, a) = c.

y B(a, c) ó B(x, c ) B(a, c).

B(a, c) T .



x, y X s x = y d(x, y) = 0 ó ọ ì

B(x, c) ề ứ y ừ ó s r X T1
ú ý

tì

ế

X tr ó d(x, y) > 0 ớ ọ x = y

X tr ó ó X T2

ệ q



ọ ì ở tr

X

t ở tr

X.

ứ

ừ ứ ệ ề s r B(a, c) t ở



ị í



sử

(X, d)

tr ó

{xn }

X, a X ó {xn } ộ tụ tớ a ỉ ớ ỗ c intP
nc

số tự

s

d(a, xn )

sử xn

ứ

tồ t số tự

ệ ề



c ớ ọ n nc

a ó ớ ỗ c intP ì B(a, c) T

nc s xn B(a, c) ớ ọ n nc ó

c ó ọ n nc

d(a, xn )
ế

tồ t



sử

{xn } tr X a b X ó

xn a xn b tì d(a, b) = 0;

xn a

ỉ

xn x

ớ ọ

x Fa , tr ó Fa = {x

X : d(a, x) = 0}.
ứ

ớ ọ

n t ó

0 d(a, b) d(a, xn ) + d(xn , b).
ì xn



a xn b từ ị ý s r ớ ỗ c intP tồ
c
c

d(b, xn )
ớ ọ n nc
t số tự nc s d(a, xn )
2
2
ết ợ ớ s r d(a, b)
c ớ ọ c intP ổ ề tì
d(a, b) = 0.



❜✮ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥✳ ●✐➯ sö xn

→ a✳ ❚❛ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ xn → x✱ ✈í✐ ♠ä✐

x ∈ Fa ✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ tõ xn → a s✉② r❛ ✈í✐ ♠ä✐ c ∈ intP tå♥ t➵✐ nc ∈ N s❛♦
❝❤♦

c ✈í✐ ♠ä✐ n ≥ nc ✳❱í✐ ♠ä✐ x ∈ Fa t❛ ❝ã d(x, a) = 0. ❉♦ ➤ã

d(a, xn )

0 ≤ d(xn , x) ≤ d(xn , a) + d(a, x)
❚õ ➤ã s✉② r❛

c ∀n ≥ nc .

xn → x✳

➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤ñ✳ ❱×

a ∈ Fa ♥➟♥ ➤✐Ò✉ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❧➭ ❤✐Ó♥ ♥❤✐➟♥✳

✭❬✶❪✮✳

(X, d) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐➯ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥✱ a ∈ X ✈➭
c
c ∈ intP ✳ ❑❤✐ ➤ã ❤ä U = {B(a, ) : n = 1, 2, . . .} ❧➭ ♠ét ❝➡ së ❧➞♥ ❝❐♥ t➵✐
n
➤✐Ó♠ a✱ ❞♦ ➤ã X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t❤á❛ ♠➲♥ t✐➟♥ ➤Ò ➤Õ♠ ➤➢î❝ t❤ø ♥❤✃t✳

✶✳✸✳✾✳ ▼Ö♥❤ ➤Ò

●✐➯ sö

U ❧➭ ❧➞♥ ❝❐♥ ❜✃t ❦ú ❝ñ❛ ➤✐Ó♠ a✳ ❑❤✐ ➤ã✱ tå♥ t➵✐
c
r ∈ intP s❛♦ ❝❤♦ B(a, r) ⊂ U ✳ ❱× → 0 ❦❤✐ n → ∞ ✈➭ r ∈ intP ♥➟♥ t❤❡♦
nc
c
❇æ ➤Ò ✶✳✷✳✸✱ s✉② r❛ tå♥ t➵✐ n s❛♦ ❝❤♦
r✳ ❉♦ ➤ã✱ B(a, ) ⊂ B(a, r) ⊂ U ✳
n
n
❙✉② r❛ U ❧➭ ❝➡ së ❧➞♥ ❝❐♥ t➵✐ ➤✐Ó♠ a✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❍✐Ó♥ ♥❤✐➟♥

●✐➯ sö

U ❧➭ t❐♣ ➤Õ♠ ➤➢î❝ ✳ ❉♦ ➤ã X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t❤á❛ ♠➲♥ t✐➟♥ ➤Ò

➤Õ♠ ➤➢î❝ t❤ø ♥❤✃t✳
✶✳✸✳✶✵✳ ▼Ö♥❤ ➤Ò

✭❬✶❪✮✳

●✐➯ sö

(X, d)

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➯ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥ ✈➭

a ∈ X ✳ ➜➷t Fa = {x ∈ X : d(x, a) = 0}.
❑❤✐ ➤ã✱ ❝➳❝ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ s❛✉ ➤➞② ❧➭ ➤ó♥❣
❛✮ ❱í✐ ♠ä✐
❜✮

Fa

b ✈➭ b ∈ Fa , x ∈ X\Fa

t❛ ❝ã

d(x, b) = d(x, b );

❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣❀

❝✮ ❱í✐ ♠ä✐

a, b ∈ X

t❛ ❝ã

d(x, y) = d(a, b) ∀x ∈ Fa , ∀y ∈ Fb .

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❛✮ ❱í✐ ♠ä✐

b ✈➭ b ∈ Fa t❛ ❝ã
0 ≤ d(b, b ) ≤ d(b, a) + d(a, b ) = 0.

❉♦ ➤ã

d(b, b ) = 0✳ ❱í✐ ♠ä✐ x ∈ X\Fa t❛ ❝ã
d(x, b) ≤ d(x, b ) + d(b , b) = d(x, b )

✭✶✮

d(x, b ) ≤ d(x, b) + d(b, b ) = d(x, b)

✭✷✮

✈➭

❚õ ✭✶✮ ✈➭ ✭✷✮ t❛ s✉② r❛
❜✮ ●✐➯ sö {xn }

d(x, b) = d(x, b )✳

⊂ Fa ✈➭ xn → x ∈ X ✳ ❱× X t❤á❛ ♠➲♥ t✐➟♥ ➤Ò ➤Õ♠ ➤➢î❝

t❤ø ♥❤✃t ♥➟♥ ➤Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤

Fa ➤ã♥❣ t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ x ∈ Fa ✳ ❱×
✶✹


xn → x ♥➟♥ ✈í✐ ♠ä✐ c ∈ intP tå♥ t➵✐ sè tù ♥❤✐➟♥ nc s❛♦ ❝❤♦ d(xn , x)
♠ä✐

c ✈í✐

n ≥ nc ✳ ❱× xn ∈ Fa ✈í✐ ♠ä✐ n ♥➟♥ d(xn , a) = 0 ✈í✐ ♠ä✐ n = 1, 2, . . .✳

❉♦ ➤ã

d(x, a) ≤ d(x1 , xn ) + d(xn , a) = d(x, xn )
❚õ ➤ã s✉② r❛

d(x, a)

c, ∀n ≥ nc .

c ✈í✐ ♠ä✐ c ∈ intP ✳ ❉♦ ➤ã t❤❡♦ ❇æ ➤Ò ✶✳✷✳✸ t❤×

d(x, a) = 0✱ tø❝ x ∈ Fa .✳ ❱❐② Fa ❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣✳
❝✮ ❚õ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ t❛♠ ❣✐➳❝ s✉② r❛

d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, b) + d(b, y) = d(a, b)
✈➭

d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, y) + d(y, b) = d(x, y).
❉♦ ➤ã

d(a, b) = d(x, y)✳

✶✳✸✳✶✶✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛

✭❬✶❪✮✳ ❈❤♦

X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➯ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥✳ ▼ét ❞➲②

{xn } tr♦♥❣ X ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➲② ❈❛✉❝❤② ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐
s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐

n, m ∈ N ♠➭ m > n ≥ n0 t❤× d(xn , xm ) < ✳

❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➯ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➬②
tr♦♥❣

➤ñ

X ➤Ò✉ ❤é✐ tô✳ ❚❐♣ ❝♦♥ A ⊂ X ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

❈❛✉❝❤② tr♦♥❣

> 0✱ tå♥ t➵✐ n0 ∈ N

♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ ❞➲② ❈❛✉❝❤②
t❐♣ ➤➬② ➤ñ

♥Õ✉ ♠ä✐ ❞➲②

A ❤é✐ tô tí✐ ➤✐Ó♠ t❤✉é❝ A✳

▼ä✐ t❐♣ ❝♦♥ ➤➬② ➤ñ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➯ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥ ❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣✳ ▼ä✐
t❐♣ ➤ã♥❣ ❝ñ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➯ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥ ➤➬② ➤ñ ❧➭ t❐♣ ➤➬② ➤ñ✳
✶✳✸✳✶✷✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛

①➵

✭❬✶❪✮✳ ❈❤♦

(X, d) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➯ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥ ✳

➳♥❤

g : X −→ X ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ t➵✐ x ∈ X ♥Õ✉ {xn } ❧➭ ❞➲② tr♦♥❣ X ✈➭

❤é✐ tô tí✐

x t❤× g(xn ) → g(x)✳

✶✺

ự tồ t ể t ộ ộ ố tr
tr ó ó tứ tự ộ

r ệ ể t ộ ộ ố tr
tr ó ét ó tể ở rộ ột số ết q ề sự tồ t
ể t ộ ộ ố tr tr ó tứ tự ộ
tr ó ó tứ tự ộ

ột số ết q ề sự tồ t ể t ộ ộ ố tr
tr ó tứ tự ộ

ụ trì ột số ị ý ề sự tồ t ể t ộ ộ ố
ủ ó tí ệ ỗ ợ tr tr ó tứ tự
ộ
ị ĩ

tr

t ợ

X ệ ợ ọ q

X ột q ệ
ệ tứ tự ộ

tr

X ế tỏ

ề ệ s

x ớ ọ x X

x

ế
ừ


x

y y

x

y, y

x tì x = y ớ ọ x, y X
z s r x

z ớ ọ x, y, z X

X ù ớ ột tứ tự ộ tr ó ợ ọ t

ộ

í ệ

í ệ

s tứ tự

(X, )

X 4 tí X ì X ì X ì X sử (X, ) ột

t s tứ tự ộ
sử

(u, v, r, t), (x, y, z, w) tử t ỳ tộ X 4 ú t

ét q ệ tứ tự tr

X 4 s

(u, v, r, t)

(x, y, z, w)




u




v

r




t



x
y
z
w


tr ó t ết

b t b

a

a

ó r

(x, y, z, w) = (u, v, r, t)

u=x




v = y


r=z




t = w.



ị ĩ

: X 4 X ó F

F
tộ

(X, ) ột t s tứ tự ộ

ó tí ệ ỗ ợ

ế ớ t ì x, y, z, w

X t ó
x1 , x2 X, x1

x2 F (x1 , y, z, w)

F (x2 , y, z, w),

y1 , y2 X, y1

y2 F (x, y1 , z, w)

F (x, y2 , z, w),

z1 , z2 X, z1

z2 F (x, y, z1 , w)

F (x, y, z2 , w),

w1 , w2 X, w1

w2 F (x, y, z, w1 )

F (x, y, z, w2 ).

ị ĩ
t ộ ộ ố

ột tử

ủ

(x, y, z, w) X 4 ợ ọ

ể

F : X 4 X ế

F (x, y, z, w) = x, F (x, w, z, y) = y,
F (z, y, x, w) = z, F (z, w, x, y) = w.
ị ĩ


tr



(X, ) t ợ s tứ tự ộ

F : X 4 X g : X X ó F

ó tí ệ ỗ ợ

X ế ớ t ỳ x, y, z, w tộ X t ó
x1 , x2 X, g(x1 )

g(x2 ) F (x1 , y, z, w)

F (x2 , y, z, w),

y1 , y2 X, g(y1 )

g(y2 ) F (x, y1 , z, w)

F (x, y2 , z, w),

z1 , z2 X, g(z1 )

g(z2 ) F (x, y, z1 , w)

F (x, y, z2 , w),

w1 , w2 X, g(w1 )

g(w2 ) F (x, y, z, w1 )

F (x, y, z, w2 ).

ị ĩ

ể

(x, y, z, w) X 4 ợ ọ ể ộ



ố

F : X 4 X g : X X ế

ủ

F (x, y, z, w) = g(x), F (x, w, z, y) = g(y),
F (z, y, x, w) = g(z), F (z, w, x, y) = g(w).
ị ĩ





F : X 4 X g : X X F

g ợ ọ ớ tr X ế ớ ọ x, y, z, w tộ X

t ó

g(F (x, y, z, w)) = F (g(x), g(y), g(z), g(w)).
r ị í s t tết (X,


) t s tứ tự ộ

(X, d) ủ

ị í

X

ợ tr

X4







tồ t

(u, y, r, t)

F : X4 X

1

ó tí t ệ ỗ

s ớ ọ

(x, y, z, w) (u, y, r, t) tộ

(x, y, z, w) t ó

1
d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t)) [d(x, u) + d(y, v) + d(z, r) + d(w, t)]
4
1
( [d(x, u) + d(y, v) + d(z, r) + d(w, t)]).

4
sử tồ t

(x0 , y0 , z0 , w0 ) X 4

s

x0

F (x0 , y0 , z0 , w0 ), y0

F (x0 , w0 , z0 , y0 ),

z0

F (z0 , y0 , x0 , w0 ), w0

F (z0 , w0 , x0 , y0 ).

ó ế ột tr ề ệ s ợ tỏ

tì



F

tụ

X

ó tí t

ừ

{xn } t xn x s r xn

ừ

{yn } yn y

F

s r

yn

x ớ ọ n N,
y

ớ ọ

n N,

ó ể t ộ ộ ố

ệ q
ỗ ợ tr

(u, y, r, t)

X






F : X4 X

ó tí t ệ

k [0, 1) ớ ọ (x, y, z, w) (u, y, r, t) tộ X 4



(x, y, z, w) t ó

k
d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t)) [d(x, u) + d(y, v) + d(z, r) + d(w, t)].
4



●✐➯ sö tå♥ t➵✐

(x0 , y0 , z0 , w0 ) ∈ X 4

t❤á❛ ♠➲♥

x0

F (x0 , y0 , z0 , w0 ), y0

F (x0 , w0 , z0 , y0 ),

z0

F (z0 , y0 , x0 , w0 ), w0

F (z0 , w0 , x0 , y0 ).

❑❤✐ ➤ã✱ ♥Õ✉ t❤á❛ ♠➲♥ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥

t❤×

✭❛✮

F

❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tô❝ ❤♦➷❝

✭❜✮

X

❝ã ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t

F

✲ ❚õ

{xn } ❧➭ ❞➲② t➝♥❣ ✈➭ xn → x s✉② r❛ xn

x ✈í✐ ♠ä✐ n ∈ N,

✲ ❚õ

{yn } ❧➭ ❞➲② ❣✐➯♠ ✈➭ yn → y

y

s✉② r❛

yn

✈í✐ ♠ä✐

n ∈ N,

❝ã ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❜é ❜è♥✳

✷✳✶✳✾✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý

✭❬✼❪✮

F (X 4 ) ⊂ g(X)

✈➭

❈❤♦

F

F : X4 → X

❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❣ ✲ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❤ç♥ ❤î♣ tr➟♥

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ➤➬② ➤ñ ❝ñ❛
●✐➯ sö tå♥ t➵✐

φ ∈ Φ2

(g(u), g(v), g(r), g(t))

❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ✈í✐

g : X → X✱
X ✱ g(X)

X✳

s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐

(x, y, z, w), (u, v, r, t)

t❤✉é❝

X4

(g(x), g(y), g(z), g(w)) t❛ ❝ã

1
d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t)) ≤ φ( [d(g(x), g(u)) + d(g(y), g(v))
4
+d(g(z), g(r)) + d(g(w), g(t))])
(x0 , y0 , z0 , w0 ) ∈ X 4

✈➭ tå♥ t➵✐

t❤á❛ ♠➲♥

g(x0 )

F (x0 , y0 , z0 , w0 ), g(y0 )

F (x0 , w0 , z0 , y0 ),

g(z0 )

F (z0 , y0 , x0 , w0 ), g(w0 )

F (z0 , w0 , x0 , y0 ).

❑❤✐ ➤ã✱ ♥Õ✉ t❤á❛ ♠➲♥ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥

t❤×

✭❛✮

F

❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tô❝ ❤♦➷❝

✭❜✮

X

❝ã ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t

F

✲ ❚õ

{xn } ❧➭ ❞➲② t➝♥❣ ✈➭ xn → x s✉② r❛ xn

x ✈í✐ ♠ä✐ n ∈ N,

✲ ❚õ

{yn } ❧➭ ❞➲② ❣✐➯♠ ✈➭ yn → y

y

✈➭

g

❧➭

❝ã ➤✐Ó♠ ❝❤✉♥❣ ❜é ❜è♥✳

✶✾

s✉② r❛

yn

✈í✐ ♠ä✐

n ∈ N,

♠➭


✷✳✷ ▼ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ➤✐Ó♠ ❣✐➯ ❜✃t ➤é♥❣ ❜é
❜è♥ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➯ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥ ❝ã t❤ø tù ❜é ♣❤❐♥

▼ô❝ ♥➭② ➤➢❛ r❛ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò ➤✐Ó♠ ❣✐➯ ❜✃t ➤é♥❣ ❜é ❜è♥✱ ❣✐➯ ❝❤✉♥❣
❜é ❜è♥ ✈➭ ❣✐➯ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❜é ❜è♥ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➯ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥ ✈➭
❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét sè ➤Þ♥❤ ❧ý ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❣✐➯ ❜✃t ➤é♥❣ ✈➭ ❣✐➯ ❜✃t
➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❜é ❜è♥ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➯ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥ ❝ã t❤ø tù ❜é ♣❤❐♥✳ ❈➳❝
➤Þ♥❤ ❧ý ♥➭② ❧➭ sù ♠ë ré♥❣ ❝ñ❛ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣
✈➭ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❜é ❜è♥ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ❝ã t❤ø tù ❜é ♣❤❐♥✳
✷✳✷✳✶✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛

✳ ●✐➯ sö

➳♥❤ ①➵

(X, d) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➯ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥✳

F : X 4 −→ X ✈➭ g : X −→ X ✳
✶✮ ➜✐Ó♠

(x, y, z, w) ∈ X 4 ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤✐Ó♠

❣✐➯ ❜✃t ➤é♥❣ ❜é ❜è♥

❝ñ❛ ❋

♥Õ✉

d(x, F (x, y, z, w)) = d(y, F (x, w, z, y))
= d(z, F (z, y, x, w)) = d(w, F (z, w, x, y)) = 0.
✷✮ ➜✐Ó♠

(x, y, z, w) ∈ X 4 ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

➤✐Ó♠ ❣✐➯ ❝❤✉♥❣ ❜é ❜è♥

❝ñ❛ ❋ ✈➭

❣ ♥Õ✉

d(g(x), F (g(x), g(y), g(z), g(w))) = d(g(y), F (g(x), g(w), g(z), g(y)))
= d(g(z), F (g(z), g(y), g(x), g(w))) = d(g(w), F (g(z), g(w), g(y), g(x))) = 0.
✸✮ ➜✐Ó♠

(x, y, z, w) ∈ X 4 ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤✐Ó♠ ❣✐➯ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤✉♥❣ ❜é ❜è♥

❝ñ❛ ❋ ✈➭ ❣ ♥Õ✉ ✭①✱ ②✱ ③✱ ✇✮ ❧➭

➤✐Ó♠ ❣✐➯ ❝❤✉♥❣ ❜é ❜è♥

❝ñ❛ ❋ ✈➭ ❣ ✈➭

d(x, g(x)) = d(y, g(y)) = d(z, g(z)) = d(w, g(w)) = 0.
❙❛✉ ➤➞②✱ ❧➭ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ➤✐Ó♠ ❣✐➯ ❜✃t ➤é♥❣ ❜é ❜è♥ tr♦♥❣
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➯ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥✳
●✐➯ sö✱

(X, ) ❧➭ t❐♣ ❤î♣ s➽♣ t❤ø tù ❜é ♣❤❐♥✱ (X, d) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➯

♠➟tr✐❝ ♥ã♥ ➤➬② ➤ñ ✈í✐
❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝

d ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ tr♦♥❣ ♥ã♥ P ✈➭ P ❧➭ ♥ã♥ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣

E ✈í✐ ✐♥tP = φ✳

➜➷t

Φ1 :={φ : [0, +∞) → [0, +∞) : lim φ(t) > 0 ✈í✐ ♠ä✐ r ❃ ✵ ✈➭ lim+ φ(t) = 0}.
t→r

t→0

Φ2 :={φ : [0, +∞) → [0, +∞) : φ(t) < t ✈í✐ ♠ä✐ ✵ ≤ t, ✈➭
lim φ(r) < t ✈í✐ ♠ä✐ ✵ ≤ t}.

r→t+

✷✵


✷✳✷✳✷✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý✳

❈❤♦ ➳♥❤ ①➵

g : X −→ X

✈➭ ➳♥❤ ①➵

F : X 4 −→ X

❝ã tÝ♥❤

❣ ✲ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❤ç♥ ❤î♣ ✈➭ t❤á❛ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ s❛✉
✶✮

g

❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ✈í✐

❝♦♥ ➤➬② ➤ñ ❝ñ❛
✷✮ ❚å♥ t➵✐
✈í✐ ♠ä✐

F ✱ F (X 4 ) ⊂ g(X)✱ g(X)

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

X❀

α1 , α2 , α3 , α4 ∈ [0; 1) s❛♦ ❝❤♦ α1 + α2 + α3 + α4 < 1 ✈➭

(x, y, z, w), (u, v, r, t) ∈ X 4

(g(u), g(v), g(r), g(t))

♠➭

(g(x), g(y), g(z), g(w)) t❛ ❝ã

d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t))

α1 d(g(x), g(u)) + α2 d(g(y), g(v))
+ α3 d(g(z), g(r)) + α4 d(g(w), g(t));
✭✶✮

✸✮ ❚å♥ t➵✐

✹✮

F

s❛♦ ❝❤♦

g(x0 )

F (x0 , y0 , z0 , w0 ), g(y0 )

F (x0 , w0 , z0 , y0 ),

g(z0 )

F (z0 , y0 , x0 , w0 ), g(w0 )

F (z0 , w0 , x0 , y0 );

❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tô❝ ❤♦➷❝ ❣ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭

✐✮ ❚õ

F

X

✭✷✮

❝ã ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t

{xn } ❧➭ ❞➲② t➝♥❣ ✈➭ xn → x s✉② r❛ xn

x ✈í✐ ♠ä✐ n ∈ N,

{yn } ❧➭ ❞➲② ❣✐➯♠ ✈➭ yn → y

y

✐✐✮ ❚õ
❑❤✐ ➤ã✱

(x0 , y0 , z0 , w0 ) ∈ X 4

✈➭

g

s✉② r❛

yn

✈í✐ ♠ä✐

n ∈ N.

❝ã ➤✐Ó♠ ❣✐➯ ❝❤✉♥❣ ❜é ❜è♥✳

✳ ❚õ

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤

F (X 4 ) ⊂ g(X)✱ ❝❤ó♥❣ t❛ t❤✐Õt ❧❐♣ ➤➢î❝ ❝➳❝ ❞➲② {xn }✱

{yn }✱ {zn }✱ {wn } tr♦♥❣ X ♥❤➢ s❛✉
g(xn+1 ) = F (xn , yn , zn , wn ),

g(yn+1 ) = F (xn , wn , zn , yn ),

✭✸✮

g(zn+1 ) = F (zn , yn , xn , wn ),
g(wn+1 ) = F (zn , wn , xn , yn )

✈í✐

n = 0, 1, . . .

❑❤✐ ➤ã✱ tõ ✭✷✮✱ ✭✸✮ ✈➭ tÝ♥❤ ❣ ✲ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❤ç♥ ❤î♣ ❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵ F t❛ ❝ã

g(x0 )

g(x1 )

g(x2 )

...

g(xn+1 ) = F (xn , yn , zn , wn )

...,

g(y0 )

g(y1 )

g(y2 )

...

g(yn+1 ) = F (xn , wn , zn , yn )

...,

g(z0 )

g(z1 )

g(z2 )

...

g(zn+1 ) = F (zn , yn , xn , wn )

...,

g(w0 )

g(w1 )

g(w2 )

...

g(wn+1 ) = F (zn , wn , xn , yn )
✷✶

...

✭✹✮


ớ ỗ

n = 0, 1, . . . t

an := g(xn ), bn := g(yn ), cn := g(zn ), dn := g(wn ),
n := d(an , an+1 ) + d(bn , bn+1 ) + d(cn , cn+1 ) + d(dn , dn+1 ).
q t sẽ ứ r ớ ọ n

tr ó



= 1, 2, . . .

d(an , an+1 )

q n 0 ,



d(bn , bn+1 )

q n 0 ,

d(cn , cn+1 )

q n 0 ,



d(dn , dn+1 )

q n 0 ,



q := 1 + 2 + 3 + 4

ừ t ó

d(a1 , a2 ) = d(g(x1 ), g(x2 ))
= d(F (x0 , y0 , z0 , w0 ), F (x1 , y1 , z1 , w1 ))
1 d(g(x0 ), g(x1 )) + 2 d(g(y0 ), g(y1 ))
+ 3 d(g(z0 ), g(z1 )) + 4 d(g(w0 ), g(w1 ))
= 1 d(a0 , a1 ) + 2 d(b0 , b1 ) + 3 d(c0 , c1 ) + 4 d(d0 , d1 )
qd(a0 , a1 ) + qd(b0 , b1 ) + qd(c0 , c1 ) + qd(d0 , d1 )
= q0 .
r ú ớ n
ú ớ

= 1 tự t ứ ợ ũ

n = 1

sử ú ớ n

1 ĩ

d(an , an+1 )

q n 0 ,

d(bn , bn+1 )

q n 0 ,

d(cn , cn+1 )

q n 0 ,

d(dn , dn+1 )

q n 0 .




❇➞② ❣✐ê✱ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✭✻✮✱ ✭✼✮✱ ✭✽✮✱ ✭✾✮ ➤ó♥❣ ✈í✐ n + 1✳ ❚❛ ❝ã

d(an+1 , an+2 ) = d(g(xn+1 ), g(xn+2 ))
= d(F (xn , yn , zn , wn ), F (xn+1 , yn+1 , zn+1 , wn+1 ))
α1 d(g(xn ), g(xn+1 )) + α2 d(g(yn ), g(yn+1 ))
+ α3 d(g(zn ), g(zn+1 )) + α4 d(g(wn ), g(wn+1 ))

= α1 d(an , an+1 ) + α2 d(bn , bn+1 ) + α3 d(cn , cn+1 ) + α4 d(dn , dn+1 )
α1 q n δ0 + α2 q n δ0 + α3 q n δ0 + α4 q n δ0
= (α1 + α2 + α3 + α4 )q n δ0
= q n+1 δ0 .
❚➢➡♥❣ tù✱ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢î❝ ✭✼✮✱ ✭✽✮✱ ✭✾✮ ❝ò♥❣ ➤ó♥❣ ✈í✐ n + 1✳ ❱❐② ✭✻✮✱
✭✼✮✱ ✭✽✮✱ ✭✾✮ ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐

n = 1, 2, . . .✳

❇➞② ❣✐ê✱ ❝❤ó♥❣ t❛ sÏ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ❝➳❝ ❞➲② {an }, {bn }, {cn }, {dn } ❧➭
❝➳❝ ❞➲② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣
❚õ ✭✻✮✱ ✈í✐ ♠ä✐

d(an , an+p )

g(X)✳

n = 1, 2, . . . ✈➭ ♠ä✐ p = 0, 1, . . . t❛ ❝ã

d(an , an+1 ) + d(an+1 , an+2 ) + . . . + d(an+p−1 , an+p )
q n δ0 + q n+1 δ0 + . . . + q n+p−1 δ0
= q n (1 + q + . . . + q p−1 )δ0
p
n1 − q
=q
δ0
1−q
1
qn
δ0 .

1−q

✭✶✵✮

q = α1 + α2 + α3 + α4 ♥➟♥ q ∈ [0; 1)✳ ❙✉② r❛ q n → 0 ❦❤✐ n → +∞✳ ❉♦
1
δ0 → 0 ❦❤✐ n → +∞.
➤ã q n
1−q
❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ ♠ä✐ c ∈ intP ✱ tå♥ t➵✐ sè tù ♥❤✐➟♥ n0 s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐ n ≥ n0 ✱

❱×

✈í✐ ♠ä✐

p = 1, 2, . . . t❤×
d(an , an+p )

❉♦ ➤ã

qn

1
δ0
1−q

c.

{an } ❧➭ ❞➲② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ g(X)✳

❚➢➡♥❣ tù✱ t❛ ❝ò♥❣ ❝ã

{bn }, {cn }, {dn } ❧➭ ❝➳❝ ❞➲② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ g(X)✳
✷✸


❱×

(g(X), d) ➤➬② ➤ñ ♥➟♥ tå♥ t➵✐ a, b, c, d t❤✉é❝ g(X) s❛♦ ❝❤♦
lim an = a, lim bn = b,

n→∞

n→∞

lim cn = c, lim dn = d.

n→∞

❱×

✭✶✶✮

n→∞

g ❧✐➟♥ tô❝ ♥➟♥
lim g(an ) = g(a), lim g(bn ) = g(b),

n→∞

n→∞

lim g(cn ) = g(c), lim g(dn ) = g(d).

n→∞

▼➷t ❦❤➳❝✱

✭✶✷✮

n→∞

F ✈➭ g ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ✈í✐ ♥❤❛✉ ♥➟♥
g(an+1 ) = g(g(xn+1 )) = g(F (xn , yn , zn , wn ))
= F (g(xn ), g(yn ), g(zn ), g(wn ))

✭✶✸✮

= F (an , bn , cn , dn ).
❚➢➡♥❣ tù

g(bn+1 ) = F (an , dn , cn , bn ),
g(cn+1 ) = F (cn , bn , an , dn ),

✭✶✹✮

g(dn+1 ) = F (cn , dn , an , bn ).
●✐➯ sö

F ❧✐➟♥ tô❝✳ ❑❤✐ ➤ã✱ tõ ✭✶✶✮✱ ✭✶✷✮ ✈➭ ✭✶✸✮ t❛ ❝ã

g(a) = lim g(an+1 )
n→∞

= lim F (an , bn , cn , dn ) = F (a, b, c, d).
n→∞

❚➢➡♥❣ tù✱ t❛ ❝ã

g(b) = F (a, d, c, b),
g(c) = F (c, b, a, d),
g(d) = F (c, d, a, b).
◆❤➢ ✈❐②

(a, b, c, d) ❧➭ ➤✐Ó♠ ❣✐➯ ❝❤✉♥❣ ❜é ❜è♥ ❝ñ❛ F ✈➭ g ✳

●✐➯ sö ❣ ❝ã tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✭❝ã t❤Ó ❣✐➯ t❤✐Õt ❣ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t➝♥❣✮ ✈➭ X t❤á❛
♠➲♥ ✐✮ ✈➭ ✐✐✮✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❝➳❝ ❞➲② {an } ✈➭
✈➭

{cn } ❧➭ ❝➳❝ ❞➲② t➝♥❣ ✈➭ ❤é✐ tô✱ {bn }

{dn } ❧➭ ❝➳❝ ❞➲② ❣✐➯♠ ✈➭ ❤é✐ tô✳ ❚õ ✭✶✶✮✱ t❛ ❝ã
an

a, bn

b, cn

c, dn
✷✹

d,

∀n = 0, 1, . . .


❱× ❣ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t➝♥❣ ✈➭ ❝➳❝ ❞➲② {g(an )}✱
❤é✐ tô tí✐

g(a)✱ g(b)✱ g(c)✱ g(d) ❦❤✐ n → +∞ ♥➟♥ g(an )

g(b)✱ g(cn )

g(c)✱ g(dn )

tå♥ t➵✐ sè tù ♥❤✐➟♥

g(a)✱ g(bn )

g(d) ✈í✐ ♥ ❂ ✶✱ ✷✱✳✳✳ ✳ ❉♦ ➤ã✱ ✈í✐ ♠ä✐ c ∈ intP ✱

nc s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐ n ≥ nc t❛ ❝ã
d(g(an ), g(a))
d(g(bn ), g(b))
d(g(cn ), g(c))
d(g(dn ), g(d))

tr♦♥❣ ➤ã

{g(bn )}✱ {g(cn )}✱ {g(dn )} ❧➬♥ ❧➢ît

1
c,
5(ω + 1)
1
c,
5(ω + 1)
1
c,
5(ω + 1)
1
c,
5(ω + 1)

✭✶✺✮

ω = max{α1 , α2 , α3 , α4 }✳

❙✉② r❛ ✈í✐ ♠ä✐

n ≥ nc t❛ ❝ã

d(g(a), F (a, b, c, d))

d(g(a), g(an+1 )) + d(g(an+1 ), F (a, b, c, d))
= d(g(a), g(an+1 )) + d(F (an , bn , cn , dn ), F (a, b, c, d))
d(g(a), g(an+1 )) + α1 d(g(an ), g(a)) + α2 d(g(bn ), g(b))
+ α3 d(g(cn ), g(c)) + α4 d(g(dn ), g(d))
1
[c + α1 c + α2 c + α3 c + α4 c]

5(ω + 1)
1
[c + ωc + ωc + ωc + ωc]
5(ω + 1)
1 + 4ω
=
c
5(ω + 1)
c.

❱❐②

d(g(a), F (a, b, c, d))

✭✈✐✐✐✮ t❤×

c ✈í✐ ♠ä✐ c ∈ intP ✳ ❉♦ ➤ã✱ t❤❡♦ ❇æ ➤Ò ✶✳✷✳✸

d(g(a), F (a, b, c, d)) = 0✳

❚➢➡♥❣ tù✱ t❛ ❝ò♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢î❝

d(g(b), F (a, d, c, b)) = d(g(c), F (c, b, a, d)) = d(g(d), F (c, d, a, b)) = 0.
❉♦ ➤ã

(a, b, c, d) ❧➭ ➤✐Ó♠ ❣✐➯ ❝❤✉♥❣ ❜é ❜è♥ ❝ñ❛ F ✈➭ g ✳

❱❐② ♥Õ✉

F ❧✐➟♥ tô❝ ❤♦➷❝ X ❝ã ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✐✮ ✈➭ ✐✐✮ t❤× F ✈➭ g ❧✉➠♥ ❝ã

➤✐Ó♠ ❣✐➯ ❝❤✉♥❣ ❜é ❜è♥✳
✷✺