Về sự tồn điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu kiểu chatterjea suy rộng trong không gian mêtric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN HOÀI PHƯƠNG

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH
XẠ CYCLIC CO YẾU KIỂU CHATTERJEA SUY RỘNG
TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN HOÀI PHƯƠNG

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH
XẠ CYCLIC CO YẾU KIỂU CHATTERJEA SUY RỘNG
TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành:

TOÁN GIẢI TÍCH

Mã ngành: 60. 46. 01.02
Cán bộ hướng dẫn khoa học:

PGS.TS. ĐINH HUY HOÀNG

NGHỆAN - 2015


1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co kiểu Banach,
Kannan, Chatterjea trong không gian mêtric
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5

1.2. Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic
co kiểu Banach, Kannam Chatterjea trong không gian mêtric . . . . .

7

2 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu kiểu
Chatterjea và co yếu kiểu Chatterjea suy rộng

15

2.1. Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu kiểu
Chatterjea suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Kết luận

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Tài liệu tham khảo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33


2

MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng
trong giải tích. Nó có nhiều ứng dụng trong toán học và nhiều ngành khoa
học kỹ thuật khác. Kết quả quan trọng đầu tiên trong lý thuyết điểm bất
động là nguyên lý ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ Banach (1992).
Người ta đã mở rộng nguyên lý này cho nhiều kiểu ánh xạ và nhiều loại
không gian. Có điều cần lưu ý là các ánh xạ co (kiểu Banach) trong không
gian mêtric là liên tục. Từ đó, nảy sinh vấn đề là mở rộng nguyên lý ánh xạ

co của Banach cho các ánh xạ không liên tục. Để giải quyết vấn đề này, vào
năm 1968, Kannan [3] và vào năm 1972, Chatterjea [1] lần lượt đưa ra khái
niệm ánh xạ co kiểu Kannan và ánh xạ co kiểu Chatterjea và chứng minh sự
tồn tại điểm bất động của các ánh xạ này trong không gian mêtric đầy đủ.
Sau đó, vào năm 2009, Chondhury [2] đã đưa ra khái niệm ánh xạ co kiểu
Chatterjea suy rộng (hay ánh xạ co yếu kiểu Chatterjea) và chứng minh sự
tồn tại điểm bất động của ánh xạ này trong không gian mêtric đầy đủ. Cũng
theo hướng mở rộng nguyên lý Banach kiểu này, vào năm 2003, Krik và các
cộng sự [6] đã giới thiệu khái niệm ánh xạ co cyclic và nghiên cứu sự tồn tại
điểm bất động của nó trong không gian mêtric. Từ đó đến nay, vấn đề về sự
tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic thỏa mãn điều kiện co được nhiều
nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Vào năm 2012, Karapinar và các cộng
sự [5] đã đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ


3

co yếu kiểu Chatterjea và co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian
mêtric đầy đủ. Tuy nhiên, các tác giả của [5]đã mắc phải vài sai sót trong
khi chứng minh Ĉịnh lý 2.2 và chứng minh Ĉịnh lý 2.9. Các kết quả của tác
giả E. Karapinar và H. K. Nashine (2012) trong [5] còn có thể mở rộng được.
Từ đó, vấn đề được chúng tôi đặt ra là khắc phục các sai sót và mở rộng các
kết quả trong [5] của E. Karapinar và H. K. Nashine (2012). Với mục đích đó
luận văn của chúng tôi có nhan đề là "Về sự tồn tại điểm bất động của các
ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian mêtric" và
được trình bày thành hai chương.
Chương 1. Trình bày sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co
kiểu Banach, Chatterjea,Kannan trong không gian mêtric đã có trong các tài
liệu tham khảo [2], [6], [7].
Trong chương 2, đầu tiên chúng tôi trình bày lại một số kết quả về sự tồn

tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chaterjea trong không
gian mêtric, tiếp theo chúng tôi trình bày sự tồn tại điểm bất động của các
ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong [5] và chỉnh sửa lại những
sai sót. Sau đó, chúng tôi đưa ra một số kết quả mới về sự tồn tại điểm bất
động của các ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng đó là Định lý
2.2.4 và các Hệ quả 2.2.6, 2.2.8. Các kết quả này là sự mở rộng của Định lý
2.2 và Định lý 2.9 trong [5] và một số kết quả trong [7]. Cuối cùng, chúng tôi
đưa ra ví dụ 2.2.9 chứng tỏ Định lý 2.2.4 là mở rộng thực sự của Định lý 2.2
và Định lý 2.9 trong [5].
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Vinh năm 2015 dưới sự
hướng dẫn tận tình của PGS.TS Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy và xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm
khoa sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa sư phạm Toán và quý thầy, cô trong
tổ Giải tích trường Đại học Vinh, Trường Đại học Sài Gòn đã giúp đỡ chúng


4

tôi trong thời gian học tập, rèn luyện và hoàn thành luận văn này.
Qua đây, tác giả gửi lòng cảm ơn đến Ban giám hiệu trường THPT Chuyên
Lê Hồng Phong, Quận 5, Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận
lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập.
Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là
các bạn trong lớp Cao học 21 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác
giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những hạn
chế, thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của
Quý thầy cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng năm 2015
Tác giả

5

CHƯƠNG 1
SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ
CYCLIC CO KIỂU BANACH, KANNAN, CHATTERJEA
TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC

Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các
ánh xạ cyclic thỏa mãn điều kiện co kiểu Banach, Kannan, Chatterjea.

1.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gian mêtric
và ánh xạ mà chúng ta cần dùng trong luận văn.
1.1.1 Định nghĩa. ([1]). Cho tập hợp X và hàm d : X × X → R. Hàm d
được gọi là mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau
(i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y ;
(ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X ;
(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X .
Tập hợp X cùng với mêtric d trên nó được gọi là không gian mêtric và ký
hiệu là (X, d) hoặc X .
1.1.2 Định nghĩa. ([1]). Cho X là không gian mêtric, dãy {xn } trong X
được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi

m, n ≥ n0 thì d(xm , xn ) < .

> 0, tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho với mọi

6

Mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy.
Không gian mêtric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong nó
đều hội tụ.
Tập con A ⊂ X gọi là đầy đủ nếu nó đầy đủ với mêtric cảm sinh.
Mọi tập con đầy đủ trong không gian mêtric là tập đóng, mọi tập đóng
trong không gian mêtric đầy đủ là tập đầy đủ.
1.1.3 Định lý. ([1]). Giả sử Y là tập con của không gian mêtric (X, d). Khi
đó, Y đóng trong X khi và chỉ khi mọi dãy {yn } trong Y mà {yn } hội tụ tới

x ∈ X thì x ∈ Y .
1.1.4 Định nghĩa. ([1]). Cho (X, d) là không gian mêtric. Ánh xạ f : X →

X được gọi là một ánh xạ co kiểu Banach (nói gọn là ánh xạ co) nếu tồn tại
q ∈ [0, 1) sao cho
d(f x, f y) ≤ qd(x, y),

∀x, y ∈ X.

1.1.5 Định nghĩa. ([1]). Cho (X, d) là một không gian mêtric và ánh xạ

f : X → X . Điểm a ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu f (a) = a.
1.1.6 Định lý. ([1]). (Nguyên lý co Banach). Mọi ánh xạ co trên không gian
mêtric đầy đủ đều có duy nhất một điểm bất động.
1.1.7 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian mêtric và f : X → X .
1) ([4]) Ánh xạ f được gọi là co kiểu Kannan nếu tồn tại α ∈ [0, 21 ) sao
cho

d(f x, f y) ≤ α[d(x, f x) + d(y, f y)],

∀x, y ∈ X.

2) ([3]) Ánh xạ f được gọi là co kiểu Chatterjea nếu tồn tại α ∈ [0, 21 ) sao
cho

d(f x, f y) ≤ α[d(x, f y) + d(y, f x)],

∀x, y ∈ X.


7

3) ([1]) Ánh xạ f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu

lim inf f (xn ) ≥ f (lim inf xn )
n→∞

n→∞

với mọi dãy {xn } ⊂ X .

1.2. Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ
cyclic co kiểu Banach, Kannam Chatterjea trong không gian
mêtric
Mục này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của các ánh
xạ cyclic thỏa mãn các điều kiện co trong không gian mêtric.
1.2.1 Định nghĩa. ([6]) Cho A1 , A2 , ..., Ap , Ap+1 = A1 là các tập hợp khác
rỗng của không gian mêtric X và ánh xạ T :

p
i=1 Ai

→

p
i=1 Ai .

Ánh xạ T

được gọi là p-cyclic (nói gọn là cyclic) nếu T (Ai ) ⊂ Ai+1 với mọi i = 1, 2, ..., p.
Chú ý. Từ định nghĩa này suy ra nếu T là ánh xạ p-cyclic và T có điểm
p
i=1 Ai .

bất động x thì x ∈

1.2.2 Bổ đề. Nếu X là không gian mêtric đầy đủ, F : X → X là ánh xạ
liên tục và tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho

d(F x, F 2 x) ≤ kd(x, F x),

∀x ∈ X

thì F có điểm bất động trong X . Hơn nữa, với mỗi x0 ∈ X , dãy {F n (x0 )}
hội tụ tới điểm bất động của F .
Chứng minh. Lấy x0 ∈ X và đặt xn = F xn−1 với mọi n = 1, 2, ....Khi đó, với
mỗi n = 1, 2, ... ta có

d(xn , xn+1 ) = d(F xn−1 , F 2 xn−1 ) ≤ kd(xn−1 , F xn−1 )

= kd(F xn−2 , F 2 xn−2 ) ≤ k 2 d(xn−2 , F xn−2 )
≤ ... ≤ k n d(x0 , F x0 ) = k n d(x0 , x1 ).


8

Từ đó và sử dụng nhiều lần bất đẳng thức tam giác ta có

d(xn , xn+m ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xn+m−1 , xn+m )
≤ (k n + k n+1 + ... + k n+m−1 )d(x0 , x1 )
m
kn
n1 − k
=k
d(x0 , x1 ) ≤
d(x0 , x1 )
1−k
1−k
với mọi n = 1, 2, ..., với mọi m = 0, 1, ....
Vì k ∈ [0, 1) nên

kn
1−k d(x0 , x1 )

→ 0 khi n → ∞

Từ đó suy ra {xn } là dãy Cauchy. Vì X đầy đủ nên xn → x ∈ X . Vì F liên
tục nên xn+1 = F xn → F x. Do đó, x = F x.
1.2.3 Định lý. ([6]). Cho A và B là hai tập con đóng khác rỗng của không
gian mêtric đầy đủ X . Giả sử F : X → X thỏa mãn các điều kiện sau

1) F (A) ⊂ B và F (B) ⊂ A (tức F là ánh xạ cyclic);
2) d(F x, F y) ≤ kd(x, y), ∀x ∈ A và y ∈ B , trong đó k ∈ (0, 1). Khi đó,

F có duy nhất điểm bất động trong A
Chứng minh. Với mỗi x ∈ A

B.

B , từ 1) và 2) suy ra

d(F x, F 2 x) ≤ kd(x, F x)
Mặt khác, vì A và B đóng trong X nên A

X đầy đủ nên A

B và A

A

B đóng trong X . Do

B đầy đủ. Theo cách chứng minh của Bổ đề

1.2.2 thì {f n x} là dãy Cauchy trong A
vậy A

B và A

B . Do đó, f n x → z ∈ A

B = ∅ và đầy đủ. Từ điều kiện 2) suy ra F |A

B

B . Như

là ánh xạ co trên

B . Do đó, theo Nguyên lý ánh xạ co Banach thì F có duy nhất điểm bất

động trong A

B.

1.2.4 Hệ quả. ([6]). Cho A và B là hai tập đóng khác rỗng của không gian
mêtric đầy đủ X . Cho f : A → B và g : B → A là hai hàm số sao cho

d(f x, gy) ≤ kd(x, y),

∀(x, y) ∈ A × B


9

trong đó k ∈ (0, 1). Khi đó, tồn tại duy nhất x0 ∈ A

B sao cho

f (x0 ) = g(x0 ) = x0 .
Chứng minh. Ta xác định ánh xạ F : A

Fx =

B→A

B bởi

f x nếu x ∈ A;
gx nếu x ∈ B.

Khi đó, F thỏa mãn điều kiện của Định lý 1.2.3. Do đó F có duy nhất điểm
bất động x0 ∈ A

B . Mặt khác, ta có f x = gx nếu x ∈ A

B . Do đó,

F x0 = f x0 = gx0 = x0 .
1.2.5 Định lý. ([7]). Cho A1 , A2 , ..., Ap , Ap+1 = A1 là các tập con đóng khác
rỗng của không gian mêtric đầy đủ X , ánh xạ T :

p
i=1 Ai

→

p
i=1 Ai

là

ánh xạ cyclic và tồn tại a ∈ [0, 1), b ∈ [0, 12 ), c ∈ [0, 12 ) sao cho với mỗi cặp

(x, y) ∈ Ai × Ai+1 với 1 ≤ i ≤ p, ít nhất một trong các điều sau đây đúng:
1) d(T x, T y) ≤ ad(x, y);
2) d(T x, T y) ≤ b[d(x, T x) + d(y, T y)];
3) d(T x, T y) ≤ c[d(x, T y) + d(y, T x)].
Khi đó,
(i) T có duy nhất điểm bất động x∗ trong

p
i=1 Ai ;

(ii) Dãy lặp Picard {xn } cho bởi

xn+1 = T xn ,
hội tụ đến x∗ với bất kỳ điểm x0 ∈

∀n = 0, 1, ...
p
i=1 Ai ;

(iii) Các đẳng thức sau là đúng

λn
d(x0 , x1 ) ∀n = 0, 1, ...
1−λ
λ
d(xn+1 , x∗ ) ≤
d(xn , xn+1 ) ∀n = 0, 1, ...

1−λ
d(xn , x∗ ) ≤


10

(iv) Tốc độ của sự hội tụ của dãy lặp Picard được cho bởi

d(xn , x∗ ) ≤ λd(xn−1 , x∗ ),

∀n = 1, 2, ...

c
b
trong đó λ = max{a, 1−b
, 1−c
}.

Chứng minh. Lấy i ∈ {1, 2, ..., p} và hai điểm x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 . Dùng tiên
đề mêtric ta dễ dàng chứng minh mỗi một trong ba hệ thức 1), 2), 3) có thể
được viết tương đương như sau

d(T x, T y) ≤ λd(x, y) + 2λd(x, T x)

(1.1)

d(T x, T y) ≤ λd(x, y) + 2λd(x, T y)

(1.2)

và

b
c
trong đó λ = max{a, 1−b
, 1−c
}.

(i) Lấy x0 ∈

p
i=1

và lấy xn = T n x0 , n = 1, 2, ... là dãy Picard. Do vậy, tồn

tại i ∈ {1, 2, ..., p} sao cho x0 ∈ Ai và x1 = T x0 ∈ Ai+1 , do T (Ai ) ∈ Ai+1 với
mọi i = 1, 2, ..., p. Ngoài ra, từ (1.2) ta được d(x1 , x2 ) ≤ λd(x0 , x1 ). Từ bất
đẳng thức này có thể tổng quát hóa bằng phép quy nạp cho d(xn , xn+1 ) ≤

λn d(x0 , x1 ), n ≥ 0. Do đó, với bất kì số n, m ∈ N, m > 0 ta có
m+n−1

d(xn , xn+m ) ≤

d(xk , xk+1 ) ≤
k=n

λn (1 − λm )
d(x1 , x0 )
1−λ

(1.3)

Vì λ ∈ [0, 1) nên λn → 0 khi n → ∞. Do đó, {xn } là dãy Cauchy trong
p
i=1 Ai .

Hơn nữa, dãy {xn } hội tụ tới x∗ ∈

p
i=1 Ai .

Do T là ánh xạ cyclic

nên dãy {xn } có vô số số hạng trong Ai , với mọi i ∈ {1, 2, ..., p}. Do đó,

x∗ ∈

p
i=1 Ai

= ∅. Để chứng minh rằng x∗ là điểm bất động của T ta sẽ sử

dụng (1.1)

d(x∗ , T x∗ ) = lim (xn , T x∗ ) ≤ lim [λd(xn−1 , x∗ ) + 2λd(xn−1 , xn )] = 0
n→∞

n→∞

11

Do đó, d(x∗ , T x∗ ) = 0 hay T x∗ = x∗ .
Bây giờ, giả sử T có điểm bất động khác y ∗ ∈

p
i=1 Ai ,

x∗ = y ∗ . Sử dụng

(1.1) ta có

d(x∗ , y ∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ ) ≤ λd(x∗ , y ∗ ) + 2λd(x∗ , T x∗ )
nên suy ra d(x∗ , y ∗ ) = 0, vì λ < 1, tức là x∗ là điểm bất động duy nhất của

T trong

p
i=1 Ai .

(ii) Cho m → ∞ trong (1.3) ta được (1.1). Lấy x := xn và y := yn−1 trong
(1.2) ta được

d(xn , xn+1 ) ≤ λd(xn−1 , xn )

(1.4)

Do đó, bằng phép quy nạp ta có

d(xn+k , xn+k+1 ) ≤ λk+1 d(xn−1 , xn ),

k ≥ 0.

Từ đó suy ra
m−1

d(xn+k , xn+k+1 ) ≤

d(xn+k , xn+k+1 )
k=0
m−1

λk+1 d(xn−1 , xn )

≤
k=0

λ(1 − λm )
d(xn−1 , xn ).
≤
1−λ
Trong bất đẳng thức cuối cùng cho m → ∞ ta được (1.1).
(iii) Giả sử x ∈
cho xn ∈ Ain . Vì

p
i=1 Ai . Khi đó, với
x∗ ∈ pi=1 Ai ta có

bất kì n > 0 tồn tại in ∈ {1, 2, ..., p} sao
thể xem x∗ ∈ Ain +1 . Khi đó, từ (1.1) với

x := x∗ và y := xn , ta được bất đẳng thức cần tìm.
1.2.6 Định lý. ([2]. Theorem 2.3). Giả sử {Ai }pi=1 là họ các tập con đóng
khác rỗng trong không gian mêtric đầy đủ X và T :

p
i=1 Ai

→

p
i=1 Ai

là ánh


12

xạ cyclic, tức là T (Ai ) ⊂ Ai+1 với mọi i = 1, 2, ..., p, trong đó Ap+1 = A1 .
Khi đó, nếu tồn tại α ∈ [0, 21 ) sao cho

d(T x, T y) ≤ α max{d(x, y), d(x, T x), d(y, T y), d(x, T y), d(y, T x)}
với mọi x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 và i = 1, 2, ..., p thì T có điểm bất động duy nhất
p
i=1 Ai .

x∗ trong

Hơn nữa, với mọi x0 ∈ Ai , (i = 1, 2, ..., p), dãy {T n x0 } hội

tụ đến x∗ .
Chứng minh. Lấy x0 ∈ Ai với i nào đó mà 1 ≤ i ≤ p. Đặt x1 = T x0 ,

x2 = T x1 , ...,xn = T xn−1 = T n x0 .... Khi đó, vì T là ánh xạ cyclic nên nếu
xn ∈ Ai thì xn+1 ∈ Ai+1 , 1 ≤ i ≤ p. Do đó, với mọi n = 1, 2, ... ta có
d(xn , xn+1 ) = d(T xn−1 , T xn )
≤ α max{d(xn−1 , xn ), d(xn−1 , T xn−1 ),
d(xn , T xn ), d(xn−1 , T xn ), d(xn , T xn−1 )}
= α max{d(xn−1 , xn ), d(xn , xn+1 ), d(xn−1 , xn+1 )}
≤ α max{d(xn−1 , xn ), d(xn , xn+1 ), d(xn−1 , xn ) + d(xn , xn+1 )}
≤ α[d(xn−1 , xn ) + d(xn , xn+1 )].
Từ đó, với mỗi n = 1, 2, ... ta có

d(xn , xn+1 ) ≤
Đặt r =

α
1−α .

α
d(xn−1 , xn ).
1−α

Vì α ∈ [0, 12 ) nên r ∈ [0, 1). Từ bất đẳng thức trên ta suy ra

d(xn , xn+1 ) ≤ rd(xn−1 , xn ) ≤ r2 d(xn−2 , xn−1 )
≤ ... ≤ rn d(x0 , x1 ),

∀n = 1, 2, ...


13

Sử dụng nhiều lần bất đẳng thức tam giác và bất đẳng thức trên ta có

d(xn , xn+m ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 + ... + d(xn+m−1 , xn+m ))
≤ (rn + rn+1 + ... + rn+m−1 )d(x0 , x1 )
m
rn
n1 − r
d(x0 , x1 ) ≤
d(x0 , x1 ) → 0 khi n → ∞.
=r
1−r
1−r
Do đó, d(xn , xn+m ) → 0 khi n → ∞ với mọi m = 0, 1, .... Vậy {xn } là dãy
Cauchy. Vì X đầy đủ nên xn → x∗ ∈ X . Mặt khác, từ cách xây dựng {xn }
suy ra, với mỗi i = 1, 2, ..., p đều tồn tại dãy con của {xn } nằm trong Ai , mà

Ai là tập con đóng của X nên x∗ ∈

p
i=1 Ai .

Tiếp theo, ta chứng minh x∗ là điểm bất động của T . Vì x∗ ∈

p
i=1 Ai

nên

ta có

d(x∗ , T x∗ ) ≤ d(x∗ , xn+1 ) + d(xn+1 , T x∗ )
= d(x∗ , xn+1 ) + d(T xn , T x∗ )
≤ d(x∗ , xn+1 ) + α max{d(xn , x∗ ),
d(xn , xn+1 ), d(x∗ , T x∗ ), d(xn , T x∗ ), d(x∗ , T xn )}
≤ d(x∗ , xn+1 ) + α max{d(xn , x∗ ), d(xn , xn+1 ),
d(x∗ , T x∗ ), d(xn , x∗ ) + d(x∗ , T x∗ ), d(x∗ , xn+1 )}
≤ d(xn+1 , x∗ ) + α[d(xn , x∗ ) + d(x∗ , xn+1 ) + d(x∗ , T x∗ )]
Vì xn → x∗ nên vế phải của bất đẳng thức trên dần tới αd(x∗ , T x∗ ). Do đó

0 ≤ d(x∗ , T x∗ ) ≤ αd(x∗ , T x∗ ).
Kết hợp với điều kiện α ∈ [0, 21 ) suy ra d(x∗ , T x∗ ) = 0 tức là x∗ = T x∗ . Vậy

x∗ là điểm bất động của T .
Cuối cùng, giả sử y ∗ ∈

p
i=1 Ai

cũng là điểm bất động của T . Khi đó, từ


14

x∗ và y ∗ ∈

p
i=1 Ai

nên

d(x∗ , y ∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ )
≤ α max{d(x∗ , y ∗ ), d(x∗ , T x∗ ), d(y ∗ , T y ∗ ), d(x∗ , T y ∗ ), d(y ∗ , T x∗ )}
≤ αd(x∗ , y ∗ ).
Từ α ∈ [0, 21 ) suy ra d(x∗ , y ∗ ) = 0 hay x∗ = y ∗ . Vậy điểm bất động của T là
duy nhất.


15

CHƯƠNG 2
SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ
CYCLIC CO YẾU KIỂU CHATTERJEA VÀ CO YẾU KIỂU
CHATTERJEA SUY RỘNG

Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày một số kết quả đã có về sự
tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea và co yếu
kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian mêtric. Sau đó, chúng tôi đưa ra
và chứng minh một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ
cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian mêtric. Kết quả này
là sự mở rộng thực sự của một số kết quả trong [5], [7].

2.1. Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu kiểu
Chatterjea
Ta kí hiệu F1 là tập hợp tất cả các hàm ϕ : [0, ∞)2 → [0, ∞) nửa liên tục
dưới và ϕ(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y = 0.

2.1.1 Định nghĩa. ([5]). Giả sử (X, d) là không gian mêtric, A1 , A2 , ..., Am
là các tập con khác rỗng của X. Ánh xạ f :

m
i=1 Ai

→

m
i=1 Ai

được gọi là

ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea nếu
1) f là cyclic, tức là f (Ai ) ⊂ Ai+1 với mọi i = 1, 2, ..., m trong đó Am+1 =

A1 ;


16

2) Tồn tại ϕ ∈ F1 và α ∈ (0, 12 ] sao cho

d(f x, f y) ≤ α[d(x, f y) + d(y, f x)] − ϕ(d(x, f y), d(y, f x))

(2.1)

với mọi x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, ..., m.
2.1.2 Định lý. ([5]). Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ A1 , A2 , ..., Am
là các tập con đóng khác rỗng của X sao cho

m
i=1 Ai

= X và f : X → X

là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea. Khi đó, f có duy nhất một điểm bất
động z ∈

m
i=1 Ai .

Chứng minh. Lấy x0 ∈ X và đặt

f xn = xn+1 ,

∀n = 0, 1, 2...

Nếu tồn tại n0 ∈ N sao cho xn0 +1 = xn0 thì ta có xn0 +1 = f xn0 . Do đó, xn0
là điểm bất động của f .
Giả sử xn = xn+1 với mọi n = 0, 1, 2, .... Vì X =

m
i=1 Ai

nên với mỗi n =

1, 2, ... tồn tại in ∈ {1, 2, ..., m} sao cho xn−1 ∈ Ain và xn = f xn−1 ∈ Ain +1 .
Do f là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea nên với mọi n = 1, 2, ...

d(xn , xn+1 ) = d(f xn−1 , f xn )
≤ α[d(xn−1 , f xn ) + d(xn , f xn−1 )]
− ϕ(d(xn−1 , f xn ), d(xn , f xn−1 ))
= αd(xn−1 , xn+1 ) − ϕ(d(xn−1 , xn+1 ), 0)
≤ α[d(xn−1 , xn ) + d(xn , xn+1 )].

(2.2)

Từ đó ta có

d(xn , xn+1 ) ≤

α
d(xn−1 , xn ),
1−α

∀n = 1, 2, ...

(2.3)


17

Vì α ∈ (0, 12 ] nên

α
1−α

∈ (0, 1]. Do đó {d(xn , xn+1 )} là dãy giảm các số không

âm nên tồn tại lim d(xn , xn+1 ) := r ≥ 0. Từ (2.2) và tính chất của ϕ suy ra
n→∞

r ≤ 2rα − ϕ(lim inf d(xn−1 , xn+1 ), 0).
n→∞

Kết hợp với r ≥ 2rα suy ra ϕ(lim inf n→∞ d(xn−1 , xn+1 ), 0) = 0. Do đó

lim inf d(xn−1 , xn+1 ) = 0. Từ điều này và phần đầu của (2.2) suy ra
n→∞

lim d(xn , xn+1 ) = 0.

(2.4)

n→∞

Tiếp theo, ta chứng minh rằng, với mỗi

> 0, tồn tại số tự nhiên n sao cho

với mọi r, q ∈ N mà r − q = 1(mod m), r ≥ n , q ≥ n thì d(xr , xq ) < . Giả
sử điều này không đúng. Khi đó, tồn tại

> 0 sao cho với mỗi n ∈ N tồn tại

các số tự nhiên rn , qn sao cho rn > qn ≥ n, rn − qn = 1(mod m) và

d(xrn , xqn ) ≥ .

(2.5)

Lấy n > 2m. Khi đó, với qn ≥ n ta có thể chọn rn sao cho rn là số tự nhiên
nhỏ nhất mà rn là số tự nhiên nhỏ nhất mà rn > qn , rn − qn = 1(mod m) và

d(xrn , xqn ) ≥ . Do đó, d(xqn , xrn −m ) < . Từ đó, sử dụng bất đẳng thức tam
giác ta có
m

≤ d(xqn , xrn ) ≤ d(xqn , xrn −m ) +

d(xrn −i , xrn −i+1 )
i=1

m

≤ +

d(xrn −i , xrn −i+1 ).
i=1

Cho n → ∞ và sử dụng (2.4) ta được

lim d(xqn , xrn ) = .

n→∞

(2.6)

18

Ta có

≤ d(xqn , xrn ) ≤ d(xqn , xqn +1 ) + d(xqn +1 , xrn +1 ) + d(xrn +1 , xrn )
≤ d(xqn , xqn +1 ) + d(xqn +1 , xqn ) + d(xqn , xrn ) + d(xrn , xrn +1 ) + d(xrn +1 , xrn )
= 2d(xqn , xqn +1 ) + d(xqn , xrn ) + 2d(xrn , xrn +1 ) ∀n = 1, 2, ...
Cho n → ∞ ta được

lim d(xqn +1 , xrn +1 ) =

(2.7)

n→∞

Vì rn − qn = 1(mod m) nên tồn tại i ∈ {1, 2, ..., m} sao cho xrn ∈ Ai ,

xqn ∈ Ai+1 hoặc xrn ∈ Ai+1 , xqn ∈ Ai .
Nếu xrn ∈ Ai , xqn ∈ Ai+1 thì

d(xqn +1 , xrn +1 ) = d(f xrn , f xqn )
≤ α[d(xrn , xqn +1 ) + d(xqn , xrn +1 )] − ϕ(d(xrn , xqn +1 ), d(xqn , xrn +1 ))
≤ α[d(xrn , xrn +1 ) + d(xrn +1 , xqn +1 ) + d(xqn , xrn ) + d(xrn , xrn +1 )]
− ϕ(d(xrn , xqn +1 ), d(xqn , xrn +1 ))
Cho n → ∞, sử dụng (2.4), (2.5), (2.7) và tính chất của ϕ ta có

≤ 2α − ϕ(lim inf d(xrn , xqn +1 ), lim inf d(xqn , xrn +1 )).
n→∞

n→∞

Vì α ∈ (0, 21 ] nên từ bất đẳng thức trên ta suy ra

ϕ(lim inf d(xrn , xqn +1 ), lim inf d(xqn , xrn +1 )) = 0
n→∞

n→∞

và do đó

lim inf d(xrn , xqn +1 ) = lim inf d(xqn , xrn +1 ) = 0.
n→∞

n→∞

Mặt khác, ta có

≤ d(xrn , xqn ) ≤ d(xrn , xqn +1 ) + d(xqn +1 , xqn ),

∀n = 1, 2, ...


19

Do đó

≤ lim inf d(xrn , xqn +1 ) = 0.
n→∞

Điều này mâu thuẫn với

> 0. Nếu xqn ∈ Ai , xrn ∈ Ai+1 thì chứng minh

tương tự ta cũng có một điều mâu thuẫn. Như vậy khẳng định trên đã được
chứng minh.
Bây giờ, ta chứng minh {xn } là dãy Cauchy. Giả sử

> 0. Khi đó, theo

chứng minh trên tồn tại số tự nhiên n1 sao cho với mọi r, q ∈ N mà r và

q ≥ n1 , r − q = 1(mod m) thì
d(xr , xq ) < .
2

(2.8)

Mặt khác, từ limn→∞ d(xn , xn+1 ) = 0 suy ra tồn tại số tự nhiên n2 sao cho

d(xn , xn+1 ) <

2m

∀n ≥ n2 .

(2.9)

Giả sử r, s ≥ max{n1 , n2 } với s > r. Khi đó, tồn tại k ∈ {1, 2, ..., m} sao cho

s − r = k(mod m). Do đó s − r + j = 1(mod m) với j = m − k + 1. Từ đó

suy ra

d(xr , xs ) ≤ d(xr , xs+j ) + d(xs+j , xs+j−1 ) + ... + d(xs+1 , xs )
Kết hợp với (2.8) và (2.9) ta có

d(xr , xs ) ≤

2

+ j.

2m

< .

Điều này chứng tỏ {xn } là dãy Cauchy. Vì (X, d) là không gian mêtric đầy
đủ nên xn → z ∈ X.
Từ cách xây dựng {xn } và f là ánh xạ cyclic suy ra rằng với mỗi i =

1, 2, ..., m tồn tại dãy con {xin } của dãy {xn } sao cho {xin } ⊂ Ai . Vì Ai đóng
trong X và xin → z nên z ∈ Ai với mọi i = 1, 2, ..., m. Do đó z ∈

m
i=1 Ai .


20

Bây giờ, ta chứng minh z là điểm bất động của f . Vì z ∈ Ai với mọi

i = 1, 2, ..., m nên theo điều kiện (2.1) ta có
d(xn+1 , f z) = d(f xn , f z) ≤ α[d(xn , f z) + d(z, xn+1 )]
− ϕ(d(xn , f z), d(z, xn+1 )),

∀n = 0, 1, 2, ....

(2.10)

Vì xn → z nên từ (2.10) suy ra

d(z, f z) ≤ αd(z, f z) − ϕ(d(z, f z), 0).
Từ α ∈ (0, 21 ] suy ra d(z, f z) = 0 tức là f z = z . Vậy z là điểm bất động của

f.
Cuối cùng, giả sử y cũng là điểm bất động của f . Vì f là ánh xạ cyclic
nên y ∈

m
i=1 Ai .

Do đó ta có

d(y, z) = d(f y, f z) ≤ α[d(y, z) + d(z, y)] − ϕ(d(y, z), d(z, y))
= 2αd(y, z) − ϕ(d(y, z), d(z, y))
Vì 2α ≤ 1 nên ϕ(d(y, z), d(z, y)) = 0. Do đó, d(z, y) = 0 tức là y = z . Vậy z
là điểm bất động duy nhất của f .
2.1.3 Chú ý. Định lý 2.1.2 chính là Định lý 2.2 (Theorem 2.2) trong [5]
nhưng khi chứng minh Định lý này các tác giả của [5] đã mắc phải một vài
sai lầm. Chẳng hạn, sau khi có (2.3), các tác giả này đã đặt k =
khẳng định k < 1 rồi từ đó suy ra d(xn , xn+1 ) → 0. Tuy nhiên khi α

α
1−α
= 12

và
thì

k = 1. Trong luận văn này, chúng tôi đã chỉnh sửa việc chứng minh đoạn này
và một vài đoạn khác nữa.
2.1.4 Hệ quả. ([5] Corollary 2.3). Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy
đủ, A1 , A2 , ..., Am là các tập con đóng khác rỗng của X sao cho X =
và f : X → X là ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau

m
i=1 Ai


21

1) f là ánh xạ cyclic;
2) Tồn tại β ∈ [0; 21 ) sao cho

d(f x, f y) ≤ β[d(x, f y) + d(y, f x)]

(2.11)

với mọi x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, ..., m, trong đó Am+1 = A1 . Khi đó, f có
duy nhất một điểm bất động z ∈

m
i=1 Ai .

Chứng minh. Vì β ∈ [0, 12 ) nên tồn tại α ∈ (0, 12 ] sao cho α > β . ta xác định
hàm ϕ : [0, ∞)2 → [0, ∞) bởi công thức

ϕ(t, u) = (α − β)(t + u),

∀(t, u) ∈ [0, ∞)2 .

Rõ ràng ϕ liên tục và ϕ(t, u) = 0 khi và chỉ khi u = t = 0. Do đó, ϕ ∈ F1 .
Mặt khác, từ (2.11) suy ra f thỏa mãn (2.1). Như vậy các điều kiện của Định
lý 2.1.2 được thỏa mãn. Do đó khẳng định của Hệ quả này được suy ra từ
Định lý 2.1.2.

2.2. Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu kiểu
Chatterjea suy rộng
Ta ký hiệu F2 là tập hợp tất cả các hàm ϕ : [0, ∞)4 → [0, ∞) nửa liên tục
dưới và ϕ(x, y, z, t) = 0 khi và chỉ khi x = y = z = t = 0.
2.2.1 Định nghĩa. ([5]). Giả sử (X, d) là không gian mêtric, A1 , A2 , ..., Am
là các tập con khác rỗng của X và f :

m
i=1 Ai

→

m
i=1 Ai .

Ánh xạ f được gọi

là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng nếu
1) f là cyclic, tức là f (Ai ) ∈ Ai+1 với i = 1, 2, ..., m, trong đó Am+1 = A1 ;
2) Tồn tại ϕ ∈ F2 , và α ∈ (0, 14 ] sao cho

d(f x, f y) ≤α[d(x, f x) + d(x, f y) + d(y, f x) + d(y, f y)]
− ϕ(d(x, f x), d(x, f y), d(y, f y), d(y, f x))

(2.12)


22

với mọi x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, ..., m trong đó Am+1 = A1 .
2.2.2 Định lý. ([5] Theorem 2.9). Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ,

A1 , A2 , ..., Am là các tập con đóng khác rỗng của X , và X =

m
i=1 Ai .

Khi

đó, nếu f : X → X là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng thì f có
duy nhất một điểm bất động z ∈

m
i=1 Ai .

2.2.3 Chú ý. Định lý này đã được chứng minh đầy đủ trong [5] nhưng các
tác giả trong [5] cũng gặp phải một vài sai sót tương tự như chứng minh Định
lý 2.1.2 ([5] Theorem 2.2). Do đó, chúng tôi không trình bày lại chứng minh
Định lý này mà sau đây chúng tôi sẽ đưa ra một định lý tổng quát hơn Định
lý 2.2.2.
Ta ký hiệu F3 là tập hợp tất cả các hàm ϕ : [0, ∞)4 → [0, ∞) thỏa mãn
hai điều kiện

i)

lim inf ϕ(xn , yn , zn , tn ) ≥ ϕ(lim inf xn , lim inf yn , lim inf zn , lim inf tn )
n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

ii) ϕ(x, y, z, t) = 0 ⇒ x = y = z = t = 0.
2.2.4 Định lý. Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, A1 , A2 , ..., An là
các tập con đóng khác rỗng của X và f :

m
i=1 Ai

→

m
i=1 Ai

là ánh xạ cyclic.

Khi đó, nếu tồn tại ϕ ∈ F3 và các số không âm α1 , α2 , ..., α5 thỏa mãn

α1 + α2 + 2α3 + α5 ≤ 1,

(2.13)

α1 + α3 + α4 ≤ 1

(2.14)

và

d(f x, f y) ≤ α1 d(x, y) + α2 d(x, f x) + α3 d(x, f y) + α4 d(y, f x)
+ α5 d(y, f y) − ϕ(d(x, f x), d(x, f y), d(y, f y), d(y, f x)) (2.15)
với mọi x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, ..., m, trong đó Am+1 = A1 thì f có điểm
bất động duy nhất z ∈

m
i=1 Ai .


23
m
i=1 Ai

Chứng minh. Lấy x0 ∈

và xác định dãy {xn } bởi

xn = f (xn−1 ), ∀n = 1, 2, ...
Nếu tồn tại n0 ∈ N sao cho xn0 = xn0 +1 thì

f (xn0 ) = xn0 +1 = xn0
Như vậy xn0 là điểm bất động của f . Giả sử xn = xn+1 với mọi n = 0, 1, ....
Với mọi n = 0, 1, ... ắt tồn tại i ∈ {1, 2, ..., m} sao cho xn ∈ Ai . Do đó

xn+1 = f (xn ) ∈ Ai+1 . Từ đó, sử dụng giả thiết (2.15), với mọi n = 1, 2, ... ta
có

d(xn , xn+1 ) = d(f xn−1 , f xn ) ≤ α1 d(xn−1 , xn ) + α2 d(xn−1 , xn )
+ α3 d(xn−1 , xn+1 ) + α4 d(xn , xn ) + α5 d(xn , xn+1 )
− ϕ(d(xn−1 , xn ), d(xn−1 , xn+1 ), d(xn , xn+1 ), 0)
≤ (α1 + α2 )d(xn−1 , xn ) + α3 [d(xn−1 , xn ) + d(xn , xn+1 )] + α5 d(xn , xn+1 )
− ϕ(d(xn−1 , xn ), d(xn−1 , xn+1 ), d(xn , xn+1 ), 0).

(2.16)

Do đó, với mọi n = 1, 2, ... ta có

d(xn , xn+1 ) ≤

α1 + α2 + α3
d(xn−1 , xn ) ≤ d(xn−1 , xn ).
1 − α3 − α5

Điều này chứng tỏ dãy {d(xn , xn+1 )} là dãy các số không âm và giảm. Do đó,
tồn tại lim d(xn , xn+1 ) = α ≥ 0.
n→∞

Từ (2.16) và tính chất của ánh xạ ϕ suy ra

α ≤ (α1 + α2 + 2α3 + α5 )α − ϕ(α, lim inf d(xn−1 , xn+1 ), α, 0)
n→∞

Vì α1 + α2 + 2α3 + α5 ≤ 1 nên từ bất đẳng thức này suy ra

ϕ(α, lim inf d(xn−1 , xn+1 ), α, 0) = 0
n→∞