Chuyên đề luyện thi hình học tốt nghiệp THPT và ĐH dành cho học sinh TB và yếu

Chương 1
GÓC

1


1.1. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

1.1

CHƯƠNG 1. GÓC

Góc giữa hai đường thẳng

Lí thuyết.
1. Khái niệm: Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng
a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.
2. Chú ý: 00 ≤ (a, b) ≤ 900 .
3. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng a và b:
• B1: Chọn điểm O trong không gian sao cho từ O có thể xác định các đường a và b lần
lượt song song với a và b.
• B2: Trên a và b chọn M và N (khác O), từ đó tính được cos M ON theo định lí cos
cos M ON =

OM 2 + ON 2 − M N 2
2.OM.ON

• Nếu cos M ON ≥ 0 thì (a, b) = M ON . Còn nếu cos M ON < 0 thì (a, b) = 1800 − M ON .
Bài tập.
1. Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây:
(a) AB và B C .

(b) AC và B C .
(c) A C và B C.
√
2. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a 2. Tính góc giữa SC
và AB.
√
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và (SAB)
vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tính cosin của góc giữa hai
đường thẳng SM, DN.
4. Cho lăng trụ ABC.A B C có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại
√
A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mp(ABC) là trung điểm của
cạnh BC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AA và B C .
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều
√
và SC = a 2. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.
(a) Chứng minh SH ⊥ (ABCD), AC ⊥ (SHK).
(b) Tính số đo góc giữa SC và mp(SHD).
2

Hình học lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865



CHƯƠNG 1. GÓC

1.2

1.2. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Lí thuyết.
1. Khái niệm: Cho đường thẳng d và
mặt phẳng (α).
• Nếu d vuông góc với (α) thì
(d, (α)) = 900 .
• Nếu d không vuông góc với (α)
thì (d, (α)) = (d, d ).
2. Chú ý: 00 ≤ (d, (α)) ≤ 900 .
3. Cách xác định góc giữa đường
thẳng d và mặt phẳng α.
• Nếu d ⊥ α thì (d, (α)) = 900 .
• Nếu d

α thì (d, (α)) = 00 .

• Nếu d và α không song song,
cũng không vuông góc thì:
B1: Xác định điểm O = d ∩ (α).
B2: Trên đường thẳng d ta chọn
điểm A (khác O) sao cho ta có
thể xác định được hình chiếu H
của A trên (α).
B3: (d, (α)) = AOH.
Bài tập.
√
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, có cạnh SA = a 2 và SA

vuông góc với đáy.
(a) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A lên các đường thẳng SB và SD. Tính góc
giữa đường thẳng SC và mp(AM N ).
(b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD).
2. Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c.
(a) Tính độ dài AD.
3

Hình học lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865



1.3. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

CHƯƠNG 1. GÓC

(b) Tính góc giữa đường thẳng AD và mp(BCD), góc giữa đường thẳng AD và mp(ABC).
3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang vuông tại A, SA vuông góc với đáy, AD = 2BC =
√
2AB = 2a, SA = a 3. Tính góc giữa
(a) các cạnh bên của hình chóp với mặt đáy (ABCD).
(b) SB, SC với mặt bên (SAD).
4. Cho lăng trụ ABC.A B C , ABC là tam giác vuông cân, AB = BC = a, B A = B B = B C =
a. Tính góc giữa B B với mp(ABC) và mp(B AC).
√
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với đáy và SA = a 6.
(a) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh AH vuông góc với mp(SBC) và
tính AH.

(b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD).

1.3

Góc giữa hai mặt phẳng

Lí thuyết.
1. Khái niệm: Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt
vuông góc với hai mặt phẳng đó.
2. Chú ý: 00 ≤ ((α), (β)) ≤ 900 .
3. Cách xác định góc giữa hai mặt
phẳng:
B1: Xác định giao tuyến d = (α)∩(β).
B2: Lấy A trên (α). Gọi H, O lần lượt
là hình chiếu của A trên (β), d. Khi
đó ((α), (β)) = AOH.
Bài tập.
1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam
giác đều ABC cạnh a, cạnh bên SA
a
vuông góc với đáy và SA = . Tính
2
góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và
(SBC).
4

Hình học lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865

CHƯƠNG 1. GÓC

1.3. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình vuông ABCD cạnh a, SA = a
vuông góc với đáy.
(a) Chứng tỏ các mặt bên của hình chóp là tam giác vuông.
(b) Tính cos((SBC), (SDC)).
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình thang vuông ABCD tại A và
D có AB = 2a, AD = DC = a. SA
vuông góc với mặt phẳng đáy, SA =
a. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (ABCD).
4. Hình chóp S.ABCD có SA = SB =
SC = SD, đáy là hình bình hành.
Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (ABCD).
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình thoi√cạnh a, A = 600 , SA = SB =
a 3
SD =
. Tính góc giữa mặt phẳng
2
(SBD) và (ABCD).

5

Hình học lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865



Chương 2
Khoảng cách

2.1

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = AB = 2a, ABC = 600 và
SA ⊥ (ABCD).
(a) Tính khoảng cách từ O đến SC.
(b) Tính khoảng cách từ O và D đến SB.
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, SA = a và vuông góc với đáy.
Gọi I, M theo thứ tự là trung điểm của SC, AB.
6


CHƯƠNG 2. KHOẢNG CÁCH

2.2. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT MẶT PHẲNG

(a) Tính khoảng cách từ I đến CM.
(b) Tính khoảng cách từ S đến CM .

3. *Cho chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông đường cao AB = a, BC = 2a, SA = a và
vuông góc với (ABCD). SC ⊥ BD. Gọi M là điểm trên SA. Đặt AM = x, với 0 ≤ x ≤ a.
Tính khoảng cách từ D đến BM theo a và x. Tìm các giá trị của x để khoảng cách này đạt
GTLN, GTNN.

2.2

Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

2.2.1

Phương pháp trực tiếp

Tìm khoảng cách từ một điểm A đến mặt phẳng (P ) theo các bước như sau:
• B1: Chọn trong (P ) một đường thẳng d, rồi dựng mp(Q) qua A vuông góc với d (nên chọn
d sao cho (Q) dễ dựng). Trước khi chọn d và (Q) nên xem xét d và (Q) đã có sẵn trên hình vẽ
chưa.
• B2: Xác định đường thẳng c = (P ) ∩ (Q).
• B3: Dựng AH vuông góc với c tại H. Khi đó d(A, (P )) = AH.
1. (Cơ bản 1) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Tam giác ABC không vuông tại
B, C. Vẽ AE ⊥ BC, AH ⊥ SE. Chứng minh AH ⊥ (SBC).
2. (Cơ bản 2) Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc với đáy (ABC). Tam giác ABC vuông tại
B. Vẽ AH ⊥ SB. Chứng minh AH ⊥ (SBC).
3. Cho hình chóp S.ABC
√ có SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 3, AC = 4, BC = 5. Tính
a 34
).
d(A, (SBC)). (DS :
17
4. Cho chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Tam giác ABC vuông tại B. SA = BC = AB = a.

a
Tính d(A, (SBC)). (DS : √ )
2
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, A = 900 , BD = a. Cạnh bên SA vuông góc với
đáy. Góc giữa mp(SBC) và mặt đáy là 600 . Tính d(A, (SCB)).
6. Cho chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a, (SBC) ⊥ (ABC). Biết
√
SB = 2a 3, SBC = 300 . Tính d(B, (SAC)).
7

Hình học lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865



2.3. KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONGCHƯƠNG
SONG 2. KHOẢNG CÁCH

2.2.2

Phương pháp đổi điểm

• TH1: Nếu AM

(P ) thì d(A, (P )) = d(M, (P )).

• TH2: Nếu AM

(P ) thì AM cắt (P ) tại I. Khi đó

d(A, (P ))
IA
IA
=
⇒ d(A, (P )) =
.d(M, (P ))
d(M, (P ))
IM
IM

.
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB.
(a) Tính khoảng cách từ H đến (SCD).
(b) Tính khoảng cách từ A đến (SCD).
2. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a. Cạnh bên
√
AA = a 2. Gọi M là trung điểm của BC, E là trung điểm của BB . Tính khoảng cách từ B
đến (AM E).
√
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA = a 3 và vuông góc với
(ABCD).
(a) Tính khoảng cách từ trung điểm M của SC tới (ABCD).
(b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC), từ đó suy ra khoảng cách từ O đến (SBC).
(c) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB tới (SAC).
4. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, AA = 2a, A C = 3a.
Gọi M là trung điểm của A C , I là giao của AM và A C. Tính khoảng cách từ A đến (IBC).
3a
. Hình chiếu vuông góc của S trên
2

mp(ABCD) là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ A đến (SBD).

5. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD =

2.3

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Tính khoảng cách từ đường thẳng d đến mặt phẳng (P ) song song ta thực hiện các bước sau:
• B1: Chọn một điểm A trên d sao cho dễ tính nhất khoảng cách d(A, (P )).
• B2: d(d, (P )) = d(A, (P )).
8

Hình học lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865



CHƯƠNG 2. KHOẢNG CÁCH

2.4. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

√
1. Cho hình chóp S.ABCD có SA = a 6 và vuông góc với mp(ABCD). Đáy ABCD là nửa lục
giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính 2a. Tính khoảng cách từ AD đến (SBC).
2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với đáy
(ABC). Biết AC = 2a, SA = a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, SB. Tính
khoảng cách từ M P đến (SAC).

2.4

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P ) và (Q) song song ta thực hiện các bước sau:
• B1: Chọn một điểm A trên (P ) sao cho dễ tính nhất khoảng cách d(A, (P )).
• B2: d((P ), (Q)) = d(A, (Q)).
1. Cho hình hộp thoi ABCD.A B C D có tất cả các cạnh đều bằng a và BAD = BAA =
DAA = 600 . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD) và (A B C D ).
2. Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh a và các mặt (AA B ),
(AA C ), (AB C ) tạo với mặt đáy góc 600 . Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy (ABC) và
(A B C ).

9

Hình học lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865



2.5. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

2.5

CHƯƠNG 2. KHOẢNG CÁCH

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Dạng 1.

• B1: Tìm mp(P ) chứa b và vuông góc với a tại A.
• B2: Kẻ AH ⊥, b(H ∈ b).
• B3: Tính AH. Kết luận d(a; b) = AH.
Dạng 2.
• B1: Tìm mp(P ) chứa b mà (P ) song song với a.
• B2: Tính khoảng cách từ a tới mp(P ) (d(a; mp(P )) = d(A; mp(P )), trong đó A là một điểm
thuộc a).
• B3: d(a; b) = d(a; mp(P )).
1. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, AB = a, AD = 2a, SA = 3a. Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng:
(a) SA và CD.
(b) AB và SC.
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy
1 góc bằng 600 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Tính khoảng cách giữa M N
và BD.
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, SA vuông góc với đáy.
Góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 600 . Gọi G là trọng tâm ∆ACD. Tính khoảng cách giữa
AB và SG.
4. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính khoảng cách giữa AB và CD.
5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều
cạnh a và mp(SBC) vuông góc với mặt đáy. Tính khoảng cách giữa SA và BC.

10

Hình học lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865

Chương 3
THỂ TÍCH
Lí thuyết.
1
• Thể tích khối chóp: V = B.h, (B là diện tích đáy, h là chiều cao).
3
• Thể tích khối lăng trụ: V = B.h, (B là diện tích đáy, h là chiều cao).

3.1

Tính thể tích trực tiếp bằng cách xác định chân đường cao

Một số dấu hiệu xác định chân đường cao:

1. Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó chính là đường cao của khối chóp.
2. Hình chóp có một mặt bên hoặc mặt chéo vuông góc với đáy thì đường cao chính là đường kẻ
trong mặt bên (hoặc mặt chéo) vuông góc với giao tuyến.
3. Hình chóp có 2 mặt vuông góc với đáy thì giao tuyến của 2 mặt đó là đường cao của hình chóp.
4. Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên tạo với mặt đáy những góc bằng nhau
thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy.
5. Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm
đường tròn nội tiếp đáy.

3.1.1

Hình chóp khi biết chân đường cao

1. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a và cạnh bên SA
vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mp(ABCD) bằng 450 . Gọi E là trung điểm của BC, H là
hình chiếu vuông góc của A trên SB. Tính thể tích khối chóp S.BDE theo a.

11


3.1. TÍNH THỂ TÍCH TRỰC TIẾP BẰNG CÁCH XÁC ĐỊNH CHÂN ĐƯỜNG CHƯƠNG
CAO
3. THỂ TÍCH

2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. Gọi E là trung điểm của AB. Hình
chiếu vuông góc của S lê đáy trùng với trung điểm của DE. Biết góc giữa SA và mặt đáy
(ABCD) bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp.
√
3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A và SC = 2a 5. Hình chiếu vuông
góc của S trên mp(ABC) là trung điểm M của AB. Góc giữa SC và đáy (ABC) bằng 600 .
Tính thể tích khối chóp theo a.

3.1.2

Hình chóp có một mặt vuông góc với đáy

1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a. Mp(SBC) vuông
√
góc với mp(ABC). Biết SB = 2a 3 và SBC = 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
2. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. AB = SD = 3a, AD = SB =
4a, a > 0. Đường cao AC ⊥ (SBD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC = 300 , SBC là tam giác đều
cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
√
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và BAD =

600 , (SAB) ⊥ (ABCD). Tính khối chóp S.ABCD.
√
6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = a 3, góc giữa
(SAC) và (ABCD) bằng 600 , tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy
(ABCD). Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính thể tích khối chóp S.DHM .

3.1.3

Hình chóp có hai mặt cùng vuông góc với đáy

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD =
2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 . Gọi I là trung điểm
của cạnh AB. Biết (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp
S.ABCD theo a.
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AB CD, AB = 2CD = 4a, BC =
√
a 10. Biết mp(SAC) và mp(SBD) cùng vuông góc với đáy, mặt bên (SAB) là tam giác đều.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
12

Hình học lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865



CHƯƠNG 3. THỂ TÍCH

3.2. PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIÁN TIẾP THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, BD = a. Trên cạnh AB lấy điểm
M sao cho BM = 2AM . Biết rằng hai mp (SAC) và (SDM ) cùng vuông góc với mp (ABCD)
và mặt bên (SAB) tạo với đáy một góc 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
√
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác đều cạnh 2a 3. Mặt bên (SAB) và (SAC) cùng
vuông góc với đáy; mặt bên (SBC) tạo với đáy (ABC) một góc với 300 . Tính thể tích khối
chóp S.ABC.
5. Cho hình chóp S.ABCD có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo
với đáy một góc 600 . Tính thể tích khối chóp.

3.2

Phương pháp tính gián tiếp thể tích khối chóp

Lí thuyết.

1. Nếu khối đa diện (H) chia thành hai khối H1 và H2 thì: VH = VH1 + VH2 .
2. Cho khối chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A , B , C khác
S. Khi đó,
SA .SB .SC
VS.A B C
.
=
VS.ABC
SA.SB.SC
3. Nếu khối chóp (H) và (H ) có hai đa giác đáy cùng nằm trên một mặt phẳng thì đường cao của
(H) và (H ) hoặc song song hoặc trùng nhau.
1. Cho khối chóp S.ABC biết tam giác ABC vuông cân tại B, AC = 2a, SA ⊥ (ABC), SA = a.
1
Gọi I là điểm thuộc SB sao cho SI = SB. Tính thể tích khối chóp S.ACI.

3
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông
AC
góc của đỉnh S trên mp(ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho AH =
. Gọi CM là
4
đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khooid
tứ diện SM BC theo a.
√
3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật, AB = SA = a, AD = a 2. SA vuông góc với
đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC. Gọi I là giao điểm của BM và AC. Tính
thể tích khối tứ diện AN IM theo a.
4. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a, SA = SB = SC = SD =
√
1
a 2. E là điểm thuộc cạnh SC, SE = 2EC. F là điểm thuộc cạnh SD sao cho SF = F D.
3
Tính thể tích khối đa diện SABEF .
13

Hình học lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865



3.3. TÍNH THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

CHƯƠNG 3. THỂ TÍCH

5. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với
đáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường SB và SC. Tính thể tích
khối chóp ABCN M theo a.
6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, BAD = ABC = 900 , AB = BC =
a, AD = 2a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Tính
thể tích khối chóp S.BCN M theo a.
√
7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mp đáy, SA = a 3.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Mp(AHK) cắt SC tại I. Tính
thể tích khối chóp S.AHIK.
8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a. Hai
mp(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mp qua SM
và song song với BC cắt AC tại N . Biết góc giữa hai mp (SBC) và (ABC) bằng 600 . Tính
VSBCN M .

3.3

Tính thể tích lăng trụ

1. Cho hình lăng trụ đều ABCD.A B C D cạnh đáy a. Góc giữa đường chéo A C và đáy là 600 .
Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
2. Cho lăng trụ đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng a. Khoảng cách từ trọng tâm O của tam giác
a
ABC đến mặt phẳng (A BC) bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ.
6
3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C√ có đáy là tam giác đều cạnh a. Biết khoảng cách giữa
a 15
hai đường thẳng AB và A C bằng
. Tính thể tích khối lăng trụ.
5

4. Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy là tam giác vuông tại C, ABC = 600 , BC = 2a. Gọi M
là trung điểm của AB. Hình chiếu vuông góc của C trên mp(ABC) trùng với trung Quyền
Ngu điểm I của CM . Góc giữa cạnh bên CC và đáy (ABC) bằng 450 . Tính thể tích khối lăng
trụ đã cho và khoảng cách giữa BC và C I.

14

Hình học lớp 12
G.V Vũ Thị Thúy Hà
01266.289.865