Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu suy rộng trong khoogn gian bmêtric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MAI XUÂN MÃI

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA CÁC ÁNH XẠ CYCLIC
CO YẾU SUY RỘNG TRONG
KHÔNG GIAN b-MÊTRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MAI XUÂN MÃI

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA CÁC ÁNH XẠ CYCLIC
CO YẾU SUY RỘNG TRONG
KHÔNG GIAN b-MÊTRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ:

60.46.01.02

Cán bộ hướng dẫn khoa học
PGS. TS. ĐINH HUY HOÀNG

NGHỆ AN - 2015


1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Mở đầu

2

1 Không gian b-mêtric

5

1.1

Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Không gian b-mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu

và co yếu suy rộng trong không gian b-mêtric

11

2.1

Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu . . . 11

2.2

Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu kiểu
Chatterjea và Kannan suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Kết luận

40

Tài liệu tham khảo

41

2

MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quan
trọng của Giải tích. Nó có nhiều ứng dụng trong Toán học và nhiều ngành
khoa học kĩ thuật khác. Kết quả quan trọng đầu tiên trong lý thuyết điểm
bất động là nguyên lý ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ của
Banach (1922). Người ta đã mở rộng nguyên lý này cho nhiều kiểu ánh xạ
và nhiều loại không gian. Có một điều cần lưu ý là các ánh xạ co (kiểu
Banach) trong không gian mêtric là liên tục. Từ đó, nảy sinh vấn đề là
mở rộng nguyên lý ánh xạ co của Banach cho các ánh xạ không liên tục.
Để giải quyết vấn đề này, vào năm 1968, Kannan [5] và vào năm 1972,
Chatterjea [2] lần lượt đưa ra khái niệm ánh xạ co kiểu Kannan và ánh xạ
co kiểu Chatterjea và chứng minh sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ
này trong không gian mêtric đầy đủ. Sau đó, vào năm 2009, Choudhury
[3] đã đưa ra khái niệm ánh xạ co kiểu Chatterjea suy rộng (hay ánh xạ
co yếu kiểu Chatterjea) và chứng minh sự tồn tại điểm bất động của ánh
xạ này trong không gian mêtric đầy đủ. Cũng theo hướng mở rộng nguyên
lý Banach kiểu này, vào năm 2003, Kirk và các cộng sự [8] đã giới thiệu
khái niệm ánh xạ co xyclic và nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của nó
trong không gian mêtric.
Từ đó đến nay, vấn đề về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic
thoả mãn điều kiện co nào đó được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên
cứu. Năm 2012, Karapinar và các cộng sự [6] đã đưa ra một số kết quả
về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea
và co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian mêtric đầy đủ. Vào


3

năm 1993, Czerwik [4] đã đưa ra khái niệm không gian b-mêtric và nghiên
cứu sự tồn tại điểm bất động trong không gian này. Trong thời gian gần
đây, vấn đề về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co suy rộng trong
không gian b-mêtric cũng được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu
[7], [9], [12].
Để tập dượt nghiên cứu khoa học và tìm hiểu về lý thuyết điểm bất
động, chúng tôi tiếp cận các vấn đề này nhằm nghiên cứu sự tồn tại điểm
bất động của các ánh xạ cyclic co yếu suy rộng trong không gian b-mêtric,
mở rộng một số kết quả chính trong tài liệu [6], [10], [11] cho không gian

b-mêtric.
Với mục đích đó, luận văn của chúng tôi có nhan đề là “Về sự tồn tại
điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu suy rộng trong không
gian b-mêtric” và được trình bày thành hai chương.
Chương một, đầu tiên chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả
cơ bản về không gian mêtric, giới hạn trên, giới hạn dưới và một số tính
chất của nó. Sau đó, trình bày khái niệm về không gian b-mêtric, một số
ví dụ và tính chất của không gian b-mêtric cần dùng trong luận văn.
Chương hai, trong mục thứ nhất, chúng tôi trình bày các khái niệm ánh
xạ co và co yếu kiểu Kannan, kiểu Chatterjea trong không gian mêtric.
Sau đó, chúng tôi đưa ra khái niệm ánh xạ cyclic co yếu kiểu Kannan, kiểu
Chatterjea trong không gian b-mêtric và đưa ra một số kết quả mới về sự
tồn tại điểm bất động của các ánh xạ này trong không gian b-mêtric. Ở
mục thứ hai, đầu tiên chúng tôi đưa ra khái niệm ánh xạ cyclic co yếu
kiểu Chatterjea và Kannan suy rộng trong không gian b-mêtric. Tiếp theo,
chúng tôi đưa ra một số kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động của các
ánh xạ này trong không gian b-mêtric. Các kết quả này là mở rộng của
một số kết quả chính trong [6], [10] và [11]. Ví dụ 2.2.12 và Ví dụ 2.2.13
minh hoạ cho Định lí 2.2.2 và chứng tỏ Định lí 2.2.2 là mở rộng thực sự

của Định lí 2.9 trong [6].


4

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình và nghiêm khắc của Thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng, nhờ
đó tác giả đã học tập được nhiều điều bổ ích trong quá trình học tập và
nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy.
Tác giả xin được cảm ơn Phòng đào tạo Sau đại học, Ban Chủ nhiệm
Khoa Sư phạm Toán học - Trường Đại học Vinh. Đồng thời tác giả cũng
xin cảm ơn Ban giám hiệu, Tổ Toán trường THPT Phan Đình Phùng Quảng Bình đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học
tập.
Tác giả xin được cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo trong bộ môn Toán
Giải tích cùng các Thầy giáo, Cô giáo trong Khoa Sư phạm Toán học Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt
thời gian học tập.
Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, các bạn
học viên lớp Cao học khóa 21 - Chuyên ngành Toán Giải Tích đã cộng tác,
giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do còn nhiều hạn chế về kiến thức và
thời gian nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong quý
Thầy Cô và bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn.

Vinh, tháng 07 năm 2015
Tác giả


5

CHƯƠNG 1

KHÔNG GIAN b-MÊTRIC

Chương này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của không
gian b-mêtric làm cơ sở cho việc trình bày chương 2.

1.1

Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gian
mêtric, giới hạn trên, giới hạn dưới, . . . mà chúng cần dùng trong luận văn.
1.1.1 Định nghĩa. ([1]) Giả sử X là tập khác rỗng và d : X x X −→ R.
Hàm d được gọi là mêtric trên X nếu với mọi x, y, z ∈ X các điều kiện
sau được thoả mãn
1) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y ;
2) d(x, y) = d(y, x);
3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Tập hợp X cùng với một mêtric d trên nó được gọi là không gian mêtric
và được kí hiệu bởi (X, d) hoặc X .
1.1.2 Định nghĩa. ([1]) Giả sử {xn } là dãy số thực bị chặn. Khi đó, tồn
tại inf sup{xn+k : k = 0, 1, . . .} ∈ R và sup inf{xn+k : k = 0, 1, . . .} ∈ R.
n

n

Ta gọi inf sup{xn+k : k = 0, 1, . . .}, sup inf{xn+k : k = 0, 1, . . .} tương
n

n

ứng là giới hạn trên, giới hạn dưới của dãy {xn } khi n → ∞ và kí hiệu
tương ứng bởi lim sup xn , lim inf xn .
n→∞

n→∞


6

Nếu dãy {xn } không bị chặn trên (không bị chặn dưới) thì ta đặt

lim sup xn = +∞ (tương ứng, lim inf xn = −∞).
n→∞

n→∞

Chú ý. Trong tài liệu này ta viết ∞ thay cho +∞.
1.1.3 Bổ đề. ([1]) Với mọi dãy số thực {xn }, ta có
1) lim inf xn ≤ lim sup xn ;
n→∞

n→∞

2) Tồn tại lim xn = a ∈ R khi và chỉ khi tồn tại lim inf xn = a và
n→∞

n→∞

lim sup xn = a.
n→∞

1.1.4 Bổ đề. ([1]) Giả sử {xn } và {yn } là các dãy số thực bị chặn. Khi
đó, ta có
1) lim sup(xn + yn ) ≤ lim sup xn + lim sup yn ;
n→∞

n→∞

n→∞

2) lim inf (xn + yn ) ≥ lim inf xn + lim inf yn .
n→∞

n→∞

n→∞

1.1.5 Bổ đề. Giả sử f : R −→ R là hàm đơn điệu tăng và liên tục, {xn }
là dãy bị chặn trong R. Khi đó, ta có
1) lim sup f (xn ) ≤ f (lim sup xn );
n→∞

n→∞

2) lim inf f (xn ) ≥ f (lim inf xn ).
n→∞

n→∞

Chứng minh. 1) Đặt un = sup{xn+k : k = 0, 1, . . .}. Khi đó,

lim sup xn = inf un = lim un := α
n

n→∞

n→∞

và xn ≤ un với mọi n = 1, 2, . . .. Vì f đơn điệu tăng nên f (xn ) ≤ f (un )
với mọi n = 1, 2, . . .. Từ bất đẳng thức này suy ra

lim sup f (xn ) ≤ lim sup f (un ).
n→∞

n→∞

Mặt khác, vì f liên tục và lim un = α nên
n→∞

f (lim sup xn ) = f (α) = lim f (un ) = lim sup f (un ).
n→∞

n→∞

n→∞

Kết hợp với (1.1) suy ra

lim sup f (xn ) ≤ f (lim sup xn ).
n→∞

n→∞

Khẳng định 2) được chứng minh tương tự.

(1.1)


7

1.2

Không gian b-mêtric

Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính
chất của không gian b-mêtric.
1.2.1 Định nghĩa. ([4]) Giả sử X là tập hợp khác rỗng và số thực s ≥ 1.
Hàm d : X x X −→ [0, ∞) được gọi là b-mêtric nếu với mọi x, y, z ∈ X ,
ta có
1) d(x, y) = 0 ⇔ x = y ;
2) d(x, y) = d(y, x);
3) d(x, y) ≤ s[d(x, z) + d(z, y)] (bất đẳng thức tam giác).
Tập X cùng với một b-mêtric trên nó được gọi là không gian b-mêtric với
tham số s, nói gọn là không gian b-mêtric và được kí hiệu bởi (X, d) hoặc

X.
Chú ý. 1) Từ đây về sau, khi nói tới không gian b-mêtric ta luôn hiểu
tham số của nó là s ≥ 1.
2) Từ định nghĩa không gian mêtric và không gian b-mêtric ta thấy
rằng, không gian mêtric là trường hợp đặc biệt của không gian b-mêtric

khi s = 1.
Ví dụ sau đây cho thấy rằng, lớp các không gian b-mêtric thực sự rộng
hơn lớp các không gian mêtric.
1.2.2 Ví dụ. 1) ([4]) Giả sử (X, ρ) là không gian mêtric và d : X x X −→

[0, ∞) là hàm được cho bởi
d(x, y) = (ρ(x, y))2

∀x, y ∈ X.

Khi đó, d là b-mêtric với s = 2.
2) ([4]) Giả sử X = R và trên R ta xét mêtric thông thường. Ta xác
định hàm d : R x R −→ [0, ∞) bởi

d(x, y) = |x − y|2 ∀x, y ∈ R.


8

Khi đó, d là b-mêtric với s = 2 (theo 1)) nhưng d không là mêtric trên R
vì

d(1, −2) = 9 > 5 = d(1, 0) + d(0, −2).
3) ([7]) Cho X = {0, 1, 2} và hàm d : X x X −→ [0, ∞) được xác định
bởi

d(0, 0) = d(1, 1) = d(2, 2) = 0
d(0, 1) = d(1, 0) = d(1, 2) = d(2, 1) = 1
và d(2, 0) = d(0, 2) = m ≥ 2.

m
[d(x, z) + d(z, y)] với mọi x, y, z ∈ X . Do đó, (X, d)
2
m
là không gian b-mêtric với tham số s =
≥ 1.
2
Tuy nhiên, khi m > 2 thì bất đẳng thức tam giác thông thường không

Khi đó, d(x, y) ≤

còn đúng và vì thế (X, d) không phải là không gian mêtric.
1.2.3 Định nghĩa. ([4]) Giả sử {xn } là dãy trong không gian b-mêtric

(X, d).
Dãy {xn } được gọi là b-hội tụ (nói gọn là hội tụ) tới x ∈ X và được kí
hiệu bởi xn → x hoặc lim xn = x nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên
n→∞

n0 sao cho d(xn , x) < ε với mọi n ≥ n0 .
Nói cách khác, xn → x khi và chỉ khi d(xn , x) → 0 khi n → ∞.
Dãy {xn } được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên

n0 sao cho d(xn , xm ) < ε với mọi n, m ≥ n0 .
Không gian b-mêtric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong nó
đều hội tụ.
1.2.4 Bổ đề. Giả sử {xn } là dãy trong không gian b-mêtric (X, d) và

xn → x ∈ X . Khi đó, ta có
1) {xn } là dãy Cauchy;

2) x là duy nhất;
1
3) ([9]) d(x, y) ≤ lim inf d(xn , y) ≤ lim sup d(xn , y) ≤ sd(x, y) với
n→∞
s
n→∞
mọi y ∈ X .


9

Chứng minh. 1) Vì xn → x nên với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên n0
sao cho

d(xn , x) <

ε
2s

∀n ≥ n0 .

Từ đó suy ra

d(xn , xm ) ≤ s[d(xn , x) + d(x, xm )] < ε ∀n, m ≥ n0 .
Do đó, {xn } là dãy Cauchy.
2) Giả sử xn → x và xn → y . Khi đó, d(xn , x) → 0 và d(xn , y) → 0 khi

n → ∞. Theo bất đẳng thức tam giác, ta có
d(x, y) ≤ s[d(xn , x) + d(xn , y)] ∀n = 1, 2, . . .
Cho n → ∞ ta được

0 ≤ d(x, y) ≤ s[ lim d(xn , x) + lim d(xn , y)] = 0.
n→∞

n→∞

Do đó d(x, y) = 0, tức là x = y . Vậy x là duy nhất.
3) Với mọi y ∈ X , ta có

d(x, y) ≤ s[d(x, xn ) + d(xn , y)] ∀n = 1, 2, . . .
Từ đó suy ra

1
d(x, y) − d(x, xn ) ≤ d(xn , y) ≤ s[d(xn , x) + d(x, y)]
s
với mọi n = 1, 2, . . .
Trong bất đẳng thức trên cho n → ∞ và sử dụng lim d(xn , x) = 0, ta
n→∞

được

1
d(x, y) ≤ lim inf d(xn , y) ≤ lim sup d(xn , y) ≤ sd(x, y).
n→∞
s
n→∞

1.2.5 Bổ đề. ([4]) Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric, {xn } và {yn } là
hai dãy trong X lần lượt hội tụ tới x và y . Khi đó, ta có

1
d(x, y) ≤ lim inf d(xn , yn ) ≤ lim sup d(xn , yn ) ≤ s2 d(x, y).
2
n→∞
s
n→∞
Đặc biệt, nếu x = y thì lim d(xn , yn ) = 0.
n→∞

(1.2)


10

Chứng minh. Theo bất đẳng thức tam giác, ta có

d(x, y) ≤ s[d(xn , x) + d(xn , y)]
≤ sd(xn , x) + s2 [d(xn , yn ) + d(yn , y)] ∀n = 1, 2, . . .
Do đó,

1
1
d(x,
y)
−
d(xn , x) − d(yn , y) ≤ d(xn , yn ) ∀n = 1, 2, . . .
s2
s

(1.3)

Vì xn → x, yn → y nên

lim inf d(xn , x) = lim sup d(xn , x) = lim d(xn , x) = 0,
n→∞

n→∞

n→∞

lim inf d(yn , y) = lim sup d(yn , y) = lim d(yn , y) = 0.
n→∞

n→∞

n→∞

Do đó, lấy lim inf hai vế của (1.3), ta được
n→∞

1
d(x, y) ≤ lim inf d(xn , yn ).
n→∞
s2

(1.4)

Tương tự như trên, ta có

d(xn , yn ) ≤ s[d(xn , x) + d(x, yn )]

≤ sd(xn , x) + s2 [d(x, y) + d(y, yn )] ∀n = 1, 2, . . .

(1.5)

Do đó,

lim sup d(xn , yn ) ≤ s2 d(x, y).

(1.6)

n→∞

Từ (1.4) và (1.6) suy ra (1.2).
1.2.6 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric và f : X −→ X .
1) Ánh xạ f được gọi là liên tục nếu mọi dãy {xn } trong X mà xn → x
ta có f xn → f x, ở đây và sau này ta viết f x thay cho f (x) với mọi x ∈ X .
2) Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu f x = x.
3) Tập con Y của X được gọi là đóng nếu mọi dãy {xn } ⊂ Y mà

xn → x ∈ X thì x ∈ Y .


11

CHƯƠNG 2
VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ
CYCLIC CO YẾU VÀ CO YẾU SUY RỘNG TRONG
KHÔNG GIAN b-MÊTRIC

Trong chương này, chúng tôi đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm

bất động của các ánh xạ cyclic thoả mãn điều kiện co yếu và co yếu suy
rộng trong không gian b-mêtric.

2.1

Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic
co yếu

Trong mục này, chúng tôi đưa ra khái niệm ánh xạ cyclic co yếu kiểu
Kannan, kiểu Chatterjea và đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm bất
động của các ánh xạ này trong không gian b-mêtric.
2.1.1 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian mêtric. Ánh xạ f : X −→

X được gọi là
1) ([5]) Co kiểu Kannan nếu tồn tại α ∈ 0,

1
2

sao cho với mọi x, y ∈

X , ta có
d(f x, f y) ≤ α[d(x, f x) + d(y, f y)].
2) ([2]) Co kiểu Chatterjea nếu tồn tại α ∈

0,

1
2

sao cho với mọi


12

x, y ∈ X , ta có
d(f x, f y) ≤ α[d(x, f y) + d(y, f x)].
2.1.2 Định nghĩa. ([3]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric và ψ : [0, ∞)2 −→

[0, ∞) là hàm liên tục sao cho ψ(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y = 0. Khi
đó, ánh xạ f : X −→ X được gọi là
1) Co yếu kiểu Kannan nếu với mọi x, y ∈ X , ta có

d(f x, f y) ≤

1
[d(x, f x) + d(y, f y)] − ψ(d(x, f x), d(y, f y)).
2

2) Co yếu kiểu Chatterjea nếu với mọi x, y ∈ X , ta có

d(f x, f y) ≤

1
[d(x, f y) + d(y, f x)] − ψ(d(x, f y), d(y, f x)).
2

Ta kí hiệu F1 là tập tất cả các hàm ϕ : [0, ∞)2 −→ [0, ∞) nửa liên
tục dưới lim inf ϕ(xn , yn ) ≥ ϕ(lim inf xn , lim inf yn ) ∀(xn , yn ) ∈ [0, ∞)2
n→∞

n→∞

n→∞

và ϕ(x, y) = 0 ⇔ x = y = 0.
2.1.3 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric; A1 , A2 , . . . , Am
m
là các tập con khác rỗng của X và f : ∪m
i=1 Ai −→ ∪i=1 Ai là ánh xạ cyclic,

tức là f (Ai ) ⊂ Ai+1 với mọi i = 1, 2, . . . , m, trong đó Am+1 = A1 . Khi đó,
1) Ánh xạ f được gọi là cyclic co yếu kiểu Kannan với hằng số α nếu
1 1
tồn tại α ∈ 0, min
,
và ϕ ∈ F1 sao cho
2 s

d(f x, f y) ≤ α[d(x, f x) + d(y, f y)] − ϕ(d(x, f x), d(y, f y))

(2.1)

với mọi x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, . . . , m.
2) Ánh xạ f được gọi là cyclic co yếu kiểu Chatterjea với hằng số α nếu
1
tồn tại α ∈ 0, 4 và ϕ ∈ F1 sao cho
2s

d(f x, f y) ≤ α[d(x, f y) + d(y, f x)] − ϕ(d(x, f y), d(y, f x))

(2.2)

với mọi x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, . . . , m.
Nhận xét. Trong Định nghĩa 2.1.3, nếu (X, d) là không gian mêtric,
1
A1 = A2 = · · · = Am = X và α = thì ánh xạ cyclic co yếu kiểu Kannan
2


13

trở thành ánh xạ co yếu kiểu Kannan, ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea
trở thành ánh xạ co yếu kiểu Chatterjea.
2.1.4 Định lí. Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric đầy đủ; A1 , A2 , . . . , Am
là các tập con đóng khác rỗng của X sao cho X = ∪m
i=1 Ai và f : X −→ X
1 1
,
.
là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Kannan với hằng số α ∈ 0, min
2 s
Khi đó, f có duy nhất một điểm bất động z ∈ ∩m
i=1 Ai .
Chứng minh. Lấy x0 ∈ X và đặt f xn = xn+1 , với mọi n = 0, 1, . . .. Khi
đó, nếu tồn tại n0 ∈ N sao cho xn0 +1 = xn0 thì ta có xn0 +1 = f xn0 = xn0 .
Do đó, xn0 là điểm bất động của f .
Giả sử xn = xn+1 với mọi n = 0, 1, 2, . . .. Vì X = ∪m
i=1 Ai nên với mỗi

n = 1, 2, . . . tồn tại in ∈ {1, 2, . . . , m} sao cho xn−1 ∈ Ain và
xn = f xn−1 ∈ Ain +1 . Do f là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Kannan nên
d(xn , xn+1 ) = d(f xn−1 , f xn )
≤ α[d(xn−1 , xn ) + d(xn , xn+1 )]
− ϕ(d(xn−1 , xn ), d(xn , xn+1 ))
≤ α[d(xn−1 , xn ) + d(xn , xn+1 )],

∀n = 1, 2, . . .

(2.3)

Từ đó ta có

d(xn , xn+1 ) ≤

α
d(xn−1 , xn ),
1−α

∀n = 1, 2, . . .

(2.4)

1
α
nên
≤ 1. Do đó, từ (2.4) suy ra d(xn , xn+1 ) ≤ d(xn−1 , xn )
2
1−α
với mọi n = 1, 2, . . .. Do đó {d(xn , xn+1 )} là dãy giảm các số thực không

Vì α ≤

âm nên tồn tại lim d(xn , xn+1 ) = r ≥ 0. Từ (2.3) và tính chất của ϕ suy
n→∞

ra

r ≤ 2αr − ϕ(r, r) ≤ r − ϕ(r, r).
Điều này chứng tỏ ϕ(r, r) = 0 hay r = 0. Do đó,

lim d(xn , xn+1 ) = 0.

n→∞

(2.5)

Tiếp theo, ta chứng minh rằng, với mỗi ε > 0, tồn tại số tự nhiên nε sao
cho với mọi r, q ∈ N mà r−q ≡ 1(mod m), r ≥ nε , q ≥ nε thì d(xr , xq ) < ε.


14

Giả sử điều này không đúng. Khi đó, tồn tại ε > 0 sao cho với mỗi n ∈ N
tồn tại các số tự nhiên rn , qn sao cho rn > qn ≥ n, rn − qn ≡ 1(mod m) và

d(xrn , xqn ) ≥ ε.

(2.6)

Lấy n > 2m. Khi đó, với qn ≥ n ta có thể chọn rn sao cho rn là số tự

nhiên nhỏ nhất mà rn > qn , rn − qn ≡ 1(mod m) và d(xrn , xqn ) ≥ ε. Do
đó,

d(xqn , xrn −m ) < ε.

(2.7)

Từ đó, sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:
m

si+1 d(xrn −i , xrn −i+1 )

ε ≤ d(xqn , xrn ) ≤ sd(xqn , xrn −m ) +
i=1
m

si+1 d(xrn −i , xrn −i+1 ).

< sε +
i=1

Cho n → ∞ và sử dụng (2.5), ta được

ε ≤ lim inf d(xqn , xrn ) ≤ sε.
n→∞

(2.8)

Ta có

ε ≤ d(xqn , xrn ) ≤ s[d(xqn , xqn +1 ) + d(xqn +1 , xrn )]
≤ sd(xqn , xqn +1 ) + s2 d(xqn +1 , xrn +1 ) + s2 d(xrn +1 , xrn )
≤ sd(xqn , xqn +1 ) + s3 [d(xqn +1 , xqn ) + d(xqn , xrn +1 )] + s2 d(xrn +1 , xrn )
≤ (s + s3 )d(xqn , xqn +1 ) + s4 d(xqn , xrn )
+ (s2 + s4 )d(xrn +1 , xrn ) ∀n = 1, 2, . . . .
Cho n → ∞ và sử dụng (2.5), (2.8), ta được
ε
≤ lim inf d(xqn +1 , xrn +1 ) ≤ s3 ε.
(2.9)
2
n→∞
s
Vì rn − qn ≡ 1(mod m) nên tồn tại i ∈ {1, 2, . . . , m} sao cho xrn ∈

Ai , xqn ∈ Ai+1 hoặc xrn ∈ Ai+1 , xqn ∈ Ai .
Nếu xrn ∈ Ai , xqn ∈ Ai+1 thì

d(xrn +1 , xqn +1 ) = d(f xrn , f xqn )
≤ α[d(xrn , xrn +1 ) + d(xqn , xqn +1 )]
− ϕ(d(xrn , xrn +1 ), d(xqn , xqn +1 )).


15

Cho n → ∞, sử dụng (2.5), (2.9) và tính chất của ϕ, ta có

ε
≤ 0 − ϕ(0, 0) = 0.
s2
Điều này mâu thuẫn với ε > 0. Nếu xqn ∈ Ai , xrn ∈ Ai+1 thì chứng minh

tương tự ta cũng có một điều mâu thuẫn. Như vậy khẳng định trên đã
được chứng minh.
Bây giờ, ta chứng minh {xn } là dãy Cauchy. Giả sử ε > 0. Khi đó, theo
chứng minh trên tồn tại số tự nhiên n1 sao cho với mọi r, q ∈ N mà r và

q ≥ n1 , r − q ≡ 1(mod m) thì
d(xr , xq ) <

ε
.
2s

(2.10)

Mặt khác, từ lim d(xn , xn+1 ) = 0 suy ra tồn tại số tự nhiên n2 sao cho
n→∞

d(xn , xn+1 ) <

ε
2msm

∀n > n2 .

(2.11)

Giả sử r, s ≥ max{n1 , n2 } với s > r. Khi đó, tồn tại k ∈ {1, 2, . . . , m} sao
cho s − r ≡ k(mod m). Do đó, s − r + j ≡ 1(mod m) với j = m − k + 1.
Từ đó suy ra

d(xr , xs ) ≤ s[d(xr , xs+j ) + d(xs+j , xs )]
≤ sd(xr , xs+j ) + s2 d(xs+j , xs+j−1 ) + · · · + sj d(xs+1 , xs ).
Kết hợp với (2.10) và (2.11), ta có

ε
εsm
ε
ε
≤
d(xr , xs ) < s. + j.
+
m.
= ε.
2s
2msm
2
2m
Điều này chứng tỏ {xn } là dãy Cauchy. Vì (X, d) là không gian b-mêtric
đầy đủ nên xn → z ∈ X (khi n → ∞).
Từ cách xây dựng {xn } và f là ánh xạ cyclic suy ra rằng, với mỗi

i = 1, 2, . . . , m tồn tại dãy con {xin } của dãy {xn } sao cho {xin } ⊂ Ai . Vì
Ai đóng trong X và xin → z nên z ∈ Ai với mọi i = 1, 2, . . . , m. Do đó,
z ∈ ∩m
i=1 Ai .
Bây giờ, ta chứng minh z là điểm bất động của f . Vì z ∈ Ai với mọi


16

i = 1, 2, . . . , m nên theo điều kiện (2.1), ta có
d(xn+1 , f z) = d(f xn , f z)
≤ α[d(xn , xn+1 ) + d(z, f z)]
− ϕ(d(xn , xn+1 ), d(z, f z)) ∀n = 0, 1, 2, . . .

(2.12)

Vì xn → z nên từ Bổ đề 1.2.4, Bổ đề 1.2.5 và (2.12) suy ra

1
d(z, f z) ≤ αd(z, f z) − ϕ(0, d(z, f z)).
s
1
nên ϕ(0, d(z, f z)) = 0, suy ra d(z, f z) = 0, tức f z = z . Vậy z
s
là điểm bất động của f .

Do α ≤

Cuối cùng, giả sử y cũng là điểm bất động của f . Vì f là ánh xạ cyclic
nên y ∈ ∩m
i=1 Ai . Do đó, ta có

d(y, z) = d(f y, f z)
≤ α[d(y, y) + d(z, z)] − ϕ(d(y, y), d(z, z)) = 0.
Do đó, d(y, z) = 0 hay y = z . Vậy z là điểm bất động duy nhất của f.
2.1.5 Hệ quả. Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric đầy đủ; A1 , A2 , . . . , Am
là các tập con đóng khác rỗng của X sao cho X = ∪m
i=1 Ai và f : X −→ X
là ánh xạ thoả mãn các điều kiện sau

1) f là ánh xạ cyclic;
2) Tồn tại β ∈ 0, min

1 1
,
2 s

sao cho

d(f x, f y) ≤ β[d(x, f x) + d(y, f y)]

(2.13)

với mọi x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, . . . , m, trong đó Am+1 = A1 .
Khi đó, f có duy nhất một điểm bất động z ∈ ∩m
i=1 Ai .

1 1
1 1
,
nên tồn tại α ∈ 0, min
,
2 s
2 s
sao cho α > β . Ta xác định hàm ϕ : [0, ∞)2 −→ [0, ∞) bởi công thức
Chứng minh. Vì β ∈ 0, min

ϕ(t, u) = (α − β)(t + u) ∀(t, u) ∈ [0, ∞)2 .

17

Rõ ràng ϕ liên tục và ϕ(t, u) = 0 ⇔ t = u = 0. Do đó, ϕ ∈ F1 . Mặt khác,
từ (2.13) suy ra f thoả mãn (2.1). Như vậy các điều kiện của Định lí 2.1.4
được thoả mãn. Do đó, khẳng định của Hệ quả này được suy ra từ Định
lí 2.1.4.
2.1.6 Hệ quả. Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ; A1 , A2 , . . . , Am
là các tập con đóng khác rỗng của X sao cho X = ∪m
i=1 Ai và f : X −→ X
là ánh xạ thoả mãn các điều kiện sau
1) f là ánh xạ cyclic;
1
2) Tồn tại α ∈ 0,
và ϕ ∈ F1 sao cho
2

d(f x, f y) ≤ α[d(x, f x) + d(y, f y)] − ϕ(d(x, f x), d(y, f y))

(2.14)

với mọi x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, . . . , m, trong đó Am+1 = A1 .
Khi đó, f có duy nhất một điểm bất động z ∈ ∩m
i=1 Ai .
Chứng minh. Vì (X, d) là không gian mêtric đầy đủ nên nó là không
1
suy ra α ∈
gian b-mêtric đầy đủ với s = 1. Do đó, từ α ∈ 0,
2
1 1
0, min

,
. Vì thế từ (2.14) suy ra f thoả mãn (2.1). Như vậy các
2 s
điều kiện của Định lí 2.1.4 được thoả mãn. Vậy f có duy nhất một điểm
bất động z ∈ ∩m
i=1 Ai .
2.1.7 Định lí. Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric đầy đủ; A1 , A2 , . . . , Am
là các tập con đóng khác rỗng của X sao cho X = ∪m
i=1 Ai và f : X −→ X
1
là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea với hằng số α ∈ 0, 4 . Khi đó,
2s
m
f có duy nhất một điểm bất động z ∈ ∩i=1 Ai .
Chứng minh. Lấy x0 ∈ X và đặt f xn = xn+1 , với mọi n = 0, 1, . . .. Khi
đó, nếu tồn tại n0 ∈ N sao cho xn0 +1 = xn0 thì ta có xn0 +1 = f xn0 = xn0 .
Do đó, xn0 là điểm bất động của f .
Giả sử xn = xn+1 với mọi n = 0, 1, 2, . . .. Vì X = ∪m
i=1 Ai nên với mỗi

n = 1, 2, . . . tồn tại in ∈ {1, 2, . . . , m} sao cho xn−1 ∈ Ain và
xn = f xn−1 ∈ Ain +1 . Do f là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea nên
d(xn , xn+1 ) = d(f xn−1 , f xn )


18

≤ α[d(xn−1 , f xn ) + d(xn , f xn−1 )]
− ϕ(d(xn−1 , f xn ), d(xn , f xn−1 ))
= αd(xn−1 , xn+1 ) − ϕ(d(xn−1 , xn+1 ), 0)

≤ sα[d(xn−1 , xn ) + d(xn , xn+1 )] − ϕ(d(xn−1 , xn+1 ), 0)
≤ sα[d(xn−1 , xn ) + d(xn , xn+1 )],

∀n = 1, 2, . . .

(2.15)

Từ đó ta có

αs
d(xn−1 , xn ), ∀n = 1, 2, . . .
(2.16)
1 − αs
1
1
Vì α ∈ 0, 4 nên d(xn , xn+1 ) ≤ 3
d(xn−1 , xn ) ≤ d(xn−1 , xn ). Do
2s
2s − 1
đó {d(xn , xn+1 )} là dãy giảm các số thực không âm nên tồn tại
d(xn , xn+1 ) ≤

lim d(xn , xn+1 ) = r ≥ 0. Mặt khác,

n→∞

d(xn , xn+1 ) ≤ αd(xn−1 , xn+1 ) ≤ αs[d(xn−1 , xn ) + d(xn , xn+1 )].
Cho n → ∞, ta có r ≤ α lim inf d(xn−1 , xn+1 ) ≤ 2αsr ≤ r, do đó
n→∞

lim inf d(xn−1 , xn+1 ) =
n→∞

r
.
α

Từ (2.15), (2.17) và tính chất của ϕ suy ra
r
r
r ≤ 2αsr − ϕ
,0 ≤ r − ϕ
,0 .
α
α
r
Điều này chứng tỏ ϕ
, 0 = 0 hay r = 0. Do đó,
α
lim d(xn , xn+1 ) = 0.
n→∞

(2.17)

(2.18)

Tiếp theo, ta chứng minh rằng, với mỗi ε > 0, tồn tại số tự nhiên nε sao
cho với mọi r, q ∈ N mà r−q ≡ 1(mod m), r ≥ nε , q ≥ nε thì d(xr , xq ) < ε.
Giả sử điều này không đúng. Khi đó, tồn tại ε > 0 sao cho với mỗi n ∈ N
tồn tại các số tự nhiên rn , qn sao cho rn > qn ≥ n, rn − qn ≡ 1(mod m) và

d(xrn , xqn ) ≥ ε.

(2.19)

Lấy n > 2m. Khi đó, với qn ≥ n ta có thể chọn rn sao cho rn là số tự
nhiên nhỏ nhất mà rn > qn , rn − qn ≡ 1(mod m) và d(xrn , xqn ) ≥ ε. Do
đó,

d(xqn , xrn −m ) < ε.

(2.20)


19

Từ đó, sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:
m

si+1 d(xrn −i , xrn −i+1 )

ε ≤ d(xqn , xrn ) ≤ sd(xqn , xrn −m ) +
i=1
m

si+1 d(xrn −i , xrn −i+1 ).

< sε +
i=1

Cho n → ∞ và sử dụng (2.18), ta được

ε ≤ lim inf d(xqn , xrn ) ≤ sε.
n→∞

(2.21)

Ta có

ε ≤ d(xqn , xrn ) ≤ s[d(xqn , xqn +1 ) + d(xqn +1 , xrn )]
≤ sd(xqn , xqn +1 ) + s2 d(xqn +1 , xrn +1 ) + s2 d(xrn +1 , xrn )
≤ sd(xqn , xqn +1 ) + s3 [d(xqn +1 , xqn ) + d(xqn , xrn +1 )] + s2 d(xrn +1 , xrn )
≤ (s + s3 )d(xqn , xqn +1 ) + s4 d(xqn , xrn )
+ (s2 + s4 )d(xrn +1 , xrn ) ∀n = 1, 2, . . . .
Cho n → ∞ và sử dụng (2.18), (2.21), ta được

ε
≤ lim inf d(xqn +1 , xrn +1 ) ≤ s3 ε.
2
n→∞
s

(2.22)

Vì rn − qn ≡ 1(mod m) nên tồn tại i ∈ {1, 2, . . . , m} sao cho xrn ∈

Ai , xqn ∈ Ai+1 hoặc xrn ∈ Ai+1 , xqn ∈ Ai .
Nếu xrn ∈ Ai , xqn ∈ Ai+1 thì

d(xrn +1 , xqn +1 ) = d(f xrn , f xqn )

≤ α[d(xrn , xqn +1 ) + d(xqn , xrn +1 )]
− ϕ(d(xrn , xqn +1 ), d(xqn , xrn +1 ))
≤ αs[d(xrn , xqn ) + d(xqn , xqn +1 ) + d(xqn , xrn )
+ d(xrn , xrn +1 )] − ϕ(d(xrn , xqn +1 ), d(xqn , xrn +1 )).
Cho n → ∞, sử dụng (2.18), (2.21), (2.22) và tính chất của ϕ, ta có

ε
≤ 2αs2 ε − ϕ(lim inf d(xrn , xqn +1 ), lim inf d(xqn , xrn +1 )).
2
n→∞
n→∞
s


20

Vì α ∈

0,

1
nên từ bất đẳng thức trên suy ra
2s4
ϕ(lim inf d(xrn , xqn +1 ), lim inf d(xqn , xrn +1 )) = 0
n→∞

n→∞

hay lim inf d(xrn , xqn +1 ) = lim inf d(xqn , xrn +1 ) = 0. Mặt khác, ta có
n→∞

n→∞

ε ≤ d(xrn , xqn ) ≤ s[d(xrn , xqn +1 ) + d(xqn +1 , xqn )] ∀n = 1, 2, . . .
Do đó, ε ≤ s lim inf d(xrn , xqn +1 ) = 0. Điều này mâu thuẫn với ε > 0.
n→∞

Nếu xqn ∈ Ai , xrn ∈ Ai+1 thì chứng minh tương tự ta cũng có một điều
mâu thuẫn. Như vậy khẳng định trên đã được chứng minh.
Bây giờ, ta chứng minh {xn } là dãy Cauchy. Giả sử ε > 0. Khi đó, theo
chứng minh trên tồn tại số tự nhiên n1 sao cho với mọi r, q ∈ N mà r và

q ≥ n1 , r − q ≡ 1(mod m) thì
d(xr , xq ) <

ε
.
2s

(2.23)

Mặt khác, từ lim d(xn , xn+1 ) = 0 suy ra tồn tại số tự nhiên n2 sao cho
n→∞

d(xn , xn+1 ) <

ε
2msm

∀n > n2 .

(2.24)

Giả sử r, s ≥ max{n1 , n2 } với s > r. Khi đó, tồn tại k ∈ {1, 2, . . . , m} sao
cho s − r ≡ k(mod m). Do đó, s − r + j ≡ 1(mod m) với j = m − k + 1.
Từ đó suy ra

d(xr , xs ) ≤ s[d(xr , xs+j ) + d(xs+j , xs )]
≤ sd(xr , xs+j ) + s2 d(xs+j , xs+j−1 ) + · · · + sj d(xs+1 , xs ).
Kết hợp với (2.23) và (2.24), ta có

ε
εsm
ε
ε
d(xr , xs ) < s. + j.
≤
+
m.
= ε.
2s
2msm
2
2m
Điều này chứng tỏ {xn } là dãy Cauchy. Vì (X, d) là không gian b-mêtric
đầy đủ nên xn → z ∈ X (khi n → ∞).
Từ cách xây dựng {xn } và f là ánh xạ cyclic suy ra rằng, với mỗi

i = 1, 2, . . . , m tồn tại dãy con {xin } của dãy {xn } sao cho {xin } ⊂ Ai . Vì
Ai đóng trong X và xin → z nên z ∈ Ai với mọi i = 1, 2, . . . , m. Do đó,

z ∈ ∩m
i=1 Ai .


21

Bây giờ, ta chứng minh z là điểm bất động của f . Vì z ∈ Ai với mọi

i = 1, 2, . . . , m nên theo điều kiện (2.2), ta có
d(xn+1 , f z) = d(f xn , f z)
≤ α[d(xn , f z) + d(z, xn+1 )]
− ϕ(d(xn , f z), d(z, xn+1 )) ∀n = 0, 1, 2, . . .

(2.25)

Vì xn → z nên từ Bổ đề 1.2.4 và (2.25) suy ra

1
d(z, f z) ≤ sαd(z, f z) − ϕ(lim inf d(xn , f z), 0).
n→∞
s
Do α ∈

0,

1
nên ϕ(lim inf d(xn , f z), 0) = 0. Do đó,
n→∞
2s4
lim inf d(xn , f z) = 0.

n→∞

Lại sử dụng Bổ đề 1.2.4, ta có

1
d(z, f z) ≤ lim inf d(xn , f z) = 0.
n→∞
s
Điều này chứng tỏ d(z, f z) = 0, tức f z = z . Do đó, z là điểm bất động của

f.
Cuối cùng, giả sử y cũng là điểm bất động của f . Vì f là ánh xạ cyclic
nên y ∈ ∩m
i=1 Ai . Do đó, ta có

d(y, z) = d(f y, f z)
≤ α[d(y, z) + d(z, y)] − ϕ(d(y, z), d(z, y))
= 2αd(y, z) − ϕ(d(y, z), d(z, y)).
1
≤ 1 nên ϕ(d(y, z), d(z, y)) = 0. Do đó, d(y, z) = 0 hay
s4
y = z . Vậy z là điểm bất động duy nhất của f .
Vì 0 < 2α ≤

2.1.8 Hệ quả. Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric đầy đủ; A1 , A2 , . . . , Am
là các tập con đóng khác rỗng của X sao cho X = ∪m
i=1 Ai và f : X −→ X
là ánh xạ thoả mãn các điều kiện sau
1) f là ánh xạ cyclic;

22

2) Tồn tại β ∈ 0,

1
2s4

sao cho

d(f x, f y) ≤ β[d(x, f y) + d(y, f x)]

(2.26)

với mọi x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, . . . , m, trong đó Am+1 = A1 .
Khi đó, f có duy nhất một điểm bất động z ∈ ∩m
i=1 Ai .

1
1
nên
tồn
tại
α
∈
0,
sao cho α > β.
2s4
2s4
Ta xác định hàm ϕ : [0, ∞)2 −→ [0, ∞) bởi công thức

Chứng minh. Vì β ∈ 0,

ϕ(t, u) = (α − β)(t + u) ∀(t, u) ∈ [0, ∞)2 .
Rõ ràng ϕ liên tục và ϕ(t, u) = 0 ⇔ t = u = 0. Do đó, ϕ ∈ F1 . Mặt khác,
từ (2.26) suy ra f thoả mãn (2.2). Như vậy các điều kiện của Định lí 2.1.7
được thoả mãn. Do đó, khẳng định của Hệ quả này được suy ra từ Định
lí 2.1.7.
2.1.9 Hệ quả. ([6], Theorem 2.2) Giả sử (X, d) là không gian mêtric
đầy đủ; A1 , A2 , . . . , Am là các tập con đóng khác rỗng của X sao cho

X = ∪m
i=1 Ai và f : X −→ X là ánh xạ thoả mãn các điều kiện sau
1) f là ánh xạ cyclic;
1
2) Tồn tại α ∈ 0,
và ϕ ∈ F1 sao cho
2

d(f x, f y) ≤ α[d(x, f y) + d(y, f x)] − ϕ(d(x, f y), d(y, f x))

(2.27)

với mọi x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, . . . , m, trong đó Am+1 = A1 .
Khi đó, f có duy nhất một điểm bất động z ∈ ∩m
i=1 Ai .
Chứng minh. Vì (X, d) là không gian mêtric đầy đủ nên nó là không
1
1
gian b-mêtric đầy đủ với s = 1. Do đó, từ α ∈ 0,
suy ra α ∈ 0, 4 .

2
2s
Vì thế từ (2.27) suy ra f thoả mãn (2.2). Như vậy các điều kiện của Định
lí 2.1.7 được thoả mãn. Vậy khẳng định của Hệ quả (2.1.9) được suy ra từ
Định lí 2.1.7.


23

2.1.10 Hệ quả. ([6], Corollary 2.3) Giả sử (X, d) là không gian mêtric
đầy đủ; A1 , A2 , . . . , Am là các tập con đóng khác rỗng của X sao cho

X = ∪m
i=1 Ai và f : X −→ X là ánh xạ thoả mãn các điều kiện sau
1) f là ánh xạ cyclic;
1
sao cho
2) Tồn tại β ∈ 0,
2

d(f x, f y) ≤ β[d(x, f y) + d(y, f x)]

(2.28)

với mọi x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, . . . , m, trong đó Am+1 = A1 .
Khi đó, f có duy nhất một điểm bất động z ∈ ∩m
i=1 Ai .
Chứng minh. Vì (X, d) là không gian mêtric đầy đủ nên nó là không
1
1

gian b-mêtric đầy đủ với s = 1. Do đó, từ β ∈ 0,
suy ra β ∈ 0, 4 .
2
2s
Vì thế từ (2.28) suy ra f thoả mãn (2.26). Như vậy các điều kiện của Hệ
quả 2.1.8 được thoả mãn. Vậy khẳng định của Hệ quả này được suy ra từ
Hệ quả 2.1.8.

2.2

Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic
co yếu kiểu Chatterjea và Kannan suy rộng

Trong mục này, chúng tôi đưa ra khái niệm ánh xạ cyclic co yếu kiểu
Chatterjea và Kannan suy rộng và đưa ra một vài kết quả về sự tồn tại
điểm bất động của các ánh xạ này trong không gian b-mêtric.
Ta kí hiệu F2 là tập tất cả các hàm ϕ : [0, ∞)4 −→ [0, ∞) thoả mãn
hai điều kiện
1) Với mọi (xn , yn , zn , tn ) ∈ [0, ∞)4 , ta có

lim inf ϕ(xn , yn , zn , tn ) ≥ ϕ(lim inf xn , lim inf yn , lim inf zn , lim inf tn );
n→∞

n→∞

n→∞

2) ϕ(x, y, z, t) = 0 =⇒ x = y = z = t = 0.

n→∞

n→∞