Siêu mặt hyperbolic trong không gian xạ ảnh phức (C)

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐẠI HẢI

SIÊU MẶT HYPERBOLIC TRONG KHÔNG
GIAN XẠ ẢNH PHỨC P3(C)

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An – 2015


2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐẠI HẢI

SIÊU MẶT HYPERBOLIC TRONG KHÔNG
GIAN XẠ ẢNH PHỨC P3(C)
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số:

Người hướng dẫn khoa học
TS. MAI VĂN TƯ

Nghệ An – 2015

MỤC LỤC
MỤC LỤC...............................................................................................................................2


3

MỞ ĐẦU.................................................................................................................................4
CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CƠ SỞ.........................................................................................6
1.1. Hàm nguyên phức........................................................................................................6
1.1.1. Hàm - khả vi..........................................................................................................6
1.1.2. Hàm chỉnh hình.....................................................................................................6
1.3. Các định lý cơ bản của lý thuyết Nevalinna trên trường số phức..............................13
1.3.1. Hàm đếm.............................................................................................................13
1.3.2. Hàm xấp xỉ..........................................................................................................14
1.3.3. Hàm đặc trưng Nevallinna..................................................................................14
1.3.4. Định lý cơ bản thứ nhất của Nevalinna...............................................................14
1.3.5. Nhận xét..............................................................................................................14
1.3.6. Định lý cơ bản thứ hai của Nevalinna.................................................................14
1.3.10. Định nghĩa.........................................................................................................16
1.3.11. Định lý Nochka- giả thiết Cartan......................................................................17
CHƯƠNG II. SIÊU MẶT HYPEBOLIC TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH ..................18
2.1. Tính suy biến của đường cong chỉnh hình phức........................................................18
2.2. Siêu mặt hypebolic trong không gian xạ ảnh ............................................................21
2.2.1. Không gian hypebolic phức................................................................................21
KẾT LUẬN...........................................................................................................................29
TÀI LIỆU THAM KHẢO.....................................................................................................30


4

MỞ ĐẦU
Trong những thập niên qua, lý thuyết phân phối giá trị do R. Nevalinna
xây dựng có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu của toán học.
Nhiều kết quả đặc sắc gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học trên thế
giới và trong nước.
Vào năm 1979, M. Green và Ph. Griffiths phỏng đoán rằng mọi đường
cong chỉnh hình bậc đủ lớn trên một đa tạp xạ ảnh phức dạng tổng quát là suy
biến. Cho đến nay, phỏng đoán này dường như vẫn còn chưa được chứng
minh đầy đủ, nhưng đã có một số bước tiến đã được thực hiện. M. Green
chứng minh tính suy biến của các đường cong chỉnh hình trên đa tạp Fermat
có bậc đủ lớn. Sau đó A. M. Nadel đưa ra một lớp các siêu mặt xạ ảnh mà
phỏng đoán có hiệu lực. Sử dụng các kết quả về tính suy biến của các đường
cong chỉnh hình, Nadel xây dựng một số ví dụ minh họa về các siêu mặt
hyperbolic trên P3 .
3
Dựa vào bài báo “Hyperbolic surfaces in P ( C ) ” của giáo sư Hà Huy

Khoái và một số tài liệu tham khảo khác, tôi tìm hiểu đề tài “Siêu mặt
3
Hyperbolic trong không gian xạ ảnh phức P ( £ ) ”.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận
văn được chia làm hai chương:
Chương 1. Kiến thức cơ sở
3
Chương 2. Siêu mặt hyperbolic trong không gian xạ ảnh P ( £ )

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Vinh với sự hướng dẫn
tận tình, chu đáo của Tiến sĩ Mai Văn Tư. Tác giả bày tỏ lòng kính trọng và

5

biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học, người đã dành nhiều thời
gian và công sức và tạo mọi điều kiện để giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, cô giáo trong bộ môn
Đại số và lý thuyết số, trong khoa Sư phạm toán học, phòng đào tạo Sau đại
học thuộc trường Đại học Vinh đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt
quá trình học tập và thực hiện đề tài này.
Mặc dù đã cố gắng song luận văn vẫn còn nhiều thiếu sót, tác giả mong
nhận được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn học viên.
TÁC GIẢ


6

CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Hàm nguyên phức
1.1.1. Hàm £ - khả vi

Giả sử D là miền của mặt phẳng phức £ và f là hàm biến phức
z = x + iy xác định trong D . Ta có định nghĩa quan trọng sau đây:

1.1.1.1. Định nghĩa
Hàm f được gọi là £ − khả vi tại điểm z0 ∈ D nếu tồn tại giới hạn
lim
h →0
h≠0

f ( z0 + h ) − f ( z0 )

h

và ta nói rằng hàm f có đạo hàm theo biến phức tại điểm z0 và ký hiệu là
f ' ( z0 ) hay

df
( z0 ) :
dz
f ' ( z0 ) =

df ( z0 )
f ( z0 + h ) − f ( z 0 )
= lim
h
→
0
dz
h
h≠0

1.1.2. Hàm chỉnh hình

Từ tính £ - khả vi đã được định nghĩa ta chưa thể rút ra những kết luận
mà chúng ta mong muốn khi nói đến tầm quan trọng của khái niệm này.
Để thu được những kết quả đó, đòi hỏi hàm f phải là một £ - khả vi
tại một lân cận nào đó của điểm z0 . Vì thế ta có:
1.1.2.1. Định nghĩa
1) Hàm f được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm z0 nếu nó là £ - khả vi tại

một lân cận nào đó của điểm z0 . Hàm f được gọi là chỉnh hình trong

miền D nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của miền ấy. Tập hợp các hàm
chỉnh hình trong miền D được ký hiệu là Η ( D ) .


7

1
2) Hàm f ( z ) chỉnh hình tại điểm vô cùng nếu ϕ ( z ) = f  ÷ chỉnh hình tại
z

điểm z = 0 .
Phần 2) của định nghĩa 1.1.2.1 cho phép ta xét các hàm chỉnh hình trên tập
hợp £ .
1.1.2.2. Định lý
Giả sử miền D ⊂ £ và H ( D ) là tập hợp mọi hàm chỉnh hình trong miền
D. Khi đó:
1) H ( D ) là một vành;
1

2) Nếu f ∈ H ( D ) và f ( z ) ≠ 0 ∀z ∈ D thì f ∈ H ( D ) ;
3) Nếu f ∈ H ( D ) và f chỉ nhận các giá trị thực thì f là hằng số.
Chứng minh. Bằng cách tính toán trực tiếp ta thu được
∂
∂f ∂g
( f + g) = +
∂z
∂z ∂z
∂
∂f
∂g

( f .g ) = .g + f .
∂z
∂z
∂z

Từ đó suy ra 1) và 2).
∂f

∂f

Để chứng minh 3) ta nhận xét rằng ∂x , ∂y cũng chỉ nhận giá trị thực.
Nhưng mặt khác:
∂f
∂f
= i.
∂x
∂y
∂f

∂f

Nên suy ra ∂x ≡ ∂y ≡ 0 . Vậy f là hằng số.
1.1.2.3. Định lý (về hàm hợp).


8

Nếu f ( ω ) là hàm chỉnh hình trong D* và nếu g : D → D* là hàm chỉnh
hình trong D thì hàm hợp f  g ( z )  chỉnh hình trong D.
Chứng minh. Thật vậy, dễ thấy rằng

∂  f ( g )  ∂f ∂g ∂f ∂ g
=
. +
.
.
∂ω ∂ z ∂ω ∂ z
∂z

Theo giả thiết

∂f
∂g
= 0,
= 0 nên suy ra f  g ( z )  là hàm chỉnh hình trong D.
∂ω
∂z

Tiếp theo, giả sử ω = f ( z ) , z ∈ D là hàm chỉnh hình ánh xạ đơn trị mộtmột miền D lên miền D* . Điều đó có nghĩa là theo hàm đã cho mỗi z ∈ D đều
tương ứng với một giá trị ω ∈ D* và đồng thời theo quy luật đó mỗi ω ∈ D* chỉ
tương ứng với một giá trị z ∈ D . Từ đó xác định được hàm đơn trị
z = ϕ ( ω ) , ω ∈ D* có tính chất là f ϕ ( ω )  = ω , ω ∈ D* . Như ta biết hàm z = ϕ ( ω )

được gọi là hàm ngược của hàm ω = f ( z ) , z ∈ D.
'
Ta sẽ chứng minh rằng nếu f ( z ) ≠ 0, z ∈ D thì hàm z = ϕ ( ω ) là hàm

chỉnh hình trên D* .
Thật vậy, giả sử ω , ω + ∆ω ∈ D* . Nhờ hàm ngược, các điểm này tương
ứng với điểm z, z+∆z . Theo giả thiết hàm f có đạo hàm tại điểm z nên f ( z )
liên tục tại điểm đó: ∆ω → 0 nếu ∆z → 0 . Do tính đơn trị một- một ta có cả

điều khẳng định ngược lại: ∆z → 0 nếu ∆ω → 0 . Nhưng khi đó
lim

∆ω → 0

∆z
1
1
= lim
= '
,
∆
z
→
0
∆
ω
∆ω
f ( z)
∆z

( f ( z ) ≠ 0) .
'

Điều đó chứng tỏ rằng đạo hàm của hàm ngược z = ϕ ( ω ) tồn tại tại điểm ω và
bằng


9

ϕ' ( ω) =

1
f

'

( z)

, ω ∈ D* .

'
'
Vì ω là điểm tuỳ ý của D* , f ( z ) liên tục và f ( z ) ≠ 0 nên hàm ϕ ( ω ) chỉnh

hình trong D* .
1.1.2.4. Định lý
Giả sử cho chuỗi luỹ thừa

∑a z
n≥0

n

n

.

(2.1)

Nếu bán kính hội tụ của chuỗi (2.1) khác 0 thì tổng S ( z ) của nó là một hàm
chỉnh hình trong hình tròn hội tụ { z < R, R > 0} của nó, tức là khi z < R ta có
S ( z + h) − S ( z )
h →0
h

S ' ( z ) = lim

(2.2)

Chứng minh.
1. Đầu tiên ta chứng minh rằng nếu bán kính hội tụ của chuỗi đã cho (2.1) là
R thì bán kính hội tụ R* của chuỗi đạo hàm
S0 ( z ) = ∑ nan z n −1

(2.3)

n ≥1

cũng bằng R . Thật vậy, hiển nhiên rằng bán kính R* bằng bán kính hội tụ của
chuỗi

∑ na z
n≥0

Nhưng

n

n

1

lim n n an = lim n n n an = lim n an
x →∞

x →∞

x →∞

Và do đó

(

R* = lim n n an
x →∞

) = ( lim
−1

x →∞

n

an

)

−1

=R


10

2. Giả sử z là điểm cố định tuỳ ý nằm trong hình tròn z < R . Khi đó có thể chỉ
ra số R1 ( 0 < R1 < R ) sao cho z < R1 < R . Giả sử ∆z là số gia tuỳ ý của z mà
z + ∆z < R1 < R . Vì

( z + ∆z )

n

− zn

∆z

= ( z + ∆z )

n −1

+ z ( z + ∆z )

n −2

+ .... + z n −1

cho nên
S ( z + ∆z ) − S ( z )
− S0 ( z ) ≤

∆z
+

∞

∑ a ( z + ∆z )

n = m +1

+

∞

∑ na z

n = m +1

n −1

n

m

∑ a ( z + ∆z )
n =1

+ z ( z + ∆z )

n −1

n

n −2

+ z ( z + ∆z )

n −2

+ ... + z n −1 − nz n −1 


+ ... + z n −1 


n −1

(2.4)

n

Xét điểm z * = R1 . Vì điểm này nằm trong hình tròn hội tụ z < R của
chuỗi (2.3) nên từ sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi (2.3) trong hình tròn z < R
suy ra ∀ε > 0, ∃M=M ( ε ) sao cho ∀m > M thì phần dư
∞

∑ na

n = m +1

n

R1n −1 <

ε
3

(2.5)

Do đó với m > M , từ (2.5) thu được
∞

∑

n = m +1

nan z n −1 <

∞

∑ na

n = m +1

n

R1n −1 <

ε
3

(2.6)

Và
∞

∑ a ( z + ∆z )

n = m +1
∞

∑ na

n = m +1

Tiếp theo từ hệ thức.

n −1

n

n

R1n −1 <

ε
3

+ z ( z + ∆z )

n− 2

+ ... + z n −1  ≤

(2.7)


11

m

lim ∑ an ( z + ∆z )

∆z → 0
n =1

+ z ( z + ∆z )

n −1

n−2

∞

+ ... + z n −1  = ∑ nan z n −1
 n =1

Suy ra rằng với số ε > 0 đã chọn, tìm được số δ = δ ( ε ) > 0 sao cho với
∆z < min ( δ ; R1 − z ) thì
m

∑ a ( z + ∆z )
n =1

n −1

n

+ z ( z + ∆z )

n −2

ε
+ ... + z n −1 − nz n −1  <
 3

( 2.8)

Bằng cách thay n > M trong (2.4) và từ (2.6)- (2.8) suy ra rằng khi
∆z < min ( δ ; R1 − z ) ta có
S ( z + ∆z ) − S ( z )
ε ε ε
− S0 ( z ) < + + = ε
∆z
3 3 3

Do đó S0 ( z ) = ∆lim
z →0

S ( z + ∆z ) − S ( z )
= S' ( z) .

∆z

Vì z là điểm tuỳ ý trong hình tròn hội tụ z < R nên định lý được chứng minh.
Nhận xét. Bằng phép đổi biến theo công thức t = z − z0 , z0 ≠ 0 chuỗi

∑a ( z − z )
n≥0

n

0

n

được quy về chuỗi

∑a t
n≥0

n

n

nên ta có định lý sau:

1.1.2.5. Định lý
Tổng f ( z ) của chuỗi luỹ thừa

∑a ( z − z )
n≥0

n

0

n

là hàm chỉnh hình trong

'
hình tròn hội tụ z − z0 < R của chuỗi đó và đạo hàm f ( z ) được tìm theo công

thức
f ' ( z ) = ∑ nan ( z − z0 )
n ≥1

1.2. Đường cong chỉnh hình phức
1.2.1. Định nghĩa

n −1

.


12

Một đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh phức n chiều
P n ( £ ) được định nghĩa là ánh xạ
f = ( f1 ,..., f n+1 ) : £ → P n ( £ )
za

( f ( z ) ,..., f ( z ) )
1

n +1

Trong đó f i , 1 ≤ i ≤ n + 1 là các hàm nguyên không có điểm chung trên
£ (Nghĩa là không tồn tại a ∈ £ để f i ( a ) = 0, ∀ i = 1, n + 1 ).

Đặc biệt, nếu f i , 1 ≤ i ≤ n+1 là các hàm đa thức thì f được gọi là
đường cong đa thức.
n
Đường cong f = ( f1 ,..., f n+1 ) : £ → P ( £ ) được gọi là không suy biến

nếu ảnh của nó không được chứa trong một không gian con tuyến tính của
P n ( £ ) với số chiều nhỏ hơn n .
Ta biết rằng đường cong f không suy biến khi và chỉ khi Wronskian
W ( f ) không đồng nhất bằng không.
1.2.2. Định nghĩa
Độ cao của đường cong chỉnh hình được xác định bởi hệ thức
h ( f , t ) = min h ( f i , t ) ,
1≤i ≤ n +1

trong đó, h ( f i , t ) là độ cao của hàm chỉnh hình tại v ( z ) = t .
+
Đặt h ( f , t ) = −h ( f , t ) , từ định nghĩa trên ta có:

h + ( f , t ) = max h + ( f i , t ) .
1≤i ≤ n +1

1.2.3. Nhận xét
i. Độ cao của đường cong chỉnh hình f được xác định sai khác một đại
lượng giới nội.


13

Thật vậy, nếu f = ( f1 ,..., f n+1 ) = g = ( g1 ,..., g n +1 ) , khi đó chúng ta nhận
được gi ( z ) = f i ( z ) .λ ( z ) , i=1,...,n+1 .
Do các f i và gi không có điểm chung nên λ ( z ) không có không điểm.
Từ tính chất đa giác Newton suy ra λ ( z ) = λ là một hằng số. Bởi vậy
h ( g , t ) = h ( f , t ) + 0 ( 1) .
ii. Độ cao của đường cong chỉnh hình phức là tương tự độ cao Cartan
đối với các ánh xạ chỉnh hình phức, được xác định bởi hệ thức
1
T ( t, r ) =
2π

2π

1
=
2π

2π

∫ log max
0

i

fi

θ ,r

dθ − log max f i ( θ )
i

∫ log max f ( re )
0

iθ

i

i

dθ + 0 ( 1)

ax f i ( 0 ) là đại lượng giới nội.
trong đó 0 ( 1) = − log 1m
≤i ≤ n +1
1.3. Các định lý cơ bản của lý thuyết Nevalinna trên trường số phức.
Giả sử f ( z ) là hàm phân hình trong đĩa Dr = { z ∈ £ : z < r} , với mỗi số
phức a ∈ £ , Nevalinna đã xây dựng các hàm sau.
1.3.1. Hàm đếm

Ký hiệu n ( f , a, r ) = ≠ { z ∈ Dr : f ( z ) − a = 0} tính cả bội
Chúng ta gọi
N ( f , a, r ) = ∫

r

0

n ( f , a, t ) − n ( f , a, 0 )
dt + n ( f , a, 0 ) log r
t

Là hàm đếm của hàm phân hình f ( z ) .


14

1.3.2. Hàm xấp xỉ
m ( f , a, r ) =

1
2π

∫

2π

0

log +

1

f ( reiθ ) − a

dθ ,

+
Trong đó log x = max ( 0, log x )

1.3.3. Hàm đặc trưng Nevallinna
T ( f ,r) =

1
2π

∫

2π

0

log + f ( reiθ ) dθ + N ( ∞, r )

Trong đó N ( ∞, r ) = N ( f , ∞, r ) .
Ngoài ra chúng ta đặt
T ( f , a, r ) = m ( f , a , r ) + N ( f , a , r )

Các định lý sau là các định lý cơ bản của lý thuyết Nevalinna.
1.3.4. Định lý cơ bản thứ nhất của Nevalinna

Giả sử a ∈ £ và f ( z ) là hàm phân hình trong đĩa Dr , khi đó tồn tại
hàm T ( r ) = T ( f , r ) thoã mãn hệ thức

T ( f , a, r ) = T ( r ) + θ ( 1) ,

Trong đó θ ( 1) là đại lượng bị chặn khi r → ∞
1.3.5. Nhận xét

Vì hàm T ( r ) không phụ thuộc vào a , bởi vậy chúng ta có thể nói rằng
hàm f ( z ) nhận giá trị a hoặc gần a với một số lần như nhau.
1.3.6. Định lý cơ bản thứ hai của Nevalinna

Giả sử f ( z ) hàm phân hình trong đĩa Dr và a1 , a2 ,...., aq là các số phức
phân biệt, chúng ta có


15

q

( q − 2 ) T ( r ) ≤ ∑ N1 ( a j , r ) + S ( r ) ,
j =1

'
Trong đó S ( r ) < 0 ( log ( r T ( r ) ) ) và N1 ( a, r ) là hàm đếm các không gian điểm

phân biệt bội đơn của hàm f ( z ) − a .
Ngoài ra, nếu đặt
δ ( a ) = lim r →∞

m ( f , a, r )
N ( f , a, r )
= 1 − lim r →∞

T ( r)
T ( r)

Khi đó số các điểm a mà δ ( a ) > 0 là hữu hạn hoặc đếm được, đồng thời
chúng ta còn có

∑ δ ( a) ≤ 2

a∈P1

1.3.7. Hệ quả (Định lý Picard)

Mọi ánh xạ chỉnh hình f : C → P1 bỏ qua ít nhất ba giá trị phân biệt đều
là ánh xạ hằng.
n
Giả sử f = ( f1 ,..., f n +1 ) : C → P ( C ) là đường cong chỉnh hình, trong đó f j

là các hàm chỉnh hình không có không điểm chung. Hàm đặc trưng của Cartan
được xác định bởi hệ thức
T ( f ,r) =

1
2π

∫

2π

0

max log f j ( reiθ ) dθ
j

n
Nếu các siêu phẳng H j của không gian xạ ảnh P ( C ) được xác định bởi

phương trình Fj ( z1 ,...., zn +1 ) = 0 , khi đó chúng ta đặt
N k ( r , H j ) = ∑ log +
s

r
λs ,


16

trong đó N k ( r , H j ) là hàm đếm mức k của hàm Fjο f , nghĩa là vế phải của
tổng trên được lấy với mọi không điểm λs của hàm Fjο f , tính cả bội nếu bội
của nó nhỏ hơn k và bằng k trong trường hợp còn lại.
1.3.8. Định nghĩa
n
Các siêu phẳng H1 ,..., H q của không gian xạ ảnh P ( C ) được gọi là ở vị

trí tổng quát nếu chúng độc lập tuyến tính khi q < n + 1 hoặc ( n + 1) siêu phẳng
bất kỳ trong chúng là độc lập tuyến tính khi q ≥ n + 1 .
1.3.9. Định lý Cartan
n
Giả sử f = ( f1 ,..., f n +1 ) : C → P ( C ) là đường cong chỉnh hình không suy

biến với các hàm chỉnh hình f j không có điểm chung. Giả thiết thêm rằng

H1 ,...., H q là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát và f ( C ) ⊄ H j , j=1,...,q . Chúng ta

nhận được

( q − n − 1) T (


q

f , r ) ≤ ∑ Nn ( Hi , r ) + S ( r )
i =1

1 
÷÷.
 R − r 


Trong đó S ( r ) < 0 ( log T ( f , r ) ) + 0  log 


H. Cartan tin rằng kết quả trên vẫn đúng với các đường cong k − không suy
biến, 1 ≤ k ≤ n.
1.3.10. Định nghĩa

Một đường cong chỉnh hình f : C → Pn được gọi là k − không suy biến
nếu ảnh của f được chứa trong một không gian con tuyến tính k - chiều và
f ( C ) không nằm trong bất kỳ của một không gian con tuyến tính với chiều

nhỏ hơn k .

17

1.3.11. Định lý Nochka- giả thiết Cartan

Giả sử f : C → P n là đường cong chỉnh hình k- không suy biến, H1 ,...., H q
là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Giả thiết thêm rằng f ( C ) ⊄ H j , j = 1,...., q ,
chúng ta có

( q − 2n + k − 1) T (

q

f , r ) ≤ ∑ Nk ( Hi , r ) + S ( r )
i =1

Trong đó S ( r ) = 0 ( log  r.T ( f , r )  ) .
Rõ ràng khi k = n , ta có định lý Cartan và ứng với n = k = 1 , ta thu được
định lý cơ bản thứ hai của Nevalinna.


18

CHƯƠNG II. SIÊU MẶT HYPEBOLIC TRONG KHÔNG
3
GIAN XẠ ẢNH P ( C )
2.1. Tính suy biến của đường cong chỉnh hình phức
Đặt
a ,1

a ,n +1

M j = z1 j ...zn +j 1

,

1≤ j ≤ s

là các đơn thức phân biệt có bậc d với các số mũ không âm. Giả sử X là một
siêu mặt có bậc d của P n (£ ) định nghĩa bởi
X : c1M1 + ...cs M s = 0 ,

trong đó c j ∈£ * là các hằng số khác 0 . Chúng ta nhắc lại rằng X là một biến
dạng của siêu mặt Fermat bậc d nếu s ≥ n + 1 và
M j = z dj ,

j = 1,..., n + 1

2.1.1. Định lý
Giả sử rằng tồn tại một số nguyên k ≥ 0 sao cho X thỏa mãn các điều
kiện sau đây:
i) Với j ≥ n + 2, m = 1,..., n + 1 , số mũ α j ,m hoặc là 0, hoặc α j ,m ≥ d − k
ii) d > k+s(s-2)
Khi đó, với mọi đường cong chỉnh hình trên X đều suy biến.
Để chứng minh Định lý 2.1.1, chúng ta nhắc lại hệ thức sai số của
Cartan cho các đường cong chỉnh hình.
Giả sử f là một đường cong chỉnh hình và H là một siêu phẳng của

P n (£ ) mà không chứa ảnh của f. Chúng ta ký hiệu deg z f * H là bậc của ước
nếu f * H tại z ∈ £ . Chúng ta nói rằng f phân nhánh tại ít nhất d (>0) trên H

19

nếu deg z f * H ≥ d với mọi z ∈ f −1H . Trong trường hợp f −1H = 0 , chúng ta
đặt d = ∞ .
2.1.2. Bổ đề (H. Cartan [C])
Giả sử rằng f là không suy biến tuyến tính và phân nhánh tại ít nhất d
trên H j ,1 ≤ j ≤ q , trong đó các siêu phẳng H j đều thuộc vị trí tổng quát.
Khi đó:
q

n

∑ (1 − d
j =1

) ≤ n +1

j

Bây giờ giả sử X là một siêu mặt thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.1.1,
và giả sử f = ( f1,..., f n +1) : £ → X là một đường cong chỉnh hình. Chúng ta sẽ
chứng tỏ rằng { f1d ,..., f n +1d , M n +1 o f , M s o f } là phụ thuộc tuyến tính. Giả sử
rằng trường hợp đó không xảy ra. Xem xét một đường cong chỉnh hình g
thuộc P s− 2 (£ ) xác định bởi

g : z ∈ £ a { f1d ( z ),..., f n +1d ( z ), M n+ 2 o f ( z ), M s −1 o f ( z )} ∈ P s − 2 (£ )
Cho các siêu phẳng sau đây trong vị trí tổng quát:
H1 = {z1 = 0},..., H s −1 = {z s −1 = 0}, H s = {c1z1 + ... + cs −1z s −1 = 0}

Từ các giả thiết của Định lý 2.1.1, chúng ta thấy rằng g phân nhánh tại ít nhất
d − k trên H j với mọi 1 ≤ j ≤ s . Suy ra từ Bổ đề 2.1.2 rằng
s

(1)

s−2

∑ (1 − d − k ) ≤ s − 1
j =1

Vì vậy d ≤ k + s ( s − 2) , ta gặp một mâu thuẫn. Khi đó, ảnh của f được chứa
trong tập con đại số thực sự của X xác định bởi phương trình sau đây


20

a1z1d + ... + an +1znd+1 + an + 2 M n+ 2 + ... + as −1M s −1 = 0
Trong đó các a j không đồng nhất bằng 0 . Định lý 2.1.1 được chứng minh.
2.1.3. Hệ quả ([7])
Giả sử X là siêu mặt Fermat

X : z1d + ... + zn +1d = 0 ,
Và giả sử f = ( f1,..., f n +1 ) là một đường cong chỉnh hình trên X . Nếu

d > n 2 − 1 , tồn tại một phân hoạch các chỉ số { 1,…, n + 1} = ∪Iξ sao cho:
i) Nếu i, j ∈∪ Iξ ,
ii)

fi

fj

= const ,

∑ fid = 0 với mọi ξ .

i∈Iξ

Chứng minh. Ta chỉ cần cho P3 (£ ) trong Định lý 2.1.1, và áp dụng Định lý
2.1.1 nhiều lần. Hệ quả được chứng minh theo quy nạp. Chú ý rằng các giả
thiết của Định lý 2.1.1 được thỏa mãn sau khi mọi bước của quy nạp.
Dạng rõ ràng hơn sau đây của Định lý 2.1.1 là rất hữu dụng trong các
ứng dụng cho các mặt trên P3 (£ ) .
2.1.4. Định lý
Giả sử X là một siêu mặt thỏa mãn các giả thiết của Định lý 2.1.1,
trong đó bất đẳng thức ii) được thay thế bởi một bất đẳng thức yếu hơn:
(n + 1)( s − 2) ( s − 2)( s − n − 1)
+
<1
d
d −k
Khi đó mọi đường cong chỉnh hình trên X đều suy biến.


21

Chứng minh. Chúng ta có thể nhắc lại chứng minh của Định lý 2.1.1, nhưng
thay thế ( 1) , chúng ta sử dụng bất đẳng thức sau đây

n +1

( s − 2)
( 2 ) ∑ (1 − d ) +
j =1

s

∑

(1 −

j =n+ 2

( s − 2)
) ≤ s −1
d −k

2.2. Siêu mặt hypebolic trong không gian xạ ảnh P ( C )
Trong mục này chúng tôi tìm hiểu, trình bày chi tiết các ví dụ minh họa
3

về các mặt hyperbolic trên P3 (£ ) và các đường cong trên P 2 (£ ) với phần bù
hyperbolic.
2.2.1. Không gian hypebolic phức

2.2.1.1. Định nghĩa
Giả sử D là đĩa đơn vị trong £ , khoảng cách hyperbolic giữa hai điểm
a, b ∈ D được xác định bởi hệ thức:
b−a

1
1 − ab
d hyp ( a, b ) = log
.
b−a
2
1−
1 − ab
1+

2.2.1.2. Định nghĩa
Giả sử X là không gian phức liên thông và một dãy các hàm chỉnh hình
f i : D → X , i = 1,2,...,m; x,y ∈ X .


22

Giả sử rằng các điểm ai , b j thuộc đĩa đơn vị D và thoã mãn hệ thức
f i ( a1 ) = x, f m ( bm ) = y đồng thời f i ( ai ) = fi +1 ( ai +1 ) , i=1,2,....,m-1, khi đó nửa
khoảng cách Kobayashi giữa hai điểm x, y ∈ X được xác định bởi hệ thức
m

d kob ( x, y ) = d x ( x, y ) = inf ∑ d hyp ( ai , bi ) ,
i =1

Trong đó cực tiểu được lấy với mọi cách chọn f i , ai , bi .
2.2.1.3. Định nghĩa
Không gian X được gọi là hypebolic Kobayashi nếu nửa khoảng cách
d X là khoảng cách, nghĩa là d X ( x, y ) = 0 ⇔ x = y .
2.2.1.4. Định nghĩa

Không gian X được gọi là hyperbolic Brody nếu không tồn tại các ánh
xạ chỉnh hình khác hằng số từ £ vào X.
2.2.1.5. Hệ quả

( i ) . Mỗi ánh xạ chỉnh hình

f : D → D có tính chất giảm đối với nửa

khoảng cách Kobayashi, nghĩa là:
d D ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ d D ( x, y ) , ∀x,y ∈ D .

( ii ) . Mỗi ánh xạ tự đẳng cấu của

D là một phép đẳng cự.

2.2.1.6. Định lý
Giả sử f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức với
hai nửa khoảng cách d X , dY tương ứng. Khi đó f là hàm có tính chất giảm
đối với nửa khoảng cách Kobayashi.
dY ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ d X ( x, y ) , ∀x,y ∈ X .


23

Ngoài ra, d X là nửa khoảng cách lớn nhất trong X sao cho mọi ánh xạ chỉnh
hình f : X → Y đều có tính chất trên.
2.2.1.7. Hệ quả
Mọi không gian hyperbolic Kobayashi đều là không gian hyperbolic
Brody.
2.2.1.8. Định lý

Giả sử không gian con của không gian Y hoặc f : X → Y là ánh xạ
chỉnh hình và đơn ánh. Khi đó nếu X là không gian hyperbolic thì Y cũng
vậy.
2.2.1.9. Định lý
Giả sử X và Y là các không gian phức và f là ánh xạ chỉnh hình từ
X vào không gian hyperbolic Y thoả mãn hai điều kiện:

( i ) . dY ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ d X ( x, y ) , ∀x,y ∈ X
( ii ) .

−1
Mỗi y ∈ Y , tồn tại lân cận U của y sao cho f ( U ) là

hyperbolic.
Khi đó X là không gian hyperbolic Kobayashi.
2.2.1.10. Định lý
Giả sử X là k hông gian phức compact, khi đó X là không gian
hyperbolic Brody khi và chỉ khi X là không gian hyperbolic Kobayashi.
2.2.1.11. Nhận xét


24

Vì £ p là không gian compact địa phương nên theo chúng tôi, khó có
thể chỉ ra sự tương đương giữa hai khái niệm này.
Định lý 2.2.2.

Giả sử X là một siêu mặt trên P3 (£ ) có bậc d xác định bởi đẳng thức

X : z1d1 + z2 d2 + z3d3 + z4 d 4 + cz1α1 z2α 2 z3α 3 = 0 , (3)

3

trong đó c ≠ 0, ∑α i = d ,α i ≥ 7 . Khi đó X là hyperbolic nếu d ≥ 22
i =1

Chứng minh. Cho k = d − 7 . Khi đó X thỏa mãn các giả thiết của Định lý
2.1.4, và mọi đường cong chỉnh hình trên X đều suy biến.
Bây giờ giả sử f = ( f1 ,..., f 4 ) : £ → X là một đường cong chỉnh hình
trên X . Xem xét các trường hợp có thể xảy ra sau đây:
1) Với i = 1,2,3 nào đó, fi ≡ 0 Khi đó f là một ánh xạ hằng suy ra từ Hệ quả
2.1.3.
2) f 4 ≡ 0 Khi đó ảnh của ( f1, f 2 , f3 ) được chứa trong đường cong xác định
bởi đẳng thức sau đây

Y : z1d1 + z2 d 2 + z3d3 + z4 d 4 + cz1α1 z2α 2 z3α 3 = 0
Từ chứng minh của Định lý 2.2.2, ta suy ra rằng ( f1d , f 2 d , f3d ) là phụ thuộc
tuyến tính. Khi đó ít nhất hai trong số ( f1, f 2 , f 3 ) , giả sử, f1 và f 2 , có một tỷ
lệ không đổi.
Thay hệ thức này vào (3), chúng ta có thể chứng tỏ rằng f là một ánh
xạ hằng (chú ý rằng ai ≠ 0 với mọi i = 1,2,3 ).


25

3) Giả sử rằng mọi fi ≡ 0 Từ chứng minh của Định lý 2.2.2, ta suy ra rằng

( f1d , f 2 d , f3d , f 4 d ) là phụ thuộc tuyến tính:
a1 f1d + a2 f 2 d + a3 f3d + a4 f 4d ≡ 0
trong đó các ai không đồng thời bằng 0 . Xem xét các tình huống có thể xảy
ra như sau:

i)

ai ≠ 0 , i = 1,2,3,4 . Từ Hệ quả 2.1.3, f

là một ánh xạ hằng, hoặc

chúng ta có thể giả sử rằng f1 = c1 f 2 , f 3 = c2 f 4 . Khi đó chúng ta có
thể thay hệ thức này vào (3) và chứng tỏ rằng

f

là một ánh xạ

hằng.
ii)

Chỉ một trong các ai = 0 , giả sử a4 = 0 Khi đó ( f1, f 2 , f3 ) là một
ánh xạ hằng được suy từ Hệ quả 2.1.3 và ta dễ chỉ ra rằng f là một
ánh xạ hằng.

iii)

Nếu a4 ≠ 0 , và hai hệ số, giả sử a1 = a2 = 0 Khi đó chúng ta có
f3 = c3 f 4 Thay hệ thức này vào (3), ta thu được

(4) f1d + f 2 d + ε1 f3d + ε 2 f1α1 f 2α 2 f 3α 3 ≡ 0 ,
trong đó ε 2 ≠ 0
Chúng ta quay về trường hợp 2).
iv)

a4 = 0 , và một trong các a1, a2 , a3 , giả sử, a1 = 0 . Khi đó

một hằng số, và chúng ta thu được:

f1d + Af3d + f 4 d + Bf1α1 f 2α 2 f3α 3 = 0 ,

f2

f3 là