Ước lượng moment đối với nghiệm của phương trình vi phân Itô

❇é ●✐➳♦ ❉ô❝ ✈➭ ➜➭♦ t➵♦

❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❍ä❝ ❱✐♥❤

▲➟ ❚❤Þ ❚❤✉ ❍ß❛

➛í❝ ❧➢î♥❣ ♠♦♠❡♥t ➤è✐ ✈í✐ ♥❣❤✐Ö♠
❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ■t➠

▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ t♦➳♥ ❤ä❝

◆❣❤Ö ❆♥ ✲ ✷✵✶✺


❇é ●✐➳♦ ❉ô❝ ✈➭ ➜➭♦ t➵♦

❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❍ä❝ ❱✐♥❤

➛í❝ ❧➢î♥❣ ♠♦♠❡♥t ➤è✐ ✈í✐ ♥❣❤✐Ö♠
❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ■t➠

❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿ ▲ý t❤✉②Õt ①➳❝ s✉✃t ✈➭ ❚❤è♥❣ ❦➟ t♦➳♥ ❤ä❝
▼➲ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✶✳✵✻

▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ t♦➳♥ ❤ä❝

◆❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥✿

❚❙✳ ◆❣✉②Ô♥ ❚❤❛♥❤ ❉✐Ö✉

◆❣❤Ö ❆♥ ✲ ✷✵✶✺

✐


▼ô❝ ❧ô❝
▼ô❝ ❧ô❝

✐✐

▼ë ➤➬✉

✶

✶

▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ

✷

✶✳✶ ❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷

✶✳✶✳✶ ❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ♠ét ❝❤✐Ò✉ tr➟♥ ➤♦➵♥ ❬❛✱ ❜❪ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷

✶✳✷ ❈➠♥❣ t❤ø❝ ■t➠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✸ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♠♦♠❡♥t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸

➛í❝ ❧➢î♥❣ ♠♦♠❡♥t ➤è✐ ✈í✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ■t➠

✶✺

✷✳✶ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ■t➠

✶✺

✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✷ ❈➠♥❣ t❤ø❝ ➢í❝ ❧➢î♥❣ ♠♦♠❡♥t
❑Õt ❧✉❐♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸

✐✐

ở
P trì ớ ễ q trì r ợ
ự t ở r P ó ợ ứ
ở r
ứ trì ớ ễ rt ì
tí ế ó trì ợ q t ứ ở P
Prttr ề t ọ
ý tết trì ó ề ứ ụ
tr ề ĩ ự ỏ ệ s t tị trờ t í
ó rt ề tí t ệ ủ trì tí ổ tí r
tí r ợ ứ ớ tì ể ề tí t ệ
ủ trì tr ú t ớ tì ể ề
ớ ợ t ủ ệ ủ trì ớ ụ í ó ú
t ọ ề t ứ ớ
ủ trì t

ợ t ố ớ ệ

ợ

ột số ế tứ ị

r ú t sẽ

trì ệ tí t ề q trì tí
tứ t sở s
ớ ợ t ố ớ ệ ủ trì
t

r ú t sẽ trì ị ĩ ệ t ể

ứ ị ý ề sự tồ t t ệ ủ trì
r tứ ớ ợ t






ột số ế tứ ị




í

í ột ề tr



(, F, P)

t tờ

st ớ ọ

B = {Bt }t

0

{Ft }.

b < .

a

f = {f (t)}t

q trì

tỏ ề ệ

0 q trì ể ộ r ị tr

st ù ợ ớ ọ
ị ĩ

{Ft }



ý ệ

M2 ([a, b]; R)

0 trị tự

(Ft )ù

ợ s

b

f

2
a,b

|f (t)|2 dt < .

=E



a
ú t ồ t

f



f

tr

ợ ú t ó r

õ r

ã

f

2

M ([a, b]; R) ế f f



f

= 0 r trờ

t ú t ết

a,b ị ột tr tr

tr tr ủ ớ ỗ
q trì ợ ũ tế

2
a,b

M2 ([a, b]; R)

f = f.

f M2 ([a, b]; R) tồ t ột

f M2 ([a, b]; R) s ủ f t

1
f (t) = lim sup
h
h0


t

f (s)ds.
th


ó

f

q trì

tổ qt ú t ó tể tết

f = f.

ó t tí

f M2 ([a, b]; R) q trì


ị ĩ

ột q trì

g = {g(t)}a

t b ợ ọ q

trì ế tồ t ột ủ

[a, b] a = t0 < t1 < . . . <

tk = b

k1

ế ị

i , 0

i

s

i

Fti

ợ

k1

g(t) = 0 I[t0 ,t1 ] (t) +

i I(ti ,ti+1 ] (t).



i=1
ý ệ t q trì

M0 ([a, b]; R).

õ r

M0 ([a, b]; R) M2 ([a, b]; R)
ị ĩ

tr

g

sử

ột q trì ị ở

M0 ([a, b]; R). ó tí ủ g

ể ộ r

{Bt } ợ ị s
k1

b

i (Bti+1 Bti ).

g(t)dBt =
a
b

õ r a

ế



i=0



g(t)dBt

Fb ợ ú t sẽ ỉ r r tí

ế tộ ớ
ổ ề

ố ớ q trì

L2 (, R).

g M0 ([a, b]; R) tì
b

g(t)dBt = 0

E



a
2

b

g(t)dBt

E

b

a
ổ ề

sử

|g(t)|2 dt.

=E



a

g1 , g2 M0 ([a, b]; R)



c1 , c2

số tự ó

c1 g1 + c2 g2 M0 ([a, b]; R)
b

b

(c1 g1 (t) + c2 g2 (t)) dBt = c1
a

b

g1 (t)dBt + c2
a

g2 (t)dBt .
a




ổ ề

sử

f M2 ([a, b]; R) ó tồ t q trì

{gn } s
b

|f (t) gn (t)|2 dt = 0.

lim E

n+

ớ ỗ




a

f M2 ([a, b]; R) t ổ ề tồ t q trì

{gn } s
b

|f (t) gn (t)|2 dt = 0.

lim E

n

a

t t ổ ề ổ ề t ó
b

gn (t)dBt

E

2

b

a

[gn (t) gm (t)]dBt

=E

gm (t)dBt

2

b
a

a
b

=E

|gn (t) gm (t)|2 dt 0



m, n .

a

ó

b
a gn (t)dBt

tr

L2 (; R) ó tồ t

ớ ủ ó ú t ớ ó tí t

ú t ó ị ĩ s
ị ĩ

f

sử

f M2 ([a, b]; R) tí ủ q trì

t q trì ể ộ r

{Bt } tr [a, b] ý ệ

b
a f (t)dBt

ợ ị ở

b

b

f (t)dBt = L2 lim

n

a
tr ó

gn (t)dBt ,

a

{gn } q trì tộ M0 ([a, b]; R) s
b

|f (t) gn (t)|2 dt = 0.

lim E

n

ị ĩ tr ộ ớ ọ
trì ộ tụ ề

f

{gn } ế {hn } q

t ĩ
b

|f (t) hn (t)|2 dt = 0.

lim E

n

a

a



tì

{n }

ớ

2n1 = gn



2n = hn

ũ ộ tụ ế

f

t ĩ

b
2
a n (t)dBt } ộ tụ tr L (, R) ừ ó s r ớ ủ
b

b
g
(t)dB
}

{
n
t
a
a hn (t)dBt }

tr ó

{



{



T > 0



M2 ([a, b]; R)

f M2 ([0, T ]; R).

ớ

0

a < b

tì

T,

{f (t)}a

t b



b
a f (t)dBt t ị ú t ễ ứ

ó

r
b

c

f (t)dBt +
a

ớ ọ

0

f (t)dBt ,

b

a
ị ĩ

c

f (t)dBt =



a

T.

sử

f M2 ([a, b]; R) ớ ỗ t [a, b] ị ĩ
t

f ( )dB a < t

I(a) = 0; I(t) =

b,

a
ọ tí t ị ủ q trì
ể ộ r

ị ý

ế

Bt

f M2 ([0, T ]; R) tì tí t ị {I(t)}0

sup
0 t T

{I(t)}0

sử

T

|f (s)|2 ds.

4E

f (s)dBs

t T

{Ft }. ữ

2

t

ị ý

t q trì

t
a f ( )dB

ý ệ

rt ì tí ố ớ ọ

E

f

0



0

f M2 ([0, T ]; R)

ó tí t ị

t T

ó s tụ
rt ì tí tụ ó ế
ị ở

t

I, I

t

|f (s)|2 ds, 0

=
0



t

T.




❇➞② ❣✐ê ❝❤ó♥❣ t❛ ①➳❝ ➤Þ♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ✈í✐ t❤ê✐ ➤✐Ó♠ ❞õ♥❣✳ ❚❛
❝ã✱ ♥Õ✉

τ

❧➭

{Ft }✲t❤ê✐ ➤✐Ó♠ ❞õ♥❣✱ t❤× {I[[0,τ ]] (t)} ❜Þ ❝❤➷♥✱ ❧✐➟♥ tô❝ ♣❤➯✐ {Ft }✲♣❤ï

❤î♣✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ tÝ♥❤ ❜Þ ❝❤➷♥ ✈➭ ❧✐➟♥ tô❝ ♣❤➯✐ ❝❤ó♥❣ t❛ ❞Ô t❤✃②✳ ◆❣♦➭✐ r❛✱ ✈í✐ ♠ç✐

t

0,




∅ ∈ Ft



r} = {ω : τ (ω) < t} ∈ Ft





Ω ∈ Ft

{ω : I[[0,τ ]] (t, ω)

❉♦ ➤ã✱

0 ❧➭ q✉➳ tr×♥❤

{I[[0,τ ]] (t)}t

●✐➯ sö

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✶✳

s❛♦ ❝❤♦

0

τ

T

♥Õ✉

r < 0,

♥Õ✉

0

r < 1,

♥Õ✉

r

1.

{Ft }✲♣❤ï ❤î♣✳

f ∈ M2 ([0, T ]; R) ✈➭ ❧✃② τ

t❤×

{I[[0,τ ]] (t)f (t)}0

τ

T

❧➭

{Ft }✲t❤ê✐ ➤✐Ó♠ ❞õ♥❣

∈ M2 ([0, T ]; R)✳

t T

❑❤✐ ➤ã✱ ❝❤ó♥❣

t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛

f (s)dBs =
0
❍➡♥ ♥÷❛✱ ♥Õ✉

I[[0,τ ]] (s)f (s)dBs .
0

ρ ❧➭ t❤ê✐ ➤✐Ó♠ ❞õ♥❣ ❦❤➳❝ ✈í✐ 0
τ

ρ

τ

ρ

f (s)dBs −

f (s)dBs =
ρ

τ, ❝❤ó♥❣ t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛

0

f (s)dBs .
0

❉Ô ❞➭♥❣ t❤✃② r➺♥❣
τ

T

f (s)dBs =
ρ
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✶✷✳

❝❤♦

0

ρ

τ

▲✃②

I]]ρ,τ ]] (s)f (s)dBs .

✭✶✳✶✸✮

0

f ∈ M2 ([0, T ]; R)

✈➭ ❧✃②

ρ, τ

❧➭ ❤❛✐ t❤ê✐ ➤✐Ó♠ ❞õ♥❣ s❛♦

T. ❑❤✐ ➤ã
τ

f (t)dBt = 0;

E
ρ
τ

f (t)dBt

E

2

τ

|f (t)|2 dt;

=E

ρ

ρ

✻


➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✶✸✳

❝❤♦

0

ρ

f ∈ M2 ([0, T ]; R)

▲✃②

τ

✈➭ ❧✃②

ρ, τ

❧➭ ❤❛✐ t❤ê✐ ➤✐Ó♠ ❞õ♥❣ s❛♦

T. ❑❤✐ ➤ã
τ

f (t)dB(t)|Fρ

E

= 0;

✭✶✳✶✹✮

ρ
2

τ

τ

f (t)dB(t) |Fρ

E

|f (t)|2 dt|Fρ .

=E

ρ

✭✶✳✶✺✮

ρ

➜Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤Þ♥❤ ❧ý tr➟♥ t❛ ❝➬♥ ❇æ ➤Ò s❛✉✿
▲✃②

❇æ ➤Ò ✶✳✶✳✶✹✳

0

τ

f ∈ M2 ([0, T ]; R)

T. ❑❤✐ ➤ã

✈➭ ❧✃②

τ

❧➭ t❤ê✐ ➤✐Ó♠ ❞õ♥❣ s❛♦ ❝❤♦

τ

f (s)dBs = I(τ )
0
tr♦♥❣ ➤ã

{I(t)}0

❍Ö q✉➯ ✶✳✶✳✶✺✳

❝❤♦

0

ρ

t T ❧➭ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❞➵♥❣ ❜✃t ➤Þ♥❤ ❝ñ❛

▲✃②

f, g ∈ M2 ([0, T ]; R) ✈➭ ❧✃② ρ, τ

τ

T. ❑❤✐ ➤ã

τ

τ

=E

❧➭ ❤❛✐ t❤ê✐ ➤✐Ó♠ ❞õ♥❣ s❛♦

f (s)g(s)ds|Fs .

ρ

ρ

tõ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✽✳

τ

g(s)dBs |Fρ

f (s)dBs

E

f

ρ

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✶✸ t❛ ❝ã

τ

4E

τ

g(s)dBs |Fρ

f (s)dBs
ρ

ρ
2

τ

−E

(f (s) + g(s))dBs |Fρ

=E
ρ
τ

(f (s) − g(s))dBs |Fρ
ρ
τ

(f (s) + g(s))2 ds|Fρ − E

=E

2

τ

ρ

(f (s) − g(s))2 ds|Fρ
ρ

τ

= 4E

f (s)g(s)ds|Fρ .
ρ

❱❐② t❛ ❝ã ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❇➞② ❣✐ê t❛ ♠ë ré♥❣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ■t➠ ➤è✐ ✈í✐ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ♥❤✐Ò✉
❝❤✐Ò✉✳ ▲✃②

{Bt = (Bt1 , · · · , Btm )}t

0 ❧➭ q✉➳ tr×♥❤ ❝❤✉②Ó♥ ➤➠♥❣ ❇r♦✇♥
✼

m✲❝❤✐Ò✉


ị tr st ủ

(, F, P)

ù ợ ớ ọ

{Ft }.

ý

ệ M2 ([0, T ]; Rdìm ) ọ tt q trì Rdìm trị ợ {Ft }ù
ợ

{f (t) = (fij (t))dìm }0

t T s
T

|f (s)|2 ds < .

E
0

ừ ề s ú t ý ệ

|A|

ết ủ tr

A

ứ

|A| =

trace(AT A).


ị ĩ

f M2 ([0, T ]; Rdìm )

ử ụ ý ệ ề tr

ú t ị ĩ tí t t ị ề ề
s


t
0

ột é t ột



dB 1

s









m
fd1 (s) ã ã ã fdm (s)
dBs

t

f (s)dBs =
0



f11 (s) ã ã ã f1m (s)

dề q trì ớ t tứ i tổ

ủ tí t ột ề

m

t

fij (s)dBsj .
j=1

0

õ r í t ột

{Ft }rt tụ Rd

trị r ú t ó tí t s
ị ý

s

0







f M2 ([0, T ]; Rdìm )



,

tờ ể ừ

T. ó


f (t)dB(t)|F

E

=0






2



f (t)dB(t) |F

E

|f (t)|2 dt|F .

=E

ị ợ s r từ ị ĩ tí t ề
ề ị ý ò ị ợ s r từ ị ý
ổ ề s



ổ ề

sử

{Bt1 }t

ề ộ


0





0

{Bt2 }t

f M2 ([0, T ]; R) ,

tờ ể ừ s

T. ó




f (s)dBs1

E

g(s)dBs2 |F





0 q trì ể ộ r

= 0.





tứ t



0 q trì ể ộ r ột ề ị tr

{Bt }t

st ủ
ọ q trì

(, F, P) {Ft }ù ợ

ý ệ

L1 (R+ ; Rd )

Rd trị ợ {Ft }ù ợ f = {f (t)}t

0 s

T

|f (t)|dt <

ớ ọ

T > 0.

0
ị ĩ

tr

t

ột q trì ột ề tụ ù ợ

x(t)

0 ợ ọ q trì t ế ó ó
t

x(t) = x(0) +

t

f (s)ds +
0

tr ó

f L1 (R+ ; R)





g(s)dBs ,



0

g L2 (R+ ; R).

ó ú t ó

Rd ì R+

ó

dx(t) ết
dx(t) = f (t)dt + g(t)dBt

ý ệ

x(t)



C 2,1 (Rd ì R+ ; R) t tt tự V (x, t) ị tr

tụ t ế

x

ột t ế t ế

V C 2,1 (Rd ì R+ ; R) t ết
Vt =

V
,
t

Vx =

V
V
,...,
x1
xd

2

V

2

Vxx =

V
xi xj

dìd

x1 x1

=


2V
xd x1

ããã

2

V
x1 xd




ããã



2V
xd xd






ế

V
x ;

V C 2,1 (R ì R+ ; R) tì Vx =

ị ý

Vxx =

tứ t ột ề sử

2V
x2 .

{x(t)}t

0 q trì t ớ



dx(t) = f (t)dt + g(t)dBt ,
tr ó

f L1 (R+ ; R) g L2 (R+ ; R). V C 2,1 (R ì R+ ; R) ó

V (x(t), t)

ũ q trì t ớ ợ

ị ở

1
dV (x(t), t) = Vt (x(t), t) + Vx (x(t), t)f (t) + Vxx (x(t), t)g 2 (t) dt
2

+Vx (x(t), t)g(t)dBt
ế t ú t trì tứ t ề ề

(B1 (t), ã ã ã , Bm (t))T , t

(, F, P) {Ft }ù ợ

ột q trì tụ

ợ ọ q trì t

x(t) = x(0) +

trị

{Ft }ù

ợ

t

f (s)ds +
0

g(s)dBs
0

f = (f1 , ã ã ã , fd )T L1 (R+ ; Rd )

ó ú t ó r

Rd

dề ế ó ó
t

tr ó

B(t) =

0 q trì ể ộ r mề ị

tr st ủ
ị ĩ





g = (gij )dìm L2 (R+ ; Rdìm ).

x(t) ó dx(t) ớ t

0 ết

dx(t) = f (t)dt + g(t)dBt .
ị ý

tứ t ề ề sử

{x(t)}t

ớ

dx(t) = f (t)dt + g(t)dBt ,



0 q trì t


tr♦♥❣ ➤ã
❑❤✐ ➤ã

f ∈ L1 (R+ ; Rd )

✈➭

g ∈ L2 (R+ ; Rd×m ).

V ∈ C 2,1 (Rd × R+ ; R)✳

▲✃②

V (x(t), t) ❝ò♥❣ ❧➭ q✉➳ tr×♥❤ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ■t➠ ✈í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ➤➢î❝

①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐

1
dV (x(t), t) = Vt (x(t), t)+Vx (x(t), t)f (t)+ trace g T (t)Vxx (x(t), t)g(t)

2
+ Vx (x(t), t)g(t)dBt .

dt

✭✶✳✷✷✮

❈❤ó♥❣ t❛ ❝ã ❜➯♥❣ ♥❤➞♥
❞t

dB1 dB2 · · ·

dBn

❞t

✵

✵

✵

···

✵

dB1

✵

❞t

✵

···

✵

dB2

✵

✵

❞t

···

✵

✳✳
✳

✳✳
✳

✳✳
✳

✳✳

✳

✳✳
✳

✳✳
✳

dBn

✵

✵

✵

···

❞t

❉♦ ➤ã

n

dxi (t)dxj (t) =

gik (t)gjk (t)dt.

✭✶✳✷✸✮

k=1

◆❣♦➭✐ r❛ ❝❤ó♥❣ t❛ ✈✐Õt ❝➠♥❣ t❤ø❝ ■t➠ ♥❤➢ s❛✉

dV (x(t), t) = Vt (x(t), t)dt + Vx (x(t), t)dx(t)
1
+ dxT (t)Vxx (x(t), t)dx(t).
2
◆Õ✉ ❝❤ó♥❣ t❛ ❧✃②

V (x, t) = x1 x2

✭✶✳✷✹✮

t❤× ✭✶✳✷✸✮ ✈➭ ✭✶✳✷✹✮ s✉② r❛

dx1 (t)x2 (t) = x1 (t)dx2 (t) + x2 (t)dx1 (t) + dx1 (t)dx2 (t)
n

= x1 (t)dx2 (t) + x2 (t)dx1 (t) +

gik (t)gjk (t)dt.

✭✶✳✷✺✮

k=1

❈➠♥❣ t❤ø❝ ✭✶✳✷✺✮ ❝ã ❞➵♥❣ ❦❤➳❝ ✈í✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ tõ♥❣ ♣❤➞♥ ❝➡ ❜➯♥

duv =

vdu + udv ♥Õ✉ ❝➯ u ✈➭ v ❦❤➯ ✈✐✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã ❝➠♥❣ t❤ø❝ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ tõ♥❣
♣❤➬♥ t➢➡♥❣ tù ❞➵♥❣ ❝➡ ❜➯♥ s❛✉✳
✶✶


➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✺

✭❈➠♥❣ t❤ø❝ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ tõ♥❣ ♣❤➬♥✮✳ ▲✃②

x(t), t

0

❧➭ q✉➳ tr×♥❤

y(t), t

0

❧➭ q✉➳ tr×♥❤

■t➠ ✶✲❝❤✐Ò✉ ✈í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❧➭

dx(t) = f (t)dt + g(t)dB(t),
tr♦♥❣ ➤ã

f ∈ L1 (R+ ; R)

✈➭

g ∈ L2 (R+ ; R1×m ).

▲✃②

♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ♣❤ï ❤î♣ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❣✐í✐ ♥é✐✳ ❑❤✐ ➤ã✱

d[x(t)y(t)] = y(t)dx(t) + x(t)dy(t),

✭✶✳✷✻✮

♥❣❤Ü❛ ❧➭

t

x(t)y(t) − x(0)y(0) =

t

x(s)dy(s),

y(s)[f (s)ds + g(s)dB(s)] +

✭✶✳✷✼✮

0

0

tr♦♥❣ ➤ã tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❝✉è✐ ❝ï♥❣ ❧➭ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ▲❡❜❡s❣✉❡✲❙t✐❡❧t❥❡s✳

❱Ý ❞ô ✶✳✷✳✻✳

▲✃②

B(t) ❧➭ q✉➳ tr×♥❤ ❝❤✉②Ó♥ ➤é♥❣ ❇r♦✇♥ 1✲❝❤✐Ò✉✳ ❚Ý♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥
t

B(s)dB(s).
0

➳♣ ❞ô♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ■t➠ ✈í✐ V (x, t) = x2 ✈➭ dx(t) = dB(t) t❛ ❝ã
dB 2 (t) = 2B(t)dB(t) + dt.
◆❣❤Ü❛ ❧➭✱

t
2

B (t) = 2

B(s)dB(s) + t,
0

❚õ ➤ã s✉② r❛

t
0

❱Ý ❞ô ✶✳✷✳✼✳

▲✃②

1
B(s)dB(s) = [B 2 (t) − t].
2

B(t) ❧➭ q✉➳ tr×♥❤ ❝❤✉②Ó♥ ➤é♥❣ ❇r♦✇♥ 1✲❝❤✐Ò✉✳ ❚Ý♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥
t

s

e− 2 +B(s) dB(s).
0

✶✷


➳♣ ❞ô♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ■t➠ ✈í✐ V (x, t) = e−

t
2 +x

✈➭

dx(t) = dB(t) t❛ ❝ã

t
t
1 t
1 t

de− 2 +B(t) = − e− 2 +B(t) dt + e− 2 +B(t) dB(t) + e− 2 +B(t) dt
2
2
t

= e− 2 +B(t) dB(t).
❉♦ ➤ã

t

✭✶✳✷✽✮

t

s

e− 2 +B(s) dB(s) = e− 2 +B(t) − 1.
0

✶✳✸

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♠♦♠❡♥t

❚r♦♥❣ ♠ô❝ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t❛ ➳♣ ❞ô♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ■t➠ ➤Ó ➢í❝ ❧➢î♥❣ ♠ét sè ❜✃t
➤➻♥❣ t❤ø❝ q✉❛♥ trä♥❣ ➤è✐ ✈í✐ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ tr♦♥❣ ➤ã ❝ã ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝
▼❛rt✐♥❣❛❧❡ ❞➵♥❣ ♠ò✳
❚r♦♥❣ s✉èt ♠ô❝ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❦ý ❤✐Ö✉

0

B(t) = (B1 (t), · · · , Bm (t))T , t

❧➭ q✉➳ tr×♥❤ ❝❤✉②Ó♥ ➤é♥❣ ❇r♦✇♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ①➳❝ s✉✃t ➤➬② ➤ñ

(Ω, F, P)✱ {Ft }t
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✶✳

0 ✲♣❤ï ❤î♣✳

●✐➯ sö

2. ▲✃② g ∈ M2 ([0, T ]; Rd×m ) s❛♦ ❝❤♦

p

T

|g(s)|p ds < ∞.

E
0
❑❤✐ ➤ã✱

p

T

p(p − 1)
2

g(s)dB(s)

E
0
◆Õ✉

p
2

T

p−2
2

T

|g(s)|p ds.

E

✭✶✳✷✾✮

0

p = 2 t❤× ➤➻♥❣ t❤ø❝ ①➯② r❛✳

➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✷✳

❱í✐ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝ñ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✶ t❛ ❝ã

p

t

E sup
0 t T

g(s)dB(s)
0

p3
2(p − 1)

p
2

T

p−2
2

T

|g(s)|p ds

E
0

➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞② ❧➭ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❇✉r❦❤♦❧❞❡r✲❉❛✈✐s✲●✉♥❞②✳
✶✸

✭✶✳✸✵✮


g L2 (R+ ; Rdìm ). ớ ỗ t



ị ý

0, t

t

x(t) =

t

g(s)dB(s)



|g(s)|2 ds.

A(t) =

0

0

p > 0 tồ t số cp , Cp

ó ớ ọ

ụ tộ s


p

cp E|A(t)| 2
ớ ọ

t

E

p

sup |x(s)|p

Cp E|A(t)| 2

0 s t



0. ó
p
cp =
2

p

,

Cp =

cp = 1,

32
p

p
2

Cp = 4
p2

cp = (2p)

,

Cp =

pp+1
2(p 1)p1

ế

0 < p < 2;

ế

p = 2;

ế

p > 2;

p
2

ị ý s t tứ rt ũ ó trò q trọ
tr ớ ợ tí
ị ý



g = (g1 , ã ã ã , gm ) L2 (R+ ; R1ìm )



T, ,



e .

số ó

t

P

sup
0 t T

0


g(s)dB(s)
2

t

|g(s)|2 ds >
0




❈❤➢➡♥❣ ✷
➛í❝ ❧➢î♥❣ ♠♦♠❡♥t ➤è✐ ✈í✐
♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐
♣❤➞♥ ■t➠
✷✳✶

P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ■t➠

●✐➯ sö

(Ω, F, P) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ①➳❝ s✉✃t ➤➬② ➤ñ✱ ✈í✐ ❧ä❝ {Ft }t

0 t❤á❛ ♠➲♥

❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ♥❣♦➵✐ trõ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ➤➷❝ ❜✐Öt✱
❝❤ó♥❣ t➠✐ ❦ý ❤✐Ö✉
❇r♦✇♥

m✲❝❤✐Ò✉

B(t) = (B1 (t), · · · , Bm (t))T , t

0 ❧➭ q✉➳ tr×♥❤ ❝❤✉②Ó♥ ➤é♥❣

①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ①➳❝ s✉✃t✳ ❱í✐

❤✐Ö✉

x0

❧➭ ♠ét ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

▲✃②

f : Rd × [t0 , T ] → Rd

✈➭

Rd ✲❣✐➳

trÞ✱

Ft0 ✲➤♦

t0 < T < ∞.

0

➤➢î❝✱ s❛♦ ❝❤♦

g : Rd × [t0 , T ] → Rd×m

❑ý

E|x0 |2 < ∞.

❧➭ ❤❛✐ ❤➭♠ ❇♦r❡❧✳ ❳Ðt

♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ■t➠ ❞➵♥❣

dx(t) = f (x(t), t)dt + g(x(t), t)dB(t),

✶✺

❦❤✐

t0

t

T

✭✷✳✶✮


ớ ề ệ

x(t0 ) = x0

ừ ị ĩ

trì t ớ trì tí s
t

x(t) = x0 +

t

f (x(s), s)ds +
t0

ị ĩ

g(x(s), s)dB(s);

t0

t

T.



t0
ột q trì

Rd

trị

{x(t)}t[t0 ,T ]

ợ ọ

ệ ủ trì ế ó tí t s





{x(t)} q trì tụ (Ft )ù ợ
f (ã, x(ã)) L1 ([t0 , T ]; Rd ) g(ã, x(ã)) L2 ([t0 , T ]; Rdìm ),
t [t0 , T ] ớ st

P trì ợ tỏ ớ ọ

P trì ợ ọ ó t ệ tr

[t0 , T ]

ế

x(t) x(t) ệ ủ trì tì
P {x(t) = x(t) t [t0 , T ]} = 1.
ờ ú t ỉ r ề ệ sự tồ t t ệ
ủ trì
ị ý

sử tồ t số

ề ệ t ớ ọ

K

x, y Rd





K

s

t [t0 , T ]

|f (x, t) f (y, t)|2 |g(x, t) g(y, t)|2
ề ệ t tế tí ớ ọ

ó tồ t t ệ





(x, t) Rd ì [t0 , T ]

|f (x, t)|2 |g(x, t)|2

x(ã) M2 ([t0 , T ]; Rd ).

K|x y|2 .

K(1 + |x|2 ).
x(t)



ủ trì


❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✸✳

●✐➯ sö ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t➝♥❣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✭✷✳✹✮ ➤ó♥❣✳ ◆Õ✉

x(t)

❧➭ ♥❣❤✐Ö♠

❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✷✳✶✮ t❤×

E

(1 + 3E|x0 |2 )e3K(T −t0 )(T −t0 +4) .

sup |x(t)|2

✭✷✳✺✮

t0 t T
❉♦ ➤ã✿

x(·) ∈ M2 ([t0 , T ]; Rd ).

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱í✐ ♠ä✐ sè ♥❣✉②➟♥

n

1, ①➳❝ ➤Þ♥❤ t❤ê✐ ➤✐Ó♠ ❞õ♥❣

τn = T ∧ inf{t ∈ [t0 , T ] : |x(t)|
❘â r➭♥❣✱

τn ↑ T

xn (t) = x(t ∧ τn )

✭❤✳❝✳❝✮✳ ➜➷t

n}.
t ∈ [t0 , T ].

✈í✐

❑❤✐ ➤ã✱

xn (t)

t❤á❛ ♠➲♥ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

t

t

f (xn (s), s)I[[t0 ,τn ]] (s)ds +

xn (t) = x0 +

g(xn (s), s)I[[t0 ,τn ]] (s)dB(s).

0

0

|a + b + c|2

❙ö ❞ô♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥

3(|a|2 + |b|2 + |c|2 ), ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝

❍♦❧❞❡r✱ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭✷✳✹✮ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã

t
2

|xn (t)|

2

(1 + |xn (s)|2 )ds

3|x0 | + 3K(t − t0 )
t0

2

t

+3

g(xn (s), s)I[[t0 ,τn ]] (s)dBs .
t0

❉♦ ➤ã✱ t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✷ ✈➭ ✭✷✳✹✮ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã

t

E

2

2

sup |xn (s)|

(1 + E|xn (s)|2 )ds

3E|x0 | + 3K(T − t0 )

t0 s t

t0
t

+ 12E

|g(xn (s), s)|2 I[[t0 ,τn ]] (s)ds

t0
t
2

(1 + E|xn (s)|2 )ds.

3E|x0 | + 3K(T − t0 + 4)

t0
❚õ ➤ã t❛ ❝ã

t

1+E

2

sup |xn (s)|

2

(1 + E|xn (s)|2 )ds

3E|x0 | + 3K(T − t0 )

t0 s t

t0
t
2

(1 + E|xn (s)|2 )ds.

1 + 3E|x0 | + 3K(T − t0 + 4)
t0
✶✼

ụ t tứ r t ó
(1 + 3E|x0 |2 )e3K(T t0 +4)(T t0 ) .

sup |xn (s)|2

1+E

t0 s T
ó

E


(1 + 3E|x0 |2 )e3K(T t0 +4)(T t0 ) .

sup |x(s)|2
t0 s n

n t ó ợ t ó ề ứ

ứ ị ý

í t



x(t) x(t) ệ ủ

trì ừ ổ ề tì ệ ề tộ

M2 ([t0 , T ]; Rd )

ó

t

x(t) x(t) =

t

[f (x(s), s) f (x(s), s)]ds +

[g(x(s), s) g(x(s), s)]dBs .

t0

t0

ử ụ t tứ r ị ý ề ệ t t ó

t

E

2

sup |x(s) x(s)|

2K(T + 4)

t0 s t

sup |x(r) x(r)|2 ds.

E

t0 r s

t0

ử ụ t tứ r s r

sup |x(s) x(s)|2

E
ĩ

x(t) = x(t)

= 0.

t0 s t
ớ ọ t0

t

T

í t ợ

ứ
ự tồ t

t

x0 (t) x0

ớ

n = 1, 2 ã ã ã

t

xn (t) = x0 +

t

f (xn1 (s), s)ds +

g(xn1 (s), s)dBs

t0
ớ ọ

ị ỉ Pr



t0

t [t0 , T ]. õ r x0 M2 ([t0 , T ]; Rd ) q

ú t ũ ó tể ỉ r

xn (ã) M2 ([t0 , T ]; Rd ) ì từ t ó
t

E|xn (t)|2

E|xn1 (s)|2 ds,

c1 + 3K(T + 1)
t0





✈í✐

c1 = 3E|x0 |2 + 3KT (T + 1). ❚õ ✭✷✳✼✮ ❝❤ó♥❣ t❛ t❤✃② r➺♥❣ ✈í✐ k

1,

t
2

max E|xn (t)|

1 n k

c1 + 3K(T + 1)

max E|xn−1 (s)|2 ds

t0 1 n k

t

E|x0 |2 + max E|xn (s)|2 ds

c1 + 3K(T + 1)

1 n k

t0

t

c2 + 3K(T + 1)
tr♦♥❣ ➤ã

1 n k

k

t0 1 n k

c2 = c1 + 3KT (T + 1)E|x0 |2 . ➳♣ ❞ô♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ●r♦♥✇❛❧❧ t❛ ❝ã
max E|xn (t)|2

❱×

max E|xn (s)|2 ds

c2 e3KT (T +1) .

❜✃t ❦ú t❛ ❝ã

E|xn (t)|2

c2 e3KT (T +1)

✈í✐ ♠ä✐

t0

t

T, n

1.

✭✷✳✽✮

❚❛ ❧➵✐ ❝ã✱

|x1 (t) − x0 (t)|2 = |x1 (t) − x0 |2
2

t

2

2

t

g(x0 , s)dBs .

f (x0 , s)ds + 2
t0

t0
▲✃② ❦ú ✈ä♥❣ ❤❛✐ ✈Õ✱ sö ❞ô♥❣ ✭✷✳✹✮ t❛ ❝ã

E|x1 (t) − x0 (t)|2
2K(t − t0 )2 (1 + E|x0 |2 ) + 2K(t − t0 )(1 + E|x0 |2 )
tr♦♥❣ ➤ã

✭✷✳✾✮

C = 2K(T − t0 )(T − t0 + 1)(1 + E|x0 |2 ). ❇➞② ❣✐ê ❝❤ó♥❣ t❛ sÏ ❝❤ø♥❣

♠✐♥❤ r➺♥❣ ✈í✐ ♠ä✐

n

0
2

E|xn+1 (t) − xn (t)|
✈í✐

C,

C[M (t − t0 )]n
n!

✈í✐ ♠ä✐

t0

t

T,

✭✷✳✶✵✮

M = 2K(T − t0 + 1). ❈❤ó♥❣ t❛ sÏ ❝❤Ø r❛ ➤✐Ò✉ ♥➭② ❜➺♥❣ q✉② ♥➵♣✳ ❘â r➭♥❣

✭✷✳✶✵✮ ➤ó♥❣ ✈í✐

n = 0. ●✐➯ sö ✭✷✳✶✵✮ ➤ó♥❣ ➤Õ♥ n
✶✾

0 t❛ sÏ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✭✷✳✶✵✮


➤ó♥❣ ✈í✐

n + 1. ❚❤❐t ✈❐②✱
2

t
2

|xn+2 (t) − xn+1 (t)|

[f (xn+1 (s), s) − f (xn (s), s)]ds

2
t0
t

2

[g(xn+1 (s), s) − g(xn (s), s)]dBs .

+2

✭✷✳✶✶✮

t0
▲✃② ❦ú ✈ä♥❣ ❤❛✐ ✈Õ ✈➭ sö ❞ô♥❣ ✭✷✳✸✮ ✈➭ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ t❛ ❝ã

t
2

|xn+1 (s), s) − xn (s)|2 ds

2K(t − t0 + 1)E

E|xn+2 (t)−xn+1 (t)|

t0
t

E|xn+1 (s) − xn (s)|2 ds

M
t0
t

C[M (t − t0 )]n+1
C[M (s − t0 )]n
ds =
.
n!
(n + 1)!

M
t0
◆❣❤Ü❛ ❧➭ ✭✷✳✶✵✮ ➤ó♥❣ ✈í✐
✈í✐ ♠ä✐

n

n + 1✳ ❉♦ ➤ã✱ ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ q✉② ♥➵♣ ✭✷✳✶✵✮ ➤ó♥❣

0. ❚❤❛② n tr♦♥❣ ✭✷✳✶✶✮ ❜ë✐ n − 1 t❛ ❝ã
t
2

sup |xn+1 (t) − xn (t)|

|xn (s) − xn−1 (s)|2 ds

2K(T − t0 )

t0 t T

t0
2

t

[g(xn (s), s) − g(xn−1 (s), s)]dBs .

+ 2 sup
t0 t T

t0

▲✃② ❦ú ✈ä♥❣ ❤❛✐ ✈Õ ✈➭ sö ❞ô♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✷ ✈➭ ✭✷✳✶✵✮✱ t❛ ❝ã

t
2

E sup |xn+1 (t) − xn (t)|

E|xn (s) − xn−1 (s)|2 ds

2K(T − t0 + 4)

t0 t T

t0
t

4M
t0

n

4C[M (t − t0 )]n+1
C[M (s − t0 )]
ds =
.
n!
(n + 1)!

◆➟♥✱

1
P sup |xn+1 (t) − xn (t)| > n
2
t0 t T
❱×

∞

n=0

4C[4M (t − t0 )]n
.
(n)!

4C[4M (t − t0 )]n
< ∞.
(n)!

❚õ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② ✈➭ ❇æ ➤Ò ❇♦r❡❧✲❈❛♥t❡❧❧✐ s✉② r❛ ❤➬✉ ❤Õt
❞➢➡♥❣

ω∈Ω

n0 = n0 (ω) s❛♦ ❝❤♦
sup |xn+1 (t) − xn (t)|
t0 t T
✷✵

1
2n

✈í✐ ♠ä✐

n

n0 .

tå♥ t➵✐ sè


ừ ó s r ớ st tổ r

n1

[xi+1 (t) xi (t)] = xn (t)

x0 (t) +
i=0
ộ tụ ề ớ

t [0, T ]. ý ệ ớ x(t). õ r x(t) tụ Ft ù

ợ t từ s r ớ ọ
ó

1 tr

L2 .

xn (t) x(t) tr L2 n tr t ó
E|x(t)|2

ó

t, {xn (t)}n

c2 e3KT (T +1)

ớ ọ

t0

t

T.

x(ã) M2 ([t0 , T ]; Rd ). P ò ú t ứ x(t) tỏ

trì t

t

f (xn (s), s)ds

E

2

t

t0

f (x(s), s)ds
t0

t

g(xn (s), s)dBs

+E

2

t

t0

g(x(s), s)dBs
t0

T

E|xn (s) x(s)|2 ds 0

K(T t0 + 1)



n .

t0


n từ t ó
t

x(t) = x0 +

t

f (x(s), s)ds +
t0

g(x(s), s)dBs

ế

t0

t

T.

t0

t ó ề ứ



tứ ớ ợ t

r ụ ú t tết r

x(t), t0

t ủ trì ớ trị

ợ t
ị tr

p ủ ệ

R d ì R+

ý ệ

t

x(t0 ) = x0

T

ệ

ú t sẽ ớ

C 2,1 (Rd ì [0; )) ớ

s tụ ố ớ ột




➤è✐ ✈í✐ t✳ ❱í✐ ♠ç✐

V ∈ C 2,1 (Rd × [0; ∞))✳ ❳➳❝ ➤Þ♥❤ t♦➳♥ tö L ❧✐➟♥ ❦Õt ✈í✐ ✭✷✳✶✮

∂V
LV (x, t) =
+
∂t

∂ 2V
[g(x, t)g T (x, y)]ij
∂xi xj

∂V
1
fi (x, t) +
∂xi
2

1
= Vt (x, t) + Vx (x, t)f (x, t) + trace[g T Vxx g(x, t)].
2
➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞② ❝❤♦ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ➢í❝ ❧➢î♥❣ ♠♦♠❡♥t ❜❐❝

p ➤è✐ ✈í✐ ♥❣❤✐Ö♠

❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✷✳✶✮✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✳✶✳

❱í✐ ♠ç✐

✈➭ ❝➳❝ ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣

p > 0✳ ●✐➯ sö tå♥ t➵✐ ❤➭♠ sè V ∈ C 2,1 (Rd ×[0; ∞); R+ )

α1 , α2

s❛♦ ❝❤♦ ❝➳❝ ❤Ö

f (x, t), g(x, t)

❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

✭✷✳✶✮ t❤á❛ ♠➲♥

✭✐✮

✭✐✐✮

α1 |x|p

V (x, t);

LV (x, t)

α2 V (x, t).

❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ ♠ä✐

t

0 t❛ ❝ã✳
E|X(t)|p

tr♦♥❣ ➤ã

✭✷✳✶✷✮

K = EV (x0 , 0).

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱í✐ ♠ç✐ sè tù ♥❤✐➟♥

n > 0✱ ①Ðt t❤ê✐ ➤✐Ó♠ ❞õ♥❣

τn = inf{t
❚❛ ❝ã

K α2 t
e ,
α1

0 : |X(t)|

n}.

limn→∞ τn = ∞✳ ➳♣ ❞ô♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ■t➠ t❛ ❝ã

e−α2 t∧τn V (X(t ∧ τn ), t ∧ τn ) = V (x0 , 0)
t∧τn

+

[−α2 V (X(s), s) + LV (X(s), s)]e−α2 s ds

0

t∧τn

+

e−α2 s Vx (X(s), s)g(X(s), s)dB(s)

0
t∧τn

V (x0 , 0) +

e−αs Vx (X(s), s)g(X(s), s)dB(s).

0
✷✷

✭✷✳✶✸✮