Ứng dụng phương pháp ma trận mật độ trong làm lạnh nguyên tử bằng Laser

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ XUÂN HẢI

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN MẬT ĐỘ
TRONG LÀM LẠNH NGUYÊN TỬ BẰNG LASER

CHUYÊN NGÀNH: QUANG HỌC
MÃ SỐ: 60.44.01.09

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
Người hướng dẫn khoa học
TS. ĐINH PHAN KHÔI

VINH, 2015


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Vinh, Phòng Đào
tạo Sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Vật lý và công nghệ cùng các thầy giáo, cô
giáo thuộc chuyên ngành Quang học đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện
thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS. Đinh Phan Khôi đã hướng dẫn tôi thực
hiện luận văn tốt nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Huy Công và PGS.TS Vũ Ngọc
Sáu đã đọc và góp ý chỉnh sửa luận văn.
Tôi xin cảm ơn các bạn học viên chuyên ngành Quang học khóa 21 đã giúp đỡ
tôi trong suốt quá trình học tập.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu và tập thể giáo viên Trường THPT
Quỳ Hợp 3 cùng những người thân trong gia đình và bạn bè đã quan tâm giúp đỡ,

tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Vinh, tháng 5 năm 2015
Tác giả

Lê Xuân Hải

MỤC LỤC
2


Lời cảm ơn ……………………………………………………………………………………………………….
Mục lục ………………………………………………………………………………………………………………
MỞ ĐẦU …………………………………………………………………………………………………………..
NỘI DUNG
Chương 1. MA TRẬN MẬT ĐỘ
1.1 Tương tác giữa nguyên tử hai mức với trường laser ……………………………..
1.2 Ma trận mật độ ……………………………………………………………………………………...……
1.2.1 Khái niệm ma trận mật độ ………………………………………………………………….….
1.2.2 Phương trình ma trận mật độ ………………………………………………………………..
1.3 Quang lực tác dụng lên nguyên tử …………………………………………………………..
1.3.1 Quang lực ………………………………………………………………………………………………..
1.3.2 Quang lực tác dụng lên nguyên tử đứng yên ………………………………………
1.3.3 Quang lực tác dụng lên nguyên tử chuyển động ………………………………...
Chương 2. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN MẬT ĐỘ

Trang
1
2
3

4
7
7
8
10
10
12
15

TRONG LÀM LẠNH NGUYÊN TỬ BẰNG LASER.
2.1 Các kỹ thuật hãm chuyển động của nguyên tử ………………………………………
2.1.1 Dùng chirp tần số laser ………………………………………………………………………….
2.1.2 Thay đổi tần số dịch chuyển nguyên tử bằng từ trường ……………………

21
24
25

2.1.3 Thay đổi tần số dịch chuyển nguyên tử bằng điện trường ………………..

26

2.1.4 Thay đổi độ dịch Doppler bằng ánh sáng khuếch tán ………………………..
2.2 Làm lạnh Doppler ………………………………………………………………………………………
2.2.1 Nguyên lý ………………………………………………………………………………………………...

27
29
29

2.2.2 Giới hạn làm lạnh Doppler ……………………………………………………………………

31

KẾT LUẬN ……………………………………………………………………………………………………...
TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………………………………………..

35
36

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, Quang học lượng tử có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực
khoa học, kĩ thuật và đời sống, đặc biệt là các lĩnh vực liên quan đến Vật lý laser.
Cơ học lượng tử và Vật lý thống kê là nền tảng để nghiên cứu Quang học
lượng tử. Trong Cơ học lượng tử, các trạng thái lượng tử được mô tả bởi các hàm
sóng là các trạng thái thuần khiết. Tuy nhiên các hệ lượng tử có thể ở trong các
trạng thái không thể mô tả được bởi các hàm sóng. Các trạng thái đó là các trạng

3


thái trộn lẫn. Trong Cơ học cổ điển, cách mô tả thống kê được sử dụng khi chúng ta
không có thông tin đầy đủ về hệ. Đối với các hệ lượng tử, ngay cả khi chúng ta có
thông tin đầy đủ về hệ, thì hệ vẫn có thể nằm ở trạng thái trộn lẫn.
Để mô tả hệ ở trạng thái trộn lẫn, chúng ta sử dụng khái niệm ma trận mật độ
thay cho hàm sóng.
Trong khuôn khổ luận văn cao học “ Ứng dụng phương pháp ma trận mật
độ trong làm lạnh nguyên tử bằng laser”, trước tiên, chúng tôi trình bày tổng quan

về tương tác giữa hệ nguyên tử và trường laser, phương pháp dùng ma trận mật độ
để mô tả hệ nguyên tử trong trạng thái trộn lẫn. Tiếp theo, chúng tôi khảo sát ứng
dụng cụ thể trong quang học lượng tử đó là sự làm lạnh nguyên tử bằng laser.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn này là tìm hiểu phương pháp ma trận mật
độ, sự làm lạnh nguyên tử bằng laser.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận văn này là tương tác giữa nguyên tử hai mức
với trường laser, phương pháp ma trận mật độ, sự làm lạnh nguyên tử bằng laser.
4. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn áp dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết bao gồm: Phương
pháp giải tích và Cơ học ma trận.

4


NỘI DUNG
Chương 1
MA TRẬN MẬT ĐỘ
1.1. Tương tác giữa nguyên tử hai mức với trường laser
Xét hệ nguyên tử có hai trạng thái 1 và 2 ứng với các năng lượng riêng hω1 và
hω2 được đặt trong trường laser có tần số ω ≈ ω 2 − ω1 như trên hình 1.1[3]:

Hình 1.1. Sơ đồ nguyên tử hai mức tương tác với trường laser.

Vì chúng ta giả thiết rằng nguyên tử chỉ có hai mức năng lượng, theo nguyên lý
chồng chất trạng thái, hàm sóng của hệ lượng tử hai mức tương tác với trường có
thể được viết dưới dạng :
ψ (t ) = c1 (t ) 1 + c2 (t ) 2 ,

(1.1)

ở đây các hệ số c1(t), c2(t) phụ thuộc vào thời gian. Phương trình Schrodinger mô tả
sự tiến triển theo thời gian của hệ là:
d ψ (t )
i
,
= Hψ (t )
dt
h

(1.2)

với
H = H0 + HI .

5

(1.3)


Trong biểu thức (1.3), H0 và HI tương ứng là thành phần Hamilton của nguyên tử tự
do và Hamilton tương tác giữa nguyên tử và trường.
Trong gần đúng lưỡng cực điện, các thành phần Hamilton này có dạng :
H 0 = hω1 1 1 + hω2 2 2 ,
r r
H I = − d .E = −(d12 1 2 + d 21 2 1 ) E ,

(1.4)
(1.5)

∗
với d12 = d 21 = 1 d 2 là phần tử ma trận của mômen lưỡng cực điện dịch chuyển

giữa hai trạng thái 1 và 2 ; E là độ lớn của vectơ cường độ điện trường của sóng
ánh sáng được lấy trung bình trong phạm vi kích thước nguyên tử.
Giả thiết cường độ trường ánh sáng được biểu diễn dưới dạng phức:
E = E0 cos ωt =

E0 iωt
(e + e −iωt ) ,
2

(1.6)

với E0 là biên độ dao động của vectơ cường độ điện trường. Lúc đó, các phương trình
mô tả sự thay đổi của các hệ số c1 và c2 được viết thành:
,
c&
1 = −iω1 c1 + iΩc2 cos ωt

(1.7)

c&2 = −iω2 c2 + iΩc1 cos ω t .

(1.8)

trong đó:
Ω=

d 21 E0 ,
h

(1.9)

được gọi là tần số Rabi cộng hưởng.
Vì trường kích thích có tần số cao nên các hệ số c 1(t) và c2(t) là các đại lượng biến
thiên nhanh theo thời gian. Do đó việc giải bài toán dừng đối với chúng sẽ không áp
dụng được. Để sử dụng được nghiệm dừng, chúng ta đặt :
c1 = C1eiω1t ,

6

(1.10)


c2 = C2 eiω2t .

(1.11)

ở đây C1 = C1(t); C2 = C2(t) là những biên độ biến thiên chậm theo thời gian.
Thay vào các phương trình (1.7) và (1.8) ta được:
Ω
C&1 = i  ei (ω21 −ω ) t + ei (ω21 +ω )t  C2 ,
2

(1.12)

Ω
C&2 = i e −i (ω21 −ω )t + e −i (ω21 +ω )t  C1 .

2

(1.13)

Khi tần số của trường laser ω tiến gần tới tần số dịch chuyển nguyên tử ω21 = ω2 − ω1
, các số hạng chứa e ± i (ω21 +ω )t sẽ dao động rất nhanh (cỡ 1015 Hz) so với các số hạng
chứa e ± i (ω21 −ω )t . Lúc đó, các số hạng biến thiên nhanh trong (1.12) và (1.13) được
loại bỏ (gọi là phép gần đúng sóng quay). Kết quả ta được:
Ω
C&1 ≈ i C2 ei (ω21 −ω )t ,
2

(1.14)

Ω
C&2 ≈ i C1e − i (ω21 −ω )t .
2

(1.15)

Giải hệ phương trình này ta thu được các nghiệm đối với C1 và C2 là:
C1 (t ) = ( a1eiΩ′t /2 + a2 e − iΩ′t /2 ) e (

i δ / 2) t

C2 (t ) = ( b1eiΩ′t / 2 + b2 e −iΩ′t / 2 ) e

,

− i ( δ / 2) t

(1.16)
,

(1.17)

trong đó, δ = ω21 − ω gọi là độ lệch tần số, còn Ω ′ được xác định:
Ω′ = Ω2 + δ 2 ,

(1.18)

được gọi là tần số Rabi suy rộng.
Các hệ số tích phân a1, a2, b1 và b2 được xác định từ điều kiện ban đầu:
a1 =

1
[ (Ω ′ − δ )C1 (0) + ΩC2 (0)] ,
2Ω ′

7

(1.19)


a2 =

1
[ (Ω ′ + δ )C1 (0) − ΩC2 (0)] ,
2Ω ′

(1.20)

b1 =

1
[ (Ω ′ + δ )C2 (0) + ΩC1 (0)] ,
2Ω ′

(1.21)

b2 =

1
[ (Ω′ − δ )C2 (0) − ΩC1 (0)] .
2Ω ′

(1.22)

Khi đó, ta có:

  Ω ′t  iδ
Ω
 Ω ′t  
 Ω ′t   i ( δ /2) t ,
C1 (t ) = C1 (0) cos 
÷ − ′ sin 
÷ + i ′ C2 (0) sin 
÷ e
 2  Ω
 2 

  2  Ω


  Ω′t  iδ
Ω
 Ω′t  
 Ω ′t   − i( δ /2 ) t
C2 (t ) = C2 (0) cos 
.
÷+ ′ sin 
÷ + i ′ C1 (0)sin 
÷ e
 2  Ω
 2 
  2  Ω


(1.23)

(1.24)

Các nghiệm này thoả mãn điều kiện chuẩn hoá:
C1 (t ) + C2 (t ) = 1 .
2

2

(1.25)

2

2
Nếu giả thiết ban đầu hệ lượng tử ở trạng thái 1 thì C1 (0) = 1 và C2 (0) = 0 . Với

điều kiện ràng buộc này, các phương trình (1.23) và (1.24) được viết lại là:
  Ω′t  iδ
 Ω′t  i( δ /2 ) t ,
C1 (t ) = cos 
÷− ′ sin 
÷ e
 2 
  2  Ω
 Ω
 Ω′t   −i( δ / 2) t .
C2 (t ) = i sin 
÷ e
 2 
 Ω′

(1.26)

(1.27)

1.2. Ma trận mật độ
1.2.1. Khái niệm ma trận mật độ
Trong mục 1.1, chúng ta đã dẫn ra các phương trình cho sự tiến triển theo thời gian
của các biên độ xác suất của hệ nguyên tử hai mức năng lượng trong trường laser.
Tuy nhiên, dưới tác dụng của các quá trình dịch chuyển hấp thụ, phát xạ tự phát và
phát xạ cưỡng bức sẽ tạo nên trạng thái pha trộn của nguyên tử so với các trạng thái
8

thuần khiết ban đầu. Lúc đó, không thể dùng phương trình Schrodinger để mô tả
trạng thái trộn lẫn của hệ nguyên tử mà phải dùng ma trận mật độ. Xét sự khai triển
của hàm sóng toàn phần ψ của hệ nguyên tử theo hệ các hàm riêng thuần khiết { φn }
ứng với hệ số khai triển ci, ta có [3]:
n

ψ = ∑ ciφi .

(1.28)

i =1

Phần tử của ma trận mật độ được định nghĩa là:
ρij = φi ρ φ j = φi ψ ψ φ j = ci c∗j ,

(1.29)

hay dưới dạng toán tử:
ρ= ψψ .

(1.30)

Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ta rút ra điều kiện chuẩn hóa cho ma trận mật độ:
Tr ( ρ ) = ψ ψ = 1 .

(1.31)

Các phần tử nằm trên đường chéo chính ρ ii = ci

2

đặc trưng cho độ cư trú của

∗
nguyên tử ở trạng thái i ; các phần tử nằm ngoài đường chéo ρij = ci c j đặc trưng

cho độ kết hợp giữa trạng thái i và j .
Với định nghĩa ma trận mật độ, giá trị kỳ vọng của một toán tử A được viết:
A = 〈 ∑ ciφi | A | ∑ c jφ j 〉 = ∑ ρ ji Aij = ∑ ( ρ A) jj = Tr ( ρ A) .
i

j

i, j

(1.32)

j

ở đây, Tr là ký hiệu vết của ma trận bằng tổng tất cả các số hạng nằm trên đường
chéo chính của ma trận ρ A .

9


1.2.2. Phương trình ma trận mật độ
Để thiết lập phương trình ma trận mật độ, chúng ta xuất phát từ phương trình
Schrodinger cho hàm sóng:
d ψ (t )

i
= Hψ (t ) .
dt
h

(1.33)

Nhân trái hai vế của phương trình trên với ψ đồng thời sử dụng các biểu thức định
nghĩa (1.29) và (1.30) chúng ta biến đổi đưa về được [3]:
dρ
i
= − [ H, ρ] .
dt
h

(1.34)

Phương trình (1.34) được gọi là phương trình ma trận mật độ Liouville hay phương
trình Von Neumann.
Phương trình (1.34) chưa bao hàm sự phân rã giữa các trạng thái do phát xạ tự phát.
Khi cần mô tả hệ kèm theo ảnh hưởng phân rã tự phát ta đưa vào khái niệm ma trận
tích thoát Γ có các phần tử được xác định:
Γ nm = n Γ m = γ nδ nm ,

(1.35)

với γn và δmn tương ứng biểu diễn tốc độ phân rã ở trạng thái n và hàm delta
kronecker.
Khi đó, phương trình chuyển động của ma trận mật độ trở thành [3]:
dρ

i
1
= − [ H , ρ ] − { Γ, ρ } ,
dt
h
2

(1.36)

{ Γ , ρ } = Γ ρ + ρΓ .

(1.37)

trong đó:

Xét trường hợp đơn giản nhất, nguyên tử hai mức đặt trong trường laser, ma trận
mật độ có dạng:
ρ12  .
ρ
ρ =  11

 ρ 21 ρ 22 

10

(1.38)


Thay (1.38) vào (1.36) ta được phương trình tiến triển theo thời gian cho phần tử
ma trận mật độ ρ ij :

d ρ11
1
= γρ 22 + Ω ( ρ 21 − ρ12 ) ,
dt
2
d ρ 22
1
= −γρ 22 + Ω ( ρ12 − ρ 21 ) ,
dt
2

(1.39)

(1.40)

d ρ12
1
γ

= −  + iδ ÷ρ12 + Ω ( ρ 22 − ρ11 ) ,
dt
2
2


(1.41)

d ρ 21
1
γ


= −  − iδ ÷ρ21 + Ω ( ρ11 − ρ22 ) .
dt
2
2


(1.42)

ở đây, ta đã giả thiết phát xạ tự phát từ trạng thái kích thích về trạng thái cơ bản với
tốc độ phân rã γ , còn sự phân rã do các quá trình va chạm được bỏ qua.
1.3. Quang lực tác dụng lên nguyên tử
1.3.1. Quang lực
Trong sự tương tác giữa nguyên tử với trường laser, do mỗi photon có động lượng
và spin xác định nên sự hấp thụ, phát xạ sẽ dẫn đến động lượng và mômen góc của
nguyên tử bị thay đổi. Trong trường hợp tán xạ/khúc xạ cũng hoàn toàn tương tự.
Dưới tác dụng của quá trình tán xạ/khúc xạ, photon tới (tác dụng lên hệ nguyên
tử/vi hạt) khác photon tán xạ/khúc xạ nên phần chênh lệch động lượng đó được
truyền cho nguyên tử/vi hạt. Xét dưới góc độ động lực học, điều này dẫn đến
nguyên tử sẽ chịu tác dụng của một quang lực. Về mặt hình thức, chúng ta có thể
biểu diễn quang lực F tác dụng lên nguyên tử theo giá trị kỳ vọng của toán tử lực Fˆ
theo cơ học lượng tử [3]:
d
F = Fˆ =
pˆ .
dt

(1.43)

Mặt khác, sự tiến triển theo thời gian của giá trị kỳ vọng của toán tử Fˆ được cho bởi

hệ thức giao hoán:

11


d
i
 Hˆ , Fˆ  .
F =

dt
h 

(1.44)

Xét trong trường hợp một chiều, ta có thể thay toán tử
giao hoán giữa Hˆ và

pˆ

pˆ

bởi −ih( ∂ / ∂z ) nên hệ thức

bên vế trái của (1.44) được biến đổi thành:
i ∂Hˆ
 Hˆ , pˆ  =

 z h ∂z

.

(1.45)

Sử dụng (1.44) và (1.45), biểu thức (1.43) có dạng:
F =−

∂Hˆ
.
∂z

(1.46)

Do thành phần Hamilton H0 không phụ thuộc vào không gian nên biểu thức (1.45)
cho thấy quang lực tác dụng lên nguyên tử chỉ phụ thuộc vào thành phần Haminton
tương tác HI của hệ.
Lúc đó, sử dụng gần đúng lưỡng cực điện ta có thể xác định quang lực tác dụng lên
nguyên tử là [3]:
d r r r
Fˆ = F = e
E (r , t ).r
dz

(

)

.

(1.47)

Trong gần đúng lưỡng cực điện, chúng ta bỏ qua sự biến đổi theo không gian của
vectơ điện trường trong phạm vi kích thước của nguyên tử. Lúc đó, chúng ta có thể
hoán đổi phép lấy gradien với phép tính trung bình. Vì vậy, biểu thức (1.47) được
viết lại
F =e

d
dz

r

( E (rr, t ).rr )

.

(1.48)

(

)

Sử dụng định nghĩa tần số Rabi và giá trị kì vọng A = Tr ρ , Aˆ , biểu thức được
biến đổi về dạng:
 d Ω ∗ d Ω∗

F = h
ρ 21 +
ρ 21 ÷.
dz

 dz


(1.49)

Trong khi dẫn ra biểu thức (1.49), chúng ta đã sử dụng gần đúng sóng quay để loại
bỏ các số hạng dao động với tần số laser. Chúng ta cũng thấy rằng, quang lực phụ
12


thuộc vào các trạng thái riêng của nguyên tử (phụ thuộc vào độ kết hợp quang học
ρ 21 giữa trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích). Để thấy rõ điều này, chúng ta

phân tích ∂Ω / ∂z thành các phần thực và phần ảo [3]:
∂Ω
= ( qr + iqi ) Ω ,
∂z

(1.50)

với i là số thuần ảo, qr và qi tương ứng là phần thực và phần ảo của đạo hàm logarit
cơ số e của Ω. Khi trường có dạng E ( z ) = E0 ( z ) exp [ iφ ( z ) ] + cc thì phần thực của đạo
hàm logarit tương ứng với gradient của biên độ E0 ( z ) và phần ảo tương ứng với
gradient của pha φ ( z ) . Lúc đó, biểu thức của quang lực trở thành [3]:
∗
∗
F = hqr ( Ωρ 21
+ Ω∗ ρ21 ) + ihqi ( Ωρ 21
− Ω∗ ρ 21 ) .

(1.51)

Phương trình (1.51) biểu diễn quang lực tác dụng lên nguyên tử trong trường hợp
tổng quát nên có thể được sử dụng để tìm quang lực cho bất kỳ trường hợp riêng
nào miễn là tìm được nghiệm của phần tử ma trận mật độ ρ 21 .
1.3.2. Quang lực tác dụng lên nguyên tử đứng yên
Để dẫn ra biểu thức quang lực tác dụng lên các nguyên tử đứng yên trong trường
laser, trước hết chúng ta xét trường laser có dạng sóng chạy với cường độ điện
trường được xác định bởi [3]:
E( z) =

(

)

E0 i( kz −ωt )
e
+ cc .
2

(1.52)

Trong sự tính toán tần số Rabi, phép gần đúng sóng quay dẫn đến thành phần tần số
dương của E(z) bị triệt tiêu. Do đó gradient của tần số Rabi trở nên tỷ lệ với
gradient của thành phần tần số âm còn lại, vì vậy qr = 0 và qi = k . Đối với một sóng
chạy như vậy thì biên độ là một hằng số nhưng pha luôn thay đổi, do đó dẫn tới qi
khác không.
Trong trường hợp nguyên tử nằm trong trường sóng đứng thì ta có thể xem đây là tổ
hợp của hai sóng chạy (1.52) lan truyền ngược chiều nhau. Lúc đó, điện trường tổng
hợp bằng hai lần và được cho bởi [3]:

13


E ( z ) = E0 cos ( kz ) ( e − iωt + cc ) .

(1.53)

Trong phép gần đúng sóng quay, tính toán chi tiết tần số Rabi Ω rồi thay vào biểu
thức (1.50) ta được qr = − k tg( kz) và qi = 0 . Trong trường hợp này cũng chỉ có thành
phần tần số âm được giữ lại sau khi sử dụng phép gần đúng sóng quay, tuy nhiên
gradient lại không phụ thuộc vào thành phần này. Vì vậy, một sóng đứng thì có
gradient biên độ nhưng không có gradient pha.

Sử dụng tần số Rabi để giải hệ các phương trình ma trận mật độ (1.39)-(1.42) ở điều
kiện dừng, ta thu được nghiệm ρ 21 rồi thay vào (1.51) ta thu được biểu thức quang
lực [3]:
F=

hs 
1

 −δ qr + γ qi ÷ .
1+ s 
2


(1.54)

Từ biểu thức (1.54) ta thấy, số hạng thứ nhất tỷ lệ với độ lệch tần số δ, số hạng thứ
hai tỷ lệ với tốc độ phân rã γ.

Ta xét ý nghĩa của số hạng thứ hai trong (1.54) bằng cách giả thiết trường laser
cộng hưởng với dịch chuyển nguyên tử. Lúc đó, độ lệch tần số bằng không, số hạng
thứ nhất sẽ triệt tiêu nên biểu thức quang lực trở thành:
F=

hkγ s0
.
2 s0 + 1

(1.55)

Vì mỗi photon có động lượng ħk còn tốc độ tán xạ toàn phần γp được tính theo biểu
thức [3]:
γ p = γρ 22 =

s0γ / 2
.
1 + s0 + (2δ / γ ) 2

nên biểu thức (1.55) cho thấy quang lực phát xạ có giá trị bằng tích của động lượng
mỗi photon và tốc độ tán xạ toàn phần.

14


Sự hấp thụ photon dẫn tới nguyên tử tích lũy thêm động lượng theo hướng của
photon tới và nhảy lên trạng thái kích thích. Sau đó, nguyên tử phân rã về trạng thái
cơ bản nên bị giật lùi theo hướng ngược với chiều photon phát xạ tự phát. Tuy
nhiên, do sự phát xạ tự phát là đẳng hướng nên khi lấy trung bình thì phát xạ tự phát
không làm thay đổi động lượng nguyên tử. Bởi vậy, quang lực tác dụng lên nguyên

tử sau nhiều chu trình hấp thụ/phát xạ tự phát được gọi là quang lực tán xạ cộng
hưởng (ký hiệu bởi Ftp) và được viết thành:
Ftp = hk γ p ρ22 .

(1.56)

Sử dụng biểu thức về tốc độ tán xạ γ p , ta có:
Ftp =

hks0γ / 2

1 + s0 + ( 2δ / γ )

2

.

(1.57)

Như vậy, quang lực tán xạ cộng hưởng hướng theo chiều lan truyền của các photon
tới, nó đạt giá trị bão hòa hkγ 2 khi s0 rất lớn. Khi đó, nếu tiếp tục tăng cường độ
chiếu sáng thì cũng không làm tăng quang lực.
Để xét ý nghĩa của số hạng thứ nhất trong (1.54) ta để ý rằng, số hạng này
được sinh ra do sự xê dịch mức năng lượng của các trạng thái cơ bản và kích thích.
Độ dịch mức năng lượng phụ thuộc vào cường độ điện trường của chùm laser. Với
sóng đứng được tạo bởi hai chùm laser lan truyền ngược chiều sẽ tạo thành gradient
biên độ. Độ dịch năng lượng của nguyên tử biến thiên theo không gian sinh ra
quang lực khác với lực ở (1.56) nên được gọi là quang lực gradient hay quang lực
lưỡng cực (kí hiệu là Flc). Lực này tỷ lệ với gradient của độ dịch năng lượng, trong
giới hạn cường độ sáng yếu thì quang lực lưỡng cực tác dụng lên nguyên tử được

cho bởi:
Flc = −

∂ ( ∆E1 ) hΩ ∂Ω
=
.
∂z
2δ ∂z

(1.58)

Đối với sóng đứng có sự phân bố gradient cường độ thì ∂Ω ∂z = qr Ω trong giới hạn
bão hòa thấp (s << 1). Lúc đó, lực gradient tính theo (1.58) tương ứng với thành
15


phần thứ nhất trong biểu thức (1.54). Vì vậy, biểu thức quang lực trong số hạng thứ
nhất của (1.54) trở thành:
Flc =

2hkδ s0 sin 2kz

1 + 4 s0 cos 2 kz + ( 2δ / γ )

2

,

(1.59)

trong đó, s0 là tham số bão hòa của một trong hai chùm tia tạo nên sóng đứng. Nhìn
vào biểu thức (1.59) ta thấy quang lực Flc phụ thuộc vào độ lệch tần số δ, tức là phụ
thuộc vào tần số của chùm laser. Khi δ < 0, quang lực hướng theo chiều tới vị trí có
cường độ trường cực đại, còn khi δ > 0 quang lực hướng theo chiều tới vị trí có
cường độ trường cực tiểu. Đặc biệt, khi tần số trường laser cộng hưởng với dịch
chuyển nguyên tử (δ = 0) thì quang lực lưỡng cực bằng không.
Do quang lực lưỡng cực được xác định theo biểu thức (1.59) có tính chất của lực
bảo toàn nên ta có thể biểu diễn quang lực này dưới dạng gradient của thế năng Ulc
được cho bởi:
Flc = −gradU lc = −

dU lc
,
dz

(1.60)

với
 1 + 4 s0 cos 2 kz + ( 2δ / γ ) 2  .
1
U lc = hδ log 
÷
2

÷
2
1 + ( 2δ / γ )



(1.61)

2
Biểu thức (1.61) cho thấy, trong giới hạn ( δ / γ ) << s0 thì độ sâu của thế năng U lc
2
tỉ lệ với δ chứa trong thừa số thứ nhất. Tuy nhiên, khi ( δ / γ ) lớn hơn s0 thì độ sâu

của hố thế sẽ giảm do số hạng logarit trong (1.61) giảm mạnh. Đặc biệt, khi

(δ /γ )

2

>> s0 thì thế U lc sẽ giảm tới giá trị độ dịch mức năng lượng ∆E1 trong (1.61).

Về mặt hình thức, biểu thức quang lực (1.60) có dạng tương tự lực điện tác dụng lên
lưỡng cực điện đặt trong điện trường không đồng nhất, vì vậy Flc được gọi là quang
lực lưỡng cực hoặc quang lực gradient.

16


1.3.3. Quang lực tác dụng lên nguyên tử chuyển động
Làm lạnh nguyên tử thực chất là làm giảm chuyển động nhiệt bằng laser nên đòi hỏi
quang lực phải phụ thuộc vào vận tốc của các nguyên tử. Thực tế, chúng ta có thể
xem vận tốc của nguyên tử là một nhiễu loạn nhỏ nên đạo hàm của tần số Rabi có
thể được viết:
d Ω ∂Ω
∂Ω ∂Ω
=

+v
=
+ v ( qr + iqi ) Ω ,
dt
∂t
∂z
∂t

(1.62)

ở đây, chúng ta đã sử dụng phương trình (1.50) để tách ∂Ω / ∂z theo phần thực và
phần ảo.

Tương tự, lấy đạo hàm phương trình
w=

1
1+ s

và ρ 21 =

iΩ
.
2(γ / 2 − iδ )(1 + s )

ta được [3]:
dw ∂w
∂w ∂w
2vqr s
=

+v
=
−
dt
∂t
∂z ∂t ( 1 + s 2 ) 2 ,
∂ρ
ivΩ
d ρ 21 ∂ρ 21
∂ρ
=
+ v 21 = 21 −
∂t
2 ( γ / 2 − iδ ) 1 + s
dt
∂t
∂z

  1− s 

 qr  1 + s ÷+ iqi 

 


(1.63a)
(1.63b)

2
vì s0 = 2 Ω γ 2 và Ω là số phức phụ thuộc vào z nên ∂s0 / ∂z = 2qr s0 . Trong (1.63a,b),

vì w và ρ 21 được xét ở trạng thái dừng nên ∂w / ∂t và ∂ρ 21 / ∂t triệt tiêu. Tuy nhiên,
việc tìm nghiệm giải tích của các phương trình (1.63a,b) vẫn rất khó trong trường
hợp tổng quát. Vì vậy, chúng ta chỉ giới hạn xét hai trường hợp đặc biệt là sóng đứng và
sóng chạy dưới đây.
1.3.3.1. Trường hợp sóng chạy
Với sóng chạy thì qr = 0 và qi = k nên từ các phương trình (1.63a,b) chúng ta tìm
được nghiệm dừng cho w và ρ 21 , từ đó thay vào (1.51) ta thu được quang lực:

17


F = hk

sγ / 2 
2δ k
1 +
1 + s  ( 1 + s ) ( δ 2 + γ 2 / 4)



v ÷.
÷


(1.64)

Trong biểu thức (1.64), số hạng thứ nhất biểu thị thành phần lực không phụ thuộc
vào vận tốc của nguyên tử (ký hiệu là F0), số hạng thứ hai phụ thuộc tuyến tính vào
vận tốc nên đóng vai trò lực hãm ứng với hệ số tắt dần β (hoặc có thể gọi là hệ số

hãm)[3].
Khi đó, ta có thể viết lại (1.64) thành:
F = F0 − β v ,

(1.65)

với
F0 =

hk γ s ,
2 1+ s

β = − hk 2

(1.66)
4s0 ( δ / γ )
2 2

1 + s0 + ( 2δ / γ ) 



.
(1.67)

Từ biểu thức (1.65) và (1.67) ta thấy, để quang lực đóng vai trò là lực hãm (ngược
chiều với vận tốc) thì hệ số β phải dương. Điều này được thỏa mãn khi độ lệch tần
số δ phải âm, nghĩa là tần số laser phải bé hơn tần số cộng hưởng của nguyên tử
đứng yên. Dưới tác dụng của quang lực hãm, hàm phân bố vận tốc MaxwellBoltzmann sẽ bị nén hẹp lại [3].

18


Hình 1.2. Sự thay đổi của hệ số tắt dần β theo δ tại một số giá trị của tham số s0.

Với trị số của độ lệch tần số nhỏ (│δ│ << γ) và cường độ yếu (s0 << 1) thì hệ số
hãm β tỉ lệ thuận với s0 và δ. Tuy nhiên, đối với độ lệch tần số lớn hơn nhiều so với

γ và cường độ sáng lớn hơn nhiều so với Ibh thì hệ số hãm β đạt tới giá trị cực đại
nào đó rồi giảm dần do quy luật tăng δ2 trong mẫu số của (1.67). Hình 1.2 minh họa
cho sự thay đổi của hệ số tắt dần β theo độ lệch tần số tại một số giá trị của tham số
bão hòa [3].
Giá trị cực đại của β đạt được khi δ = - γ/2 và s0 = 2 là:
β max = hk 2 4 .

(1.68)

Ta định nghĩa tốc độ hãm ϒ bằng hệ số hãm chia cho khối lượng nguyên tử ϒ =β/m.
Lúc đó, từ biểu thức (1.68) suy ra giá trị cực đại của tốc độ hãm:
ϒmax =

βmax h2 k 2 ωr
=
=
.
m
4m
2

(1.69)

trong đó ωr = 2ħ2k2m là tần số giật lùi (sau một lần phát xạ/hấp thụ một photon).
Đối với kim loại kiềm, tốc độ hãm ϒmax cỡ 104 − 105s-1. Kết quả này cho thấy, phân
bố vận tốc của nguyên tử kim loại kiềm có thể nén được trong phạm vi cỡ
10-100μs. Hơn nữa, do quang lực được xác định theo phương trình (1.65) luôn có

19


thành phần F0 không phụ thuộc vận tốc nên không thể hãm chuyển động của các
nguyên tử tới một vận tốc không đổi.
1.3.3.2. Trường hợp sóng đứng
Bằng cách làm tương tự như trường hợp sóng chạy với chú ý trường hợp sóng đứng
thì qi = 0 nên ta tìm được phân bố lực hãm theo vận tốc do đó có thể tìm được
quang lực ở trạng thái dừng:

( 1 − s ) γ 2 − 2s 2 ( δ 2 + γ 2 4 ) 
sδ 

,
F = − hqr
1 − vqr
2
2
2
1+ s 

δ
+
γ

4
1
+
s
γ
(
)
(
)



(1.70)

trong đó:
qr = -ktg(kz).

(1.71)

Trong giới hạn s << 1, chúng ta có thể đưa (1.70) về dạng:
F = hk



s0δγ 2
γ

.
sin(2
kz

)
+
kv
(1
−
cos
2
kz
)
2 ( δ 2 + γ 2 4 ) 

( δ 2 + γ 2 4)

(1.72)

Số hạng thứ nhất trong (1.72) biểu thị thành phần quang lực không phụ thuộc vào
vận tốc và có dạng hình sin trong không gian với chu kì λ 2 nên giá trị trung bình
của nó theo không gian sẽ bị triệt tiêu.
Thành phần quang lực còn lại phụ thuộc tuyến tính vào vận tốc nên sau khi lấy
trung bình (1.72) theo không gian được:
F = Ftb = − β v ,

(1.73)

trong đó, hệ số hãm β được cho bởi:
β = − hk 2

8s0 ( δ γ )

( 1 + ( 2δ γ ) )

2 2

.

(1.74)

Như vậy, khác với trường hợp sóng chạy (luôn có thành phần lực F0 không phụ
thuộc vận tốc nên không thể hãm nguyên tử tới vận tốc bằng không) trường hợp
sóng đứng có quang lực hoàn toàn là lực hãm (vì không có thành phần F0) nên các
nguyên tử có thể bị hãm dần tới vận tốc v = 0[3].
20


Chú ý rằng biểu thức của β theo (1.74) chỉ thỏa mãn với s <<1 vì nó phụ thuộc vào
tốc độ phát xạ tự phát. Ngược lại, giá trị của β cho bởi (1.67) đối với sóng chạy
được thỏa mãn với mọi giá trị của s. Ngoài ra, so sánh (1.74) với (1.67) ta thấy giá
trị của β trong trường hợp sóng đứng gấp hai lần trong trường hợp sóng chạy. Điều
này có thể được giải thích nếu chúng ta xem sóng đứng là tổng của hai sóng chạy có
biên độ giống nhau nên các hệ số hãm của chúng cũng được cộng lại.
Do quang lực có thể đóng vai trò là lực hãm nên sóng đứng có tần số dịch về phía
sóng dài được sử dụng trong làm lạnh nguyên tử. Theo đó, do hiệu ứng Doppler nên
khi các nguyên tử chuyển động ngược chiều với một chùm sáng tới sẽ hấp thụ nhiều
hơn đáng kể các photon so với khi các nguyên tử chuyển động cùng chiều với chùm
sáng (nên tốc độ tán xạ γp tăng). Tuy nhiên, nếu đặt thêm một chùm sáng thứ hai
chuyển động theo chiều ngược lại thì các nguyên tử chuyển động cùng chiều với
chùm thứ nhất sẽ bị tán xạ nhiều hơn bởi chùm sáng thứ hai. Vì vậy, nếu sử dụng
hai sóng chạy lan truyền ngược chiều nhau (để tạo sóng đứng) thì ta có thể hãm
chuyển động của các nguyên tử theo phương của hai chùm sáng này. Cơ chế hãm
chuyển động hay làm lạnh các nguyên tử bằng sóng đứng như vậy được gọi là làm

lạnh Doppler một chiều[3]. Từ đây, ta có thể suy ra cách làm lạnh nguyên tử trong
không gian ba chiều bằng cách sử dụng ba cặp chùm sáng vuông góc với nhau (tạo
thành 3 sóng đứng vuông góc với nhau) và được gọi là làm lạnh Doppler ba chiều.
Khi đó, các nguyên tử chuyển động trong miền không gian sẽ bị hãm chuyển động
dưới tác dụng của quang lực giống lực nhớt của chất lỏng. Vì vậy, môi trường
quang dùng để làm lạnh nguyên tử có đặc điểm như vậy được gọi môi trường nhớt
quang. Cơ chế này được kết hợp với từ trường ngoài tạo nên bẫy quang từ dùng để
làm lạnh và bẫy đồng thời các nguyên tử [3].
Cần chú ý rằng, về mặt toán học thì quang lực hãm như trong (1.73) có thể làm
giảm vận tốc của nguyên tử tới 0, do đó có thể làm lạnh môi trường nguyên tử tới
độ không tuyệt đối. Tuy nhiên, thực tế không thể đạt được điều này do nguyên lý
của nhiệt động lực học. Điều này có thể được giải thích khi chú ý đến tính chất
lượng tử ở nhiệt độ thấp. Khi đó, sự hấp thụ/bức xạ photon không xảy ra liên tục mà

21


tạo thành từng bước nhảy lượng tử ứng với sự thay đổi động lượng ∆p = ħk (hiện
tượng giật lùi). Hệ quả là nhiệt độ thấp nhất có thể đạt được trong cơ chế làm lạnh
Doppler sẽ ứng với giá trị vận tốc trung bình của các nguyên tử tại đó động lượng
của nguyên tử bằng ħk. Giới hạn nhiệt độ trong cơ chế làm lạnh này được gọi là
giới hạn làm lạnh Doppler và sẽ được trình bày chi tiết ở chương 2.

Chương 2
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN MẬT ĐỘ
TRONG LÀM LẠNH NGUYÊN TỬ BẰNG LASER

2.1. Các kỹ thuật hãm chuyển động nguyên tử
Hiện nay, sử dụng quang lực tác dụng lên các nguyên tử trung hoà đang là hướng
nghiên cứu được quan tâm trong làm lạnh nguyên tử bằng laser [3]. Nguồn gốc của

các quang lực tác dụng lên nguyên tử đã được đề cập trong chương 1, bây giờ,
chúng ta sẽ xét đến một số ứng dụng điển hình. Lực được gây ra bởi bức xạ, đặc
biệt với ánh sáng có tần số gần hoặc trùng với tần số dịch chuyển của nguyên tử có
22


nguồn gốc từ xung lượng của ánh sáng. Tạm thời bỏ qua yếu tố spin, ngoài năng
lượng E = hω , mỗi photon còn mang xung lượng hk và spin h .
Khi một nguyên tử khối lượng M hấp thụ một phôton thì sẽ nhảy lên trạng thái kích
thích, tích lũy thêm xung lượng bằng hk và tích lũy thêm mômen góc bằng h (vào
mômen quỹ đạo của điện tử bên trong nguyên tử). Khi nguyên tử phát xạ photon thì
năng lượng, xung lượng và mômen góc của nguyên tử bị thay đổi theo chiều ngược
lại. Trên phương diện động lực học, sự thay đổi xung lượng (do hấp thụ/phát xạ)
dẫn đến sự giật lùi của nguyên tử ứng với vận tốc giật lùi vl = hk M ≈ vài cm/s.
Mặc dù vận tốc này rất nhỏ so với vận tốc chuyển động nhiệt nhưng với nhiều sự
hấp thụ thì có thể mang lại sự thay đổi vận tốc đáng kể. Vì vậy, nếu điều khiển định
hướng sự thay đổi vận tốc này sẽ tạo ra lực hãm chuyển động nguyên tử [3].
Mặc dù có nhiều cách để làm chậm hoặc làm lạnh các nguyên tử từ nhiệt độ phòng
hoặc nhiệt độ cao hơn nhưng cách được quan tâm nhất là dựa vào sự phụ thuộc của
vận tốc nguyên tử vào lực tán xạ sử dụng sự truyền xung lượng giữa nguyên tử với
trường bức xạ cộng hưởng. Chọn dạng hình học và tần số ánh sáng thích hợp thì
chúng ta có thể dùng độ dịch do hiệu ứng Doppler (gọi tắt là độ dịch Doppler) để
tạo ra sự trao đổi xung lượng (do đó tạo ra lực) phụ thuộc vào vận tốc.

Vì lực phụ thuộc vào vận tốc do đó không chỉ được sử dụng để làm chậm mà còn
dùng để làm lạnh nguyên tử bằng laser [3].
Khả năng làm lạnh cũng bị cản trở bởi thực tế là sự hấp thụ ánh sáng gần miền cộng
hưởng của nguyên tử phụ thuộc mạnh vào tần số và do đó phụ thuộc vào vận tốc vì
tần số laser bị dịch chuyển bởi hiệu ứng Dopple khi nguyên tử chuyển động tương
đối trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm. Tất nhiên, lực tiêu tán phụ thuộc vào vận

tốc là cần thiết cho quá trình làm lạnh nguyên tử bằng bức xạ.
Phương pháp làm chậm và làm lạnh nguyên tử bằng bức xạ đơn giản nhất là hướng
một chùm laser ngược chiều với chùm nguyên tử như mô tả ở hình 2.1 [3]. Trong
trường hợp này, mỗi nguyên tử có thể hấp thụ ánh sáng nhiều lần dọc theo đường đi

23


của chúng. Dĩ nhiên, các nguyên tử ở trạng thái kích thích không thể hấp thụ ánh
sáng từ chùm laser kích thích, như vậy giữa các lần hấp thụ thì chúng phải trở về
trạng thái cơ bản bởi sự phân rã tự phát, kèm theo đó là phát xạ ánh sáng huỳnh
quang. Sự phát xạ ánh sáng huỳnh quang cũng dẫn tới sự thay đổi xung lượng của
nguyên tử nhưng do sự đối xứng không gian trong quá trình phát xạ nên về trung
bình thì sự thay đổi xung lượng bằng không sau nhiều lần phát xạ huỳnh quang. Bởi
vậy, nguyên tử chỉ bị làm chậm theo hướng của chùm tia laser và sự làm chậm cực
đại bị giới hạn bởi tốc độ phát xạ huỳnh quang tự phát.

Hình 2.1. Sơ đồ bố trí thiết bị làm chậm chùm nguyên tử. Một từ trường giảm dần
được tạo ra bởi các lớp có chiều dài khác nhau trên một Solenoit.

Quá trình làm chậm nguyên tử có thể đạt tới cực đại khi cường độ ánh sáng rất lớn
nhưng cũng bị giới hạn do nguyên tử phải phân chia khoảng thời gian sống đồng
đều giữa trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích. Ánh sáng cường độ cao có thể
làm cho sự hấp thụ nhanh hơn nhưng cũng làm cho sự phát xạ kích thích nhanh
hơn, song kết hợp lại thì không mang lại sự làm chậm cũng như làm lạnh bởi vì sự
truyền xung lượng tới nguyên tử trong quá trình phát xạ luôn ngược chiều với chiều
nguyên tử đã hấp thụ. Do vậy, quá trình làm chậm đạt bão hòa tại giá trị [3]:
r
r
amax = hk γ 2M ,

24

(2.1)


trong đó, γ là độ rộng tự nhiên của trạng thái kích thích và hệ số 2 xuất hiện là do
các nguyên tử tồn tại ở mỗi trạng thái một nửa thời gian sống của mình.
Do độ dịch Doppler nên tần số laser trong hệ quy chiếu gắn với nguyên tử chuyển
động có thể trùng với tần số dịch chuyển của nguyên tử dẫn đến sự hấp thụ ánh sáng
cực đại và tốc độ tán xạ lớn nhất γ tx . Tốc độ này có dạng Lorentz như sau [3]:

γ tx =

s0 γ 2

1 + s0 +  2 ( δ + ω D ) γ 

2

,

(2.2)

trong đó, s0 = I / Ibh là tỷ số giữa cường độ ánh sáng I với cường độ bão hòa Ibh có
giá trị vài mW/cm2 ứng với các dịch chuyển của các nguyên tử điển hình và
δ = ω − ω0 là độ lệch giữa tần số của ánh sáng laser ω so với tần số cộng hưởng của
r r
nguyên tử ω 0 . Độ dịch Doppler do chuyển động của nguyên tử là ω D = − k ×v (chú ý,


r
k ngược chiều với v thì độ dịch Doppler là dương và ngược lại). Sự làm chậm đạt
cực đại khi (ωD + δ ) << γ , tức là ánh sáng laser gần cộng hưởng với nguyên tử trong
r

hệ quy chiếu đứng yên. Hợp lực F tác dụng lên các nguyên tử là:
r
r
F = hkγtx ,

(2.3)

đạt được bão hòa khi s0 lớn và bằng:
r
r
r
Mamax = Fmax ≡ hkγtx 2 .

(2.4)

r

Do sự làm chậm chùm nguyên tử cực đại amax được cố định bởi các thông số của
nguyên tử nên chúng ta có thể tính toán được trực tiếp chiều dài dừng lại cực tiểu
Lmin và thời gian dừng lại cực tiểu tmin đối với nguyên tử có vận tốc v = 2 k B T M

tại nhiệt độ đã chọn. Kết quả là:
Lmin = v 2 2amax ,

(2.5a)

tmin = v amax .

(2.5b)

25