Sự hội tụ đầy đủ và luật mạnh số lớn của dãy các biến ngẫu nhiên độc lập một
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (399.75 KB, 38 trang )
ôÓ
Úñ ñÓ ØõÓ
ÌÖ
Ò
Ì
õ
Ì
À
Î Ò
Ý Î
Ò
Ë
Ø Ý
Úñ ÐÙ Ø ÑõÒ × Ð Ò
óÝ
ô
ÒÒ ÙÒ
Ò
Ð Ô
Ñ Ø
ÄÙ Ò Ú Ò Ø õ
× ØÓôÒ
Î Ò
¹ ¾¼½
ôÓ
Úñ ñÓ ØõÓ
ÌÖ
Ò
õ
Ì
Ì
À
Î Ò
Ý Î
Ò
Ë
Ø Ý
Úñ ÐÙ Ø ÑõÒ × Ð Ò
óÝ
ô
ÒÒ ÙÒ
Ò
Ð Ô
Ñ Ø
ÙÝ Ò Ò ñÒ Ä Ø ÙÝ Ø Üô
×Ù Ø Úñ Ì
Åó ×
Ò
Ò
ØÓôÒ
¼º º¼½º¼
ÄÙ Ò Ú Ò Ø õ
× ØÓôÒ
Æ
Ò
Ó
Î Ò
¹ ¾¼½
˺Ì輮 ÙÝ Ò Î Ò ÉÙòÒ
Å
Ð
Å
Ð
Å
½
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½
Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ô
½º½
ÒØ
Ã
×
Ò
½º½º½
Ò Üô
×Ù Ø
Ã
Ò
ô
Ø Ò
½º½º¿
ô
×Ù Ø
ôÒ
Ì Ò
Üõ
½º¾º½
Ó Úñ
Ø
ôÒ
Üõ
Ò Ò
¿
Ó Üô
×Ù Ø º º º º º º º º º º º º º º
Üô
×Ù Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ù
Úñ
¿
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ð Ô
Ó
½º¾º¾
Ò
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ô
Ò Ò
Ù Ò
Ò
º º º º º º º º º º º º º º º º
Ò
º º º º º º º º º º º º º º º º
Ó
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ù Ò
Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½º¾º¿
È
Ò Ô
Üô
×Ù Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½º¾º
Ã Ú Ò
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½º¾º
Ì Ò
Ò º º º º º º
½½
½º¾º
ÄÙ Ø ¼¹½ ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½¾
½º¾º
¾ Ë
Ø
Ð Ô
¾º½
Ò
½º½º¾
½º½º
½º¾
¿
Ë
Ð Ô
ô
Ð Ô Úñ
ô
ô
Ò Ò
Ù Ò
Ò ØÖ
Ý
Úñ ÐÙ Ø ÑõÒ × Ð Ò
Ò Ò
Ù Ò
Ý
½¿
Ó º º º º º º º º º º º º º º º º
óÝ
ô
ÒÒ ÙÒ
Ñ Ø
Ø
½¼
Ò
½
óÝ
ô
Ò Ò
Ù Ò
Ò º º º º º º º º º º º
½
¾º½º½
¾º½º¾
¾º¾
¾º¿
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½
×
¾
Ò
Ò
Úñ Ú
ô
Ø Ò
ô
ÄÙ Ø ÑõÒ
Ð Ò
غ
Ú
Ã Ø ÐÙ Ò Úñ
Ò Ô ôØ ØÖ Ò
Ìñ Ð Ù Ø Ñ
òÓ
óÝ
ô
Ò Ò
Ù Ò
Ò
Ð Ô
Ñ Ø
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¿¾
¿
ề
ỉ í ỉ ĩụ
ì ỉ éủ ẹ ỉ
ề
ề
ề ề ữẹ ỉ ẹ ệ
ề íá é
ếí é ỉ
ề
ề
ễ
ề
ỉểụề
ếí é ỉ ỉệểề
ỉ í ỉ ĩụ
ì ỉ ệ
ỉ í ỉ ĩụ
ì ỉ ễ ụỉ ỉệ
ề
ề
ề
ềỉ
ủể ề
ề ẹừề
ẹ
ề
ụ
ủ
ề
ề
ỉ
ỉ
ề
ẵ
ề
ềỉ
ề
ề
ề
ẩ ụễ ặ ủí
ề
ỉ
ỉ
ỉệểề
ì ề
èệểề
é
ậ
ỉ
ề
ỉ
ỉ í ỉ ĩụ
ì ỉá
ụ
é ỉ ì
í
úí
ụ
ề
é ỉ ẹừề
ỉ
ữề
í
ẹ ỉ
ì
ềề
ì
é ề è
X
ề
é ề
ề
ề
ề
ề
ề
úí
ỉệ
ế ề ỉệ ề
ỉệ
ề ề
P {|Xn X| > } <
ế ề ỉệ ề
ề
ề
ỉệểề
{Xn , n
1}
>0
ẹ
n=1
ụ ề
ệữề
ỉệề
ễ
ề
ỉ
ễ
ề
ẹ ềủí
ề
í
ẹ ỉ
ề
ỉ
ỉệ ề
ì ỉá
ề ề
ẹ
ề
ỉịá
ì
úí
ụ
ề
ú
ề
ẵá
ỉệ ề
ề
ề
ỉ
ủí
ụ
ề
ề
ềá
ũ ỉ
ủí
ề
úí
ề ề
ề
ề
ề ề
ề ế ề
ẵ
ề
ẹ ề
é ễá
ề
ề ề
ủ ẹ
ề
ắ
ắ
ề ề
ề
ếụỉ
ỉ
úí
ụ
ề ỉ
ề
ú
ề
ụ
á
ủí ỉệểề
ỉệ ề
ủ
ề
ệ ề
ễ
ề
ỉ
ề
ẹ
ủ ẽ ề á ẽá
ụ
ỉủ é
ỉệ ề
ềì
ỉ ề
ẹ ủ ỉịá
ủ ỉ ẹ
é ễá
é
ủ é ỉ ẹừề ì é ề
ụ
ề
ề
ì
ì ủ ấể
ừề ỉ ếũ ềủí
ũ ề
ỉ
ệ
ề
èệ ề
ỉ
ề
í
ì
ỉụ
éủ
ề
ề
ềề ề
ỉủ
ề
ậ
é ễ
ề
ì
ề
ề
ề ỉ
ềá
é
ỉ í ỉ ĩụ
ì ỉá
ề
ề
ềá
ụ
ẹ ề
ỉ
ề
ề ĩụ
ề ỳ
éừ
á ỉ ề
ụ
ỉá
ụ
Ò
Ò
Ø
º Ì
Ò
Ô Ø
¾ Ðñ Ò
Ó¸
Ò
×
ôÓ¸
ØÖÓÒ
ØÖÓÒ
¸
¸
óÝ
ô
Ù Ò
õ
õÒ ØÖÓÒ
õ
Ù × Øº
ôÓ Úñ
õÒ
óÒ
Ò
Ó
ô Ò
Ð Ú
Î Ò
×
ñÝ Ø
Ò Ø ñÒ
òÑ
òÒ
Ò
×
Øô
¸
Ô
Úñ
Ø
Ø
Ý
Ø
Ý
Ò
ô
Ø
Ò
Ò Øô
Ò
Ò × Ù ×ú
Ò ÐóÒ
õÝ Úñ
Ú
Ø
Ò
Ò ¸
Ò
Ñ Øº
¾½ Ä Ø ÙÝ Ø Üô
×Ù Ø Úñ Ì
ó
Ò
Ñ
Ð Ò
Úñ
òÑ
ØØ Ò
Ü Ò
ôÑ
Ò
Ð Ô
È õÑ ÌÓôÒ
Ø
Òñݸ ØÖ
õÓ È
Ò
ݸ
ôÓ
Ô
Øô
Ò
Ô¸
Ò
ò
õÒ
ÌÓôÒ
ò ØÖÓÒ
×Ù Ø
Ò
Ùº
Ò
Ò
Ù
Ð Ô
Î Ò
ó
Ë
Ò
Ò
ò Ü Ò
ò Ü Ò
ÌÓôÒ
Ø Ôº
Úñ
Ò Ò
Ò
Ô Òñݸ Øô
ÑÃ Ó
Ø Ô Úñ Ò
Å
ݸ
Ø Ò
Ò Ñ Ø ×
Ò Øõ ÌÖ
Ò
Ò
Ò
ÕÙô ØÖ Ò
Ø
ÐÙ Ò Ú Òº ÌÖÓÒ
Úñ Ñ Ø ×
Ú
Ò
Ø Ðñ
ô
Øõ ÌÖ
¸ Ø
Ô
ô
×٠ظ à Ó
×Ù Ø Ø
×
ݺ Æ
Ò
Ñ Ò
Ø
Ø
Ò Ø
õ
Ò
Ò
˺Ì輮 ÙÝ Ò Î Ò ÉÙòÒ º Ìô
Ñ Ò
Ë Ù
Ò
Ð Ò
ÄÙ Ò Ú Ò
Ý
Ò
Ù Ú
Úñ ÐÙ Ø ÑõÒ
Ø
ÙÒ
Ù
Ø
úÒ ¸ Ò
Ö Ø ÑÓÒ
ÐÙ Ò Ú Ò
Ò
Ò
ÐÙ Ò Ú Ò
Ò
Ò
ÓñÒ Ø
Æ
Ò
ØÖôÒ
Ò
Ò
Ò
Ò
Ò
Ô
õÒ
ô
Òº
Ò¸ Ì
ôÒ
Ì
¾
Ò
½¼ Ò
Ì
Ñ ¾¼½
ÝÎ Ò
Ò ½
ô
½º½
ÒØ
×
Ã
Ò
ÌÖÓÒ
Ò Üô
×Ù
Ñ
Òñݸ
Ò
Ø
Ø
ØÖ Ò
ñÝ Ðõ Ñ Ø ×
Ø ÕÙò
×
Ú
Ò
Ò Üô
×٠غ
½º½º½
Ã
Ò Ò
Ω
Ò
Ò
½º½º½º
Ó
Ðñ Ñ Ø
Ó Üô
×Ù Ø
Ω Ðñ Ñ
Ø Ø Ô Ø Ý
σ¹
Ò Ù Ø
õ ×
ô
Ö Ò º Å Ø
ÑóÒ
Ù
F
Ò
Ò
Ø Ô
ÓÒ
Ò
Ω ∈ F.
´ µ
´ µ Æ Ù
´
Ó Úñ
µ Æ Ù
Ã
´ µ
´ µ
(Ω, F )
½º½º¾º
Ðñ
P(A)
Ω \ A ∈ F.
Ø
An ∈ F , n
¸
Ô
Ò Ò
A∈F
ò×
∀A ∈ F
P(Ω) = 1 ´Ø Ò
Ù Ò
∈ F.
Ò
Ðñ Ñ Ø
(Ω, F ) Ðñ Ñ
Ó Üô
×Ù Ø ØÖ Ò
0Ú
∞
n=1 An
1Ø
F
Ø
Ò
Ò
Ò
Ò Ù
´ Ø Ò
Ò
µ
¿
ѵ
Óº
Óº Å Ø ôÒ
Üõ
P:F →R
´
An ∈ F (n = 1, 2, 3, ...), Ai ∩ Aj = AiAj = ∅(i = j) Ø
µ Æ Ù
∞
∞
An ) =
P(
n=1
´Ø Ò
Ò
Ø Ò
ô
Ñ
Ù
n=1
µº
Ò ´ µ¹´
µ
Ø
Ðñ
Ò
(Ω, F , P)
Ðñ
Ò
Ò Üô
×٠غ
Ω
Ðñ
Ò
Ò
Ì Ô
õ ×
ô
A∈F
Ω∈F
Ò
∅∈F
Ò
A = Ω\A
Ý
×
Ô¸
σ¹
Üô
×٠غ
F
õ ×
Ðñ
σ¹
Ò
Ò
Ò
Ò
Ðñ
A, B
Ø
Ðñ
Ò
A.
Ðñ
ô
Ò
Ù Ðñ
(Ω, F , P)¸ Ø
º
Ð Ô
(Ω, F , P)
Üô
×Ù Ø
Ò
Ò
Ðñ
Ò Üô
×Ù Ø
ú
úÒº
Ò
Ðñ
Ò Üô
×Ù Ø
Ò
Ò
º
Ðñ Ñ Ø
A ∩ B = AB = ∅ Ø
Ø Ô
ÓÒ
Ò
Ò
Æ Ù
Ã
Ò
ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ Ú
Ò
º
Å
Ò
ÜÙÒ
Ò Üô
×Ù Ø
Ò
º
Ò
ÐÙ Ò Ü Ñ
ú
º
Ý
òÒ¸ Ø
Ðñ
Ò
Ò ÙÑ
Ò ÝÚ
× Ù¸
Ò Üô
×Ù Ø
º
º
Ù
Üô
×Ù Ø
Ò
P(An )
Ò
÷Ò
Ò ´ µ ØÖÓÒ
½º ÌÙÝ Ò
ú
Ò
Ò
Ò¸ × Ù ÒñÝ Ø
ó Ðñ
Ò
Ø
×
òÑ
Ô Ò
ú
úÒº Æ
Ò
òÓ Ö÷Ò
Ò
Ò
Ò
Ò
Ò
ú
úÒ
Üô
×Ù Ø
Ú Ý
÷Ò
½
Ò
Ðñ
Ù
ú
úÒº
½º½º¾
ô
Ø Ò
ò ×
Ø Ò
½º
Ø × Ù
P(∅) = 0.
A, B, C, ... Ðñ Ò
Üô
×Ù Ø
Ò
Ò
º Ã
¸ Üô
×Ù Ø
Ò
ô
AB = ỉ
ắ ặ
= 1 P(A).
P(A)
ABỉ
ặ
P(A
P(A B) = P(A) + P(B).
P(B \ A) = P(B) P(A) ủ
P(A)
ể
P(B).
B) = P(A) + P(B) P(AB).
n
n
P(Ak )
Ak ) =
P(
1 k
1 k
k=1
k=1
P(Ak Al Am).
P(Ak Ai) +
ã ã ã + (1)n1P(A1A2...An).
P(An).
An )
P(
n=1
n=1
è ề
é
ề ỉ
(An, n
à ặ
ĩụ
ì ỉà
1) éủ
úí
ề
ỉ ề á
A1 A2 ã ã ã An ã ã ã , ỉ
ỉ ề ỉừ
lim P(An) = P(
n
à ặ
(An , n
1) éủ
úí
An ).
n=1
ề
A1 A2 ã ã ã An ã ã ã , ỉ
ũẹá
ỉ ề ỉừ
lim P(An) = P(
n
ẵẵ
ề ề
ụ
ì ỉ
ẵẵ
ũ ì
n=1
ề
(, F , P) éủ
A, B F , P(A) > 0.
ề
éủ ĩụ
ì ỉ
è ề
ỉ ẵ
ắ ặ
ẵ
BAỉ
P(B/A)
ề ĩụ
ì ỉ
ì
P(B/A) =
An ).
ề
P(AB)
P(A)
ề
B
0.
P(B/A) = 1á
ỉ
P(/A) = 1.
ề
A.
(Bn) Ðñ
¿º Æ Ù
óÝ
ô
Ò
Ñ Ø ÜÙÒ
∞
∞
Bn /A) =
P(
n=1
Ì
ô
Ø Ò
Ø ½¹¿ ×ÙÝ Ö
PA : F → R Üô
Ò
ú
Ø
n=1
Ö÷Ò
Ò
P(Bn /A).
Ò Ù
Ø
A Ðñ Ñ
Ø
Ò
¸
P(A) > 0 Ø
ôÒ
Üõ
PA (B) = P(B/A)(∀B ∈ F )
Ò
Ðñ
Ó Üô
×Ù Ø ØÖ Ò
Fº
Ó
PA
Ý
ô
Ø Ò
Ø
Ó
Üô
×٠غ
º ´ÉÙÝ Øú
Ò
ò ×
Òµº
A1, A2, ..., An(n
2) Ðñ n
Ò
Ø
× Ó
Ó
P(A1A2...An−1) > 0.
Ã
P(A1A2 ...An) = P(A1)P(A2/A1)...P(An/A1...An−1).
½º½º
Ò Ò
Ì Ò
Ð Ô
ò ×
(Ω, F , P) Ðñ
½º½º º
À
ô
Ò
Ò
Ò
Ò Üô
×٠غ
A Úñ B
Ðñ
Ð Ô Ò Ù
P(AB) = P(A)P(B).
Ì Ò
Ø ¾º
½º
ò ×
P(A) > 0, P(B) > 0.
P(A/B) = P(A)
Ó
Ã
A, B
P(B/A) = P(B).
Ð Ô
Úñ
¾º À
Ø
A Úñ B
Ò
Ð Ô
Úñ
Ñ Ø ØÖÓÒ
ô
Ù
Ò× Ù
ÑóÒ
A, B
´ µ
A, B
´ µ
´
Ð Ô
A, B
µ
Ý ×
Ò Ò
Ò
Ð Ôº
ØÖ Ò
ñÝ
½º½º º
À
Ø
À
Ð Ô
ô Ò
Ð Ôµ¸ Ò Ù
Ò
Ú
Ð Ô
Ò
Ù
Ð Ôº
(Ai)i∈I
Ñ
Ù
Ñ Ø
(Ai)i∈I
ô
ô
Ñ
Ðñ
õÒ
ô
Ò
º
Ðñ
Ð Ô
Ñ Ø Ò Ù
Ð Ô ØÓñÒ
´
ÚúÒ ØúØ Ðñ
Ai 1 , Ai 2 , . . . , Ai n
Ò
¸ Ø
Ù
P(Ai1 , Ai2 , . . . , Ain ) = P(Ai1 )P(Ai2 ) . . . P(Ain ).
Å Ø
Ò
Ð Ô Ø
Ð Ô
Ñ Øº ÌÙÝ Ò
Ò
Ù Ò
Ðõ Ò
ÙÒ
Ò º
Ú
óÝ
Ò
¸Ø
Ø Ò
Ø ÕÙ Ò ØÖ Ò
× Ù
ݸ
Ðñ
ÓÖ Ð¹
ÒØ ÐÐ º
Ò Ð ½º½º º
´
ÓÖ Ð¹
ÒØ ÐÐ µº
(An, n
ò ×
1)
Ðñ
óÝ
ô
Ò
º
Ã
∞
´ µ Æ Ù
n=1
∞
´ µ Æ Ù
P(An) < ∞ Ø
P(limsupAn) = 0
P(An) = ∞ Úñ (An , n
1)
P(limsupAn) = 1.
Ð Ô Ø
n=1
ÌÖÓÒ
∞
∞
Ak .
limsupAn =
n=1 k=n
Ì
À ÕÙòº
Ø
∞
Ò
´ÄÙ Ø ¼¹½
P(limsupAn)
P(An)
n=1
Ð ØÖ Ò¸
Ø
Ø
×ÙÝ Ö
ÓÖ Ð¹
Ý Ô
Ý
ÒØ ÐÐ µº Æ Ù
Ø
Ò
Ò
Ò
º
ÕÙò × Ù
(An, n
Ò Ñ Ø ØÖÓÒ
ݺ
1)
ô ØÖ
Ðñ
óÝ
Ò
¼ Úñ ½ Ø Ý Ø
Ð Ô¸
Ó
Ù
ôÒ
½º¾
Üõ
ôÒ
½º¾º½
Ó
Üõ
Ò Ò
Úñ
Ó
½º¾º½º
Ò Ò
Ù Ò
Ò
(Ω1, F1)
ò ×
X Ω1 −→ Ω2
Ðñ ôÒ
Úñ
(Ω2, F2)
F1 /F2
Üõ
Ó
Ðñ
Ò
Ò Ù Ú
Ò
Ó ôÒ
Üõ
B ∈ F2
Ñ
Ø
X −1(B) ∈ F1.
Ì Ò
Ø ¿º ½º
ôÒ
G1 ⊂ G1
´ µ Æ Ù
´ µ Æ Ù
¾º
ò ×
X
Ø
F2 ⊂ F1
Ø
X : Ω1 → Ω2 Ðñ ôÒ
Üõ
Ðñ
X
G2 /F1
Ó
G1 /F2
Ðñ
Üõ
G1/F1
Ó
Ú
C ∈ Cº
º Ã
º
º
Ó
º
F2 = σ(C)º Ã
ò ×
X : (Ω1, F1) → (Ω2, F2)
Ðñ ôÒ
Üõ
F1 /F2
½º¾º¾
Ó
Ò Ò
Ò Ò
σ¹
G¹
Ó
Ù Ò
½º¾º¾º
õ
Fº
×
Ñ
Ò
ò ×
Ã
Ò Ù Ò
X −1 (C) ∈ F1
Úñ
(Ω, F , P) Ðñ
ôÒ
Ðñ ôÒ
Üõ
Ò
Ò Üô
×٠ظ
X : Ω → R
Üõ
G/B(R)
G
Ðñ
Ðñ
Ó
´Ø
Ðñ Ú
Ðñ
Ò Ò
σ
Ò Ò
õ ×
ÓÒ
Ù Ò
Ò
B ∈ B(R)
Ñ
Ø
X −1(B) ∈ G)º
ÌÖÓÒ
À
ØÖ
Ò
Ô
Ñ Ø
ô
Ò
Ò Ò
Ò Ò
Å Ø
Ò¸
ô
¸
Ø
X
ظ
òÒ Ðñ
Ù Ò
Ý Ö÷Ò
Ò Ò
Ò
Ò Ù
G¹
X
Ù Ò
Ó
Ðñ
Ù Ò
Ò
F¹
Ó
¸ Ø
X
Òº
Ðñ
Ò Ò
Ò Ò
Ù Ò
Ù Ò
Òº
Ò Ø
σ(X) = (X −1 (B) : B ∈ B(R)
Ð Ô Ø ñÒ
Ñ Ø
σ¹
õ ×
ÓÒ
σ¹
õ ×
F ¸σ ¹
õ ×
ÒñÝ
Ðñ
σ¹
õ ×
× Ò
X
Ò
Ðñ
σ¹
õ ×
G¹
Ó
Ò Ò
Ù Ò
º
Ù Ò
Ò
Æ Ù
Ò
Ù Ò
Ò
Ò
Ò Ò
Ò
Ø Ññ
X
X
º Ì
×ÙÝ Ö
X
Ö÷Ò
Ðñ
Ò
Ðñ
Ò
σ(X) ⊂ G.
Úñ
Ò
Ó
Ò
Ò
Ù
õÒ
ô ØÖ ¸ Ø
Ò
òÒº
Ù Ò
Ò
Ò
Ðñ
õ Ð
Ò
Ò
Ù Ò
Òº
ÌÒ
Ø º
Ò Ð ½º
Ø
Ðñ
Ò Ò
Ù Ò
Ò
Úñ
Ñ Ø ØÖÓÒ
ô
Ù
Ò × Ù
Ý
ÑóÒ
(X < a) := (ω : X(ω) < a) ∈ F
´ µ
(X
´ µ
´
µ
´ Úµ
Ú
a) ∈ F
a) := (ω : X(ω)
Ú
(X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ F
(X
Ò Ð ¾º
a) ∈ F
a) := (ω : X(ω)
X1 , X2, ..., Xn
ò ×
(Ω, F , P)¸ f : Rn −→ R Ðñ
ñÑ
a∈R
Ñ
Ú
Ñ
Ú
Ðñ
ô
a∈R
a ∈ R.
Ñ
Ò Ò
B(Rn)/B(R)
a∈R
Ñ
Ù Ò
Ó
Ò
Ò
Üô
Ò
ØÖ Ò
º Ã
Y = f (X1, ..., Xn) : Ω −→ R
ω → f (X1(ω), ..., X2(ω))
Ðñ
Ò Ò
Ù Ò
À ÕÙòº
Òº
ØÖ Ò
(Ω, F , P)¸
aX, X±Y, XY, |X|, f (X), X + = max(X, 0), X − = max(−X, 0),
X
(Y = 0)
Y
f : R −→ R Ðñ
Ù Ðñ
ô
½º¾º¿
È
Ò Ò
Ò Ò
X, Y
Ðñ
ô
ñÑ Ð
Ò Ø
ò ×
Ò Ò
Ò Ô
½º¾º¿º
Ù Ò
Òº Ã
Ù Ò
Ò Ò
Ù Ò
Ò
Ò
Üô
Ò
a ∈ Rº Ã
Òº
Üô
×Ù Ø
ò ×
(Ω, F , P)
ñÑ Ø Ô
Ðñ
Ò
Ò Üô
×٠ظ
X : Ω −→ R
Ðñ
PX : B(R) −→ R
B → PX (B) = P(X −1(B))
Ðñ Ô
Ò Ô
Ì Ò
Ø º ½ºPX
¾º Æ Ù
Ñ Ø
Ò Ò
ºÌ
Ò
Ò
Ðñ Ò
Ò
Ô
X
Úñ
Ó Üô
×Ù Ø ØÖ Ò
X
ÒñÓ
Ò
Ò
Ò Ò
ÙÒ
Ò
Ù Ò
Q
Ø
Ðñ Ô
Ò Ô
Üô
×Ù Ø
º
ÒÒ
½¹½º Æ
B(R).
B(R)
Ó Üô
×Ù Ø ØÖ Ò
Ò
Ò Úñ Ô
ÒÒ
Ò
Ò
ÒÔ
ÙÒ
Ô
Ò
Ò Ô
Üô
×Ù Ø
Ò
Ô
ÒÔ
Ò
Ò
Üô
×Ù Ø
º
Ã Ú Ò
Ò Ð ½º¾º º
Ø
Ðñ
Ðñ
Ù Ò
Ô ò Ðñ Ø
½º¾º
Q
Xº
Üô
×Ù Ø
X : (Ω, F , P) → (R, B(R)) Ðñ
ò ×
Ò Ä
× Ù
X
Ø
Ó
Ó
P ´Ò
Ù Ø Ò Øõ µ
Ò Ò
Ù Ò
Òº Ã
Ðñ
Ú Ò
EX º
Ù Ðñ
Î Ý
EX =
XdP.
Ω
E|X|p < ∞(p > 0)¸
Æ Ù Ø Ò Øõ
Ò Ù
E|X| < ∞¸ Ø
ÌÒ
Ø º
Ã
½º Æ Ù
X
¾º Æ Ù
X=C
X
Ú Ò
0Ø
ô
Ø Ò
Ø
Ú
Ñ
º Æ Ù Ø Ò Øõ
EX
Úñ
EY
Ø
º´
Úñ
Ò
Xn → X
× Ù Ú
Ø
Ù Ò
Ø × Ù
C ∈ R¸ Ø
X
Ò
ò Ø
Ôº
ظ
ò Ø
º
Ý
X
E(CX) = CEX º
E(X ± Y ) = EX ± EY º
0 Úñ EX = 0 Ø
Ð Ä
Ò Ò
Ò
EX = C º
Ø
EX
X
Ø
0º
EX
¿º Æ Ù Ø Ò Øõ
º Æ Ù
Ðñ
Ø
X=0
Ø
ò Ø
¸
º
º
º
Òµº Æ Ù
|Xn |
Y
Ú
Ñ
E|Xn − X| → 0 Úñ EXn → EX
½¼
n
1¸ EY < ∞
´
n → ∞µº
º ´
Ú
Ø
øÒ
Ø
Å Ö ÓÚµº
ε>0Ø
Ñ
X
ò ×
½º
Ø
Ø
ÀÓÐ
Ø
øÒ
1
p
Ó
Ó
+
E|XY |
¾º
Ø
øÒ
Ø
ØÖÓÒ
cr = max(1, 2r−1)
¿º
ÃÖÓÒ
1) Ðñ
∞
¸ Ò Ù
n=1
Ì Ò
xn
bn
(Ci)i∈I (Ci ⊂ F )
Ò Ù
σ¹
× Ù Ø
Ò
×
Ò
1
q
X
= 1 Úñ X ∈ Lp , Y ∈ Lq º Ã
p
Y
q.
ò ×
(Ai)i∈I
ô
Ò Ò
Ø
Úñ
rº
(bn, n
1) Ðñ
óÝ ×
Ò
Ø Ò
Ò
n
ô
Ð Ô Úñ
ô
Ðñ
(σ(Xi))i∈I
Ò
Ð Ô ´
Ð Ô ´
Ù Ò
n → ∞.
xk → 0
k=1
(Ω, F , P) Ðñ
Ò
õ ×
cr (E|X|r + E|Y |r ),
Ø ¸ Ø
Ð Ô
½º¾º º
À
Ø
Ô Ø Ù
ÚñÓ
óÝ ×
1
bn
ô
¸
Ö
(xn, n
ò ×
Ò Ò
Ѻ Ã
cr
E|X + Y |r
½º¾º
Ò
X, Y ∈ Lr , r > 0º Ã
ò ×
+∞º Ã
Ò
Ö
p, q ∈ (1, +∞) ×
ò ×
Ù Ò
EX
.
ε
ε)
Ð Ø ÙÝ Ø Üô
×٠ظ
ô
øÒ
Ò Ò
P(X
ÌÖÓÒ
Ðñ
Ò
Ò Ò
Ò Üô
×٠غ À
Ð Ô
Ð Ô
(Xi )i∈I
Ù Ò
Ñ Øµ Ò Ù Ú
Ò
ô
Ð Ô
Ò
A i ∈ Ci ¸
Ñ
Ñ Øµº
Ð Ô ´
Ð Ô
ô
Ð Ô ´
ô
Ò Ò
Ðñ
Ð Ô ´
Ð Ô
Ñ Øµ
Ñ Øµº
ÌÒ
Ø º
½º À
ÓÒ
Ø
½½
Ù Ò
Òµ
Ð Ô Ðñ
Ð Ôº
ắ
ụ
é ễ
ểề
ẹ ỉ
ụ
é ễ
ụ
ề ề
ừề
éủ
ụ
(Xi )iI
ũ ì
ềà éủ
ề ề
(fi(Xi))iI
ề
ỉ
ề
ề
éủ
ề ề
ề
ừ ì
ề
ề ề
ề
ề
1, (Xk , 1
X
ặ
ủ
ủ
ẹ
ểề
k
Y
ề
ỉ
iI1
(Xn , n
ề ề
: R R(i I) éủ
ủẹ
I1 I, I2 I, I1 I2 = .
é ễá
((Xi)iIi ) ủ ((Xi)iI2 )
é ễ ỉệểề
(Xi) ủ
1)
n) ủ (Xk , k
éủ
é ễáfi
ề
é ễ
ạ
éủ
ụ
úí
ụ
n
é ễ
é ễ
ề
((Xi)iI1 ) ủ ((Xi)iI2 )
éủ
é ễ
(Xi)iI
ũ ì
ể
ề
é ễ
ề
é ễ
n + 1)
ề
ề
iI2
(Xi)à
ủ
á
ẹ
é ễ
é ễ ỉ
E(XY ) = E(X)E(Y ).
è ề
ếụỉ ặ
X1 , X2 , ..., Xn
éủ
ụ
ề ề
ề
ề
é ễ ỉ
E(X1X2...Xn) = E(X1)E(X2)...E(Xn).
X
ặ
è ề
ủ
Y
éủ
ụ
ếụỉ ặ
ềề
ề
X1 , X2 , ..., Xn
ề
é ễỉ
éủ
ụ
ề ề
D(X Y ) = D(X)+D(Y )
ề
ề
é ễ
ẹ ỉ ỉ
D(X1 + X2 + ã ã ã + Xn ) = DX1 + ã ã ã + DXn .
ẵắ
ỉ ẳạẵ ểéẹể ểệể
ề ề
ạ
ũ ì
(Xn , n
1)
ề ĩụ
ì ỉ (, F , P); (Xi, i
ề
ẵắ
á
ừ ì
ạ
ừ ì
n=1 (Xi , i
éủ ỉ ễ
n)
ủẹ
ể
ẵắ
éủ
úí
ề ề
ề
n) éủ ạ
ừ ì
ạ
ừ ì
ạ
éủ
ề ĩụ
ề
ừ ì
ỉệ ề
i=n (Xi )
ỉ
ề
ỉ ễ
ễ ỉ
éủ
ủẹ
ề é ẵắ
ỉ ẳạẵ ểéẹể ểệểà ặ
é ễ ỉ
ề
ẹ
ìí
ẵắ
ề ề
ẵắ
EXn2 <
ề
úí
ĩụ
ì ỉ
0
ữề
úí
ể
ềề
ữề
1á
ề
ẹ
ề
ủẹ
ẹ
ề é ẵắ
ỉ
{Xn , n
ề
ề
ể
(Xn, n
1 ủ E(XiXj ) = 0
(Xn, n
EXn2 < ủ
ề ỉệ
ề ề
n
ẹ
ũ ì
ũ ì
1) éủ
ề
ụ
ề ề
(Xn , n
1) éủ
n
ứề
úí
ấ
1} éủ
ẹ ề
úí ỉệ
2
E max |Sh |
h n
ề
éủ
ề
é ễ
1) éủ
ẹ ỉá ề
úí ỉệ
ệạ ềì ểà
ể
log(4n)
log2
ẵ
2
úí ỉệ
i = j
ẹ
(Xn EXn , n
1ỉ
ỉ
ề ề
1)
n
E|Xj |2 .
i=1
ể
ể ề
Ò ¾
Ë
Ø Ý Úñ ÐÙ Ø
ÑõÒ × Ð Ò
óÝ
ô
Ò
Ò ÙÒ Ò
Ð Ô Ñ Ø
ÌÖÓÒ
Ø
Ø
Ò
¾º½
Ë
¾º½º½
Ò
Ò Ò
Ù
C
ô
Ð Ò ÜÙ Ø
Ý
Ò
Úñ Ú
{X, Xn , n
Ò Üô
×Ù Ø
n} Ðñ
Ðñ
÷Ò
× ¸ Ò
Ò
÷Ò
×
Ò
Ò
Ø
Òº
óÝ
ô
Ò Ò
Ù Ò
Ò
ô
ÒÒ
ÙÒ
Ò
Ò
Üô
Ò
ØÖ Ò
Ò
(Ω, F , P).
¾º½º½º
Ù Ò
Ù
ÒñÝ
Ø
ò×
Ã
Ò
Ù ØÖÓÒ
Ò
Ò Ò
Ò
c
Ì
Ò
óÝ
n→∞
Ò Ò Ù Ò
Ò {Xn , n
∞
Ò Ù
P (|Xn − X| >
n=1
Xn −
→ X (n −→ ∞).
½
1}
ε) < ∞ Ú
Ø
Ý
Ñ
Ø
ε > 0º
Î
¾º½º¾º
0 = a > 1¸{Xn , n
ò ×
P (Xn = 0) = 1 −
Î
ε > 0¸ Ø
Ñ
1} Ðñ
P (|Xn | > ε)
∞
∞
P (|Xn | = |a|) =
P (Xn = a) =
n=1
n=1
n=1
c
1
< ∞.
na
n → ∞µº
Xn −
→0´
¾º½º¿º Ì
Ò
Ù Ò
óÝ
ô
Ò
X
ÒÒ
ÙÒ
Ò
{Xn , n
1}
Ò Ù
P ( lim Xn = X) = 1.
n→∞
Ã
Ø
Ù
h.c.c
Xn −−→ X(n → ∞).
¾º½º¾
ô
Ø Ò
غ
h.c.c
Ò Ð ¾º½º º Xn −−→ X
Úñ
¸ Ú
ε>0
Ø
lim P (sup |Xm − X| > ε) = 0.
n→∞
Ò Ð ¾º½º º
Ò
Ñ Ò º
ÑóÒ
n=1
∞
Ò Ò
Ò Ø
∞
n=1
úÒ Ú
Ù Ò
P (|Xn − 0| > ε) =
Ò Ò
Ò Ò
1
1
,
P
(X
=
a)
=
.
n
na
na
∞
Ó
óÝ
Æ Ù
ò ×
c
m n
Xn −
→X
c
Ø
Xn −
→ Xº Ã
h.c.c
Xn −−→ X
¸ Ú
Ñ
n → ∞.
ε>0
∞
P (|Xn − X| > ε) < ∞.
n=1
½
¸
Ø
Ù
ú
ËÙÝ Ö
∞
P (|Xm − X| > ε) = 0.
lim
n→∞
Å Ø
m n
ô
∞
(|Xm − X| > ε).
sup (|Xm − X| > ε) =
m n
m n
ËÙÝ Ö
∞
0
P
sup (|Xn − X| > ε)
(|Xm − X| > ε)
=P
m n
m n
∞
P (|Xm − X| > ε).
m n
Ì
×ÙÝ Ö
∞
lim P (sup |Xn − X| > ε)
0
n→∞
P (|Xm − X| > ε) = 0.
lim
n→∞
m n
m n
Ó
lim P (sup |Xn − X| > ε) = 0.
n→∞
Î Ý
h.c.c
Ø
Ù
{Xn , n
1} Ðñ
óÝ
ÒÒ
ÙÒ
Ò
Ð Ô Úñ
h.c.c
Xn −−→ X
c
Xn →
− Xº
Ò
Ø
n → ∞.
Xn −−→ X
Ò Ð ¾º½º º Æ
m n
Ñ Ò º
{Xn , n
1} Ðñ
Ó ÐÙ Ø ¼¹½ ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ¸
óÝ
X=C
Ò Ò
Ù Ò
º
º
º Î
Ñ
Ò
Ð Ô¸
X
ε > 0.
Ø
An = (|Xn − X| > ε) = (|Xn − C| > ε).
½
Ðñ
ñÑ
Ù
Ò Ò
{An , n
Ã
1}
Ð Ô Úñ
limsupAn ⊂ (Xn
X). Ì
Ø Ú Ý¸ Ð Ý
ω ∈ lim sup An .
ËÙÝ Ö
∞
∞
ω∈
An .
k=1 n=k
ËÙÝ Ö
Ó
∞
n=k
ω∈
¸ Ú
An
Ú
Ñ
k = 1, 2, ....
k = 1, 2, ....¸ Ø
Ñ
n
Ò Øõ
1×
Ó
Ó
|Xn (ω) − X| > ε.
ËÙÝ Ö
ω ∈ (Xn
Î
h.c.c
Xn −−→ X
Ò Ò
X).
P (Xn → X) = 1.
Ã
P (limsupAn)
Ó
¸ Ø
Ó
ÓÖ Ð¹
P (Xn
ÒØ ÐÐ
Ó
óÝ
Ò
X) = 0.
Ð Ô
(An)
∞
P (An ) < ∞.
n=1
ËÙÝ Ö
∞
P (|Xn − X| > ε) < ∞ ´Ú
∀ε > 0).
n=1
Î Ý
c
Xn −
→ X.
¾º¾
ô
¾º¾º½º
Ó
{bn, n
n
Ó
{Xn , n
1} Ðñ
óÝ ×
1} Ðñ Ñ
Ø
óÝ
ô
Ò ¸ × Ó
Ó
½
ÒÒ
ÙÒ
Ò Úñ
Xi º
Sn =
0 < bn ↑ Úñ b2n/bn = O(1).
i=1
Æ Ù
∞
n=1
Ú
ε>0Ø
Ñ
Ò
Ñ Ò º
1
P ( max |Si | > εbn) < ∞
n 1 i n
Sn /bn → 0
0 < bn ↑¸
º
º
º
Ò
Ø
Ã
∞
∞>
1
n P (max1 i n |Sn |
n=1
∞ 2k+1 −1
=
1
n P (max1 i n |Si |
k=0 n=2k
∞
1
P (max1 i 2k
2
k=0
Ì
> εbn)
> εbn )
|Si | > εb2k+1 ).
∞
P ( max |Si | > εb2k+1 ) < ∞.
1 i 2k
k=0
Î
∀ε > 0¸
∞
P
k=0
max1 i 2k Si
>ε
b2k+1
< ∞.
Ã
max1 i 2k Si c
→
−
b2k+1
0
k → ∞.
ËÙÝ Ö
max1 i 2k Si h.c.c
−−→
b2k+1
Îñ
Ø
Ô Ú
Ù
Ò
0
k → ∞.
b2n /bn = 0(1) Ø
´¾º½µ
1
b2k
max1
i 2k+1
½
|Sn | → 0.
º
º
º
Î
2k
2k+1,
n
´¾º¾µ
Sn
bn
Î
(2.2)
Ô ò
¾º¾º¾º
Ð Ô
Ø
1
Ó
Ò
p
0
2
1
max |Si |.
b2k 1 i 2k+1
º
º
Ø
Úñ
Ó
(2.1) Úñ
{Xn , n
1}
Ø ÕÙò
Ðñ Ñ Ø
óÝ
Ò Ò
Ò
Ù Ò
Ñ Ø Ú
∞
n−p E|Xn |p < ∞.
n=1
Ã
Ú
ε>0
Ñ
∞
n
−1
(Xk − EXk ) > εn
n P
n=1
Ò
Ñ Ò º Ì
Ó
< ∞.
k=1
ÃÖÓÒ
Ö¸
∞
n−p E|Xn |p < ∞,
n=1
Ø
n−p
n
E|Xk |p → 0º ´
n → ∞µº
k=1
Ó
ε>0
Ò
Ø
¸ Ú
n
Ð Ò¸ Ø
n
n
n
−1
EXk I(|Xk | > n)
n
k=1
−1
|EXk I(|Xk | > n)|
k=1
n
n
n
−1
E|Xk |I(|Xk | > n)
n
−p
E|Xk |p
k=1
k=1
½
Ñ Ò º
ε/2.
Ò
Ì
Ø Ú Ý¸
Xk
E|Xk |I(|Xk | > n)
Xk
I
>1
=E
n
n
n
p
Xk
Xk
Xk
E
I
> 1 +E
n
n
n
p
p
Xk
|Xk |
E
=E p .
n
n
Ã
Ø
∞
+c
(Xk − EXk ) > εn
Ø
n−1P
Ø
Å Ö ÓÚ
Ò
n
n−pE|Xk |p
k=1
n
n=1
∞
n−1−p
2
(Xk I(|Xk |
n
C
n=1
∞
C
n=1
−1−2
−3
n−3
n) − EXk I(|Xk |
n)) > (εn/2)2
2
n
(Xk I(|Xk | ≦ n) − EXk I(|Xk |
n n E
n
k=1
k=1
−1 −2
n=1
∞
E|Xk |p .
n
n P
n=1
∞
E|Xk |p
k=1
n
n=1
n=1
A Úñ B
k=1
n
n n
c
P {|Xk |p > np }
−1 p
c
Ø
n
n=1
∞
∞
ô
Ò
−1
n−1
B=C
k=1
:= A + B.
n=1
∞
−1
P {|Xk | > n}
(Xk I(|Xk | ≦ n) − EXk I(|Xk | ≦ n)) > εn/2
k=1
øÒ
n
n−1
n=1
A=
C
1
n
∞
∞
≦c
k=1
n=1
Ò
∞
n
n−p P
n=1
C
Xk
n
I
∞
Ë
p
n))
k=1
n
2
|(Xk I(|Xk |
E
n) − EXk I(|Xk |
n))|
k=1
n
E|(Xk I(|Xk |
n) − EXk I(|Xk |
(E|Xk I(|Xk |
n)| − E|Xk I(|Xk |
k=1
n
k=1
¾¼
n))|2
n)|)2
∞
n
n−3
C
n=1
∞
C
n−3
n=1
∞
k=1
n
k=1
p
E|Xk |2
∞
n−1−p.
E|Xk |
c
n)|2
E|Xk I(|Xk |
k=1
n=k
Ó
∞
A+B
k −p E|Xk |p < ∞.
C
k=1
¾º¾º¿º
Ò
Ù Ò
Ò
ô
÷Ò
×
ØÖÓÒ
ØÖ
Ò
Ì
Ó
1
r
2
Úñ
Ó
Ð Ô
Ø
Ñ Ø¸
Ò Ô Ò Ô
∞
|ai |θ < ∞¸
Ú
i=−∞
Ô
ô
º
EX = 0 Úñ E|X|r < ∞
Ó Ø
∞
r−2
Ó Ú
º
Ó
θ ∈ (0, 1)
ε > 0¸ Ø
Ñ
P
Ò Ù
< ∞.
ai Xi+k > εn
n=1
k=1 i=−∞
Ñ Ò º Ì
∞
n
∞
i+n
ai Xi+k =
k=1 i=−∞
ai
i=−∞
Xj .
j=i+1
∞
Î
|ai | < ∞
EX = 0 Úñ
i=−∞
∞
n
−1
E
i+n
Xj I(|Xj |
ai
i=−∞
=n
−1
n)
j=i+1
∞
−E
i+n
Xj I(|Xj | > n)
ai
i=−∞
j=i+1
¾½
Ðñ
óÝ
ô
{ai , −∞ < i < ∞}
∞
n
n
Ò
{X, Xi, −∞ < i < ∞}
r =1
Úñ
Ðñ
Ò
óÝ
θ =1
